第7講 代數(shù)方程的復(fù)習(xí) 本章學(xué)習(xí)了簡(jiǎn)單的高次方程、分式方程、無(wú)理方程以及簡(jiǎn)單的二次方程（組）的概念及其解法，學(xué)習(xí)了列方程解應(yīng)用題．到本章為止，可以說(shuō)初等代數(shù)方程的基本知識(shí)內(nèi)容已經(jīng)大體完整． 本講將代數(shù)方程的基本解法和常見(jiàn)題型做一總結(jié)，幫助大家更好的復(fù)習(xí)． 一、選擇題 例1.下列方程中，是二項(xiàng)方程的是（ ） A． B． C． D． 例2.（2019·上海八年級(jí)單元測(cè)試）下列方程中，是關(guān)于x的分式方程的是（ ） A．12x2+25x?13=0 B．x+12+x?53=0 C．x?13+x+22?1x=0 D．x?1m+x+2n?1nm=0 例3．（2019·上海八年級(jí)單元測(cè)試）如果x?0,y?0，且3x?2y=xy，則yx的值可能是（ ） A．-94 B．1 C．94 D．以上都無(wú)可能 例4．（2019·上海八年級(jí)單元測(cè)試）下列判斷錯(cuò)誤的是（ ） A．方程x+5=x?1沒(méi)有負(fù)數(shù)根 B．方程x+2=xx+2的解的個(gè)數(shù)為2 C．方程x+9=3?x沒(méi)有正數(shù)根 D．方程x?2x+3x2?4=0的解為x1=2,x2=3 例5．（2019·上海八年級(jí)單元測(cè)試）如果 是方程組的一組解，那么這個(gè)方程組的另一組解是（ ） A． B． C． D． 例6.下列方程中，不是無(wú)理方程的是（ ） A． B． C． D． 例7.已知方程：① ；②；③；④ . 這四個(gè)方程中，分式方程的個(gè)數(shù)是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 例8.用換元法解分式方程時(shí)，設(shè)，原方程可變形為（ ） A． B． C． D． 例9.如果關(guān)于的方程無(wú)解，那么滿足（ ）. A． B． C． D．任意實(shí)數(shù). 例10.下列方程中，沒(méi)有實(shí)數(shù)解的是（ ） A． B． C． D． 例11.方程組的解的個(gè)數(shù)是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 例12.方程的根是（ ）． A．， B．， C． D． 例13.等式（ ） A． B． C． D． 例14.若解分式方程產(chǎn)生增根，則m的值（ ） A．-1或-2 B．-1或2 C．1或2 D．1或-2 例15.分式方程中，若設(shè)，則原方程可化為（ ） A． B． C． D． ww.zk5u.com 例16.甲隊(duì)為小區(qū)安裝60臺(tái)熱水器，乙隊(duì)為A小區(qū)安裝熱水器66臺(tái)，兩隊(duì)安裝的天數(shù)相同， 乙隊(duì)比甲隊(duì)每天多安裝2臺(tái)，設(shè)乙隊(duì)每天安裝x臺(tái)，則下列方程中正確的是（ ） A． B． C． D． 例17.某項(xiàng)工程若乙單獨(dú)做要比甲慢3天完成，現(xiàn)甲乙合作5天，余下的再由甲獨(dú)做3天完 成，求甲乙單獨(dú)完成此項(xiàng)工程所需的時(shí)間，若設(shè)乙單獨(dú)做需要x天，可列方程（ ） A． B． C． D． 例18.若，則的值為（ ） A．6 B．-1 C．1 D．1或-1 例19.已知為非負(fù)整數(shù)，關(guān)于的方程至少有一個(gè)整數(shù)根，則可能取值的個(gè)數(shù)為（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 填空題 例1.（2018·上海市行知實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)期中）如果關(guān)于的方程有增根，則_______________. 例2．（2019·上海八年級(jí)單元測(cè)試）若方程有實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍為_(kāi)__________ 例3．（2019·上海八年級(jí)單元測(cè)試）已知方程ax+by=8的兩個(gè)解為和，則a+b=__________. 例4．（2019·上海八年級(jí)單元測(cè)試）已知x=3是方程一個(gè)根，求k的值=_______. 例5．（2019·上海八年級(jí)單元測(cè)試）若關(guān)于x的分式方程無(wú)解，則m=_________． 例6.方程的解是______． 例7.（1）方程的根是______________； （2）方程的根是______________． 例8.方程有______個(gè)實(shí)數(shù)根． 例9.學(xué)校舉行乒乓球女子單打比賽，采用單循環(huán)賽制，共比賽21場(chǎng)，則參加比賽的選手有 ___________名． 例10.（1）當(dāng)m______時(shí)，方程有實(shí)數(shù)解； （2）方程無(wú)解，m的值為_(kāi)_________． 例11.方程產(chǎn)生增根，則k=_________． 例12.當(dāng)a=______時(shí)，關(guān)于x的方程無(wú)解． 例13.若，則的值為_(kāi)_________． 例14.已知關(guān)于的分式方程的解是非正數(shù)，則的取值范圍是__________． 例15.一本書有a頁(yè)，若每天看b頁(yè)，則需要____天看完；若每天多看3頁(yè)，則需要_____天看完；若要比原來(lái)提前3天看完，則每天需要比原來(lái)多看______頁(yè)． 例16.兩個(gè)連續(xù)的正偶數(shù)的和的平方是196，這兩個(gè)數(shù)是______． 例17.方程的解中，、互為相反數(shù)的解是________． 例18.