TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc30050" 題型01四大基礎模型：三線垂直型 PAGEREF _Tc30050 \h 1
\l "_Tc28684" 題型02 四大基礎模型：對棱相等型 PAGEREF _Tc28684 \h 2
\l "_Tc32446" 題型03四大基礎模型：直棱柱型 PAGEREF _Tc32446 \h 3
\l "_Tc32522" 題型04 四大基礎模型：雙線交心型 PAGEREF _Tc32522 \h 4
\l "_Tc16304" 題型05垂面型外接球 PAGEREF _Tc16304 \h 5
\l "_Tc9487" 題型06二面角型外接球 PAGEREF _Tc9487 \h 6
\l "_Tc31535" 題型07 四棱錐型外接球7
\l "_Tc12683" 題型08圓錐形外接球8
\l "_Tc16883" 題型09棱臺型外接球9
\l "_Tc7476" 題型10圓臺型外接球 PAGEREF _Tc7476 \h 10
\l "_Tc12596" 題型11 內(nèi)切球型 PAGEREF _Tc12596 \h 11
\l "_Tc25173" 題型12 最值型外接球12
\l "_Tc11326" 題型13翻折型外接球 PAGEREF _Tc11326 \h 13
\l "_Tc2193" 題型14外接球計算截面 PAGEREF _Tc2193 \h 14
\l "_Tc4002" 高考練場 PAGEREF _Tc4002 \h 14
熱點題型歸納
題型01四大基礎模型：三線垂直型
【解題攻略】
【典例1-1】在三棱錐中，點在平面中的投影是的垂心，若是等腰直角三角形且，，則三棱錐的外接球表面積為___________
【典例1-2】.在正三棱錐中，，P到平面ABC的距離為2，則該三棱錐外接球的表面積為（ ）
A．B．C．D．
【變式1-1】（2022上·江西萍鄉(xiāng)·高三統(tǒng)考）三棱錐A-BCD中，平面BCD，，，則該三棱錐的外接球表面積為（ ）
A．B．C．D．
【變式1-2】．（2020下·四川綿陽·高三統(tǒng)考）在邊長為4的正方形中，，分別為，的中點.將，，分別沿，，折起，使，，三點重合于，則三棱錐的外接球表面積為（ ）
A．B．C．D．
【變式1-3】（2018上·四川成都·高三成都外國語學校階段練習）已知正方形ABCD的邊長為4，E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點，沿AE，EF，AF折成一個三棱錐P-AEF（使B，C，D重合于P），三棱錐P-AEF的外接球表面積為（ ）
A．B．C．D．
題型02 四大基礎模型：對棱相等型
【解題攻略】
【典例1-1】（2023·全國·高三專題練習）在三棱錐中，，，，則該三棱錐的外接球表面積是（ ）
A．B．C．D．
【典例1-2】（2019下·江蘇蘇州·高三江蘇省蘇州實驗中學?？茧A段練習）在三棱錐中，、、兩兩重直，，，，則該三棱錐外接球表面積為 ．
【變式1-1】如圖，在三棱錐中，，，，則三棱錐外接球的體積為（ ）
A．B．C．D．
【變式1-2】在三棱錐中，，，，則三棱錐的外接球的表面積為（ ）
A．B．C．D．
【變式1-3】在三棱錐P－ABC中，PA＝BC＝5，，，則三棱錐P－ABC的外接球的表面積為（ ）
A．B．C．D．
題型03四大基礎模型：直棱柱型
【解題攻略】
【典例1-1】（2022上·河南·高三校聯(lián)考專題練習）已知三棱錐中，平面，若，，，，則三棱錐的外接球表面積為（ ）
A．B．C．D．
【典例1-2】．（2022下·四川成都·高三成都七中?？奸_學考試）在四棱錐中，底面為等腰梯形，底面.若，，則這個四棱錐的外接球表面積為（ ）
A．B．C．D．
【變式1-1】（2023·河南開封·統(tǒng)考三模）在三棱錐中，，平面ABC，，，則三棱錐外接球體積的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【變式1-2】（2023·河北邯鄲·統(tǒng)考三模）三棱錐中，平面，，．過點分別作，交于點，記三棱錐的外接球表面積為，三棱錐的外接球表面積為，則（ ）
A．B．C．D．
【變式1-3】（2023·陜西咸陽·武功縣普集高級中學統(tǒng)考二模）如圖，四棱錐中，平面，底面為邊長為的正方形，，則該四棱錐的外接球表面積為（ ）
A．B．C．D．
題型04 四大基礎模型：雙線交心型
【解題攻略】
【典例1-1】（2023下·四川綿陽·高三綿陽南山中學實驗學校?？茧A段練習）已知四棱錐的體積是，底面是正方形，是等邊三角形，平面平面，則四棱錐外接球表面積為（ ）
A．B．C．D．
【典例1-2】（2022·河南·校聯(lián)考模擬預測）在三棱錐中，平面平面，和都是邊長為的等邊三角形，若為三棱錐外接球上的動點，則點到平面距離的最大值為（ ）
A．B．
C．D．
【變式1-1】（2021上·貴州·高三統(tǒng)考）在三棱錐中，，底面是等邊三角形，三棱錐的體積為，則三棱錐的外接球表面積的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【變式1-2】（2022下·吉林·高三吉林一中校考）在三棱錐中，是邊長為2的正三角形，且平面底面 ，，，則該三棱錐的外接球表面積為 ．
【變式1-3】（2021上·江蘇南京·高三統(tǒng)考開學考試）在三棱錐中，和都是邊長為的正三角形，.若為三棱錐外接球上的動點，則點到平面距離的最大值為 .
題型05垂面型外接球
【解題攻略】
【典例1-1】（2020下·廣東深圳·高三深圳市南山區(qū)華僑城中學?？茧A段練習）在三棱錐中，，，，，平面平面，若球是三棱錐的外接球，則球的半徑為．
A．B．C．D．
【典例1-2】（2021·高三課時練習）在邊長為2的菱形中，，將菱形沿對角線折起，使得平面平面，則所得三棱錐的外接球表面積為（ ）
A．B．C．D．
【變式1-1】（2023·全國·高三專題練習）如圖，已知正方形的邊長為4，若將沿翻折到的位置，使得平面平面，分別為和的中點，則直線被四面體的外接球所截得的線段長為（ ）
A．B．C．D．
【變式1-2】（2023上·江蘇連云港·高三?？迹┮阎忮F，為中點，，側(cè)面底面，則過點的平面截該三棱錐外接球所得截面面積的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【變式1-3】（2023·全國·高三專題練習）在三棱錐中，，平面平面ABC，，點Q為三棱錐外接球O上一動點，且點Q到平面PAC的距離的最大值為，則球O的體積為( )
A．B．
C．D．
題型06二面角型外接球
【解題攻略】
【典例1-1】（2022·全國·高三專題練習）在菱形中，，將沿折起到的位置，若二面角的大小為，三棱錐的外接球球心為，的中點為，則
A．1B．2C．D．
【典例1-2】（2022上·湖南郴州·高三統(tǒng)考階段練習）在邊長為的菱形ABCD中，，沿對角邊折成二面角為的四面體，則四面體外接球表面積為（ ）
A．B．C．D．
【變式1-1】（2024·全國·高三專題練習）如圖，在三棱錐，是以AC為斜邊的等腰直角三角形，且，，二面角的大小為，則三棱錐的外接球表面積為（ ）
A．B．C．D．
【變式1-2】（2023·全國·高三專題練習）在三棱錐中，為等腰直角三角形，，為正三角形，且二面角的平面角為，則三棱錐的外接球表面積為（ ）
A．B．C．D．
【變式1-3】已知在三棱錐中，，，，二面角的大小為，則三棱錐的外接球的表面積為（ ）
A．B．C．D．
題型07 棱錐型外接球
【解題攻略】
【典例1-1】（2022上·浙江·高三校聯(lián)考開學考試）已知四棱錐外接球表面積為，體積為平面，且，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【典例1-2】（2022·湖北十堰·統(tǒng)考三模）在四棱錐中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，且PA=3，AB=4，則四棱錐外接球與內(nèi)切球的表面積之比為（ ）
A．B．10C．D．11
【變式1-1】（2022·江西·校聯(lián)考模擬預測）在平行四邊形中，，現(xiàn)沿著將平面折起，E，F(xiàn)分別為和的中點，那么當四棱錐的外接球球心不在錐體內(nèi)部時，的最大值為（ ）
A．1B．C．D．
【變式1-2】（2022·全國·模擬預測）如圖1，平面五邊形，，，，，將沿折起至平面平面，如圖2，若，則四棱錐的外接球體積是（ ）
A．B．C．D．
【變式1-3】（2022下·四川成都·高三成都七中?？奸_學考試）在四棱錐中，底面為等腰梯形，底面.若，，則這個四棱錐的外接球表面積為（ ）
A．B．C．D．
題型08圓錐形外接球
【解題攻略】
【典例1-1】（2023下·浙江杭州·高三統(tǒng)考）圓錐內(nèi)半徑最大的球稱為該圓錐的內(nèi)切球，若圓錐的頂點和底面的圓周都在同一個球面上，則稱該球為圓錐的外接球.如圖，圓錐的內(nèi)切球和外接球的球心重合，且圓錐的底面直徑為，則（ ）

A．設內(nèi)切球的半徑為，外接球的半徑為，則
B．設內(nèi)切球的表面積，外接球的表面積為，則
C．設圓錐的體積為，內(nèi)切球的體積為，則
D．設、是圓錐底面圓上的兩點，且，則平面截內(nèi)切球所得截面的面積為
【典例1-2】（2023·安徽蚌埠·統(tǒng)考三模）已知為圓錐底面圓的直徑，點是圓上異于，的一點，為的中點，，圓錐的側(cè)面積為，則下列說法正確的是（ ）
A．圓上存在點使平面
B．圓上存在點使平面
C．圓錐的外接球表面積為
D．棱長為的正四面體在圓錐內(nèi)可以任意轉(zhuǎn)動
【變式1-1】（2021·安徽·校聯(lián)考模擬預測）已知球是圓錐的外接球，圓錐的母線長是底面半徑的倍，且球的表面積為，則圓錐的側(cè)面積為 .
