一、無理方程
方程中含有根式，且被開方數(shù)是含有未知數(shù)的代數(shù)式，這樣的方程叫做無理方程.
要點(diǎn)：
簡(jiǎn)單說，根號(hào)下含有未知數(shù)的方程，就是無理方程．
二、有理方程
整式方程和分式方程統(tǒng)稱為有理方程.
三、代數(shù)方程
有理方程和無理方程統(tǒng)稱為代數(shù)方程.
要點(diǎn)：
代數(shù)方程的共同點(diǎn)是：其中對(duì)未知數(shù)所涉及的運(yùn)算是加、減、乘、除、乘方、開方等基本運(yùn)算.
四、解無理方程的一般步驟
1.含有一個(gè)根式（根式內(nèi)有未知數(shù)的）的無理方程的解題步驟：
①移項(xiàng)，使方程左邊是含未知數(shù)的根式，其余都移到另一邊；
②兩邊同時(shí)乘方（若二次根式就平方，三次根式就立方）得整式方程；
③解整式方程；
④驗(yàn)根；
⑤寫答案.
要點(diǎn)：
解簡(jiǎn)單無理方程的一般步驟，用流程圖表示為：
2.含有兩個(gè)根式（根式內(nèi)含有未知數(shù)）的無理方程的解題步驟：
①移項(xiàng)，使方程等式的左邊只含一個(gè)根式，其余移到另一邊；
②兩邊同時(shí)平方，得到只含有一個(gè)根式的無理方程；
以下與1步驟相同.
要點(diǎn)：
解無理方程的關(guān)鍵在于把它轉(zhuǎn)化為有理方程，轉(zhuǎn)化的基本方法是對(duì)方程兩邊同時(shí)乘方從而去掉根號(hào)，對(duì)于簡(jiǎn)單的無理方程，可通過“方程兩邊平方”來實(shí)施。
五、代數(shù)方程分類整式方程
有理方程
分式方程
代數(shù)方程
無理方程
六、二元二次方程
1. 定義：僅含有兩個(gè)未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項(xiàng)的最高次數(shù)是2的整式方程，叫做二元二次方程.
要點(diǎn)詮釋：
（a、b、c、d、e、f都是常數(shù)，且a、b、c中至少有一個(gè)不為零），其中叫做這個(gè)方程的二次項(xiàng)，a、b、c分別叫做二次項(xiàng)系數(shù)，叫做這個(gè)方程的一次項(xiàng)，d、e分別叫做一次項(xiàng)系數(shù)，f叫做這個(gè)方程的常數(shù)項(xiàng).
2.二元二次方程的解
能使二元二次方程左右兩邊的值相等的一對(duì)未知數(shù)的值，叫做二元二次方程的解.
要點(diǎn)：
二元二次方程有無數(shù)個(gè)解；二元二次方程的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)有多種情況.
七、二元二次方程組
1.概念：僅含有兩個(gè)未知數(shù)，各方程都是整式方程，并且含有未知數(shù)的項(xiàng)的最高次數(shù)為2，這樣的方程組叫做二元二次方程組.
要點(diǎn)：
不能認(rèn)為由兩個(gè)二元二次方程組成的方程組才叫二元二次方程組，由一個(gè)二元一次方程和一個(gè)二元二次方程組成的方程組，也是二元二次方程組.
2. 二元二次方程組的解:
方程組中所含各方程的公共解叫做這個(gè)方程組的解.
八、二元二次方程組的解法
代入消元法
代入消元法解“二·一”型二元二次方程組的一般步驟：
①把二元一次方程中的一個(gè)未知數(shù)用另一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式表示；
②把這個(gè)代數(shù)式代入二元二次方程，得到一個(gè)一元二次方程；
③解這個(gè)一元二次方程，求得未知數(shù)的值；
④把所求得的未知數(shù)的值分別代入二元一次方程，求得另一個(gè)未知數(shù)的值；
⑤所得的一個(gè)未知數(shù)的值和相應(yīng)的另一個(gè)未知數(shù)的值分別組在一起，就是原方程組的解；
⑥寫出原方程組的解.
要點(diǎn)：
（1）解一元二次方程、分式方程和無理方程的知識(shí)都可以運(yùn)用于解“二·一”型方程組；
（2）“二·一”型方程組最多有兩個(gè)解，要防止漏解和增解的錯(cuò)誤.
2、因式分解法
(1) 當(dāng)方程組中只有一個(gè)可分解為兩個(gè)二元一次方程的方程時(shí)，可將分解得到的兩個(gè)二元一次方程分別與原方程組中的另一個(gè)二元二次方程組成兩個(gè)“二·一”型方程組，解得這兩個(gè)“二·一”型方程組，所得的解都是原方程組的解.
(2) 當(dāng)方程組中兩個(gè)二元二次方程都可以分解為兩個(gè)二元一次方程時(shí)，將第一個(gè)二元二次方程分解所得到的每一個(gè)二元一次方程與第二個(gè)二元二次方程分解所得的每一個(gè)二元一次方程組成新的方程組，可得到四個(gè)二元一次方程組，解這四個(gè)二元一次方程組，所得的解都是原方程組的解.
九、方程（組）的應(yīng)用
應(yīng)用二元二次方程組解應(yīng)用題的一般步驟：
（1）審題；（2）設(shè)未知數(shù)（2個(gè)）；（3）列二元二次方程組；（4）解方程組；（5）檢驗(yàn)是否是方程的解以及是否符合實(shí)際；（6）寫出答案.
要點(diǎn)：
一定要檢驗(yàn)一下結(jié)果是否符合實(shí)際問題的要求.
