1、明確模擬練習(xí)的目的。不但檢測知識的全面性、方法的熟練性和運(yùn)算的準(zhǔn)確性，更是訓(xùn)練書寫規(guī)范，表述準(zhǔn)確的過程。
2、查漏補(bǔ)缺，以“錯(cuò)”糾錯(cuò)。每過一段時(shí)間，就把“錯(cuò)題筆記”或標(biāo)記錯(cuò)題的試卷有側(cè)重的看一下。查漏補(bǔ)缺的過程也就是反思的過程，逐漸實(shí)現(xiàn)保強(qiáng)攻弱的目標(biāo)。
3、嚴(yán)格有規(guī)律地進(jìn)行限時(shí)訓(xùn)練。特別是強(qiáng)化對解答選擇題、填空題的限時(shí)訓(xùn)練，將平時(shí)考試當(dāng)作高考，嚴(yán)格按時(shí)完成，并在速度體驗(yàn)中提高正確率。
4、保證常規(guī)題型的堅(jiān)持訓(xùn)練。做到百無一失，對學(xué)有余力的學(xué)生，可適當(dāng)拓展高考中難點(diǎn)的訓(xùn)練。
5、注重題后反思總結(jié)。出現(xiàn)問題不可怕，可怕的是不知道問題的存在，在復(fù)習(xí)中出現(xiàn)的問題越多，說明你距離成功越近，及時(shí)處理問題，爭取“問題不過夜”。
6、重視每次模擬考試的臨考前狀態(tài)的調(diào)整及考后心理的調(diào)整。以平和的心態(tài)面對高考。
第31講 阿基米德三角形、雙切線問題、定點(diǎn)定值定直線問題
【典型例題】
例1．已知拋物線與點(diǎn)，過的焦點(diǎn)且斜率為的直線與交于，兩點(diǎn)，若，則
A．B．C．D．2
例2．拋物線的弦與過弦的端點(diǎn)的兩條切線所圍成的三角形常被稱為阿基米德三角形，阿基米德三角形有一些有趣的性質(zhì)，如：若拋物線的弦過焦點(diǎn)，則過弦的端點(diǎn)的兩條切線的交點(diǎn)在其準(zhǔn)線上．設(shè)拋物線，弦過焦點(diǎn)，為其阿基米德三角形，則的面積的最小值為
A．B．C．D．
例3．過拋物線的焦點(diǎn)作拋物線的弦，與拋物線交于，兩點(diǎn)，分別過，兩點(diǎn)作拋物線的切線，相交于點(diǎn)，又常被稱作阿基米德三角形．的面積的最小值為
A．B．C．D．
例4．已知曲線，為直線上的動點(diǎn)，過作的兩條切線，切點(diǎn)分別為，．
（1）證明：直線過定點(diǎn)．
（2）若以為圓心的圓與直線相切，且切點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，求該圓的方程．
例5．拋物線的焦點(diǎn)為，過且垂直于軸的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，為原點(diǎn)，的面積為2．
（1）求拋物線的方程；
（2）為直線上一個(gè)動點(diǎn)，過點(diǎn)作拋物線的切線，切點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)作的垂線，垂足為，是否存在實(shí)數(shù)，使點(diǎn)在直線上移動時(shí)，垂足恒為定點(diǎn)？若不存在，說明理由；若存在，求出的值，并求定點(diǎn)的坐標(biāo)．
例6．已知?jiǎng)狱c(diǎn)到直線的距離比到定點(diǎn)的距離大1．
（Ⅰ）寫出動點(diǎn)的軌跡的方程；
（Ⅱ）設(shè)為過作曲線的任一條弦所在直線方程，弦的中點(diǎn)為，過點(diǎn)作直線與直線交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，且使得，，求的正弦值（其中為定點(diǎn)．
例7．如圖，已知拋物線上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，焦點(diǎn)為，且，過點(diǎn)作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為、，為線段上的動點(diǎn)，過作拋物線的切線，切點(diǎn)為（異于點(diǎn)，，且直線交線段于點(diǎn)．
（Ⅰ）求拋物線的方程；
（Ⅱ）（?。┣笞C：為定值；
（ⅱ）設(shè)，的面積分別為，，求的最小值．
例8．設(shè)點(diǎn)，在直線上，過點(diǎn)作雙曲線的兩條切線、，切點(diǎn)為、，定點(diǎn)．
（1）求證：三點(diǎn)、、共線．
（2）過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，試求的重心所在曲線方程．
【同步練習(xí)】
一．選擇題
1．?dāng)?shù)學(xué)家阿基米德建立了這樣的理論：“任何由直線與拋物線所圍成的弓形，其面積都是其同底同高的三角形面積的三分之四．”如圖，直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，、兩點(diǎn)在軸上的射影分別為、，從長方形內(nèi)任取一點(diǎn)，則該點(diǎn)落在陰影部分的概率為