【變式1-2】圓錐（其中為頂點，為底面圓心）的側(cè)面積與底面積的比是，則圓錐與它外接球（即頂點在球面上且底面圓周也在球面上）的體積比為
A．B．C．D．
【變式1-3】已知球是圓錐的外接球，圓錐的母線長是底面半徑的倍，且球的表面積為，則圓錐的側(cè)面積為___________.
題型09棱臺型外接球
【解題攻略】
【典例1-1】由正三棱錐截得的三棱臺的高為，，．若三棱臺的各頂點都在球的球面上，則球的表面積為______．
【典例1-2】由正三棱錐截得的三棱臺的各頂點都在球的球面上，若，三棱臺的高為2，且球心在平面與平面之間（不在兩平面上），則的取值范圍為________.
【變式1-1】已知正三棱臺的上下底邊長分別為，高為7，若該正三棱臺的六個頂點均在球的球面上，且球心在正三棱臺內(nèi)，則球的表面積為__________．
【變式1-2】在正四棱臺中，，則（ ）
A．該棱臺的體積為，該棱臺外接球的表面積為
B．該棱臺的體積為，該棱臺外接球的表面積為
C．該棱臺的體積為，該棱臺外接球的表面積為
D．該棱臺的體積為，該棱臺外接球的表面積為
【變式1-3】．如圖，三棱臺ABC－A1B1C1中，AB⊥AC，BC＝6，A1B1＝A1C1＝4，AA1＝5，平面BCC1B1⊥平面ABC，則該三棱臺外接球的體積為（ ）
A．B．C．D．
題型10圓臺型外接球
【解題攻略】
【典例1-1】（2023下·江西南昌·高三校聯(lián)考階段練習）如圖，四邊形ABCD是直角梯形，其中AB＝1，CD＝2，AD⊥DC，O是AD的中點，以AD為直徑的半圓O與BC相切于點P．以AD為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周，可以得到一個球和一個圓臺．給出以下結(jié)論，其中正確結(jié)論的個數(shù)是（ ）
①圓臺的母線長為3；
②球的半徑為；
③將圓臺的母線延長交的延長線于點，則得到的圓錐的高為；
④點的軌跡的長度是．
A．1B．2C．3D．4
【典例1-2】（2023下·湖南益陽·高三統(tǒng)考）已知一個球與某圓臺的上下底面和側(cè)面均相切，若圓臺的側(cè)面積為，上下底面面積之比為1：9，則該球的表面積為（ ）
A．B．C．D．
【變式1-1】（2023下·湖北咸寧·高三統(tǒng)考）已知球內(nèi)切于圓臺（即球與該圓臺的上、下底面以及側(cè)面均相切），且圓臺的上、下底面半徑，則圓臺的體積與球的體積之比為（ ）

A．B．C．2D．
【變式1-2】已知圓臺上底半徑為1，下底半徑為3，高為2，則此圓臺的外接球的表面積為______．
【變式1-3】已知圓臺的上下底面半徑分別為1和2，側(cè)面積為，則該圓臺的外接球半徑為（ ）
A．B．C．D．
題型11 內(nèi)切球型
【解題攻略】
【典例1-1】（2023·湖南郴州·統(tǒng)考一模）在圓錐中，母線，底面圓的半徑為，圓錐的側(cè)面積為，則（ ）
A．當時，則圓錐的體積為
B．當時，過頂點和兩母線的截面三角形的最大面積為
C．當時，圓錐的外接球表面積為
D．當時，棱長為的正四面體在圓錐內(nèi)可以任意轉(zhuǎn)動
【典例1-2】.若正三棱柱既有外接球，又有內(nèi)切球，記該三棱柱的外接球和內(nèi)切球的半徑分別為、，則（ ）
A．B．C．D．
【變式1-1】古代數(shù)學名著《九章算術(shù)?商功》中，將底面為矩形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱為陽馬，將四個面都為直角三角形的三棱錐稱為鱉臑．若四棱錐為陽馬，平面，，，則此“陽馬”外接球與內(nèi)切球的表面積之比為（ ）
A．B．C．D．
【變式1-2】（2023·山東日照·統(tǒng)考二模）已知AB為圓錐SO底面圓O的直徑，點C是圓O上異于A，B的一點，N為SA的中點，，圓錐SO的側(cè)面積為，則下列說法正確的是（ ）
A．圓O上存在點M使∥平面SBC
B．圓O上存在點M使平面SBC
C．圓錐SO的外接球表面積為
D．棱長為的正四面體在圓錐SO內(nèi)可以任意轉(zhuǎn)動
【變式1-3】已知正四棱錐的底面邊長為1，側(cè)棱與底邊夾角的余弦值為，則正四棱錐的外接球與內(nèi)切球的半徑之比為___________.
題型12 最值型外接球
【典例1-1】在中，分別為三邊中點，將分別沿向上折起，使重合，記為，則三棱錐的外接球表面積的最小值為
A．B．C．D．
【典例1-2】已知三棱錐的外接球O半徑為2，球心O到所在平面的距離為1，則三棱錐體積的最大值為（ ）
A．B．C．D．3
【變式1-1】已知四棱錐中，四邊形為等腰梯形，，，是等邊三角形，且；若點在四棱錐的外接球面上運動，記點到平面的距離為，若平面平面，則的最大值為（）
A．B．
C．D．
【變式1-2】如圖，在體積為的三棱錐中，，，底面，則三棱錐外接球體積的最小值為______.
【變式1-3】如圖，已知等腰三角形的面積為，是底邊的中點，將沿中線折起，得到三棱錐．若，則該三棱錐外接球表面積的最小值為______．
題型13翻折型外接球
【典例1-1】（2023·四川·四川省金堂中學校校聯(lián)考三模）如圖，在梯形ABCD中，，，，將△ACD沿AC邊折起，使得點D翻折到點P，若三棱錐P-ABC的外接球表面積為，則（ ）
A．8B．4C．D．2
【典例1-2】如圖，在△ABC中，AB=2，BC=2，AC=2，E、F、G分別為三邊中點，將△BEF，△AEG，△GCF分別沿EF、EG、GF向上折起，使A、B、C重合，記為S，則三棱錐S–EFG的外接球面積為（ ）
A．14πB．15πC．πD．2π
【變式1-1】（2020·江西·統(tǒng)考模擬預測）已知矩形中，，，取線段，的中點，，連接，以線段為折痕進行翻折，使得，則四面體的外接球表面積為（ ）
A．B．C．D．
【變式1-2】（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預測）如圖1，直角梯形中，，取中點，將沿翻折（如圖2），記四面體的外接球為球（為球心）.是球上一動點，當直線與直線所成角最大時，四面體體積的最大值為（ ）
A．B．C．D．
【變式1-3】已知等邊的邊長為，，分別為，的中點，將沿折起得到四棱錐.點為四棱錐的外接球球面上任意一點，當四棱錐的體積最大時，到平面距離的最大值為______.
