初中數(shù)學(xué)滬教版 (五四制)八年級下冊第三節(jié) 無理方程同步訓(xùn)練題-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

模塊一：無理方程
知識精講
方程中含有根式，且被開方數(shù)是含有未知數(shù)的代數(shù)式，這樣的方程叫做無理方程．
有理方程和無理方程統(tǒng)稱為初等代數(shù)方程，簡稱代數(shù)方程．
2．解無理方程的一般步驟是去根號，方法是兩邊同時(shí)平方，注意要檢驗(yàn)增根的情況．
檢驗(yàn)方程的增根從兩方面出發(fā)：
根號有意義的條件；
方程左右是否相等．
例題解析
例1.（金山2018期中2）下列方程中，無理方程是（）
A.； B.； C.； D..
例2.下列方程是哪些是無理方程?
（1）；（2）；（3）；
（4）；（5）；（6）．
例3.（松江2018期中15）下列關(guān)于x的方程中，有實(shí)數(shù)根的是（）
A.； B.； C.； D..
例4.（浦東四署2019期中3）下列關(guān)于x方程中，有實(shí)數(shù)根的是（）
A.； B.；
C.； D..
例5.判定下列方程是否有實(shí)數(shù)根：
（1）；
（2）（p為實(shí)數(shù)）．
例6..（浦東四署2019期中7）方程的根是 .
例7.. （松江2019期中13）方程的解是_____________.
例8.將下列無理方程化成有理方程：
①；②．
例9.解下列無理方程：；
（1）；（2）．
例10.解下列無理方程：
（1）；
（2）；
（3）．
例11.解下列方程：
（1）；（2）．
例12.若方程有一個(gè)根x=1，求m的值及方程的其他的根．
例13.解下列方程：
（1）；
（2）；
（3）．
例14.解方程：；
例15.用換元法解無理方程：
【提示：】．
例16.解方程：．
例17.設(shè)實(shí)數(shù)、、z滿足，求、、的值．
模塊二：二元二次方程及方程組
知識精講
僅含有兩個(gè)未知數(shù)，各方程是整式方程，并且含有未知數(shù)的項(xiàng)的最高次數(shù)為2．像這樣的方程組叫做二元二次方程組．
能使二元二次方程左右兩邊的值相等的一對未知數(shù)的值，叫做二元二次方程的解．
3、方程組中所含各方程的公共解叫做這個(gè)方程組的解．
例題解析
例1.下列方程是二元二次方程的有（）個(gè)
； ②； ③； ④．
A．1B．2C．3D．4
例2.下列方程組中，不是二元二次方程組的是（）
A．；B．
C．；D．
例3.（楊浦2019期中9）將方程組：轉(zhuǎn)化成兩個(gè)二元一次方程組分別是和 .
例4. （黃浦2018期中5）方程組有實(shí)數(shù)解，則k的取值范圍是（）
A.； B.； C.； D..
例5. （浦東2018期中5）在單元考試中，某班同學(xué)解答“由一個(gè)二元一次方程和一個(gè)二元二次方程組成的方程組的解為，試寫出這樣的一個(gè)方程組題目，出現(xiàn)了下面四種答案，其中正確的答案是（）
A.； B. ； C.； D.
例6.解下列方程組：
（1）；（2）；
（3）；（4）．
例7.解下列方程組：
（1）；（2）；
（3）．
例8.若方程組有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．
例9.若二元二次方程組有唯一解，求實(shí)數(shù)的值及方程組的解．
例10.解方程組：
（1）；（2）．
例11.解方程組：
（1）；（2）．
例12.設(shè)方程組的解是，，求和的值．
例13.解下列方程組：
（1）；（2）．
例14.解方程組：．
例15.解方程組：．
例16.已知方程組
（1）求證：不論為何值時(shí)，此方程組一定有實(shí)數(shù)解；
（2）設(shè)等腰△ABC的三邊長分別為，，，其中，且，是該方程的兩個(gè)解，求△ABC的周長．
例17.已知方程組只有一組實(shí)數(shù)解，求a的值．
隨堂檢測
1.下列方程是哪些是無理方程?
