一、單選題
1．（2020·上海市靜安區(qū)實驗中學(xué)八年級課時練習(xí)）下列方程中是無理方程的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2020·上海市靜安區(qū)實驗中學(xué)八年級期中）下列方程中,有實數(shù)解的方程的是( )
A．B．C．D．
3．（2019·上海市閔行區(qū)明星學(xué)校八年級月考）下列方程中，是二元二次方程組的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2019·上海市閔行區(qū)七寶第二中學(xué)八年級期中）方程組 的實數(shù)解的個數(shù)是 ( )
A．1B．2C．3D．4
5．（2019·上海浦東新區(qū)·八年級期中）下列方程組中，屬于二元二次方程組的是（ ）
A．B．C．D．
6．（2019·上海閔行區(qū)·八年級期末）下列方程中，判斷中錯誤的是（ ）
A．方程是分式方程B．方程是二元二次方程
C．方程是無理方程D．方程是一元二次方程
二、填空題
7．（2020·上海市靜安區(qū)實驗中學(xué)八年級期中）方程的解是_____________________
8．（2020·上海松江區(qū)·八年級期末）方程的解為_____．
9．（2019·上海嘉定區(qū)·上外附中八年級月考）如果要求寫出一個二元二次方程，使該方程有一個解是，那么這個方程可以寫為________
10．（2019·上海嘉定區(qū)·上外附中八年級月考）二元二次方程組解為_________
11．（2019·上海市閔行區(qū)七寶第二中學(xué)八年級期中）把二次方程化成兩個一次方程，所得到的兩個一次方程是________和________
12．（2019·上海松江區(qū)·八年級期中）已知是二元二次方程的一個解，那么的值是_____________．
三、解答題
13．（2019·上海浦東新區(qū)·八年級期末）解方程：.
14．（2019·上海市閔行區(qū)七寶第二中學(xué)八年級期中）
15．（2019·上海金山區(qū)·）解方程：x+=3．
16．（2019·上海靜安區(qū)·八年級期末）解方程：.
17．（2019·上海浦東新區(qū)·八年級期中）解方程：x?1+2x=3
18．（2019·上海松江區(qū)·八年級期末）解方程
19．（2019·上海普陀區(qū)·八年級期末）解方程組：．
20．（2019·上海金山區(qū)·）解方程組：
21．（2019·上海浦東新區(qū)·八年級期末）解方程:
22．（2019·上海市民辦新和中學(xué)）解方程組：
能力提升
一、填空題
1．（2019·上海八年級單元測試）若關(guān)于x的方程-2x+m+4020=0存在整數(shù)解，則正整數(shù)m的所有取值的和為___________.
2．（2019·上海市市西初級中學(xué)八年級期中）方程=-x的解是__________ ；
二、解答題
3．（2019·上海民辦張江集團學(xué)校八年級月考）
4．（2019·上海民辦張江集團學(xué)校八年級月考）
5．（2018·上海奉賢區(qū)·八年級期末）解方程組：x2?2y2=xyx?y=4
6．（2018·上海金山區(qū)·八年級期末）解方程組x2?4xy+4y2=4y=x+1
7.解下列方程：
（1）； （4）．
8.解方程：．
9.解下列方程：
（1）；（2）．
10.解下列方程或方程組：
（1）； （2）．
11.若關(guān)于x、y的方程組恰有兩個不同的實數(shù)解，求實數(shù)a的范圍．
