模塊一：平面向量的概念
知識精講
1．有向線段
規(guī)定了方向的線段叫做有向線段．
2．向量
既有大小又有方向的量叫做向量．
向量的大小也叫做向量的長度．（或向量的模）
3．向量的表示
（1）向量可以用有向線段直觀表示
①有向線段的長度表示向量的長度；
②有向線段的方向表示向量的方向．
（2）常見的表示方法
①向量，長度記為；
②向量、、，長度記為、、．
4．相等的向量
方向相同且長度相等的兩個(gè)向量叫做相等的向量．
5．相反的向量
方向相反且長度相等的兩個(gè)向量叫做互為相反的向量．
6．平行向量
方向相同或相反的兩個(gè)向量叫做平行向量．
例題解析
例1.判斷下列語句是否正確：
（1）用有向線段表示向量時(shí)，起點(diǎn)不同但“同向且等長”的有向線段表示相等的向量；
（2）表示兩個(gè)向量的有向線段具有同一起點(diǎn)，那么當(dāng)兩個(gè)向量不相等時(shí)，兩個(gè)有向線
段的終點(diǎn)有可能相同；
（3）向量與向量是同一個(gè)向量；
（4）相等向量一定是平行向量；
（5）互為相反的向量不一定是平行向量；
（6）平行向量一定是相等向量或互為相反的向量．
例2．（2020·上海楊浦區(qū)·八年級期末）如圖，點(diǎn)、在線段上，，那么下列結(jié)論中，正確的是（ ）
A．與是相等向量B．與是平行向量
C．與是相反向量D．與是相等向量
例3．（2019·全國九年級課時(shí)練習(xí)）給出下列3個(gè)命題，其中真命題的個(gè)數(shù)是（ ）．
①單位向量都相等；②單位向量都平行；③平行的單位向量必相等．
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．0個(gè)
例4．（2020·上海嘉定區(qū)·八年級期末）已知四邊形是矩形，點(diǎn)是對角線與的交點(diǎn).下列四種說法：①向量與向量是相等的向量；②向量與向量是互為相反的向量；③向量與向量是相等的向量；④向量與向量是平行向量．其中正確的個(gè)數(shù)為（ ）
A．1B．2C．3D．4
例5．（2020·上海徐匯區(qū)·）在梯形ABCD中，AD∥BC，AB﹦CD，那么下列結(jié)論中正確的是（ ）．
A．與是相等向量；B．與是相等向量；
C．與是相反向量；D．與是平行向量．
例6．（2019·上海閔行區(qū)·）在矩形中，下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．B．C．D．
例7.下列說法中正確的是（ ）
A．相反向量是平行向量 B．平行向量是相等向量
C．平行向量的方向相同 D．平行向量的方向相反
例8.已知向量與向量是互為相反的向量，如果，那么 ．
例9.下列說法中錯(cuò)誤的是（ ）
A．如果向量與向量平行，那么存在唯一的實(shí)數(shù)使得；
B．如果、為實(shí)數(shù)，那么；
C．如果、為實(shí)數(shù)，那么；
D．如果、為實(shí)數(shù)，那么．
例10.如果，那么下列結(jié)論中，正確的是（ ）
A． B． C． D．．
例11.下列說法中正確的是（ ）
① ，則 ； ②若，則；
③若 ，則； ④若，則．
A．1 B．2 C．3 D．4
例12.四邊形OACB是平行四邊形，AB、OC是對角線．如果，，
那么= ，= ．
例13．（2019·全國九年級課時(shí)練習(xí)）如圖，、、分別為等邊三角形的邊、、的中點(diǎn)，在以、、、、、為起點(diǎn)或終點(diǎn)的向量中，求出與平行的向量．
例14.在梯形中，，，，點(diǎn)在上，如果把圖中
線段都畫成有向線段，那么在這些有向線段表示的向量中，指出（用符號表示）．
（1）所有與相等的向量；
（2）所有與互為相反的向量；
（3）所有與平行的向量．
例15.如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，交CD于點(diǎn)E，如果把圖中的線段都表示有向線段，那么在這些有向線段表示的向量中，
找出所有與向量的平行向量；
若CD=2AB，指出所有與向量相等的向量；
聯(lián)結(jié)AC、BE交于點(diǎn)O，在向量、、、中找出兩對相反的向量．
例16.甲從點(diǎn)A出發(fā)向正東方向走了2千米，到達(dá)點(diǎn)B，然后向東北方向前進(jìn)千米，達(dá)到點(diǎn)C，最后向正東方向前進(jìn)5千米到達(dá)D停下，
畫出向量、、； （2）求出向量、模的大小
模塊二：向量的加法
知識精講
1．向量的加法
求兩個(gè)向量的和向量的運(yùn)算叫做向量的加法．
