初中數(shù)學(xué)滬教版 (五四制)八年級(jí)下冊(cè)22.2 平行四邊形同步訓(xùn)練題-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1.兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形；
2.兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形；
3.一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；
4.兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形；
5.對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形.
要點(diǎn)：（1）這些判定方法是學(xué)習(xí)本章的基礎(chǔ)，必須牢固掌握，當(dāng)幾種方法都能判定同一個(gè)平行四邊形時(shí)，應(yīng)選擇較簡(jiǎn)單的方法.
（2）這些判定方法既可作為判定平行四邊形的依據(jù)，也可作為“畫平行四邊形”的依據(jù).
題型1：平行四邊形的判定
1．能判定四邊形是平行四邊形的是（）
A．， B．，
C．， D．，
2．下列條件中，能判定四邊形是平行四邊形的是（）
A．一組對(duì)角相等B．對(duì)角線互相平分
C．一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等D．對(duì)角線互相垂直
3．在四邊形中，對(duì)角線相交于點(diǎn)O．給出下列四組條件：①，；②，；③，；④，．其中一定這個(gè)四邊形是平行四邊形的條件有（）
A．①②③B．②③④C．①②④D．①③④
題型2：添加一個(gè)條件構(gòu)成平行四邊形
4．四邊形ABCD中，ADBC，要使四邊形ABCD成為平行四邊形還需滿足的條件是_______（橫線只需填一個(gè)你認(rèn)為合適的條件即可）
5．?ABCD中，E，F(xiàn)為對(duì)角線AC上不同的兩點(diǎn)，下列條件中，不能得出四邊形BFDE一定為平行四邊形的是（）
A．B．C．D．
6．如圖，在四邊形ABCD中，，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件，使四邊形ABCD成為平行四邊形，你所添加的條件為___________ （寫一個(gè)即可）．
7．如圖，點(diǎn)、在的對(duì)角線上，連接、、、，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件使四邊形是平行四邊形，那么需要添加的條件是______．（只填一個(gè)即可）
8．如圖，在中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別為邊BC，AB，AC上的點(diǎn)，連接FD并延長(zhǎng)到點(diǎn)G，已知，則添加下列條件，可以使線段AG，DE互相平分的是（）
A．B．C．D．
題型3：平行四邊形的個(gè)數(shù)問題
9．如圖，在平行四邊形中，與相交于點(diǎn)，圖中共有個(gè)平行四邊形( )
A．4個(gè)B．5個(gè)C．8個(gè)D．9個(gè)
10．已知三條線段長(zhǎng)分別為10，14，20，以其中兩條為對(duì)角線，剩余一條為邊，可以畫出________個(gè)平行四邊形.
題型4：點(diǎn)的坐標(biāo)與平行四邊形
11．已知在平面直角坐標(biāo)系中有三個(gè)點(diǎn)：、、．在平面內(nèi)確定點(diǎn)D，使得以A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，則點(diǎn)D的坐標(biāo)不可能是( )
A．B．C．D．
題型5：平行四邊形的性質(zhì)與判定
12．四邊形ABCD是平行四邊形，，BE平分交AD于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，則的度數(shù)為（）
A．55B．50C．40D．35
題型6：平行四邊形的判定證明
13．已知：如圖，是的一條對(duì)角線．延長(zhǎng)至F，反向延長(zhǎng)至E，使．求證：四邊形是平行四邊形．
14．已知：如圖，E在邊的延長(zhǎng)線上，且．求證：四邊形是平行四邊形．
15．已知：如圖，等邊三角形與等邊三角形的一邊重合．
(1)求證：四邊形是平行四邊形．
(2)若的邊長(zhǎng)為，求所組成的平行四邊形各組對(duì)邊之間的距離．
題型7：全等三角形構(gòu)成（拼成）平行四邊形
16．如圖，由六個(gè)全等的正三角形拼成的圖中，有多少個(gè)平行四邊形？為什么？
17．如圖，在所給方格紙中，每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)都是1，標(biāo)號(hào)為①，②，③的三個(gè)三角形均為格點(diǎn)三角形（頂點(diǎn)在方格頂點(diǎn)處）．請(qǐng)按要求將圖甲、圖乙中的指定圖形分割成三個(gè)三角形，使它們與標(biāo)號(hào)為①，②，③的三個(gè)三角形分別對(duì)應(yīng)全等．
(1)圖甲中的格點(diǎn)正方形ABCD；
(2)圖乙中的平行四邊形ABCD．
注：圖甲、圖乙在答題卡上，分割線畫成實(shí)線．
題型8：平行四邊形的判定與性質(zhì)綜合解答證明
18．已知：如圖，在平行四邊形中，分別是和的角平分線，交于點(diǎn)E，F(xiàn)連接．
(1)求證：互相平分；
(2)若，求四邊形的周長(zhǎng)和面積．
19．如圖，平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，EF過點(diǎn)O且與AB、CD分別相交于點(diǎn)E、F，連接EC．
（1）求證：OE＝OF；
（2）若EF⊥AC，△BEC的周長(zhǎng)是10，求平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)．
20．如圖，在平行四邊形中，對(duì)角線，相交于點(diǎn)，，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)．
(1)求證：；
(2)若，分別是，的中點(diǎn)．
判斷的形狀并證明你的結(jié)論；
當(dāng)，且時(shí)，求平行四邊形的面積．
一、單選題
1．下列命題錯(cuò)誤的是（）
A．兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形
B．兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形
C．一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等的四邊形是平行四邊形
D．對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形
2．如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，要使四邊形ABCD是平行四邊形，下列可添加的條件不正確的是（）
A．AD=BCB．AB=CDC．AD∥BCD．∠A=∠C
3．能確定平行四邊形的大小和形狀的條件是（）
A．已知平行四邊形的兩鄰邊B．已知平行四邊形的相鄰兩角
C．已知平行四邊形的兩鄰邊和一條對(duì)角線D．已知平行四邊形的兩條對(duì)角線
4．點(diǎn)A、B、C、D在同一平面內(nèi)，從（1），（2），（3），（4）這四個(gè)條件中任選兩個(gè)，能使四邊形是平行四邊形的選法有（）種．
A．3B．4C．5D．6
5．如圖，是邊延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接，，，交于點(diǎn)．添加以下條件，不能判定四邊形為平行四邊形的是（）
A．B．
C．D．
6．已知：如圖，，，給出以下結(jié)論：
①；②； ③其中正確的是（）
A．①②B．②③C．①③D．①②③
7．如圖，在中，E、F分別為邊AB、DC的中點(diǎn)，連接AF、CE、DE、BF、EF，AF與DE交于點(diǎn)G，CE與BF交于點(diǎn)H，則圖中共有平行四邊形（）
A．3個(gè)B．4個(gè)C．5個(gè)D．6個(gè)
8．如圖1，中，，為銳角．要在對(duì)角線BD上找點(diǎn)N，M，使四邊形ANCM為平行四邊形，現(xiàn)有圖2中的甲、乙、丙三種方案，則正確的方案（）．
A．甲、乙、丙都是B．只有甲、乙才是
C．只有甲、丙才是D．只有乙、丙才是
9．如圖，在中，直線，并且與、的延長(zhǎng)線分別交于、，交于，交于．下列結(jié)論：①；②；③；④，其中正確的結(jié)論有（）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
10．如圖，已知平行四邊形ABCD中，3AB＝2BC，點(diǎn)O是∠BAD和∠CBA的角平分線的交點(diǎn)，過點(diǎn)O作EFAB，分別交AD、BC于E、F兩點(diǎn)，連接OD、OC．則下列結(jié)論：①AO⊥BO；②點(diǎn)O是EF的中點(diǎn)；③DE＝2AE；④S△OCD＝4S△OAE，其中正確的有（）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
二、填空題
11．平行四邊形的判定：
（1）用定義判定______________________________________．
（2）兩組對(duì)邊分別____________的四邊形是平行四邊形．
（3）一組對(duì)邊_______________ 的四邊形是平行四邊形．
