本章節(jié)主要講述了兩部分內(nèi)容，梯形和中位線，從直角梯形和等腰梯形的性質(zhì)出發(fā)，求解相關(guān)的邊與角的關(guān)系，在求解的過程中，部分題目需要添加輔助線．中位線主要包括兩個方面，三角形和梯形，在解題的過程中，要做到靈活應(yīng)用．
模塊一：梯形及等腰梯形
知識精講
一、梯形及梯形的有關(guān)概念
（1）梯形：一組對邊平行而另一組對邊不平行的四邊形叫做梯形．
底：平行的兩邊叫做底，其中較長的是下底，較短的叫上底．
腰：不平行的兩邊叫做腰．
高：梯形兩底之間的距離叫做高．
（2）特殊梯形
直角梯形：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形．
特殊梯形
等腰梯形：兩腰相等的梯形叫做等腰梯形．
思考討論：若上面兩個條件同時成立是否是梯形?
交流：如果同時具備直角梯形和等腰梯形的特征，那么該圖形是矩形．
【等腰梯形性質(zhì)】
等腰梯形性質(zhì)定理1等腰梯形在同一底上的兩個內(nèi)角相等．
等腰梯形性質(zhì)定理2等腰梯形的兩條對角線相等．
另外：等腰梯形是軸對稱圖形；
【等腰梯形判定】
等腰梯形判定定理1在同一底邊上的兩個內(nèi)角相等的梯形是等腰梯形．
等腰梯形判定定理2對角線相等的梯形是等腰梯形．
例題解析
例1．（2019·上海八年級課時練習(xí)）如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝30°，∠BCD＝60°，AD＝2，AC平分∠BCD，則BC長為( )．
A．4B．6C．43D．33
例2．（2018·上海市清流中學(xué)八年級月考）若等腰梯形兩底角為30°，腰長為8，高和上底相等，則梯形中位線長為 （ ）
A．8B．10C．4D．16
例3．（2018·上海市清流中學(xué)八年級月考）一個等腰梯形的兩底之差為12,高為6,則等腰梯形的銳角為( )
A．30°B．45°C．60°D．75°
例4．（2018·上海市清流中學(xué)八年級月考）下到關(guān)于梯形的敘述中，不正確的是 （ ）
A．等腰梯形的兩底平行且相等
B．等腰梯形的兩條對角線相等
C．等腰梯形在同一底上的兩個角相等
D．等腰梯形是軸對稱圖形
例5．（2017·上海八年級期末）一組對邊相等，另一組對邊平行的四邊形是（ ）
A．梯形 B．等腰梯形 C．平行四邊形 D．等腰梯形或平行四邊形
例6．（2019·上海上外附中）判斷：一組鄰角相等的梯形是等腰梯形（______）
例7．（2020·上海楊浦區(qū)·八年級期末）已知在梯形ABCD中，，，，那么梯形ABCD的周長等于__________．
例8．（2020·上海嘉定區(qū)·八年級期末）已知一個梯形的中位線長為5，其中一條底邊的長為6，那么該梯形的另一條底邊的長是__________．
例9．（2018·上海市民辦揚波中學(xué)八年級期末）如圖，在等腰梯形中，∥ ，，⊥，則∠=________．
例10．（2019·上海上外附中八年級期中）在梯形中，，對角線，，，則梯形的面積為__________．
例11．（2020·上海浦東新區(qū)·八年級月考）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝12，AB＝DC＝8．∠B＝60°．
（1）求梯形的中位線長．
（2）求梯形的面積．
例12．（2020·上海浦東新區(qū)·八年級期末）如圖，等腰三角形ABC中，AB=AC，點E、F分別是AB、AC的中點，CE⊥BF于點O．
（1）求證：四邊形EBCF是等腰梯形；
（2）EF=1，求四邊形EBCF的面積．
例13.如圖，已知梯形ABCD中，BC是下底，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，且BD⊥CD，若梯形周長是30cm，求此梯形的面積．
例14.如圖，直角梯形ABCD中，∠A=90°，AD∥BC，AD=5，∠D=45°，CD的垂直平分線交AD于點E，交BA的延長線于點F，求BF的長．
例15.如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC，∠B=60°，
求證：AB⊥AC；
若DC=6，求梯形ABCD的面積．
例16.如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，CA平分∠BCD，DE∥AC，交BC的延長線于點E，∠B=2∠E．求證：AB=DC．
．
例17.如圖，在等腰三角形ABC中，點D、E分別是兩腰AC、BC上的點，聯(lián)結(jié)BE、CD相交于點O，∠1=∠2．
求證：梯形BDEC是等腰梯形．
例18.如圖，梯形OABC中，O為直角坐標(biāo)系的原點，A、B、C的坐標(biāo)分別為（14，0）、
（14，3）、（4，3）．點P、Q同時從原點出發(fā)，分別作勻速運動，點P沿OA以每秒1個單位向終點A運動，點Q沿OC、CB以每秒2個單位向終點B運動．當(dāng)這兩點中有一點到達(dá)自己的終點時，另一點也停止運動．
（1）設(shè)從出發(fā)起運動了x秒，當(dāng)x等于多少時，四邊形OPQC為平行四邊形?
（2）四邊形OPQC能否成為等腰梯形?說明理由．
例19.如圖，等腰梯形花圃ABCD的底邊AD靠墻，另三邊用長為40米的鐵欄桿圍成，設(shè)該花圃的腰AB的長為x米．（1）請求出底邊BC的長（用含x的代數(shù)式表示）；（2）若∠BAD=60°，該花圃的面積為S米2，求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，指出自變量x的取值范圍，并求當(dāng)S=時x的值．
例20.已知，一次函數(shù)的圖像與x軸，y軸，分別交于A、B兩點，梯形AOBC
（O是原點）的邊AC=5，（1）求點C的坐標(biāo)；（2）如果一個一次函數(shù)（k、b為常數(shù)，且k≠0）的圖像經(jīng)過A、C兩點，求這個一次函數(shù)的解析式．
例21.如圖，直角梯形ABCD中，AB//CD，∠A=90°，AB=6，AD=4，DC=3，動點P從點A出發(fā)，沿A→D→C→B方向移動，動點Q從點A出發(fā)，在AB邊上移動．設(shè)點P移動的路程為x，線段AQ的長度為y，線段PQ平分梯形ABCD的周長．
（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并求出這個函數(shù)的定義域；
（2）當(dāng)P不在BC邊上時，線段PQ能否平分梯形ABCD的面積?若能，求出此時x的值；若不能，請說明理由．
模塊二：輔助線
知識精講
解決梯形問題常用的方法
作高法：使兩腰在兩個直角三角形中；
②移腰法：使兩腰在同一個三角形中，梯形兩個下底角是互余的，那么一般會用到這種添輔助線的方式，構(gòu)造直角三角形；
③延腰法：構(gòu)造具有公共角的兩個等腰三角形；
④等積變形法：聯(lián)結(jié)梯形上底一端點和另一腰中點，并延長與下底延長線交于一點，構(gòu)成三角形；
⑤移對角線法：平移對角線，可以構(gòu)造特殊的圖形，如平行四邊形，如果是對角線互相垂直
的等腰梯形，那么在平移的過程中，還可構(gòu)造等腰直角三角形，結(jié)合三線合一，求梯形的高
等．
例題解析
例1.如圖，已知在梯形中，，，，垂足為
，，則邊的長等于（ ）
A．20 B．21 C．22 D．23
例2.已知梯形中，，，，，．求的長．
例3.如圖，梯形中，，，，，、分
別為、的中點，則的長等于（ ）
A． B． C． D．
例4.已知：如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AC，∠BAC=90°，BD=BC，BD交AC于O．求證：CO=CD．
例5.在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，對角線AC與BD相交于點O，∠BOC=60°，
AC=10cm，求梯形的高DE的長．
例6.如圖，在梯形ABCD中，，，若AE=10，則CE=__________．
模塊三：中位線
知識精講
三角形中位線的定義和性質(zhì)：
1. 定義三角形的中位線：聯(lián)結(jié)三角形兩邊中點的線段，(強調(diào)它與三角形的中線的區(qū)別)；
2. 三角形中位線定理：
三角形的中位線平行于第三邊，并且等于它的一半.
