第20章 一次函數 單元綜合檢測（難點） 一、單選題 1．下列函數（1）；（2）；（3）；（4）；（5）中，是一次函數的有（????） A．4個 B．3個 C．2個 D．1個 2．將直線向左移1個單位，所得到的直線解析式為（????） A． B． C． D． 3．如圖，直線與直線交于點P，下列結論錯誤的是（????） A．， B．關于x的方程的解為 C．關于x的不等式的解集為 D．直線上有兩點，，若時，則 4．已知點都在直線（，為常數）上，若點在第三象限，則與的大小關系是（?????） A． B． C． D．無法確定 5．無論m為什么實數時，直線總經過點（????）． A． B． C． D． 6．已知一次函數的圖像與軸的正半軸相交，隨的增大而減小，且為整數，則時，應滿足的條件是（　　） A． B． C． D． 7．在平面直角坐標系中，點A（2，m）在直線y＝﹣2x+1上，點A關于y軸的對稱點B恰好落在直線y＝kx+2上，則k的值為（　?。?A．2 B．2.5 C．﹣2 D．﹣3 8．一次函數：和有下列結論： ①當時，直線與坐標軸圍成的三角形的面積為3，則； ②當時，函數與函數的圖象有兩個交點，則； ③當時，圖象上有兩點（a，b）、（c，d），則； ④直線交于點P（25，10），則方程的解為x=25； 其中正確的結論序號為（　　?。?A．①②③ B．③④ C．①②④ D．②③④ 9．已知1號探測氣球從海拔處勻速上升，同時2號探測氣球從海拔處勻速上升，兩個氣球所在位置的海拔y（單位：m）與上升時間x（單位：）之間的函數關系如圖所示，根據圖中的信息，下列說法： ①上升時，兩個氣球高度一樣； ②1號探測氣球所在位置的海拔關于上升時間x的函數關系式是； ③當兩個氣球所在位置的海拔高度相差，上升時間為10或30分鐘； ④記兩個氣球的海拔高度差為h，則當時，h的最大值為． 其中，說法正確的個數是（????） A．1 B．2 C．3 D．4 10．如圖，直線，相交于點，直線m交x軸于點，直線n交x軸于點，交y軸于點A．下列四個說法：①；②；③；④直線m的函數表達式為．其中正確說法的個數是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 二、填空題 11．函數y=x+2的定義域是_________ ； 12．已知一次函數y＝2（x﹣2）+b的圖象在y軸上的截距為5，那么b＝_____． 13．已知點、，若一次函數的圖象與線段有交點，則的取值范圍為________________． 14．當時，函數的值恒大于0，則實數k的取值范圍是___________． 15．直線與軸交于點A，與軸交于點B，將線段AB繞A點逆時針旋轉90o，使B點落在M點上，則M點的坐標為__________________． 16．如圖，點P是函數圖象上的一點，直線與x軸、y軸分別交于A、B兩點，過點P作x軸、y軸的垂線與該直線分別交于C、D兩點，則的值為______． 17．某快遞公司每天上午為集中攬件和派件時段，甲倉庫用來攬收快件，乙倉庫用來派發(fā)快件，該時段內甲、乙兩倉庫的快件數量y（件）與時間x（分）之間的函數圖象如圖所示，下列說法正確的是____________（坑序號）． ①10分鐘后，甲倉庫內快件數量為90件；②乙倉庫每分鐘派送快件數量為8件；③甲倉庫的快件數量y（件）與時間x（分）之間的函數關系式為：；④乙倉庫時有快件360件；⑤時，甲倉庫內快件數為480件；⑥時，兩倉庫快遞件數相同． 18．如圖在平面直角坐標系中，直線的圖像分別與y軸和x軸交于點A，點B．定點P的坐標為，點Q是y軸上任意一點，則的最小值為__________． 三、解答題 19．已知一次函數，求： ????（1）為何值時，隨的增大而增大？ ????（2）為何值時，函數與軸的交點在軸上方？ ????（3）為何值時，圖象過原點？ ????（4）若圖象經過第一、二、三象限，求的取值范圍． ????（5）分別求出函數與軸、軸的交點坐標． 20．如圖，直線與反比例函數的圖象交于A、B兩點，與x軸交于點C，已知點A的坐標為． (1)求反比例函數的解析式； (2)若點是反比例函數圖象上一點，過點P作軸于點E，延長交直線于點F，求的面積． 21．如圖，正比例函數的圖像與一次函數的圖像交于點，一次函數圖像經過點，與y軸的交點為D，與x軸的交點為C． (1)求一次函數表達式； (2)求D點的坐標； (3)不解關于x、y的方程組，直接寫出方程組的解． 22．甲、乙兩車分別從相距的A、B兩地相向而行，乙車比甲車先出發(fā)1小時，兩車分別以各自的速度勻速行駛，途經C地（A、B、C三地在同一條直線上）．