2．零向量
長度為零的向量叫做零向量，記作．規(guī)定的方向可以是任意的（或者說不確定）；．
因此，兩個(gè)相反向量的和向量是零向量，即：．
對于任意向量，都有，．
3．向量的加法滿足交換律：．
4．向量的加法滿足結(jié)合律：．
5．向量加法的三角形法則
求不平行的兩個(gè)向量的和向量時(shí)，只要把第二個(gè)向量與第一個(gè)向量首尾相接，那么以第一個(gè)向量的起點(diǎn)為起點(diǎn)、第二個(gè)向量的終點(diǎn)為終點(diǎn)的向量就是和向量．
6．向量加法的多邊形法則
幾個(gè)向量相加，可把這幾個(gè)向量首尾順次相接，那么以第一個(gè)向量的起點(diǎn)為起點(diǎn)、最后一個(gè)向量的終點(diǎn)為終點(diǎn)的向量，就是這幾個(gè)向量的和向量．
例題解析
例1.化簡：
（1） ；
（2）_______________．
例2．（2021·上海專題練習(xí)）在平行四邊形中，設(shè)，，點(diǎn)是對角線與的交點(diǎn)，那么向量可以表示為（ ）
A．；B．；C．；D．．
例3．（2017·上海八年級期末）如圖，已知在△ABC中，點(diǎn)D、E、F分別是AB、AC、BC的中點(diǎn)．下列結(jié)論不正確的是（ ）
A．∥B．
C．D．
例4．（2018·上海市民辦揚(yáng)波中學(xué)八年級期末）在□ABCD中，O是對角線的交點(diǎn)，那么____．
例5．（2019課時(shí)練習(xí)）平行四邊形中，對角線、相交于點(diǎn)，設(shè)向量，，則向量______．
例6．（2018·上海市民辦揚(yáng)波中學(xué)八年級期末）已知向量 、

求作：．
例7.已知，，∠AOB=60°，則___________．
例8.下列等式中正確的個(gè)數(shù)是（）
①+=+；②（）=；③+（）=0；④+=．
A．1B．2C．3D．4
例9.如圖，O為平行四邊形ABCD對角線AC、BD的交點(diǎn)，設(shè)、、、
，則下列結(jié)論不正確的是（）
A．B．
C．D．
例10.在四邊形ABCD中，，則（）
A．ABCD是矩形B．ABCD是菱形
C．ABCD是正方形D．ABCD是平行四邊形
例11.已知正方形ABCD的邊長為1，，則為（）
A．0B．3C．D．2
例12．（2019·上海閔行區(qū)·）已知：如圖，在等腰梯形中，，，為的中點(diǎn)，設(shè)，．
（1）填空：________；________；________；（用，的式子表示）
（2）在圖中求作．（不要求寫出作法，只需寫出結(jié)論即可）
例13.如圖，已知向量，其中．
求作：（1）；（2）；
（3）；（4）．
模塊三：向量的減法
知識精講
1．向量的減法
已知兩個(gè)向量的和及其中一個(gè)向量，求另一個(gè)向量的運(yùn)算叫做向量的減法．
減去一個(gè)向量等于加上這個(gè)向量的相反向量，即：．
2．向量減法的三角形法則
在平面內(nèi)取一點(diǎn)，以這個(gè)點(diǎn)為公共起點(diǎn)作出這兩個(gè)向量，那么它們的差向量是以減
向量的終點(diǎn)為起點(diǎn)，被減向量的終點(diǎn)為終點(diǎn)的向量．
3．向量加法的平行四邊形法則
如果，是兩個(gè)不平行的向量，那么求它們的和向量時(shí)，可以在平面內(nèi)任取一點(diǎn)為公
共起點(diǎn)作兩個(gè)向量與，相等，以這兩個(gè)向量為鄰邊作平行四邊形，然后以所取的公共起
點(diǎn)為起點(diǎn)，作這個(gè)平行四邊形的對角線向量，則這一對角線向量就是，的和向量，這個(gè)
法則叫做向量加法的平行四邊形法則．
另外一個(gè)對角線向量，即是，的差向量，這個(gè)差向量與被減向量共終點(diǎn)．
例題解析
例1.化簡：_______________．
例2.下列說法中正確的是（ ）
A． B．對任意兩個(gè)向量，都是相反向量
C．在△ABC中， D．在四邊形ABCD中，
例3.在平行四邊形ABCD中，設(shè)，則下列中不正確的
（ ）
A． B． C． D．
例4．（2018·上海閔行區(qū)·八年級月考）下列各式中錯(cuò)誤的是( )
A． B．
C． D．
例5．（2019·上海松江區(qū)·）已知向量，（如圖），請用向量的加法的平行四邊形法則作向量（不寫作法，畫出圖形）
例6．（2019·上海八年級課時(shí)練習(xí)）一條漁船距對岸4km，以2km/h速度向垂直于對岸的方向劃去，到達(dá)對岸時(shí)，船的實(shí)際航程為8km，求河水的流速.
