本節(jié)主要根據(jù)平行四邊形的判定定理進行證明四邊形是平行四邊形，以及利用平行四邊形的性質(zhì)得出邊和角之間的關(guān)系，以證明題為主，讓同學們更好的運用判定定理．
模塊一：平行四邊形判定
知識精講
平行四邊形判定定理
①如果一個四邊形的兩組對邊分別相等，那么這個四邊形是平行四邊形．
簡述為：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形．
②如果一個四邊形的一組對邊平行且相等，那么這個四邊形是平行四邊形．
簡述為：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．
③如果一個四邊形的兩條對角線互相平分，那么這個四邊形是平行四邊形．
簡述為：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形．
④如果一個四邊形的兩組對角分別相等，那么這個四邊形是平行四邊形．
簡述為：兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形．
例題解析
例1.判斷題：
（1）夾在兩平行線間的平行線段長度相等（）
（2）對角線互相平分的四邊形的對邊一定相等（）
（3）一組對邊相等且一條對角線平分另一條對角線的四邊形是平行四邊形（）
（4）一組對角相等，另一組對角互補的四邊形是平行四邊形（）
例2．（2020·山東濟寧市·八年級期末）下列給出的條件中，不能判斷四邊形ABCD是平行四邊形的是（ ）
A．AB∥CD，AD＝BCB．∠A＝∠C，∠B＝∠D
C．AB∥CD，AD∥BCD．AB＝CD，AD＝BC
例3．（2020·廣東佛山市·八年級期末）小玲的爸爸在釘制平行四邊形框架時，采用了一種方法：如圖所示，將兩根木條AC、BD的中點重疊并用釘子固定，則四邊形ABCD就是平行四邊形，這種方法的依據(jù)是（ ）
A．對角線互相平分的四邊形是平行四邊形
B．一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形
C．兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形
D．兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形
例4．（2018·河北石家莊市·石家莊二中八年級期中）如圖，四邊形ABCD的對角線相交于點O，AO=CO，請?zhí)砑右粋€條件_________（只添一個即可），使四邊形ABCD是平行四邊形．
例5．（2020·山東德州市·八年級期中）若AD＝8，AB＝4，那么當BC＝___，CD＝___時，四邊形ABCD是平行四邊形
例6．（2020·農(nóng)安縣小城子鄉(xiāng)第三中學八年級月考）如圖，在?ABCD中，EC平分∠BCD，交AD邊于點E，AE＝3，BC＝5，則AB的長等于_____．
例7．（2019·河南洛陽市·八年級期末）如圖，已知AB//CD，BE丄AD，垂足為點E，CF丄AD，垂足為點F，并且AF=DE．
求證：四邊形是平行四邊形．
例8．（2020·安陽市第十中學八年級期中）如圖，在?ABCD中，E、F分別是AB、CD的中點，求證：四邊形EBFD是平行四邊形．
例9.如圖，在平行四邊形ABCD中，EF是對角線BD的三等分點．求證：四邊形AECF是平行四邊形（請用兩種方法證明）．
例10.如圖，ABCD中，AF=CE，MF∥NE．求證：EF和MN互相平分．
例11.已知四邊形ABCD，現(xiàn)有條件：①AB∥DC；②AB＝DC；③AD∥BC；④AD＝BC；⑤∠A＝∠C；⑥∠B＝∠D．從中取兩個條件加以組合，能推出四邊形ABCD是平行四邊形的有哪幾種情形?請具體寫出這些組合．
例12.已知：AC是ABCD的一條對角線，BM⊥AC，DN⊥AC，垂足分別是M、N．
求證：四邊形BMDN是平行四邊形．
例13.已知：如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，AD=BC，點E是BC的中點，求證：AB∥DE，∠C=∠AEB．
例14.如圖，在ABCD中，∠DAB=60°，點E、F分別在CD、AB的延長線上，且AE=AD，
CF=CB．（1）求證：四邊形AFCE是平行四邊形；（2）若去掉已知條件的∠DAB=60°，上述的結(jié)論還成立嗎?若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由．
例15.已知在ABCD中，E，F(xiàn)是對角線BD上的兩點，BE=DF，點G、H分別在BA和DC的延長線上，且AG=CH，聯(lián)結(jié)GE，EH，HF，F(xiàn)G，求證：四邊形GEHF是平行四邊形．若G、H分別在線段BA，DC上，其余條件不變，則（1）結(jié)論否成立?（說明理由）．
例16.如圖所示，平行四邊形ABCD中，AE⊥BC、CF⊥AD，DN=BM．求證：EF與MN互相平分．
例17.如圖，過ABCD的頂點A的直線（形外），分別過B、C、D作直線的垂線，E、F、G為垂足．求證：CF=BE+DG．
例18.如圖，的對角線AC、BD交于點O，E、F分別在BC、AD上，且BE=BC，DF=AD，AE、CF分別交BD于點M、N，求證：四邊形AMCN是平行四邊形．
例19.如圖所示，平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD交于點O，AE⊥BD于E，BF⊥AC于F，CG⊥BD于G，DH⊥AC于H．求證：四邊形EFGH是平行四邊形．