（1）；（2）；（3）；
（4）；（5）；（6）．
2.不解方程試說明下列方程為什么沒有實(shí)數(shù)根？
（1）；（2）．
3.（1）若關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是__________；
（2）將化成整式方程是____________．
4.下列方程組中哪一個(gè)是二元二次方程組（）
A．B． C． D．
5.由方程組，消去后得到的方程是__________．
6.解下列方程：
（1）；（2）．
7.解下列方程：
（1）；（2）．
8.解下列方程組：
（1）；（2）．
9.解下列方程：
（1）；（2）．
10.解下列方程組：
（1）；（2）．
11.解方程：．
12.解方程：．
13.已知方程組有兩組實(shí)數(shù)解和，且，
設(shè)．
求m的取值范圍；
試用關(guān)于m的代數(shù)式表示出n；
是否存在這樣的值m，使n的值等于-2，若存在，求出這樣的所有的m的值；
若不存在，請說明理由．
第5講無理方程和二元二次方程組
模塊一：無理方程
知識精講
方程中含有根式，且被開方數(shù)是含有未知數(shù)的代數(shù)式，這樣的方程叫做無理方程．
有理方程和無理方程統(tǒng)稱為初等代數(shù)方程，簡稱代數(shù)方程．
2．解無理方程的一般步驟是去根號，方法是兩邊同時(shí)平方，注意要檢驗(yàn)增根的情況．
檢驗(yàn)方程的增根從兩方面出發(fā)：
根號有意義的條件；
方程左右是否相等．
例題解析
例1.（金山2018期中2）下列方程中，無理方程是（）
A.； B.； C.； D..
【答案】C；
【解析】根式中被開方數(shù)中不含未知數(shù)，故A、B、D都不是無理方程；而C、含有根式且被開方數(shù)中含有未知數(shù)，這樣的方程是無理方程；因此選C.
例2.下列方程是哪些是無理方程?
（1）；（2）；（3）；
（4）；（5）；（6）．
【難度】★
【答案】（1），（2），（4）．
【解析】方程中含有根式，且被開方數(shù)是含有未知數(shù)的代數(shù)式，這樣的方程叫做無理方程．
根據(jù)無理方程的概念，（1），（2），（4）是無理方程．（3），（5），（6）中被開方數(shù)中沒有未知數(shù)，不是無理方程．其中（3）是一元二次方程，是整式方程；（5），（6）都是分式方程．
【總結(jié)】考察無理方程的基本概念．
例3.（松江2018期中15）下列關(guān)于x的方程中，有實(shí)數(shù)根的是（）
A.； B.； C.； D..
【答案】B；
【解析】A、依題得，不可能，故方程無實(shí)數(shù)根；B、，故方程有實(shí)數(shù)根；C、解得x=1是增根，故方程無實(shí)數(shù)根；D、由易知無實(shí)數(shù)根. 因此答案選B.
例4.（浦東四署2019期中3）下列關(guān)于x方程中，有實(shí)數(shù)根的是（）
A.； B.；
C.； D..
【答案】C；
【解析】A、右邊，不可能等于0，故無實(shí)數(shù)根；B、因?yàn)?，故方程無實(shí)數(shù)根；C、原方程可化為，解得，經(jīng)檢驗(yàn)知方程的根；D、解之得是增根，故方程無實(shí)數(shù)根；因此答案選C.
例5.判定下列方程是否有實(shí)數(shù)根：
（1）；
（2）（p為實(shí)數(shù)）．
【難度】★
【答案】（1）有實(shí)數(shù)根；（2）沒有實(shí)數(shù)根．
【解析】根據(jù)無理方程有意義的條件，要同時(shí)滿足，得到：，
代入原方程，左邊右邊，方程成立，所以該方程有實(shí)數(shù)根．
（2）中，方程左邊，而右邊，所以，左邊右邊，故方程沒有實(shí)數(shù)根．
【總結(jié)】考察無理方程有意義的前提條件與方程的實(shí)數(shù)解的關(guān)系．
例6..（浦東四署2019期中7）方程的根是 .