（4）兩組對(duì)角分別____________的四邊形是平行四邊形．
（5）對(duì)角線_________________ 的四邊形是平行四邊形．
12．下列給出的條件中，不能判定四邊形是平行四邊形的為__________填序號(hào)．
①，；②，ADBC；③，；④ABCD，∠A=∠C．
13．下列命題：
①一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等的四邊形是平行四邊形；
②對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形；
③兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形；
④一組對(duì)邊平行，一組對(duì)角相等的四邊形是平行四邊形．
其中正確的命題是______ 將命題的序號(hào)填上即可．
14．已知：如圖，ABCD，線段AC和BD交于點(diǎn)O，要使四邊形ABCD是平行四邊形，還需要增加的一個(gè)條件是：_____（填一個(gè)即可）．
15．已知：如圖，四邊形AEFD和EBCF都是平行四邊形，則四邊形ABCD是__________．
16．在平面直角坐標(biāo)系中，已知平行四邊形的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是，則平行四邊形第四個(gè)頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為__________．
17．如圖，在四邊形中，，，，點(diǎn)P在邊上以每秒的速度從點(diǎn)A向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在BC邊上，以每秒的速度從點(diǎn)C向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)．若P、Q同時(shí)出發(fā)，當(dāng)直線在四邊形內(nèi)部截出一個(gè)平行四邊形時(shí)．點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)了 _____秒．
18．如圖，在平行四邊形中，對(duì)角線，相交于點(diǎn)，，，，分別是，，的中點(diǎn)，下列結(jié)論：
①；
②四邊形是平行四邊形；
③；
④，
其中正確的有_______個(gè)．
三、解答題
19．已知，如圖，E、F分別為?ABCD的對(duì)邊AB、CD的中點(diǎn)．
（1）求證：DE=FB；
（2）若DE、CB的延長(zhǎng)線交于G點(diǎn)，求證：CB=BG．
20．如圖，平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，EF過點(diǎn)O且與AB、CD分別相交于點(diǎn)E、F，連接EC．
（1）求證：OE＝OF；
（2）若EF⊥AC，△BEC的周長(zhǎng)是10，求平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)．
21．已知：如圖，在平行四邊形中，分別是和的角平分線，交于點(diǎn)E，F(xiàn)連接．
(1)求證：互相平分；
(2)若，求四邊形的周長(zhǎng)和面積．
22．如圖，點(diǎn)E在?ABCD內(nèi)部，AF∥BE，DF∥CE，
（1）求證：△BCE≌△ADF；
（2）設(shè)?ABCD的面積為S，四邊形AEDF的面積為T，求的值
23．在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)O是對(duì)角線BD中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊BC上，EO的延長(zhǎng)線與邊AD交于點(diǎn)F，連接BF、DE，如圖1．
（1）求證：四邊形BEDF是平行四邊形；
（2）在（1）中，若DE＝DC，∠CBD＝45°，過點(diǎn)C作DE的垂線，與DE、BD、BF分別交于點(diǎn)G、H、R，如圖2．
①當(dāng)CD＝6，CE＝4時(shí)，求BE的長(zhǎng)．
②探究BH與AF的數(shù)量關(guān)系，并給予證明．
24．在中，，點(diǎn)P為所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，過點(diǎn)P分別作交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．
(1)如圖1，若點(diǎn)在邊上，此時(shí)，直接寫出、、與滿足的數(shù)量關(guān)系；
(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在內(nèi)，猜想并寫出、、與滿足的數(shù)量關(guān)系，然后證明你的猜想；
(3)如圖3，當(dāng)點(diǎn)P在外，猜想并寫出、、與滿足的數(shù)量關(guān)系．（不用說明理由）
取BD中點(diǎn)O，作，
作于N，于M
作AN，CM分別平分，，交BD于點(diǎn)N，M
22.2.2 平行四邊形的判定
平行四邊形的判定
1.兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形；
2.兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形；
3.一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；
4.兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形；
5.對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形.
要點(diǎn)：（1）這些判定方法是學(xué)習(xí)本章的基礎(chǔ)，必須牢固掌握，當(dāng)幾種方法都能判定同一個(gè)平行四邊形時(shí)，應(yīng)選擇較簡(jiǎn)單的方法.
（2）這些判定方法既可作為判定平行四邊形的依據(jù)，也可作為“畫平行四邊形”的依據(jù).
題型1：平行四邊形的判定
1．能判定四邊形是平行四邊形的是（）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【分析】根據(jù)平行四邊形的判定定理（①有兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形，②有兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形，③有兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形，④有一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，⑤對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形）進(jìn)行判斷即可．
【解析】解：A、，，不能判定四邊形為平行四邊形；
B、，，不能判定四邊形為平行四邊形；
C、，，能判定四邊形為平行四邊形；
D、，，不能判定四邊形為平行四邊形；
故選：C．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了平行四邊形的判定，正確掌握平行四邊形的判定方法是解題關(guān)鍵．
2．下列條件中，能判定四邊形是平行四邊形的是（）
A．一組對(duì)角相等B．對(duì)角線互相平分
C．一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等D．對(duì)角線互相垂直
【答案】B
【分析】平行四邊形的判定定理：①兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形，兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形，對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形，有一組對(duì)邊相等且平行的四邊形是平行四邊形，據(jù)此進(jìn)行判斷即可．
【解析】解：如圖：

A、兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；
B、∵、，∴四邊形是平行四邊形，故本選項(xiàng)正確，符合題意；
C、“一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等”的四邊形不一定是平行四邊形，例如：等腰梯形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；
D、對(duì)角線互相垂直的四邊形不一定是平形四邊形，例如：箏形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)平行四邊形的判定定理得應(yīng)用，題目具有一定的代表性，但是一道比較容易出錯(cuò)的題目．
3．在四邊形中，對(duì)角線相交于點(diǎn)O．給出下列四組條件：①，；②，；③，；④，．其中一定這個(gè)四邊形是平行四邊形的條件有（）
A．①②③B．②③④C．①②④D．①③④
【答案】A
【分析】根據(jù)平行四邊形的5個(gè)判斷定理：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形；兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形；一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形；對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形，即可作出判斷．