若方程組有兩組相等的實(shí)數(shù)解，則的值為_(kāi)_____． 例19.若是方程組的一個(gè)解，則這個(gè)方程組的另一個(gè)解是______． 例20.方程組，由①+②得，則原方程組可化為 與__________兩個(gè)方程組． 例21.若飛機(jī)在無(wú)風(fēng)時(shí)每小時(shí)飛行165千米，飛機(jī)依直線飛行了450千米后，依原來(lái)的路線飛回原處，已知飛機(jī)去時(shí)是逆風(fēng)，回來(lái)時(shí)是順風(fēng)，回來(lái)時(shí)比去時(shí)少用了半個(gè)小時(shí)，求風(fēng)速是多少，設(shè)風(fēng)速是x千米每小時(shí)，根據(jù)題意可列方程 ______________． 例22.若5，則=__________，=___________． 例23.當(dāng)時(shí)，方程組的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)是__________個(gè)． 三、解答題 1．（2019·上海八年級(jí)單元測(cè)試）k為何值時(shí)，方程組只有唯一解？ 2．（2019·上海八年級(jí)單元測(cè)試）已知直角三角形周長(zhǎng)為48厘米，面積為96平方厘米，求它的各邊長(zhǎng). 3．（2019·上海八年級(jí)單元測(cè)試）若解分式方程產(chǎn)生增根，則m的值是多少？ 4．（2019·上海八年級(jí)單元測(cè)試）解下列方程 （1）　 （2） 5．（2019·上海八年級(jí)單元測(cè)試）已知a是非零整數(shù)，且滿足，解關(guān)于x的方程： 6.解下列關(guān)于x的方程： （1）； （2）． 7.解下列關(guān)于x的方程： （1）； （2）． 8.解下列方程： （1）； （2）． 9.解下列方程組： （1）； （2）； （3）． 10.若x=2是方程的根，求m的值． 11.k為何值時(shí)，方程組 （1）有兩組相等的實(shí)數(shù)解? （2）有兩組不相等的實(shí)數(shù)解? （3）沒(méi)有實(shí)數(shù)解? 12.A、B兩地相距18公里，甲工程隊(duì)要在A、B兩地間鋪設(shè)一條輸送天然氣管道，乙工程 隊(duì)要在A、B兩地間鋪設(shè)一條輸油管道．已知甲工程隊(duì)每周比乙工程隊(duì)少鋪設(shè)1公里，甲工程隊(duì)提前3周開(kāi)工，結(jié)果兩隊(duì)同時(shí)完成任務(wù)，求甲、乙兩工程隊(duì)每周各鋪設(shè)多少公里管道． 13.將進(jìn)貨單價(jià)為35元的某種商品按照60元出售時(shí)，能賣出600個(gè)，已知這種商品每個(gè)漲價(jià)1元，其銷售量就會(huì)減少20個(gè)，考慮帶運(yùn)輸費(fèi)、柜面費(fèi)相等指出，每件商品還要追加5元成本，為了獲得8000元利潤(rùn)，售價(jià)應(yīng)為多少?這時(shí)該進(jìn)貨多少? 14.分式方程有解，求m的取值范圍． 15.某街道改建工程指揮部，要對(duì)某路段工程進(jìn)行招標(biāo)，接到了甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)的投標(biāo)書． 從投標(biāo)書中得知：甲隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程所需天數(shù)是乙隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程所需天數(shù)的；若由甲隊(duì)先做10天，剩下的工程再由甲、乙兩隊(duì)合作30天可以完成． （1）求甲、乙兩隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程各需多少天? （2）已知甲隊(duì)每天的施工費(fèi)用為0.84萬(wàn)元，乙隊(duì)每天的施工費(fèi)用為0.56萬(wàn)元．工程預(yù)算的施工費(fèi)用為50萬(wàn)元，為縮短工期以減少對(duì)住戶的影響，擬安排甲、乙兩隊(duì)合作完成這項(xiàng)工程，則工程預(yù)算的施工費(fèi)用是否夠用?若不夠用，需追加預(yù)算多少萬(wàn)元?請(qǐng)給出你的判斷并說(shuō)明理由． 16.今年五月，某工程隊(duì)(有甲、乙兩組)承包人民路中段的路基改造工程，規(guī)定若干天內(nèi)完 成． （1）已知甲組單獨(dú)完成這項(xiàng)工程所需時(shí)間比規(guī)定時(shí)間的2倍多4天，乙組單獨(dú)完成這項(xiàng)工程所需時(shí)間比規(guī)定時(shí)間的2倍少16天．如果甲、乙兩組合做24天完成，那么甲、乙兩組合做能否在規(guī)定時(shí)間內(nèi)完成? （2）在實(shí)際工作中，甲、乙兩組合做完成這項(xiàng)工程的后，工程隊(duì)又承包了東段的改造工程，需抽調(diào)一組過(guò)去，從按時(shí)完成中段任務(wù)考慮，你認(rèn)為抽調(diào)哪一組最好?請(qǐng)說(shuō)明理由． 17.已知有一個(gè)增根是4，求的值． 18.已知A（-1，4）、B（2，3），點(diǎn)P在x軸上，且△ABP是直角三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)． 19.如圖，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，點(diǎn)P從A開(kāi)始沿AB邊向點(diǎn)B以1cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開(kāi)始沿BC邊向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動(dòng)，如果P、Q同時(shí)從A、B 出發(fā)，經(jīng)過(guò)的時(shí)間是t秒， （1）S表示△BPQ的面積，寫出S和t的函數(shù)關(guān)系式； （2）t為何值時(shí)，S等于8平方厘米? （3）t為何值時(shí)，五邊形APQCD的面積最小?