3. 梯形中位線定理：
梯形的中位線平行于底邊，并且等于兩底和的一半.
【要點點撥】經(jīng)過三角形的一邊中點作另一邊的平行線，也可以證明得到的平行線段為中位線.同樣地，從梯形的一腰中點作底的平行線，可以證明得到的平行線段為中位線.如果把三角形看成是一個上底長度為零的特殊的梯形的話，那么三角形中位線定理就成為梯形中位線定理的特例了．
例題解析
例1（1）順次聯(lián)結(jié)四邊形各邊中點所組成的四邊形是；
（2）順次聯(lián)結(jié)平行四邊形各邊中點所組成的四邊形是；
（3）順次聯(lián)結(jié)矩形各邊中點所得到的四邊形是；
（4）順次聯(lián)結(jié)正方形各邊中點所得到的四邊形是；
（5）順次聯(lián)結(jié)菱形各邊中點所得到的四邊形是；
（6）順次聯(lián)結(jié)對角線互相垂直的四邊形各邊中點所得到的四邊形是；
（7）順次聯(lián)結(jié)等腰梯形各邊中點所得到的四邊形是；
（8）順次聯(lián)結(jié)對角線相等的四邊形各邊中點所得到的四邊形是；
（9）順次聯(lián)結(jié)對角線相等且互相垂直的四邊形各邊中點所得到的四邊形是．
例2．（2019·上海浦東新區(qū)·八年級期中）如圖，△ABC中，點D、E分別在AB、AC邊上，AD=BD，AE=EC，BC=6，則DE=（ ）
A．4B．3C．2D．5
例3．（2018·上海市清流中學(xué)八年級月考）順次連接等腰梯形各邊中點所圍成的四邊形是 （ ）
A．平行四邊形B．矩形C．菱形D．等腰梯形
例4．（2019·上海上外附中）梯形兩條對角線互相垂直，且長度分別為，，則梯形的中位線長為_________
例5．（2019·上海上外附中）如圖，四邊形中，，分別為，中點，且，，則的長度的范圍是___________
例6.（2017·上海閔行區(qū)·八年級期末）如圖，在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BD、CD、AC的中點，要使四邊形EFGH是菱形，四邊形ABCD還應(yīng)滿足的一個條件是______．
例7.（2018·上海寶山區(qū)·八年級期末）如圖，將?ABCD中，AD＝8，點E，F(xiàn)分別是BD，CD的中點，則EF為_____．
例8．（2017·上海徐匯區(qū)·八年級期末）如圖，在△ABC中，點D，E分別是邊AB，BC的中點，若DE的長是6，則AC=____．
例9．（2019·上海上外附中）如圖，矩形中，，，點為對角線中點，點為邊中點，則四邊形的周長為________
例10.（1）點、、分別是三邊的中點，的周長為10，則的周長為；
（2）三條中位線的長為3、4、5，則的面積為．
例11.如圖，在中，點D是邊BC的中點，點E在內(nèi)，AE平分，點F在邊AB上，EF//BC．
求證：四邊形BDEF是平行四邊形；
線段BF、AB、AC之間有怎么樣的數(shù)量關(guān)系?并證明．
例12.如圖所示，在梯形ABCD中，，對角線交于點O，MN是梯形ABCD的中位線，，求證：AC=MN．
例13.如圖所示，在正方形ABCD中，對角線AC、BD交于點O，AE平分，交BC于點E，交OB于點F，求證：CE=2OF．
例14.如圖1所示，已知BD、CE分別是的外角平分線，過點A作，AG⊥CE，垂足分別為F、G，連接FG，延長AF、AG，與直線BC相交，易證．
（1）若BD、CE分別是△ABC的內(nèi)角平分線（如圖2）；
（2）BD為△ABC的內(nèi)角平分線，CE為△ABC的外角平分線（如圖3），則在圖2、圖3兩種情況下，線段FG與△ABC三邊又有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請寫出你的猜想，并對其中的一種情況給予證明．
例15.如圖，在四邊形ABCD中，AD=BC，E、F分別是CD、AB的中點，延長AD、BC，分別交FE的延長線于點H、G；求證：．
隨堂檢測
1.有兩個角相等的梯形是（）
A．等腰梯形 B．直角梯形 C．一般梯形 D．直角梯形或等腰梯形
2.下列命題中，真命題是（）
A．順次聯(lián)結(jié)等腰梯形各邊的中點，所得的四邊形一定是矩形
B．順次聯(lián)結(jié)等腰梯形各邊的中點，所得的四邊形一定是菱形
C．順次聯(lián)結(jié)等腰梯形各邊的中點，所得的四邊形一定是等腰梯形
D．順次聯(lián)結(jié)等腰梯形各邊的中點，所得的四邊形一定是直角梯形
3.已知梯形的兩個對角分別是78°和120°，則另兩個角分別是 ( )
A．78°或120° B．102°或60° C．120°或78° D．60°或120°
4.下列命題，錯誤命題的個數(shù)是 ( )
①若一個梯形是軸對稱圖形，則此梯形一定是等腰梯形；
②等腰梯形的兩腰的延長線與經(jīng)過兩底中點的直線必交于一點；
③一組對邊相等而另一組對邊不相等的四邊形是梯形；
④有兩個內(nèi)角是直角的四邊形是直角梯形.
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
5.如圖，在中，、分別是、的中點，且，，．求的長．
6.等腰梯形兩底之差等于一腰長，求它的底角的度數(shù)．
7.如圖，四邊形中，不平行，現(xiàn)給出三個條件：①，②，③．請從上述三個條件中選擇兩個條件，使得本題添上這兩個條件后能夠推出是等腰梯形，并加以證明（只需證明一種情況）．
8.如圖，在四邊形中，、、、分別是、、、上的中點，，．求四邊形的周長．
梯形及中位線
本章節(jié)主要講述了兩部分內(nèi)容，梯形和中位線，從直角梯形和等腰梯形的性質(zhì)出發(fā)，求解相關(guān)的邊與角的關(guān)系，在求解的過程中，部分題目需要添加輔助線．中位線主要包括兩個方面，三角形和梯形，在解題的過程中，要做到靈活應(yīng)用．
模塊一：梯形及等腰梯形
知識精講
一、梯形及梯形的有關(guān)概念
（1）梯形：一組對邊平行而另一組對邊不平行的四邊形叫做梯形．
底：平行的兩邊叫做底，其中較長的是下底，較短的叫上底．
腰：不平行的兩邊叫做腰．
高：梯形兩底之間的距離叫做高．
（2）特殊梯形
直角梯形：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形．
特殊梯形
等腰梯形：兩腰相等的梯形叫做等腰梯形．
思考討論：若上面兩個條件同時成立是否是梯形?