【答案】；
【解析】兩邊平方得，因此.
例7.. （松江2019期中13）方程的解是_____________.
【答案】x=2
【解析】解：∵，∴x﹣2=0或x﹣1=0，解得x=2或x=1，當(dāng)x=1時(shí)，x﹣2=1﹣2=﹣1＜0，舍去，則原方程的解為x=2.故答案為：x=2.
例8.將下列無理方程化成有理方程：
①；②．
【難度】★
【答案】?；?．
【解析】?方程中只有一個(gè)根號，左右兩邊同時(shí)平方，得，整理得：；
?方程中根號里面部分與根號外面部分有倍數(shù)關(guān)系，所以設(shè)
，則，所以原方程可轉(zhuǎn)化為，
化簡整理得：．
【總結(jié)】考察解無理方程的思想，即化無理方程為有理方程．
例9.解下列無理方程：；
（1）；（2）．
【難度】★★
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）方程是則得的形式，所以解（1）方程得
并且還要保證，解得：，又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，沒意義，
所以經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的根．
（2）方程只含一個(gè)根號，所以整理為，等號兩邊同時(shí)平方去根號得：，整理得，，得，
經(jīng)檢驗(yàn)都是原方程的根．
【總結(jié)】考察無理方程的基本解法，注意不要忘了最后一步檢驗(yàn)所得解是否是增根．
例10.解下列無理方程：
（1）；
（2）；
（3）．
【難度】★★
【答案】（1）；（2）；（3）．
【解析】（1）方程含兩個(gè)根號，要盡量分散在等號的兩邊，原方程整理為，
等號兩邊平方得，整理得，再等號兩邊平方得
，整理得：，從而，得：，
經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的根，是原方程的增根；
原方程整理為，等號兩邊平方得，
整理得，等號兩邊再平方得，整理得，從而，得：．
經(jīng)檢驗(yàn)都是原方程的根；
方程含3個(gè)根號，通過觀察方程先整理為，然后等號兩邊平方得，整理得：，等號兩邊平方得，整理得，從而，
經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的根．
【總結(jié)】考察含有兩個(gè)根號或者三個(gè)根號無理方程解法，注意最后要驗(yàn)根．
例11.解下列方程：
（1）；（2）．
【難度】★★
【答案】（1）；（2）x=3．
【解析】（1）整理得，等號兩邊平方得
，整理得，
等號兩邊平方得，整理得：，解得：．
經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的根；
（2）方程整理得，為等號左邊0，
所以右邊0，當(dāng)x=3時(shí)，方程成立，當(dāng)x≠3時(shí)，可得，
等號兩邊平方得，整理得，
因?yàn)?，，所以而左邊，所以方程無解．
綜上，原方程的解為x=3．
【總結(jié)】考察含有多個(gè)根號的無理方程的解法，注意解完之后進(jìn)行檢驗(yàn)．
例12.若方程有一個(gè)根x=1，求m的值及方程的其他的根．
【難度】★★
【答案】為一切非負(fù)數(shù)．
【解析】把代入原方程，得，等號兩邊平方得，，
整理得，從而，解得：，
經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的根．把代入原方程，
整理得，所以為一切非負(fù)數(shù)．
【總結(jié)】考察無理方程的根的意義，及解無理方程的方法．
例13.解下列方程：
（1）；
（2）；
（3）．
【難度】★★
【答案】（1）；（2）；（3）．
【解析】（1）設(shè)，則，原方程可轉(zhuǎn)化為，
化簡整理得：，從而，因?yàn)?，解得：?br>即，等號兩邊平方得，解得：，
經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的根；
（2）原方程可轉(zhuǎn)化為，設(shè)，