例7．（2018·上海寶山區(qū)·八年級期末）如圖，在ABCD中，AB∥CD，AD＝BC，∠B＝60°，AC平分∠DAB．
(1)求∠ACB的度數(shù)；
(2)如果AD＝1，請直接寫出向量和向量的模．
例8.如圖，在圖中畫出向量．
例9.如圖，多邊形是正六邊形，設(shè)，．試用向量和表示向量，，．
例10.已知□OACB，設(shè)，試用向量，表示向量．
例11.如圖，已知在梯形中，，點(diǎn)在邊上，聯(lián)結(jié)，．
（1）填空： ； ．
（2）求作：．
例12.如圖所示，是四個(gè)全等且相鄰的正方形，請用三角形法則說明：
=．
例13.已知中，，求證：四邊形ABCD是矩形．
隨堂檢測
1.若非零向量是的相反向量，則下列說法不正確的是（ ）
A．與的模不一定相等 B．與平行
C．與一定不相等 D．也是的相反向量
2.兩個(gè)非零向量，互為相反向量，則下列各式正確的個(gè)數(shù)是（ ）
①； ②； ③； ④．
A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
3.下列等式中，不正確的是（ ）
A． B．
C． D．
4.下列命題中，假命題的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
5.計(jì)算：
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ．
6.已知：矩形ABCD中，對角線AC、BD相交于點(diǎn)O．
（1）利用圖中的向量表示： ；
（2）利用圖中的向量表示： ；
（3）如果則 ．
7.已知在梯形中，，是的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)和．畫出圖形，并寫出所有與平行的向量．
8.如圖，已知中，設(shè)，，試用、表示下列向量：
（1）； （2）； （3）； （4）；
（5）求作向量：；
（6）求作向量：．
9.已知，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，請回答下列問題：
（1）在圖中求作與的和向量： ；
（2）如果把圖中線段都畫成有向線段，那么在這些有向線段所表示的向量中，所有與
互為相反向量的是 ；
（3） ．
10.已知，，，求作向量：．
第13講 平面向量的加減法
本節(jié)課對向量的概念和性質(zhì)進(jìn)行講解，以及如何利用三角形小法則和平行四邊形法則計(jì)算向量的加減運(yùn)算，是平面向量的基礎(chǔ)．在學(xué)習(xí)本章節(jié)的過程中，沒注意零向量的特殊性以及向量的方向
模塊一：平面向量的概念
知識精講
1．有向線段
規(guī)定了方向的線段叫做有向線段．
2．向量
既有大小又有方向的量叫做向量．
向量的大小也叫做向量的長度．（或向量的模）
3．向量的表示
（1）向量可以用有向線段直觀表示
①有向線段的長度表示向量的長度；
②有向線段的方向表示向量的方向．
（2）常見的表示方法
①向量，長度記為；
②向量、、，長度記為、、．
4．相等的向量
方向相同且長度相等的兩個(gè)向量叫做相等的向量．
5．相反的向量
方向相反且長度相等的兩個(gè)向量叫做互為相反的向量．
6．平行向量
方向相同或相反的兩個(gè)向量叫做平行向量．
例題解析
例1.判斷下列語句是否正確：
（1）用有向線段表示向量時(shí)，起點(diǎn)不同但“同向且等長”的有向線段表示相等的向量；
（2）表示兩個(gè)向量的有向線段具有同一起點(diǎn)，那么當(dāng)兩個(gè)向量不相等時(shí)，兩個(gè)有向線
段的終點(diǎn)有可能相同；
（3）向量與向量是同一個(gè)向量；
（4）相等向量一定是平行向量；
（5）互為相反的向量不一定是平行向量；
（6）平行向量一定是相等向量或互為相反的向量．
【難度】★
【答案】（1）正確；（2）錯(cuò)誤；（3）錯(cuò)誤；（4）正確；（5）錯(cuò)誤；（6）錯(cuò)誤．
【解析】相等的向量：方向相同且長度相等的兩個(gè)向量叫做相等的向量．
相反的向量：方向相反且長度相等的兩個(gè)向量叫做互為相反的向量．
平行向量：方向相同或相反的兩個(gè)向量叫做平行向量．
【總結(jié)】考察向量的概念．注意向量的兩要素：方向和長度．
例2．（2020·上海楊浦區(qū)·八年級期末）如圖，點(diǎn)、在線段上，，那么下列結(jié)論中，正確的是（ ）
A．與是相等向量B．與是平行向量
C．與是相反向量D．與是相等向量
【答案】B
【分析】由AC=BD，可得AD=BD，即可得與是平行向量，，繼而證得結(jié)論．
【詳解】A、∵AC=BD，
∴，該選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、∵點(diǎn)C、D是線段AB上的兩個(gè)點(diǎn)，
∴與是平行向量，該選項(xiàng)正確；
C、∵AC=BC，
∴AD≠BD，
∴與不是相反向量，該選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D、∵AC=BD，
∴AD=BC，
∴，該選項(xiàng)錯(cuò)誤；
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量的知識．注意掌握相等向量與相反向量的定義是解此題的關(guān)鍵．
例3．（2019·全國九年級課時(shí)練習(xí)）給出下列3個(gè)命題，其中真命題的個(gè)數(shù)是（ ）．
①單位向量都相等；②單位向量都平行；③平行的單位向量必相等．
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．0個(gè)
【答案】D
【分析】根據(jù)單位向量的定義、相等向量的定義和平行向量的定義逐一判斷即可.