第5講 無理方程和二元二次方程組（練習(xí)）
夯實基礎(chǔ)
一、單選題
1．（2020·上海市靜安區(qū)實驗中學(xué)八年級課時練習(xí)）下列方程中是無理方程的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)無理方程的定義：方程中含有根式，且被開方數(shù)是含有未知數(shù)的代數(shù)式，這樣的方程叫做無理方程，即可逐一判斷．
【詳解】解：A. 不是方程，故A錯誤；
B. 中被開方數(shù)不含有未知數(shù)，故B錯誤；
C. 中被開方數(shù)不含有未知數(shù)，故C錯誤；
D. 符合定義，故D正確，
故答案為：D．
【點睛】本題考查了無理方程的判斷，解題的關(guān)鍵是熟悉無理方程的的概念．
2．（2020·上海市靜安區(qū)實驗中學(xué)八年級期中）下列方程中,有實數(shù)解的方程的是( )
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用二次根式的非負性對A進行判斷；利用根的判別式的意義對B進行判斷；解無理方程對C進行判斷；解分式方程對D進行判斷．
【詳解】解：A、移項得：，∵≥0，所以原方程沒有實數(shù)解，所以A選項錯誤；
B、因為△＝22?4×3＝?8＜0，所以原方程沒有實數(shù)解，所以B選項錯誤；
C、、移項得：，方程兩邊同時平方得：，化為一般形式為：，解得x1=1，x2=-3，經(jīng)檢驗x1=1時不滿足原方程，所以x=-3，所以C選項正確；
D、解方程得x=2，經(jīng)檢驗當(dāng)x=2時分母為零，所以原方程無實數(shù)解，所以D選項錯誤．
故選C．
【點睛】本題考查了解無理方程：解無理方程的基本思想是把無理方程轉(zhuǎn)化為有理方程來解，在變形時要注意根據(jù)方程的結(jié)構(gòu)特征選擇解題方法．也考查了一元二次方程和分式方程．
3．（2019·上海市閔行區(qū)明星學(xué)校八年級月考）下列方程中，是二元二次方程組的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)二元二次方程組的定義判斷即可．
【詳解】解：A. 方程組中第一個方程不是整式方程，故不是二元二次方程組；
B. 方程組兩個方程都不是整式方程，故不是二元二次方程組；
C. 方程組中第二個方程不是整式方程，故不是二元二次方程組；
D. 符合二元二次方程組的定義，是二元二次方程組，
故選：D．
【點睛】本題考查了二元二次方程組的定義，即至少有一個二次項、最高次不超過二次且包含兩個未知數(shù)的整式方程組．
4．（2019·上海市閔行區(qū)七寶第二中學(xué)八年級期中）方程組 的實數(shù)解的個數(shù)是 ( )
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】根據(jù)平方根的性質(zhì)，正數(shù)的平方根有兩個，互為相反數(shù)即可求解.
【詳解】解：解得，解得，
∴方程組的解為：，
故選D.
【點睛】本題考查解二元二次方程組，二元二次方程組通常按照兩個方程的組成分為“二?一”型和“二?二”型，又分別成為Ⅰ型和Ⅱ型．“二?一”型是由一個二元二次方程和一個二元一次方程組成的方程組；“二?二”型是由兩個二元二次方程組成的方程．
5．（2019·上海浦東新區(qū)·八年級期中）下列方程組中，屬于二元二次方程組的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)二元二次方程組的定義進行判斷.