題型1：無理方程的概念
1．以下方程是無理方程的是（ ）
A．B．
C．D．
題型2：解無理方程
2．下列說法正確的是（ ）
A．方程無實(shí)數(shù)根
B．方程變形所得有理方程為
C．方程的根是
D．關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)根，那么
3．解方程：．
4．解方程：2x1．
5．解方程：2x2﹣3x+2x1．
題型3：有無實(shí)數(shù)根的問題
6．下列方程中，有實(shí)數(shù)根的是（ ）
A．B．C．D．
7．下列方程中，有實(shí)數(shù)解的是（ ）
A．B．
C．D．
8．下列關(guān)于的方程中，一定有實(shí)數(shù)解的是（ ）
A．B．
C．D．
9．在下列方程中，無實(shí)數(shù)根的方程有（ ）
①； ②； ③；
④； ⑤； ⑥．
A．2B．3C．4D．5
題型4：無理數(shù)的解（求參）
10．如果關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根，那么的值是（ ）
A．B．C．D．
題型5：二元二次方程與二元二次方程組
11．請(qǐng)寫出一個(gè)解是的二元二次方程，這個(gè)方程可以是_____．
12．下列方程組中是二元二次方程組的是（ ）
A．B．C．D．
13．把二元二次方程化成兩個(gè)一次方程，則這兩個(gè)一次方程分別是：__________和__________．
題型6：二元二次方程（組）的解與解二元二次方程組
14．已知______（填“是”或“不是”）方程的解．
15．方程組的解是（ ）
A．B．C．D．
16．由方程組消去y后化簡(jiǎn)得到的方程是（ ）
A．2x2﹣2x﹣6＝0B．2x2+2x+5＝0C．2x2+5＝0D．2x2﹣2x+5＝0
17．二元二次方程組的解的個(gè)數(shù)是（ ）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
A．B．±C．D．±
19．解方程組：
20．解方程組：．
一、單選題
1．下列說法正確的是（ ）
A．是二項(xiàng)方程B．是無理方程
C．是分式方程D．是二元二次方程
2．下列方程中，有實(shí)數(shù)解的是（ ）
A．B．
C．D．
3．下列方程，有實(shí)數(shù)解的是（ ）
A．B．
C．D．
4．下列方程組中是二元二次方程組的是（ ）
A．B．C．D．
5．下列二次方程中能化成兩個(gè)一次方程的個(gè)數(shù)是（ ）
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）
A．2B．3C．4D．5
6．解方程組的可行方法是（ ）
A．將①式分解因式B．將②式分解因式
C．將①②式分解因式D．加減消元
7．下列各對(duì)未知數(shù)的值中，是方程組的解的是（ ）
A．B．C．D．
8．方程組的解是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．方程組在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)（ ）
A．有1組解
B．有2組解
C．有4組解
D．有多于4組的解
10．方程有解但無不同的解時(shí)，a=（ ）
A．1B．0C．﹣D．﹣1
二、填空題
11．方程的根是______．
12．方程的解是____________．
13．下列方程：，，，無實(shí)數(shù)根的方程有________個(gè)．
14．若關(guān)于的方程在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有兩解，則的取值范圍是________．
15．方程＝0的解是 _____．
16．把方程組，化成兩個(gè)二元二次方程組是______．
17．把二元二次方程x2﹣y2﹣2x+2y＝0化成兩個(gè)一次方程，那么這兩個(gè)一次方程分別是__和__．
18．方程組的解為 ___．
19．關(guān)于x、y的方程組有實(shí)數(shù)解，則m的取值范圍是 ___．
20．如果，那么的值為_________________．
三、解答題
21．解方程3﹣2﹣＝x．
22．解方程：
23．已知a＞1，解方程：＝x．
24．解方程組：．
25．解方程組：．
26．（1）解方程組：；
（2）解方程組：．
27．解方程組：
28．解方程
(1)解無理方程：﹣＝1；
(2)已知關(guān)于x的方程+m+x＝3有一個(gè)實(shí)數(shù)根是x＝1，試求m的值．
29．“程，課程也，二物者二程，三物者三程，皆如物數(shù)程之，并列為行，故謂之方程．”這是我國(guó)古代著名數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)》對(duì)方程一詞給出的注釋．對(duì)于一些特殊的方程，我們給出兩個(gè)定義：①若兩個(gè)方程有相同的一個(gè)解，則稱這兩個(gè)方程為“相似方程”：②若兩個(gè)方程有相同的整數(shù)解，則稱這兩個(gè)方程為“相伴方程”．
(1)判斷分式方程與無理方程是否是“相似方程”，并說明理由；
(2)已知關(guān)于x，y的方程：和，它們是“相似方程”嗎？如果是，請(qǐng)寫出它們的公共解；如果不是，請(qǐng)說明理由；
(3)已知關(guān)于x，y的二元一次方程：和（其中k為常數(shù)）是“相伴方程”，求k的值.
21.4-21.6無理方程、二元二次方程（組）
一、無理方程
方程中含有根式，且被開方數(shù)是含有未知數(shù)的代數(shù)式，這樣的方程叫做無理方程.
要點(diǎn)：
簡(jiǎn)單說，根號(hào)下含有未知數(shù)的方程，就是無理方程．
二、有理方程
整式方程和分式方程統(tǒng)稱為有理方程.
三、代數(shù)方程
有理方程和無理方程統(tǒng)稱為代數(shù)方程.
要點(diǎn)：
代數(shù)方程的共同點(diǎn)是：其中對(duì)未知數(shù)所涉及的運(yùn)算是加、減、乘、除、乘方、開方等基本運(yùn)算.
四、解無理方程的一般步驟
1.含有一個(gè)根式（根式內(nèi)有未知數(shù)的）的無理方程的解題步驟：
①移項(xiàng)，使方程左邊是含未知數(shù)的根式，其余都移到另一邊；
②兩邊同時(shí)乘方（若二次根式就平方，三次根式就立方）得整式方程；
③解整式方程；
④驗(yàn)根；
⑤寫答案.
要點(diǎn)：
解簡(jiǎn)單無理方程的一般步驟，用流程圖表示為：
2.含有兩個(gè)根式（根式內(nèi)含有未知數(shù)）的無理方程的解題步驟：
①移項(xiàng)，使方程等式的左邊只含一個(gè)根式，其余移到另一邊；
②兩邊同時(shí)平方，得到只含有一個(gè)根式的無理方程；
以下與1步驟相同.
要點(diǎn)：
解無理方程的關(guān)鍵在于把它轉(zhuǎn)化為有理方程，轉(zhuǎn)化的基本方法是對(duì)方程兩邊同時(shí)乘方從而去掉根號(hào)，對(duì)于簡(jiǎn)單的無理方程，可通過“方程兩邊平方”來實(shí)施。
五、代數(shù)方程分類整式方程
有理方程
分式方程
代數(shù)方程
無理方程
六、二元二次方程
1. 定義：僅含有兩個(gè)未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項(xiàng)的最高次數(shù)是2的整式方程，叫做二元二次方程.
要點(diǎn)詮釋：
（a、b、c、d、e、f都是常數(shù)，且a、b、c中至少有一個(gè)不為零），其中叫做這個(gè)方程的二次項(xiàng)，a、b、c分別叫做二次項(xiàng)系數(shù)，叫做這個(gè)方程的一次項(xiàng)，d、e分別叫做一次項(xiàng)系數(shù)，f叫做這個(gè)方程的常數(shù)項(xiàng).
2.二元二次方程的解
能使二元二次方程左右兩邊的值相等的一對(duì)未知數(shù)的值，叫做二元二次方程的解.
要點(diǎn)：
二元二次方程有無數(shù)個(gè)解；二元二次方程的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)有多種情況.
七、二元二次方程組
1.概念：僅含有兩個(gè)未知數(shù)，各方程都是整式方程，并且含有未知數(shù)的項(xiàng)的最高次數(shù)為2，這樣的方程組叫做二元二次方程組.