題型14外接球計算截面
【典例1-1】已知球是正四面體的外接球，，點在線段上，且，過點作球的截面，則所得截面圓面積的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【典例1-2】已知球是棱長為1的正方體的外接球，為棱中點，現(xiàn)在棱和棱上分別取點，，使得平面與正方體各棱所成角相等，則平面截球的截面面積是__.
【變式1-1】已知正方體的棱長2，中心為，則四棱錐的外接球被平面截得的截面面積為______．
【變式1-2】如圖，已知球O是直三棱柱的外接球，，，E，F(xiàn)分別為，的中點，過點A，E，F(xiàn)作三棱柱的截面α，若α交于M，過點M作球O的截面，則所得截面圓面積的最小值是__________．
【變式1-3】已知正三棱錐的外接球是球，，，點為中點，過點作球的截面，則所得截面圓面積的取值范圍是______.
高考練場
1.（2018上·四川成都·高三成都外國語學校階段練習）已知正方形ABCD的邊長為4，E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點，沿AE，EF，AF折成一個三棱錐P-AEF（使B，C，D重合于P），三棱錐P-AEF的外接球表面積為（ ）
A．B．C．D．
2.（2020·浙江杭州·高三）已知三棱錐中, ,,.則該三棱錐的外接球表面積為 .
3.（2023上·四川廣元·高三統(tǒng)考）三棱錐P－ABC中，PA⊥平面ABC，，△APC的面積為，則三棱錐P－ABC的外接球體積的最小值為（ ）
A．B．C．D．
4.（2021·陜西渭南·統(tǒng)考一模）在三棱錐中，，底面是等邊三角形，三棱錐的體積為，則三棱錐的外接球表面積的最小值是 .
5.．（2023上·高三課時練習）已知三棱錐的底面ABC是等邊三角形，平面SAC⊥平面ABC，，M為SB上一點，且．設三棱錐外接球球心為O，則（ ）
A．直線OM⊥平面SAC，OA⊥SBB．直線平面SAC，OA⊥SB
C．直線OM⊥平面SAC，平面OAM⊥平面SBCD．直線平面SAC，平面OAM⊥平面SBC
6.在四面體中，， ，二面角的大小為，則四面體外接球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
7.（2023下·陜西西安·高三長安一中?？迹┑酌姘霃綖榈膱A錐側(cè)面展開圖的圓心角大小為，則此圓錐外接球表面積為（ ）
A．B．C．D．
8.如圖所示，正四棱臺的頂點都在表面積為的球面上，側(cè)棱長為，且側(cè)棱與底面所成角為，則其上、下底面積之比為（ ）
A．B．C．D．
9.已知某圓臺的母線長為2，母線與軸所在直線的夾角是，且上、下底面的面積之比為1∶4，則該圓臺外接球的表面積為（ ）
A．B．C．D．
10.已知正三棱柱的側(cè)棱長為，底面邊長為，內(nèi)有一個體積為的球，若的最大值為，則此三棱柱外接球表面積的最小值為______.
11.已知三棱錐的外接球表面積為，，則三棱錐體積的最大值為___________.
12.如圖，在△ABC中，AB=2，BC=2，AC=2，E、F、G分別為三邊中點，將△BEF，△AEG，△GCF分別沿EF、EG、GF向上折起，使A、B、C重合，記為S，則三棱錐S–EFG的外接球面積為（ ）
A．14πB．15πC．πD．2π
13.在邊長為的菱形ABCD中，，沿對角邊折成二面角為的四面體，則四面體外接球表面積為（ ）
A．B．C．D．
14.設三棱錐的所有棱長均為1，點滿足，，，則三棱錐的外接球被平面所截的截面面積為（ ）
A．B．C．D．
15.（2021·四川·四川省綿陽南山中學?？寄M預測）體積為8的四棱錐的底面是邊長為的正方形，四棱錐的外接球球心到底面的距離為1，則點軌跡的長度為（ ）
A．B．C．D． 正方體的棱長為a，球的半徑為R，則：
①若球為正方體的外接球，則2R＝eq \r(3)a；
②若球為正方體的內(nèi)切球，則2R＝a；
③球與正方體的各棱相切，則2R＝eq \r(2)a.
長方體的長、寬、高分別為a，b，c，則外接球直徑＝長方體對角線，即：2R＝eq \r(a2＋b2＋c2).
對棱相等的四面體：
三棱錐對棱相等，
存在一條棱垂直一個底面（底面是任意多邊形，實際是三角形或者四邊形（少），它的外接圓半徑是r，滿足正弦定理）
1.模板圖形原理
圖1 圖2
2.計算公式
解幾何體外接球（表面積/體積）的一般方法和步驟為：
1、尋找一個或兩個面的外接圓圓心
2、分別過兩個面的外心作該面的垂線，兩條垂線的交點即為外接圓圓心；
3、構(gòu)造直角三角形求解球半徑，進而求出外接球表面積或體積.
如果表面有等邊三角形或者直角三角形：兩垂線交心法
包含了面面垂直（倆面必然是特殊三角形）

等邊或者直角：（1）等邊三角形中心（外心）做面垂線，必過球心；
（2）直角三角形斜邊中點（外心）做面垂線，必過球心；
面面垂直型基本圖形
一般情況下，倆面是特殊三角形。垂面型，隱藏很深的線面垂直型，

二面角型求外接圓
在空間四邊形中，二面角的平面角大小為，的外接圓圓心為，的外接圓圓心為，為兩面交線的中點
所以
因為四點共圓，，根據(jù)余弦定理可知
錐體求外接球
（1）：確定球心的位置，取的外心，則三點共線；
(2)：算出小圓的半徑，算出棱錐的高（即圓錐的高）；
(3)：勾股定理：，解出
類比正棱錐，可以得帶圓錐型外接球
正棱臺外接球，以棱軸截面為主。
，其中分別為圓臺的上底面、下底面、高．
基本規(guī)律:正棱臺外接球，以棱軸截面為主
圓臺外接圓模型
圓臺外接球，即軸截面題型外接圓
內(nèi)切球球心到多面體各面的距離均相等，外接球球心到多面體各頂點的距離均相等，正多面體的內(nèi)切球和外接球的球心重合，正棱錐的內(nèi)切球和外接球球心都在高線上，但不重合.其中錐體與內(nèi)切球的關(guān)系：(V為幾何體的體積，S為多面體的表面積，r為內(nèi)切球的半徑)
三角形內(nèi)切圓
類比：三棱錐
第十八講 立體幾何動點與外接球歸類
目錄
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc30050" 題型01四大基礎模型：三線垂直型 PAGEREF _Tc30050 \h 1
\l "_Tc28684" 題型02 四大基礎模型：對棱相等型 PAGEREF _Tc28684 \h 4
\l "_Tc32446" 題型03四大基礎模型：直棱柱型 PAGEREF _Tc32446 \h 6
\l "_Tc32522" 題型04 四大基礎模型：雙線交心型 PAGEREF _Tc32522 \h 10
\l "_Tc16304" 題型05垂面型外接球 PAGEREF _Tc16304 \h 13
\l "_Tc9487" 題型06二面角型外接球 PAGEREF _Tc9487 \h 17
\l "_Tc31535" 題型07 四棱錐型外接球 PAGEREF _Tc31535 \h 21
\l "_Tc12683" 題型08圓錐形外接球 PAGEREF _Tc12683 \h 24
\l "_Tc16883" 題型09棱臺型外接球 PAGEREF _Tc16883 \h 28
\l "_Tc7476" 題型10圓臺型外接球 PAGEREF _Tc7476 \h 32
\l "_Tc12596" 題型11 內(nèi)切球型 PAGEREF _Tc12596 \h 35
\l "_Tc25173" 題型12 最值型外接球 PAGEREF _Tc25173 \h 41
\l "_Tc11326" 題型13翻折型外接球 PAGEREF _Tc11326 \h 44
\l "_Tc2193" 題型14外接球計算截面 PAGEREF _Tc2193 \h 47
\l "_Tc4002" 高考練場 PAGEREF _Tc4002 \h 51
熱點題型歸納
題型01四大基礎模型：三線垂直型
【解題攻略】
【典例1-1】在三棱錐中，點在平面中的投影是的垂心，若是等腰直角三角形且，，則三棱錐的外接球表面積為___________
【答案】【分析】設的垂心為，由平面可證明，，，結(jié)合推導出，，兩兩互相垂直，則外接球半徑滿足，求出代入求解即可得出答案．
【詳解】
解：設的垂心為，連接，則平面，如圖所示：
由垂心知，，又，，則平面，又平面，所以，
又，，所以平面，又平面，得，
同理，則，
所以，，兩兩互相垂直，設三棱錐的外接球半徑為，
則，所以，球的表面積為．故答案為：.