交流：如果同時具備直角梯形和等腰梯形的特征，那么該圖形是矩形．
【等腰梯形性質(zhì)】
等腰梯形性質(zhì)定理1等腰梯形在同一底上的兩個內(nèi)角相等．
等腰梯形性質(zhì)定理2等腰梯形的兩條對角線相等．
另外：等腰梯形是軸對稱圖形；
【等腰梯形判定】
等腰梯形判定定理1在同一底邊上的兩個內(nèi)角相等的梯形是等腰梯形．
等腰梯形判定定理2對角線相等的梯形是等腰梯形．
例題解析
例1．（2019·上海八年級課時練習(xí)）如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝30°，∠BCD＝60°，AD＝2，AC平分∠BCD，則BC長為( )．
A．4B．6C．43D．33
【答案】B
【分析】過點A作AE∥DC，可判斷出△ABE是直角三角形，四邊形ADCE是菱形，從而求出CE、BE即可得出BC的長度．
【詳解】過點A作AE∥DC，
∵AD∥BC，
∴四邊形ADCE是平行四邊形，
又∵AC平分∠BCD，
∴∠DAC=∠ACE=∠DCA，
∴AD=CD，
∴四邊形ADCE是菱形，
∴CE=AD=AE=2，
∵AE∥CD，
∴∠AEB=∠BCD=60°，
又∵∠B=30°，
∴∠BAE=90°，
∴BE=2AE=4，
∴BC=BE+CE=6.
故答案為：6.
【點睛】本題考查等腰三角形的判定與性質(zhì)、含30度角的直角三角形和梯形，解題的關(guān)鍵是掌握等腰三角形的判定與性質(zhì)、含30度角的直角三角形和梯形.
例2．（2018·上海市清流中學(xué)八年級月考）若等腰梯形兩底角為30°，腰長為8，高和上底相等，則梯形中位線長為 （ ）
A．8B．10C．4D．16
【答案】C
【分析】分析題意畫出圖形，則DE=CD=CF，AD=8，∠A=30°，由DE⊥AB，∠A=30°，AD=8，即可得出DE=4，進(jìn)而求出CD的長度；運用勾股定理得出AE和BF的長度，易證四邊形CDEF是平行四邊形，得出EF的長度，進(jìn)而得出AB+CD的長度，由梯形中位線的性質(zhì)，即可解答本題.
【詳解】根據(jù)題意畫出圖形，則DE=CD=CF，AD=8，∠A=30°.
因為DE⊥AB，∠A=30°，AD=8，
所以DE=AD=4，
所以CD=4，AE= =4，同理BF=4.
因為DE⊥AB，CF⊥AB，
所以DE∥CF.
因為CD∥EF，
所以四邊形CDEF是平行四邊形，
所以EF=CD=4.
因為CD=4cm，AB=AE+EF+FB=4+4+4=8+4，
所以AB+CD=8+4+4=8+8，
所以梯形的中位線長為 (AB+CD)=4+4.
故選C.
【點睛】此題考查等腰梯形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵在于需結(jié)合梯形中位線的性質(zhì)，勾股定理等知識進(jìn)行求解.
例3．（2018·上海市清流中學(xué)八年級月考）一個等腰梯形的兩底之差為12,高為6,則等腰梯形的銳角為( )
A．30°B．45°C．60°D．75°
【答案】B
【分析】作梯形的兩條高線，證明△ABE≌△DCF，則有BE=FC，然后判斷△ABE為等腰直角三角形求解．
【詳解】如圖,作AE⊥BC、DF⊥BC,四邊形ABCD為等腰梯形,AD∥BC，BC?AD=12，AE=6，
∵四邊形ABCD為等腰梯形，
∴AB=DC，∠B=∠C，
∵AD∥BC，AE⊥BC，DF⊥BC，
∴AEFD為矩形，
∴AE=DF，AD=EF，
∴△ABE≌△DCF，
∴BE=FC，
∴BC?AD=BC?EF=2BE=12，
∴BE=6，
∵AE=6，
∴△ABE為等腰直角三角形，
∴∠B=∠C=45°.
故選B.
【點睛】此題考查等腰梯形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵在于畫出圖形.
例4．（2018·上海市清流中學(xué)八年級月考）下到關(guān)于梯形的敘述中，不正確的是 （ ）
A．等腰梯形的兩底平行且相等
B．等腰梯形的兩條對角線相等
C．等腰梯形在同一底上的兩個角相等
D．等腰梯形是軸對稱圖形
【答案】A
【分析】本題考查對等腰梯形性質(zhì)的理解.等腰梯形的性質(zhì)如下:等腰梯形兩腰相等;等腰梯形兩底平行;等腰梯形的兩條對角線相等;等腰梯形同一底上的兩個內(nèi)角相等;等腰梯形是軸對稱圖形.
【詳解】由等腰梯形的性質(zhì)可知,等腰梯形的對角線相等,其在同一底上的兩個角相等,可知B、C不符合題意;
同時等腰梯形關(guān)于兩底中點的連線成軸對稱,即可得到D不符合題意,
而等腰梯形兩底平行但不相等,因此A符合題意.
故選A.
【點睛】此題考查等腰梯形性質(zhì)，解題關(guān)鍵在于對性質(zhì)的掌握.
例5．（2017·上海八年級期末）一組對邊相等，另一組對邊平行的四邊形是（ ）
A．梯形 B．等腰梯形 C．平行四邊形 D．等腰梯形或平行四邊形
【答案】D
【解析】根據(jù)特殊四邊形的性質(zhì)，分析所給條件，選擇正確答案．
解：A、一組對邊相等，另一組對邊平行，可以是等腰梯形，也可以是平行四邊形，故A不正確；
B、一組對邊相等，另一組對邊平行，可以是等腰梯形，也可以是平行四邊形，故B不正確；
C、一組對邊相等，另一組對邊平行，可以是等腰梯形，也可以是平行四邊形，故C不正確；
D、一組對邊相等，另一組對邊平行，可以是等腰梯形，也可以是平行四邊形，故D正確．
故選D．
“點睛”本題考查了平行四邊形和等腰梯形的性質(zhì). 考慮問題時應(yīng)該全面考慮，不能漏掉任何一種情況，要求培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膽B(tài)度.
例6．（2019·上海上外附中）判斷：一組鄰角相等的梯形是等腰梯形（______）
【答案】錯誤
【分析】根據(jù)題設(shè)畫出反例圖形即可.
【詳解】解：反例：如圖，已知梯形，，，而梯形不是等腰梯形.
故該命題是假命題，
故答案為：錯誤.
【點睛】本題考查了等腰梯形的概念，熟悉等腰梯形的性質(zhì)，舉出反例是解題的關(guān)鍵.