最小值是多少? 第7講 代數(shù)方程的復(fù)習(xí) 本章學(xué)習(xí)了簡(jiǎn)單的高次方程、分式方程、無(wú)理方程以及簡(jiǎn)單的二次方程（組）的概念及其解法，學(xué)習(xí)了列方程解應(yīng)用題．到本章為止，可以說(shuō)初等代數(shù)方程的基本知識(shí)內(nèi)容已經(jīng)大體完整． 本講將代數(shù)方程的基本解法和常見(jiàn)題型做一總結(jié)，幫助大家更好的復(fù)習(xí)． 一、選擇題 例1.下列方程中，是二項(xiàng)方程的是（ ） A． B． C． D． 【難度】★ 【答案】C 【解析】如果一元n次方程的一邊只有含未知數(shù)的一項(xiàng)和非零的常數(shù)項(xiàng)，另一邊是零，那么這樣的方程就叫做二項(xiàng)方程．A.左邊沒(méi)有非零常數(shù)；B.左邊含有未知數(shù)的兩項(xiàng)；D.右邊不是零． 【總結(jié)】考查二項(xiàng)方程的概念． 例2.（2019·上海八年級(jí)單元測(cè)試）下列方程中，是關(guān)于x的分式方程的是（ ） A．12x2+25x?13=0 B．x+12+x?53=0 C．x?13+x+22?1x=0 D．x?1m+x+2n?1nm=0 【答案】C 【分析】A、B選項(xiàng)分母上都沒(méi)有未知數(shù)，所以不是分式方程；D選項(xiàng)是分式方程，但不是關(guān)于x的分式方程，只有C正確. 【詳解】根據(jù)分式方程的定義得：x?13+x+22?1x=0是分式方程， 故選C． 【點(diǎn)睛】此題考查了分式方程的定義，熟練掌握分式方程的定義是解本題的關(guān)鍵． 例3．（2019·上海八年級(jí)單元測(cè)試）如果x?0,y?0，且3x?2y=xy，則yx的值可能是（ ） A．-94 B．1 C．94 D．以上都無(wú)可能 【答案】B 【分析】可將方程兩邊同時(shí)平方，從而將無(wú)理方程轉(zhuǎn)化為整式方程，運(yùn)用因式分解法即可得到y(tǒng)與x的關(guān)系，從而解決問(wèn)題. 【詳解】將方程3x?2y=xy兩邊同時(shí)平方，并整理得， 9x2?13xy+4y2=0（其中3x-2y＞0） 即（9x-4y）(x-y)=0，解得，y=94x，或y=x， 當(dāng)y=94x時(shí)，3x-2y=-32x，∵x＞0，∴ 3x-2y＜0，不符合要求， 當(dāng)y=x時(shí)，3x-2y=x＞0，符合要求. ∴yx=1， 故選B. 【點(diǎn)睛】本題主要考查了解無(wú)理方程，運(yùn)用因式分解法解方程，需要注意的是將無(wú)理方程轉(zhuǎn)化為整式方程，可能會(huì)出現(xiàn)增根，本題需要挖掘出隱含條件3x-2y＞0. 例4．（2019·上海八年級(jí)單元測(cè)試）下列判斷錯(cuò)誤的是（ ） A．方程x+5=x?1沒(méi)有負(fù)數(shù)根 B．方程x+2=xx+2的解的個(gè)數(shù)為2 C．方程x+9=3?x沒(méi)有正數(shù)根 D．方程x?2x+3x2?4=0的解為x1=2,x2=3 【答案】D 【分析】解各個(gè)方程即可得到結(jié)論． 【詳解】A. ∵x+5=x?1，∴x+5=(x?1)2 解得，x1=4,x2=?1 經(jīng)檢驗(yàn)，x=-1，是增根，∴原方程的解為：x=4. 故選項(xiàng)A判斷正確. B. 方程x+2=xx+2兩邊同時(shí)平方得，x+2=x2(x+2)， ∴x+2?x2(x+2)=0 ∴(x+2)(1?x2)=0 解得，x1=?2，x2=1，x3=?1經(jīng)檢驗(yàn)，x=-1是增根. ∴x1=?2，x2=1是原方程的解，故B判斷正確； C. 方程x+9=3?x兩邊同時(shí)平方得，x+9=(3?x)2 解得，x=0，或x=7，經(jīng)檢驗(yàn)，x=7是增根，∴原方程的解為：x=0， 故選項(xiàng)C判斷正確； D.根據(jù)題意得，x?2=0x+3=0x2?4＞0 ，解得，x=-3.故選項(xiàng)D判斷錯(cuò)誤， 故選D. 【點(diǎn)睛】本題考查了無(wú)理方程，分式方程，一元二次方程的解法，熟練掌握解各種方程的方法是解題的關(guān)鍵． 例5．（2019·上海八年級(jí)單元測(cè)試）如果 是方程組的一組解，那么這個(gè)方程組的另一組解是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】將代入方程組求得，再解方程組即可得解. 【詳解】將代入方程組中得：，解得：， 則方程組變形為：，由x+y=5得：x=5-y， 將x=5-y代入方程xy=4中可得：y2-5y+4=0，解得y=4或y=1， 將y=1代入xy=4中可得：x=4，所以方程的另一組解為：． 故選A． 【點(diǎn)睛】本題考查了高次方程，二元一次方程組的解法，熟記解二元一次方程的解法是解題的關(guān)鍵． 例6.下列方程中，不是無(wú)理方程的是（ ） A． B． C． D． 【難度】★ 【答案】B 【解析】無(wú)理方程是根號(hào)下含有未知數(shù)的方程，B選項(xiàng)的根號(hào)下是常數(shù)，容易錯(cuò)選． 【總結(jié)】考查無(wú)理方程的概念． 例7.已知方程：① ；②；③；④ . 這四個(gè)方程中，分式方程的個(gè)數(shù)是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【難度】★ 【答案】C 【解析】分式方程是方程中的一種，是指分母里含有未知數(shù)的有理方程． ①中分母是常數(shù)，②③④分母中都含有未知數(shù)，是分式方程 【總結(jié)】考查分式方程的概念． 例8.用換元法解分式方程時(shí)，設(shè)，原方程可變形為（ ） A． B． C． D． 