例20.如圖，以△ABC的三邊分別作等邊△DAC、△ABE，△BCF，求證：四邊形ADFE是平行四邊形．
例21.已知：Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AE平分∠CAB交CD于F，過F作FH∥AB，交BC于H．求證：CE=BH．
模塊二：綜合題
例題解析
例1.在ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，過O點任意作兩條直線交ABCD的AB、CD邊于E、F，交BC、DA邊于G、H，那么四邊形EGFH是什么圖形?證明你的結(jié)論．
例2.如圖，ABCD中，DE⊥AB于E，BC=2AB，M是BC的中點．試求∠EMC與∠BEM的數(shù)量關(guān)系．
例3.平面直角坐標系中有三點A（2，1），B（3，1），C（4，3），求平面內(nèi)第四點D，使得以A、B、C、D為頂點的四邊形是平行四邊形．
例4.已知平面內(nèi)有兩點A（，0）、B（3，0），P點在y軸上，M點在直線上，若以A、B、P、M為頂點的四邊形是平行四邊形，求M點的坐標．
例5.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=6，動點P從點A開始沿邊AC向點C以每秒1個單位長度的速度運動，頂點Q從點C開始沿邊CB向點B以每秒2個單位長度的速度運動，過點P作PD∥BC，交AB于點D，聯(lián)結(jié)PQ，點P、Q分別從點A、C同時出發(fā)，當其中一點到達端點時，另一點隨之停止移動，設運動的時間是t秒（t≥0）．
（1）直接用含t的代數(shù)式分別表示：BQ=___________，PD=__________；
（2）是否存在t的值，使四邊形PDBQ是平行四邊形?若存在，求出t的值，若不存在，試說明理由．
例6.如圖，在平面直角坐標系中，點是坐標原點，四邊形是平行四邊形，點的坐標為，點在軸的正半軸上，且OA=OC，直線交軸于點，邊交軸于點．
（1）求直線的解析式；
（2）聯(lián)結(jié)，動點從點出發(fā)，沿折線方向以2個單位/秒的速度向終點勻速運動，設△的面積為，點的運動時間為秒，求與之間的函數(shù)關(guān)系式（要求寫出自變量的取值范圍）．
例7.已知：反比例函數(shù)和一次函數(shù)，其中一次函數(shù)的圖形經(jīng)過點．
（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）已知反比例函數(shù)和一次函數(shù)的圖像交于第一象限的點A、P（2，0），平面內(nèi)存在一點Q，使得四邊形AOPQ是平行四邊形，求Q點的坐標．
例8.已知：如圖，四邊形是平行四邊形，AB =BC，，．繞頂點逆時針旋轉(zhuǎn)，邊與射線相交于點（點與點不重合），邊與射線相交于點．
（1）當點在線段上時，求證：；
（2）設，的面積為．當點在線段上時，求與之間的函數(shù)關(guān)系
式，寫出函數(shù)的定義域；
（3）聯(lián)結(jié)，如果以、、、為頂點的四邊形是平行四邊形，求線段的長．
例9.如圖1，P為Rt△ABC所在平面內(nèi)任意一點（不在直線AC上），∠ACB=90°，M為AB邊中點．操作：以PA、PC為鄰邊作平行四邊形PADC，連接PM并延長到點E，使ME=PM，聯(lián)結(jié)DE．
（1）請你利用圖2，選擇Rt△ABC內(nèi)的任意一點P按上述方法操作；
（2）經(jīng)歷（1）之后，觀察兩圖形，猜想線段DE和線段AC之間有怎樣的位置關(guān)系?請選擇其中的一個圖形證明你的猜想；
（3）觀察兩圖，你還可得出和DE相關(guān)的什么結(jié)論?請直接寫出．
隨堂檢測
1.若AD是△ABC的中線，延長AD到E使DE=AD，聯(lián)結(jié)BE、CE，那么四邊形ABEC是_____四邊形．
2.如圖，直線與雙曲線交于A、C兩點，將直線繞點O順時針旋轉(zhuǎn)°（0°＜≤45°），
與雙曲線交于D兩點，則四邊形ABCD的形狀一定是_____________，理由是________________________．
3.四邊形的四條邊長分別是a，b，c，d，其中a，c為對邊，且滿足，則這個四邊形一定是（ ）
A．兩組角分別相等的四邊形 B．平行四邊形
C．對角線互相垂直的四邊形 D．對角線相等的四邊形
4.已知四邊形ABCD的對角線相交于O，給出下列5個條件①AB∥CD，②AD∥BC，③AB=CD，④∠BAD=∠DCB，從這四個條件中任選2個一組，能推出四邊形ABCD為平行四邊形的有（ ）
A．6組 B．5組 C．4組 D．3組
5.如圖，在ABCD中，E、F分別是AB、CD上點，AE=CF，M、N分別是DE、BF的中點，求證：四邊形ENFM是平行四邊形．
6.已知：如圖，在△ABC中，BD平分∠ABC，ED∥BC，EF∥AC，求證：EB=FC．
7.如圖，四邊形EFGH是平行四邊形ABCD的內(nèi)接平行四邊形，即頂點E、F、G、H分別在平行四邊形ABCD的四邊上．求證：這兩個平行四邊形的對角線交于同一點．
8.如圖，在ABCD中，E、F是對角線BD上的兩點，AE⊥BC，CF⊥AD．求證：四邊形AECF是平行四邊形．
9.已知平行四邊形和平行四邊形，求證：．
10.如圖，在平行四邊形中，，的平分線交于點，的平分線交于點F，聯(lián)結(jié)EF．求證：．
11.如圖，在四邊中，形且，，點分別從同時出發(fā)，點以的速度由向運動，點以的速度由向運動，幾秒時，四邊形是平行四邊形?