例7．（2020·上海楊浦區(qū)·八年級期末）已知在梯形ABCD中，，，，那么梯形ABCD的周長等于__________．
【答案】20
【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，得到，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)列式求出，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出，根據(jù)梯形的周長公式計算，得到答案．
【詳解】解：，
，
，
，
，
，，
，
，
，即，
，
，
，，
梯形的周長，
故答案為：20．
【點睛】本題考查的是梯形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，掌握含 的直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
例8．（2020·上海嘉定區(qū)·八年級期末）已知一個梯形的中位線長為5，其中一條底邊的長為6，那么該梯形的另一條底邊的長是__________．
【答案】
【分析】根據(jù)梯形中位線定理解答即可．
【詳解】解：設(shè)該梯形的另一條底邊的長是xcm，根據(jù)題意得：，解得：x=4，
即該梯形的另一條底邊的長是4cm．
故答案為：4．
【點睛】本題考查了梯形中位線定理，屬于基本題目，熟練掌握該定理是解題關(guān)鍵．
例9．（2018·上海市民辦揚波中學(xué)八年級期末）如圖，在等腰梯形中，∥ ，，⊥，則∠=________．
【答案】60°
【分析】利用平行線及∥，證明，再證明，再利用直角三角形兩銳角互余可得答案．
【詳解】解：因為：∥，所以：
因為：，所以： ，
所以；，
因為：等腰梯形，
所以：，
設(shè)： ，所以，
因為：⊥，
所以：，解得：
所以：．
故答案為：．
【點睛】本題考查等腰梯形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)及平行線的性質(zhì)，掌握相關(guān)性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
例10．（2019·上海上外附中八年級期中）在梯形中，，對角線，，，則梯形的面積為__________．
【答案】24
【分析】根據(jù)對角線互相垂直的四邊形的面積公式即可求得答案．
【詳解】解：如圖所示，梯形對角線垂直，則．
故答案是：
【點睛】本題考查對角線互相垂直的四邊形的面積公式；對角線垂直時，四邊形可看成四個直角三角形的面積之和，可得對角線互相垂直的四邊形面積為對角線乘積的一半．
例11．（2020·上海浦東新區(qū)·八年級月考）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝12，AB＝DC＝8．∠B＝60°．
（1）求梯形的中位線長．
（2）求梯形的面積．
【答案】（1）8（2）32
【分析】（1）過A作AE∥CD交BC于E，則四邊形AECD是平行四邊形，得AD＝EC，AE＝DC，證出△ABE是等邊三角形，得BE＝AB＝8，則AD＝EC＝4，即可得出答案；
（2）作AF⊥BC于F，則∠BAF＝90°﹣∠B＝30°，由含30°角的直角三角形的性質(zhì)得出BF＝AB＝4，AF＝BF＝4，由梯形面積公式即可得出答案.
【詳解】解：（1）過A作AE∥CD交BC于E，
∵AD∥BC，
∴四邊形AECD是平行四邊形，
∴AD＝EC，AE＝DC，
∵AB＝DC，
∴AB＝AE，
∵∠B＝60°，
∴△ABE是等邊三角形，
∴BE＝AB＝8，
∴AD＝EC＝BC﹣BE＝12﹣8＝4，
∴梯形ABCD的中位線長＝（AD+BC）＝（4+12）＝8；
（2）作AF⊥BC于F，
則∠BAF＝90°﹣∠B＝30°，
∴BF＝AB＝4，AF＝BF＝4，
∴梯形ABCD的面積＝（AD+BC）×AF＝（4+12）×4＝32.
【點睛】此題考查了平行四邊形的判定及性質(zhì)，等邊三角形的判定及性質(zhì)，梯形中位線的性質(zhì)，直角三角形30度角的性質(zhì).
例12．（2020·上海浦東新區(qū)·八年級期末）如圖，等腰三角形ABC中，AB=AC，點E、F分別是AB、AC的中點，CE⊥BF于點O．
（1）求證：四邊形EBCF是等腰梯形；
（2）EF=1，求四邊形EBCF的面積．
【答案】（1）見解析；（2）．
【分析】（1）根據(jù)三角形的中位線定理和等腰梯形的判定定理即可得到結(jié)論；
（2）如圖，延長BC至點G，使CG=EF，連接FG，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到FG=EC=BF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和三角形中位線定理即可得到結(jié)論．
【詳解】（1）∵點E、F分別是AB、AC的中點，
∴EF//BC，BE=AB=AC=CF，
∴四邊形EBCF是等腰梯形；
（2）如圖，延長BC至點G，使CG=EF，連接FG，
∵EF//BC，即EF//CG，且CG=EF，
∴四邊形EFGC是平行四邊形，
又∵四邊形EBCF是等腰梯形，
∴FG=EC=BF，
∵EF=CG，F(xiàn)C=BE，
∴△EFB≌△CGF（SSS），
∴，
∵GC=EF=1，且EF=BC，
∴BC=2，
∴BG=BC+CG=1+2=3．
∵FG//EC，
∴∠GFB=∠BOC=90°，
∴FH=BG=，
∴．
【點睛】本題考查了等腰梯形的判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
例13.如圖，已知梯形ABCD中，BC是下底，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，且BD⊥CD，若梯形周長是30cm，求此梯形的面積．
【難度】★★
【答案】．
【解析】∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠DBC=∠ABC=30°．
∵AD//BC，∴∠ADB=∠DBC=30°，∴AB=AD
∵BD⊥CD，∴∠DCB=60°，∴∠ABC=∠DCB， ∴AB=CD．
設(shè)AB = CD = AD = x，
Rt△BCD中，∵∠DBC=30°，∴BC = 2CD = 2x，
∴30 = x+x+x+2x，解得：x=6．
作AE⊥BC，Rt△ABE中，
∵∠BAE=30°， ∴BE=3，AE=．
∴S=（AD+BC）AE=．
【總結(jié)】本題考查梯形面積公式及等腰梯形性質(zhì)的綜合運用．
例14.如圖，直角梯形ABCD中，∠A=90°，AD∥BC，AD=5，∠D=45°，CD的垂直平分線交AD于點E，交BA的延長線于點F，求BF的長．
【難度】★★
【答案】5
【解析】聯(lián)結(jié)CE
∵EG垂直平分CD，
∴EC=ED，∠ECD=∠D=45°，∴∠CED=90°，
∵∠A=90°，AD∥BC， ∴四邊形BAEC是矩形，
∴BC = AE．
設(shè)BC=x=AE，∴ED=EC=AB=5-x
∵∠FEA=∠GED=45°，∴△AEF是等腰直角三角形，
∴AF=AE=x
∴BF=BA+AF=5-x+x=5．
【總結(jié)】本題考查中垂線的性質(zhì)，等腰直角三角形，直角梯形的性質(zhì)的綜合運用，注意用整體思想求出線段BF的長．