【典例1-2】.在正三棱錐中，，P到平面ABC的距離為2，則該三棱錐外接球的表面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A【解析】因為，由正三棱錐的性質(zhì)知，PA，PB，PC兩兩垂直且相等．設，則．
根據(jù)，得，
解得．
設三棱錐外接球的半徑為，則，所以．
故所求外接球的表面積為．
故選：A．
【變式1-1】（2022上·江西萍鄉(xiāng)·高三統(tǒng)考）三棱錐A-BCD中，平面BCD，，，則該三棱錐的外接球表面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C【分析】由題可知，可將三棱錐補成長方體，求長方體的外接球的表面積即可.
【詳解】由平面BCD，，知三棱錐A-BCD可補形為以AD，DC，BD為三條棱的長方體，如圖所示，
三棱錐的外接球即長方體的外接球，長方體的對角線是外接球的直徑，設外接球的半徑為R，
則，所以該三棱錐的外接球表面積為.故選：C．
【變式1-2】．（2020下·四川綿陽·高三統(tǒng)考）在邊長為4的正方形中，，分別為，的中點.將，，分別沿，，折起，使，，三點重合于，則三棱錐的外接球表面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】三棱錐中，兩兩垂直，以它們?yōu)橄噜徖獍讶忮F中補成一個長方體，長方體的外接球就是三棱錐的外接球，由此易得球半徑，得面積．
【詳解】由題意三棱錐中，兩兩垂直，以它們?yōu)橄噜徖獍讶忮F中補成一個長方體，如圖，則長方體的外接球就是三棱錐的外接球，
，，則外接球半徑為，
表面積為．
故選：D．
【變式1-3】（2018上·四川成都·高三成都外國語學校階段練習）已知正方形ABCD的邊長為4，E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點，沿AE，EF，AF折成一個三棱錐P-AEF（使B，C，D重合于P），三棱錐P-AEF的外接球表面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由題意畫出圖形，把三棱錐P-AEF補形為長方體，求出長方體的對角線長，得到三棱錐外接球的半徑，代入球的表面積公式求解．
【詳解】解：如圖，
由題意可得，三棱錐P-AEF的三條側(cè)棱PA，PE，PF兩兩互相垂直，
且，，
把三棱錐P-AEF補形為長方體，則長方體的體對角線長為，
則三棱錐P-AEF的外接球的半徑為，
外接球的表面積為．
故選C．
題型02 四大基礎模型：對棱相等型
【解題攻略】
【典例1-1】（2023·全國·高三專題練習）在三棱錐中，，，，則該三棱錐的外接球表面積是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由于三棱錐對棱相等，可將它補成一個長方體，利用長方體求得其外接球的半徑，然后求出球表面積即可．
【詳解】因為，
所以可以將三棱錐如圖放置于一個長方體中，如圖所示：
設長方體的長、寬、高分別為a、b、c，則有，整理得，
則該棱錐外接球的半徑即為該長方體外接球的半徑，
所以有，
所以所求的球體表面積為：．故選：A．
【典例1-2】（2019下·江蘇蘇州·高三江蘇省蘇州實驗中學?？茧A段練習）在三棱錐中，、、兩兩重直，，，，則該三棱錐外接球表面積為 ．
【答案】
【分析】三棱錐的三條側(cè)棱、、兩兩互相垂直，它的外接球就是它擴展為長方體的外接球，求出長方體的對角線的長，就是球的直徑，然后求球的表面積．
【詳解】三棱錐的三條側(cè)棱、、兩兩互相垂直，它的外接球就是它擴展為長方體的外接球.
設，長方體的對角線長為，
∴ ∴，
球的直徑是，球的半徑為，
球的表面積．故答案為：．
【變式1-1】如圖，在三棱錐中，，，，則三棱錐外接球的體積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】將三棱錐放到長方體中，設長方體的長、寬、高分別為，求出即得三棱錐外接球的半徑，即得解.
【詳解】解：由題意，，，，將三棱錐放到長方體中，可得長方體的三條對角線分別為，2，，設長方體的長、寬、高分別為，
則，，，解得，，．
所以三棱錐外接球的半徑．
三棱錐外接球的體積．故選：C
【變式1-2】在三棱錐中，，，，則三棱錐的外接球的表面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)給定條件，構(gòu)造面對角線長分別為4，5，的長方體，求出其體對角線長即可求解作答.
【詳解】三棱錐中，，，，
構(gòu)造長方體，使得面上的對角線長分別為4，5，，則長方體的對角線長等于三棱錐外接球的直徑，如圖，
設長方體的棱長分別為，，，則，，，則，
因此三棱錐外接球的直徑為，
所以三棱錐外接球的表面積為．
故選：A
【變式1-3】在三棱錐P－ABC中，PA＝BC＝5，，，則三棱錐P－ABC的外接球的表面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】將棱錐補全為長方體，由長方體外接球直徑與棱長關(guān)系求直徑，進而求其表面積.
【詳解】三棱錐P－ABC中，PA＝BC＝5，，，
構(gòu)造長方體使得面對角線分別為5，，，則長方體體對角線長等于三棱錐外接球直徑，如圖所示，
設長方體棱長分別為a，b，c，則，，，
則，即，外接球表面積.
故選：D
.
題型03四大基礎模型：直棱柱型
【解題攻略】
【典例1-1】（2022上·河南·高三校聯(lián)考專題練習）已知三棱錐中，平面，若，，，，則三棱錐的外接球表面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由已知利用余弦定理求得，可得，由平面，可知三棱錐可以補形為長方體，此時三棱錐的外接球即為長方體的外接球，即可求得外接球的表面積.
【詳解】如圖，在中，由余弦定理，得，
即，則，故，
又而平面，將三棱錐置于一個長方體中，可知三棱錐的外接球半徑，
則外接球表面積，
故選:D．

【典例1-2】．（2022下·四川成都·高三成都七中校考開學考試）在四棱錐中，底面為等腰梯形，底面.若，，則這個四棱錐的外接球表面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先求得四棱錐的外接球的半徑，再去求外接球表面積即可解決.
【詳解】取BC中點E，連接EA、ED，取PC中點H，連接EH、BH，
等腰梯形中，，，
則有，則四邊形為平行四邊形，
則，又，則為等邊三角形，
則，則△為等邊三角形
則，故點E為等腰梯形的外接圓圓心，
△中，，則
又底面，則底面，
又，即，
故點H為四棱錐的外接球球心，
球半徑則四棱錐外接球表面積為故選：C
【變式1-1】（2023·河南開封·統(tǒng)考三模）在三棱錐中，，平面ABC，，，則三棱錐外接球體積的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】將三棱錐可以補成長方體，從而得到為三棱錐的外接球的直徑，要想體積最小，則最小即可，設，表達出，從而得到，進而求出外接球體積的最小值.
