【單元測試】第二十一章 代數(shù)方程（綜合能力提升卷） （考試時間：90分鐘 試卷滿分：100分） 學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________ 本卷試題共三大題，共25小題，單選10題，填空8題，解答7題，限時90分鐘，滿分100分，本卷題型精選核心?？贾仉y易錯典題，具備舉一反三之效，覆蓋面積廣，可充分考查學(xué)生雙基綜合能力！ 單選題：本題共10個小題，每小題2分，共20分。在每小題給出的四個選項中只有一項是符合題目要求的。 1．（2022·福建福州·九年級期末）關(guān)于x的一元二次方程(a﹣1)x2+2x﹣1＝0有兩個實數(shù)根，則a的取值范圍為(　　) A．a(chǎn)≥0 B．a(chǎn)＜2 C．a(chǎn)≥0且a≠1 D．a(chǎn)≤2且a≠1 【答案】C 【分析】根據(jù)一元二次方程的定義及根與判別式的關(guān)系解答即可. 【詳解】解：∵一元二次方程有兩個實數(shù)根， ∴Δ=4+4(a-1)≥0且a-1≠0， 解得：a≥0且a≠0， 故選C. 【點睛】本題考查一元二次方程的定義及根與判別式的關(guān)系：一元二次方程的二次項系數(shù)不能為0；方程有兩個實數(shù)根，Δ≥0，沒有實數(shù)根，Δ0，由x-10，得m-2-10，計算可得答案． 【詳解】解：， m-3=x-1， 得x=m-2， ∵分式方程的解是正數(shù)， ∴x>0即m-2>0， 得m>2， ∵x-10， ∴m-2-10，得m3， ∴且， 故選：D． 【點睛】此題考查了利用分式方程的解求參數(shù)的取值范圍，正確求解分式方程并掌握分式的分母不等于零的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵． 6．（2021·上海市第四中學(xué)八年級期中）下列方程中，無理方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根據(jù)無理方程的定義進(jìn)行解答，根號內(nèi)含有未知數(shù)的方程為無理方程． 【詳解】解：A項的根號內(nèi)沒有未知數(shù)，所以不是無理方程，故本選項錯誤，B項的根號內(nèi)沒有未知數(shù)，所以不是無理方程，故本選項錯誤，C項的根號內(nèi)含有未知數(shù)，所以是無理方程，故本選項正確，D項的根號內(nèi)不含有未知數(shù)，所以不是無理方程，故本選項錯誤，故選：C． 【點睛】本題主要考查無理方程的定義，關(guān)鍵在于分析看看哪一項符合無理方程的定義． 7．（2021·上海閔行·八年級期末）如果關(guān)于的方程有實數(shù)根，那么的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把代入方程得出，再求出方程的解即可． 【詳解】解：把代入方程， 得：， 兩邊平方得：， 解得：， 經(jīng)檢驗是方程的解， 即， 故選：A． 【點睛】本題考查了解無理方程和方程的解，能把無理方程轉(zhuǎn)化為有理方程是解此題的關(guān)鍵． 8．（2022·上海閔行·八年級期末）下列方程中，判斷中錯誤的是（ ） A．方程是分式方程 B．方程是二元二次方程 C．方程是無理方程 D．方程是一元二次方程 【答案】C 【分析】逐一進(jìn)行判斷即可． 【詳解】解：A. 方程是分式方程，正確，故該選項不符合題意； B. 方程是二元二次方程，正確，故該選項不符合題意；C. 方程是一元二次方程，錯誤，故該選項符合題意；D. 方程是一元二次方程，正確，故該選項不符合題意； 故選：C． 【點睛】本題主要考查方程的概念，掌握一元二次方程，分式方程，二元二次方程，無理方程的概念是解題的關(guān)鍵． 