【詳解】解：①單位向量的方向不一定相同，故①錯(cuò)誤；
②單位向量不一定平行，例如向上的單位向量和向右的單位向量，故②錯(cuò)誤；
③平行的單位向量可能方向相反，所以平行的單位向量不一定相等，故③錯(cuò)誤.
故選D.
【點(diǎn)睛】此題考查的是平面向量的基本概念，掌握單位向量的定義、相等向量的定義和平行向量的定義是解決此題的關(guān)鍵.
例4．（2020·上海嘉定區(qū)·八年級期末）已知四邊形是矩形，點(diǎn)是對角線與的交點(diǎn).下列四種說法：①向量與向量是相等的向量；②向量與向量是互為相反的向量；③向量與向量是相等的向量；④向量與向量是平行向量．其中正確的個(gè)數(shù)為（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】利用矩形的性質(zhì)，相等向量，平行向量的定義一一判斷即可．
【詳解】解：如圖：
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AB∥CD，OA=OC，OB=OD，
∴①向量與向量是相等的向量，正確．
②向量與向量是互為相反的向量，正確．
③向量與向量是相等的向量；錯(cuò)誤．
④向量與向量是平行向量．正確．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查平面向量，矩形的性質(zhì)等知識，長度相等且方向相同的兩個(gè)向量叫做相等向量，平行向量也叫共線向量，是方向相同或相反的非零向量．
例5．（2020·上海徐匯區(qū)·）在梯形ABCD中，AD∥BC，AB﹦CD，那么下列結(jié)論中正確的是（ ）．
A．與是相等向量；B．與是相等向量；
C．與是相反向量；D．與是平行向量．
【答案】D
【分析】根據(jù)相等向量、相反向量、平行向量的定義解答即可．
【詳解】解：A、AB=CD，但AB不平行于CD，≠，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、AD//BC，AB=CD，AC=BD，但AC不平行于BD，≠，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C、AD//BC，與不一定是相反向量，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D、AD//BC，與是平行向量，故本選項(xiàng)正確．
故答案為：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量的相關(guān)知識，掌握相等向量、相反向量、平行向量的定義是解答本題的關(guān)鍵．
例6．（2019·上海閔行區(qū)·）在矩形中，下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)相等向量及向量長度的概念逐一進(jìn)行判斷即可．
【詳解】相等向量：長度相等且方向相同的兩個(gè)向量 ．
A. ，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B. ，但方向不同，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C. 根據(jù)矩形的性質(zhì)可知，對角線互相平分且相等，所以，故該選項(xiàng)正確；
D. ，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查相等向量及向量的長度，掌握相等向量的概念是解題的關(guān)鍵．
例7.下列說法中正確的是（ ）
A．相反向量是平行向量 B．平行向量是相等向量
C．平行向量的方向相同 D．平行向量的方向相反
【難度】★
【答案】A
【解析】平行向量：方向相同或相反的兩個(gè)向量叫做平行向量．
【總結(jié)】考察向量的概念．注意向量的兩要素：方向和長度．
例8.已知向量與向量是互為相反的向量，如果，那么 ．
【難度】★
【答案】-1
【解析】相反的向量：方向相反且長度相等的兩個(gè)向量叫做互為相反的向量．
【總結(jié)】考察向量的概念．注意向量的兩要素：方向和長度．
例9.下列說法中錯(cuò)誤的是（ ）
A．如果向量與向量平行，那么存在唯一的實(shí)數(shù)使得；
B．如果、為實(shí)數(shù)，那么；
C．如果、為實(shí)數(shù)，那么；
D．如果、為實(shí)數(shù)，那么．
【難度】★
【答案】A
【解析】A答案錯(cuò)誤，當(dāng)時(shí)，此說法不成立．
【總結(jié)】考察向量的線性運(yùn)算，注意零向量的特殊性．
例10.如果，那么下列結(jié)論中，正確的是（ ）
A． B． C． D．．
【難度】★★
【答案】B
【解析】如果，那么四邊形ABDC是平行四邊形，則，
所以．
【總結(jié)】考察向量的概念．注意向量的兩要素：方向和長度．
例11.下列說法中正確的是（ ）
① ，則 ； ②若，則；
③若 ，則； ④若，則．
A．1 B．2 C．3 D．4
【難度】★★
【答案】B
【解析】①、③正確；②、④錯(cuò)誤．
【總結(jié)】考察向量的概念．注意向量的兩要素：方向和長度．
例12.四邊形OACB是平行四邊形，AB、OC是對角線．如果，，
那么= ，= ．
【難度】★★
【答案】，．
【解析】，．
【總結(jié)】考察向量的加減運(yùn)算．
例13．（2019·全國九年級課時(shí)練習(xí)）如圖，、、分別為等邊三角形的邊、、的中點(diǎn)，在以、、、、、為起點(diǎn)或終點(diǎn)的向量中，求出與平行的向量．
【答案】與平行的向量有、、、、、．
【分析】根據(jù)中位線的性質(zhì)和平行向量的定義即可寫出與平行的向量.