【詳解】解：A、是二元一次方程組，錯誤；B、是分式方程，錯誤；
C、是三元二次方程組，錯誤；D、是二元二次方程組，正確；故選D．
【點睛】本題考查了二元二次方程組：有兩個二元二次方程或一個二元二次方程，一個一元一次方程所組成的方程組稱為二元二次方程組．
6．（2019·上海閔行區(qū)·八年級期末）下列方程中，判斷中錯誤的是（ ）
A．方程是分式方程B．方程是二元二次方程
C．方程是無理方程D．方程是一元二次方程
【答案】C
【分析】逐一進行判斷即可．
【詳解】A. 方程是分式方程，正確，故該選項不符合題意；
B. 方程是二元二次方程，正確，故該選項不符合題意；
C. 方程是一元二次方程，錯誤，故該選項符合題意；
D. 方程是一元二次方程，正確，故該選項不符合題意；
故選：C．
【點睛】本題主要考查方程的概念，掌握一元二次方程，分式方程，二元二次方程，無理方程的概念是解題的關(guān)鍵．
二、填空題
7．（2020·上海市靜安區(qū)實驗中學(xué)八年級期中）方程的解是_____________________
【答案】
【分析】因為可以得出x?2＝0，x?4＝0且x?4≥0，由此求得原方程的解即可．
【詳解】解：
，且
解得且
故答案為
【點睛】此題考查解無理方程，注意被開方數(shù)必須大于或等于0，求此類方程的解必須滿足這一條件．
8．（2020·上海松江區(qū)·八年級期末）方程的解為_____．
【答案】3
【分析】根據(jù)無理方程的解法，首先，兩邊平方解出x的值，然后驗根，解答即可．
【詳解】解：兩邊平方得：2x+3＝x2
∴x2﹣2x﹣3＝0，
解方程得：x1＝3，x2＝﹣1，
檢驗：當(dāng)x1＝3時，方程的左邊＝右邊，所以x1＝3為原方程的解，
當(dāng)x2＝﹣1時，原方程的左邊≠右邊，所以x2＝﹣1不是原方程的解．
故答案為3．
【點睛】此題考查無理方程的解，解題關(guān)鍵在于掌握運算法則
9．（2019·上海嘉定區(qū)·上外附中八年級月考）如果要求寫出一個二元二次方程，使該方程有一個解是，那么這個方程可以寫為________
【答案】
【分析】根據(jù)二元二次方程的定義和二元二次方程解的定義寫出方程即可．
【詳解】解：由可得，
∴這個二元二次方程可以寫為，
故答案為：．
【點睛】本題考查了二元二次方程的定義和二元二次方程解的定義，熟練掌握基礎(chǔ)概念是解題的關(guān)鍵．
10．（2019·上海嘉定區(qū)·上外附中八年級月考）二元二次方程組解為_________
【答案】
【分析】把代入求出y即可．
【詳解】解：把代入得：，解得：，
∴方程組的解為：．
故答案為：．
【點睛】本題考查了解二元二次方程組，解二元二次方程組的基本思想是“轉(zhuǎn)化”，這種轉(zhuǎn)化包含“消元”和“降次”，掌握好消元和降次的方法和技巧是解二元二次方程組的關(guān)鍵．
11．（2019·上海市閔行區(qū)七寶第二中學(xué)八年級期中）把二次方程化成兩個一次方程，所得到的兩個一次方程是________和________
【答案】
【分析】原式因式分解后可得兩個一次方程.
【詳解】解：原式因式分解后可得，
化為兩個一次方程可得.
故答案為.
【點睛】此題主要考查了二元二次方程降次的方法，解題的關(guān)鍵是利用因式分解把原方程變?yōu)閮蓚€一次方程解決問題．
12．（2019·上海松江區(qū)·八年級期中）已知是二元二次方程的一個解，那么的值是_____________．
【答案】9
【分析】將代入方程得到關(guān)于a的一元一次方程，然后求解方程即可.
【詳解】解：將代入方程得，a﹣8=1，
解得a=9.故答案為：9.
【點睛】本題主要考查方程的解，解此題的關(guān)鍵在于熟記方程的解滿足方程兩邊相等.
三、解答題
13．（2019·上海浦東新區(qū)·八年級期末）解方程：.
【答案】
【分析】先移項，再兩邊平方，即可得出一個一元二次方程，求出方程的解，最后進行檢驗即可．
【詳解】解：移項得：，
兩邊平方得：，
整理得：，
解得：，，
經(jīng)檢驗不是原方程的解，舍去，
∴是原方程的解.
【點睛】本題考查了解無理方程的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是能把無理方程轉(zhuǎn)化成有理方程，注意：解無理方程一定要進行檢驗．
14．（2019·上海市閔行區(qū)七寶第二中學(xué)八年級期中）
【答案】
【分析】根據(jù)解無理方程的一般步驟求解即可.