9．（2022·山東廣饒·期末）某企業(yè)車間生產(chǎn)一種零件，3位工人同時生產(chǎn)，1位工人恰好能完成組裝，若車間共有工人60人，如何分配工人才能使生產(chǎn)的零件及時組裝好．設(shè)分配x名工人生產(chǎn)，由題意列方程，下列選項錯誤的是（ ） A．x+3x=60 B． C． D．x=3（60-x） 【答案】A 【分析】設(shè)分配x名工人生產(chǎn)，由題意可知，完成組裝的工人有（60-x）人，根據(jù)生產(chǎn)工人數(shù)和組裝工人數(shù)的倍數(shù)關(guān)系，可列方程． 【詳解】解：設(shè)分配x名工人生產(chǎn)，由題意可知，完成組裝的工人有（60-x）人， 由3位工人生產(chǎn)，1位工人恰好能完成組裝，可得： x=3（60-x） ① 故D正確； 將①兩邊同時除以3得：60-x=x，則B正確； 將①兩邊同時除以3x得：=，則C正確； A選項中，x為生產(chǎn)工人數(shù)，而生產(chǎn)工人數(shù)是組裝工人數(shù)的3倍，而不是相反，故A錯誤． 綜上，只有A不正確． 故選：A． 【點睛】本題考查了由實際問題抽象出一元一次方程，明確題中的數(shù)量關(guān)系，是解題的關(guān)鍵． 10．（2022·陜西省漢陰縣初級中學(xué)八年級期末）斑馬線前“車讓人”，不僅體現(xiàn)著一座城市對生命的尊重，也直接反映著城市的文明程度．如圖，某路口的斑馬線路段A—B—C橫穿雙向行駛車道，其中AB=BC=12米，在綠燈亮?xí)r，小敏共用22秒通過AC路段，其中通過BC路段的速度是通過AB路段速度的1.2倍，則小敏通過AB路段時的速度是（ ） A．0.5米/秒 B．1米/秒 C．1.5米/秒 D．2米/秒 【答案】B 【分析】設(shè)通過AB的速度是xm/s，則根據(jù)題意可列分式方程，解出x即可． 【詳解】解：設(shè)通過AB的速度是xm/s， 根據(jù)題意可列方程： ， 解得x=1， 經(jīng)檢驗：x=1是原方程的解且符合題意． 所以通過AB時的速度是1m/s． 故選B． 【點睛】本題考查分式方程的實際應(yīng)用，根據(jù)題意找出等量關(guān)系并列出分式方程是解答本題的關(guān)鍵． 二、填空題：本題共8個小題，每題3分，共24分。 11．（2022·安徽包河·八年級期末）已知直線y=x+b和y=ax+2交于點P(3，-1)，則關(guān)于x的方程(a-1)x=b-2的解為_______． 【答案】x=3 【分析】利用函數(shù)圖象交點坐標(biāo)為兩函數(shù)解析式組成的方程組的解即可求解． 【詳解】解：解：∵直線y=x+b和y=ax+2交于點P(3，-1)， ∴當(dāng)x=3時，3+b=3a+2， 上述等式移項得到：3a-3=b-2， 整理得到：3(a-1)=b-2， ∴關(guān)于x的方程(a-1)x=b-2的解為：x=3． 故答案為x=3． 【點睛】本題考查了一次函數(shù)與二元一次方程(組)的關(guān)系：方程組的解就是兩個相應(yīng)的一次函數(shù)圖象的交點坐標(biāo)． 12．（2021·上?！ぐ四昙壠谥校┊?dāng)x=_____時，代數(shù)式與的值相等． 【答案】0 【分析】根據(jù)題意列出分式方程，按分式方程的解法步驟解方程即可得解． 【詳解】解：依題意得：， 兩邊同時乘x-7得，x2=7x， 即x（x-7）=0， 解得：x1=0，x2=7． 檢驗：當(dāng)x=0時，x-7≠0， 所以x=0是原方程的根， 當(dāng)x=7時，x-7=0， 所以x=7不是原方程的根． 所以原方程的解為：x=0． 故答案為：0． 【點睛】本題考查了分式方程的解法．掌握其解法是解決此題關(guān)鍵． 13．