【詳解】解：∵、分別為等邊三角形的邊、的中點(diǎn)，
∴EF∥BC
∴與平行的向量有、、、、、．
【點(diǎn)睛】此題考查的是三角形的中位線的性質(zhì)和平行向量，掌握三角形的中位線平行于第三邊和平行向量的定義是解決此題的關(guān)鍵.
例14.在梯形中，，，，點(diǎn)在上，如果把圖中
線段都畫成有向線段，那么在這些有向線段表示的向量中，指出（用符號表示）．
（1）所有與相等的向量；
（2）所有與互為相反的向量；
（3）所有與平行的向量．
【難度】★★
【答案】（1）；（2）、；（3），，，，，，．
【解析】相等的向量：方向相同且長度相等的兩個(gè)向量叫做相等的向量．
相反的向量：方向相反且長度相等的兩個(gè)向量叫做互為相反的向量．
平行向量：方向相同或相反的兩個(gè)向量叫做平行向量．
【總結(jié)】考察向量的概念．注意向量的兩要素：方向和長度．
例15.如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，交CD于點(diǎn)E，如果把圖中的線段都表示有向線段，那么在這些有向線段表示的向量中，
找出所有與向量的平行向量；
若CD=2AB，指出所有與向量相等的向量；
聯(lián)結(jié)AC、BE交于點(diǎn)O，在向量、、、中找出兩對相反的向量．
【難度】★★
【答案】（1），，；（2），；
（3）與互為相反的向量；、互為相反的向量．
【解析】∵AB∥CD，
∴四邊形ABCE是平行四邊形，則
當(dāng)CD=2AB，所以．
【總結(jié)】考察向量的相關(guān)概念．注意向量的兩要素：方向和長度．
例16.甲從點(diǎn)A出發(fā)向正東方向走了2千米，到達(dá)點(diǎn)B，然后向東北方向前進(jìn)千米，達(dá)到點(diǎn)C，最后向正東方向前進(jìn)5千米到達(dá)D停下，
畫出向量、、； （2）求出向量、模的大小
【難度】★★★
【答案】（1）如圖；

（2），．
【解析】（2）由圖可知：，
∵，，∴．
∵，∴．
∵，∴．
【總結(jié)】考察向量的畫法和勾股定理的運(yùn)用，注意對向量的模的理解．
模塊二：向量的加法
知識精講
1．向量的加法
求兩個(gè)向量的和向量的運(yùn)算叫做向量的加法．
2．零向量
長度為零的向量叫做零向量，記作．規(guī)定的方向可以是任意的（或者說不確定）；．
因此，兩個(gè)相反向量的和向量是零向量，即：．
對于任意向量，都有，．
3．向量的加法滿足交換律：．
4．向量的加法滿足結(jié)合律：．
5．向量加法的三角形法則
求不平行的兩個(gè)向量的和向量時(shí)，只要把第二個(gè)向量與第一個(gè)向量首尾相接，那么以第一個(gè)向量的起點(diǎn)為起點(diǎn)、第二個(gè)向量的終點(diǎn)為終點(diǎn)的向量就是和向量．
6．向量加法的多邊形法則
幾個(gè)向量相加，可把這幾個(gè)向量首尾順次相接，那么以第一個(gè)向量的起點(diǎn)為起點(diǎn)、最后一個(gè)向量的終點(diǎn)為終點(diǎn)的向量，就是這幾個(gè)向量的和向量．
例題解析
例1.化簡：
（1） ；
（2）_______________．
【難度】★
【答案】（1）；（2）．
【解析】（2）
【總結(jié)】考察向量的加法，注意向量加法運(yùn)算規(guī)律．
例2．（2021·上海專題練習(xí)）在平行四邊形中，設(shè)，，點(diǎn)是對角線與的交點(diǎn)，那么向量可以表示為（ ）
A．；B．；C．；D．．
【答案】A
【分析】利用平行四邊形的性質(zhì)以及三角形法則計(jì)算即可．
【詳解】解：∵ABCD為平行四邊形，
∴
∴
∴
故答案選:A
【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，平面向量等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．
例3．（2017·上海八年級期末）如圖，已知在△ABC中，點(diǎn)D、E、F分別是AB、AC、BC的中點(diǎn)．下列結(jié)論不正確的是（ ）
A．∥B．
C．D．
【答案】B
