第13講 雙變量問題 一．選擇題（共5小題）1．（2021?海淀區(qū)校級月考）若，則　　A． B． C． D．2．（2021?全國月考）已知實數(shù)，滿足，則下列結論一定正確的是　　A． B． C． D．3．（2021?鼓樓區(qū)校級二模）已知，，，若，則下列結論一定成立的是　　A． B． C． D．4．（2021春?順義區(qū)期末）已知函數(shù)，（其中．對于不相等的實數(shù)，，設，，給出下列三個結論：①對于任意不相等的實數(shù)，，都有；②對于任意的及任意不相等的實數(shù)，，都有；③對于任意的，存在不相等的實數(shù)，，使得．其中，所有正確結論的序號是　　A．① B．①③ C．②③ D．①②③5．（2021?龍鳳區(qū)校級月考）已知，不等式對于任意恒成立，則的取值范圍是　　A．， B．， C． D．，二．多選題（共1小題）6．（2021?武進區(qū)校級期中）已知正實數(shù)，滿足，則下列結論正確的是　　A． B． C． D．三．解答題（共45小題）7．（2021?揚州月考）已知函數(shù)，為的導函數(shù)．（1）當時，求函數(shù)的單調區(qū)間；（2）當時，求證：對任意的，，且，有．8．（2021?浙江月考）已知且，函數(shù)．（Ⅰ）當時，設的導函數(shù)，求的單調區(qū)間；（Ⅱ）若函數(shù)恰有兩個互異的零點，．（ⅰ）求實數(shù)的取值范圍；（ⅱ）求證：．9．（2021?南平月考）已知函數(shù)．（1）求f（x）的單調區(qū)間與極值．（2）設m，n為兩個不相等的正數(shù)，且mlnn﹣nlnm＝m﹣n，證明：mn＞e4．10．（2021?廣州月考）已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調性；（2）若，設為的導函數(shù)，若函數(shù)有兩個不同的零點，，求證：．11．（2021?和平區(qū)校級開學）已知函數(shù)．（Ⅰ）若在，處導數(shù)相等，證明：；（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，證明：；（Ⅲ）若，證明：對于任意，直線與曲線有唯一公共點．12．（2021春?浙江月考）已知函數(shù)（1）若函數(shù)有極值，求實數(shù)的取值范圍；（2）當時，若在，處導數(shù)相等，證明：；（3）若函數(shù)在上有兩個零點，，證明：．13．設函數(shù)，．（1）曲線在點，（2）處的切線與軸平行，求實數(shù)的值；（2）討論函數(shù)的單調性；（3）證明：若，則對任意，，，有．14．（2012春?順慶區(qū)校級月考）已知函數(shù)是奇函數(shù)，且 （1）．（1）求的解析式；（2）判斷函數(shù)的單調性，并證明你的結論；（3）若，，且．求證．15．（2021?湖北月考）已知函數(shù)的定義域為．（1）當取得最小值時，記函數(shù)在處的切線方程為．若恒成立且，求的最大值；（2）若有兩個極值點和，求證：．16．（2009?盧灣區(qū)二模）已知函數(shù)，．（1）證明：函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，并指出函數(shù)在區(qū)間上的單調性；（2）若函數(shù)的圖象與直線有兩個不同的交點，，其中，求的取值范圍．17．（2021?商丘二模）已知直線與函數(shù)的圖象交于兩個不同的點，，其橫坐標分別為，，且（Ⅰ）求的取值范圍；（Ⅱ）當時，證明．18．（2021?西湖區(qū)校級模擬）設函數(shù)有兩個極值點，，且．（1）求的取值范圍，并討論的單調性．（2）證明：．19．（2010?遼寧）已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調性；（2）設．如果對任意，，，求的取值范圍．20．（2015?南通校級模擬）已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調性；（2）設，若對任意、恒有，求的取值范圍．21．已知函數(shù)，．其中．．（1）討論的單調性；（2）設曲線與軸正半軸的交點為，曲線在點處的切線方程為，求證：對于任意的正實數(shù)，都有；（3）設，若關于的方程為實數(shù)）有兩個正實根，，求證：．22．（2015?天津）已知函數(shù)，，其中，且．（Ⅰ）討論的單調性；（Ⅱ）設曲線與軸正半軸的交點為，曲線在點處的切線方程為，求證：對于任意的正實數(shù)，都有；（Ⅲ）若關于的方程為實數(shù)）有兩個正實數(shù)根，，求證：．23．（2021?呼和浩特二模）已知函數(shù)．①討論的單調性；②設，證明：當時，；③函數(shù)的圖象與軸相交于、兩點，線段中點的橫坐標為，證明．24．（2021?定遠縣期末）已知函數(shù)．