在同一平面內(nèi)，兩點(diǎn)之間,線段最短
從行政樓A點(diǎn)走到教學(xué)樓B點(diǎn)怎樣走最近？
你能說出這樣走的理由嗎？
1. 靈活會(huì)用勾股定理求解立體圖形上兩點(diǎn)之間的最短距離問題.
2. 運(yùn)用勾股定理及其逆定理解決簡單的實(shí)際問題.
3.培養(yǎng)學(xué)生的空間想象力，并增強(qiáng)數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用意識(shí).
以小組為單位,研究螞蟻在圓柱體的A點(diǎn)沿側(cè)面爬行 到B點(diǎn)的問題.
討論 1.螞蟻怎樣沿圓柱體側(cè)面從A點(diǎn)爬行到B點(diǎn)？ 2 .有最短路徑嗎？若有，哪條最短？你是怎樣找到的？
我要從A點(diǎn)沿側(cè)面爬行到B點(diǎn)，怎么爬呢？大家快幫我想想呀！
利用勾股定理解答最短路徑問題
想一想 螞蟻?zhàn)吣囊粭l路線最近？
若已知圓柱體高為12 cm，底面周長為18 cm，則:
小結(jié)：立體圖形中求兩點(diǎn)間的最短距離，一般把立體圖形展開成平面圖形，連接兩點(diǎn)，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短確定最短路線.
AB2=122+(18÷2)2 所以AB=15.
例1 有一個(gè)圓柱形油罐，要以A點(diǎn)環(huán)繞油罐建梯子，正好建在A點(diǎn)的正上方點(diǎn)B處，問梯子最短需多少米?(已知油罐的底面半徑是2m，高AB是5m，π取3）
解：油罐的展開圖如圖，則AB'為梯子的最短距離. 因?yàn)锳A'=2×3×2=12, A'B'=5m,所以AB'=13m. 即梯子最短需13米.
解:如圖所示,將圓柱側(cè)面沿AC剪開并展平,連接AB,則AB的長即為蜘蛛爬行的最短路程.根據(jù)題意得AC=20 cm,BC=?×2×π×5=15(cm).在△ABC中,∠ACB=90°,由勾股定理得AB2=BC2+AC2=152+202=252, 所以AB=25 cm,最短路程是25cm.?
例2 學(xué)習(xí)了最短問題，小明靈機(jī)一動(dòng)，拿出了牛奶盒，把小螞蟻放在了點(diǎn)A處，并在點(diǎn)B處放上了點(diǎn)兒火腿腸粒，你能幫小螞蟻找到完成任務(wù)的最短路程嗎？
AB12 =102 +（6+8）2 =296
AB22= 82 +（10+6）2 =320
AB32= 62 +（10+8）2 =360
因?yàn)?60＞320＞296所以AB1 最短.
點(diǎn)A和點(diǎn)B分別是棱長為10cm的正方體盒子上相對的兩點(diǎn),一只螞蟻在盒子表面由A處向B處爬行,所走最短路程的平方是多少？
解:如圖所示在Rt△ABC中,利用勾股定理可得，AB 2 =AC2+BC2=20 2+102= 500
李叔叔想要檢測雕塑底座正面的AD邊和BC邊是否分別垂直于底邊AB，但他隨身只帶了卷尺.（1）你能替他想辦法完成任務(wù)嗎？
解:連接對角線AC，只要分別量出AB、BC、AC的長度即可.
AB2+BC2=AC2
利用勾股定理的逆定理解答實(shí)際問題
（2）量得AD長是30 cm，AB長是40 cm，BD長是50 cm. AD邊垂直于AB邊嗎？
解:AD2+AB2=302+402=502=BD2，
得∠DAB=90°，AD邊垂直于AB邊.
（3）若隨身只有一個(gè)長度為20 cm的刻度尺，能有辦法檢驗(yàn)AD邊是否垂直于AB邊嗎？
解:在AD上取點(diǎn)M,使AM=9,在AB上取點(diǎn)N使AN=12,測量MN是否是15，是，就是垂直；不是，就是不垂直.
例 如圖，是一農(nóng)民建房時(shí)挖地基的平面圖，按標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)為長方形，他在挖完后測量了一下，發(fā)現(xiàn)AB＝DC＝8m，AD＝BC＝6m，AC＝9m，請你運(yùn)用所學(xué)知識(shí)幫他檢驗(yàn)一下挖的是否合格？
解：因?yàn)锳B＝DC＝8m，AD＝BC＝6m，所以AB2＋BC2＝82＋62＝64＋36＝100.又因?yàn)锳C2＝92＝81，所以AB2＋BC2≠AC2，∠ABC≠90°，所以該農(nóng)民挖的不合格．
有一個(gè)高為1.5米，半徑是1米的圓柱形油桶，在靠近邊壁的地方有一小孔，從孔中插入一鐵棒，已知鐵棒在油桶外的部分為0.5米，問這根鐵棒最長是多少米？
解:圖形可簡化為左下圖，設(shè)伸入油桶中的長度為x米,即AB=x米，而AC=2米，BC=1.5米，有x2=1.52+22 ,x =2.5
故，最長是2.5+0.5=3(米)
答:這根鐵棒的最長3米，最短2米.
故，最短是1.5+0.5=2(米)
當(dāng)最短時(shí):x =1.5
如圖是一個(gè)滑梯示意圖，若將滑道AC水平放置，則剛好與AB一樣長.已知滑梯的高度CE=3m，CD=1m，試求滑道AC的長.