【解析】解：①根據(jù)平行四邊形的判定定理：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形，可知①能判斷這個(gè)四邊形是平行四邊形；
②根據(jù)平行四邊形的判定定理：兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形，可知②能判斷這個(gè)四邊形是平行四邊形；
③根據(jù)平行四邊形的判定定理：兩條對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形，可知③能判斷這個(gè)四邊形是平行四邊形；
④根據(jù)平行四邊形的判定定理：一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，可知④不能判斷這個(gè)四邊形是平行四邊形（例可能是等腰梯形）；
故給出下列四組條件中，①②③能判斷這個(gè)四邊形是平行四邊形．
故選：A．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了平行四邊形的判定定理，解題關(guān)鍵是準(zhǔn)確無(wú)誤的掌握平行四邊形的判定定理，難度一般．
題型2：添加一個(gè)條件構(gòu)成平行四邊形
4．四邊形ABCD中，ADBC，要使四邊形ABCD成為平行四邊形還需滿足的條件是_______（橫線只需填一個(gè)你認(rèn)為合適的條件即可）
【答案】ABCD（答案不唯一）
【分析】根據(jù)平行四邊形的判定解答即可．
【解析】解：由題意得當(dāng)ABCD時(shí)，四邊形ABCD為平行四邊形．
故答案為：ABCD（答案不唯一）．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定定理，解決本題的關(guān)鍵是掌握平行四邊形的判定定理．
5．?ABCD中，E，F(xiàn)為對(duì)角線AC上不同的兩點(diǎn)，下列條件中，不能得出四邊形BFDE一定為平行四邊形的是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】連接AC與BD相交于O，根據(jù)平行四邊形的對(duì)角線互相平分可得OA=OC，OB=OD，再根據(jù)對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形，只要證明得到OE=OF即可，然后根據(jù)各選項(xiàng)的條件分析判斷即可得解．
【解析】解：如圖，連接BD與AC相交于O，
A、∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴OB=OD，
由BE=DF，無(wú)法判斷OE=OF，故本選項(xiàng)符合題意；
B、∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵AE=CF，
∴OA-AE=OC-CF，
即OE=OF，
∴四邊形BFDE為平行四邊形，故本選項(xiàng)不符合題意；
C、∵，
∴∠OBF=∠ODE，
在△BOF和△DOE中，，
∴△BOF≌△DOE（ASA），
∴OE=OF，
又∵OB=OD，
∴四邊形BFDE為平行四邊形，故本選項(xiàng)不符合題意；
D、∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴OA=OC，OB=OD，AD=CB，ADCB，
∴∠DAE=∠BCF，
在△ADE和△CBF中，，
∴△ADE≌△CBF（ASA），
∴AE=CF，
∴OA-AE=OC-CF，
即OE=OF，
∴四邊形BFDE為平行四邊形，故本選項(xiàng)不符合題意；
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)，證明OE=OF是解題的關(guān)鍵．
6．如圖，在四邊形ABCD中，，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件，使四邊形ABCD成為平行四邊形，你所添加的條件為___________ （寫一個(gè)即可）．
【答案】ABDC(答案不唯一)
【分析】根據(jù)平行四邊形的判定條件解答即可．
【解析】解：∵AB=DC，
再加ABDC，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
故答案為：ABDC(答案不唯一)
【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的判定，熟練掌握平行四邊形的判定定理是解題的關(guān)鍵．
7．如圖，點(diǎn)、在的對(duì)角線上，連接、、、，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件使四邊形是平行四邊形，那么需要添加的條件是______．（只填一個(gè)即可）
【答案】（答案不唯一）
【分析】根據(jù)對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形，即可求解．
【解析】解：添加：，理由如下：
連接BD交AC于點(diǎn)O，如圖，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AO=CO，BO=DO，
∵，
∴OE=OF，
∴四邊形是平行四邊形．
故答案為：（答案不唯一）
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
8．如圖，在中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別為邊BC，AB，AC上的點(diǎn)，連接FD并延長(zhǎng)到點(diǎn)G，已知，則添加下列條件，可以使線段AG，DE互相平分的是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】通過分析線段AG，DE互相平分，得四邊形ADGE是平行四邊形，結(jié)合選項(xiàng)，利用平行四邊形的判定定理即可求解．
【解析】若線段AG，DE互相平分，則四邊形ADGE是平行四邊形，
添加，
又∵，
∴四邊形ADGE是平行四邊形，
∴線段AG，DE互相平分，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定定理，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
題型3：平行四邊形的個(gè)數(shù)問題
9．如圖，在平行四邊形中，與相交于點(diǎn)，圖中共有個(gè)平行四邊形( )
A．4個(gè)B．5個(gè)C．8個(gè)D．9個(gè)
【答案】D
【分析】根據(jù)平行四邊形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論．
【解析】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴，
∵，
，
∴，，，，
∴四邊形BCFE，四邊形ADFE，四邊形ABHG，四邊形CDGH，四邊形AEOG，四邊形BEOH，四邊形DFOG，四邊形CFOH均為平行四邊形，
∴圖中共有個(gè)平行四邊形9個(gè)．
故選：D
【點(diǎn)睛】此題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
10．已知三條線段長(zhǎng)分別為10，14，20，以其中兩條為對(duì)角線，剩余一條為邊，可以畫出________個(gè)平行四邊形.
【答案】2
【分析】根據(jù)平行四邊形性質(zhì)得出OA=OC= AC，BO =OD=BD，分為三種情況：①AC=10，BD=14，AB=20時(shí)，②AC=10，BD=20，AB=14時(shí)，③AC=20，BD=14，AB=10時(shí)，求出AO和BO的值，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理看看△AOB是否存在即可．
【解析】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴OA=OC=AC，BO=OD=BD，
分為三種情況：
①AC=10，BD=14，AB=20時(shí)，AO=5，BO=7，
則5+7＜20，不符合三角形三邊關(guān)系定理；不能組成平行四邊形；
②AC=10，BD=20，AB=14時(shí)，AO=5，BO=10，
則5+10＞14，符合三角形三邊關(guān)系定理；能組成平行四邊形；
③AC=20，BD=14，AB=10時(shí)，AO=10，BO=7，
則7+10＞10，符合三角形三邊關(guān)系定理；能組成平行四邊形；
可以畫出不同形狀的平行四邊形的個(gè)數(shù)是2，
故答案為2．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系定理的應(yīng)用，能運(yùn)用定理判斷平行四邊形是否存在時(shí)解此題的關(guān)鍵．
題型4：點(diǎn)的坐標(biāo)與平行四邊形
11．已知在平面直角坐標(biāo)系中有三個(gè)點(diǎn)：、、．在平面內(nèi)確定點(diǎn)D，使得以A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，則點(diǎn)D的坐標(biāo)不可能是( )
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】在平面直角坐標(biāo)系中，分類討論①當(dāng)AB，CD為對(duì)角線時(shí)，②當(dāng)AC，BD為對(duì)角線時(shí)和③當(dāng)BC，AD為對(duì)角線時(shí)，結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)畫出圖形即得出答案．