【詳解】根據(jù)題意三棱錐可以補成分別以為長、寬、高的長方體，其中為長方體的對角線，
則三棱錐的外接球球心即為的中點，要使三棱錐的外接球的體積最小，則最小．
設，則，，，
所以當時，，則有三棱錐的外接球的球半徑最小為，
所以．故選：A
【變式1-2】（2023·河北邯鄲·統(tǒng)考三模）三棱錐中，平面，，．過點分別作，交于點，記三棱錐的外接球表面積為，三棱錐的外接球表面積為，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】取的中點，的中點，連，，，，證明是三棱錐的外接球的球心，為該球的直徑；是三棱錐的外接球的球心，為該球的直徑，設，求出，根據(jù)球的表面積公式可求出結(jié)果.
【詳解】取的中點，的中點，連，，，，
因為平面，平面，所以，，，
因為，，平面，所以平面，
因為平面，所以，
在直角三角形中，是斜邊的中點，所以，
在直角三角形中，是斜邊的中點，所以，
所以是三棱錐的外接球的球心，為該球的直徑.
因為，是斜邊的中點，所以，
因為， 是斜邊的中點，所以，
所以是三棱錐的外接球的球心，為該球的直徑.設，則，
則，，所以.故選：B.
【變式1-3】（2023·陜西咸陽·武功縣普集高級中學統(tǒng)考二模）如圖，四棱錐中，平面，底面為邊長為的正方形，，則該四棱錐的外接球表面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】首先確定底面外接圓半徑，則所求外接球半徑為，代入球的表面積公式即可求得結(jié)果.
【詳解】四邊形為邊長為的正方形，四邊形的外接圓半徑，
又平面，，四棱錐的外接球半徑，
四棱錐的外接球表面積.故選：D.
.
題型04 四大基礎模型：雙線交心型
【解題攻略】
【典例1-1】（2023下·四川綿陽·高三綿陽南山中學實驗學校?？茧A段練習）已知四棱錐的體積是，底面是正方形，是等邊三角形，平面平面，則四棱錐外接球表面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】過點作于E，則PE為四棱錐的高，據(jù)此求出正方形棱長.再根據(jù)幾何關(guān)系找出外接球球心，根據(jù)勾股定理求出外接球半徑即可.
【詳解】
設正方形的邊長為，在等邊三角形中，過點作于E，
由于平面平面，∴平面．
由于是等邊三角形，則，
∴，解得．
設四棱錐外接球的半徑為，為正方形ABCD中心，為等邊三角形PAB中心，
O為四棱錐P－ABCD外接球球心，則易知為矩形，
則，，
，∴外接球表面積．故選：C．
【典例1-2】（2022·河南·校聯(lián)考模擬預測）在三棱錐中，平面平面，和都是邊長為的等邊三角形，若為三棱錐外接球上的動點，則點到平面距離的最大值為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】設中點為，的外心為，的外心為，過點作平面的垂線，過點作平面的垂線，兩條垂線的交點，則點即為三棱錐外接球的球心，求出三棱錐外接球的半徑，假設球心到平面的距離得答案．
【詳解】解：設中點為，的外心為，的外心為，過點作平面的垂線，過點作平面的垂線，兩條垂線的交點，則點即為三棱錐外接球的球心，
因為和都是邊長為的正三角形，可得，
因為平面平面，，平面，平面平面，
所以平面，又平面，所以，
又，所以四邊形是邊長為1的正方形，
所以外接球半徑，所以到平面的距離，
即點到平面距離的最大值為.故選：D.
【變式1-1】（2021上·貴州·高三統(tǒng)考）在三棱錐中，，底面是等邊三角形，三棱錐的體積為，則三棱錐的外接球表面積的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】分別設出三棱錐的底面邊長和高，利用體積為，則可得出其關(guān)系式.再利用三棱錐的底面邊長和高表示出三棱錐的外接球半徑，即可利用基本不等式得出其半徑的最小值，即可求出其表面積的最小值.
【詳解】設三棱錐外接球的球心為，三棱錐底面邊長和高分別為，.底面的外接圓半徑為，則.
由題意可知是三棱錐的外接球的一條直徑，則，即.
設三棱錐的外接球半徑為，球心到底面的距離為.則，
故三棱錐的外接球表面積為.
故選：A.
【變式1-2】（2022下·吉林·高三吉林一中?？迹┰谌忮F中，是邊長為2的正三角形，且平面底面 ，，，則該三棱錐的外接球表面積為 ．
【答案】
【詳解】
如圖，是三棱錐外接球的球心，是外接圓的圓心，由球的性質(zhì)可得平面；又平面平面，取的中點，連接，
又是邊長為2的等邊三角形，故且 ,又平面平面，平面， 平面 ，，連結(jié)過點作 所以四邊形是平行四邊形，；
在中， 由正弦定理可得 即：
設三棱錐外接球的半徑為
在中， 故
在中，且是的中點，故
在中， 故
在中， 故
兩邊平方得：
解得：所以三棱錐外接球的表面積為
故答案為：
【變式1-3】（2021上·江蘇南京·高三統(tǒng)考開學考試）在三棱錐中，和都是邊長為的正三角形，.若為三棱錐外接球上的動點，則點到平面距離的最大值為 .
【答案】
【分析】設中點為，可證明，設和的外心分別為和，過和分別作兩個平面的垂線交于點即為三棱錐外接球的球心，求出外接球的半徑的長，到平面的距離即可求解.
【詳解】
設中點為，的外心為，的外心為，
過點作面的垂線，過點作直線面的垂線，
兩條垂線的交點即為三棱錐外接球的球心，
因為和都是邊長為的正三角形，可得，
又，所以，所以，
又因為，，所以面，
因為平面，所以平面平面，且，
所以四邊形是邊長為的正方形，所以外接球半徑，
到平面的距離，
故答案為：.
題型05垂面型外接球
【解題攻略】
【典例1-1】（2020下·廣東深圳·高三深圳市南山區(qū)華僑城中學?？茧A段練習）在三棱錐中，，，，，平面平面，若球是三棱錐的外接球，則球的半徑為．
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】取AB中點D，AC中點E，連PD，ED，得E為△外接圓的圓心，且OE∥平面，然后求出△的外接圓半徑和球心到平面的距離等于，由勾股定理得，即可得出答案.
【詳解】解：取AB中點D，AC中點E，連PD，ED
因為，所以E為△外接圓的圓心
因為OE∥PD，OE不包含于平面，所以OE∥平面
因為平面平面，，得PDAB，EDAB
所以PD平面，ED平面。且，
所以球心到平面的距離等于
在△中，，，所以，
所以△得外接圓半徑，即
由勾股定理可得球的半徑故選A.
【典例1-2】（2021·高三課時練習）在邊長為2的菱形中，，將菱形沿對角線折起，使得平面平面，則所得三棱錐的外接球表面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由題意畫出圖形，由于與均為邊長為2的等邊三角形，取中點，連接，，則，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可得出平面，再確定為三棱錐的外接球的球心，結(jié)合已知求出三棱錐外接球的半徑，最后根據(jù)球的表面積公式求出外接球的表面積.
【詳解】解：在邊長為2的菱形中，，
如圖，
由已知可得，與均為邊長為2的等邊三角形，
取中點，連接，，則，，
平面平面，交線為，而平面，則平面，分別取與的外心，，
過，分別作兩面的垂線，相交于，則為三棱錐的外接球的球心，
由與均為等邊三角形且邊長為2，可得，，
，即三棱錐外接球的半徑：，
三棱錐的外接球的表面積為：.故選：C.
【變式1-1】（2023·全國·高三專題練習）如圖，已知正方形的邊長為4，若將沿翻折到的位置，使得平面平面，分別為和的中點，則直線被四面體的外接球所截得的線段長為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】首先取的中點，連接，，根據(jù)題意得到為四面體外接球的球心，且半徑，再計算的長度得到，從而得到到的距離為1，再計算直線被四面體的外接球所截得的線段長即可.
【詳解】取的中點，連接，，如圖所示：
因為，，所以為四面體外接球的球心，且半徑.因為，且為中點，所以.平面平面，所以平面.
過作，過作，連接，如圖所示：
在中，，，所以，同理，所以.
在中，，所以在中，.
又因為，所以到的距離，
所以直線被球截得的線段長.故選：D
【變式1-2】（2023上·江蘇連云港·高三?？迹┮阎忮F，為中點，，側(cè)面底面，則過點的平面截該三棱錐外接球所得截面面積的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】連接，，，設三棱錐外接球的球心為，設過點的平面為，則當時，此時所得截面的面積最小，當點在以為圓心的大圓上時，此時截面的面積最大，再結(jié)合球的截面的性質(zhì)即可得解.