甲車到達C地后因有事立即按原路原速返回A地，乙車從B地直達A地，甲、乙兩車距各自出發(fā)地的路程y（千米）與甲車行駛所用的時間x（小時）的關系如圖所示，結合圖象信息回答下列問題： (1)甲車的速度是___________千米/時，乙車的速度是___________千米/時； (2)求甲車距它出發(fā)地的路程y（千米）與它行駛所用的時間x（小時）之間的函數關系式； (3)甲車出發(fā)多長時間后兩車會相距30千米？請你直接寫出答案． 23．如圖，已知直線與雙曲線交第一象限于點A，且點A的縱坐標為4． (1)求a的值； (2)將點O繞點A逆時針旋轉至點B，求直線的函數解析式； (3)若點C是射線上的一個動點，過點C作y軸的平行線，交雙曲線的圖像于點D，交x軸于點E，且，求點C坐標． 24．已知函數y＝，其中m為常數，該函數圖象記為G． (1)當m＝1時． ①若點A（a，4）在圖象G上，求a的值． ②當﹣1≤x≤2時，直接寫出函數值y的取值范圍． (2)點B在圖象G上，點B的橫坐標為2m． ①用含m的代數式表示點B的坐標． ②當m＞0時，直線y＝4m與圖象G交于點C、D，當△BCD的面積為9時，求點B的坐標． ③過點B作x軸的垂線，與直線y＝x+交于點H，當BH≥2時，直接寫出m的取值范圍． 25．如圖，直線與x軸、y軸分別交于點，點P在x軸上運動，連接，將沿直線折疊，點O的對應點記為． (1)求k、b的值； (2)在x軸上是否存在點C，使得為等腰三角形？若存在，求出點C的坐標；若不存在，說明理由． (3)若點恰好落在直線上，求的面積． 26．有這樣一個問題：探究函數圖象與性質．一位同學根據學習函數的經驗，對函數的圖象與性質進行了探究． (1)下面是這位同學的探究過程，請補充完整： ①函數的自變量x的取值范圍是__________； ②下表是y與x的幾組對應值，則m的值是___________； ③如圖，在平面直角坐標系中，描出以補全后的表中各對對應值為坐標的點，并畫出該函數的圖象； ④觀察此函數圖象，寫出一個正確的函數性質或者函數圖象性質：______________． (2)直接寫出：當x________時，． 27．【模型建立】 如圖1，在中，，，直線經過點，過點作于點，過點作于點，易證明．我們將這個模型稱為“形圖”，接下來我們就利用這個模型解決一些問題； 【模型應用】 (1)如圖1，若，則的面積為__________； (2)如圖2，已知直線與坐標軸交于點A、B，將直線繞點A逆時針旋轉45°至直線，求直線的函數表達式； (3)如圖3，在平面直角坐標系中，直線的函數關系式為：，點在直線上找一點，使直線與直線的夾角為45°，直接寫出點的坐標． x…012345678…y…21.510.500.5m1.522.53… 第20章 一次函數 單元綜合檢測（難點） 一、單選題 1．下列函數（1）；（2）；（3）；（4）；（5）中，是一次函數的有（????） A．4個 B．3個 C．2個 D．1個 【答案】B 【分析】根據一次函數的定義對各小題進行逐一分析即可． 【解析】解：（1）是正比例函數也是一次函數； （2）是一次函數； （3）不是一次函數； （4）是一次函數； （5）不是一次函數； ∴是一次函數的有：（1）（2）（4）． 故選：B． 【點睛】本題考查的是一次函數的定義，解決本題的關鍵是明確一次函數的定義，一般地，形如是常數的函數，叫做一次函數． 2．將直線向左移1個單位，所得到的直線解析式為（????） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根據圖象的平移規(guī)則：左加右減，上加下減進行平移即可． 【解析】若直線向左平移1個單位，則． 故選：D． 【點睛】本題考查了函數圖象的平移，熟記左右平移只針對字母是解題的關鍵． 3．如圖，直線與直線交于點P，下列結論錯誤的是（????） A．， B．關于x的方程的解為 C．關于x的不等式的解集為 D．直線上有兩點，，若時，則 【答案】C 【分析】A、C、D根據函數圖像直接作出判斷即可；B、交點P的橫坐標就是關于x的方程的解． 【解析】解：A、∵直線經過一二四象限， ∴，，故正確，不符合題意； B、∵直線與直線交于點P，點P的橫坐標為3， ∴關于x的方程的解為，故正確，不符合題意； C、根據函數圖像得到：關于x的不等式的解集為，即不等式的解集為，故錯誤，符合題意； D、根據函數圖像得到：直線上，y隨x的增大而增大． ∵直線上有兩點，，， ∴．故正確，不符合題意； 綜上所述，錯誤的結論是：C． 故選：C． 【點睛】本題考查了一次函數圖像上點的坐標特征，一次函數與一元一次方程，一次函數與一元一次不等式．解題時，要數形結合，使問題變得更直觀化． 4．已知點都在直線（，為常數）上，若點在第三象限，則與的大小關系是（?????） A． B． C． D．無法確定 【答案】A 【分析】結合點在第三象限，可知，進而確定函數的增減性，由一次函數的性質即可獲得答案． 【解析】解：∵點在第三象限， ∴， ∴， ∴隨的增大而增大， ∵點都在直線上，且， ∴． 