LEARNING OBJECTIVES
會運用勾股定理求線段長及解決簡單的實際問題(重點）.
能從實際問題中抽象出直角三角形這一幾何模型，利用勾股定理建立已知邊與未知邊長度之間的聯(lián)系，并進一步求出未知邊長（難點）.
會用勾股定理解決簡單的實際問題
例1 一個門框的尺寸如圖所示，一塊長3m,寬2.2m的長方形薄木板能否從門框內(nèi)通過?為什么?
解：在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理，
AC2=AB2+BC2=12+22=5
因為AC大于木板的寬2.2m,所以木板能從門框內(nèi)通過.
分析：可以看出木板橫著，豎著都不能通過，只能斜著.門框AC的長度是斜著能通過的最大長度，只要AC的長大于木板的寬就能通過.
解：在Rt△AOB中，根據(jù)勾股定理得
OB2=AB2-OA2=2.62-2.42=1，
在Rt△COD中，根據(jù)勾股定理得
OD2=CD2-OC2=2.62-(2.4-0.5)2=3.15,
∴梯子的頂端沿墻下滑0.5m時，梯子底端并不是也外移0.5m，而是外移約0.77m.
例2 如圖，一架2.6m長的梯子AB斜靠在一豎直的墻AO上，這時AO為2.4m. 如果梯子的頂端A沿墻下滑0.5m,那么梯子底端B也外移0.5m嗎?
利用勾股定理解決實際問題的一般步驟：
（1）讀懂題意，分析已知、未知間的關(guān)系；
（2）構(gòu)造直角三角形；
（3）利用勾股定理等列方程；
例3.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中有兩點A(-3,5)，B(1,2)求A,B兩點間的距離.
解：如圖，過點A作x軸的垂線,過點B作x,y軸的垂線.相交于點C,連接AB.∴AC=5-2=3，BC=3+1=4，在Rt△ABC中，由勾股定理得∴A,B兩點間的距離為5.
【點睛】兩點之間的距離公式：一般地，設(shè)平面上任意兩點
如圖，在平面直角坐標(biāo)系中有兩點A(5，0)和B(0，4).求這兩點之間的距離.
例4.如圖，有兩棵樹，一棵樹高AC是10米，另一棵樹高BD是4米，兩樹相距8米（即CD=8米），一只小鳥從一棵樹的樹梢A點處飛到另一棵樹的樹梢B點處，則小鳥至少要飛行多少米？
如圖，一支鉛筆放在圓柱體筆筒中，筆筒的內(nèi)部底面直徑是9cm，內(nèi)壁高12cm，則這只鉛筆的長度可能是（　?。〢.9cm B.12cm C.15cm D.18cm
3.已知點(2,5),(-4,-3),則這兩點的距離為_______.
在一次臺風(fēng)的襲擊中，小明家房前的一棵大樹在離地面6米處斷裂，樹的頂部落在離樹根底部8米處.你能告訴小明這棵樹折斷之前有多高嗎？
解：根據(jù)題意可以構(gòu)建一直角三角形模型，如圖.在Rt△ABC中，AC=6米，BC=8米，由勾股定理得
∴這棵樹在折斷之前的高度是10+6=16（米）.
例5.如圖，甲乙兩船同時從A港出發(fā)，甲船沿北偏東35°的方向，航速是12海里/時，2小時后，兩船同時到達了目的地．若C、B兩島的距離為30海里，問乙船的航速是多少？
例6:在我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載了一道有趣的問題這個問題意思是：有一個水池，水面是一個邊長為10尺的正方形,在水池的中央有一根新生的蘆葦，它高出水面1尺，如果把這根蘆葦拉向岸邊，它的頂端恰好到達岸邊的水面，問這個水池的深度和這根蘆葦?shù)拈L度各是多少？
解:設(shè)水池的深度AC為X米,則蘆葦高AD為 (X+1)米.
根據(jù)題意得:BC2+AC2=AB2
∴52+X2 =(X+1)2
25+X2=X2+2X+1
∴X+1=12+1=13(米)
答:水池的深度為12米,蘆葦高為13米.
會用勾股定理證明HL,會用數(shù)軸表示無理數(shù)
思考 在八年級上冊中，我們曾經(jīng)通過畫圖得到結(jié)論：斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等．學(xué)習(xí)了勾股定理后，你能證明這一結(jié)論嗎？
已知：如圖，在Rt△ABC 和Rt△A ′ B ′ C ′ 中，∠C=∠C ′=90°，AB=A′ B ′，AC=A′ C′ ．　　求證：△ABC≌△A ′B ′C′ ．
　　證明：在Rt△ABC 和Rt△A ′B ′C ′中， ∠C=∠C′=90°， 根據(jù)勾股定理得
可以構(gòu)造直角三角形,作出邊長為無理數(shù)的斜邊，就能在數(shù)軸上畫出表示該無理數(shù)的點.