【解析】根據(jù)三角形法則，結(jié)合圖形，即可判斷出不正確的選項(xiàng)．
解：∵點(diǎn)D、E、F分別是AB、AC、BC的中點(diǎn)，
∴DE∥BC，
∴∥，A選項(xiàng)正確；
﹣=，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；
=﹣，C選項(xiàng)正確；
++=，D選項(xiàng)正確；
故選B．
例4．（2018·上海市民辦揚(yáng)波中學(xué)八年級期末）在□ABCD中，O是對角線的交點(diǎn)，那么____．
【答案】
【分析】由向量的平行四邊形法則及相等向量的概念可得答案．
【詳解】解：因?yàn)椋骸魽BCD，
所以，，
所以：．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查向量的平行四邊形法則，掌握向量的平行四邊形法則是解題的關(guān)鍵．
例5．（2019課時(shí)練習(xí)）平行四邊形中，對角線、相交于點(diǎn)，設(shè)向量，，則向量______．
【答案】
【分析】根據(jù)向量加法的平行四邊形法則可得: ,然后根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可求出:.
【詳解】解:∵平行四邊形中, 向量，，
∴,
∴
故答案為: .
【點(diǎn)睛】此題考查的是平行四邊形的性質(zhì)及向量的加法,掌握平行四邊形的對角線互相平分和向量加法的平行四邊形法則是解決此題的關(guān)鍵.
例6．（2018·上海市民辦揚(yáng)波中學(xué)八年級期末）已知向量 、

求作：．
【分析】在平面內(nèi)任取一點(diǎn)，分別作出，，利用向量運(yùn)算的平行四邊形法則即可得到答案．
【詳解】解：在平面內(nèi)任取一點(diǎn)，作，作 ，則即為所求．如下圖．

【點(diǎn)睛】已知基底求作向量，就是先取平面上任意一點(diǎn)，先分別作出與基底共線的向量，再利用向量加法的平行四邊形法則作出和向量．
例7.已知，，∠AOB=60°，則___________．
【難度】★
【答案】8
【解析】由題意有：△OAB是等邊三角形，所以．
【總結(jié)】考察向量的加法與幾何圖形的結(jié)合．
例8.下列等式中正確的個(gè)數(shù)是（）
①+=+；②（）=；③+（）=0；④+=．
A．1B．2C．3D．4
【難度】★★
【答案】C
【解析】①、②、④正確，③錯(cuò)誤，正確應(yīng)為．
【總結(jié)】考察向量的加法．注意零向量的特殊性．
例9.如圖，O為平行四邊形ABCD對角線AC、BD的交點(diǎn)，設(shè)、、、
，則下列結(jié)論不正確的是（）
A．B．
C．D．
【難度】★★
【答案】A
【解析】A正確為．
【總結(jié)】考察向量的加法，注意零向量的特殊性．
例10.在四邊形ABCD中，，則（）
A．ABCD是矩形B．ABCD是菱形
C．ABCD是正方形D．ABCD是平行四邊形
【難度】★★
【答案】D
【解析】以AB、AC為鄰邊作平行四邊形ABCD，則可得：．
【總結(jié)】考察向量加法的法則與幾何圖形間的關(guān)系．
例11.已知正方形ABCD的邊長為1，，則為（）
A．0B．3C．D．2
【難度】★★
【答案】D
【解析】．
【總結(jié)】考察向量的加法與正方形性質(zhì)的結(jié)合．
例12．（2019·上海閔行區(qū)·）已知：如圖，在等腰梯形中，，，為的中點(diǎn)，設(shè)，．
（1）填空：________；________；________；（用，的式子表示）
（2）在圖中求作．（不要求寫出作法，只需寫出結(jié)論即可）
【答案】（1）；；（或）；（2）圖見解析， ．
【分析】（1）利用即可求出,首先根據(jù)已知可知，然后利用即可求出，利用即可求出；
（2）首先根據(jù)已知可知，然后利用三角形法則即可求出．
【詳解】（1）．
∵，，
∴，
∴．
；
（2）作圖如下：
∵，為的中點(diǎn)，
∴．
∵，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題主要考查向量的運(yùn)算，掌握向量的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