要點(diǎn)：
不能認(rèn)為由兩個(gè)二元二次方程組成的方程組才叫二元二次方程組，由一個(gè)二元一次方程和一個(gè)二元二次方程組成的方程組，也是二元二次方程組.
2. 二元二次方程組的解:
方程組中所含各方程的公共解叫做這個(gè)方程組的解.
八、二元二次方程組的解法
代入消元法
代入消元法解“二·一”型二元二次方程組的一般步驟：
①把二元一次方程中的一個(gè)未知數(shù)用另一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式表示；
②把這個(gè)代數(shù)式代入二元二次方程，得到一個(gè)一元二次方程；
③解這個(gè)一元二次方程，求得未知數(shù)的值；
④把所求得的未知數(shù)的值分別代入二元一次方程，求得另一個(gè)未知數(shù)的值；
⑤所得的一個(gè)未知數(shù)的值和相應(yīng)的另一個(gè)未知數(shù)的值分別組在一起，就是原方程組的解；
⑥寫出原方程組的解.
要點(diǎn)：
（1）解一元二次方程、分式方程和無理方程的知識(shí)都可以運(yùn)用于解“二·一”型方程組；
（2）“二·一”型方程組最多有兩個(gè)解，要防止漏解和增解的錯(cuò)誤.
2、因式分解法
(1) 當(dāng)方程組中只有一個(gè)可分解為兩個(gè)二元一次方程的方程時(shí)，可將分解得到的兩個(gè)二元一次方程分別與原方程組中的另一個(gè)二元二次方程組成兩個(gè)“二·一”型方程組，解得這兩個(gè)“二·一”型方程組，所得的解都是原方程組的解.
(2) 當(dāng)方程組中兩個(gè)二元二次方程都可以分解為兩個(gè)二元一次方程時(shí)，將第一個(gè)二元二次方程分解所得到的每一個(gè)二元一次方程與第二個(gè)二元二次方程分解所得的每一個(gè)二元一次方程組成新的方程組，可得到四個(gè)二元一次方程組，解這四個(gè)二元一次方程組，所得的解都是原方程組的解.
九、方程（組）的應(yīng)用
應(yīng)用二元二次方程組解應(yīng)用題的一般步驟：
（1）審題；（2）設(shè)未知數(shù)（2個(gè)）；（3）列二元二次方程組；（4）解方程組；（5）檢驗(yàn)是否是方程的解以及是否符合實(shí)際；（6）寫出答案.
要點(diǎn)：
一定要檢驗(yàn)一下結(jié)果是否符合實(shí)際問題的要求.
題型1：無理方程的概念
1．以下方程是無理方程的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】無理方程就是根號(hào)下含有未知數(shù)的方程．
【解析】解：根據(jù)無理方程的概念可知：選項(xiàng)D為無理方程，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查無理方程的概念，解題的關(guān)鍵是正確理解無理方程的概念，本題屬于基礎(chǔ)題型．
題型2：解無理方程
2．下列說法正確的是（ ）
A．方程無實(shí)數(shù)根
B．方程變形所得有理方程為
C．方程的根是
D．關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)根，那么
【答案】D
【分析】根據(jù)解各個(gè)選項(xiàng)中的方程，并判斷是否符合題意，從而得出答案．
【解析】解：A、∵，兩邊平方得x+4=x2，
∴x2-x-4=0，解得：x=，經(jīng)檢驗(yàn)，x=是增根，x=是原方程的根，故此選不符合題意；
B、方程變形所得有理方程為，故此選不符合題意；
C、∵，兩邊平方得2x+3=x2，
∴x2-2x-3=0，解得：x1=3，x2=-1，經(jīng)檢驗(yàn)，x1=3是原方程的根，x2=-1不是原方程的根，是增根，故此選不符合題意；
D、把x=1代入，得，解得：m=-1，經(jīng)檢驗(yàn)，m=-1是方程的根，故此選符合題意；
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查無理方程，解答本題的關(guān)鍵是明確無理方程的解法，注意無理方程要檢驗(yàn)．
3．解方程：．
【答案】
【分析】先把移到方程的右邊，兩邊平方，化簡(jiǎn)后再次平方，然后解一元二次方程，最后檢驗(yàn)即可.
【解析】解：
兩邊平方化簡(jiǎn)，
兩邊平方化簡(jiǎn)．
解之得，
檢驗(yàn)：將代入原方程，左邊右邊，舍去．
所以原方程的解為．
【點(diǎn)睛】本題考查了解無理方程，以及解一元二次方程，通過平方把無理方程化為有理方程是解答本題的關(guān)鍵.
4．解方程：2x1．
【答案】x0
【分析】移項(xiàng)后兩邊平方，然后解關(guān)于x的一元二次方程，再檢驗(yàn)即可．
【解析】解：移項(xiàng)，得，
兩邊平方，得，
解得：，，
經(jīng)檢驗(yàn)x＝0是原方程的解，x不是原方程的解，
所以原方程的解是x0．
【點(diǎn)睛】本題考查了解無理方程，各類方程的解法不盡相同，但是它們有一個(gè)共同的基本數(shù)學(xué)思想??轉(zhuǎn)化，把未知轉(zhuǎn)化為已知．
5．解方程：2x2﹣3x+2x1．
【答案】x＝1
【分析】根據(jù)完全平方公式，把原方程進(jìn)行變形，然后化為整式方程，即可求出方程的解．
【解析】解：x2+2xx2﹣3x+3＝4，
∴（x）2＝4，
∴x2或x2，
當(dāng)x2時(shí)，
則2﹣x，
化為整式方程得：，
解得：x＝1；
當(dāng)x2，
則x﹣2，
化為整式方程得：
解得：x；
經(jīng)檢驗(yàn)，原方程的解為x＝1．
【點(diǎn)睛】本題考查了解無理方程：解無理方程的基本思想是把無理方程轉(zhuǎn)化為有理方程來解，在變形時(shí)要注意根據(jù)方程的結(jié)構(gòu)特征選擇解題方法． 常用的方法有：乘方法，配方法，因式分解法，設(shè)輔助元素法，利用比例性質(zhì)法等．解無理方程，往往會(huì)產(chǎn)生增根，應(yīng)注意驗(yàn)根．
題型3：有無實(shí)數(shù)根的問題
6．下列方程中，有實(shí)數(shù)根的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】分別根據(jù)分式方程、無理方程的解法，判斷、解答即可
【解析】A、解得x=2，而分式方程分母不為零才有意義，故舍去，本選項(xiàng)不符合題意
B、，所以一元二次方程無解，本選項(xiàng)不符合題意
C、兩邊平方后，解得x=0或x=1，經(jīng)檢驗(yàn)都是符合方程的根，本選項(xiàng)符合題意
D、根據(jù)算術(shù)平方根的非負(fù)性知此無理方程無意義，本選項(xiàng)不符合題意
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了無理方程、分式方程、一元二次方程的解法，在解答無理、分式方程時(shí)，x的取值必須使方程有意義，注意驗(yàn)根．