例15.如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC，∠B=60°，
求證：AB⊥AC；
若DC=6，求梯形ABCD的面積．
【難度】★★
【答案】（1）見解析；（2）．
【解析】（1）∵AB=CD，∴∠B=∠DCB=60°，∠BAD=∠D=120°
∵AD=DC，∴∠DAC=∠DCA=30°
∴∠BAC=∠BAD-∠DAC=120°- 30°=90°
∴BA⊥AC；
（2）∵AB=AD=DC，DC=6， ∴CD=AD=AB=6
在直角三角形ABC中，∵∠ACB=30°， ∴BC=2AB=12
作AE⊥BC，則AE=，
∴S梯ABCD=．
【總結(jié)】本題主要考查含30°的直角三角形性質(zhì)與梯形面積公式的綜合運用．
例16.如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，CA平分∠BCD，DE∥AC，交BC的延長線于點E，∠B=2∠E．求證：AB=DC．
【難度】★★
【解析】∵AC平分∠BCD
∴∠BCA=∠ACD=∠DCB
∵DE//AC，∴∠E=∠ACB=∠DCB
∵∠B=2∠E，∴∠B=∠DCB
∵梯形ABCD中，AD∥BC，
∴AB=CD
【總結(jié)】本題考查等腰梯形性質(zhì)與角平分線的綜合運用，注意對基本模型的總結(jié)運用．
例17.如圖，在等腰三角形ABC中，點D、E分別是兩腰AC、BC上的點，聯(lián)結(jié)BE、CD相交于點O，∠1=∠2．
求證：梯形BDEC是等腰梯形．
【難度】★★
【解析】∵， ∴∠DBC=∠ECB
在△BCD與△ECB中，∠1=∠2，BC=BC
∴△BCD≌△ECB，∴BD=CE
∵AB=AC， ∴AD=AE，∴∠ADE=∠AED==∠ABC=∠ACB
∴DE//BC， 又∵BD與CE不平行
∴四邊形BDEC是梯形，且BD=CE，∴梯形BDEC是等腰梯形
【總結(jié)】本題考查等腰梯形判定定理的運用，注意證明梯形的方法的總結(jié)．
例18.如圖，梯形OABC中，O為直角坐標(biāo)系的原點，A、B、C的坐標(biāo)分別為（14，0）、
（14，3）、（4，3）．點P、Q同時從原點出發(fā)，分別作勻速運動，點P沿OA以每秒1個單位向終點A運動，點Q沿OC、CB以每秒2個單位向終點B運動．當(dāng)這兩點中有一點到達(dá)自己的終點時，另一點也停止運動．
（1）設(shè)從出發(fā)起運動了x秒，當(dāng)x等于多少時，四邊形OPQC為平行四邊形?
（2）四邊形OPQC能否成為等腰梯形?說明理由．
【難度】★★
【答案】（1）x=5； （2）不能．
【解析】（1）由題可知：OC=5，BC=10，OA=14．
∵BC//OA
∴當(dāng)Q點在BC上，且OP=CQ時，四邊形OPQC是平行四邊形
即2x-5= x，解得：x = 5；
（2）作點C作CE⊥OA于點E，過點Q作QF⊥OP與點F
∵AO//BC，∴CE=QF
當(dāng)OE=PF=4時，△OCE≌△PQF，此時四邊形OPQC為等腰梯形，
即OP=OE+CQ+PF，∴x=4+（2x-5）+4，解得：x=-3（舍），
∴四邊形OPQC不能成為等腰梯形．
【總結(jié)】本題考查梯形的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)以及等腰梯形的判定與性質(zhì)的綜合運用，注意掌握輔助線的做法，以及數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的綜合運用．
例19.如圖，等腰梯形花圃ABCD的底邊AD靠墻，另三邊用長為40米的鐵欄桿圍成，設(shè)該花圃的腰AB的長為x米．（1）請求出底邊BC的長（用含x的代數(shù)式表示）；（2）若∠BAD=60°，該花圃的面積為S米2，求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，指出自變量x的取值范圍，并求當(dāng)S=時x的值．
【難度】★★★
【答案】（1）BC=40-2x；（2）（），x=4．
【解析】（1）等腰梯形ABCD中，AB=CD=x，∴BC=40-x-x=40-2x；
（2）作BE⊥AD，CF⊥AD
在Rt△ABE中，∵∠ABE=30°， ∴AE=．
同理FD=AE=， ∴BE=CF=．
∴EF=BC=40-2x， ∴AD=40-x
∴=（），
當(dāng)時，代入解析式，解得：x=4或（舍）
∴當(dāng)S=時x的值為4．
【總結(jié)】本題考查等腰梯形性質(zhì)與函數(shù)解析式的結(jié)合，注意面積公式中各個量的含義．
例20.已知，一次函數(shù)的圖像與x軸，y軸，分別交于A、B兩點，梯形AOBC
（O是原點）的邊AC=5，（1）求點C的坐標(biāo)；（2）如果一個一次函數(shù)（k、b為常數(shù)，且k≠0）的圖像經(jīng)過A、C兩點，求這個一次函數(shù)的解析式．
【難度】★★★
【答案】（1）C（13，4）或（19，4）或（16，5）； （2）或．
【解析】由題可知：A（16，0），B（0，4）．
當(dāng)OB∥AC時，點C坐標(biāo)為（16，5），
當(dāng)BC∥AO時，點C坐標(biāo)為（13，4）或（19，4）；
（2）∵一次函數(shù)的圖像經(jīng)過A、C兩點，∴C點坐標(biāo)不能為（16，5），
當(dāng)A（16，0），C（13，4）時，利用待定系數(shù)法可得解析式為：；
當(dāng)A（16，0），C（19，4）時，利用待定系數(shù)法可得解析式為：．
【總結(jié)】本題考查直角梯形性質(zhì)及一次函數(shù)的綜合運用，注意分類討論，綜合性較強．
例21.如圖，直角梯形ABCD中，AB//CD，∠A=90°，AB=6，AD=4，DC=3，動點P從點A出發(fā)，沿A→D→C→B方向移動，動點Q從點A出發(fā)，在AB邊上移動．設(shè)點P移動的路程為x，線段AQ的長度為y，線段PQ平分梯形ABCD的周長．
（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并求出這個函數(shù)的定義域；
（2）當(dāng)P不在BC邊上時，線段PQ能否平分梯形ABCD的面積?若能，求出此時x的值；若不能，請說明理由．
【難度】★★★
【答案】（1）；
（2）x=3時，PQ平分梯形面積．
【解析】（1）過點C作CE⊥AB于點E，則CD=AE=3，CE=4，
可得：BC=5，所以梯形ABCD的周長是18．
∵PQ平分梯形ABCD的周長，
∴x+y=9， ∵， ∴，
∴；
（2）由題可知，梯形ABCD的面積是18．
因為P不在BC上，所以．
當(dāng)3≤x＜4時，P在AD上，此時，
∵線段PQ能平分梯形ABCD的面積，則有
可得方程組，解得：或（舍）；
當(dāng)4≤x≤7時，點P在CD上，此時
∵線段PQ能平分梯形ABCD的面積，則有
可得方程組，方程組無解，
∴當(dāng)x=3時，線段PQ能平分梯形ABCD的面積．
【總結(jié)】本題利用梯形的性質(zhì)，三角形的面積公式，建立方程和方程組求解，注意針對不同情況討論，利用數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行計算．
模塊二：輔助線