【難度】★ 【答案】A 【解析】 ，∴原方程變形為即 【總結(jié)】考查換元后方程的變形問(wèn)題． 例9.如果關(guān)于的方程無(wú)解，那么滿足（ ）. A． B． C． D．任意實(shí)數(shù). 【難度】★ 【答案】B 【解析】當(dāng)時(shí)，，即 【總結(jié)】考查方程無(wú)解的條件． 例10.下列方程中，沒(méi)有實(shí)數(shù)解的是（ ） A． B． C． D． 【難度】★ 【答案】B 【解析】B中，∵，∴無(wú)解 【總結(jié)】考查無(wú)理方程的解的情況． 例11.方程組的解的個(gè)數(shù)是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【難度】★ 【答案】B 【解析】由?式知代入?式得，，∴有兩個(gè)解． 【總結(jié)】考查方程的解法． 例12.方程的根是（ ）． A．， B．， C． D． 【難度】★★ 【答案】A 【解析】?jī)蛇呁瑫r(shí)平方得：， 即：，經(jīng)檢驗(yàn)，均是原方程的解． 【總結(jié)】考查無(wú)理方程的解法，注意解完要驗(yàn)根． 例13.等式（ ） A． B． C． D． 【難度】★★ 【答案】D 【解析】由，得，由得，由得，∴． 【總結(jié)】考查二次根式的被開(kāi)方數(shù)的非負(fù)性的運(yùn)用． 例14.若解分式方程產(chǎn)生增根，則m的值（ ） A．-1或-2 B．-1或2 C．1或2 D．1或-2 【難度】★★ 【答案】A 【解析】最簡(jiǎn)公分母為：；去分母：； 把代入方程，得：；把代入方程，得：方程無(wú)解； 把代入方程，得：． 綜上，． 【總結(jié)】考查分式方程產(chǎn)生增根的條件． 例15.分式方程中，若設(shè)，則原方程可化為（ ） A． B． C． D． ww.zk5u.com 【難度】★★ 【答案】C 【解析】，∴原方程可化為：． 【總結(jié)】考查分式方程的變形，注意完全平方公式的運(yùn)用． 例16.甲隊(duì)為小區(qū)安裝60臺(tái)熱水器，乙隊(duì)為A小區(qū)安裝熱水器66臺(tái)，兩隊(duì)安裝的天數(shù)相同， 乙隊(duì)比甲隊(duì)每天多安裝2臺(tái)，設(shè)乙隊(duì)每天安裝x臺(tái)，則下列方程中正確的是（ ） A． B． C． D． 【難度】★★ 【答案】A 【解析】乙比甲每天多2臺(tái)，∴甲每天安裝（x-2）臺(tái) 甲安裝的天數(shù)為，乙安裝的天數(shù)為，由題意知可列方程：=． 【總結(jié)】考查方程的應(yīng)用，注意尋找題目中的等量關(guān)系． 例17.某項(xiàng)工程若乙單獨(dú)做要比甲慢3天完成，現(xiàn)甲乙合作5天，余下的再由甲獨(dú)做3天完 成，求甲乙單獨(dú)完成此項(xiàng)工程所需的時(shí)間，若設(shè)乙單獨(dú)做需要x天，可列方程（ ） A． B． C． D． 【難度】★★ 【答案】D 【解析】由題意知甲單獨(dú)做需要天，甲、乙的工作效率分別為； 由甲乙先合作5天，然后甲單獨(dú)做3天，可知甲一共做了8天，乙一共做了5天， ∴可列方程． 【總結(jié)】考查方程在工程問(wèn)題中的應(yīng)用，注意工作總量通?？醋鳌?”． 例18.若，則的值為（ ） A．6 B．-1 C．1 D．1或-1 【難度】★★ 【答案】D 【解析】由題意知， 所以，∴的值為1或-1． 【總結(jié)】本題一方面考查了非負(fù)數(shù)的和為零的基本模型，另一方面考查了整體思想的運(yùn)用． 例19.已知為非負(fù)整數(shù)，關(guān)于的方程至少有一個(gè)整數(shù)根，則可能取值的個(gè)數(shù)為（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 【難度】★★★ 【答案】B 【解析】由題意，顯然滿足條件的x，必然使得為整數(shù)，否則不可能為整數(shù)， 設(shè)（y為非負(fù)數(shù)），則原式化為：， 即，因?yàn)閥非負(fù)，所以要使得a為整數(shù)，則y=0、1、3； 此時(shí)a=6、2、-3（舍），當(dāng)a=0時(shí)，方程也有一個(gè)整數(shù)根，故a=6或2或0，故選B． 【總結(jié)】考查無(wú)理方程的根的情況，對(duì)至少一個(gè)整數(shù)根要準(zhǔn)確理解． 填空題 例1.（2018·上海市行知實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)期中）如果關(guān)于的方程有增根，則_______________. 【答案】-1 【分析】增根是分式方程化為整式方程后產(chǎn)生的使分式方程的分母為0的根．有增根，最簡(jiǎn)公分母x?1＝0，所以增根是x＝1，把增根代入化為整式方程的方程即可求出未知字母的值． 【詳解】方程兩邊都乘x?1得mx＋1-x＋1＝0，∵方程有增根， ∴最簡(jiǎn)公分母x?1＝0，即增根是x＝1， 把x＝1代入整式方程，得m＝?1．故答案為：?1． 【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的增根，解決增根問(wèn)題的步驟：①確定增根的值；②化分式方程為整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相關(guān)字母的值． 例2．（2019·上海八年級(jí)單元測(cè)試）若方程有實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍為_(kāi)__________ 【答案】k≥ 【分析】方程兩邊同時(shí)平方，再移項(xiàng)，根據(jù)x2≥0求解即可. 【詳解】∵，∴，即， ∵x2≥0，∴，∴k≥或k≤- ∵方程有實(shí)數(shù)根，∴k＞0，∴k≥.故答案為：k≥. 