（2021·上海市松江區(qū)新橋中學(xué)八年級期中）若關(guān)于和y的二元二次方程有一個解是，則的值為_____________． 【答案】3 【分析】把方程的解代入方程，求出m即可． 【詳解】解：把方程的解代入二元二次方程，得4-m=1， ∴m=3． 故答案為：3． 【點睛】本題考查了二元二次方程的解，掌握方程解的意義是解決本題的關(guān)鍵． 14．（2021·上海市進(jìn)才中學(xué)北校八年級期中）若，則________． 【答案】4 【分析】設(shè)，將原方程變形，進(jìn)而解一元二次方程即可求得的值，進(jìn)而求得的值． 【詳解】解：設(shè)，原方程為： 即 解得： 故答案為： 【點睛】本題考查了無理方程，換元法是解題的關(guān)鍵． 15．（2021·上?！ぐ四昙壠谥校┯脫Q元法解方程時，如果設(shè)，那么原方程可以化成關(guān)y的整式方程，這個整式方程是____________． 【答案】 【分析】設(shè)，則，代入原方程再去分母即可得到答案． 【詳解】解：設(shè)，則， ∴變形為：， 兩邊乘以y并整理得：， 故答案為：． 【點睛】本題考查用換元法解分式方程，解題的關(guān)鍵是換元． 16．（2021·福建省福州第一中學(xué)八年級期中）若關(guān)于x的一元一次不等式組有且僅有3個整數(shù)解，且關(guān)于x的分式方程有正數(shù)解，則所有滿足條件的整數(shù)a的和為___． 【答案】13 【分析】解不等式組，根據(jù)不等式組有且僅有3個整數(shù)解，得到a的范圍；解分式方程，根據(jù)分式方程有意義和方程有正數(shù)解求得a的范圍，從而得到2＜a≤6，且a≠5，所以a的整數(shù)解為3，4，6，則和為13． 【詳解】解： 解不等式①得：x＜5， 解不等式②得：x≥， ∴不等式組的解集為≤x＜5， ∵不等式組有且僅有3個整數(shù)解， ∴1＜≤2， ∴2＜a≤6； 分式方程兩邊都乘以（x-1）得：ax-2-3=x-1， 解得：x= ， ∵x-1≠0， ∴x≠1， ∵方程有正數(shù)解， ∴＞0，≠1， ∴a＞1，a≠5， ∴2＜a≤6，且a≠5， ∴a的整數(shù)解為3，4，6，和為13． 故答案為：13． 【點睛】考查了一元一次不等式組的解法，分式方程的解法，解題關(guān)鍵是掌握不等式解集的確定，轉(zhuǎn)化思想和解分式方程不要忘記檢驗． 17．（2022·山東·青島大學(xué)附屬中學(xué)八年級期末）如圖，一次函數(shù)與的圖象相交于點，則方程組的解是_______． 【答案】 【分析】由兩條直線的交點坐標(biāo)（m，4），先求出m，再求出方程組的解即可． 【詳解】解：∵y=x+2的圖象經(jīng)過P（m，4）， ∴4=m+2， ∴m=2， ∴一次函數(shù)y=kx+b與y=x+2的圖象相交于點P（2，4）， ∴方程組的解是， 故答案為：． 【點睛】本題考查一次函數(shù)的交點與方程組的解的關(guān)系、待定系數(shù)法等知識，解題的關(guān)鍵是理解方程組的解就是兩個函數(shù)圖象的交點坐標(biāo)． 18．（2022·全國·七年級期末）如圖，一個盛有水的長方體玻璃容器的內(nèi)底面為邊長為的正方形，容器內(nèi)水的高度為，把一根長方體玻璃棒垂直放入容器中，其中玻璃棒底面為邊長是的正方形，則容器內(nèi)的水將升高_(dá)___（假設(shè)水不會溢出）． 【答案】 【分析】設(shè)水升高xcm，根據(jù)體積的計算方法列出方程，解之即可． 【詳解】解：設(shè)水升高xcm， 由題意可得： 4×4×2+2×2×（2+x）=4×4×（2+x） 解得：x=， 故答案為：． 【點睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系，列出方程，再求解． 