A．B．C．D．
2．已知點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上，過點(diǎn)的直線與拋物線相切于，兩點(diǎn)，則直線的斜率為
A．1B．C．D．3
3．過拋物線的焦點(diǎn)作拋物線的弦，與拋物線交于，兩點(diǎn)，為的中點(diǎn)，分別過，兩點(diǎn)作拋物線的切線，相交于點(diǎn)，又常被稱作阿基米德三角形．下面關(guān)于的描述：
①點(diǎn)必在拋物線的準(zhǔn)線上；
②；
③設(shè)，，，，則的面積的最小值為；
④；
⑤平行于軸．
其中正確的個(gè)數(shù)是
A．2B．3C．4D．5
4．拋物線的弦與過弦的端點(diǎn)的兩條切線所圍成的三角形常被稱為阿基米德三角形，阿基米德三角形有一些有趣的性質(zhì)，如：若拋物線的弦過焦點(diǎn)，則過弦的端點(diǎn)的兩條切線的交點(diǎn)在其準(zhǔn)線上．設(shè)拋物線，弦過焦點(diǎn)，為阿基米德三角形，則為
A．銳角三角形
B．直角三角形
C．鈍角三角形
D．隨位置變化前三種情況都有可能
5．已知，為拋物線上兩點(diǎn)，點(diǎn)，的橫坐標(biāo)分別為4，，過，分別作拋物線的切線，兩切線交于點(diǎn)，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)為
A．1B．3C．D．
6．古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德用窮竭法建立了這樣的結(jié)論：“任何由直線和拋物線所包圍的弓形，其面積都是其同底同高的三角形面積的三分之四．”如圖，已知直線交拋物線于，兩點(diǎn)，點(diǎn)，在軸上的射影分別為，．從長方形中任取一點(diǎn)，則根據(jù)阿基米德這一理論，該點(diǎn)位于陰影部分的概率為
A．B．C．D．
7．拋物線上任意兩點(diǎn)、處的切線交于點(diǎn)，稱為“阿基米德三角形”．當(dāng)線段經(jīng)過拋物線焦點(diǎn)時(shí)，具有以下特征：
①點(diǎn)必在拋物線的準(zhǔn)線上；②為直角三角形，且；③．
若經(jīng)過拋物線焦點(diǎn)的一條弦為，阿基米德三角形為，且點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4，則直線的方程為
A．B．C．D．
8．阿基米德（公元前287年—公元前212年）是古希臘偉大的物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，不僅在物理學(xué)方面貢獻(xiàn)巨大，還享有“數(shù)學(xué)之神”的稱號．拋物線上任意兩點(diǎn)，處的切線交于點(diǎn)，稱為“阿基米德三角形”，當(dāng)線段經(jīng)過拋物線焦點(diǎn)時(shí)，具有以下特征：（1）點(diǎn)必在拋物線的準(zhǔn)線上；（2）為直角三角形，且；（3）．已知過拋物線焦點(diǎn)的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，過點(diǎn)，處的切線交于點(diǎn)，若點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，則直線的方程為
A．B．C．D．
9．已知為拋物線的焦點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，，分別是該拋物線在、兩點(diǎn)處的切線，，相交于點(diǎn)，設(shè)，，則
A．B．C．D．
二．多選題
10．拋物線的弦與過弦的端點(diǎn)的兩條切線所圍成的三角形常被稱為阿基米德三角形，阿基米德三角形有一些有趣的性質(zhì)，如：若拋物線的弦過焦點(diǎn)，則過弦的端點(diǎn)的兩條切線的交點(diǎn)在其準(zhǔn)線上．設(shè)拋物線，弦過焦點(diǎn)，為其阿基米德三角形，則下列結(jié)論一定成立的是
A．存在點(diǎn)，使得
B．
C．對于任意的點(diǎn)，必有向量與向量共線
D．面積的最小值為
三．填空題
11．已知點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上，過點(diǎn)的直線與在第一象限相切于點(diǎn)，記的焦點(diǎn)為，則直線的斜率是 ．
12．已知點(diǎn)和拋物線，過的焦點(diǎn)且斜率為的直線與交于，兩點(diǎn)．若，則 ．
13．拋物線的弦與過弦的端點(diǎn)的兩條切線所圍成的三角形常稱為阿基米德三角形，因?yàn)榘⒒椎伦钤缋帽平乃枷胱C明了：拋物線的弦與拋物線所圍成的封閉圖形的面積等于阿基米德三角形面積的．已知，為拋物線上兩點(diǎn)，則在點(diǎn)處拋物線的切線的斜率為 ．