12.如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為A(3, 0)，點B的坐標為A(0, 4)．
（1）求直線AB的解析式；
（2）點C是線段AB上一點，點O為坐標原點，點D在第二象限，且四邊形BCOD 為平行四邊形，且BC=BD，求點D坐標；
（3）在（2）的條件下，點E在x軸上，點P在直線AB上，且以B、D、E、P為頂點的四邊形是平行四邊形，請寫出所有滿足條件的點P的坐標．
13.如圖所示，在平行四邊形ABCD中，BC=2AB，DE⊥AB，M是BC邊的中點，∠BEM=50°，則∠B的大小是多少?
第10講 平行四邊形判定及綜合
本節(jié)主要根據(jù)平行四邊形的判定定理進行證明四邊形是平行四邊形，以及利用平行四邊形的性質(zhì)得出邊和角之間的關(guān)系，以證明題為主，讓同學們更好的運用判定定理．
模塊一：平行四邊形判定
知識精講
平行四邊形判定定理
①如果一個四邊形的兩組對邊分別相等，那么這個四邊形是平行四邊形．
簡述為：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形．
②如果一個四邊形的一組對邊平行且相等，那么這個四邊形是平行四邊形．
簡述為：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．
③如果一個四邊形的兩條對角線互相平分，那么這個四邊形是平行四邊形．
簡述為：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形．
④如果一個四邊形的兩組對角分別相等，那么這個四邊形是平行四邊形．
簡述為：兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形．
例題解析
例1.判斷題：
（1）夾在兩平行線間的平行線段長度相等（）
（2）對角線互相平分的四邊形的對邊一定相等（）
（3）一組對邊相等且一條對角線平分另一條對角線的四邊形是平行四邊形（）
（4）一組對角相等，另一組對角互補的四邊形是平行四邊形（）
【難度】★
【答案】（1）正確； （2）正確； （3）錯誤； （4）錯誤．
【解析】（1）夾在兩平行線間的平行線段組成平行四邊形，故長度相等，正確；
（2）對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，對邊一定相等，正確；
（3）一組對邊相等且一條對角線平分另一條對角線的四邊形不一定是平行四邊形，錯誤；（4）一組對角相等，另一組對角互補的四邊形不一定是平行四邊形，錯誤．
【總結(jié)】本題考查平行四邊形的判定方法的運用．
例2．（2020·山東濟寧市·八年級期末）下列給出的條件中，不能判斷四邊形ABCD是平行四邊形的是（ ）
A．AB∥CD，AD＝BCB．∠A＝∠C，∠B＝∠D
C．AB∥CD，AD∥BCD．AB＝CD，AD＝BC
【答案】A
【分析】直接根據(jù)平行四邊形的判定定理判斷即可．
【詳解】平行四邊形的定義：兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形．∴C能判斷；
平行四邊形判定定理1，兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；∴B能判斷；
平行四邊形判定定理2，兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；∴D能判定；
平行四邊形判定定理3，對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；
平行四邊形判定定理4，一組對邊平行相等的四邊形是平行四邊形；
故選A．
【點睛】此題是平行四邊形的判定，解本題的關(guān)鍵是掌握和靈活運用平行四邊形的5個判斷方法．
例3．（2020·廣東佛山市·八年級期末）小玲的爸爸在釘制平行四邊形框架時，采用了一種方法：如圖所示，將兩根木條AC、BD的中點重疊并用釘子固定，則四邊形ABCD就是平行四邊形，這種方法的依據(jù)是（ ）
A．對角線互相平分的四邊形是平行四邊形
B．一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形
C．兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形
D．兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形
【答案】A
【分析】根據(jù)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形即可得出結(jié)論．
【詳解】解：∵O是AC、BD的中點，∴OA=OC，OB=OD，
∴四邊形ABCD是平行四邊形（對角線互相平分的四邊形是平行四邊形）；
故選：A．
【點睛】本題考查了平行四邊形的判定定理；熟練掌握平行四邊形的判定定理是解題的關(guān)鍵．
例4．（2018·河北石家莊市·石家莊二中八年級期中）如圖，四邊形ABCD的對角線相交于點O，AO=CO，請?zhí)砑右粋€條件_________（只添一個即可），使四邊形ABCD是平行四邊形．
【答案】BO=DO．
【詳解】解：∵AO=CO，BO=DO，∴四邊形ABCD是平行四邊形．
故答案為BO=DO．
例5．（2020·山東德州市·八年級期中）若AD＝8，AB＝4，那么當BC＝___，CD＝___時，四邊形ABCD是平行四邊形