7．下列方程中，有實(shí)數(shù)解的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】移項(xiàng)后得出，根據(jù)算術(shù)平方根的非負(fù)性即可判斷選項(xiàng)A；方程兩邊都乘得出，再進(jìn)行檢驗(yàn)即可判斷選項(xiàng)B；根據(jù)二次根式有意義的條件得出且，求出，再進(jìn)行檢驗(yàn)即可判斷選項(xiàng)C；方程兩邊平方得出，求出方程的解，再進(jìn)行檢驗(yàn)即可判斷選項(xiàng)D．
【解析】解：A：，
，
不論為何值，，不能為負(fù)數(shù)，
此方程無實(shí)數(shù)根，故本選項(xiàng)不符合題意；
B：，
方程兩邊都乘，得，
檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，是增根，
即原分式方程無實(shí)數(shù)根，故本選項(xiàng)不符合題意；
C：，
要使有意義，必須且，
解得：，
經(jīng)檢驗(yàn)不是原方程的解，
即原方程無實(shí)數(shù)根，故本選項(xiàng)不符合題意；
D：，
方程兩邊平方，得，
解得：，
經(jīng)檢驗(yàn)都是原方程的解，
即原方程的解是，，故本選項(xiàng)符合題意；
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了解無理方程，解分式方程和二次根式有意義的條件等知識(shí)點(diǎn)，能把解無理方程轉(zhuǎn)化成有理方程和能把分式方程轉(zhuǎn)化成整式方程是解此題的關(guān)鍵．
8．下列關(guān)于的方程中，一定有實(shí)數(shù)解的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】先解答選項(xiàng)中的各個(gè)方程，即可判斷那個(gè)選項(xiàng)中的方程一定有實(shí)數(shù)解，從而可以解答本題．
【解析】解：∵，
∴無解，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；
∵，得，
∴，
則Δ＝，故此方程無解，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；
∵，∴Δ＝，
∴一定有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故選項(xiàng)C正確；
∵，解得，x＝1，而x＝1時(shí)，x?1＝0，故此分式方程無解，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤；
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查無理方程、根的判別式、分式方程的解，解題的關(guān)鍵是明確無理方程根號(hào)里面的數(shù)或式子大于等于0，根的判別式△0時(shí)，方程有實(shí)數(shù)根，分式方程的解要使得原分式方程有意義．
9．在下列方程中，無實(shí)數(shù)根的方程有（ ）
①； ②； ③；
④； ⑤； ⑥．
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【分析】分別根據(jù)無理方程，一元二次方程，分式方程的求解方法求解判斷即可．
【解析】解：①∵，
∴，
∴方程無解，即沒有實(shí)數(shù)根，符合題意；
②∵，，
∴，
∴且，方程無解，即沒有實(shí)數(shù)根，符合題意；
③∵，
∴，即，
∴，
∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，不符合題意；
④∵，，
∴，
∴，
∴，
∴方程有實(shí)數(shù)根，不符合題意；
⑤∵，
∴，
∴，
∴方程沒有實(shí)數(shù)根，符合題意；
⑥
兩邊同時(shí)乘以得：，
∴，
∴，
∴，
經(jīng)檢驗(yàn)當(dāng)時(shí)，，
∴原方程無實(shí)數(shù)解，符合題意；
故選C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了無理方程，一元二次方程，分式方程，熟知相關(guān)方程的解法是解題的關(guān)鍵．
題型4：無理數(shù)的解（求參）
10．如果關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根，那么的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】把代入方程得出，再求出方程的解即可．
【解析】解：把代入方程，
得：，
兩邊平方得：，
解得：，
經(jīng)檢驗(yàn)是方程的解，
即，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了解無理方程和方程的解，能把無理方程轉(zhuǎn)化為有理方程是解此題的關(guān)鍵．
題型5：二元二次方程與二元二次方程組
11．請(qǐng)寫出一個(gè)解是的二元二次方程，這個(gè)方程可以是_____．
【答案】xy＝2（答案不唯一）
【分析】根據(jù)有兩個(gè)未知數(shù)，且方程中最高次是二次的方程是二元二次方程解答．
【解析】解：∵x＝2，y＝1，
∴xy＝2，且xy＝2是二元二次方程，
故答案為：xy＝2（答案不唯一）．
【點(diǎn)睛】本題考查高次方程的概念，掌握二元二次方程中未知數(shù)是兩個(gè)，且最高次是二次這個(gè)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
12．下列方程組中是二元二次方程組的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】含有兩個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是2，這樣的整式方程組是二元二次方程組，根據(jù)定義逐一分析即可．
【解析】解：不符合整式方程組的條件，故A不符合題意；
不符合整式方程組的條件，故B不符合題意；
的最高次項(xiàng)的次數(shù)是1，故C不符合題意；
符合二元二次方程組的條件，故D符合題意；
故選D
【點(diǎn)睛】本題考查二元二次方程組的識(shí)別，掌握該定義是求解本題的關(guān)鍵．
13．把二元二次方程化成兩個(gè)一次方程，則這兩個(gè)一次方程分別是：__________和__________．
【答案】
【分析】把方程則左邊分解因式，根據(jù)兩個(gè)式子的積是0，則至少有一個(gè)因式是0，即可轉(zhuǎn)化成兩個(gè)一次方程．
【解析】解：x2﹣2xy﹣3y2＝0
即（x﹣6y）（x＋y）＝0，
則這兩個(gè)一次方程分別是：x﹣6y＝0和x＋y＝0．
故答案是：x﹣6y＝0和x＋y＝0．
【點(diǎn)睛】本題考查了高次方程通過分解因式的方法轉(zhuǎn)化成兩個(gè)一次方程，降次是高次方程的基本思想．
題型6：二元二次方程（組）的解與解二元二次方程組
14．已知______（填“是”或“不是”）方程的解．
【答案】不是
【分析】把代入驗(yàn)證即可．
【解析】把代入，
左=1-4+4+1-2-2=-2≠右，
∴不是方程的解．
故答案為：不是．