四．解答題
14．如圖，等邊三角形的邊長為，且其三個(gè)頂點(diǎn)均在拋物線上．
（1）求拋物線的方程；
（2）設(shè)動直線與拋物線相切于點(diǎn)，與直線相交于點(diǎn)．證明以為直徑的圓恒過軸上某定點(diǎn)．
15．已知拋物線的焦點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，過且垂直于軸的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，的面積為2．
（1）求拋物線的方程；
（2）過作兩條直線與拋物線分別交于，和，，再分別以線段和為直徑作圓，兩圓的公共弦所在直線記為，試判斷是否過定點(diǎn)．若是，請求出該定點(diǎn)；若不是，請說明理由．
16．如圖，過點(diǎn)作拋物線的兩條切線，，切點(diǎn)分別是，，動點(diǎn)為拋物線上在，之間部分上的任意一點(diǎn)，拋物線在點(diǎn)處的切線分別交，于點(diǎn)，．
（1）若，證明：直線經(jīng)過點(diǎn)；
（2）若分別記，的面積為，，求的值．
17．在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線上一點(diǎn)，到準(zhǔn)線的距離與到原點(diǎn)的距離相等．
（1）求拋物線的方程；
（2）過不在軸上的點(diǎn)作拋物線的兩條切線，，切點(diǎn)分別為，，若，求證：直線過定點(diǎn)．
18．已知拋物線的焦點(diǎn)為，且與圓上點(diǎn)的距離的最小值為4．
（1）求；
（2）若點(diǎn)在上，，為的兩條切線，，是切點(diǎn)，求面積的最大值．
19．已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為8，且．
（Ⅰ）求拋物線的方程；
（Ⅱ）若點(diǎn)是拋物線準(zhǔn)線上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)作直線與拋物線相切于點(diǎn)，證明：．
20．已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1，且，，是拋物線上異于的兩點(diǎn)．
（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若直線，的斜率之積為，求證：直線恒過定點(diǎn)．
21．已知拋物線的焦點(diǎn)為，過的直線交拋物線于，兩點(diǎn)．
（Ⅰ）若以，為直徑的圓的方程為，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）過，分別作拋物線的切線，，證明：，的交點(diǎn)在定直線上．
22．已知拋物線的焦點(diǎn)為，、是拋物線上的兩動點(diǎn)，且．過、兩點(diǎn)分別作拋物線的切線，設(shè)其交點(diǎn)為．
（Ⅰ）證明為定值；
（Ⅱ）設(shè)的面積為，寫出的表達(dá)式，并求的最小值．
23．已知拋物線的焦點(diǎn)為，、是拋物線上的兩動點(diǎn)，且，
過、兩點(diǎn)分別作拋物線的切線，設(shè)其交點(diǎn)為．
（1）證明線段被軸平分；
（2）計(jì)算的值；
（3）求證：．
24．已知?jiǎng)狱c(diǎn)在軸上方，且到定點(diǎn)的距離比到軸的距離大1，
（Ⅰ）求動點(diǎn)的軌跡的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)的直線與曲線交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)，分別異于原點(diǎn)，在曲線的，兩點(diǎn)處的切線分別為，且，交于點(diǎn)，求證：在定直線上．
25．已知拋物線的焦點(diǎn)為，、是拋物線上的兩動點(diǎn)，且，過、兩點(diǎn)分別作拋物線的切線，設(shè)其交點(diǎn)為
（1）證明線段被軸平分；
（2）計(jì)算的值；
（3）求證．
26．已知拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)作直線交拋物線于、兩點(diǎn)；橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，點(diǎn)是它的一個(gè)頂點(diǎn)，且其離心率．
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)直線的斜率為，經(jīng)過、兩點(diǎn)分別作拋物線的切線、，若切線與相交于點(diǎn)．當(dāng)變化時(shí)，點(diǎn)的縱坐標(biāo)是否為定值？若是，求出這個(gè)定值；否則，說明理由．

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