三、解答題：本題共7個小題，19-23每題7分，24小題9分，25每題12分，共56分。 19．（2022·全國·八年級期末）解下列關(guān)于x或y的方程． 【答案】(1) ; (2)當(dāng)b=0時，方程沒有實數(shù)根；當(dāng)b≠0時，; (3); (4) 當(dāng)b0時，. 【解析】 【分析】 （1）把a(bǔ)看作已知數(shù)，按照移項合并同類項、系數(shù)化為1即可求得; （2）把b看作已知數(shù)，按照去括號、移項、系數(shù)化為1即可求得.注意對b值的范圍進(jìn)行分類討論； （3）把a(bǔ)看作已知數(shù)，按照合并同類項、系數(shù)化為1，再開方即可求得； （4）把b看作已知數(shù)，按照移項合并同類項、系數(shù)化為1，再開方即可求得.注意對b值的范圍進(jìn)行分類討論； 【詳解】解：（1）合并同類項得 系數(shù)化為1得 （2）去括號得 移項得 當(dāng)b=0時，方程沒有實數(shù)根； 當(dāng)b≠0時，系數(shù)化為1得. （3）合并同類項得 系數(shù)化為1得 ∴方程的根是 (4)移項合并同類項得 ∵b≠0 ∴系數(shù)化為1得 當(dāng)b0時， 【點睛】本題考查了含字母系數(shù)的整式方程的解法.方法是把字母系數(shù)看作常數(shù)，按照數(shù)字系數(shù)的方程的解法步驟去解即可，但要注意對字母的范圍進(jìn)行分類討論，這點很容易忽視. 20．（2021·上海奉賢·八年級期中）計算： （1）解方程：； （2）解方程：； （3）解方程組：． 【答案】（1）x=1（2）方程無解；（3）， 【分析】 （1）去分母，化為整式方程，然后檢驗； （2）兩邊平方，化為有理方程求解，然后檢驗； （3）先因式分解組中的②為兩個一次方程，與原方程組中的①組成新的方程組，求解即可． 【詳解】解：（1）原方程可變形為：， 去分母，得x(x﹣3)+6＝x+3， 整理，得x2﹣4x+3＝0， ∴（x-1）（x-3）=0 ∴x1=1，x2=3 經(jīng)檢驗，x＝1是原方程的解．x=3不是原方程的解 ∴x=1 （2）＝2﹣x， 兩邊平方，得2x﹣5＝4﹣4x+x2， 整理，得x2﹣6x+9＝0， ∴（x﹣3）2＝0， ∴x1＝x2＝3； 經(jīng)檢驗，x＝3不是原方程的解， 所以原方程無解； （3）， 由②，得(x﹣2)(x+y)＝0， ∴x﹣2y＝0③或x+y＝0④． 由①③、①④組成新的方程組，得 或， 解得，． 【點睛】本題考查了分式方程、無理方程、二元二次方程組的解法，解分式方程和無理方程結(jié)果都要驗根． 21．（2022·全國·七年級單元測試）已知A＝2x2+mx﹣m，B＝3x2﹣mx+m． （1）求A﹣B； （2）如果3A﹣2B+C＝0，那么C的表達(dá)式是什么？ （3）在（2）的條件下，若x＝4是方程C＝20x+5m的解，求m的值． 【答案】(1)﹣x2+2mx﹣2m；(2)﹣5mx+5m；(3)m＝﹣4． 【分析】 （1）根據(jù)整式減法法則，進(jìn)行計算；（2）根據(jù)C＝﹣3A+2B，代入已知式子可得；（3）根據(jù)題意可得：﹣20m+5m＝80+5m，解關(guān)于m的方程. 【詳解】解：(1)A﹣B＝(2x2+mx﹣m)﹣(3x2﹣mx+m) ＝2x2+mx﹣m﹣3x2+mx﹣m ＝﹣x2+2mx﹣2m； (2)∵3A﹣2B+C＝0， ∴C＝﹣3A+2B ＝﹣3(2x2+mx﹣m)+2(3x2﹣mx+m) ＝﹣6x2﹣3mx+3m+6x2﹣2mx+2m ＝﹣5mx+5m； (3)根據(jù)題意知x＝4是方程﹣5mx+5m＝20x+5m的解， ∴﹣20m+5m＝80+5m， 解得：m＝﹣4． 