用同樣的方法作 呢？
問題2 長為 的線段能是直角邊的長都為正整數(shù)的直角三角形的斜邊嗎？
也可以使 OA = 2，AB = 3，同樣可以求出 C 點.
利用勾股定理表示無理數(shù)的方法:
（1）利用勾股定理把一個無理數(shù)表示成直角邊是兩個正整數(shù)的直角三角形的斜邊.
（2）以原點為圓心，以無理數(shù)斜邊長為半徑畫弧與數(shù)軸存在交點，在原點左邊的點表示是負無理數(shù)，在原點右邊的點表示是正無理數(shù).
例7 如圖，數(shù)軸上點 A 所表示的數(shù)為 a，求 a 的值.
解：∵圖中的直角三角形的兩直角邊長為1和2，∴斜邊長為 ，即 －1 到 A 的距離是 ，∴點 A 所表示的數(shù)為 .
易錯點撥：求點表示的數(shù)時注意畫弧的起點不從原點起，則所表示的數(shù)不是斜邊長.
1. 如圖，點 A 表示的實數(shù)是 (　　)
2.如圖，在矩形 ABCD 中，AB = 3，AD = 1，AB 在數(shù)軸上，若以點 A 為圓心，對角線 AC 的長為半徑作弧交數(shù)軸于點 M，則點 M 表示的數(shù)為(　　)
3. 在數(shù)軸上畫出表示 的點.
例8:矩形ABCD如圖折疊，使點D落在BC邊上的點F處，已知AB=8，BC=10，求折痕AE的長。
則CE為 (8－ X).
由題意可知:EF=DE=X,
∵∠B=90° ∴ AB2+ BF2＝AF2
82+ BF2＝102 ∴BF＝6
∴CF＝BC－BF＝10－6＝4
∵∠C=90° ∴ CE2+CF2＝EF2
(8－ X)2+42=X2
64 －16X+X2+16=X2
AC+CB >AB（兩點之間線段最短）
思考 在立體圖形中，怎么尋找最短線路呢？
例9.有一個圓柱形油罐，要以A點環(huán)繞油罐建梯子，正好建在A點的正上方點B處,問梯子最短需多少米(已知油罐的底面半徑是2m,高AB是5m,π取3）?
解：油罐的展開圖如圖，則AB′為梯子的最短距離. ∵AA′=2×3×2=12, A′B′=5,在Rt△AA′B′中，由勾股定理得即梯子最短需13米.
【分析】立體圖形中求兩點間的最短距離，一般把立體圖形展開成平面圖形，連接兩點，根據(jù)兩點之間線段最短確定最短路線.
變式.如圖，有一個圓柱體，它的高為12厘米，底面半徑為3厘米，在圓柱下底面的A點有一只螞蟻，它想吃到上底面與A點相對的B處的食物，需要爬行的最短路程是多少?(π的值取3)
如圖，有一個圓柱體，它的高為12厘米，底面半徑為3厘米，在圓柱下底面的A點有一只螞蟻，它想吃到上底面與A點相對的B處的食物，需要爬行的最短路程是多少?(π的值取3)
1、如圖，是一個邊長為1的正方體硬紙盒，現(xiàn)在A處有一只螞蟻，想沿著正方體的外表面到達B處吃食物，求螞蟻爬行的最短距離是多少.
2.如圖是一個三級臺階，它的每一級的長、寬和高分別等于55cm，10cm和6cm，A和B是這個臺階的兩個相對的端點，A點上有一只螞蟻，想到B點去吃可口的食物.這只螞蟻從A點出發(fā)，沿著臺階面爬到B點，最短線路是多少？
解：臺階的展開圖如圖，連接AB.
在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理得
AB2=BC2＋AC2＝552＋482＝5329,
例11、如圖是一個三級臺階，它的每一級的長寬和高分別為20dm、3dm、2dm，A和B是這個臺階兩個相對的端點，A點有一只螞蟻，想到B點去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺階面爬到B點最短路程是多少？
∵ AB2=AC2+BC2=625,∴ AB=25.
應(yīng)用勾股定理解決樓梯上鋪地毯問題
①展平：只需展開包含相關(guān)點的面?？赡艽嬖诙喾N展開法。②定點：確定相關(guān)點的位置。③連線：連接相關(guān)點，構(gòu)建直角三角形。④計算：利用兩點之間線段最短，及勾股定理求解
幾何體的表面路徑的最短的問題，一般將立體圖形展開為平面圖形來計算。①展平：只需展開包含相關(guān)點的面?？赡艽嬖诙喾N展開法。②定點：確定相關(guān)點的位置。③連線：連接相關(guān)點，構(gòu)建直角三角形。④計算：利用兩點之間線段最短，及勾股定理求解。
展開思想（求立體圖形中最短路程問題的“四步法”）

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17.1 勾股定理

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