【點(diǎn)睛】本題考查了方程的解，熟練掌握能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做方程的解是解答本題的關(guān)鍵．
15．方程組的解是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】將分解因式，將x?y＝1代入可得x＋y＝3，據(jù)此可求出x，y．
【解析】解：由得：（x＋y）（x?y）＝3，
∵x?y＝1①，
∴x＋y＝3②，
由①＋②得2x＝4，
解得：x＝2，
把x＝2代入x?y＝1得y＝1，
∴方程組的解為，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查解二元二次方程組，解題的關(guān)鍵是將二次方程通過因式分解和整體代換轉(zhuǎn)化為解二元一次方程組．
16．由方程組消去y后化簡(jiǎn)得到的方程是（ ）
A．2x2﹣2x﹣6＝0B．2x2+2x+5＝0C．2x2+5＝0D．2x2﹣2x+5＝0
【答案】D
【分析】根據(jù)題目中方程組的特點(diǎn)，由x﹣y﹣1＝0，可以得到y(tǒng)＝x-1，然后將x-1看成一個(gè)整體，換為y代入第二方程，再化簡(jiǎn)即可解答本題．
【解析】解：，
由①，得y＝x-1③，
將③代入②，得（x﹣1）2+x2+4＝0，
化簡(jiǎn)，得2x2﹣2x+5＝0，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查二元二次方程組，解答本題的關(guān)鍵是明確消元法，利用方程的思想解答．
17．二元二次方程組的解的個(gè)數(shù)是（ ）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【答案】C
【分析】先由方程①求出x，y的值，代入②，求解，即可得出結(jié)論．
【解析】解：，
由①得x＝﹣1或y＝2，
當(dāng)x＝﹣1時(shí)，代入②得∶y＝1，
當(dāng)y＝2時(shí)， 代入②得∶x＝±，
所以方程組的解或或．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查解方程的能力，體現(xiàn)數(shù)學(xué)中化歸思想，消元和降次是解此類問題的關(guān)鍵．
18．已知x，y滿足方程組．則的值為（ ）
A．B．±C．D．±
【答案】D
【分析】利用加減消元法化簡(jiǎn)原方程組，得出xy的值，再利用完全平方公式及開平方，得出x+2y的值，然后將要求的式子通分，最后將xy和x+2y的值代入即可得出答案．
【解析】解：
②×3﹣①×2得：3xy+4xy＝108﹣94
∴xy＝2③
將③代入②得：x2+4y2＝17
∴
＝x2+4y2+4xy
＝17+8
＝25
∴x+2y＝5或x+2y＝﹣5
∴＝＝±
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查解方程組，巧妙地運(yùn)用加減消元法化簡(jiǎn)得出的值，再利用完全平方公式得出的值是解題的關(guān)鍵．
19．解方程組：
【答案】方程組的解為：或．
【分析】先把方程①變形可得或，再把原方程組化為兩個(gè)二元一次方程組，再解兩個(gè)二元一次方程組即可．
【解析】解：，
由①得：，
∴或，
∴原方程組化為：或，
由可得：，
由可得：，
∴方程組的解為：或．
【點(diǎn)睛】本題考查的是二元二次方程組的解法，掌握“把二元二次方程組化為二元一次方程組的方法解題”是解本題的關(guān)鍵．
20．解方程組：．
【答案】
【分析】設(shè)，，解關(guān)于a、b的方程組求出的a、b值，再列出關(guān)于x和y的方程組求解即可.
【解析】解：設(shè)，，
則原方程組化為：，
解得：，
即，
解得：，
經(jīng)檢驗(yàn)是原方程組的解，
所以原方程組的解是．
【點(diǎn)睛】本題考查換元法解分式方程組，以及二元一次方程組的解法，掌握換元法是解答本題的關(guān)鍵.
一、單選題
1．下列說法正確的是（ ）
A．是二項(xiàng)方程B．是無理方程
C．是分式方程D．是二元二次方程
【答案】B
【分析】利用無理方程及二項(xiàng)方程以及高次方程的定義進(jìn)行判斷即可得到答案；
【解析】解：是一元二次方程，不是二項(xiàng)方程，故A不符合題意；
是無理方程，故B符合題意；
是一元一次方程，故C不符合題意；
是分式方程，故D不符合題意；
故選B．
【點(diǎn)睛】本題考查了無理方程及二項(xiàng)方程的定義，解題的關(guān)鍵是熟悉這些方程的定義．
2．下列方程中，有實(shí)數(shù)解的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】移項(xiàng)后得出，根據(jù)算術(shù)平方根的非負(fù)性即可判斷選項(xiàng)A；方程兩邊都乘得出，再進(jìn)行檢驗(yàn)即可判斷選項(xiàng)B；根據(jù)二次根式有意義的條件得出且，求出，再進(jìn)行檢驗(yàn)即可判斷選項(xiàng)C；方程兩邊平方得出，求出方程的解，再進(jìn)行檢驗(yàn)即可判斷選項(xiàng)D．
【解析】解：A：，
，
不論為何值，，不能為負(fù)數(shù)，
此方程無實(shí)數(shù)根，故本選項(xiàng)不符合題意；
B：，
方程兩邊都乘，得，
檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，是增根，
即原分式方程無實(shí)數(shù)根，故本選項(xiàng)不符合題意；
C：，
要使有意義，必須且，
解得：，
經(jīng)檢驗(yàn)不是原方程的解，
即原方程無實(shí)數(shù)根，故本選項(xiàng)不符合題意；
D：，
方程兩邊平方，得，
解得：，
經(jīng)檢驗(yàn)都是原方程的解，
即原方程的解是，，故本選項(xiàng)符合題意；
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了解無理方程，解分式方程和二次根式有意義的條件等知識(shí)點(diǎn)，能把解無理方程轉(zhuǎn)化成有理方程和能把分式方程轉(zhuǎn)化成整式方程是解此題的關(guān)鍵．
3．下列方程，有實(shí)數(shù)解的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】先移項(xiàng)，再根據(jù)算術(shù)平方根的非負(fù)性即可判斷A；方程兩邊都乘以x-2，求出x=2，再進(jìn)行檢驗(yàn)，即可判斷B；移項(xiàng)后開四次方，即可判斷C；根據(jù)算術(shù)平方根的非負(fù)性得出x-4=0且x-3=0，即可判斷D．
【解析】解：A、∵，
∴，
∵是非負(fù)數(shù)，
∴原方程無實(shí)數(shù)解，故本選項(xiàng)不符合題意；
B、，
方程兩邊都乘以x-2，得x=2，
檢驗(yàn)：當(dāng)x=2時(shí)，x-2=0，所以x=2是增根，
即原方程無實(shí)數(shù)解，故本選項(xiàng)不符合題意；
C、∵（x+2）4-1=0，