【解析】①當(dāng)AB，CD為對(duì)角線時(shí)，如圖，此時(shí)四邊形為平行四邊形，
∴．
∵向上平移4個(gè)單位，向左平移2個(gè)單位得到，
∴向上平移4個(gè)單位，向左平移2個(gè)單位得到；
②當(dāng)AC，BD為對(duì)角線時(shí)，如圖，此時(shí)四邊形為平行四邊形，
∴．
∵向上平移1個(gè)單位，向左平移4個(gè)單位得到，
∴向上平移1個(gè)單位，向左平移4個(gè)單位得到；
③當(dāng)BC，AD為對(duì)角線時(shí)，如圖，此時(shí)四邊形為平行四邊形，
∴．
∵向下平移1個(gè)單位，向右平移4個(gè)單位得到，
∴向下平移1個(gè)單位，向右平移4個(gè)單位得到．
綜上可知點(diǎn)D的坐標(biāo)可能是或或，
故選D．
【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的判定和性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形．利用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想是解題關(guān)鍵．
題型5：平行四邊形的性質(zhì)與判定
12．四邊形ABCD是平行四邊形，，BE平分交AD于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，則的度數(shù)為（）
A．55B．50C．40D．35
【答案】D
【分析】根據(jù)已知條件證明四邊形EBFD是平行四邊形，進(jìn)而得到，由可得，求出的度數(shù)，即可得的度數(shù)．
【解析】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴，，
∵，
∴四邊形EBFD是平行四邊形，
∴，
∴，
∵BE平分∠ABC交AD于點(diǎn)E，，
∴，
∴，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，證明四邊形EBFD是平行四邊形是解答本題的關(guān)鍵．
題型6：平行四邊形的判定證明
13．已知：如圖，是的一條對(duì)角線．延長(zhǎng)至F，反向延長(zhǎng)至E，使．求證：四邊形是平行四邊形．
【答案】見解析
【分析】連接，與交于點(diǎn)G，根據(jù)得到，根據(jù)，得到，從而得到，問題得證．
【解析】證明：如圖，連接，與交于點(diǎn)G，
因?yàn)椋?br>所以，
因?yàn)椋?br>所以，
所以，
所以四邊形是平行四邊形．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定，熟練掌握對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形是解題的關(guān)鍵．
14．已知：如圖，E在邊的延長(zhǎng)線上，且．求證：四邊形是平行四邊形．
【答案】見解析
【分析】首先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到BC=AD，根據(jù)進(jìn)而可得出AD=CE，結(jié)合即可證明．
【解析】∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴且AD=BC，
又∵，
∴AD=CE，
又∵，即，
∴四邊形是平行四邊形．
【點(diǎn)睛】此題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行四邊形的判定和性質(zhì)．
15．已知：如圖，等邊三角形與等邊三角形的一邊重合．
(1)求證：四邊形是平行四邊形．
(2)若的邊長(zhǎng)為，求所組成的平行四邊形各組對(duì)邊之間的距離．
【答案】(1)證明見解析；
(2)平行四邊形各組對(duì)邊之間的距離為．
【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可知，，進(jìn)一步可知：，，即可證明四邊形是平行四邊形；
（2）作，，求出，利用所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半即可求出，再利用勾股定理求出，同理可求出．
【解析】（1）證明：∵等邊三角形與等邊三角形的一邊重合．
∴，，
∴，，
∴四邊形是平行四邊形．
（2）解：作，，
∵等邊的邊長(zhǎng)為，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
同理：∵等邊三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
即平行四邊形各組對(duì)邊之間的距離為．
【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的判定定理，等邊三角形的性質(zhì)，所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，勾股定理，解題的關(guān)鍵是掌握平行四邊形的判定定理，等邊三角形的性質(zhì)，所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，勾股定理并能夠靈活運(yùn)用．
題型7：全等三角形構(gòu)成（拼成）平行四邊形
16．如圖，由六個(gè)全等的正三角形拼成的圖中，有多少個(gè)平行四邊形？為什么？
【答案】6個(gè)，兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形
【分析】根據(jù)平行四邊形的判定定理求解即可．
【解析】解：如圖所示，
∵六個(gè)三角形是全等的正三角形，
∴OA=EF，AF=OE，
∵兩組對(duì)邊分別相等，
∴四邊形AOEF為平行四邊形；
同理可證，四邊形ABOF，四邊形ABCO，四邊形BCDO，四邊形CDEO，四邊形DEFO均為平行四邊形，
∴共有6個(gè)平行四邊形，根據(jù)兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形．
【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的判定，理解并熟練運(yùn)用平行四邊形的判定方法是解題關(guān)鍵．
17．如圖，在所給方格紙中，每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)都是1，標(biāo)號(hào)為①，②，③的三個(gè)三角形均為格點(diǎn)三角形（頂點(diǎn)在方格頂點(diǎn)處）．請(qǐng)按要求將圖甲、圖乙中的指定圖形分割成三個(gè)三角形，使它們與標(biāo)號(hào)為①，②，③的三個(gè)三角形分別對(duì)應(yīng)全等．
(1)圖甲中的格點(diǎn)正方形ABCD；
(2)圖乙中的平行四邊形ABCD．
注：圖甲、圖乙在答題卡上，分割線畫成實(shí)線．
【答案】(1)作圖見解析
(2)作圖見解析
【分析】（1）利用三角形的形狀以及各邊長(zhǎng)進(jìn)而拼出正方形即可；
（2）利用三角形的形狀以及各邊長(zhǎng)進(jìn)而拼出平行四邊形即可．
【解析】（1）如圖甲所示：
（2）如圖乙所示：
【點(diǎn)睛】本題考查了作圖－應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖把簡(jiǎn)單作圖放入實(shí)際問題中，解決此類題目的一般思路是首先要理解題意，弄清問題中對(duì)所作圖形的要求，結(jié)合對(duì)應(yīng)幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖的方法作圖．
題型8：平行四邊形的判定與性質(zhì)綜合解答證明
18．已知：如圖，在平行四邊形中，分別是和的角平分線，交于點(diǎn)E，F(xiàn)連接．
(1)求證：互相平分；
(2)若，求四邊形的周長(zhǎng)和面積．
【答案】(1)見解析
(2)四邊形的周長(zhǎng)為12，四邊形的面積為
【分析】（1）證明互相平分，只要證是平行四邊形，利用兩組對(duì)邊分別平行來(lái)證明．
（2）首先證明出是等邊三角形，然后根據(jù)平行四邊形的周長(zhǎng)公式求解，過D點(diǎn)作于點(diǎn)G，根據(jù)勾股定理求出，然后利用平行四邊形的面積公式求解即可．
【解析】（1）解：∵四邊形是平行四邊形
∴，
∵分別是和的角平分線
∴
∵，
∴
∴
∴，
∴，
∴即
∵，
∴四邊形是平行四邊形，
∴互相平分；
（2）∵，
∴是等邊三角形
∵，
∴，
∵，
∴
∴四邊形的周長(zhǎng)；
過D點(diǎn)作于點(diǎn)G，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴四邊形的面積．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定，勾股定理，在應(yīng)用判定定理判定平行四邊形時(shí)，應(yīng)仔細(xì)觀察題目所給的條件，仔細(xì)選擇適合于題目的判定方法進(jìn)行解答，避免混用判定方法．
19．如圖，平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，EF過點(diǎn)O且與AB、CD分別相交于點(diǎn)E、F，連接EC．
（1）求證：OE＝OF；
（2）若EF⊥AC，△BEC的周長(zhǎng)是10，求平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)．
【答案】（1）證明見解析；（2）20.