知識精講
解決梯形問題常用的方法
作高法：使兩腰在兩個直角三角形中；
②移腰法：使兩腰在同一個三角形中，梯形兩個下底角是互余的，那么一般會用到這種添輔助線的方式，構(gòu)造直角三角形；
③延腰法：構(gòu)造具有公共角的兩個等腰三角形；
④等積變形法：聯(lián)結(jié)梯形上底一端點和另一腰中點，并延長與下底延長線交于一點，構(gòu)成三角形；
⑤移對角線法：平移對角線，可以構(gòu)造特殊的圖形，如平行四邊形，如果是對角線互相垂直
的等腰梯形，那么在平移的過程中，還可構(gòu)造等腰直角三角形，結(jié)合三線合一，求梯形的高
等．
例題解析
例1.如圖，已知在梯形中，，，，垂足為
，，則邊的長等于（ ）
A．20 B．21 C．22 D．23
【難度】★★
【答案】D
【解析】∵，，， ∴BE = 5．
∵梯形中，，，，
∴， 故選D．
【總結(jié)】本題主要考查等腰梯形性質(zhì)的綜合運用．
例2.已知梯形中，，，，，．求的長．
【難度】★★
【答案】CD = 8．
【解析】作DE//AB，則四邊形ABED是平行四邊形．
∴AD=BE=2，∠DEC=∠B=70°．
在△DEC中，∠C=40°，∴∠EDC=180°-40°-70°=70°，∴CD=CE=BC-BE=10-2=8．
【總結(jié)】本題考查輔助線——做一邊的平行線，構(gòu)造平行四邊形．
例3.如圖，梯形中，，，，，、分
別為、的中點，則的長等于（ ）
A． B． C． D．
【難度】★★
【答案】C
【解析】分別過點F做FG//AD，F(xiàn)H//BC，分別交BA于點G，H
可得平行四邊形DFGA與平行四邊形FCBH
∴AG=FD=CF=BH=，∴GH=b-a
∵∠A+∠B=90°， ∴可得直角△FGH，E是GH中點
∴EF=， 故選C．
【總結(jié)】本題考查直角三角形中線性質(zhì)與梯形輔助線的添加．
例4.已知：如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AC，∠BAC=90°，BD=BC，BD交AC于O．求證：CO=CD．
【難度】★★
【解析】作AF⊥BC，DE⊥BC，∵AD//BC，∴AF=DE．
在Rt△ABC中，AB=AC， ∴AF=．∵BC=BD， ∴DE=．
∴在Rt△BDE中，∠DBC=30°，∴∠BCD=∠BDC=75°
∴∠DOC=∠DBC+∠ACB=75°，∴∠CDO=∠COD=75°， ∴CD=CO．
【總結(jié)】本題考查梯形的常用輔助線—做梯形的高，把梯形問題轉(zhuǎn)化成三角形，矩形的問題，然后根據(jù)已知條件和三角形性質(zhì)解題．
例5.在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，對角線AC與BD相交于點O，∠BOC=60°，
AC=10cm，求梯形的高DE的長．
【難度】★★
【答案】cm．
【解析】等腰梯形ABCD中，
∵OB=OC，∠BOC=60°，可得等邊△OCB，
∴∠DBC=∠ACB=60°
∵AC=BD=10，∴在直角△BDE中，BE=，
∴cm．
【總結(jié)】本題考查梯形的相關(guān)計算，注意方法的運用．
例6.如圖，在梯形ABCD中，，，若AE=10，則CE=__________．
【難度】★★★
【答案】4或6．
【解析】過點B作DA的垂線交DA延長線于M，M為垂足,
延長DM到G，使得MG=CE，聯(lián)結(jié)BG，
可得四邊形BCDM是正方形．
∴BC=BM，∠C=∠BMG=90°，EC=GM， ∴△BEC≌△BMG， ∴∠MBG=∠CBE
∵∠ABE=45°，∴∠CBE+∠ABM=45°，∴∠GBM+∠ABM=45°，
∴∠ABE=∠ABG=45°，∴△ABE≌△ABG，AG=AE=10
設(shè)CE=x，則AM=10x，∴AD=12（10x）=2+x，DE=12x．
在Rt△ADE中，由AE2=AD2+DE2，解得：x=4或x=6．
故CE的長為4或6．
【總結(jié)】本題考查了直角三角形中勾股定理的運用，考查了全等三角形的判定和對應(yīng)邊相等的性質(zhì)，注意輔助線的添加方法，將問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題．
模塊三：中位線
知識精講
三角形中位線的定義和性質(zhì)：
1. 定義三角形的中位線：聯(lián)結(jié)三角形兩邊中點的線段，(強調(diào)它與三角形的中線的區(qū)別)；
2. 三角形中位線定理：
三角形的中位線平行于第三邊，并且等于它的一半.
3. 梯形中位線定理：
梯形的中位線平行于底邊，并且等于兩底和的一半.
【要點點撥】經(jīng)過三角形的一邊中點作另一邊的平行線，也可以證明得到的平行線段為中位線.同樣地，從梯形的一腰中點作底的平行線，可以證明得到的平行線段為中位線.如果把三角形看成是一個上底長度為零的特殊的梯形的話，那么三角形中位線定理就成為梯形中位線定理的特例了．
例題解析
例1（1）順次聯(lián)結(jié)四邊形各邊中點所組成的四邊形是；
（2）順次聯(lián)結(jié)平行四邊形各邊中點所組成的四邊形是；
（3）順次聯(lián)結(jié)矩形各邊中點所得到的四邊形是；
（4）順次聯(lián)結(jié)正方形各邊中點所得到的四邊形是；
（5）順次聯(lián)結(jié)菱形各邊中點所得到的四邊形是；
（6）順次聯(lián)結(jié)對角線互相垂直的四邊形各邊中點所得到的四邊形是；
（7）順次聯(lián)結(jié)等腰梯形各邊中點所得到的四邊形是；
（8）順次聯(lián)結(jié)對角線相等的四邊形各邊中點所得到的四邊形是；
（9）順次聯(lián)結(jié)對角線相等且互相垂直的四邊形各邊中點所得到的四邊形是．
【難度】★
【答案】（1）平行四邊形；（2）平行四邊形；（3）菱形；（4）正方形；（5）矩形；
（6）矩形；（7）菱形；（8）菱形；（9）正方形．
【解析】利用三角形中位線性質(zhì)可證明．
【總結(jié)】本題考查中位線性質(zhì)和四邊形判定方法，注意對相關(guān)規(guī)律的總結(jié)．
例2．（2019·上海浦東新區(qū)·八年級期中）如圖，△ABC中，點D、E分別在AB、AC邊上，AD=BD，AE=EC，BC=6，則DE=（ ）
A．4B．3C．2D．5
【答案】B
【分析】根據(jù)三角形的中位線的定理即可求出答案．
【詳解】∵AD=BD，AE=EC，∴DE是△ABC的中位線，
∴BC=2DE，∴DE=3，故選B．
【點睛】此題考查三角形的中位線，解題的關(guān)鍵是熟練運用三角形的中位線定理，本題屬于基礎(chǔ)題型．
例3．（2018·上海市清流中學(xué)八年級月考）順次連接等腰梯形各邊中點所圍成的四邊形是 （ ）
A．平行四邊形B．矩形C．菱形D．等腰梯形
【答案】C
【分析】由E、F、G、H分別為AB、BC、CD、DA的中點，得出EF，HG，F(xiàn)G，EH是中位線，再得出四條邊相等，根據(jù)“四條邊都相等的四邊形是菱形”進(jìn)行證明．
【詳解】如圖所示，因為E、F、G、H分別為AB、BC、CD、DA的中點，連接AC、BD，因為E、F分別是AB、BC的中點，
所以EF=AC，同理可得HG=AC，F(xiàn)G=BD，EH=BD，
又因為等腰梯形的對角線相等，即AC=BD，因此有EF=FG=GH=HE，
所以連接等腰梯形各中點所得四邊形為菱形.