∴（x+2）4=1，
∴x+2=，
∴x1=-2+1=-1，x2=-2-1=-3，即方程有實(shí)數(shù)解，故本選項(xiàng)符合題意；
D、∵，
∴x-4=0且x-3=0，
∴x不存在，
即原方程無實(shí)數(shù)解，故本選項(xiàng)不符合題意；
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了解無理方程，算術(shù)平方根，四次方根，解分式方程等知識(shí)點(diǎn)，能把無理方程轉(zhuǎn)化成有理方程和把分式方程轉(zhuǎn)化成整式方程是解此題的關(guān)鍵．
4．下列方程組中是二元二次方程組的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)二元二次方程組的定義進(jìn)行判斷即可．
【解析】解：A是二元二次方程組，故選項(xiàng)符合題意；
B是三元二次方程組，故選項(xiàng)不合題意；
C是二元一次方程組，故選項(xiàng)不合題意；
D中含有無理方程，不是二元二次方程組，故選項(xiàng)不合題意；
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了高次方程，掌握二元二次方程組的定義是解決本題的關(guān)鍵．
5．下列二次方程中能化成兩個(gè)一次方程的個(gè)數(shù)是（ ）
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【分析】根據(jù)因式分解法逐一判斷即可．
【解析】解：（1），∴或；
（2），不能化成兩個(gè)一次方程
（3），∴或；
（4）方程可化為，即，∴或；
（5），∴或，
∴能化成兩個(gè)一次方程的有（1）、（3）、（4）、（5）
故答案為：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了二元二次方程的解法，解題的關(guān)鍵是熟練掌握因式分解法．
6．解方程組的可行方法是（ ）
A．將①式分解因式B．將②式分解因式
C．將①②式分解因式D．加減消元
【答案】C
【分析】由于組中的兩個(gè)二元二次方程都可以分解為兩個(gè)二元一次方程，所以先因式分解組中的兩個(gè)二元二次方程，再解答即可．
【解析】解：∵因式分解①得： ，
因式分解②得：
∴或，
將或代入中得到或，
得到方程組或，
解得：，
故答案為：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了二元二次方程組的解法，解題的關(guān)鍵是根據(jù)二元二次方程組的特點(diǎn)，進(jìn)行因式分解．
7．下列各對(duì)未知數(shù)的值中，是方程組的解的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】此題根據(jù)方程組的解的定義，運(yùn)用代入排除法即可作出選擇．
【解析】把四個(gè)選項(xiàng)的答案分別代入方程組，發(fā)現(xiàn)只有A中的答案適合兩個(gè)方程．
故選A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了方程組的解的定義．
8．方程組的解是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】用代入法解答，把x+2y=0化為x=﹣2y，代入（x﹣3）2+y2=9，整理得5y2+12y=0即可求解．
解：由x+2y=0可得x=﹣2y ①，將①代入（x﹣3）2+y2=9，整理得5y2+12y=0，解之得y1=0，y2=，
分別代入①可得x1=0，x2=．∴方程組的解是
故選A．
9．方程組在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)（ ）
A．有1組解
B．有2組解
C．有4組解
D．有多于4組的解
【答案】D
【解析】根據(jù)題意，分析分別就a、當(dāng)x≥0、y≥0時(shí)；b、當(dāng)x≥0、y≤0時(shí)；c、當(dāng)x≤0、y≥0時(shí)；當(dāng)x≤0、y≤0時(shí)四種情況，去掉決定值符號(hào)，分解因式聯(lián)立方程，利用根據(jù)與系數(shù)的關(guān)系即是否符號(hào)題意，來判斷方程組的解．
解：
a、當(dāng)x≥0、y≥0時(shí)，?
由①﹣②得 x2﹣y2﹣5（x+y）=0?（x+y）（x﹣y﹣5）=0，即x=﹣y或 x=y+5 ③
當(dāng)x=﹣y時(shí)，解得x=0，y=0，
當(dāng)x=y+5時(shí)，②③聯(lián)立得 y2﹣3y+5=0
∵△=9﹣20=﹣11＜0，
∴無解．
b、當(dāng)x≥0、y≤0時(shí)，?
由①﹣②得 x2﹣y2﹣5（x+y）=0?（x+y）（x﹣y﹣5）=0，即x=﹣y或x=y+5 ③
當(dāng)x=﹣y時(shí)，②③聯(lián)立得 y2+3y="0"
解得或
當(dāng)x=y+5時(shí)，②③聯(lián)立得 y2﹣3y+5="0"
∵△=9﹣20=﹣11＜0，
∴無解．
c、當(dāng)x≤0、y≥0時(shí)，?由①﹣②得 x2﹣y2+5（x+y）=0?（x+y）（x﹣y+5）=0，即x=﹣y或x=y﹣5 ③
當(dāng)x=﹣y時(shí)，②③聯(lián)立得 y2﹣3y="0"
解得或，
當(dāng)x=y﹣5時(shí)，②③聯(lián)立得 y2﹣5y+5="0"
∵△=25﹣20=5＞0，
∴方程有兩解．
d、當(dāng)x≤0、y≤0時(shí)，?
由①﹣②得 x2﹣y2+5（x﹣y）=0?（x﹣y）（x+y﹣5）=0，即x=y或x=﹣y+5 ③
當(dāng)x=y時(shí)，②③聯(lián)立得 y2+3y="0"
解得或（不合題意，舍去）
當(dāng)x=﹣y+5時(shí)，②③聯(lián)立得 y2+5y﹣5="0"
∵△=25+20=45＞0，
∴方程有兩解．
綜上所述，方程有7個(gè)解．
故選D．
10．方程有解但無不同的解時(shí)，a=（ ）
A．1B．0C．﹣D．﹣1
【答案】D
【解析】由題意知，原方程組有解，并且有相同的解，由一元二次方程根的判別式可以知道△=0，將原方程組轉(zhuǎn)化成一元二次方程就利用△=0就可以求出a=的值．
解：
由①﹣②，得4xy=2x
4xy﹣2x=0
2x（2y﹣1）=0
∴x=0或y=（與條件不符合，∵y=時(shí)方程①、②不相等）
∴當(dāng)x=0時(shí)
y2=a+2y
∴y2﹣2y﹣a=0
∴△=（﹣2）2﹣4（﹣a）=0
∴4+4a=0
∴a=﹣1．
故D答案正確．
故選D．
二、填空題
11．方程的根是______．
【答案】
【分析】首先把方程兩邊同時(shí)平方，去掉根號(hào)，然后解一元二次方程，最后檢驗(yàn)即可求解．
【解析】解：兩邊平方得，，
移項(xiàng)得：，
即，
解得，，
經(jīng)檢驗(yàn)，是增根，
∴方程的解為．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了解無理方程的方法，解題的關(guān)鍵是利用平方把方程的根號(hào)去掉，化無理方程為有理方程．