【點睛】掌握整式的加減法則，把問題轉(zhuǎn)化為解一元一次方程. 22．（2021·全國·七年級專題練習(xí)）閱讀材料：善于思考的小軍在解方程組時，采用了一種“整體代換”的解法： 解：將方程②變形：4x+10y+y＝5，即2（2x+5y）+y＝5③ 把方程①代入③得：2×3+y＝5，∴y＝﹣1， 所以y＝﹣1代入①得x＝4，∴方程組的解為， 請你解決以下問題： （1）模仿小軍的“整體代換”法解方程組， （2）已知x，y滿足方程組，求x2+4y2的值與xy的值； （3）在（2）的條件下，寫出這個方程組的所有整數(shù)解． 【答案】（1）；（2）x2+4y2=17，xy=2；（3）或 【分析】 （1）把第2個方程變形為3（3x?2y）＋2y＝19，則利用整體代換消去x，求出y的值，然后利用代入法求出x得到方程組的解； （2）把第2個方程變形為，再與第1個方程相加，即可求解； （3）在（2）的條件下可知x，y同號，進(jìn)而即可求解． 【詳解】解：（1）， 把②變形為9x?6y＋2y＝19，即3（3x?2y）＋2y＝19③． 把①代入③，得3×5＋2y＝19， ∴y＝2． 把y＝2代入①，得3x?2×2＝5， ∴x＝3． ∴方程組的解為； （2）， 把②變形為：③， 由①+③得：，解得：x2+4y2=17， 把x2+4y2=17，代入②得：2×17+xy=36，解得：xy=2， 綜上所述：x2+4y2=17，xy=2； （3）在（2）的條件下：x，y同號， ∵x，y為整數(shù)， ∴或． 【點睛】本題考查了解二元一次方程組以及解一元一次方程，掌握解方程組的方法和步驟是關(guān)鍵，注意整體思想的運(yùn)用． 23．（2021·福建永春·八年級期末）某商店決定購進(jìn)A、B兩種紀(jì)念品．已知每件A種紀(jì)念品的價格比每件B種紀(jì)念品的價格多5元，用800元購進(jìn)A種紀(jì)念品的數(shù)量與用400元購進(jìn)B種紀(jì)念品的數(shù)量相同． （1）求購進(jìn)A、B兩種紀(jì)念品每件各需多少元？ （2）若該商店決定購進(jìn)這兩種紀(jì)念品共100件，考慮市場需求和資金周轉(zhuǎn)，用于購買這100件紀(jì)念品的資金不少于800元，且不超過850元，那么該商店共有幾種進(jìn)貨方案？ （3）已知商家出售一件A種紀(jì)念品可獲利m元，出售一件B種紀(jì)念品可獲利（6﹣m）元，試問在（2）的條件下，商家采用哪種方案可獲利最多？（商家出售的紀(jì)念品均不低于成本價） 【答案】（1）購進(jìn)種紀(jì)念品每件需要10元，種紀(jì)念品每件需要5元；（2）共有11種進(jìn)貨方案；（3）當(dāng)；種70件，種30件時可獲利最多；當(dāng)，種60件，種40件時可獲利最多 【分析】 （1）設(shè)購進(jìn)種紀(jì)念品每件價格為元，種紀(jì)念幣每件價格為元，根據(jù)題意得出分式方程，解方程組即可得出結(jié)論； （2）設(shè)購進(jìn)種紀(jì)念品件，根據(jù)題意列出關(guān)于的一元一次不等式組，解不等式組得出的取值范圍，即可得出結(jié)論； （3）找出總利潤關(guān)于購買種紀(jì)念品件的函數(shù)關(guān)系式，由一次函數(shù)的性質(zhì)確定總利潤取最值時的值，從而得出結(jié)論． 【詳解】解：（1）設(shè)購進(jìn)種紀(jì)念品每件價格為元，種紀(jì)念幣每件價格為元，根據(jù)題意可知： ，解得：， ． 