【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出OD=OB，DC∥AB，推出∠FDO=∠EBO，證△DFO≌△BEO即可；
（2）由平行四邊形的性質(zhì)得出AB=CD，AD=BC，OA=OC，由線段垂直平分線的性質(zhì)得出AE=CE，由已知條件得出BC+AB=10，即可得出平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)．
【解析】解：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴OD=OB，DC∥AB，
∴∠FDO=∠EBO，
在△DFO和△BEO中，，
∴△DFO≌△BEO（ASA），
∴OE=OF．
（2）解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=CD，AD=BC，OA=OC，
∵EF⊥AC，
∴AE=CE，
∵△BEC的周長(zhǎng)是10，
∴BC+BE+CE=BC+BE+AE=BC+AB=10，
∴平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)=2（BC+AB）=20．
20．如圖，在平行四邊形中，對(duì)角線，相交于點(diǎn)，，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)．
(1)求證：；
(2)若，分別是，的中點(diǎn)．
判斷的形狀并證明你的結(jié)論；
當(dāng)，且時(shí)，求平行四邊形的面積．
【答案】(1)見解析，
(2)的形狀為等腰三角形，理由見解析；②24
【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)易證，再證是等腰三角形，由等腰三角形三線合一性質(zhì)得出，即可得出結(jié)論；
（2）①易證，由為中點(diǎn)，得出，再由、分別是、的中點(diǎn)，得出，由平行四邊形的性質(zhì)得，即可得出，則是等腰三角形；
②先證四邊形是平行四邊形，得出，，再證、、都是等腰直角三角形，設(shè)，則，，由勾股定理求出，得出，，最后由，即可得出答案．
【解析】（1）四邊形是平行四邊形，
，，
，
，
，
是等腰三角形，
點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，
，
；
（2）①的形狀為等腰三角形，理由如下：
是等腰三角形，是中點(diǎn)，
，
，
為中點(diǎn)，
，
、分別是、的中點(diǎn)，
，
四邊形是平行四邊形，
，
，
是等腰三角形；
解：四邊形是平行四邊形，
，，，，
、分別是、的中點(diǎn)，
，是的中位線，
，，
，
是的中點(diǎn)，
，
，
四邊形是平行四邊形，
，，
，
，
，
由得：，
是等腰直角三角形，
，
是等腰直角三角形，
，
，
是等腰直角三角形，
，
設(shè)，
則，，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：或不合題意，舍去，
，
，
．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、中位線定理、平行線的判定與性質(zhì)、勾股定理、平行四邊形面積的計(jì)算等知識(shí)；熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)和等腰直角三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
一、單選題
1．下列命題錯(cuò)誤的是（）
A．兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形
B．兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形
C．一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等的四邊形是平行四邊形
D．對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形
【答案】C
【分析】根據(jù)平行四邊形的判定逐項(xiàng)分析即可得．
【解析】解：A、兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形，正確，則此項(xiàng)不符合題意；
B、兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形，正確，則此項(xiàng)不符合題意；
C、一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等的四邊形可能是平行四邊形，也可能是等腰梯形，故原命題錯(cuò)誤，此項(xiàng)符合題意；
D、對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形，正確，則此項(xiàng)不符合題意，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定，熟記平行四邊形的判定是解題關(guān)鍵．
2．如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，要使四邊形ABCD是平行四邊形，下列可添加的條件不正確的是（）
A．AD=BCB．AB=CDC．AD∥BCD．∠A=∠C
【答案】A
【分析】根據(jù)平行四邊形的判定方法，逐項(xiàng)判斷即可．
【解析】解：A、當(dāng)AB∥CD，AD=BC時(shí)，四邊形ABCD可能為等腰梯形，所以不能證明四邊形ABCD為平行四邊形；
B、AB∥CD，AB=DC，一組對(duì)邊分別平行且相等，可證明四邊形ABCD為平行四邊形；
C、AB∥CD，AD∥BC，兩組對(duì)邊分別平行，可證明四邊形ABCD為平行四邊形；
D、∵AB∥CD，
∴∠A+∠D=180°，
∵∠A=∠C，
∴∠C+∠D=180°，
∴AD∥BC，
∴四邊形ABCD為平行四邊形；
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查平行四邊形的判定方法，熟練掌握平行四邊形的判定方法是解題的關(guān)鍵．
3．能確定平行四邊形的大小和形狀的條件是（）
A．已知平行四邊形的兩鄰邊B．已知平行四邊形的相鄰兩角
C．已知平行四邊形的兩鄰邊和一條對(duì)角線D．已知平行四邊形的兩條對(duì)角線
【答案】C
【分析】利用平行四邊形的判定定理結(jié)合四邊形的不穩(wěn)定性進(jìn)行判斷即可．
【解析】解：A、僅僅知道平行四邊形的兩鄰邊根據(jù)平行四邊形的不穩(wěn)定性知不能確定其形狀和大小；
B、已知平行四邊形的相鄰兩角只能大體確定其形狀，但并不能確定其大小，故錯(cuò)誤；
C、能確定其形狀及大小，故正確；
D、已知平行四邊形的兩對(duì)角線只能確定大小，不能確定形狀，故錯(cuò)誤．
故選：C．
【點(diǎn)睛】考查了平行四邊形的判定和不穩(wěn)定性，平行四邊形共有五種判定方法，記憶時(shí)要注意技巧；這五種方法中，一種與對(duì)角線有關(guān)，一種與對(duì)角有關(guān)，其他三種與邊有關(guān)．
4．點(diǎn)A、B、C、D在同一平面內(nèi)，從（1），（2），（3），（4）這四個(gè)條件中任選兩個(gè)，能使四邊形是平行四邊形的選法有（）種．
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【分析】平行四邊形與邊相關(guān)的判定：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形；兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形；一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，根據(jù)以上判定方法對(duì)條件逐一判斷即可得到答案.
【解析】解：如圖，
選?。?），（2），
由一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形可判定四邊形為平行四邊形，
選?。?），（3），
由兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形可判定四邊形為平行四邊形，
選取（2），（4），
由兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形可判定四邊形為平行四邊形，
選?。?），（4），
由一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形可判定四邊形為平行四邊形，
故選：
【點(diǎn)睛】本題考查的是平行四邊形的判定，熟悉平行四邊形的判定方法是解題的關(guān)鍵.
5．如圖，是邊延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接，，，交于點(diǎn)．添加以下條件，不能判定四邊形為平行四邊形的是（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AD∥BC，AB∥CD，求得DE∥BC，∠ABD=∠CDB，推出BD∥CE，于是得到四邊形BCED為平行四邊形，故A不符合題意；根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠DEF=∠CBF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到EF=BF，于是得到四邊形BCED為平行四邊形，故B不符合題意；根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠AEB=∠CBF，求得∠CBF=∠BCD，求得CF=BF，同理，EF=DF，不能判定四邊形BCED為平行四邊形；故C符合題意；根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠DEC+∠BCE=∠EDB+∠DBC=180°，推出∠BDE=∠BCE，于是得到四邊形BCED為平行四邊形，故D不符合題意．
【解析】∵四邊形是平行四邊形，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴四邊形為平行四邊形，故A不符合題意；
∵，
∴，
在與中，
，
∴，
∴，
∵，
∴四邊形為平行四邊形，故B不符合題意；
∵，
∴，
∵，
∴,
∴，
同理，，