故選C.
【點睛】此題考查三角形中位線的性質(zhì)，解題關(guān)鍵在于畫出圖形.
例4．（2019·上海上外附中）梯形兩條對角線互相垂直，且長度分別為，，則梯形的中位線長為_________
【答案】
【分析】作交延長線于點，得到直角三角形，和平行四邊形，運用平行四邊形的性質(zhì)和勾股定理求得的長度，依據(jù)梯形中位線等于上下底和的一半即可.
【詳解】解：如圖，梯形,,,,，
作交延長線于點,
∴四邊形是平行四邊形，,
∴,,,
∴,
∴梯形的中位線長為. 故答案為：.
【點睛】本題考查了梯形的中位線的性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)、勾股定理，解題的關(guān)鍵是通過作平行線把上下底的和看成一個整體.
例5．（2019·上海上外附中）如圖，四邊形中，，分別為，中點，且，，則的長度的范圍是___________
【答案】
【分析】連接BD，取BD的中點G，連接，得到是的中位線，是的中位線，依據(jù)三角形中位線的性質(zhì)求出，，分，不平行時，兩種情況討論，依據(jù)三角形三邊關(guān)系即可.
【詳解】解：連接BD，取BD的中點G，連接，
又∵，分別為，中點，
∴是的中位線，是的中位線，
∴，，
①當(dāng)時，
；
②當(dāng)不平行時，
∵，
∴；
綜上所述：，即.
故答案為：.
【點睛】本題考查了三角形三邊大小關(guān)系，構(gòu)造三角形的中位線、分類討論是解題的關(guān)鍵.
例6.（2017·上海閔行區(qū)·八年級期末）如圖，在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BD、CD、AC的中點，要使四邊形EFGH是菱形，四邊形ABCD還應(yīng)滿足的一個條件是______．
【答案】AD=BC．
【解析】菱形的判別方法是說明一個四邊形為菱形的理論依據(jù)，常用三種方法：①定義；②四邊相等；③對角線互相垂直平分．據(jù)此四邊形ABCD還應(yīng)滿足的一個條件是AD=BC．等．答案不唯一．
解：條件是AD=BC．
∵EH、GF分別是△ABC、△BCD的中位線，
∴EH∥=BC，GF∥=BC，
∴EH∥=GF，
∴四邊形EFGH是平行四邊形．
要使四邊形EFGH是菱形，則要使AD=BC，這樣，GH=AD，
∴GH=GF，
∴四邊形EFGH是菱形．
例7.（2018·上海寶山區(qū)·八年級期末）如圖，將?ABCD中，AD＝8，點E，F(xiàn)分別是BD，CD的中點，則EF為_____．
【答案】4
【分析】由四邊形ABCD是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的對邊相等，可得BC＝AD＝8，又由點E、F分別是BD、CD的中點，利用三角形中位線的性質(zhì)，即可求得答案．
【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴BC＝AD＝8，
∵點E、F分別是BD、CD的中點，
∴EF＝BC＝×8＝4．
故答案為：4．
【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)與三角形中位線的性質(zhì)．
例8．（2017·上海徐匯區(qū)·八年級期末）如圖，在△ABC中，點D，E分別是邊AB，BC的中點，若DE的長是6，則AC=____．
【答案】12．
【分析】根據(jù)三角形中位線定理計算即可．
【詳解】解：∵點D，E分別是邊AB，BC的中點，
∴AC=2DE=12，
故答案為：12．
【點睛】本題考查的是三角形中位線定理的應(yīng)用，掌握三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．
例9．（2019·上海上外附中）如圖，矩形中，，，點為對角線中點，點為邊中點，則四邊形的周長為________
【答案】18
【分析】根據(jù)題意可知OM是的中位線，所以O(shè)M的長可求；根據(jù)勾股定理可求出AC的長，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可求出BO的長，進(jìn)而求出四邊形ABOM的周長．
【詳解】解：∵矩形中，，，
，
為AC的中點，M為AD的中點，
為的中位線，，
，
，
四邊形ABOM的周長，
故答案為：18．
【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、三角形的中位線的性質(zhì)以及直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半這一性質(zhì)，題目的綜合性很好，難度不大.
例10.（1）點、、分別是三邊的中點，的周長為10，則的周長為；
（2）三條中位線的長為3、4、5，則的面積為．
【難度】★
【答案】（1）20；（2）24．
【解析】（1）．
∵三條中位線的長為3、4、5， 且，
∴可知△ABC是直角三角形，
∴．
【總結(jié)】本題考查三角形中位線的性質(zhì)的綜合運用．
例11.如圖，在中，點D是邊BC的中點，點E在內(nèi)，AE平分，點F在邊AB上，EF//BC．
求證：四邊形BDEF是平行四邊形；
線段BF、AB、AC之間有怎么樣的數(shù)量關(guān)系?并證明．
【難度】★★
【答案】（1）見解析；（2）2BF+AC=AB．
【解析】（1）延長CE交AB于點G
∵AE⊥CG，AE平分∠BAC
∴△AEG與△ACE中，∠GAE=∠CAE，AE=AE，∠AEG=∠AEC
∴△AGE≌△ACE∴AG=AC，即△AGC是等腰三角形，∴E是GC的中點．
∵D是CB的中點，∴DE//BA， ∵EF//BD， ∴四邊形BDEF是平行四邊形；
（2）∵ED是△BCG的中位線， ∴ED=．
又∵平行四邊形BDEF，∴ED=BF，∴BF=，即BG=2BF．
∵AG=AC， ∴2BF+AC=BG+AG=BA．
【總結(jié)】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)、中位線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造全等三角形，用中位線的性質(zhì)解題．
例12.如圖所示，在梯形ABCD中，，對角線交于點O，MN是梯形ABCD的中位線，，求證：AC=MN．
【難度】★★
【解析】∵AD//BC， ∴∠ADO=∠DBC=30°．
∴在Rt△AOD和Rt△BOC中，OA=AD，OC=BC，
∴AC=OA+OC=．
∵M(jìn)N是梯形ABCD的中位線，
∴MN=， ∴AC=MN．
【總結(jié)】本題考查梯形中位線的性質(zhì)和直角三角形中性質(zhì)的綜合運用．
例13.如圖所示，在正方形ABCD中，對角線AC、BD交于點O，AE平分，交BC于點E，交OB于點F，求證：CE=2OF．
【難度】★★
【解析】取AE的中點G，聯(lián)結(jié)OG
∵正方形ABCD中，對角線AC、BD交于點O，