答：購進(jìn)種紀(jì)念品每件需要10元，種紀(jì)念品每件需要5元． （2）設(shè)購進(jìn)種紀(jì)念品件，則購進(jìn)種紀(jì)念品件，根據(jù)題意可得： ， 解得：， 只能取正整數(shù)， ，共有11種情況， 故該商店共有11種進(jìn)貨方案分別為：種70件，種30件；種69件，種31件；種68件，種32件；種67件，種33件；種66件，種34件；種65件，種35件；種64件，種36件；種63件，種37件；種62件，種38件；種61件，種39件；種60件，種40件． （3）銷售總利潤為， 商家出售的紀(jì)念品均不低于成本價， ， 根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)， 當(dāng)時，即， 隨著增大而增大， 當(dāng)時，取到最大值； 即方案為：種70件，種30件時可獲利最多； 當(dāng)時，即， 隨著增大而減小， 當(dāng)時，取到最大值； 即方案為：種60件，種40件時可獲利最多． 【點睛】本題考查了解分式方程、解一元一次不等式組以及一次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵：（1）列出關(guān)于兩種紀(jì)念品單價的分式方程；（2）列出關(guān)于購買種紀(jì)念品件數(shù)的一元一次不等式組；（3）根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)確定最值．本題屬于中檔題，難度不大，但考到的知識點稍多，解決該類題型時，明確解題的方法是關(guān)鍵，通過審題確定解題思路才能更快捷的解決該類問題． 24．（2021·上?！ぞ拍昙壠谀┠称嚬居屑?、乙兩種貨車可供租用，現(xiàn)有一批貨物要運(yùn)往某地，貨主準(zhǔn)備租用該公司貨車，已知甲，乙兩種貨車運(yùn)貨情況如表： （1）甲、乙兩種貨車每輛可裝多少噸貨物？ （2）王先生要租用該公司的甲、乙兩種貨車送一批貨，如果租用甲種貨車數(shù)量比乙種貨車數(shù)量多1輛，而乙種貨車每輛的運(yùn)費(fèi)是甲種貨車的1.4倍，結(jié)果甲種貨車共付運(yùn)費(fèi)800元，乙種貨車共付運(yùn)費(fèi)980元，試求此次甲、乙兩種貨車每輛各需運(yùn)費(fèi)多少元？ 【答案】（1）甲種貨車每輛可裝2噸貨物，乙種貨車每輛可裝3噸貨物；（2）甲種貨車每輛需運(yùn)費(fèi)100元，乙種貨車每輛需運(yùn)費(fèi)140元． 【分析】 （1）設(shè)甲種貨車每輛可裝x噸貨物，乙種貨車每輛可裝y噸貨物，根據(jù)前兩次甲，乙兩種貨車運(yùn)貨情況表中的數(shù)據(jù)，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出甲、乙兩種貨車每輛可裝貨物噸數(shù)． （2）設(shè)甲種貨車每輛需運(yùn)費(fèi)m元，則乙種貨車每輛需運(yùn)費(fèi)1.4m元，利用租車數(shù)量＝總運(yùn)費(fèi)÷每輛車的租金，結(jié)合租用甲種貨車數(shù)量比乙種貨車數(shù)量多1輛，即可得出關(guān)于m的分式方程，解之經(jīng)檢驗后即可得出結(jié)論． 【詳解】解答：解：（1）設(shè)甲種貨車每輛可裝x噸貨物，乙種貨車每輛可裝y噸貨物， 依題意得： ， 解得： ． 答：甲種貨車每輛可裝2噸貨物，乙種貨車每輛可裝3噸貨物． （2）設(shè)甲種貨車每輛需運(yùn)費(fèi)m元，則乙種貨車每輛需運(yùn)費(fèi)1.4m元， 依題意得： ， 解得：m＝100， 經(jīng)檢驗，m＝100是原方程的解，且符合題意， ∴1.4m＝1.4×100＝140． 答：甲種貨車每輛需運(yùn)費(fèi)100元，乙種貨車每輛需運(yùn)費(fèi)140元． 【點睛】本題主要是考查了二元一次方程組和分式方程的實際應(yīng)用，正確地從題中找到等量關(guān)系，列出對應(yīng)的方程，并正確求解方程，是解決本題的關(guān)鍵． 