原方程可轉(zhuǎn)化為，整理得，從而，
因?yàn)榻獾茫?，等號兩邊得，解得：?br>經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的根；
（3）原方程可以轉(zhuǎn)化為，
因式分解，
得：，
當(dāng)時(shí)，解此無理方程得：
經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的根；
當(dāng)，解此無理方程得：，
經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的根，
綜上所述原方程的根是：．
【總結(jié)】考察利用換元法求無理方程的解，求解后注意進(jìn)行驗(yàn)根．
例14.解方程：；
【難度】★★★
【答案】．
【解析】因?yàn)?，所以原方程可以轉(zhuǎn)化為
，可得，
從而因式分解可得，因?yàn)椋?br>可得，即，
解此無理方程可得，
經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的根．
【總結(jié)】考察整體換元法解無理方程，綜合性較大，注意認(rèn)真分析方程的特點(diǎn)．
例15.用換元法解無理方程：
【提示：】．
【難度】★★★
【答案】無實(shí)數(shù)根．
【解析】設(shè)，則有，
又，
所以有，得．
即，得，
解此方程可得：，
經(jīng)檢驗(yàn)不是原方程的根，故原方程無實(shí)數(shù)根．
【總結(jié)】考察利用換元法解特殊無理方程，注意對所求得的根進(jìn)行檢驗(yàn)．
例16.解方程：．
【難度】★★★
【答案】．
【解析】）設(shè)，則，
原方程可轉(zhuǎn)化為，
化簡整理得：，從而，
因?yàn)椋獾茫?，即?br>等號兩邊平方得，
因式分解得，解得：，
經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的根．
【總結(jié)】考察利用換元法解無理方程，注意對方法的提煉．
例17.設(shè)實(shí)數(shù)、、z滿足，求、、的值．
【難度】★★★
【答案】．
【解析】原方程可轉(zhuǎn)化為，
即，
得，
解得：，
經(jīng)檢驗(yàn)滿足原方程．
【總結(jié)】考察幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為零的基本模型，注意根據(jù)題目中的條件先進(jìn)行配方．
模塊二：二元二次方程及方程組
知識精講
僅含有兩個(gè)未知數(shù)，各方程是整式方程，并且含有未知數(shù)的項(xiàng)的最高次數(shù)為2．像這樣的方程組叫做二元二次方程組．
能使二元二次方程左右兩邊的值相等的一對未知數(shù)的值，叫做二元二次方程的解．
3、方程組中所含各方程的公共解叫做這個(gè)方程組的解．
例題解析
例1.下列方程是二元二次方程的有（）個(gè)
； ②； ③； ④．
A．1B．2C．3D．4
【難度】★
【答案】
【解析】?是分式方程；②，③是二元二次方程．④是二元三次方程．
【總結(jié)】考察二元二次方程的基本概念．
例2.下列方程組中，不是二元二次方程組的是（）
A．；B．
C．；D．
【難度】★
【答案】
【解析】是無理方程，二元二次方程是有理方程．
【總結(jié)】考察二元二次方程組的基本概念．
例3.（楊浦2019期中9）將方程組：轉(zhuǎn)化成兩個(gè)二元一次方程組分別是
和 .
【答案】；
【解析】，由①得，所以，故原方程組可化為.
例4. （黃浦2018期中5）方程組有實(shí)數(shù)解，則k的取值范圍是（）
A.； B.； C.； D..
【答案】D；
【解析】解：，由②得，y=2x-k③，把③代入①，得x2-（2x-k）=2，∴△=4-4（k-2）≥0，解得k≤3，故選：D．
例5. （浦東2018期中5）在單元考試中，某班同學(xué)解答“由一個(gè)二元一次方程和一個(gè)二元二次方程組成的方程組的解為，試寫出這樣的一個(gè)方程組題目，出現(xiàn)了下面四種答案，其中正確的答案是（）
A.； B. ； C.； D.