（1）討論的單調性；（2）若存在兩個極值點，，求證：．25．（2021?臨沂期中）已知函數(shù)．（1）討論的單調性；（2）若存在兩個極值點，，且不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．26．（2021春?新鄉(xiāng)期末）已知函數(shù)．（1）討論的單調性；（2）若存在兩個極值點，，且，求的取值范圍．27．（2021?湖北月考）已知函數(shù)（1）討論的單調性；（2）若存在兩個極值點，，證明：28．（2021?登封市校級月考）已知函數(shù)有兩個零點．（1）求的取值范圍；（2）已知圖象與圖象關于對稱，證明：當時，．（3）設，是兩個零點，證明：．29．（2010?湖南）已知函數(shù)，對任意的，恒有．（Ⅰ）證明：當時，；（Ⅱ）若對滿足題設條件的任意，，不等式（c）（b）恒成立，求的最小值．30．（2009?海南）已知函數(shù)．（1）如，求的單調區(qū)間；（2）若在，單調增加，在，單調減少，證明：．31．（2021春?深圳月考）已知函數(shù)，，，．（Ⅰ） 若直線與的圖象相切，求實數(shù)的值；（Ⅱ） 設，討論曲線與曲線公共點的個數(shù)．（Ⅲ） 設，比較與的大小，并說明理由．32．（2006?四川）已知函數(shù)，的導函數(shù)是．對任意兩個不相等的正數(shù)、，證明：（Ⅰ）當時，；（Ⅱ）當時，．33．（2013?揭陽二模）已知，函數(shù)．（1）求的單調區(qū)間；（2）當時，證明：方程在區(qū)間上有唯一解；（3）若存在均屬于區(qū)間，的，且，使，證明：．34．（2021?金安區(qū)校級月考）已知函數(shù)．（1）若函數(shù)存在兩個極值點，，求的取值范圍；（2）在（1）的條件下，若不等式恒成立，求的取值范圍．35．（2021?信陽月考）已知函數(shù)，其中為正實數(shù)．（Ⅰ）若函數(shù)在處的切線斜率為2，求的值；（Ⅱ）討論函數(shù)的單調性；（Ⅲ）若函數(shù)有兩個極值點，，求證：．36．（2021?和平區(qū)校級月考）已知函數(shù)．（1）當時，求曲線在點，（1）處的切線方程；（2）求的單調區(qū)間；（3）若函數(shù)有兩個極值點，，求證：．37．（2021?茂名月考）已知函數(shù)．（1）當時，求曲線在點，（1）處的切線方程；（2）若，是函數(shù)的兩個極值點，證明：．38．（2021?沈陽月考）已知函數(shù)有兩個零點，，且．（1）求證：；（2）求證：．39．（2021?海淀區(qū)校級月考）已知，函數(shù)．（Ⅰ）當時，求曲線在點， （1）處的切線方程；（Ⅱ）求的極值點個數(shù)；（Ⅲ）若存在，使得對任意成立，求實數(shù)的取值范圍．40．（2021?重慶月考）已知函數(shù)有三個不同的極值點，，，且．（1）求實數(shù)的取值范圍；（2）若，求的最大值．41．（2021?浙江月考）已知，函數(shù)．（Ⅰ）討論函數(shù)的單調性；（Ⅱ）若有兩個極值點，且，試把表示成的函數(shù)，并證明此函數(shù)存在極值點，，且．42．（2021?廣州月考）已知函數(shù)．（1）討論的單調性；（2）當時，函數(shù)存在兩個零點，，求證：．43．（2021?長治月考）已知函數(shù)，．（1）討論的單調性；（2）設有兩個極值點，，求證：．44．（2021?河北月考）已知，．（1）若，求的取值范圍；（2）若，且，證明：．45．（2021?涪城區(qū)校級開學）已知函數(shù)．（1）討論在的單調性；（2）若函數(shù)存在兩個極值點，，證明：．46．（2021?光明區(qū)月考）已知函數(shù)，．（1）當時，求函數(shù)的單調區(qū)間；（2）當，時，函數(shù)有兩個極值點，，證明：．47．（2021春?洛陽期中）已知函數(shù)，（1）討論函數(shù)的單調性；（2）若“，，”為真命題，求實數(shù)的取值范圍．48．（2021?河南月考）已知函數(shù)，．（Ⅰ）若曲線在處的切線在軸上的截距為，求的值；（Ⅱ）證明：對于任意兩個正數(shù)，，．49．（2021?朝陽區(qū)校級月考）已知函數(shù)，．（Ⅰ）求函數(shù)的單調區(qū)間；（Ⅱ）若關于的不等式在，上恒成立．求的取值范圍；（Ⅲ）若實數(shù)滿足且，證明：．50．（2021春?浙江期中）已知函數(shù)．（Ⅰ）討論函數(shù)的單調性；（Ⅱ）若函數(shù)有兩個零點，．（?。┣?/span>的范圍；（ⅱ）若，求證：．51．（2021春?麗水期中）已知函數(shù)，，．（Ⅰ）若對任意，，不等式恒成立，求的取值范圍；（Ⅱ）若函數(shù)有3個不同的零點，，．（?。┣笞C：；（ⅱ）求證：．
 

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