【點(diǎn)睛】本題主要考查無(wú)理方程，解無(wú)理方程的基本思想是把無(wú)理方程轉(zhuǎn)化為有理方程來(lái)解，在變形時(shí)要注意根據(jù)方程的結(jié)構(gòu)特征選擇解題方法． 常用的方法有：乘方法，配方法，因式分解法，設(shè)輔助元素法，利用比例性質(zhì)法等． 例3．（2019·上海八年級(jí)單元測(cè)試）已知方程ax+by=8的兩個(gè)解為和，則a+b=__________. 【答案】-4 【分析】將兩個(gè)解的值代入ax+by=8中，然后解出方程組即可求出a與b的值． 【詳解】將和代入ax+by=8，∴ 解得： ，∴a+b=-4，故答案為：-4. 【點(diǎn)睛】本題考查二元一次方程的解，解題的關(guān)鍵是正確理解二元一次方程的解的概念，本題屬于基礎(chǔ)題型． 例4．（2019·上海八年級(jí)單元測(cè)試）已知x=3是方程一個(gè)根，求k的值=_______. 【答案】-3 【分析】根據(jù)方程的解的定義，把x=3代入原方程，得關(guān)于k的一元一次方程，再求解可得k的值． 【詳解】把x=3代入方程，得， 解得k=-3．故答案為：-3． 【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式方程的解的定義，屬于基礎(chǔ)題型． 例5．（2019·上海八年級(jí)單元測(cè)試）若關(guān)于x的分式方程無(wú)解，則m=_________． 【答案】2 【分析】因?yàn)殛P(guān)于x的分式方程無(wú)解，即分式方程去掉分母化為整式方程，整式方程的解就是方程的增根，即x=3，據(jù)此即可求解． 【詳解】?jī)蛇呁瑫r(shí)乘以（x-3）去分母解得x=1+m， ∵方程無(wú)解，∴說(shuō)明有增根x=3，所以1+m=3，解得m=2，故答案為：2. 【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的解，理解分式方程的增根產(chǎn)生的原因是解題的關(guān)鍵． 例6.方程的解是______． 【難度】★★ 【答案】． 【解析】令，則原方程變形為， 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，解得：， 經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的解． 【總結(jié)】考查換元法解分式方程，注意解完后要檢驗(yàn)． 例7.（1）方程的根是______________； （2）方程的根是______________． 【難度】★★ 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）首先考慮，兩邊同時(shí)平方得：， ，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的增根， 所以原方程的根為：； 由，得；對(duì)原方程兩邊同時(shí)平方得： 即，∴，經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的增根， 所以原方程的解為：． 【總結(jié)】考查無(wú)理方程的解法，注意解完后要檢驗(yàn)． 例8.方程有______個(gè)實(shí)數(shù)根． 【難度】★★ 【答案】2個(gè)． 【解析】首先用換元法，令，降次得，根據(jù)一元二次方程根的判別式，可知：， 則方程有兩不相等的實(shí)數(shù)根，再由：根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）可知方程兩根之積為負(fù)， 則舍掉負(fù)根，那么其中的一個(gè)正根必然會(huì)對(duì)應(yīng)兩個(gè)解，也就是x的值． 【總結(jié)】考查高次方程的解的個(gè)數(shù)． 例9.學(xué)校舉行乒乓球女子單打比賽，采用單循環(huán)賽制，共比賽21場(chǎng)，則參加比賽的選手有 ___________名． 【難度】★★ 【答案】7 【解析】假設(shè)參賽選手有人，那么每個(gè)人都要和除了自己以外的個(gè)人去打比賽，則個(gè)人就要打場(chǎng)，又因?yàn)楸荣悊窝h(huán)賽制，這樣算下來(lái)有重復(fù)，所以再除以2，即可得最終比賽場(chǎng)次，那么根據(jù)題意可列出方程：，解得：n=7，即參賽選手有7名． 【總結(jié)】考查學(xué)生的知識(shí)廣度，本題涉及到一些小升初奧數(shù)知識(shí)，有條件的老師可略加拓展． 例10.（1）當(dāng)m______時(shí)，方程有實(shí)數(shù)解； （2）方程無(wú)解，m的值為_(kāi)_________． 【難度】★★ 【答案】（1） ；（2）． 【解析】（1）由，得；（2）由，得． 【總結(jié)】考查二次根式的非負(fù)性的運(yùn)用． 例11.方程產(chǎn)生增根，則k=_________． 【難度】★★ 【答案】k=或． 【解析】?jī)蛇呁瑫r(shí)乘以，可得：； 當(dāng)時(shí)，方程有增根，所以； 當(dāng)時(shí)，， 綜上所述k=或． 【總結(jié)】考查方程有增根的情況，注意先化成整式方程再代值計(jì)算． 例12.當(dāng)a=______時(shí)，關(guān)于x的方程無(wú)解． 【難度】★★ 【答案】a=或0． 【解析】當(dāng)a=時(shí)，方程可化為，無(wú)解；當(dāng)a=0時(shí)，方程可化為，無(wú)解． 【總結(jié)】考查方程無(wú)解的條件，注意進(jìn)行分類討論． 例13.若，則的值為_(kāi)_________． 【難度】★★ 【答案】5 【解析】． 【總結(jié)】考查完全平方公式的應(yīng)用． 例14.已知關(guān)于的分式方程的解是非正數(shù)，則的取值范圍是__________． 【難度】★★ 【答案】． 【解析】由題意，先去分母，得：，解得：． 首先，因?yàn)榉匠探馐欠钦龜?shù)，那么：，解得：， 其次，必須滿足原分式方程分母不為零：即，， 即，因此，． 