【答案】8 4
【分析】根據(jù)平行四邊形的判定中兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形解答即可．
【詳解】解：如圖，在四邊形ABCD中，AB和CD是對邊，BC和DA是對邊，
∵AD=8，AB=4，
∴當BC=8，CD=4時，四邊形ABCD是平行四邊形，
故答案為：8，4．
【點睛】本題考查了平行四邊形的判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行四邊形的判定定理，難度不大，屬于基礎題．
例6．（2020·農(nóng)安縣小城子鄉(xiāng)第三中學八年級月考）如圖，在?ABCD中，EC平分∠BCD，交AD邊于點E，AE＝3，BC＝5，則AB的長等于_____．
【答案】2
【分析】由平行四邊形的性質(zhì)可得AD∥BC，且AD＝BC＝5，求出DE＝2，結(jié)合角平分線的性質(zhì)可求得DE＝CD＝2，則可得AB的長．
【詳解】解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AD∥BC，AD＝BC＝5，AB＝CD，
∴DE＝AD﹣AE＝5﹣3＝2，∠DEC＝∠BCE，
∵CE平分∠BCD，
∴∠DCE＝∠BCE，
∴∠DEC＝∠DCE，
∴DE＝CD＝2，
∴AB＝2；
故答案為：2．
【點睛】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的判定，利用平行線的性質(zhì)及角平分線的性質(zhì)求得DE＝CD是解題的關(guān)鍵．
例7．（2019·河南洛陽市·八年級期末）如圖，已知AB//CD，BE丄AD，垂足為點E，CF丄AD，垂足為點F，并且AF=DE．
求證：四邊形是平行四邊形．
【分析】通過全等三角形（）的對應邊相等證得BE=CF，由“在同一平面內(nèi)，同垂直于同一條直線的兩條直線相互平行”證得BE∥CF．則四邊形是平行四邊形．
【詳解】證明：，，
，
，
，
，即，
在與中，
，
．
，，
，
四邊形是平行四邊形．
【點睛】本題考查了平行四邊形的判定、一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，全等三角形的判定與性質(zhì)掌，握以上知識是解題的關(guān)鍵．
例8．（2020·安陽市第十中學八年級期中）如圖，在?ABCD中，E、F分別是AB、CD的中點，求證：四邊形EBFD是平行四邊形．
【分析】由平行四邊形的性質(zhì)得出AB＝CD，BE∥DF，證出BE＝DF，即可得出四邊形EBFD是平行四邊形．
【詳解】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵E、F分別是AB、CD的中點，
∴EB∥DF，EB＝DF，
∴四邊形EBFD是平行四邊形．
【點睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)；熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．
例9.如圖，在平行四邊形ABCD中，EF是對角線BD的三等分點．求證：四邊形AECF是平行四邊形（請用兩種方法證明）．
【難度】★
【解析】（方法一）四邊形ABCD是平行四邊形，
AD=BC，AD//BC， ∠ADF=∠EBC
E、F三等分BD， BE=EF=FD
易證△AFD與△BEC全等，△ABE與△CDF全等
AE=CF，AF=CE， 四邊形AECF是平行四邊形；
（方法二）連接AC，與BD交于點O，

平行四邊形ABCD， AO=OC，BO=DO
E、F三等分BD， BE=EF=FD
OB-BE=OD-DF， OE=OF，
∵BO=DO， 四邊形AECF是平行四邊形．
【總結(jié)】本題考查平行四邊形的判定定理與性質(zhì)定理的綜合運用．
例10.如圖，ABCD中，AF=CE，MF∥NE．求證：EF和MN互相平分．
【難度】★
【解析】設AB與CD相交于點O，連接EM、NF
∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴．
∵AF=CE， ∴．
∵MF∥NE， ∴．
∵， ∴， ∴．
∵MF∥NE， ∴四邊形MFNE是平行四邊形，∴EF和MN互相平分．
【總結(jié)】本題考查平行四邊形判定定理和性質(zhì)定理的綜合運用．
例11.已知四邊形ABCD，現(xiàn)有條件：①AB∥DC；②AB＝DC；③AD∥BC；④AD＝BC；
⑤∠A＝∠C；⑥∠B＝∠D．從中取兩個條件加以組合，能推出四邊形ABCD是平行四邊形的有哪幾種情形?請具體寫出這些組合．
【難度】★★
【答案】①②；①③；①⑤；①⑥；②④；③④；③⑤；③⑥；⑤⑥．
【總結(jié)】本題考查平行四邊形的判定方法的運用．
例12.已知：AC是ABCD的一條對角線，BM⊥AC，DN⊥AC，垂足分別是M、N．
求證：四邊形BMDN是平行四邊形．
【難度】★★
【解析】平行四邊形ABCD，AB//CD，AB=CD，
∠BAC =∠DCA．BM⊥AC，DN⊥AC， △ABM≌△CND，
BM=DN，BM//DN， 四邊形BMDN是平行四邊形．
【總結(jié)】本題考查平行四邊形的判定方法與三角形全等的判定的運用．
例13.已知：如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，AD=BC，點E是BC的中點，求證：AB∥DE，∠C=∠AEB．