【詳解】解：



解得，
經(jīng)檢驗是原方程的增根，
所以原方程的解為
【點睛】本題主要考查解無理方程，去掉根號把無理方程化成有理方程是解題的關(guān)鍵，注意無理方程需驗根．需要同學(xué)們仔細掌握．
15．（2019·上海金山區(qū)·）解方程：x+=3．
【答案】x=2．
【分析】移項后兩邊平方，即可得出一個一元二次方程，求出方程的解即可．
【詳解】解：x+=3，
移項得：=3-x，
兩邊平方得：2x-3=(3-x)2，
整理得：x2-8x+12=0，
解得：x1=2，x2=6，
∵2x-3≥0，所以x=2是原方程的解，x=6不是原方程的解，舍去，
∴原方程的解是x=2．
【點睛】本題考查了解無理方程，能把無理方程轉(zhuǎn)化成有理方程是解此題的關(guān)鍵．
16．（2019·上海靜安區(qū)·八年級期末）解方程：.
【答案】12
【分析】首先將無理方程轉(zhuǎn)化為有理方程,求得兩根,經(jīng)過檢驗無理方程，剔除增根即可.
【詳解】解:移項，得
兩邊平方，得
化簡，得
兩邊平方，得，
化簡整理，得，
解這個方程，得
經(jīng)檢驗：不是原方程的根舍去，是原方程的根.
所以原方程的根是
【點睛】此題考查無理方程，解題關(guān)鍵在于掌握運算法則以及檢驗方程是否存在增根.
17．（2019·上海浦東新區(qū)·八年級期中）解方程：x?1+2x=3
【答案】x=54
【分析】先移項，再兩邊平方可得關(guān)于x的整式方程，解之求得x的值，再根據(jù)二次根式的雙重非負性得出x的范圍，從而確定x的值．
【詳解】解：x?1=3?2x，
x?1=9?12x+4x2，
4x2?13x+10=0，
解得：x1=2，x2=54.
經(jīng)檢驗，x1=2是增根，舍去.
x2=54是原方程的解.
∴原方程的解為x=54.
【點睛】本題主要考查解無理方程，解無理方程的基本思想是把無理方程轉(zhuǎn)化為有理方程來解，在變形時要注意根據(jù)方程的結(jié)構(gòu)特征選擇解題方法.常用的方法有：乘方法，配方法，因式分解法，設(shè)輔助元素法，利用比例性質(zhì)法等．
18．（2019·上海松江區(qū)·八年級期末）解方程
【答案】，．
【分析】先把化為，得到或，再分別聯(lián)立求出x,y即可．
【詳解】可以化為：，
所以：或
原方程組可以化為：（Ⅰ）與（Ⅱ）
解（Ⅰ）得，解（Ⅱ）得
答：原方程組的解為與．
【點睛】此題主要考查二元方程的求解，解題的關(guān)鍵是把原方程變形成兩個二元一次方程組進行求解．
19．（2019·上海普陀區(qū)·八年級期末）解方程組：．
【答案】．
【分析】將①分解因式可得，再將將②代入③后得，然后與②組成可得
【詳解】解：由①得．③
將②代入③，得．④
得方程組，
解得，
所以原方程組的解是．
【點睛】本題考查了解二元二次方程組，解題思路是降次，可以利用代入法或分解因式，達到降次的目的．
20．（2019·上海金山區(qū)·）解方程組：
【答案】，
【分析】先將第1個方程變形為x＋2y＝3，x＋2y＝﹣3，從而得到兩個二元一次方程組，再分別求解即可．
【詳解】解：
方程①可變形為
得：，
它們與方程②分別組成方程組，得；
或
解得，
所以，原方程組的解是，
【點睛】本題考查的是高次方程，關(guān)鍵是通過分解，把高次方程降次，得到二元一次方程組，用到的知識點是因式分解、加減法．
21．（2019·上海浦東新區(qū)·八年級期末）解方程:
【答案】
【分析】本題可用代入消元法進行求解，即把方程2寫成x=-1-y，代入方程1，得到一個關(guān)于y的一元二次方程，求出y值，進而求x．
【詳解】解：
由（2）得：（3）
把（3）代入（1）：
∴
∴
原方程組的解是
【點睛】本題中考查了由一個二元一次方程和一個二元二次方程組成的方程組的解法，可用代入法求解．
22．（2019·上海市民辦新和中學(xué)）解方程組：
【答案】：
【分析】把(2)變形后代入(1)便可解得答案
【詳解】
由②得:x=y-1
代入①得:,
分別代入②得:，
故原方程組的解為：
【點睛】此題考查高次方程，解題關(guān)鍵在于掌握運算法則
能力提升
一、填空題
1．（2019·上海八年級單元測試）若關(guān)于x的方程-2x+m+4020=0存在整數(shù)解，則正整數(shù)m的所有取值的和為___________.