∴OG//CE，CE=2OG
∴∠AOG=∠ACB=45°，∠GOB=∠OBC=45°．
∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE=22.5°，
∴∠EGO=∠EAC+∠AOG=22.5°+45°=67.5°，
∴△OFG中，∠OFG=180°-67.5°-45°=67.5°，
∴∠OFG=∠EGO，
∴OG=OF， ∴CE=2OF．
【總結(jié)】本題考查三角形中位線的性質(zhì)的綜合運用，注意利用角度得到等腰三角形．
例14.如圖1所示，已知BD、CE分別是的外角平分線，過點A作，AG⊥CE，垂足分別為F、G，連接FG，延長AF、AG，與直線BC相交，易證．
（1）若BD、CE分別是△ABC的內(nèi)角平分線（如圖2）；
（2）BD為△ABC的內(nèi)角平分線，CE為△ABC的外角平分線（如圖3），則在圖2、圖3兩種情況下，線段FG與△ABC三邊又有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請寫出你的猜想，并對其中的一種情況給予證明．
【難度】★★★
【答案】（1） （2）．
【解析】（1）圖2中，分別延長AG、AF交BC于H、K，
易證△BAF與△BKF全等．
∴AF=KF，AB=KB，同理可證AG=HG，AC=HC，∴FG=
又∵HK=BK-BH=AB+AC-BC，∴；
（2）圖3中，分別延長AG、AF交BC或延長線于H、K
易證△BAF與△BKF全等
∴AF=KF，AB=KB，同理可證AG=HG，AC=HC
∴FG=
又∵HK=BH-BK=BC+AC-AB
∴．
【總結(jié)】本題考查直角三角形性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)，角平分線性質(zhì)以及全等三角形的判定等知識點的綜合運用．
例15.如圖，在四邊形ABCD中，AD=BC，E、F分別是CD、AB的中點，延長AD、BC，分別交FE的延長線于點H、G；求證：．
【難度】★★★
【解析】聯(lián)結(jié)AC，取AC中點M，聯(lián)結(jié)EM、FM
∵E是CD的中點，M是AC中點
∴EM=，EM//AD
∵M(jìn)是AC的中點，F(xiàn)是AB的中點
∴MF//BC，MF=
∵AD=BC，∴EM=MF， ∴∠MEF=∠MFE
∵EM//AH，∴∠MEF=∠AHF，
∵FM//BG，∴∠MFE=∠BGF．
∴∠AHF=∠BGF
【總結(jié)】解題此題的關(guān)鍵是掌握分析題中的各種信息條件，此題考查的是三角形中位線的性質(zhì)，即三角形的中位線平行第三邊且等于第三邊的一半．
隨堂檢測
1.有兩個角相等的梯形是（）
A．等腰梯形 B．直角梯形 C．一般梯形 D．直角梯形或等腰梯形
【難度】★
【答案】D
【解析】如果兩個相等的角是同一底上，則梯形是等腰梯形，
如果兩個相等的角是同旁內(nèi)角，則梯形是直角梯形．
【總結(jié)】本題考查等腰梯形判定方法和梯形性質(zhì)．
2.下列命題中，真命題是（）
A．順次聯(lián)結(jié)等腰梯形各邊的中點，所得的四邊形一定是矩形
B．順次聯(lián)結(jié)等腰梯形各邊的中點，所得的四邊形一定是菱形
C．順次聯(lián)結(jié)等腰梯形各邊的中點，所得的四邊形一定是等腰梯形
D．順次聯(lián)結(jié)等腰梯形各邊的中點，所得的四邊形一定是直角梯形
【難度】★
【答案】B
【解析】等腰梯形兩條對角線相等，可以用三角形中位線性質(zhì)給予證明．
【總結(jié)】本題考查中位線性質(zhì)和菱形判定方法．
3.已知梯形的兩個對角分別是78°和120°，則另兩個角分別是 ( )
A．78°或120° B．102°或60° C．120°或78° D．60°或120°
【難度】★
【答案】B
【解析】另外兩個內(nèi)角分別是180°-78°=102°，180°-120°=60°．
【總結(jié)】本題考查平行線的性質(zhì)的運用．
4.下列命題，錯誤命題的個數(shù)是 ( )
①若一個梯形是軸對稱圖形，則此梯形一定是等腰梯形；
②等腰梯形的兩腰的延長線與經(jīng)過兩底中點的直線必交于一點；
③一組對邊相等而另一組對邊不相等的四邊形是梯形；
④有兩個內(nèi)角是直角的四邊形是直角梯形.
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【難度】★★
【答案】B
【解析】③、④錯誤．
【總結(jié)】本題考查等腰梯形性質(zhì)，根據(jù)四邊形以及梯形的性質(zhì)舉例得出是本題解題關(guān)鍵．
5.如圖，在中，、分別是、的中點，且，，．求的長．
【難度】★★
【答案】AC=10．
【解析】∵D、E分別是中點，∴DE是△ABC的中位線
∴DE//AB，=3，∠ADE=90°， ∴AE=5， ∴AC=10．
【總結(jié)】本題考查中位線性質(zhì)的運用．
6.等腰梯形兩底之差等于一腰長，求它的底角的度數(shù)．
【難度】★★
【答案】60°、60°或120°、120°．
【解析】設(shè)四邊形ABCD是等腰梯形，其中AB//CD，AD=BC，DC-AB=AD，
過點A作AE//BC交CD于點E，可得平行四邊形ABCE．
∴AB=CE，AE=BC， ∴AD=BC=AE=CD-AB=DE，
∴△ADE是等邊三角形， ∴∠D=60°，
∴梯形的底角度數(shù)為60°、60°或120°、120°．
【總結(jié)】本題考查等腰梯形性質(zhì)與等邊三角形性質(zhì)的綜合運用．
7.如圖，四邊形中，不平行，現(xiàn)給出三個條件：①，②，③．請從上述三個條件中選擇兩個條件，使得本題添上這兩個條件后能夠推出是等腰梯形，并加以證明（只需證明一種情況）．
【難度】★★
【答案】①②或②③．
【解析】由①②或②③均可證明△ADB≌△BCA．
過點D作DE//BC交AB于點E
∴∠DAB=∠CBA=∠DEA，∴AD=DE=BC
又DE//BC，∴四邊形DEBC是平行四邊形，∴CD//AB
∵AD不平行BC，∴四邊形ABCD是梯形
∵AD=BC，∴梯形ABCD是等腰梯形
【總結(jié)】本題主要考查等腰梯形的判定方法，涉及等腰梯形的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)等知識，熟練掌握等腰梯形的判定方法是解題關(guān)鍵．
8.如圖，在四邊形中，、、、分別是、、、上的中點，，．求四邊形的周長．
【難度】★★
【答案】12
【解析】∵E、F、G、H分別是AD、BD、BC、AC上的中點，
AB=5，CD=7， ∴EF//AB，GH//AB，EH//CD，F(xiàn)G//CD
∴EF=2.5，EH=3.5，∴四邊形EFGH是平行四邊形
∴四邊形EFGH的周長=2（EF+EH）=12．
【總結(jié)】本題考查了三角形的中位線定理以及平行四邊形的判定和性質(zhì)的綜合運用．

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