故選：A． 【點睛】本題主要考查了點所在象限、一次函數圖像上點的特征、一次函數的性質等知識，確定是解題關鍵． 5．無論m為什么實數時，直線總經過點（????）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把解析式變形得到關于m的不定方程形式得到y(tǒng)＝（x+1）m -2，根據無論m為什么實數時，直線總過定點得出，x+1＝0，求出經過的點即可． 【解析】解：∵y＝mx+m﹣2， ∴y＝（x+1）m -2， ∵無論m為什么實數時，直線總過定點， ∴x+1＝0，解得x＝﹣1，代入解析式得，y＝﹣2， ∴直線y＝mx+m﹣2總經過點（﹣1，﹣2）． 故選：C． 【點睛】本題考查了一次函數過定點問題，解題關鍵是把解析式適當變形，根據所含參數系數為0求出點的坐標． 6．已知一次函數的圖像與軸的正半軸相交，隨的增大而減小，且為整數，則時，應滿足的條件是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根據一次函數的圖像與y軸正半軸相交且y隨x的增大而減小，即可得出關于m的一元一次不等式組，解之即可得出k的取值范圍，結合k為整數可確定一次函數的解析式，再利用一次函數圖像上點的坐標特征可求出當時x的取值范圍． 【解析】解：∵一次函數的圖像與y軸正半軸相交，y隨x的增大而減小， ∴， 解得：， ∵k為整數， ∴k＝－2， ∴一次函數的解析式為y＝?3x＋1， 當y＝－5時，即?3x＋1＝－5， 解得：x＝2； 當y＝4時，即?3x＋1＝4， 解得：x＝?1， ∴當時，x的取值范圍為?1＜x＜2． 故選：A． 【點睛】本題考查了一次函數圖像上點的坐標特征、一次函數的性質以及解一元一次不等式組，熟練掌握一次函數的增減性與系數的關系是解題的關鍵． 7．在平面直角坐標系中，點A（2，m）在直線y＝﹣2x+1上，點A關于y軸的對稱點B恰好落在直線y＝kx+2上，則k的值為（　?。?A．2 B．2.5 C．﹣2 D．﹣3 【答案】B 【分析】由點A的坐標以及點A在直線y＝﹣2x+1上，可得出關于m的一元一次方程，解方程可求出m值，即得出點A的坐標，再根據對稱的性質找出點B的坐標，由點B的坐標利用待定系數法即可求出k值． 【解析】解：∵點A在直線y＝﹣2x+1上， ∴m＝﹣2×2+1＝﹣3， ∴點A的坐標為（2，﹣3）． 又∵點A、B關于y軸對稱， ∴點B的坐標為（﹣2，﹣3）， ∵點B（﹣2，﹣3）在直線y＝kx+2上， ∴﹣3＝﹣2k+2，解得：k＝2.5． 故選：B． 【點睛】本題考查了一次函數圖象上點的坐標特征以及關于x、y軸對稱的點的坐標，解題的關鍵是求出點B的坐標． 8．一次函數：和有下列結論： ①當時，直線與坐標軸圍成的三角形的面積為3，則； ②當時，函數與函數的圖象有兩個交點，則； ③當時，圖象上有兩點（a，b）、（c，d），則； ④直線交于點P（25，10），則方程的解為x=25； 其中正確的結論序號為（　　?。?A．①②③ B．③④ C．①②④ D．②③④ 【答案】B 【分析】（1）根據三角形面積公式得到，再解方程即可得到的b1值； （2）由函數y=|x﹣2|可知函數的最低點為（2，0），把（2，0）代入求得，直線與平行時，．進而求出k2的取值范圍． （3）當時，解析式為，把（a，b）、（c、d）兩點代入解析式整理可得：，進而可以求出（a﹣b）（c﹣d）． （4）根據函數交點與方程組的關系可知，兩函數交點為P（25，10），則該點對應的x=25，y=10為方程組的解，進而可以得出結論． 【解析】解：①當時，則一次函數為， 則一次函數圖象與x軸的交點坐標為（﹣，0），與y的坐標為（0，）， 因為一次函數的圖象與兩坐標軸圍成的三角形面積為3， 所以，解得， 故①不正確； ②當時，則一次函數為， ∵y=|x﹣2|≥0， ∴函數y=|x﹣2|的最低點為（2，0）， 把（2，0）代入得，， 解得：． 當直線與平行時，， 故當時，圖象與函數y=|x﹣2|的圖象有兩個交點，則且． 故②不正確； ③當時，解析式為， ∵（a，b）、（c、d）在圖象上， 把（a，b）、（c、d）兩點代入解析式整理可得：， ∴， ∴， 故③正確； ④根據函數交點與方程組的關系可知，兩函數交點為P（25，10），（） 則該點對應的為方程組的解， 方程組，①﹣②得：， ∴x=25是的解． 故④正確． 正確的是③④， 故選：B． 【點睛】本題考查了一次函數與面積問題，交點問題，以及方程組的相關問題．解題的關鍵是結合圖象，利用定義對各個問題進行解答．解面積問題的時候要注意分類討論，結果可能不唯一．解交點問題時，要注意結合函數圖象來分析，還要注意本題要求是一次函數，所以一次項系數不為0． 9．