【答案】18
【分析】將原方程變形為m=2x-4020，由m為正整數(shù)、被開方數(shù)非負，可得出2010≤x≤2018，依此代入各值求出m的值，再將是正整數(shù)的m的值相加即可得出結(jié)論．
【詳解】
原題可得：m=2x-4020，
∵m為正整數(shù)，
∴m≥0，
∴2x-4020≥0，
∴x≥2010．
∵2018-x≥0，
∴x≤2018，
∴2010≤x≤2018．
當(dāng)x=2010時，2m=0，m=0，不符合題意；
當(dāng)x=2011時，m=2，m=，不符合題意；
當(dāng)x=2012時，m=4，m=，不符合題意；
當(dāng)x=2013時，m=6，m=，不符合題意；
當(dāng)x=2014時，2m=8，m=4；
當(dāng)x=2015時，m=10，m=，不符合題意；
當(dāng)x=2016時，m=12，m=6，不符合題意；
當(dāng)x=2017時，m=14；
當(dāng)x=2018時，0=16，不成立．
∴正整數(shù)m的所有取值的和為4+14=18．
故答案為18．
【點睛】本題考查了無理方程，由被開方數(shù)非負及m為正整數(shù)，找出x的取值范圍是解題的關(guān)鍵．
2．（2019·上海市市西初級中學(xué)八年級期中）方程=-x的解是__________ ；
【答案】x=0
【解析】兩邊平方，得，
分解因式，得，
解得，
經(jīng)檢驗，不符合題意，舍去，所以原方程的解為x=0.故答案為x=0.
二、解答題
3．（2019·上海民辦張江集團學(xué)校八年級月考）
【答案】或，
【分析】此方程可用換元法解方程．設(shè)，則．
【詳解】解：設(shè)，則，原方程可化為，
兩邊同時乘以得，
，
解得或，
①當(dāng)時，，
兩邊平方得，，
解得：；
②當(dāng)時，，
兩邊平方得，，
解得．
檢驗：把，，分別代入，均不為0，都是原方程的解．
【點睛】本題主要考查了換元法解方程，在解復(fù)雜結(jié)構(gòu)方程時最常用的方法是換元法，一般方法是通過觀察確定用來換元的式子，如本題中設(shè)換元法解方程．設(shè)，則，需要注意的是用來換元的式子為，．
4．（2019·上海民辦張江集團學(xué)校八年級月考）
【答案】，
【分析】先變形為，兩邊平方、整理得，再兩邊平方、整理成一元二次方程，解之可得．
【詳解】解：，
，
則，
整理，得：，
兩邊平方，整理，得：，
解得，，
經(jīng)檢驗和均符合題意，
則原無理方程的解為，．
【點睛】本題主要考查無理方程，解無理方程的基本思想是把無理方程轉(zhuǎn)化為有理方程來解，在變形時要注意根據(jù)方程的結(jié)構(gòu)特征選擇解題方法． 常用的方法有：乘方法，配方法，因式分解法，設(shè)輔助元素法，利用比例性質(zhì)法等．
5．（2018·上海奉賢區(qū)·八年級期末）解方程組：x2?2y2=xyx?y=4
【答案】y1=4x1=8，y2=?2x2=2．
【分析】先由①得x=4+y，將x=4+y代入②，得到關(guān)于y的一元二次方程，解出y的值，再將y的值代入x=4+y求出x的值即可.