【詳解】連接，，由，
可知：和是等邊三角形，
設三棱錐外接球的球心為，
所以球心到平面和平面的射影是和的中心，，
是等邊三角形，為中點，
所以，又因為側(cè)面底面，側(cè)面底面，
所以底面，而底面，因此，所以是矩形,
和是邊長為的等邊三角形，所以兩個三角形的高，
在矩形中，，連接，
所以，設過點的平面為，當時，
此時所得截面的面積最小，該截面為圓形，，
因此圓的半徑為：，所以此時面積為，
當點在以為圓心的大圓上時，此時截面的面積最大，面積為：，
所以截面的面積范圍為.故選：A．
【變式1-3】（2023·全國·高三專題練習）在三棱錐中，，平面平面ABC，，點Q為三棱錐外接球O上一動點，且點Q到平面PAC的距離的最大值為，則球O的體積為( )
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】取AC的中點M，證明BM⊥平面PAC，從而可得BM⊥平面PAC，可得BM⊥PA，再證PA⊥平面ABC；設BC＝a，在△ABC中，利用余弦定理求出cs∠ABC及∠ABC的大小.設外接圓的圓心為，半徑為r，球O的半徑為R，求出長度；連接，OA，求出長度；在△PAO中，利用勾股定理求出R．易知，從而得∥平面PAC，從而得點O到平面PAC的距離等于點到平面PAC的距離.根據(jù)點Q到平面PAC距離的最大值為可得a的值，從而求得R，再根據(jù)球的體積公式即可求解．
【詳解】取AC的中點M，∵，∴，∵平面平面ABC，平面平面，
∴平面PAC，∵平面PAC，∴，∵，，∴平面ABC，
設，則，∴，
設外接圓的圓心為，半徑為r，球O的半徑為R，如圖所示，顯然B，M，三點共線，且平面PAC．
由，，得，，∴；連接，OA，則，
由平面ABC，且外接圓的圓心為，可得．
∵平面ABC，∴，∥平面PAC，∴點O到平面PAC的距離等于點到平面PAC的距離，
∵點Q到平面PAC距離的最大值為，∴，得，∴，
∴球O的體積為．故選：C．
.
題型06二面角型外接球
【解題攻略】
【典例1-1】（2022·全國·高三專題練習）在菱形中，，將沿折起到的位置，若二面角的大小為，三棱錐的外接球球心為，的中點為，則
A．1B．2C．D．
【答案】B
【詳解】因為在菱形 中，的中點為,所以 ,則 ,所以 為二面角的平面角,,由于,所以 為等邊三角形,若外接圓的圓心為,則平面,在等邊中,,可以證明,所以,又,所以 ,在中,,選B.
【典例1-2】（2022上·湖南郴州·高三統(tǒng)考階段練習）在邊長為的菱形ABCD中，，沿對角邊折成二面角為的四面體，則四面體外接球表面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】正確作出圖形，利用勾股定理建立方程，求出四面體的外接球的半徑，即可求出四面體的外接球的表面積．
【詳解】解：如圖所示，，，，
，設，則，，由勾股定理可得，
，四面體的外接球的表面積為，故選：．
【變式1-1】（2024·全國·高三專題練習）如圖，在三棱錐，是以AC為斜邊的等腰直角三角形，且，，二面角的大小為，則三棱錐的外接球表面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由題作出圖形，易得外接圓圓心在中點，結(jié)合正弦定理可求外接圓半徑，結(jié)合圖形知，，再結(jié)合二面角大小求出，進而得解.
【詳解】根據(jù)題意，作出圖形，如圖所示，因為是以AC為斜邊的等腰直角三角形，所以的外心在中點，設為，設的外心為，中點為，，因為，所以必在連線上，則，即，因為兩平面交線為，為平面所在圓面中心，所以，，又因為二面角的大小為，，所以，所以，錐體外接球半徑，則三棱錐的外接球表面積為，
故選：B
【變式1-2】（2023·全國·高三專題練習）在三棱錐中，為等腰直角三角形，，為正三角形，且二面角的平面角為，則三棱錐的外接球表面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由球的截面性質(zhì)確定球心的位置，結(jié)合條件求出球的半徑，由此可求外接球的表面積
【詳解】如圖所示，為直角三角形，又，所以，因為為正三角形，所以，
連接，為的中點，E為中點，則，所以為二面角的平面角
所以．因為為直角三角形，E為中點，所以點為的外接圓的圓心，
設G為的中心，則G為的外接圓圓心．過E作面的垂線，過G作面的垂線，設兩垂線交于O．
則O即為三棱錐的外接球球心．設與交于點H，
，
所以,，∴．
所以，故選：C.
【變式1-3】已知在三棱錐中，，，，二面角的大小為，則三棱錐的外接球的表面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】如圖，取AC的中點D，連接BD，SD，則可得為二面角的平面角，得，過點D作與平面垂直的直線，則球心O在該直線上，設球的半徑為R，連接OB，OS，然后在△OSD中利用余弦定理可求出R，從而可求得球的表面積.
【詳解】如圖，取AC的中點D，連接BD，SD，因為，，
所以，所以為二面角的平面角，所以，因為AB⊥BC，，所以，因為，所以，
過點D作與平面ABC垂直的直線，則球心O在該直線上，設球的半徑為R，連接OB，OS，可得，
在△OSD中，∠ODS＝，利用余弦定理可得，
解得R2＝，所以其外接球的表面積為.故選：D
.
題型07 棱錐型外接球
【解題攻略】
【典例1-1】（2022上·浙江·高三校聯(lián)考開學考試）已知四棱錐外接球表面積為，體積為平面，且，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】將已知轉(zhuǎn)化為，運用余弦定理與基本不等式得到AC的取值范圍，
由此運用正弦定理得四邊形ABCD外接圓半徑的范圍，然后根據(jù)球的性質(zhì)得球半徑的
范圍，得解.
【詳解】
以四邊形ABCD的外接圓為底，PA為高，將四棱錐補形為一個已知球的內(nèi)接圓柱.
設內(nèi)接圓柱的底面半徑為r、 R外接球的半徑，,則，
，故，
，所以
在中運用余弦定理與基本不等式得：
，
在中運用余弦定理與基本不等式得：，
上兩式相加得：，故有： ，
在中由正弦定理得：，
因此，.故選：B
【典例1-2】（2022·湖北十堰·統(tǒng)考三模）在四棱錐中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，且PA=3，AB=4，則四棱錐外接球與內(nèi)切球的表面積之比為（ ）
A．B．10C．D．11
【答案】C
【分析】判斷出為外接球直徑即可求出外接球半徑，由得即可求出內(nèi)切球半徑，即可求出表面積之比.
【詳解】
設四棱錐外接球與內(nèi)切球的半徑分別為R，r，由底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，
則即為外接球直徑，則.
設內(nèi)切球球心為，因為，
又，，
四棱錐的表面積，所以，
故四棱錐外接球與內(nèi)切球的表面積之比為.
故選：C.
【變式1-1】（2022·江西·校聯(lián)考模擬預測）在平行四邊形中，，現(xiàn)沿著將平面折起，E，F(xiàn)分別為和的中點，那么當四棱錐的外接球球心不在錐體內(nèi)部時，的最大值為（ ）
A．1B．C．D．
【答案】D
【分析】由題意可知，當折起平面時，四棱錐的外接球球心在或其延長線上.當外接球球心與點重合時，求出的值，利用排除法出答案.
【詳解】因為平行四邊形中，，
所以三角形與都是邊長為的正三角形，
當折起平面時，四棱錐的外接球球心是過三角形的中心平面的垂線與過三角形的中心平面的垂線的交點，
因為E，F(xiàn)分別為和的中點，所以由對稱性可知，球心在或其延長線上.
因為四棱錐的外接球球心不在錐體內(nèi)部，
若球心與點重合.連接，根據(jù)題設可知,，所以，根據(jù)勾股定理，有
可得, ，因為，所以排除ABC.
故選：D.
【變式1-2】（2022·全國·模擬預測）如圖1，平面五邊形，，，，，將沿折起至平面平面，如圖2，若，則四棱錐的外接球體積是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】作，，由題意計算得，，，證明得平面，從而判斷得外接球球心在平面的垂線上，再計算出，可得就是外接球球心，從而得半徑，代入球的體積公式計算.