故滑道AC的長度為5m.
解：設(shè)滑道AC的長度為x m，則AB的長也為x m，AE的長度為（x-1）m.
在Rt△ACE中，∠AEC=90°，
由勾股定理得AE2+CE2=AC2，
即（x-1）2+32=x2，
利用勾股定理解答長度問題
甲、乙兩位探險(xiǎn)者到沙漠進(jìn)行探險(xiǎn)，某日早晨8：00甲先出發(fā)，他以6km/h的速度向正東行走，1小時(shí)后乙出發(fā)，他以5km/h的速度向正北行走.上午10：00，甲、乙兩人相距多遠(yuǎn)？
解:如圖:已知A 是甲、乙的出發(fā)點(diǎn)，10:00甲到達(dá)B 點(diǎn),乙到達(dá)C 點(diǎn).則:
AB =2×6=12(千米),
AC =1×5=5(千米).
所以BC =13(千米)
即甲乙兩人相距13千米.
BC2=AC2+AB2 =52+122=169=132
例 如圖，四邊形ABCD中，AB⊥AD，已知AD=3cm，AB=4cm，CD=12cm，BC=13cm，求四邊形ABCD 的面積.
如圖，在四邊形ABCD中，AC⊥DC，△ADC的面積為30 cm2，DC＝12 cm，AB＝3cm，BC＝4cm，求△ABC的面積.
解:因?yàn)镾△ACD=30 cm2，DC＝12 cm.所以AC=5 cm.又因?yàn)樗浴鰽BC是直角三角形, ∠B是直角.所以
（2018?黃岡）如圖，圓柱形玻璃杯高為14cm，底面周長為32cm，在杯內(nèi)壁離杯底5cm的點(diǎn)B處有一滴蜂蜜，此時(shí)一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿3cm與蜂蜜相對的點(diǎn)A處，則螞蟻從外壁A處到內(nèi)壁B處的最短距離為____cm（杯壁厚度不計(jì)）．
解析：將杯子側(cè)面展開，作A關(guān)于EF的對稱點(diǎn)A′，連接A′B，則A′B即為最短距離，A′B= ．故答案為20．
1.五根小木棒，其長度分別為7，15，20，24，25，現(xiàn)將他們擺成兩個(gè)直角三角形，其中擺放方法正確的是 （　?。?br/>A. B. C. D.
2.如圖是醫(yī)院、公園和超市的平面示意圖，超市在醫(yī)院的南偏東25°的方向，且到醫(yī)院的距離為300 m，公園到醫(yī)院的距離為400 m，若公園到超市的距離為500 m，則公園在醫(yī)院的 ( )A.北偏東75°的方向上 B.北偏東65°的方向上C.北偏東55°的方向上 D.無法確定
3.如圖，某探險(xiǎn)隊(duì)的A組由駐地O點(diǎn)出發(fā)，以12km/h的速度前進(jìn)，同時(shí)，B組也由駐地O出發(fā)，以9km/h的速度向另一個(gè)方向前進(jìn)，2h后同時(shí)停下來，這時(shí)A，B兩組相距30km．此時(shí)，A，B兩組行進(jìn)的方向成直角嗎？請說明理由.
解：因?yàn)槌霭l(fā)2小時(shí)，A組行了12×2=24(km)，B組行了9×2=18(km)，又因?yàn)锳，B兩組相距30km，且有242+182=302，所以A，B兩組行進(jìn)的方向成直角．
4.在城市街路上速度不得超過70千米/時(shí)，一輛小汽車某一時(shí)刻行駛在路邊車速檢測儀的北偏東30°距離30米處，過了2秒后行駛了50米，此時(shí)小汽車與車速檢測儀間的距離為40米. 問：2秒后小汽車在車速檢測儀的哪個(gè)方向?這輛小汽車超速了嗎?
解：小汽車在車速檢測儀的南偏東60°方向或北偏西60°方向.
25米/秒=90千米/時(shí)>70千米/時(shí)所以小汽車超速了.
如圖，四邊形ABCD中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13,求四邊形ABCD的面積.
分析：連接AC，把四邊形分成兩個(gè)三角形.先用勾股定理求出AC的長度，再利用勾股定理的逆定理判斷△ACD是直角三角形.
在Rt△ABC中，在△ACD中，AC2+CD2=52+122=169=AD2，所以△ACD是直角三角形，且∠ACD=90°.所以S四邊形ABCD=SRt△ABC+SRt△ACD=6+30=36.
如圖，在△ABC中，AB：BC：CA=3：4：5且周長為36cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿AB邊向B點(diǎn)以每秒2cm的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C沿CB邊向點(diǎn)B以每秒1cm的速度移動(dòng)，如果同時(shí)出發(fā)，則過3s時(shí)，求PQ的長．
解：設(shè)AB為3xcm，BC為4xcm，AC為5xcm，因?yàn)橹荛L為36cm，即AB+BC+AC=36cm，所以AB=9cm，BC=12cm，AC=15cm.因?yàn)锳B2+BC2=AC2，所以△ABC是直角三角形，過3秒時(shí)，BP=9-3×2=3(cm)，BQ=12-1×3=9(cm)，在Rt△PBQ中，由勾股定理得
所以3x+4x+5x=36，
勾股定理及逆定理的應(yīng)用
認(rèn)真審題,畫出符合題意的圖形,熟練運(yùn)用勾股定理及其逆定理來解決問題
解決不規(guī)則圖形面積問題

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3 勾股定理的應(yīng)用

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