【總結(jié)】考查方程的解的應(yīng)用及方程有意義的隱藏條件． 例15.一本書有a頁(yè)，若每天看b頁(yè)，則需要____天看完；若每天多看3頁(yè)，則需要_____天看完；若要比原來(lái)提前3天看完，則每天需要比原來(lái)多看______頁(yè)． 【難度】★★ 【答案】． 【解析】每天看b頁(yè)，需要天看完；每天多看3頁(yè)，需要天看完； 若要比原來(lái)提前3天看完，即現(xiàn)在需要天看完，現(xiàn)在每天看， ∴現(xiàn)在每天比原來(lái)多看頁(yè) 【總結(jié)】考查分式方程的應(yīng)用． 例16.兩個(gè)連續(xù)的正偶數(shù)的和的平方是196，這兩個(gè)數(shù)是______． 【難度】★★ 【答案】6、8． 【解析】設(shè)這兩個(gè)數(shù)分別為x、x+2，則，∴， ∴這兩個(gè)數(shù)分別是6、8． 【總結(jié)】考查方程在數(shù)字問(wèn)題中的簡(jiǎn)單應(yīng)用． 例17.方程的解中，、互為相反數(shù)的解是________． 【難度】★★ 【答案】或． 【解析】由題意，、互為相反數(shù)，即，代入方程得： 化簡(jiǎn)得：，即：，， 解得：，所以 所以互為相反數(shù)的兩個(gè)解是或． 【總結(jié)】考查方程的解的應(yīng)用． 例18.若方程組有兩組相等的實(shí)數(shù)解，則的值為_(kāi)_____． 【難度】★★ 【答案】． 【解析】由，代入化簡(jiǎn)可得：，即， 因?yàn)榉匠探M有兩組相等的實(shí)數(shù)解，所以△==， 解得：． 【總結(jié)】考查方程組有兩組相等的實(shí)數(shù)解的問(wèn)題，最終轉(zhuǎn)化為一元二次方程的解進(jìn)行求值． 例19.若是方程組的一個(gè)解，則這個(gè)方程組的另一個(gè)解是______． 【難度】★★ 【答案】． 【解析】將方程組的解代入原方程組，可得， 可以發(fā)現(xiàn)，只要滿足這樣的關(guān)系，就可以是方程組的解，那么我們考慮把x、y互換位置 即方程組的另一個(gè)解可以是． 【總結(jié)】考查方程的解的問(wèn)題，以后碰到類似的情況仍然可以使用這個(gè)辦法，因?yàn)閤、y是不分先后的． 例20.方程組，由①+②得，則原方程組可化為 與__________兩個(gè)方程組． 【難度】★★ 【答案】． 【解析】由題意，我們將開(kāi)方，得，故答案為． 【總結(jié)】考查二元二次方程組的因式分解問(wèn)題． 例21.若飛機(jī)在無(wú)風(fēng)時(shí)每小時(shí)飛行165千米，飛機(jī)依直線飛行了450千米后，依原來(lái)的路線飛回原處，已知飛機(jī)去時(shí)是逆風(fēng)，回來(lái)時(shí)是順風(fēng)，回來(lái)時(shí)比去時(shí)少用了半個(gè)小時(shí)，求風(fēng)速是多少，設(shè)風(fēng)速是x千米每小時(shí)，根據(jù)題意可列方程 ______________． 【難度】★★★ 【答案】． 【解析】設(shè)風(fēng)速是x，根據(jù)來(lái)回所用的時(shí)間差，可列方程： 【總結(jié)】考查分式方程，先找準(zhǔn)等量關(guān)系是關(guān)鍵，再依據(jù)題意列方程即可． 例22.若5，則=__________，=___________． 【難度】★★★ 【答案】． 【解析】由題意知：，∴， ∴，． 【總結(jié)】考查絕對(duì)值與平方的非負(fù)性的運(yùn)用． 例23.當(dāng)時(shí)，方程組的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)是__________個(gè)． 【難度】★★★ 【答案】2． 【解析】由題意，把代入，可得：， 根的判別式，因?yàn)椋芍? 則x有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，所以方程組也有兩個(gè)實(shí)數(shù)解． 【總結(jié)】考查含參數(shù)的方程組的應(yīng)用． 三、解答題 1．（2019·上海八年級(jí)單元測(cè)試）k為何值時(shí)，方程組只有唯一解？ 【答案】k=. 【分析】將方程組轉(zhuǎn)化為一元二次方程，根據(jù)△=0求解即可. 【詳解】 由（2）得， y=x-k（3） 將（3）代入（1）得，， 要使原方程組有唯一解，只需要上式的△=0，即 ， 解得，k=. 所以當(dāng)k=時(shí)，方程組只有唯一解. 【點(diǎn)睛】本題考查的是高次方程的解法和一元二次方程根的判別式的應(yīng)用，掌握當(dāng)判別式為0時(shí)，一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根是解題的關(guān)鍵． 2．（2019·上海八年級(jí)單元測(cè)試）已知直角三角形周長(zhǎng)為48厘米，面積為96平方厘米，求它的各邊長(zhǎng). 【答案】12cm、16cm、20cm. 【分析】設(shè)兩直角邊為a、b，則斜邊為，根據(jù)已知得：求解即可． 【詳解】設(shè)該直角三角形的兩條直角邊為a、b，則斜邊長(zhǎng)為，根據(jù)題意得， 解得或， 經(jīng)檢驗(yàn)，和都是方程的解，所以斜邊長(zhǎng)為cm. 答：該直角三角形的三邊長(zhǎng)分別是12cm、16cm、20cm. 【點(diǎn)睛】此題運(yùn)用三角形面積表示出，然后由勾股定理導(dǎo)出是關(guān)鍵． 3．（2019·上海八年級(jí)單元測(cè)試）若解分式方程產(chǎn)生增根，則m的值是多少？ 【答案】m=1或m=-2. 【分析】方程兩邊都乘以最簡(jiǎn)公分母x（x+1）化分式方程為整式方程，然后把增根代入進(jìn)行計(jì)算即可求出m的值． 