∴不能判定四邊形為平行四邊形；故C符合題意；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴四邊形為平行四邊形，故D不符合題意，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的判定定理是解題的關(guān)鍵．
6．已知：如圖，，，給出以下結(jié)論：
①；②； ③其中正確的是（）
A．①②B．②③C．①③D．①②③
【答案】D
【分析】由，，可證四邊形是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即可求解．
【解析】解：∵，，
∴四邊形是平行四邊形，
∴①平行四邊形的對(duì)角相等，即，正確；②平行四邊形的對(duì)邊平行且相等，即，正確； ③平行四邊形的對(duì)邊平行且相等，即，正確．
∴正確的有：①，②， ③，
故選：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查平行四邊形的判定和性質(zhì)，掌握平行四邊形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
7．如圖，在中，E、F分別為邊AB、DC的中點(diǎn)，連接AF、CE、DE、BF、EF，AF與DE交于點(diǎn)G，CE與BF交于點(diǎn)H，則圖中共有平行四邊形（）
A．3個(gè)B．4個(gè)C．5個(gè)D．6個(gè)
【答案】D
【分析】根據(jù)四邊形ABCD是平行四邊形，得到AB=CD，AB∥CD，根據(jù)E、F分別為邊AB、DC的中點(diǎn)，得到AE=BE= AB，CF=DF= CD，推出AE=DF =CF=BE，推出四邊形ADFE，AFCE，EDFB，EFCB都是平行四邊形,得到AE∥CE，DE∥BF，推出四邊形EGFH是平行四邊形，至此，連原來(lái)的平行四邊形共有6個(gè)．
【解析】∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∵E、F分別為邊AB、DC的中點(diǎn)，
∴AE=BE= AB，CF=DF= CD，
∴AE=DF，AE=CF，BE=CF，BE=DF，
∴四邊形ADFE，AFCE，EDFB，EFCB都是平行四邊形,
∴AE∥CE，DE∥BF，
∴四邊形EGFH是平行四邊形，
故平行四邊形共有6個(gè)．
故選D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握平行四邊形的定義、判定和性質(zhì)．
8．如圖1，中，，為銳角．要在對(duì)角線BD上找點(diǎn)N，M，使四邊形ANCM為平行四邊形，現(xiàn)有圖2中的甲、乙、丙三種方案，則正確的方案（）．
A．甲、乙、丙都是B．只有甲、乙才是
C．只有甲、丙才是D．只有乙、丙才是
【答案】A
【分析】方案甲，連接AC，由平行四邊形的性質(zhì)得OB＝OD，OA＝OC，則NO＝OM，得四邊形ANCM為平行四邊形，方案甲正確；
方案乙：證△ABN≌△CDM（AAS），得AN＝CM，再由ANCM，得四邊形ANCM為平行四邊形，方案乙正確；
方案丙：證△ABN≌△CDM（ASA），得AN＝CM，∠ANB＝∠CMD，則∠ANM＝∠CMN，證出ANCM，得四邊形ANCM為平行四邊形，方案丙正確．
【解析】解：方案甲中，連接AC，如圖1所示：
∵四邊形ABCD是平行四邊形，O為BD的中點(diǎn)，
∴OB＝OD，OA＝OC，
∵BN＝NO，OM＝MD，
∴NO＝OB，OM＝OD，
∴NO＝OM，
∴四邊形ANCM為平行四邊形，方案甲正確；
方案乙中：如圖2，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB＝CD，ABCD，
∴∠ABN＝∠CDM，
∵AN⊥BD，CM⊥BD，
∴∠ANM＝∠CMN＝90°，∠ANB＝∠CMD＝90°
∴ANCM，
在△ABN和△CDM中，

∴△ABN≌△CDM（AAS），
∴AN＝CM，
又∵ANCM，
∴四邊形ANCM為平行四邊形，方案乙正確；
方案丙中：如圖3，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠BAD＝∠BCD，AB＝CD，ABCD，
∴∠ABN＝∠CDM，
∵AN平分∠BAD，CM平分∠BCD，
∴∠BAN＝∠BAD＝∠BCD＝∠DCM，
在△ABN和△CDM中，
∴△ABN≌△CDM（ASA），
∴AN＝CM，∠ANB＝∠CMD，
∴∠ANM＝∠CMN，
∴ANCM，
∴四邊形ANCM為平行四邊形，方案丙正確；
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
9．如圖，在中，直線，并且與、的延長(zhǎng)線分別交于、，交于，交于．下列結(jié)論：①；②；③；④，其中正確的結(jié)論有（）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【答案】C
【分析】根據(jù)平行四邊形的判定，性質(zhì)和三角形全等的判定定理，判斷選擇即可．
【解析】因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形，
所以AD=BC，MD∥FB，BN∥ED．
因?yàn)镋F∥BD，
所以四邊形BFMD、四邊形BNED都是平行四邊形，
所以BF=DM，BN=DE，BD=FM=NE，
所以FM-MN=EN-MN即FN=EM，
所以
所以①④正確；
因?yàn)锳D=BC=AM+MD=AM+BF，
所以③正確；
無(wú)法證明，
所以②錯(cuò)誤，
故選C．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，三角形全等的判定，熟練掌握銷售部小的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
10．如圖，已知平行四邊形ABCD中，3AB＝2BC，點(diǎn)O是∠BAD和∠CBA的角平分線的交點(diǎn)，過點(diǎn)O作EFAB，分別交AD、BC于E、F兩點(diǎn)，連接OD、OC．則下列結(jié)論：①AO⊥BO；②點(diǎn)O是EF的中點(diǎn)；③DE＝2AE；④S△OCD＝4S△OAE，其中正確的有（）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【答案】D
【分析】利用平行四邊形的性質(zhì)得到ADBC，ABCD，AB＝CD，AD＝BC，利用平行線的性質(zhì)和角平分線的定義計(jì)算出∠OAB＋∠OBA＝90°，則∠AOB＝90°，于是可對(duì)①進(jìn)行判斷；利用平行線的性質(zhì)證明∠EAO＝∠AOE，∠OBF＝∠BOF得到AE＝OE，BF＝OF，再證明四邊形ABFE為平行四邊形得到AE＝BF，所以O(shè)E＝OF，則可對(duì)②進(jìn)行判斷；設(shè)AB＝2x，BC＝3x，則EF＝2x，AD＝3x，EA＝OE＝x，DE＝2x，則可對(duì)③進(jìn)行判斷；利用三角形面積公式和平行四邊形的面積公式得到S平行四邊形ABFE＝S平行四邊形FEDC，S△OAB＝S平行四邊形ABFE，S△OCD＝S平行四邊形FEDC，S△OAB＝S△OCD，S△AOE＝S△OAB，所以S△AOE＝S△OCD，從而可對(duì)④進(jìn)行判斷．
【解析】∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴ADBC，ABCD，AB＝CD，AD＝BC，
∴∠BAD+∠ABC＝180°，
∵點(diǎn)O是∠BAD和∠CBA的角平分線的交點(diǎn)，
∴∠OAB＝∠BAD，∠OBA＝∠ABC，
∴∠OAB+∠OBA＝（∠BAD+∠ABC）＝×180°＝90°，
∴∠AOB＝90°，
∴AO⊥BO，所以①正確；
∵EFAB，
∴∠OAE＝∠AOE，∠OBA＝∠BOF，
∴∠EAO＝∠AOE，∠OBF＝∠BOF，
∴AE＝OE，BF＝OF，
∵AEBF，ABEF，
∴四邊形ABFE為平行四邊形，
∴AE＝BF，
∴OE＝OF，即O點(diǎn)為EF的中點(diǎn)，所以②正確；
∵3AB＝2BC，
∴設(shè)AB＝2x，BC＝3x，
∴EF＝2x，AD＝3x，
∴EA＝OE＝EF＝x，
∴DE＝AD﹣AE＝3x﹣x＝2x，
∴DE＝2AE，所以③正確；
而AB＝CD，
∴S平行四邊形ABFE＝S平行四邊形FEDC，
∵S△OAB＝S平行四邊形ABFE，S△OCD＝S平行四邊形FEDC，
∴S△OAB＝S△OCD，
∵OE＝OF，
∴S△AOE＝S△BOF，
∴S△AOE＝S△OAB，
∴S△AOE＝S△OCD，所以④正確．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)：平行四邊形的對(duì)邊相等；平行四邊形的對(duì)角相等；平行四邊形的面積等于它的底和這個(gè)底上的高的積．也考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)．
二、填空題
11．平行四邊形的判定：
（1）用定義判定______________________________________．
（2）兩組對(duì)邊分別____________的四邊形是平行四邊形．
（3）一組對(duì)邊_______________ 的四邊形是平行四邊形．
（4）兩組對(duì)角分別____________的四邊形是平行四邊形．
（5）對(duì)角線_________________ 的四邊形是平行四邊形．
【答案】兩組對(duì)邊分別平行平行平行且相等相等互相平分
【分析】根據(jù)平行四邊形的判定定理進(jìn)行解答．
【解析】解：平行四邊形的判定方法有：
（1）用定義判定：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形
（2）兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形．
（3）一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．
（4）兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形．
（5）對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形．
故答案為：（1）兩組對(duì)邊分別平行；（2）平行；（3）平行且相等；（4）相等；（5）互相平分
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定．熟練掌握平行四邊形的判定定理即可填空，屬于基礎(chǔ)題，熟記定理即可．