【答案】C
【解析】解：A、第二個(gè)解不符合方程組中的第一個(gè)方程，所以方程組不符合，故本選項(xiàng)不符合題意； B、第一個(gè)解不符合方程組中的第一個(gè)方程，所以方程組不符合，故本選項(xiàng)不符合題意； C、兩個(gè)解都是方程組的解，方程組也滿足由一個(gè)二元一次方程和一個(gè)二元二次方程組成的，故本選項(xiàng)符合題意； D、方程組不是由一個(gè)二元一次方程和一個(gè)二元二次方程組成的，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：C．
例6.解下列方程組：
（1）；（2）；
（3）；（4）．
【難度】★★
【答案】（1）；（2）；
（3）；（4）．
【解析】（1）由?，可得，代入?式得，整理得
，解得：，分別代入?得，
所以原方程組的解為．
（2）由?可得，所以原方程組可分解為，
分別解這兩個(gè)方程組可得原方程組的解為：；
（3）?式可轉(zhuǎn)化為，把?整體代入，得，
所以原方程組可分解為兩個(gè)方程組，
分別解這兩個(gè)方程組可得原方程組的解為：；
（4）?式可分解為，所以原方程組可轉(zhuǎn)化為，
分別解這兩個(gè)方程組可得原方程組的解為：．
例7.解下列方程組：
（1）；（2）；
（3）．
【難度】★★
【答案】（1）；（2）；
（3）．
【解析】（1）由?得，代入?整理得，解得：，
代入，得：，所以原方程組的解為；
（2）由?因式分解得，由?得，可知，
所以原方程組可以轉(zhuǎn)化為四個(gè)方程組，
分別解這四個(gè)方程組得原方程組的解為：；
（3）由?可得，即，
所以原方程組可以轉(zhuǎn)化為兩個(gè)方程，
分別解這兩個(gè)方程組得原方程組的解為：．
【總結(jié)】考察二元二次方程組的解法，注意代入法和因式分解法的靈活運(yùn)用．
例8.若方程組有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．
【難度】★★
【答案】．
【解析】由?得，代入?式得，整理得
，因?yàn)榉匠探M有實(shí)數(shù)解，所以，即，
得，即．
【總結(jié)】考察二元二次方程組有實(shí)數(shù)解的應(yīng)用，最終轉(zhuǎn)化為一元二次方程有實(shí)數(shù)解的問題．
例9.若二元二次方程組有唯一解，求實(shí)數(shù)的值及方程組的解．
【難度】★★
【答案】．
【解析】把代入中，得，
整理得，因?yàn)榉匠探M有唯一解，
故可分為兩種情況：當(dāng)?時(shí)，即，此時(shí)方程為一元一次方程，有唯一解，
當(dāng)時(shí)，代入，得：；
當(dāng)時(shí)，代入，得：．
?當(dāng)時(shí)，方程有唯一解，即，即，
整理得，此方程無實(shí)數(shù)根．
綜上．
【總結(jié)】考察二元二次方程組有唯一解的應(yīng)用，注意從多個(gè)角度進(jìn)行分類討論．
例10.解方程組：
（1）；（2）．
【難度】★★
【答案】（1）；
（2）．
【解析】（1）由?可因式分解得，
從而得，
所以原方程組可以轉(zhuǎn)化為兩個(gè)方程組，
分別解這兩個(gè)方程組得原方程組的解為：；
（2）由?可因式分解為，由?得，
所以原方程組可以轉(zhuǎn)化為
分別解這四個(gè)方程組可得原方程組解為：．
【總結(jié)】考察復(fù)雜二元二次方程組的解法，注意方法的靈活運(yùn)用．
例11.解方程組：
（1）；（2）．
【難度】★★
【答案】（1）；
（2）．
【解析】（1）原方程組可以轉(zhuǎn)化為，設(shè)，
則原方程組可轉(zhuǎn)化為，由韋達(dá)定理，設(shè)以為兩根的方程為，
因式分解得，解得：，
所以，即，
再分別解這兩個(gè)方程組得原方程組的解為：；