25．（2021·全國·八年級期末）閱讀下列材料，解決問題： 求解一元二次方程，把它轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程來解，求解分式方程，把它轉(zhuǎn)化為整式方程來解，由于“去分母”可能產(chǎn)生增根，所以解分式方程必須檢驗．各類方程的解法不盡相同，但是它們有一個共同的基本數(shù)學(xué)思想﹣轉(zhuǎn)化，把未知轉(zhuǎn)化為已知． 用“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想，我們還可以解一些新的方程例如：一元三次方程x3+x2﹣2x＝0，可以通過因式分解把它轉(zhuǎn)化為x（x2+x﹣2）＝0，解方程x＝0和x2+x﹣2＝0，可得方程x3+x2﹣2x＝0的解． （1）方程x3﹣6x2﹣16x＝0的解是x1＝0，x2＝　　，x3＝　??； （2）用“轉(zhuǎn)化”的思想求方程（x2+x﹣2）2+（2x2﹣7x+6）2＝（3x2﹣6x+4）2的解； （3）應(yīng)用：如圖，已知矩形草坪ABCD的長AD＝8m，寬AB＝3m，小華把一根長為10m的繩子的一瑞固定在點B，沿草坪邊沿BA，AD走到點P處，把長繩PB段拉直并固定在點P，然后沿草坪邊沿PD、DC走到點C處，把長繩剩下的一段拉直，長繩的另一端恰好落在點C．求AP的長． 【答案】（1）﹣2，8；（2）x1＝﹣2，x2＝1，x3＝，x4＝2；（3）4米 【分析】 （1）因式分解多項式，然后得結(jié)論； （2）分析方程的結(jié)構(gòu)，發(fā)現(xiàn)（x2+x﹣2）2+（2x2﹣7x+6）2＝（3x2﹣6x+4）2，所以有（x2+3x﹣4）2+（2x2﹣7x+6）2＝[（x2+x﹣2）+（2x2﹣7x+6）]2，得到2（x2+3x﹣4）（2x2﹣7x+6）＝0，然后得到兩個一元二次方程，求出方程有四個根； （3）設(shè)AP的長為xm，根據(jù)勾股定理和BP+CP＝10，可列出方程，由于方程含有根號，兩邊平方，把無理方程轉(zhuǎn)化為整式方程，求解． 【詳解】解：（1）x3﹣6x2﹣16x＝0， x（x2﹣6x﹣16）＝0， x（x+2）（x﹣8）＝0 所以x＝0或x+2＝0或x﹣8＝0 ∴x1＝0，x2＝﹣2，x3＝8； 故答案為：﹣2，8； （2）（x2+x﹣2）2+（2x2﹣7x+6）2＝（3x2﹣6x+4）2 （x2+x﹣2）2+（2x2﹣7x+6）2＝[（x2+x﹣2）+（2x2﹣7x+6）]2﹣2（x2+x﹣2）（2x2﹣7x+6）＝（3x2﹣6x+4）2 2（x2+x﹣2）（2x2﹣7x+6）＝0 （x2+x﹣2）（2x2﹣7x+6）＝0 （x+2）（x﹣1）（2x﹣3）（x﹣2）＝0 x+2＝0或x﹣1＝0或2x﹣3＝0或x﹣2＝0． 解得x1＝﹣2，x2＝1，x3＝，x4＝2； （3）因為四邊形ABCD是矩形， 所以∠A＝∠D＝90°，AB＝CD＝3m 設(shè)AP＝xm，則PD＝（8﹣x）m 因為BP+CP＝10， BP＝，CP＝． ∴＝10 ∴＝10﹣． 兩邊平方，得（8﹣x）2+9＝100﹣20+9+x2 整理，得5＝4x+9 兩邊平方并整理，得x2﹣8x+16＝0 即（x﹣4）2＝0 所以x＝4． 經(jīng)檢驗，x＝4是方程的解． 答：AP的長為4m． 【點睛】本題考查矩形的性質(zhì)、解一元二次方程-因式分解法、無理方程、一元二次方程的應(yīng)用，理解相關(guān)性質(zhì)和計算法則是解題關(guān)鍵． 第一次第二次甲種貨車（輛）25乙種貨車（輛）36累計運(yùn)貨（噸）1328

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