【難度】★★
【解析】點E是BC中點， BE=CE
BC=2AD， AD=BE=EC， 又AD//BC，
四邊形ABED與四邊形AECD均為平行四邊形
AB//DE，AE//CD， ∠C=∠AEB
【總結(jié)】本題考查平行四邊形判定方法與性質(zhì)的綜合運用．
例14.如圖，在ABCD中，∠DAB=60°，點E、F分別在CD、AB的延長線上，且AE=AD，
CF=CB．（1）求證：四邊形AFCE是平行四邊形；（2）若去掉已知條件的∠DAB=60°，上述的結(jié)論還成立嗎?若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由．
【難度】★★
【解析】（1）平行四邊形ABCD，
AB//CD，AB=CD，AD=BC，∠ADC=∠ABC
AE=AD=BC=CF， △ADE≌△CBF
ED=BF，EC=AF， 四邊形EAFC是平行四邊形；
（2）成立，證明同上．
【總結(jié)】本題考查平行四邊形的判定方法的運用．
例15.已知在ABCD中，E，F(xiàn)是對角線BD上的兩點，BE=DF，點G、H分別在BA和DC的延長線上，且AG=CH，聯(lián)結(jié)GE，EH，HF，F(xiàn)G，求證：四邊形GEHF是平行四邊形．若G、H分別在線段BA，DC上，其余條件不變，則（1）結(jié)論否成立?（說明理由）．
【難度】★★
【解析】（1）平行四邊形ABCD，
AB=CD，AB//CD，∠ABD=∠BDC
AG=CH，BE=DF， BG=DH， △BGE≌△DFH
GE=FH，∠BEG=∠DFH， ∠GED=∠HFE，
GE//FH，四邊形GEHF是平行四邊形；
（2）成立，證明同（1）
【總結(jié)】本題考查平行四邊形性質(zhì)與判定方法的運用．
例16.如圖所示，平行四邊形ABCD中，AE⊥BC、CF⊥AD，DN=BM．求證：EF與MN互相平分．
【難度】★★
【解析】聯(lián)結(jié)ME，EN，F(xiàn)N，MF
平行四邊形ABCD， AB=CD，AD=BC，∠B=∠D，
AE⊥BC、CF⊥AD， △ABE≌△CDF， BE=FD
DN=BM， △BEM≌△FDN， ME=FN
同理可證MF=EN， 四邊形MENF是平行四邊形， EF與MN互相平分．
【總結(jié)】本題考查三角形全等的判定方法與平行四邊形性質(zhì)與判定定理的綜合運用．
例17.如圖，過ABCD的頂點A的直線（形外），分別過B、C、D作直線的垂線，E、F、G為垂足．求證：CF=BE+DG．
【難度】★★
【解析】過點D作DH⊥CF于點H．
∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AB= CD．
∵，DH⊥CF， ∴．
∵，， ∴，
∵， ∴， ∴， ∴BE = CH．
∵， ∴． ∵， ∴CF=BE+DG．
【總結(jié)】本題考查平行四邊形性質(zhì)的運用．
例18.如圖，的對角線AC、BD交于點O，E、F分別在BC、AD上，且BE=BC，DF=AD，AE、CF分別交BD于點M、N，求證：四邊形AMCN是平行四邊形．
【難度】★★
【解析】平行四邊形ABCD，
BC=AD，OA=OC，OB=OD，，
BE=DF， ∴△ABE≌△CDF， ∠BAE=∠DCF， ∴△ABM≌△DNC，
BM=DN，OM=ON， 四邊形AMCN是平行四邊形．
【總結(jié)】本題考查平行四邊形性質(zhì)與判定方法的運用．
例19.如圖所示，平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD交于點O，AE⊥BD于E，BF⊥AC于F，CG⊥BD于G，DH⊥AC于H．求證：四邊形EFGH是平行四邊形．
【難度】★★
【解析】平行四邊形ABCD
AB=CD，OA=OC，OB=OD，∠DAC=∠BCA
DH⊥AC，BF⊥AC， △ADH≌△CBF
AH=CF，OH=OF，同理可證OE=OG
四邊形EHGF是平行四邊形
【總結(jié)】本題考查平行四邊形性質(zhì)與判定方法的綜合運用．
例20.如圖，以△ABC的三邊分別作等邊△DAC、△ABE，△BCF，求證：四邊形ADFE是平行四邊形．
【難度】★★
【解析】等邊△DAC，△ABE，△BCF，
∠EBF=∠ABC，BE=AB，BF=BC， △BEF≌△ABC，
EF=AC=AD，BE=DF=AE， 四邊形EFDA是平行四邊形．
【總結(jié)】本題考查平行四邊形判定方法與等邊三角形性質(zhì)的綜合運用．
例21.已知：Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AE平分∠CAB交CD于F，過F作FH∥AB，交BC于H．求證：CE=BH．
【難度】★★★
【解析】做FG//BH，可得平行四邊形FHBG， BH=FG．

∠ACB=90°，CD⊥AB， ∠B=∠ACF=∠FGA，
EA平分∠CAB， △ACF≌△AGF， FG=CF．
∠CAE+∠AEC=90°，∠EAB+∠AFD=90°， ∠AFD=∠CEF=∠CFE，
CE=CF， CE=FG， CE=BH．
【總結(jié)】本題考查角平分線性質(zhì)與平行四邊形性質(zhì)的綜合運用．
模塊二：綜合題
例題解析
例1.在ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，過O點任意作兩條直線交ABCD的AB、CD邊于E、F，交BC、DA邊于G、H，那么四邊形EGFH是什么圖形?證明你的結(jié)論．