已知1號探測氣球從海拔處勻速上升，同時2號探測氣球從海拔處勻速上升，兩個氣球所在位置的海拔y（單位：m）與上升時間x（單位：）之間的函數關系如圖所示，根據圖中的信息，下列說法： ①上升時，兩個氣球高度一樣； ②1號探測氣球所在位置的海拔關于上升時間x的函數關系式是； ③當兩個氣球所在位置的海拔高度相差，上升時間為10或30分鐘； ④記兩個氣球的海拔高度差為h，則當時，h的最大值為． 其中，說法正確的個數是（????） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根據圖形可判斷①；利用待定系數法求出函數關系式可判斷②；根據題意列方程，解方程可判斷③；求得高度差，利用一次函數的性質解答可判斷④． 【解析】解：①上升時，兩個氣球高度一樣，都是，①正確； ②設1號探測氣球所在位置的海拔關于上升時間x的函數關系式是， 把點代入得， 解得， ∴1號探測氣球所在位置的海拔關于上升時間x的函數關系式是，②正確； ③同理求得2號探測氣球所在位置的海拔關于上升時間x的函數關系式是， 由題意，得或， 解得或， ∴當兩個氣球所在位置的海拔高度相差，上升時間為10或30分鐘，③正確； ④當時，h的最大值為， 當時，， ∵，則h隨x的增大而增大， ∴當時，h有最大值，最大值為，④正確． 綜上，四個說法都是正確的 故選：D． 【點睛】本題考查了一次函數的應用，解決本題的關鍵是根據題意，求得函數解析式，利用一次函數的性質解答． 10．如圖，直線，相交于點，直線m交x軸于點，直線n交x軸于點，交y軸于點A．下列四個說法：①；②；③；④直線m的函數表達式為．其中正確說法的個數是（　?。? A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】直接運用待定系數法求出函數解析式，再運用一次函數圖象上的點的坐標的特征、全等三角形的判定求解此題． 【解析】解：設直線的解析式為，直線的解析式為． 由題意得，或． ，． ①由得，那么①正確． ②由，點得，．對于直線，當，，那么．根據勾股定理，得． 由①得，，得，那么．由，，，得，那么②正確． ③如圖， 由題得，，，那么．由②得，那么，推斷出，故③正確． ④由分析知，直線的函數表達式為，那么④正確． 綜上，正確的有①②③④，共4個． 故選：A． 【點睛】本題考查了用待定系數法求函數解析式、一次函數圖象上的點的坐標的特征、全等三角形的判定，解題的關鍵是熟練掌握用待定系數法求函數解析式、一次函數圖象上的點的坐標的特征、全等三角形的判定． 二、填空題 11．函數y=x+2的定義域是_________ ； 【答案】全體實數. 【解析】一次函數的自變量的取值范圍是全體實數. 12．已知一次函數y＝2（x﹣2）+b的圖象在y軸上的截距為5，那么b＝_____． 【答案】9． 【分析】將原函數解析式變形為一般式，結合一次函數圖象在y軸上的截距，即可得出關于b的一元一次方程，解之即可得出結論． 【解析】∵y＝2（x﹣2）+b＝2x+b﹣4，且一次函數y＝2（x﹣2）+b的圖象在y軸上的截距為5， ∴b﹣4＝5， 解得：b＝9． 故答案為9． 【點睛】本題考查了一次函數圖象上點的坐標特征，牢記截距的定義是解題的關鍵． 13．已知點、，若一次函數的圖象與線段有交點，則的取值范圍為________________． 【答案】 【分析】把A、B分別代入y＝﹣x+b，分別求得b的值，即可求得b的取值范圍． 【解析】解：∵A（﹣1，2），B（3，2）， ∴若過A點，則2＝1+b，解得b＝1， 若過B點，則2＝﹣3+b，解得b＝5， ∴1≤b≤5． 故答案：1≤b≤5． 【點睛】本題考查了一次函數圖象上點的坐標特征，圖象上的點的坐標符合解析式是解題的關鍵． 14．當時，函數的值恒大于0，則實數k的取值范圍是___________． 【答案】 【分析】先根據一次函數的圖象是一條直線可知要使函數的值恒大于0，則需要兩個端點值都大于0；再驗證當y是常函數，即當時是否滿足題意即可． 【解析】解：∵當時，函數的值恒大于0， ∴當和時，的值都大于0， 當時，， 當時，， ∴，解得：， 當時，， ∴實數k的取值范圍是． 故答案為：． 【點睛】本題主要考查了一次函數的圖像和性質，熟練掌握一次函數的圖像是一條直線是解題的關鍵． 15．直線與軸交于點A，與軸交于點B，將線段AB繞A點逆時針旋轉90o，使B點落在M點上，則M點的坐標為__________________． 【答案】 【分析】由一次函數的性質可得點，點，可得，，由旋轉的性質可得，，由“”可證，可得、，即可求點坐標． 【解析】解：如圖，過點作軸于點， 一次函數與軸交于點，與軸交于點， 點，點， ，， 將線段繞點逆時針旋轉， ，， ，且， ，且，， ， ，， ， 點坐標，故答案為：． 【點睛】本題考查了一次函數圖象上點的坐標特征，全等三角形的判定和性質，旋轉的性質等知識，證明是本題的關鍵． 16．