（2）原方程組可以轉(zhuǎn)化為，所以設(shè)以和為兩個(gè)實(shí)數(shù)根的一元二次方程為，從而因式分解為，得：．
即或，用同樣方法解方程組，得：，
同理解方程組，得，
綜上，原方程組的解為：．
【總結(jié)】考察利用整體換元法求二元二次方程組的解，注意對方法的歸納總結(jié)．
例12.設(shè)方程組的解是，，求和的值．
【難度】★★
【答案】；．
【解析】把方程組中代入中，得，
整理得，，由韋達(dá)定理知，
所以，．
【總結(jié)】考察二元二次方程組的應(yīng)用，利用方程組的解再結(jié)合韋達(dá)定理求出相應(yīng)的值．
例13.解下列方程組：
（1）；（2）．
【難度】★★★
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由?×8-?×5得，
整理得，因式分解得：，解得：；
當(dāng)時(shí)，代入?，得，解得：，
從而得方程組的解為：；
同理當(dāng)時(shí)，解得方程組的解為：．
綜上，原方程組的解為；
觀察到方程組中前面三個(gè)二次項(xiàng)的系數(shù)成倍數(shù)關(guān)系，所以?×3-?×2，
得：，
整理得：，代入?，得，
整理得：，解得：，所以，
綜上原方程組的解為：．
【總結(jié)】考察特殊二元二次方程組的解法，注意對兩種方法的總結(jié)以及所適應(yīng)的方程的特征的歸納．
例14.解方程組：．
【難度】★★★
【答案】．
【解析】觀察兩個(gè)方程，?+?得，從而，
?-?得，即，
與聯(lián)立相加得：，
解得，；把代入?式中得，
整理得：，得，得，從而得原方程的解為；
同理把代入?式中得，
解得：，代入，得，
故原方程組的解為：．
例15.解方程組：．
【難度】★★★
【答案】．
【解析】設(shè)，則，
原方程組可轉(zhuǎn)化為，因?yàn)椋?br>所以可得，又因?yàn)椋?lián)立得，即，
根據(jù)韋達(dá)定理設(shè)以為兩實(shí)數(shù)解的一元二次方程為，
因式分解得，得．
所以方程組的解為．
即原方程組的解為．
【總結(jié)】考察利用整體換元法解二元二次方程組，綜合性較強(qiáng)．
例16.已知方程組
（1）求證：不論為何值時(shí)，此方程組一定有實(shí)數(shù)解；
（2）設(shè)等腰△ABC的三邊長分別為，，，其中，且，是該方程的兩個(gè)解，求△ABC的周長．
【難度】★★★
【答案】（1）見解析；（2）10．
【解析】（1）將代入，得，
整理得，，
所以不論為何值時(shí)，此方程組一定有實(shí)數(shù)解；
（2）可分為兩種情況，或者．
第一種情況，即方程組有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，可知，從而，
由韋達(dá)定理得，此時(shí)不能構(gòu)成三角形，舍去；
第二種情況，將代入，得，
由韋達(dá)定理得，可得：，此時(shí)能構(gòu)成三角形，
故周長=4+4+2=10．
【總結(jié)】考察二元二次方程組的應(yīng)用及對方程組有解的準(zhǔn)確理解．
例17.已知方程組只有一組實(shí)數(shù)解，求a的值．
【難度】★★★
【答案】或．
【解析】由，知，
由可知，把代入，可得，
整理得，①當(dāng)時(shí)，整理得，
因式分解得，解得：．
當(dāng)時(shí)，，得，解得：，
經(jīng)檢驗(yàn)是原方程根；
當(dāng)時(shí)，，得，解得：，
經(jīng)檢驗(yàn)是原方程增根．
當(dāng)有兩個(gè)異號實(shí)數(shù)根時(shí)，則△>0且2a+120且a

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