【詳解】方程兩邊都乘以x（x+1）得，2x2-m-1=（x+1）2， 若分式方程產(chǎn)生增根，則x（x+1）=0，解得x=0或x=-1， 把代入整式方程，得解得； 把代入整式方程，得解得 ∴m=1或m=-2. 【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的增根的問(wèn)題，增根就是使分式方程的最簡(jiǎn)公分母等于0的未知數(shù)的值，把分式方程化為整式方程代入求解即可． 4．（2019·上海八年級(jí)單元測(cè)試）解下列方程 （1）　 （2） 【答案】(1) x1=1;(2) x1＝－1，x2＝3，x3＝－2，x4＝4. 【分析】（1）方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解，經(jīng)檢驗(yàn)即可得到分式方程的解； （2）運(yùn)用換元法求解即可. 【詳解】（1）方程兩邊同乘以(x+2)(x-2)，得(x-2)+4x-2(x+2)=(x+2)(x-2)，即x2-3x+2=0， ∴x1=1，x2=2． 檢驗(yàn)：x=1時(shí)，(x+2)(x-2)≠0，知x=1是原方程的解；x=2時(shí)，(x+2)(x-2)=0，知x=2是原方程的增根. 故原方程的根是x=1． （2）設(shè)x2－2x＝y(tǒng)， 則原方程變形為 （y＋2）（y＋1）＋25（y－2）（y＋1）＝24（y2－4） 整理后，得y2－11y＋24＝0. 解得 y1＝3，y2＝8. ①當(dāng)y＝3時(shí)，x2－2x＝3, 解得 x1＝－1，x2＝3， ②當(dāng)y＝8時(shí)，x2－2x＝8. 解得x3＝－2，x4＝4. 經(jīng)檢驗(yàn)：x1＝－1，x2＝3，x3＝－2，x4＝4都是原方程的解. 【點(diǎn)睛】 此題主要考查了分式方程的解法，解題的關(guān)鍵是熟練掌握運(yùn)用分式方程的解法. 5．（2019·上海八年級(jí)單元測(cè)試）已知a是非零整數(shù)，且滿足，解關(guān)于x的方程： 【答案】x1=，x2= 【分析】首先解不等式組求得a的范圍，然后根據(jù)a是非零整數(shù)，即可求得a的值，然后利用平方的方法即可求得． 【詳解】解：，解①得：a＞-，解②得：a＜， 則不等式組的解集是：-＜a＜．∵a是非零整數(shù)，∴a=1或-1． 當(dāng)a=-1時(shí)，方程無(wú)解． 當(dāng)a=1時(shí)，則方程是：， 設(shè)=y,則原方程變形為：y2+3y=10, 解得：(舍去), ,x2-3x=4，解得：x=和， 經(jīng)檢驗(yàn) x=和都是方程的解．故方程的解是：x1=，x2=． 【點(diǎn)睛】本題考查了無(wú)理方程．在解無(wú)理方程是最常用的方法是兩邊平方法及換元法，本題用了換元法． 6.解下列關(guān)于x的方程： （1）； （2）． 【難度】★★ 【答案】（1）；（2），． 【解析】（1）原方程可分解為：，∴， 解得原方程的解為：； （2）原方程可化為，即 ， 解得原方程的解為：，． 【總結(jié)】考查簡(jiǎn)單的整式方程的求解，注意含字母參數(shù)時(shí)要討論． 7.解下列關(guān)于x的方程： （1）； （2）． 【難度】★★ 【解析】（1）移項(xiàng)得：；分類討論： 當(dāng)時(shí)，方程左邊=0，右邊=0，有無(wú)數(shù)個(gè)解； 當(dāng)時(shí)，方程左邊=0，右邊0，無(wú)解； 當(dāng)時(shí)，方程有唯一解：； 觀察方程每一項(xiàng)都含有，故而考慮消去，而題中沒(méi)有說(shuō)明不等于零，那么要分類討論：當(dāng)時(shí)，方程左邊=右邊=0，有無(wú)數(shù)個(gè)解； 當(dāng)時(shí)，方程左邊右邊可同時(shí)約掉，方程化為：，即，得． 【總結(jié)】考查含參數(shù)的整式方程的解法，注意要分類討論． 8.解下列方程： （1）； （2）． 【難度】★★ 【答案】（1）；（2）73． 【解析】（1）兩邊平方得：，， 兩邊再平方得：，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的解； ，兩邊平方，整理得， 兩邊再平方，整理得：，解得：， 經(jīng)檢驗(yàn)，x=1是原方程的增根，所以是原方程的解為． 【總結(jié)】考查無(wú)理方程的解法，通常整理后兩邊平方即可，注意解完后要檢驗(yàn)． 9.解下列方程組： （1）； （2）； （3）． 【難度】★★ 【答案】（1）；（2）；（3）． 【解析】（1）由可得，代入得，， 即，再與原方程組②式子聯(lián)立，即可解得原方程組的解為：； 原方程組化為，兩式相除，得： 再把代入任一式，即得．所以原方程組的解為：； 原方程組化為，所以， 當(dāng)時(shí)，解得；當(dāng)時(shí)，解得； 故原方程組的解為． 【總結(jié)】考查二元二次方程組的解法，通常采用因式分解的方法，然后代入解出方程的解． 10.若x=2是方程的根，求m的值． 【難度】★★ 【答案】． 【解析】由題意，把x=2代入原方程，得， 兩邊平方得：，整理得：， 再兩邊平方得：，整理得：，解得：． 【總結(jié)】考查對(duì)無(wú)理方程的解得理解及簡(jiǎn)單應(yīng)用． 11.k為何值時(shí)，方程組 （1）有兩組相等的實(shí)數(shù)解? （2）有兩組不相等的實(shí)數(shù)解? （3）沒(méi)有實(shí)數(shù)解? 【難度】★★ 【答案】（1）=1；（2）；（3）． 【解析】把②式代入①式得：，整理得：， （1）當(dāng)且時(shí)，有兩個(gè)相等的值，解得：=1； 當(dāng)且時(shí)，有兩個(gè)不相等的值，解得：； （3）當(dāng)且時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)解，解得：． 【總結(jié)】考查含字母系數(shù)的方程組的解法，注意分類討論． 12.A、B兩地相距18公里，甲工程隊(duì)要在A、B兩地間鋪設(shè)一條輸送天然氣管道，乙工程 隊(duì)要在A、B兩地間鋪設(shè)一條輸油管道．