【難度】★★
【解析】平行四邊形ABCD， OA=OC，OB=OD．
∴△AOH≌△OCG，△BEO≌△DOF， OH=OG，OE=OF，
四邊形EGFH是平行四邊形．
【總結(jié)】本題考查平行四邊形判定方法，對角線互相平分的四邊形是平行四邊形．
例2.如圖，ABCD中，DE⊥AB于E，BC=2AB，M是BC的中點．試求∠EMC與∠BEM的數(shù)量關(guān)系．
【難度】★★
【答案】∠EMC=3∠BEM．
【解析】延長EM與DC的延長線交于點N，連接DM．
則易得△BEM≌△NCM，所以EM=MN．
又AB//CD，DE⊥AB，則∠EDN=90°，
∵∠BEM=∠N， ∴ME=MN=DM
∴∠EMD=2∠N=2∠BEM
由MC=CD，得∠MDC=∠CMD=∠N，
∴∠EMC=3∠BEM．
【總結(jié)】本題主要考查平行四邊形性質(zhì)、直角三角形性質(zhì)的綜合運用．
例3.平面直角坐標系中有三點A（2，1），B（3，1），C（4，3），求平面內(nèi)第四點D，使得以A、B、C、D為頂點的四邊形是平行四邊形．
【難度】★★
【答案】（1，-1）或（3，3）或（5，3）．
【解析】當AB為對角線時，由AC=BD，BC=AD，得：D（1，-1）；
當AC為對角線時，D（3，3）；
當AD為對角線時，D（5，3）．
【總結(jié)】本題考查平行四邊形性質(zhì)，注意分類討論，利用平移的性質(zhì)去求坐標．
例4.已知平面內(nèi)有兩點A（，0）、B（3，0），P點在y軸上，M點在直線上，若以A、B、P、M為頂點的四邊形是平行四邊形，求M點的坐標．
【難度】★★
【答案】（2，1）或（-4，-5）或（4，3）．
【解析】當AB為對角線時，M（2，1）；
當AP為對角線時，M（-4，-5）；
當AM為對角線時，M（4，3）．
【總結(jié)】本題考查平行四邊形性質(zhì)，注意分類討論，利用平移的性質(zhì)去求坐標．
例5.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=6，動點P從點A開始沿邊AC向點C以每秒1個單位長度的速度運動，頂點Q從點C開始沿邊CB向點B以每秒2個單位長度的速度運動，過點P作PD∥BC，交AB于點D，聯(lián)結(jié)PQ，點P、Q分別從點A、C同時出發(fā)，當其中一點到達端點時，另一點隨之停止移動，設運動的時間是t秒（t≥0）．
（1）直接用含t的代數(shù)式分別表示：BQ=___________，PD=__________；
（2）是否存在t的值，使四邊形PDBQ是平行四邊形?若存在，求出t的值，若不存在，試說明理由．
【難度】★★
【答案】（1）BQ=，PD=； （2）t=．
【解析】（1）由題意，可得：AC=6，BC=，AB=12，∠B=30°
CQ=2t，所以BQ=，AP=t，PD=；
（2）∵平行四邊形PDBQ， ∴BQ=PD，即，解得：，
t＜，當時，四邊形PDBQ是平行四邊形．
【總結(jié)】本題考查平行四邊形性質(zhì)與直角三角形性質(zhì)的綜合運用，注意分析動點的運動軌跡．
例6.如圖，在平面直角坐標系中，點是坐標原點，四邊形是平行四邊形，點的坐標為，點在軸的正半軸上，且OA=OC，直線交軸于點，邊交軸于點．
（1）求直線的解析式；
（2）聯(lián)結(jié)，動點從點出發(fā)，沿折線方向以2個單位/秒的速度向終點勻速運動，設△的面積為，點的運動時間為秒，求與之間的函數(shù)關(guān)系式（要求寫出自變量的取值范圍）．
【難度】★★
【答案】（1）；
（2）．
【解析】（1）A（3，-4），OA=5=OC，C（5，0）
設直線AC的解析式為：y=kx+b，
代入A、C兩點的坐標，
得解析式為：；
平行四邊形ABCO中，AB=OC=5，
B（2，4）， BC=5=OC．
易知點M坐標為（0，2.5）．
當點P在AB上，即0≤t＜2.5時，
AP=2t，則，
∵HM=4-OM=1.5，
S=×BP×HM=；
當P在BC上，即2.5＜t≤5時，BP=2t-5，
∵平行四邊形ABCO中，AB=BC， ∴四邊形ABCO是菱形，
∴， ∴，
∴，，
∴S=×BP×BM=，
綜上．
【總結(jié)】本題主要考查兩點之間距離的確定以及平行四邊形的性質(zhì)的運用，由動點引起的三角形的面積，需要分類討論．
例7.已知：反比例函數(shù)和一次函數(shù)，其中一次函數(shù)的圖形經(jīng)過點．
（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）已知反比例函數(shù)和一次函數(shù)的圖像交于第一象限的點A、P（2，0），平面內(nèi)存在一點Q，使得四邊形AOPQ是平行四邊形，求Q點的坐標．
【難度】★★★
【答案】（1）；（2）（3，1）．
【解析】把（a，b），（a+1，b+k）代入y=2x-1，得2a-1=b， 2（a+1）-1=b+k，
則2a+2-1=2a-1+k，解得：k=2，故此反比例函數(shù)的解析式是：；
（2）兩函數(shù)的交點為，解得：A（1，1），
∵平行四邊形AOPQ， ∴AQ//OP，AQ=OP， 故Q（3，1）．
【總結(jié)】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，以及平行四邊形的性質(zhì)，本題中四邊形AOPQ是有順序的，因此滿足條件的Q點只有1個，解題時注意認真審題．