【詳解】由，易得，由題可知四邊形為等腰梯形，過點作，在中，，，由三角函數(shù)知，所以，取中點，過點作交于點，連接，，又因為平面平面，所以平面，易求，所以為中點，且外接球球心在平面的垂線上，又因為中，，，所以；同理可得，所以在平面內(nèi)，，即就是外接球球心，所以半徑，所以四棱錐外接球體積為.
故選：A.
【變式1-3】（2022下·四川成都·高三成都七中?？奸_學考試）在四棱錐中，底面為等腰梯形，底面.若，，則這個四棱錐的外接球表面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先求得四棱錐的外接球的半徑，再去求外接球表面積即可解決.
【詳解】取BC中點E，連接EA、ED，取PC中點H，連接EH、BH，等腰梯形中，，，
則有，則四邊形為平行四邊形，則，又，則為等邊三角形，
則，則△為等邊三角形。則，故點E為等腰梯形的外接圓圓心，
△中，，則
又底面，則底面，
又，
即，故點H為四棱錐的外接球球心，
球半徑則四棱錐外接球表面積為故選：C
題型08圓錐形外接球
【解題攻略】
【典例1-1】（2023下·浙江杭州·高三統(tǒng)考）圓錐內(nèi)半徑最大的球稱為該圓錐的內(nèi)切球，若圓錐的頂點和底面的圓周都在同一個球面上，則稱該球為圓錐的外接球.如圖，圓錐的內(nèi)切球和外接球的球心重合，且圓錐的底面直徑為，則（ ）

A．設內(nèi)切球的半徑為，外接球的半徑為，則
B．設內(nèi)切球的表面積，外接球的表面積為，則
C．設圓錐的體積為，內(nèi)切球的體積為，則
D．設、是圓錐底面圓上的兩點，且，則平面截內(nèi)切球所得截面的面積為
【答案】ACD
【分析】作出圓錐的軸截面，依題意可得為等邊三角形，設球心為（即為的重心），即可求出的外接圓和內(nèi)切圓的半徑，即可為圓錐的外接球、內(nèi)切球的半徑，即可判斷A、B，由圓錐及球的體積公式判斷C，所對的圓心角為（在圓上），設的中點為，即可求出，不妨設為上的點，連接，過點作交于點，利用三角形相似求出，即可求出截面圓的半徑，從而判斷D.
【詳解】作出圓錐的軸截面如下：

因為圓錐的內(nèi)切球和外接球的球心重合，所以為等邊三角形，
又，所以，
設球心為（即為的重心），所以，，
即內(nèi)切球的半徑為，外接球的半徑為，所以，故A正確；
設內(nèi)切球的表面積，外接球的表面積為，則，故B錯誤；
設圓錐的體積為，則，
內(nèi)切球的體積為，則，所以，故C正確；
設、是圓錐底面圓上的兩點，且，則所對的圓心角為（在圓上），
設的中點為，則，不妨設為上的點，連接，則，
過點作交于點，則，所以，
即，解得，
所以平面截內(nèi)切球截面圓的半徑，
所以截面圓的面積為，故D正確；故選：ACD
【典例1-2】（2023·安徽蚌埠·統(tǒng)考三模）已知為圓錐底面圓的直徑，點是圓上異于，的一點，為的中點，，圓錐的側(cè)面積為，則下列說法正確的是（ ）
A．圓上存在點使平面
B．圓上存在點使平面
C．圓錐的外接球表面積為
D．棱長為的正四面體在圓錐內(nèi)可以任意轉(zhuǎn)動
【答案】AD
【分析】對于選項A，通過找面面平行得到線面平行，從而判斷出選項A正確；對于選項B，通過假設存在點，從則得出面SBC應與面平行，與題意不符，從而判斷出B錯誤；對于選項C，可以直接求出外接球的半徑，求出球的表面積，從而判斷出C錯誤；對于選項D，轉(zhuǎn)化成正四面體的外接球能否在圓錐內(nèi)任意轉(zhuǎn)動，進而去判斷圓錐軸截面內(nèi)切圓半徑與球半徑的關(guān)系，從而判斷出選項D的正誤.
【詳解】對于選項A，如下圖，過作，交劣弧與點，連接，
由于分別為的中點，所以，
由于面，面，面，面，
所以面，面，面，面，
又因為，所以面面，
由于面，所以面，所以選項A正確；
選項B， 假設在點M使面SBC，面SBC，所以，
由圓錐易得底面圓，底面圓，
所以，，面，面，
所以面，
故面SBC應與面平行，與題意顯然不符，即選項B錯誤；
選項C，如下圖，依題意可知，所以，又，所以，
不妨設圓錐外接球心為，半徑為，則，
即，將代入，解得，
所以球的表面積，即選項C錯誤；
選項D，棱長為的正四面體如下圖所示，
正方體的邊長為，體對角線長為，
所以棱長為的正四面體的外接球半徑為，
設內(nèi)切圓的半徑為，則，解得，
所以，所以棱長為的正四面體在圓錐內(nèi)可以任意轉(zhuǎn)動，即選項D正確．
故選：AD.
【變式1-1】（2021·安徽·校聯(lián)考模擬預測）已知球是圓錐的外接球，圓錐的母線長是底面半徑的倍，且球的表面積為，則圓錐的側(cè)面積為 .
【答案】
【分析】設圓錐的底面半徑為，球的半徑為，根據(jù)已知條件求出、，利用圓錐的側(cè)面積公式可求得圓錐的側(cè)面積.
【詳解】設，球的半徑為，則，球的表面積為，得，
,
在中，，即，解得，
故圓錐的側(cè)面積為.
故答案為：.
【變式1-2】圓錐（其中為頂點，為底面圓心）的側(cè)面積與底面積的比是，則圓錐與它外接球（即頂點在球面上且底面圓周也在球面上）的體積比為
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
根據(jù)已知條件求得圓錐母線與底面圓半徑r的關(guān)系，從而得到圓錐的高與r關(guān)系，計算圓錐體積，由截面圖得到外接球的半徑R與r間的關(guān)系，計算球的體積，作比即可得到答案.
【詳解】
設圓錐底面圓的半徑為r,圓錐母線長為l，則側(cè)面積為，
側(cè)面積與底面積的比為,則母線l=2r,圓錐的高為h=,
則圓錐的體積為,
設外接球的球心為O,半徑為R,截面圖如圖，則OB=OS=R,OD=h-R=,BD=r,
在直角三角形BOD中，由勾股定理得,即,
展開整理得R=所以外接球的體積為,
故所求體積比為故選A
【變式1-3】已知球是圓錐的外接球，圓錐的母線長是底面半徑的倍，且球的表面積為，則圓錐的側(cè)面積為___________.
【答案】
【分析】
設圓錐的底面半徑為，球的半徑為，根據(jù)已知條件求出、，利用圓錐的側(cè)面積公式可求得圓錐的側(cè)面積.
【詳解】
設，球的半徑為，則，球的表面積為，得，
,
在中，，即，解得，
故圓錐的側(cè)面積為.故答案為：.
題型09棱臺型外接球
【解題攻略】
【典例1-1】由正三棱錐截得的三棱臺的高為，，．若三棱臺的各頂點都在球的球面上，則球的表面積為______．
【答案】
【分析】設三棱臺的上底面的外接圓的圓心為，下底面的外接圓的圓易得三棱臺的外接球的球心在上，分別求得AG，，在和，利用勾股定理求解.
【詳解】如圖所示：設三棱臺的上底面的外接圓的圓心為，
下底面的外接圓的圓心為，則，為所在正三角形的中心，故三棱臺的外接球的球心在上，因為是邊長為6的等邊三角形，故，
同理可得，設三棱臺的外接球的半徑為，在中，，
在中，，又三棱臺的高為，
因為，所以，故球心在的延長線上，
則，解得，
所以球的表面積為．故答案為：．
【典例1-2】由正三棱錐截得的三棱臺的各頂點都在球的球面上，若，三棱臺的高為2，且球心在平面與平面之間（不在兩平面上），則的取值范圍為___________.