如圖，點P是函數圖象上的一點，直線與x軸、y軸分別交于A、B兩點，過點P作x軸、y軸的垂線與該直線分別交于C、D兩點，則的值為______． 【答案】 【分析】先求出點坐標，設點，則：點，點 ，用含的式子表示出，進而求解即可． 【解析】解：∵直線與x軸、y軸分別交于A、B兩點， 當時，；當時，； ∴點，點， ∵點P是函數圖象上的一點，過點P作x軸、y軸的垂線與該直線分別交于C、D兩點， 設點，則：點，點 ， ， 故答案為． 【點睛】本題考查反比例函數與一次函數的綜合應用．正確的求出各點的坐標，是解題的關鍵． 17．某快遞公司每天上午為集中攬件和派件時段，甲倉庫用來攬收快件，乙倉庫用來派發(fā)快件，該時段內甲、乙兩倉庫的快件數量y（件）與時間x（分）之間的函數圖象如圖所示，下列說法正確的是____________（坑序號）． ①10分鐘后，甲倉庫內快件數量為90件；②乙倉庫每分鐘派送快件數量為8件；③甲倉庫的快件數量y（件）與時間x（分）之間的函數關系式為：；④乙倉庫時有快件360件；⑤時，甲倉庫內快件數為480件；⑥時，兩倉庫快遞件數相同． 【答案】①④⑥ 【分析】根據圖象可知10分鐘后，甲倉庫內快件數量為90件，根據50分鐘內派送300件可判斷②，進而得出關系式；由圖象可知時，乙倉庫有快件360件，時，快件數為0，待定系數法求解析式，令，可判斷④，將代入③中的關系可判斷⑤，令，解方程求得交點的橫坐標即可判斷⑥． 【解析】解：根據圖象可知10分鐘后，甲倉庫內快件數量為90件，故①正確； 根據圖象至，50分鐘內派送快遞數為300件，則乙倉庫每分鐘派送快件數量為件，故②錯誤， 設乙倉庫的快件數量y（件）與時間x（分）之間的函數關系式為：， 將代入得， ， 解得， ∴乙倉庫的快件數量y（件）與時間x（分）之間的函數關系式為：， 令，得，即乙倉庫時有快件360件，故④正確， 設甲倉庫的快件數量y（件）與時間x（分）之間的函數關系式為：， 將點代入，得， ， 解得：， ∴甲倉庫的快件數量y（件）與時間x（分）之間的函數關系式為：，故③不正確； 令，得， 即時，甲倉庫內快件數為490件，故⑤不正確， 令，即， 解得， 即時，兩倉庫快遞件數相同，故⑥正確． 故答案為：①④⑥． 【點睛】本題考查了一次函數的應用，根據函數圖像獲取信息是解題的關鍵． 18．如圖在平面直角坐標系中，直線的圖像分別與y軸和x軸交于點A，點B．定點P的坐標為，點Q是y軸上任意一點，則的最小值為__________． 【答案】 【分析】以點P為頂點，y軸為一邊，在y軸右側作，與x軸交于點D，作點B關于y軸的對稱點，過點作，交y軸與點Q，根據直角三角形的性質得出即為最小值，然后利用勾股定理和直角三角形的性質求出的長即可． 【解析】如圖，以點P為頂點，y軸為一邊，在y軸右側作，與x軸交于點D，作點B關于y軸的對稱點，過點作，交y軸與點Q， ∵， ∴， ∵此時， 則即為的最小值． ∵， ∴， 根據勾股定理可得， 解得， ∵直線的圖象分別與y軸和x軸交于點A，點B， 令x=0，得y=4；令y=0，得x=4， 則點， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即的最小值為． 故答案為：． 【點睛】本題考查勾股定理，最短路徑問題，以及一次函數與坐標軸的交點等，正確得出最短路徑是解題關鍵． 三、解答題 19．已知一次函數，求： ????（1）為何值時，隨的增大而增大？ ????（2）為何值時，函數與軸的交點在軸上方？ ????（3）為何值時，圖象過原點？ ????（4）若圖象經過第一、二、三象限，求的取值范圍． ????（5）分別求出函數與軸、軸的交點坐標． 【答案】（1）a＞-8，n為任意數；（2）n＜6且m≠-8；（3）m≠-8且n=6；（4）m＞-8且n＜6；（5）與x軸的交點坐標為（，0），與y軸的交點坐標為(0，6-n). 【分析】（1）由y隨x的增大而增大，利用一次函數的性質可得出m＞-8，n為任意數； （2）根據一次函數的定義結合一次函數圖象上點的坐標特征，即可得出6-n＞0，m+8≠0，解之即可得出結論； （3）根據一次函數的定義結合一次函數圖象上點的坐標特征，即可得出m+8≠0，6-n=0，解之即可得出結論． （4）由一次函數圖象過第一、二、三象限，利用一次函數圖象與系數的關系可得出m＞-8且n＜6； （5）分別令y=0和x=0即可得解. 