12．下列給出的條件中，不能判定四邊形是平行四邊形的為__________填序號(hào)．
①，；②，ADBC；③，；④ABCD，∠A=∠C．
【答案】③
【分析】根據(jù)所給條件結(jié)合平行四邊形的判定定理進(jìn)行分析即可．
【解析】解：①AB＝CD，AD＝BC可根據(jù)兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形判定；
②AD＝BC，ADBC可根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形進(jìn)行判定；
③AB＝CD，∠B＝∠D不能判定四邊形ABCD是平行四邊形；
④ABCD，∠A＝∠C可證出∠B＝∠D，再根據(jù)兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形進(jìn)行判定；
故答案為：③．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了平行四邊形的判定，關(guān)鍵是掌握（1）兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形．（2）兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形．（3）一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．（4）兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形．（5）對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形．
13．下列命題：
①一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等的四邊形是平行四邊形；
②對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形；
③兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形；
④一組對(duì)邊平行，一組對(duì)角相等的四邊形是平行四邊形．
其中正確的命題是______ 將命題的序號(hào)填上即可．
【答案】②③④
【分析】根據(jù)平行四邊形的判定方法對(duì)各選項(xiàng)分別進(jìn)行判斷．
【解析】解：一組對(duì)邊平行，且這組對(duì)邊相等的四邊形是平行四邊形，所以錯(cuò)誤；
對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形，所以正確；
兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形，所以正確；
一組對(duì)邊平行，一組對(duì)角相等的四邊形是平行四邊形，所以正確．
故答案為．
【點(diǎn)睛】本題考查了命題、平行四邊形的判定，熟練掌握平行四邊形的判定是解題的關(guān)鍵．
14．已知：如圖，ABCD，線段AC和BD交于點(diǎn)O，要使四邊形ABCD是平行四邊形，還需要增加的一個(gè)條件是：_____（填一個(gè)即可）．
【答案】ADCB（答案不惟一）．
【分析】根據(jù)平行四邊形的定義：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形，可得答案．
【解析】解：根據(jù)兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形，可增加的條件可以是：ADCB，
故答案為：ADCB（答案不惟一）．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了平行四邊形的判定，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握平行四邊形的判定．
15．已知：如圖，四邊形AEFD和EBCF都是平行四邊形，則四邊形ABCD是__________．
【答案】平行四邊形
【分析】由平行四邊形的性質(zhì)可得AD=BC，且AD∥BC，可證明四邊形ABCD為平行四邊形．
【解析】證明：∵四邊形AEFD是平行四邊形，
∴AD=EF，且AD∥EF，
同理可得BC=EF，且BC∥EF，
∴AD=BC，且AD∥BC，
∴四邊形ABCD為平行四邊形．
故答案為：平行四邊形．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，掌握平行四邊形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，即①兩組對(duì)邊分別平行的四邊形?平行四邊形，②兩組對(duì)邊分別相等的四邊形?平行四邊形，③一組對(duì)邊平行且相等的四邊形?平行四邊形，④兩組對(duì)角分別相等的四邊形?平行四邊形，⑤對(duì)角線互相平分的四邊形?平行四邊形．
16．在平面直角坐標(biāo)系中，已知平行四邊形的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是，則平行四邊形第四個(gè)頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為__________．
【答案】（3，6），（-1，-2），（7，2）
【分析】分三種情況討論，由平行四邊形的性質(zhì)即可得出答案．
【解析】解：觀察圖象可知滿足條件的點(diǎn)D的坐標(biāo)為（3，6），（-1，-2），（7，2），
故答案為：（3，6），（-1，-2），（7，2）．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵要注意分情況求解，不能忽略任何一種可能的情況．
17．如圖，在四邊形中，，，，點(diǎn)P在邊上以每秒的速度從點(diǎn)A向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在BC邊上，以每秒的速度從點(diǎn)C向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)．若P、Q同時(shí)出發(fā)，當(dāng)直線在四邊形內(nèi)部截出一個(gè)平行四邊形時(shí)．點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)了 _____秒．
【答案】或
【分析】由題意可得，分或兩種情況討論，再列出方程，求出方程的解即可．
【解析】設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)了t秒，
∴，，，，
①當(dāng)時(shí)，且，則四邊形是平行四邊形，
即，
∴；
②當(dāng)時(shí)，且，則四邊形是平行四邊形，
即，
∴，
綜上所述：當(dāng)直線在四邊形內(nèi)部截出一個(gè)平行四邊形時(shí)，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)了秒或秒，
故答案為：或．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)．求出符合條件的所有情況是解此題的關(guān)鍵，注意分類討論思想的應(yīng)用．
18．如圖，在平行四邊形中，對(duì)角線，相交于點(diǎn)，，，，分別是，，的中點(diǎn)，下列結(jié)論：
①；
②四邊形是平行四邊形；
③；
④，
其中正確的有_______個(gè)．
【答案】
【分析】由平行四邊形的性質(zhì)可得AB=CD，AD=BC，BO=DO=BD，AO=CO，ABCD，即可得BO=DO=AD=BC，由等腰三角形的性質(zhì)可判斷①，由中位線定理和直角三角形的性質(zhì)可判斷②④，由平行四邊形的性質(zhì)可判斷③，即可求解．
【解析】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=CD，AD=BC，BO=DO=BD，AO=CO，ABCD，
∵BD=2AD，
∴BO=DO=AD=BC，且點(diǎn)E是OC中點(diǎn)，
∴BE⊥AC，
∴①正確；
∵E、F、分別是OC、OD中點(diǎn)，
∴EFDC，CD=2EF，
∵G是AB中點(diǎn)，BE⊥AC，
∴AB=2BG=2GE，且CD=AB，CDAB，
∴BG=EF=GE，EFCDAB，
∴四邊形BGFE是平行四邊形，
∴②④正確；
∵四邊形BGFE是平行四邊形，
∴BG=EF，GF=BE，且GE=GE，
∴△BGE≌△FEG（SSS），
∴③正確．
故答案為：4．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是本題的關(guān)鍵．
三、解答題
19．已知，如圖，E、F分別為?ABCD的對(duì)邊AB、CD的中點(diǎn)．
（1）求證：DE=FB；
（2）若DE、CB的延長(zhǎng)線交于G點(diǎn)，求證：CB=BG．
【答案】（1）見解析；（2）見解析
【分析】（1）得出四邊形DEBF是平行四邊形得出答案即可；
（2）利用AAS證明△GBE≌△BCF，得出答案即可．
【解析】證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=DC，AB∥DC，
∵E、F分別為?ABCD的對(duì)邊AB、CD的中點(diǎn)，
∴DF=DC，BE=AB，則DF=BE，
又∵DF∥BE，
∴四邊形DEBF是平行四邊形，
∴DE=FB；
（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=DC，AB∥DC，
∵E、F分別為?ABCD的對(duì)邊AB、CD的中點(diǎn)，
∴BE=CF，∠GBE=∠C，
∵四邊形DEBF是平行四邊形，
∴BF∥DG，
∴∠CBF=∠G，
在△GBE和△BCF中，，
∴△GBE≌△BCF(AAS)，
∴CB=BG．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)，得出△GBE≌△BCF是解題關(guān)鍵．
20．如圖，平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，EF過點(diǎn)O且與AB、CD分別相交于點(diǎn)E、F，連接EC．
（1）求證：OE＝OF；
（2）若EF⊥AC，△BEC的周長(zhǎng)是10，求平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)．
【答案】（1）證明見解析；（2）20.