例13.如圖，已知向量，其中．
求作：（1）；（2）；
（3）；（4）．
【難度】★★
【答案】（1） ，為所求；
，為所求；
，為所求；
，為所求．
【解析】向量加法首尾相連．
【總結(jié)】考察向量加法的畫法A5
A6
An
．
模塊三：向量的減法
知識精講
1．向量的減法
已知兩個(gè)向量的和及其中一個(gè)向量，求另一個(gè)向量的運(yùn)算叫做向量的減法．
減去一個(gè)向量等于加上這個(gè)向量的相反向量，即：．
2．向量減法的三角形法則
在平面內(nèi)取一點(diǎn)，以這個(gè)點(diǎn)為公共起點(diǎn)作出這兩個(gè)向量，那么它們的差向量是以減
向量的終點(diǎn)為起點(diǎn)，被減向量的終點(diǎn)為終點(diǎn)的向量．
3．向量加法的平行四邊形法則
如果，是兩個(gè)不平行的向量，那么求它們的和向量時(shí)，可以在平面內(nèi)任取一點(diǎn)為公
共起點(diǎn)作兩個(gè)向量與，相等，以這兩個(gè)向量為鄰邊作平行四邊形，然后以所取的公共起
點(diǎn)為起點(diǎn)，作這個(gè)平行四邊形的對角線向量，則這一對角線向量就是，的和向量，這個(gè)
法則叫做向量加法的平行四邊形法則．
另外一個(gè)對角線向量，即是，的差向量，這個(gè)差向量與被減向量共終點(diǎn)．
例題解析
例1.化簡：_______________．
【難度】★
【答案】．
【解析】．
【總結(jié)】考察向量的減法與加法法則的綜合運(yùn)用．
例2.下列說法中正確的是（ ）
A． B．對任意兩個(gè)向量，都是相反向量
C．在△ABC中， D．在四邊形ABCD中，
【難度】★
【答案】B
【解析】A正確應(yīng)為，C正確應(yīng)為；
D正確應(yīng)為．
【總結(jié)】考察向量的加減法的綜合運(yùn)用．
例3.在平行四邊形ABCD中，設(shè)，則下列中不正確的
（ ）
A． B． C． D．
【難度】★
【答案】B
【解析】由向量的減法可知B是錯(cuò)誤的，正確應(yīng)為
【總結(jié)】考察向量的加減法的運(yùn)用．
例4．（2018·上海閔行區(qū)·八年級月考）下列各式中錯(cuò)誤的是( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)向量的運(yùn)算法則和運(yùn)算律判斷即可.
【詳解】解：A. ，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，B，C，D，均正確，
故選：A.
【點(diǎn)睛】本題考查了向量的運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則和運(yùn)算律是解題關(guān)鍵.
例5．（2019·上海松江區(qū)·）已知向量，（如圖），請用向量的加法的平行四邊形法則作向量（不寫作法，畫出圖形）
【分析】利用向量的加法的平行四邊形法則即可解決問題．
【詳解】如圖:
即為所求．
【點(diǎn)睛】本題考查作圖-復(fù)雜作圖，平面向量等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握向量的加法的平行四邊形法則，屬于中考?？碱}型．
例6．（2019·上海八年級課時(shí)練習(xí)）一條漁船距對岸4km，以2km/h速度向垂直于對岸的方向劃去，到達(dá)對岸時(shí)，船的實(shí)際航程為8km，求河水的流速.
【答案】
【分析】由題意知，由勾股定理求出水流的距離，然后求解河水的流速.
【詳解】解：如圖，設(shè)表示船垂直于對岸的速度，表示水流的速度，
則由，就是漁船實(shí)際航行的速度，
航行的時(shí)間為
在中，，
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了向量在物理中的應(yīng)用，直角三角形以及勾股定理模型的應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合是解答本題的關(guān)鍵.