【解析】（1）∵y隨x的增大而增大 ∴m+8＞0，解得：m＞-8， 6-n為任意數，即n為任意數， ∴當a＞-8，n為任意數時，y隨x的增大而增大； （2）∵一次函數y=（m+8）x+（6-n）的圖象與y軸的交點在x軸上方， ∴6-n＞0，m+8≠0， 解得：n＜6，m≠-8． ∴當n＜6且m≠-8時，一次函數y=（m+8）x+（6-n）的圖象與y軸的交點在x軸上方； （3）∵一次函數y=（m+8）x+（6-n）的圖象過原點， ∴m+8≠0，6-n=0， 解得：m≠-8，n=6． ∴當m≠-8且n=6時，一次函數y=（m+8）x+（6-n）的圖象過原點． （4）∵一次函數y=（m+8）x+（6-n）的圖象過第一、二、三象限， ∴， 解得：m＞-8且n＜6． ∴當m＞-8且n＜6時，一次函數y=（m+8）x+（6-n）的圖象過第一、二、三象限； （5）令y=0，則（m+8）x+（6-n）=0， 解得，x=， ∴一次函數y=（m+8）x+（6-n）的圖象與x軸的交點坐標為（，0）， 令x=0，則y=6-n， ∴一次函數y=（m+8）x+（6-n）的圖象與y軸的交點坐標為(0，6-n). 【點睛】本題考查了一次函數的性質、一次函數圖象與系數的關系、一次函數的定義以及一次函數圖象上點的坐標特征． 20．如圖，直線與反比例函數的圖象交于A、B兩點，與x軸交于點C，已知點A的坐標為． (1)求反比例函數的解析式； (2)若點是反比例函數圖象上一點，過點P作軸于點E，延長交直線于點F，求的面積． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）將點A的坐標代入，可得到點A的坐標，再把點A的坐標代入，即可求解； （2）先求出點，再求出點，點，可得到，再由三角形的面積公式，即可求解． 【解析】（1）解：將點A的坐標代入，得： ， ∴點A的坐標為， 將點代入反比例函數，得： ，解得： 故反比例函數解析式為； （2）解：∵點是反比例函數圖象上一點， ∴，解得：， ∴點， ∵軸， ∴點F的橫坐標為， 對于直線， 當時，，當時，， ∴點，點， ∴， ∴． 【點睛】本題主要考查了反比例函數與一次函數的交點問題，熟練掌握反比例函數與一次函數的圖象和性質是解題的關鍵． 21．如圖，正比例函數的圖像與一次函數的圖像交于點，一次函數圖像經過點，與y軸的交點為D，與x軸的交點為C． (1)求一次函數表達式； (2)求D點的坐標； (3)不解關于x、y的方程組，直接寫出方程組的解． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）將點代入，求出m，得到，把P、B兩點的坐標代入，利用待定系數法即可求出一次函數解析式； （2）根據一次函數的解析式即可求出D點的坐標； （3）正比例函數圖像與一次函數圖像的交點坐標即為兩函數解析式組成的二元一次方程組的解． 【解析】（1）解：∵正比例函數的圖像與一次函數的圖像交于點， ∴， ， ∴， 把和代入一次函數，得，?????????????????? 解得，， ∴一次函數解析式是； （2）解：由（1）知一次函數表達式是， 令，則， 即點； （3）解：由（1）可知，正比例函數的圖像與一次函數的圖像交于點， 所以方程組的解為． 【點睛】本題考查了一次函數的圖像與性質，解題的關鍵是掌握一次函數的圖像與待定系數法，． 22．甲、乙兩車分別從相距的A、B兩地相向而行，乙車比甲車先出發(fā)1小時，兩車分別以各自的速度勻速行駛，途經C地（A、B、C三地在同一條直線上）．甲車到達C地后因有事立即按原路原速返回A地，乙車從B地直達A地，甲、乙兩車距各自出發(fā)地的路程y（千米）與甲車行駛所用的時間x（小時）的關系如圖所示，結合圖象信息回答下列問題： (1)甲車的速度是___________千米/時，乙車的速度是___________千米/時； (2)求甲車距它出發(fā)地的路程y（千米）與它行駛所用的時間x（小時）之間的函數關系式； (3)甲車出發(fā)多長時間后兩車會相距30千米？請你直接寫出答案． 【答案】(1)100，50； (2)； (3)甲車出發(fā)小時或小時或小時時，兩車相距30千米． 【分析】（1）根據題意和函數圖象中的數據可以求出甲乙兩車的速度； （2）先求出甲車到達C地的時間，然后利用待定系數法分段求出函數關系式即可； （3）分甲從A地到C地時，甲從C地返回A地時，甲到達A地后三種情況，分別根據相距30千米列方程求解即可． 【解析】（1）解：由圖可得，甲車的速度為：（千米/時）， 乙車的速度為：（千米/時）， 故答案為：100，50； （2）解：甲車到達C地的時間為：（小時）， 當時，設， 代入得：， 解得：， ∴； 當時，設， 代入，得：， 解得：， ∴， 綜上：y與 x的函數關系式為：； （3）解：設甲車出發(fā)a小時時兩車相距30千米， 當甲從A地到C地時， 由題意得：， 解得：； 當甲從C地返回A地時， 由題意得：， 解得：； 當甲到達A地后， 由題意得：， 解得：； 答：甲車出發(fā)小時或小時或小時時，兩車相距30千米． 【點睛】本題考查了從函數圖象獲取信息的能力，求一次函數的解析式，一元一次方程的應用等知識，要熟練掌握速度、時間和路程的關系． 23．