【詳解】
解：x2?2y2=xy……②.x?y=4……①,
由①得：x=4+y③，
把③代入②得：（4+y）2-2y2=（4+y）y，
解得：y1=4，y2=-2，
代入③得：當(dāng)y1=4時，x1=8，
當(dāng)y2=-2時，x2=2，
所以原方程組的解為：y1=4x1=8，y2=?2x2=2．
故答案為：y1=4x1=8，y2=?2x2=2.
【點睛】本題考查了解高次方程.
6．（2018·上海金山區(qū)·八年級期末）解方程組x2?4xy+4y2=4y=x+1
【答案】原方程組的解為：y1=?3x1=?4，y2=1x2=0
【分析】把第一個方程代入第二個方程，得到一個關(guān)于x的一元二次方程，解方程求出x，把x代入第一個方程，求出y即可.
【詳解】解：x2?4xy+4y2=4……②.y=x+1……①,
把①代入②得：x2-4x（x+1）+4（x+1）2=4，
x2+4x=0，
解得：x=-4或x=0，
當(dāng)x=-4時，y=-3，
當(dāng)x=0時，y=1，
所以原方程組的解為：y1=?3x1=?4，y2=1x2=0．
故答案為：y1=?3x1=?4，y2=1x2=0．
【點睛】本題考查了解高次方程，降次是解題的基本思想.
7.解下列方程：
（1）； （4）．
【難度】★★
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）整理得，兩邊平方并整理得：，
解得：，經(jīng)檢驗，都是原方程的兩個根；
（2）整理得，即，
因式分解得，因為，所以，
解得：，經(jīng)檢驗都是原方程的根．
【總結(jié)】考察無理方程的解法，注意解完后要驗根．
8.解方程：．
【難度】★★
【答案】．
【解析】觀察方程，先分母有理化，
化簡得，整理得，
兩邊平方得并整理得：，解得：，經(jīng)檢驗是原方程的根．
【總結(jié)】考察無理方程的解法，注意驗根．
9.解下列方程：
（1）；（2）．
【難度】★★
【答案】（1）；（2）．
【解析】(1)由?因式分解得，由?因式分解得，
所以原方程組可轉(zhuǎn)化為或或或，
分別解這四個方程組得原方程組的解為；
（2）由?因式分解得，由?整理得，
因式分解得，
所以原方程組可轉(zhuǎn)化為或或或，
分別解這四個方程組得原方程組的解為：．
【總結(jié)】考察利用因式分解法解二元二次方程組．
10.解下列方程或方程組：
（1）； （2）．
【難度】★★★
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）設(shè),則，所以原方程可轉(zhuǎn)化為
，整理為，因式分解為，因為，
所以．代入中，，兩邊平方得，
整理得，因式分解為，得，
經(jīng)檢驗都是原方程的解；
（2）?－?得，整理得，
因式分解為，從而得或者．
所以原方程組可以轉(zhuǎn)化為和兩個方程，
分別解這兩個方程組得原方程組的解為：．
【總結(jié)】考察方程(組)的解法，注意無理方程解完后要檢驗．
11.若關(guān)于x、y的方程組恰有兩個不同的實數(shù)解，求實數(shù)a的范圍．
【難度】★★★
【答案】．
【解析】由?得代入?，得，整理得，
當(dāng)方程有兩個相等的正實數(shù)根時，則兩解，∴∴
當(dāng)方程有兩個不相等的實數(shù)根，且兩根異號，則，
∴-1

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