12．方程的解是____________．
【答案】
【分析】方程移項(xiàng)后兩邊平方，化無理方程為整式方程，求解并檢驗(yàn)即可．
【解析】解：移項(xiàng)，得，
兩邊平方，得，
整理，得，
所以．
經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了無理方程，解題的關(guān)鍵是掌握解無理方程的一般步驟，同時(shí)注意驗(yàn)根．
13．下列方程：，，，無實(shí)數(shù)根的方程有________個(gè)．
【答案】3
【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件判斷；移項(xiàng)后得出方程，根據(jù)算術(shù)平方根的非負(fù)性即可判斷；兩邊平方，求出方程的解，再進(jìn)行檢驗(yàn)即可判斷；
【解析】解：，
由二次根式有意義條件得：，
解得：不等式組無解，
∴此方程無實(shí)數(shù)根；
，
移項(xiàng)得：，
∵不論x為何值，
的值不能為負(fù)數(shù)，
∴此方程無實(shí)數(shù)根；
，
方程兩邊平方，得，
解得：x=1，
經(jīng)檢驗(yàn)x=1不是原方程的解，
∴此方程無實(shí)數(shù)根；
故答案為：3．
【點(diǎn)睛】本題考查了解無理方等知識(shí)點(diǎn)，能把無理方程轉(zhuǎn)化成有理方程是解此題的關(guān)鍵．
14．若關(guān)于的方程在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有兩解，則的取值范圍是________．
【答案】
【分析】先變形得，再化為整式方程得，利用判別式的意義得到，然后解不等式得到滿足條件的k的取值范圍．
【解析】解：，
兩邊平方得，
根據(jù)題意得，
整理得，解得或，
而，
所以k的取值范圍為．
故答案為．
【點(diǎn)睛】本題考查了解無理方程：解無理方程的基本思想是把無理方程轉(zhuǎn)化為有理方程來解，在變形時(shí)要注意根據(jù)方程的結(jié)構(gòu)特征選擇解題方法． 常用的方法有：乘方法，配方法，因式分解法，設(shè)輔助元素法，利用比例性質(zhì)法等．用乘方法解無理方程，往往會(huì)產(chǎn)生增根，應(yīng)注意驗(yàn)根．
15．方程＝0的解是 _____．
【答案】x＝2
【分析】根據(jù)已知得出＝0或＝0，則x?2＝0或x＋3＝0，求出x的值，再進(jìn)行檢驗(yàn)即可．
【解析】解：∵＝0，
∴＝0或＝0，
∴x?2＝0或x＋3＝0，
解得：x＝2或x＝?3，
經(jīng)檢驗(yàn)：x＝2是原方程的解，x＝?3不是原方程的解，
所以原方程的解是x＝2，
故答案為：x＝2．
【點(diǎn)睛】本題考查了解無理方程，能把無理方程轉(zhuǎn)化成有理方程是解此題的關(guān)鍵，注意別忘了檢驗(yàn)．
16．把方程組，化成兩個(gè)二元二次方程組是______．
【答案】，（答案不唯一）
【分析】可以把①×2得到③，用③和②組成一個(gè)新的二元二次方程組，把②×2得到④，用①和④組成一個(gè)新的二元二次方程組即可
【解析】解：
用①×2得：，②×2得，
∴②③組成新方程組為： ；
∴①④組成新的方程組為：，
故答案為：，（答案不唯一）
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二元二次方程組，熟知相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
17．把二元二次方程x2﹣y2﹣2x+2y＝0化成兩個(gè)一次方程，那么這兩個(gè)一次方程分別是__和__．
【答案】 x+y-2=0 x-y=0
【分析】把二元二次方程x2﹣y2﹣2x+2y＝0的左邊分解成幾個(gè)因式的積，可以變?yōu)椋▁+y﹣2）（x﹣y）＝0，進(jìn)而即可解決問題．
【解析】解：∵x2﹣y2﹣2x+2y＝0，
∴（x+y）（x﹣y）﹣2（x﹣y）＝0，
∴（x+y﹣2）（x﹣y）＝0，
∴x+y﹣2＝0或x﹣y＝0．
故答案為：x+y﹣2＝0或x﹣y＝0．
【點(diǎn)睛】本題主要考查二元二次方程的解法，掌握因式分解法解方程，是解題的關(guān)鍵．
18．方程組的解為 ___．
【答案】，，，
【分析】先求出方程組中每個(gè)一元二次方程的解，再得出原方程組的解即可．
【解析】解：，
解方程①，得或1，
解方程②，得或，
所以原方程組的解是，，，，
故答案為：，，，．
【點(diǎn)睛】本題考查了解高次方程組和解一元二次方程，能求出一元二次方程的解是解此題的關(guān)鍵．
19．關(guān)于x、y的方程組有實(shí)數(shù)解，則m的取值范圍是 ___．
【答案】
【分析】由①得出x=m+y③，把③代入②得出y2-2（m+y）+3y+4=0，整理后得出y2+y+（4-2m）=0，根據(jù)已知方程組有實(shí)數(shù)根和根的判別式得出12-4×1×（4-2m）≥0，求出不等式的解集即可．
【解析】解：，
由①，得③，
把③代入②，得，
整理得：，
關(guān)于、的方程組有實(shí)數(shù)解，
，
解得：，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了解二元一次方程組，根的判別式，解一元一次不等式等知識(shí)點(diǎn)，能把方程組轉(zhuǎn)化成一元二次方程是解此題的關(guān)鍵．
20．如果，那么的值為_________________．
【答案】
【分析】方程組的三個(gè)方程輪循環(huán)對(duì)稱，可把組中的三個(gè)方程相加，利用完全平方公式和非負(fù)數(shù)的和先求出、、的值，再計(jì)算．
【解析】解：
①②③，得，
整理，得
所以
即
因?yàn)?，，?br>所以，，
所以，，，
所以．
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式、非負(fù)數(shù)的和等知識(shí)點(diǎn)．觀察題目，發(fā)現(xiàn)三個(gè)方程的特點(diǎn)是解決本題的關(guān)鍵．
三、解答題
21．解方程3﹣2﹣＝x．
【答案】x＝2﹣
【分析】整理后得出1﹣x＝，方程兩邊平方得出1﹣2x+x2＝2x﹣1，求出方程的解，再進(jìn)行檢驗(yàn)即可．
【解析】解：3﹣2﹣＝x，
即1﹣x＝，
方程兩邊平方，得1﹣2x+x2＝2x﹣1，
即x2﹣4x+2＝0，
∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×2＝8＞0，
∴x＝＝2±，
經(jīng)檢驗(yàn)x＝2+不是原方程的解，x＝2﹣是原方程的解，
所以原方程的解是x＝2﹣．
【點(diǎn)睛】本題考查了解無理方程，能把無理方程轉(zhuǎn)化成有理方程是解此題的關(guān)鍵．
22．解方程：
【答案】無解
【分析】首先兩個(gè)二次根式要有意義，則可得滿足條件的x不存在，因而方程無解．
【解析】由題意知：，即，此不等式組無解，
所以原方程無解．