如圖，已知直線與雙曲線交第一象限于點A，且點A的縱坐標為4． (1)求a的值； (2)將點O繞點A逆時針旋轉至點B，求直線的函數解析式； (3)若點C是射線上的一個動點，過點C作y軸的平行線，交雙曲線的圖像于點D，交x軸于點E，且，求點C坐標． 【答案】(1) (2) (3)點的坐標為或 【分析】（1）根據題意可得，將以及點A的縱坐標代入可得關于的一元二次方程，然后根據反比例函數所在的象限取值即可； （2）畫出點O繞點A逆時針旋轉至點B的圖形，作軸于點，交延長線于點，然后證明，根據全等三角形的性質得出點，然后根據待定系數法求直線的函數解析式即可； （3）聯(lián)立直線與雙曲線，得出兩函數交點坐標，然后設點，則點，分當或時；當或時兩種情況進行討論，分別根據列方程求解即可． 【解析】（1）解：∵直線與雙曲線交第一象限于點A，且點A的縱坐標為4， ∴，即， ∴， 整理得：， ∵雙曲線位于一、象限， ∴，即， ∴； （2）∵， ∴， ∴點， 將點O繞點A逆時針旋轉至點B，如圖： 作軸于點，交延長線于點， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴點，即， 設直線的函數解析式為， ∴， 解得， ∴直線的函數解析式為； （3）∵， ∴反比例函數解析式為， 聯(lián)立， 解得：或， ∴射線與雙曲線交于， 設點，則點， 當， ∵， ∴， 解得：（負舍）， ∴點的坐標為； 當時， ∵， ∴， 解得：（負舍）， ∴點的坐標為； 綜上所述：點的坐標為或． 【點睛】本題考查了反比例函數與一次函數綜合，待定系數法求一次函數解析式，全等三角形的判定與性質，熟練掌握以上知識點運用分類討論的思想解題是關鍵． 24．已知函數y＝，其中m為常數，該函數圖象記為G． (1)當m＝1時． ①若點A（a，4）在圖象G上，求a的值． ②當﹣1≤x≤2時，直接寫出函數值y的取值范圍． (2)點B在圖象G上，點B的橫坐標為2m． ①用含m的代數式表示點B的坐標． ②當m＞0時，直線y＝4m與圖象G交于點C、D，當△BCD的面積為9時，求點B的坐標． ③過點B作x軸的垂線，與直線y＝x+交于點H，當BH≥2時，直接寫出m的取值范圍． 【答案】(1)①a的值為1或﹣2；②4≤y≤6或1＜y≤3 (2)①點B坐標為（2m，6m）或（2m，0）；②B坐標為（2，6）；③m≥或m≤﹣ 【分析】（1）①將m＝1代入函數解析式，分別討論a≥1，a＜1，將點A的坐標代入對應解析式求解． ②分別求出當1≤x≤2時和當≤x＜1時，y的取值范圍． （2）①分別將x＝2m代入y＝2x+2m，求解． ②令y＝4m，求出CD的長度，再由求解． ③將x＝2m代入y＝x+求出點H坐標，進而求解． 【解析】（1）當m＝1時，y＝， ①當a≥1時，4＝2a+2， 解得a＝1， 當a＜1時，， 解得． ∴a的值為1或． ②當1≤x≤2時，y＝2x+2中，y隨x增大而增大， ∴4≤y≤6， 當≤x＜1時，，y隨x增大而減小， ∴1＜y≤3． 綜上所述，4≤y≤6或1＜y≤3． （2）①當2m≥m時，m≥0，將x＝2m代入y＝2x+2m得y＝6m， ∴點B坐標為（2m，6m）， 當2m＜m時，m＜0，將2m代入得y＝0， ∴點B坐標為（2m，0）， 綜上所述，點B坐標為（2m，6m）或（2m，0）． ②將y＝4m代入y＝2x+2m得4m＝2x+2m， 解得x＝m， 將y＝4m代入得4m＝﹣x+2m， 解得， ∴， ∵， 解得m＝或m＝（舍）， ∴點B坐標為（2，6）． （3）把x＝2m代入y＝x+得y＝2m+， ∴點H坐標為（2m，2m+）， 當m＞0時，點B坐標為（2m，6m）， ∴， 解得m≥或m≤（舍）， 當m＜0時，點B坐標為（2m，0）， ∴， 解得m≥（舍）或m≤， 綜上所述，m≥或m≤． 【點睛】本題考查一次函數的綜合應用，解題關鍵是掌握一次函數與方程的關系，通過分類討論求解． 25．如圖，直線與x軸、y軸分別交于點，點P在x軸上運動，連接，將沿直線折疊，點O的對應點記為． (1)求k、b的值； (2)在x軸上是否存在點C，使得為等腰三角形？若存在，求出點C的坐標；若不存在，說明理由． (3)若點恰好落在直線上，求的面積． 【答案】(1) (2)存在，或或或 (3)或 【分析】（1）用待定系數法直接求出； （2）分三種情形討論，①當時，②當時，③當時；分別求出即可； （3）分P在x軸的正半軸和負半軸：①當P在x軸的正半軸時，求，根據三角形面積公式可得結論； ②當P在x軸的負半軸時，同理可得結論． 【解析】（1）解：∵點在直線上， ∴， 解得：； （2）解：存在，理由如下：如圖1所示， ①當時，， 可得． ②當時，，可得． ③當時，點C與點O重合，可得， 綜上所述，滿足條件的點C坐標為或或或． （3）解：存在兩種情況：①當P在x軸的正半軸上時，如圖2所示： 點恰好落在直線上，則，， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由折疊得：， ∴， ∴， ∴， 中，， ∴； ②當P在x軸的負半軸時，如圖3所示： 由折疊得：，， ∵， ∴， ∴； 綜上所述，的面積為或． 