例8.已知：如圖，四邊形是平行四邊形，AB =BC，，．繞頂點逆時針旋轉(zhuǎn)，邊與射線相交于點（點與點不重合），邊與射線相交于點．
（1）當點在線段上時，求證：；
（2）設，的面積為．當點在線段上時，求與之間的函數(shù)關(guān)系
式，寫出函數(shù)的定義域；
（3）聯(lián)結(jié)，如果以、、、為頂點的四邊形是平行四邊形，求線段的長．
【難度】★★★
【答案】（1）略；（2）（0＜x＜6）； （3）BE=12．
【解析】（1）聯(lián)結(jié)AC，
易證BA=BC，∠BAC=∠DAC=60°，∠ACB=∠ACD=60°
△ABC是等邊三角形，AB=AC
又∠BAE+∠MAC=60°，∠CAF+∠MAC=60°，∠BAE=∠CAF
△ABE≌△ACF， ∴BE=CF；
（2）過點A作AH⊥CD，垂足為H，
在Rt△ADH中，∠DAH=30°，DH=3，AH=，CF=BE=x，DF=6-x
，y=，
即（0＜x＜6）；
（3）當F點在CD的延長線時，連BD，易得∠ADB=30°．
當四邊形BDFA是平行四邊形時，AF//BD，
∠FAD=∠ADB=30°，
∠DAE=30°，∠BAE=90°，
在Rt△ABE中，∠B=60°，∠BEA=30°，AB=6，易得BE=12，
當點F與點C重合時，此時點E與點B重合，不合題意，舍．
【總結(jié)】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)及全等三角形判定與性質(zhì)的綜合運用．
例9.如圖1，P為Rt△ABC所在平面內(nèi)任意一點（不在直線AC上），∠ACB=90°，M為AB邊中點．操作：以PA、PC為鄰邊作平行四邊形PADC，連接PM并延長到點E，使ME=PM，聯(lián)結(jié)DE．
（1）請你利用圖2，選擇Rt△ABC內(nèi)的任意一點P按上述方法操作；
（2）經(jīng)歷（1）之后，觀察兩圖形，猜想線段DE和線段AC之間有怎樣的位置關(guān)系?請選擇其中的一個圖形證明你的猜想；
（3）觀察兩圖，你還可得出和DE相關(guān)的什么結(jié)論?請直接寫出．
【難度】★★★
【答案】（1）略；（2）DE⊥AC； （3）DE//BC，DE=BC．
【解析】（1）根據(jù)要求畫圖即可．
（2）聯(lián)結(jié)BE，
PM=ME，AM=MB，∠PMA=∠EMB，∴△PMA≌△EMB
PA=BE，∠MPA=∠MEB， PA//BE．
四邊形PADC是平行四邊形，PA//DC，PA=DC，
BE//CD，BE=DC，
四邊形DEBC是平行四邊形，DE//BC，DE=BC
∠ACB=90°，BC⊥AC，即DE⊥AC
（3）DE//BC，DE=BC．
【總結(jié)】本題考察平行四邊形的性質(zhì)的運用，解題關(guān)鍵是利用平行四邊形的性質(zhì)結(jié)合三角形全等來解決有關(guān)的證明
隨堂檢測
1.若AD是△ABC的中線，延長AD到E使DE=AD，聯(lián)結(jié)BE、CE，那么四邊形ABEC是_____四邊形．
【難度】★
【答案】平行四邊形
【解析】AE與BC互相平分，所以四邊形ABEC是平行四邊形
【總結(jié)】本題考查平行四邊形的判定方法，對角線互相平分的四邊形是平行四邊形．
2.如圖，直線與雙曲線交于A、C兩點，將直線繞點O順時針旋轉(zhuǎn)°（0°＜≤45°），
與雙曲線交于D兩點，則四邊形ABCD的形狀一定是_____________，理由是________________________．
【難度】★
【答案】平行四邊形，對角線互相平分的四邊形是平行四邊形．
【解析】反比例函數(shù)圖像關(guān)于原點對稱，OA=OC，OB=OD，
四邊形ABCD是平行四邊形．
【總結(jié)】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)及平行四邊形的判定方法。
了解和熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)是解答此類題目的關(guān)鍵所在，
注意反比例函數(shù)圖像關(guān)于原點對稱．
3.四邊形的四條邊長分別是a，b，c，d，其中a，c為對邊，且滿足，則這個四邊形一定是（ ）
A．兩組角分別相等的四邊形 B．平行四邊形
C．對角線互相垂直的四邊形 D．對角線相等的四邊形
【難度】★★
【答案】C
【解析】由可得（a-b）2+（c-d）2=0，即a=b且c=d，所以四邊形的兩條對角線互相垂直．
【總結(jié)】本題考查了因式分解的應用，解題時首先利用因式分解把等式變形，然后利用非負數(shù)的性質(zhì)即可解決問題．
4.已知四邊形ABCD的對角線相交于O，給出下列5個條件①AB∥CD，②AD∥BC，③AB=CD，④∠BAD=∠DCB，從這四個條件中任選2個一組，能推出四邊形ABCD為平行四邊形的有（ ）
A．6組 B．5組 C．4組 D．3組
【難度】★★
【答案】C
【解析】根據(jù)平行四邊形判定方法，能推出四邊形為平行四邊形的有四組，分別是①②，
①③，①④，②④．
【總結(jié)】本題考查平行四邊形判定方法的運用．
5.如圖，在ABCD中，E、F分別是AB、CD上點，AE=CF，M、N分別是DE、BF的中點，求證：四邊形ENFM是平行四邊形．
【難度】★★
【解析】平行四邊形ABCD， AB\\CD，AB=CD．
AE=CF， BE=DF，
四邊形EBFD是平行四邊形，DE=BF，DE//BF，