例7．（2018·上海寶山區(qū)·八年級期末）如圖，在ABCD中，AB∥CD，AD＝BC，∠B＝60°，AC平分∠DAB．
(1)求∠ACB的度數(shù)；
(2)如果AD＝1，請直接寫出向量和向量的模．
【答案】(1)∠ACB＝90°；(2)模分別為1和2．
【分析】（1）證明四邊形ABCD是等腰梯形即可解決問題；（2）求出線段CD、AB的長度即可；
【詳解】(1)∵CD∥AB，AD＝BC，
∴四邊形ABCD是等腰梯形，
∴∠DAB＝∠B＝60°，
∵AC平分∠DAB，
∴∠CAB＝∠DAB＝30°，
∴∠B+∠CAB＝90°，
∴∠ACB＝90°．
(2)∵CD∥AB，
∴∠DCA＝∠CAB＝∠CAD＝30°，
∴AD＝CD＝BC＝1，
在Rt△ABC中，∵∠CAB＝30°，∠ACB＝90°，
∴AB＝2BC＝2，
∵，
∴向量和向量的模分別為1和2．
【點(diǎn)睛】本題考查平面向量、等腰梯形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)、三角形法則等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，屬于中考?？碱}型．
例8.如圖，在圖中畫出向量．
【難度】★★
【答案】．
【解析】由向量的減法可知答案．
【總結(jié)】考察向量的減法法則的運(yùn)用．
例9.如圖，多邊形是正六邊形，設(shè)，．試用向量和表示向量，，．
【難度】★★
【答案】；；．
【解析】；；．
【總結(jié)】考察向量的加減法法則的運(yùn)用．
例10.已知□OACB，設(shè)，試用向量，表示向量．
【難度】★★
【答案】；．
【解析】；．
【總結(jié)】考察向量的加減法．
例11.如圖，已知在梯形中，，點(diǎn)在邊上，聯(lián)結(jié)，．
（1）填空： ； ．
（2）求作：．
【難度】★★
【答案】（1）；；（2）即為所求．
【解析】（1）略；
（2）過點(diǎn)D作DF∥AB，交BC與點(diǎn)F，則即為的和向量．
【總結(jié)】考察向量的加減法的運(yùn)用．
例12.如圖所示，是四個(gè)全等且相鄰的正方形，請用三角形法則說明：
=．
【難度】★★
【解析】．
【總結(jié)】考察向量的加減法在幾何圖形中的運(yùn)用．
例13.已知中，，求證：四邊形ABCD是矩形．
【難度】★★★
【解析】∵，，
∴， ∴四邊形ABCD是矩形．
【總結(jié)】考察向量的加法在幾何證明中的運(yùn)用，注意對模的準(zhǔn)確理解．
隨堂檢測
1.若非零向量是的相反向量，則下列說法不正確的是（ ）
A．與的模不一定相等 B．與平行
C．與一定不相等 D．也是的相反向量
【難度】★
【答案】A
【解析】A正確答案應(yīng)為與的模一定相等．
【總結(jié)】考察相反向量的概念．
2.兩個(gè)非零向量，互為相反向量，則下列各式正確的個(gè)數(shù)是（ ）
①； ②； ③； ④．
A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
【難度】★
【答案】C
【解析】①錯(cuò)誤，②、③、④正確，故選C．
【總結(jié)】考察相反向量的概念及性質(zhì)．
3.下列等式中，不正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【難度】★
【答案】D
【解析】D答案正確應(yīng)為．
【總結(jié)】考察向量的加法法則，注意零向量的特殊性，向量的模是一個(gè)具體的數(shù)．
4.下列命題中，假命題的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
【難度】★
【答案】D
【解析】D答案錯(cuò)誤，兩向量方向不一定相同．
【總結(jié)】本題主要考查向量的相關(guān)概念，注意認(rèn)真分析．
5.計(jì)算：
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ．
【難度】★★
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．
【解析】（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【總結(jié)】考察向量加減法的運(yùn)算，注意相關(guān)法則的運(yùn)用．
6.已知：矩形ABCD中，對角線AC、BD相交于點(diǎn)O．
（1）利用圖中的向量表示： ；
（2）利用圖中的向量表示： ；
（3）如果則 ．
【難度】★★
【答案】（1）；（2）；（3）6.5．
【解析】由向量的加減法可得答案．
【總結(jié)】考察向量加減法的運(yùn)算．
7.已知在梯形中，，是的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)和．畫出圖形，并寫出所有與平行的向量．
【難度】★★
【答案】圖形如圖所示，
與平行的向量有．
【解析】平行向量：方向相同或相反的兩個(gè)向量叫做平行向量．
【總結(jié)】考察平行向量的概念．
8.如圖，已知中，設(shè)，，試用、表示下列向量：
（1）； （2）； （3）； （4）；
（5）求作向量：；
（6）求作向量：．
【難度】★★
【答案】（1）； （2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）．
【解析】利用向量加法法則可得答案．
【總結(jié)】考察向量加法的運(yùn)用．
9.已知，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，請回答下列問題：
（1）在圖中求作與的和向量： ；
（2）如果把圖中線段都畫成有向線段，那么在這些有向線段所表示的向量中，所有與
互為相反向量的是 ；
（3） ．
【難度】★★
【答案】（1）如圖所示，即為所求；（2）；（3）．
【解析】（3）．
【總結(jié)】考察向量加法法則的運(yùn)用．
10.已知，，，求作向量：．
【難度】★★
【答案】 ，為所求向量．
【總結(jié)】考察利用向量加減法法則進(jìn)行作圖．

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