【點(diǎn)睛】本題考查了解無理方程，解含二次根式的無理方程時(shí)，先考慮被開方數(shù)非負(fù)，確定x的取值范圍，再通過兩邊平方，化無理方程為有理方程．
23．已知a＞1，解方程：＝x．
【答案】x＝（a＞1）
【分析】設(shè)，代入原方程可得，兩式平方后相減可得，分解因式可得或，分情況計(jì)算可得方程的解；
【解析】解：設(shè)，則①，
則原式變形為：，
∴②，
②﹣①得：，
∴，
∴或，
當(dāng)時(shí)，
∵，
∴，
∴，此種情況不符合題意；
當(dāng)時(shí)，代入①得：，
解得：，
∵，
∴，
∴原方程的解為：．
【點(diǎn)睛】本題考查解無理方程，利用換元法將方程變形后進(jìn)行因式分解可解答．
24．解方程組：．
【答案】；
【分析】先將第二個(gè)方程變形為x﹣y＝1或x﹣y＝﹣1，再和第一個(gè)方程組合得到兩個(gè)二元一次方程組，再分別解這兩個(gè)二元一次方程組即可．
【解析】解：，
由②得（x﹣y）2＝1，
∴x﹣y＝1或x﹣y＝﹣1，
與方程①組成新的方程組得：；
解這兩個(gè)新方程組，得原方程組的解為：
；．
【點(diǎn)睛】本題考查的是二元二次方程組的解法，通過因式分解，將原方程組轉(zhuǎn)化為兩個(gè)二元一次方程組，從而求解．
25．解方程組：．
【答案】、、或
【分析】首先把方程組的每個(gè)方程降次，然后根據(jù)二元一次方程的求解方法，求出原方程組的解即可．
【解析】解：
由①可得，則：2x＋y＝±3，
由②可得，則：x＝﹣6y或x＝y(tǒng)，
（1）把x＝﹣6y代入2x＋y＝±3，
解得或．
（2）把x＝y(tǒng)代入2x＋y＝±3，
解得或．
∴原方程組的解是、、或．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了高次方程的求解方法，要熟練掌握，解高次方程一般要降次，即把它轉(zhuǎn)化成二次方程或一次方程．也有的通過因式分解來解．
26．（1）解方程組：；
（2）解方程組：．
【答案】（1）或；（2）
【分析】（1）先將方程②因式分解為或，再組成兩個(gè)二元一次方程組求解；
（2）設(shè)，，將原方程組化為求出m、n的值，再計(jì)算，并進(jìn)行檢驗(yàn)．
【解析】.解：（1）
由②得，或，
∴或，
解得或，
∴原方程組的解是或；
（2）設(shè)，，
∴原方程組可化為，
解得，
∴，即，
解得，
經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程組的解，
∴原方程組的解為．
【點(diǎn)睛】此題考查解二元一次方程組及特殊法解分式方程，正確掌握各自的解法并應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．
27．解方程組：
【答案】和
【分析】當(dāng)方程組中只有一個(gè)可分解為兩個(gè)二元一次方程的方程時(shí)，可將分解得到的兩個(gè)二元一次方程分別與原方程組中的另一個(gè)二元二次方程組成兩個(gè)“二·一”型方程組，解得這兩個(gè)“二·一”型方程組，所得的解都是原方程組的解．
【解析】（用因式分解法）
方程（1）可化為（x-2y）2+（x-2y）-2=0
即（x-2y+2）（x-2y-1）=0
∴x-2y+2=0 或x-2y-1=0
原方程組可化為：
分別解得：和
【點(diǎn)睛】此題主要考查因式分解和二元二次方程組的綜合題，掌握使用因式分解法和代入法是解題的關(guān)鍵．
28．解方程
(1)解無理方程：﹣＝1；
(2)已知關(guān)于x的方程+m+x＝3有一個(gè)實(shí)數(shù)根是x＝1，試求m的值．
【答案】(1)x＝4
(2)m＝2
【分析】（1）將移項(xiàng)到方程右邊，方程兩邊平方，求出x的值，檢驗(yàn)即可；
（2）把x＝1代入方程，方程兩邊平方，轉(zhuǎn)化為整式方程，解整式方程，最后檢驗(yàn)即可．
(1)
解：方程變形為：，
方程兩邊平方得：，
∴，
解得：x＝4．
檢驗(yàn)：當(dāng)x＝4時(shí)，左邊＝1，右邊＝1，
∴原方程的根為x＝4；
(2)
解：把x＝1代入方程化簡(jiǎn)得：，
方程兩邊平方得：m﹣2＝4﹣4m+m2，
解得：m＝2或3，
檢驗(yàn)：當(dāng)m＝2時(shí)，左邊＝右邊；
當(dāng)m＝3時(shí)，左邊≠右邊．
∴m＝2．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了無理方程，把無理方程轉(zhuǎn)化為整式方程是解題的關(guān)鍵，解無理方程最后要檢驗(yàn)．
29．“程，課程也，二物者二程，三物者三程，皆如物數(shù)程之，并列為行，故謂之方程．”這是我國(guó)古代著名數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)》對(duì)方程一詞給出的注釋．對(duì)于一些特殊的方程，我們給出兩個(gè)定義：①若兩個(gè)方程有相同的一個(gè)解，則稱這兩個(gè)方程為“相似方程”：②若兩個(gè)方程有相同的整數(shù)解，則稱這兩個(gè)方程為“相伴方程”．
(1)判斷分式方程與無理方程是否是“相似方程”，并說明理由；
(2)已知關(guān)于x，y的方程：和，它們是“相似方程”嗎？如果是，請(qǐng)寫出它們的公共解；如果不是，請(qǐng)說明理由；
(3)已知關(guān)于x，y的二元一次方程：和（其中k為常數(shù)）是“相伴方程”，求k的值.
【答案】(1)分式方程與無理方程是“相似方程”，理由見解析；
(2)和，它們是“相似方程”，公共解為
(3)或或
【分析】（1）分別求出分式方程和無理方程的解，然后根據(jù)“相似方程”的定義進(jìn)行判斷即可；
（2）聯(lián)立兩個(gè)兩個(gè)方程，求出它們的公共解，如果只有唯一解，即說明兩個(gè)方程是“相似方程”，如果沒有唯一解則說明兩個(gè)方程不是“相似方程”；
（3）聯(lián)立兩個(gè)方程得到，再分當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)，兩種情況討論求解即可．
(1)
解：分式方程與無理方程是“相似方程”，理由如下：
兩邊用時(shí)乘以得：，
∴，
∴，
∴或，
經(jīng)檢驗(yàn)和都是原方程的解；
∵，
∴，
∴，
∴，
解得或，
∴分式方程與無理方程有一個(gè)相同的解，
∴分式方程與無理方程是“相似方程”；
(2)
解：聯(lián)立得：，
∴，
∴，
∴，
∴原方程組的解為，
∴方程和方程有一個(gè)公共解，
∴和，它們是“相似方程”，公共解為
(3)
解：∵關(guān)于x，y的二元一次方程：和（其中k為常數(shù)）是“相伴方程”，
∴，
∴，
當(dāng)時(shí)，即不符合題意；
當(dāng)時(shí)，則，
∵x、y都是整數(shù)，
∴或或
【點(diǎn)睛】本題主要考查了解分式方程，解無理方程，解二元二次方程，解二元一次方程組等等，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．

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