已知甲工程隊(duì)每周比乙工程隊(duì)少鋪設(shè)1公里，甲工程隊(duì)提前3周開(kāi)工，結(jié)果兩隊(duì)同時(shí)完成任務(wù)，求甲、乙兩工程隊(duì)每周各鋪設(shè)多少公里管道． 【難度】★★ 【答案】甲工程隊(duì)每周鋪設(shè)管道2公里，則乙工程隊(duì)每周鋪設(shè)管道3公里． 【解析】設(shè)甲工程每周鋪設(shè)管道公里，則乙工程隊(duì)每周鋪設(shè)管道公里． 根據(jù)題意得：，方程兩邊同時(shí)乘以，得：， 化簡(jiǎn)得：，解得：， 經(jīng)檢驗(yàn)均是原方程的解，但不符合題意，故舍去， 故甲工程隊(duì)每周鋪設(shè)管道2公里，則乙工程隊(duì)每周鋪設(shè)管道3公里． 【總結(jié)】考查分式方程在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，注意要檢驗(yàn)． 13.將進(jìn)貨單價(jià)為35元的某種商品按照60元出售時(shí)，能賣出600個(gè)，已知這種商品每個(gè)漲價(jià)1元，其銷售量就會(huì)減少20個(gè)，考慮帶運(yùn)輸費(fèi)、柜面費(fèi)相等指出，每件商品還要追加5元成本，為了獲得8000元利潤(rùn)，售價(jià)應(yīng)為多少?這時(shí)該進(jìn)貨多少? 【難度】★★ 【答案】80元或50元，進(jìn)貨為200個(gè)或800個(gè)． 【解析】設(shè)漲價(jià)x元，根據(jù)題意可列方程：， 解得：，∴售價(jià)為80元或50元，此時(shí)進(jìn)貨為200個(gè)或800個(gè)． 【總結(jié)】考查方程在利潤(rùn)問(wèn)題中的應(yīng)用． 14.分式方程有解，求m的取值范圍． 【難度】★★★ 【答案】且． 【解析】方程兩邊同乘以：，得：，即：， 因?yàn)榉匠痰脑龈?，那么：?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，； 所以當(dāng)或時(shí)，方程有增根，故要使原方程有解，則且． 【總結(jié)】考查對(duì)分式方程有解的理解，最終轉(zhuǎn)化為求增根的問(wèn)題． 15.某街道改建工程指揮部，要對(duì)某路段工程進(jìn)行招標(biāo)，接到了甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)的投標(biāo)書． 從投標(biāo)書中得知：甲隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程所需天數(shù)是乙隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程所需天數(shù)的；若由甲隊(duì)先做10天，剩下的工程再由甲、乙兩隊(duì)合作30天可以完成． （1）求甲、乙兩隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程各需多少天? （2）已知甲隊(duì)每天的施工費(fèi)用為0.84萬(wàn)元，乙隊(duì)每天的施工費(fèi)用為0.56萬(wàn)元．工程預(yù)算的施工費(fèi)用為50萬(wàn)元，為縮短工期以減少對(duì)住戶的影響，擬安排甲、乙兩隊(duì)合作完成這項(xiàng)工程，則工程預(yù)算的施工費(fèi)用是否夠用?若不夠用，需追加預(yù)算多少萬(wàn)元?請(qǐng)給出你的判斷并說(shuō)明理由． 【難度】★★★ 【答案】（1）60、90；（2）夠用． 【解析】（1）設(shè)乙隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需要天，則甲對(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需要天， 則：，解得：；經(jīng)檢驗(yàn)：是原方程的解且符合題意． 故甲、乙兩隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程各需60天、90天． 設(shè)甲乙兩隊(duì)合作，完成這項(xiàng)工程需天，則：，解得： 需要施工費(fèi)用（0.84+0.56）36=50.4>50， 所以預(yù)算的施工費(fèi)用不夠用，需加預(yù)算0.4萬(wàn)元． 【總結(jié)】考查分式方程在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，注意要檢驗(yàn)． 16.今年五月，某工程隊(duì)(有甲、乙兩組)承包人民路中段的路基改造工程，規(guī)定若干天內(nèi)完 成． （1）已知甲組單獨(dú)完成這項(xiàng)工程所需時(shí)間比規(guī)定時(shí)間的2倍多4天，乙組單獨(dú)完成這項(xiàng)工程所需時(shí)間比規(guī)定時(shí)間的2倍少16天．如果甲、乙兩組合做24天完成，那么甲、乙兩組合做能否在規(guī)定時(shí)間內(nèi)完成? （2）在實(shí)際工作中，甲、乙兩組合做完成這項(xiàng)工程的后，工程隊(duì)又承包了東段的改造工程，需抽調(diào)一組過(guò)去，從按時(shí)完成中段任務(wù)考慮，你認(rèn)為抽調(diào)哪一組最好?請(qǐng)說(shuō)明理由． 【難度】★★★ 【答案】（1）能；（2）甲組． 【解析】設(shè)規(guī)定時(shí)間為天，則，解得：， 經(jīng)檢驗(yàn)都是原方程的解．但x=2不符合題意，舍去． 由2428，所以甲單獨(dú)做剩下工程不能在規(guī)定時(shí)間內(nèi)完成；乙單獨(dú)做剩下工程所需時(shí)間：天．因?yàn)?0+=

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