【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出OD=OB，DC∥AB，推出∠FDO=∠EBO，證△DFO≌△BEO即可；
（2）由平行四邊形的性質(zhì)得出AB=CD，AD=BC，OA=OC，由線段垂直平分線的性質(zhì)得出AE=CE，由已知條件得出BC+AB=10，即可得出平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)．
【解析】解：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴OD=OB，DC∥AB，
∴∠FDO=∠EBO，
在△DFO和△BEO中，，
∴△DFO≌△BEO（ASA），
∴OE=OF．
（2）解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=CD，AD=BC，OA=OC，
∵EF⊥AC，
∴AE=CE，
∵△BEC的周長(zhǎng)是10，
∴BC+BE+CE=BC+BE+AE=BC+AB=10，
∴平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)=2（BC+AB）=20．
21．已知：如圖，在平行四邊形中，分別是和的角平分線，交于點(diǎn)E，F(xiàn)連接．
(1)求證：互相平分；
(2)若，求四邊形的周長(zhǎng)和面積．
【答案】(1)見解析
(2)四邊形的周長(zhǎng)為12，四邊形的面積為
【分析】（1）證明互相平分，只要證是平行四邊形，利用兩組對(duì)邊分別平行來(lái)證明．
（2）首先證明出是等邊三角形，然后根據(jù)平行四邊形的周長(zhǎng)公式求解，過D點(diǎn)作于點(diǎn)G，根據(jù)勾股定理求出，然后利用平行四邊形的面積公式求解即可．
【解析】（1）解：∵四邊形是平行四邊形
∴，
∵分別是和的角平分線
∴
∵，
∴
∴
∴，
∴，
∴即
∵，
∴四邊形是平行四邊形，
∴互相平分；
（2）∵，
∴是等邊三角形
∵，
∴，
∵，
∴
∴四邊形的周長(zhǎng)；
過D點(diǎn)作于點(diǎn)G，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴四邊形的面積．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定，勾股定理，在應(yīng)用判定定理判定平行四邊形時(shí)，應(yīng)仔細(xì)觀察題目所給的條件，仔細(xì)選擇適合于題目的判定方法進(jìn)行解答，避免混用判定方法．
22．如圖，點(diǎn)E在?ABCD內(nèi)部，AF∥BE，DF∥CE，
（1）求證：△BCE≌△ADF；
（2）設(shè)?ABCD的面積為S，四邊形AEDF的面積為T，求的值
【答案】（1）證明略；（2）=2
【分析】（1）已知AD=BC，可以通過證明，來(lái)證明（ASA）；
（2）連接EF，易證四邊形ABEF，四邊形CDFE為平行四邊形，則，即可得=2.
【解析】（1）證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴，
，
又，
，
，
，
同理可得：，
在和中，
（2）解：連接EF，
，
，
又，
∴四邊形ABEF，四邊形CDFE為平行四邊形，
∴，
∴，
設(shè)點(diǎn)E到AB的距離為h1，到CD的距離為h2，線段AB到CD的距離為h，
則h= h1+ h2,
∴，
即=2.
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的判定和性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)以及相關(guān)面積計(jì)算，熟練掌握所學(xué)性質(zhì)定理并能靈活運(yùn)用進(jìn)行推理計(jì)算是解題的關(guān)鍵.
23．在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)O是對(duì)角線BD中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊BC上，EO的延長(zhǎng)線與邊AD交于點(diǎn)F，連接BF、DE，如圖1．
（1）求證：四邊形BEDF是平行四邊形；
（2）在（1）中，若DE＝DC，∠CBD＝45°，過點(diǎn)C作DE的垂線，與DE、BD、BF分別交于點(diǎn)G、H、R，如圖2．
①當(dāng)CD＝6，CE＝4時(shí)，求BE的長(zhǎng)．
②探究BH與AF的數(shù)量關(guān)系，并給予證明．
【答案】（1）詳見解析；（2）①4﹣2；②AF＝BH，詳見解析
【分析】(1)由“ASA”可得△BOE≌△DOF，可得DF＝BE，可得結(jié)論；
(2)①由等腰三角形的性質(zhì)可得EN＝CN＝2，由勾股定理可求DN，由等腰三角形的性質(zhì)可求BN的長(zhǎng)，即可求解；
②如圖，過點(diǎn)H作HM⊥BC于點(diǎn)M，由“AAS”可證△HMC≌△CND，可得HM＝CN，由等腰直角三角形的性質(zhì)可得BH＝HM，即可得結(jié)論．
【解析】(1)證明：∵平行四邊形ABCD中，點(diǎn)O是對(duì)角線BD中點(diǎn)，
∴AD∥BC，BO＝DO，
∴∠ADB＝∠CBD，且∠DOF＝∠BOE，BO＝DO，
∴△BOE≌△DOF（ASA）
∴DF＝BE，且DF∥BE，
∴四邊形BEDF是平行四邊形；
(2)①如圖2，過點(diǎn)D作DN⊥EC于點(diǎn)N，
∵DE＝DC＝6，DN⊥EC，
∴EN＝CN＝2，
∴DN＝＝＝4，
∵∠DBC＝45°，DN⊥BC，
∴∠DBC＝∠BDN＝45°，
∴DN＝BN＝4，
∴BE＝BN﹣EN＝4；
故答案為：BE＝4.
②AF＝BH，
理由如下：如圖，過點(diǎn)H作HM⊥BC于點(diǎn)M，
∵DN⊥EC，CG⊥DE，
∴∠CEG+∠ECG＝90°，∠DEN+∠EDN＝90°，
∴∠EDN＝∠ECG，
∵DE＝DC，DN⊥EC，
∴∠EDN＝∠CDN，EC＝2CN，
∴∠ECG＝∠CDN，
∵∠DHC＝∠DBC+∠BCH＝45°+∠BCH，∠CDB＝∠BDN+∠CDN＝45°+∠CDN，
∴∠CDB＝∠DHC，
∴CD＝CH，且∠HMC＝∠DNC＝90°，∠ECG＝∠CDN，
∴△HMC≌△CND（AAS）
∴HM＝CN，
∵HM⊥BC，∠DBC＝45°，
∴∠BHM＝∠DBC＝45°，
∴BM＝HM，
∴BH＝HM，
∵AD＝BC，DF＝BE，
∴AF＝EC＝2CN，
∴AF＝2HM＝BH．
故答案為：AF＝BH.
【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是本題的關(guān)鍵．
24．在中，，點(diǎn)P為所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，過點(diǎn)P分別作交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．
(1)如圖1，若點(diǎn)在邊上，此時(shí)，直接寫出、、與滿足的數(shù)量關(guān)系；
(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在內(nèi)，猜想并寫出、、與滿足的數(shù)量關(guān)系，然后證明你的猜想；
(3)如圖3，當(dāng)點(diǎn)P在外，猜想并寫出、、與滿足的數(shù)量關(guān)系．（不用說明理由）
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）證平行四邊形，推出，，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)推出，推出即可；
（2）過點(diǎn)作分別交、于、兩點(diǎn)，推出，再推出即可；
（3）過點(diǎn)作分別交、于、兩點(diǎn)，推出，再推出即可．
【解析】（1）結(jié)論是，
證明：∵，，
四邊形是平行四邊形，
，
，
，
∵，
，
，
，
，
，
，
．
（2）結(jié)論是，
證明：過點(diǎn)作分別交、于、兩點(diǎn)，
由（1）得：，
四邊形是平行四邊形，
，
．
（3）結(jié)論是．
證明：過點(diǎn)作分別交、延長(zhǎng)線于、兩點(diǎn)，
由（1）得：，
四邊形是平行四邊形，
，
．
即
【點(diǎn)睛】本題綜合考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定和等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，關(guān)鍵是熟練地運(yùn)性質(zhì)進(jìn)行推理和證明，題目含有一定的規(guī)律性，難度不大，但題型較好．
取BD中點(diǎn)O，作，
作于N，于M
作AN，CM分別平分，，交BD于點(diǎn)N，M

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