又M、N分別是DE、BF的中點， ME=FN，
四邊形MENF是平行四邊形．
【總結(jié)】本題考查平行四邊形性質(zhì)及判定方法的綜合運用．
6.已知：如圖，在△ABC中，BD平分∠ABC，ED∥BC，EF∥AC，求證：EB=FC．
【難度】★★
【解析】BD平分∠ABC，∠ABD=∠CBD，
又ED//BC，∠ABD=∠DBC=∠EDB，EB=ED．
又DE//BC，EF//CD，四邊形EFCD是平行四邊形，
CF=ED=BE．
【總結(jié)】本題考查平行四邊形性質(zhì)及判定方法的綜合運用．
7.如圖，四邊形EFGH是平行四邊形ABCD的內(nèi)接平行四邊形，即頂點E、F、G、H分別在平行四邊形ABCD的四邊上．求證：這兩個平行四邊形的對角線交于同一點．
【難度】★★
【解析】連接AC，HF交于點O
∵平行四邊形ABCD與平行四邊形EFGH
∴△AEH≌△CGF， ∴AH=CF．
∵△AHO≌△CFO， ∴M是AC與HF的中點
同理BD，EG也過點M，所以這兩個平行四邊形的對角線交于同一點．
【總結(jié)】本題考查平行四邊形的性質(zhì)的運用，注意認真審題．
8.如圖，在ABCD中，E、F是對角線BD上的兩點，AE⊥BC，CF⊥AD．求證：四邊形AECF是平行四邊形．
【難度】★★
【解析】平行四邊形ABCD
AB//CD，AD//BC，AB=CD，∠BAD=∠BCD，∠ABD=∠CDB
∵AE⊥AD，CF⊥BC，∠BAE=∠DCF， ∴△ABE≌△CDF
AE=CF，∠AEB=∠DFC， ∠AEF=∠CFE， AE//CF．
四邊形AECF是平行四邊形
【總結(jié)】本題考查平行四邊形性質(zhì)及判定方法的綜合運用．
9.已知平行四邊形和平行四邊形，求證：．
【難度】★★
【解析】平行四邊形ABCD，平行四邊形DCEF，
AB=DC=EF，AB//DC//EF，DE=CF，AD=BC
四邊形AEFB是平行四邊形
AE=BF，∴△ADE≌△BCF，
∴∠ADE=∠BCF．
【總結(jié)】本題考查平行四邊形性質(zhì)的運用．
10.如圖，在平行四邊形中，，的平分線交于點，的平分線交于點F，聯(lián)結(jié)EF．求證：．
【難度】★★
【解析】延長AE交BC于點G，延長CF交AD于點H
平行四邊形ABCD，∠BAD=∠BCD，AD//BC．
AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，
∠AEB=∠CFD=90°，∠BAG=∠DAG=∠AGB=∠BCH=∠DCH=∠DHC
AB=BG，CD=DH，CG=AH，即四邊形AGCH是平行四邊形
易知E、F分別是AG、CH的中點，AH=EF=CG=BC-BG，即EF=BC-AB．
【總結(jié)】本題考查平行四邊形性質(zhì)與判定方法的綜合運用．
11.如圖，在四邊中，形且，，點分別從同時出發(fā)，點以的速度由向運動，點以的速度由向運動，幾秒時，四邊形是平行四邊形?
【難度】★★★
【答案】2秒．
【解析】設t秒后，四邊形ABQP為平行四邊形，
則AP=t，QC=2t，BQ=6-2t
AD//BC，AP=BQ時，四邊形ABQP就是平行四邊形，即：t =6-2t，t =2
當t=2時，AP=BQ=2＜BC＜AD，符合題意，
綜上，當t=2時，四邊形ABQP是平行四邊形．
【總結(jié)】本題主要考查平四邊形與動點的簡單結(jié)合，主要利用性質(zhì)解題即可．
12.如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為A(3, 0)，點B的坐標為A(0, 4)．
（1）求直線AB的解析式；
（2）點C是線段AB上一點，點O為坐標原點，點D在第二象限，且四邊形BCOD 為平行四邊形，且BC=BD，求點D坐標；
（3）在（2）的條件下，點E在x軸上，點P在直線AB上，且以B、D、E、P為頂點的四邊形是平行四邊形，請寫出所有滿足條件的點P的坐標．
【難度】★★★
【答案】（1）；（2）D（，2）；
（3）或或．
【解析】（1）設AB的解析式為y=kx+b，
代入點A（3，0），B（0，4），
得直線AB的解析式為：；
（2）平行四邊形BCOD中，BC=BD，
OB垂直平分CD，
點C的縱坐標是2，代入AB的解析式得C（，2），
D（，2）；
（3）當BD為對角線時，；
當BE為對角線時，；
當BP為對角線時，；
綜上所述，P點的坐標為或或
【總結(jié)】本題考查的綜合性很強，第一問待定系數(shù)求函數(shù)解析式是?？純?nèi)容，較簡單，最后一問需要分類討論，可以以對角線和邊為分類標準進行討論．
13.如圖所示，在平行四邊形ABCD中，BC=2AB，DE⊥AB，M是BC邊的中點，∠BEM=50°，則∠B的大小是多少?
【難度】★★★
【答案】100°．
【解析】取AD的中點N，連接MN、MD、NE．
DE⊥AB于點E，NE=ND=
又四邊形ABCD是平行四邊形，點M為BC中點，
AB//CD//MN， ∠BEM=∠EMN，∠NMD=∠MDC，ED⊥MN，
MN是DE的中垂線， ∠BEM=∠NMD=50°．
BC=2AB，點M是BC的中點， MC=CD， ∠CDM=∠CMD，
∠CMD=∠DMN=50°，∴∠B=∠CMD+∠NMD=100°．
【總結(jié)】本題考查平行四邊形的性質(zhì)及直角三角形性質(zhì)的綜合運用．

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