【點睛】此題是一次函數綜合題，考查了待定系數法、坐標與圖形性質、折疊的性質、勾股定理、等腰直角三角形的判定與性質、三角形的面積公式、等腰三角形的性質以及分類討論等知識；本題綜合性強，熟練掌握待定系數法和等腰三角形的性質，進行分類討論是解題的關鍵． 26．有這樣一個問題：探究函數圖象與性質．一位同學根據學習函數的經驗，對函數的圖象與性質進行了探究． (1)下面是這位同學的探究過程，請補充完整： ①函數的自變量x的取值范圍是__________； ②下表是y與x的幾組對應值，則m的值是___________； ③如圖，在平面直角坐標系中，描出以補全后的表中各對對應值為坐標的點，并畫出該函數的圖象； ④觀察此函數圖象，寫出一個正確的函數性質或者函數圖象性質：______________． (2)直接寫出：當x________時，． 【答案】(1)①全體實數；②1；③見解析；④當時，y隨x的增大而增大 (2)或 【分析】(1)①根據函數的解析即可求得；②把x=4代入計算，即可求得；③根據畫函數圖象的步驟即可畫出函數圖象；④觀察此函數圖象，可得函數的性質； (2)觀察此函數圖象，可得時，x的取值范圍． 【解析】（1）解：①函數的自變量x的取值范圍是全體實數； 故答案為：全體實數； ②當x=4時，， ， 故答案為：1； ③在平面直角坐標系中，描出以補全后的表中各對對應值為坐標的點，畫出該函數的圖象如下圖： ④觀察此函數圖象，可得函數的性質：當時，y隨x的增大而增大； 故答案為：當時，y隨x的增大而增大； （2）解：觀察此函數圖象，當時，對應的函數圖象有兩部分，分別為：或， 當或時，， 故答案為：或． 【點睛】本題考查了一次函數的圖象和性質，描點法畫函數的圖象，數形結合法，充分理解題干中的方法并熟練運用是解決本題的關鍵． 27．【模型建立】 如圖1，在中，，，直線經過點，過點作于點，過點作于點，易證明．我們將這個模型稱為“形圖”，接下來我們就利用這個模型解決一些問題； 【模型應用】 (1)如圖1，若，則的面積為__________； (2)如圖2，已知直線與坐標軸交于點A、B，將直線繞點A逆時針旋轉45°至直線，求直線的函數表達式； (3)如圖3，在平面直角坐標系中，直線的函數關系式為：，點在直線上找一點，使直線與直線的夾角為45°，直接寫出點的坐標． 【答案】(1) (2) (3)點B坐標為（0，1）或（2，5） 【分析】（1）利用“ASA”求證，繼而可得CE=AD=3，BE=CD=4，AC=BC，由勾股定理可得AC，繼而利用三角形面積公式求解； （2）由直線可知點點A、B坐標，過點B作BC⊥直線l2，過點C作CD⊥x軸于點D，過點C作CE⊥y軸于點E，證明（AAS），推導出，，設，繼而求出a的值，繼而可得點C坐標，利用待定系數法即可求解； （3）求出點E坐標，在直線l上取一點F（2，5），連接AE、AF，證明△AEF是等腰直角三角形即可解決問題． 【解析】（1）如圖1所示： ∵， ∴∠BCE+∠ACD=90°， ∵，， ∴∠BCE+∠CBE=90°，∠CAD+∠ACD=90°， ∴∠ACD=∠CBE，∠BCE=∠CAD， 又， ∴（ASA）, ∴CE=AD=3，BE=CD=4，AC=BC， 在Rt△ACD中，由勾股定理可得： ∴， ∵ ， ∴， 故答案為：； （2）如圖2所示， ∵直線與坐標軸交于點A、B， 令，則， 令，則， ∴點A（-3，0）、B（0，4）， 過點B作BC⊥直線l2于點C，過點C作CD⊥x軸于點D，過點C作CE⊥y軸于點E， ∵OA⊥OB， ∴四邊形CDOE是矩形， ∴，，CE⊥CD， ∴, ∵BC⊥直線l2， ∴, ∴, 由旋轉得：， ∴, ∴, 又, ∴（AAS）， ∴，， ∴， 設， ∵，即， 解得： ，即， ∴, ∴點C坐標為（，）， 設直線的函數表達式為：， 將點A、C代入得：， 解得：， ∴直線的函數表達式為：， （3）如圖3所示， ∵直線 ， 令，則， ∴點E（0，1）， 在直線l上取一點F（2，5），連接AE、AF， ∵A（3，2）， ∴, ， ， ∴，， ∴， ∴， ∴當點B與E或F重合時，直線AB與直線l的夾角為45°，此時B（0，1）或（2，5） 【點睛】本題考查一次函數綜合題，主要涉及到一次函數的圖象及其性質、等腰直角三角形的性質、勾股定理、全等三角形的判定及其性質，熟練掌握一次函數的圖象及其性質，正確做輔助線是解題的關鍵． x…012345678…y…21.510.500.5m1.522.53…

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