【答案】
【分析】利用三棱臺的橫截面，設OH=h，A1G=m，利用球的半徑結(jié)合勾股定理列出關(guān)于m和h的關(guān)系式，由此求出m的范圍，由，即可得出答案.
【詳解】該三棱臺的橫截面如下圖所示，因為為正三角形，，所以
又，球心O在GH上，A，A1都在球面上，故OA=OA1，
設OH=h，A1G=m，由和均為直角三角形，
所以，解得，
又由圖可知，，
綜上可得，，又，所以，
則的取值范圍為，
故答案為：.
【變式1-1】已知正三棱臺的上下底邊長分別為，高為7，若該正三棱臺的六個頂點均在球的球面上，且球心在正三棱臺內(nèi)，則球的表面積為__________．
【答案】
【詳解】分析：取正三棱臺的上、下底面的中心分別為，則，得，解得，得，利用球的表面積公式即可求解．
詳解：因為正三棱臺的上、下底面邊長分別為，
取正三棱臺的上、下底面的中心分別為，
則正三棱臺的高為，
在上下底面的等邊三角形中，可得,
則球心在直線上，且半徑為，
所以，且,
解得，所以，
所以球的表面積為．
【變式1-2】在正四棱臺中，，則（ ）
A．該棱臺的體積為，該棱臺外接球的表面積為
B．該棱臺的體積為，該棱臺外接球的表面積為
C．該棱臺的體積為，該棱臺外接球的表面積為
D．該棱臺的體積為，該棱臺外接球的表面積為
【答案】B
【分析】根據(jù)正棱臺中的直角梯形（或直角三角形）求得棱臺的高，外接球的半徑，從而計算棱臺體積、球表面積．
【詳解】如圖，正四棱臺中，、分別是上、下底面對角線交點，即上、下底面中心，是正四棱臺的高．
，，
在直角梯形中，，
棱臺的體積為，
由對稱性外接球球心在直線上，設球半徑為，連接，，，
若在線段上（如圖1），由得，因為，，所以方程無實數(shù)解，
因此在的延長線上（如圖2），即在平面下方，
因此有，解得，
所以球表面積為．
故選：B．
【變式1-3】．如圖，三棱臺ABC－A1B1C1中，AB⊥AC，BC＝6，A1B1＝A1C1＝4，AA1＝5，平面BCC1B1⊥平面ABC，則該三棱臺外接球的體積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)面面垂直的性質(zhì)，結(jié)合球的幾何性質(zhì)、球體積進行求解即可.
【詳解】設的中點分別為，連接，如下圖所示：
顯然，因為平面BCC1B1⊥平面ABC，平面BCC1B1⊥平面ABC，
所以平面ABC，顯然該三棱臺外接球的球心在直線上，設球心為
因為AB⊥AC，BC＝6，A1B1＝A1C1＝，所以，
因此，當在線段上時，如下圖所示：
設，由勾股定理可知：，
所以球的體積為：，當不在線段上時，如下圖所示：
，由勾股定理可知：，方程組無實數(shù)解，
故選：A
題型10圓臺型外接球
【解題攻略】
【典例1-1】（2023下·江西南昌·高三校聯(lián)考階段練習）如圖，四邊形ABCD是直角梯形，其中AB＝1，CD＝2，AD⊥DC，O是AD的中點，以AD為直徑的半圓O與BC相切于點P．以AD為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周，可以得到一個球和一個圓臺．給出以下結(jié)論，其中正確結(jié)論的個數(shù)是（ ）
①圓臺的母線長為3；
②球的半徑為；
③將圓臺的母線延長交的延長線于點，則得到的圓錐的高為；
④點的軌跡的長度是．
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】由球體、圓臺的結(jié)構(gòu)特征及已知條件確定母線長、臺高和球體的半徑，再根據(jù)圓錐與圓臺相關(guān)線段相似比求錐體高，進而求的軌跡的長度.
【詳解】圓臺上、下底半徑分別為，設母線長為，高為，則球的直徑為，
因為與半圓相切于點，則，所以，①正確；
過作于，則1，
所以，即球的半徑為，②正確；
因為，易得，則，③錯誤；
過作于，延長與交于，則的軌跡以為圓心，為半徑的圓．
作于，得，則，即，得，
所以，點的軌跡的長度是，④錯誤，
故選：B
【典例1-2】（2023下·湖南益陽·高三統(tǒng)考）已知一個球與某圓臺的上下底面和側(cè)面均相切，若圓臺的側(cè)面積為，上下底面面積之比為1：9，則該球的表面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】首先利用圓臺和球的關(guān)系求出圓臺的上下底的半徑，進一步求出圓臺的母線長，最后求出內(nèi)切球的半徑和球的表面積.
【詳解】設圓臺的上、下底面半徑分別為和，母線長為，內(nèi)切球的半徑為，
因為上下底面面積之比為1：9，所以，得，
所以圓臺的側(cè)面積為，得，
因為球與圓臺的上下底面和側(cè)面均相切，所以，
所以，得，所以，，
所以，得，
所以該球的表面積為，故選：A
【變式1-1】（2023下·湖北咸寧·高三統(tǒng)考）已知球內(nèi)切于圓臺（即球與該圓臺的上、下底面以及側(cè)面均相切），且圓臺的上、下底面半徑，則圓臺的體積與球的體積之比為（ ）

A．B．C．2D．
【答案】B
【分析】畫出圓臺的軸截面圖，由幾何知識可確定球的半徑，即可得答案.
【詳解】如圖為該幾何體的軸截面，其中圓是等腰梯形的內(nèi)切圓，設圓與梯形的腰相切于點，與上、下底的分別切于點，，
設球的半徑為，圓臺上下底面的半徑為，.注意到與均為角平分線，因此，
從而，故.設臺體體積為，球體體積為，
則.
故選：B

【變式1-2】已知圓臺上底半徑為1，下底半徑為3，高為2，則此圓臺的外接球的表面積為______．
【答案】
【分析】先畫出圓臺的軸截面，利用圓心到上底圓周上一點等于外接球半徑，圓心到下底圓周上一點等于外接球半徑，建立方程，解出外接球半徑，求出外接球表面積.
【詳解】如圖所示，
設外接球半徑為r，球心到上底的距離為h，則球心到下底的距離為
則有，，解得，．所以外接球的表面積為．
故答案為：
【變式1-3】已知圓臺的上下底面半徑分別為1和2，側(cè)面積為，則該圓臺的外接球半徑為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)圓臺的側(cè)面積計算公式可求母線長，進而可求圓臺的高，根據(jù)球的性質(zhì)，即可利用球心與底面圓心的連線垂直與底面，根據(jù)勾股定理即可求解.
【詳解】設圓臺的高和母線分別為，球心到圓臺上底面的距離為，
根據(jù)圓臺的側(cè)面積公式可得，
因此圓臺的高，
當球心在圓臺內(nèi)部時，則，解得，故此時外接球半徑為，
當球心在圓臺外部時，則，，解得不符合要求，舍去，
故球半徑為。故選：B
題型11 內(nèi)切球型
【解題攻略】
【典例1-1】（2023·湖南郴州·統(tǒng)考一模）在圓錐中，母線，底面圓的半徑為，圓錐的側(cè)面積為，則（ ）
A．當時，則圓錐的體積為
B．當時，過頂點和兩母線的截面三角形的最大面積為
C．當時，圓錐的外接球表面積為
D．當時，棱長為的正四面體在圓錐內(nèi)可以任意轉(zhuǎn)動
【答案】AC
【分析】根據(jù)側(cè)面積可得，進而可得體積，可判斷A選項，利用余弦定理可確定軸截面的頂角為鈍角，進而可得截面面積的最值，可判斷B選項，確定外接球球心與半徑，可得外接球表面積，判斷C選項，求得正四面體的外接球半徑及圓錐的內(nèi)切球半徑，即可判斷D選項.
【詳解】由已知圓錐的側(cè)面積為，即，
A選項：當時，，所以，體積，A選項正確；
B選項：當時，，此時圓錐的軸截面如圖所示，

，所以為鈍角，令，是圓錐的底面圓周上任意的不同兩點，則，所以，當且僅當時，取等號，B選項錯誤；
C選項：當時，，其軸截面如圖所示，

可知其軸截面的外接圓半徑即為圓錐的外接球半徑，
又，
所以，所以外接球半徑滿足，，
所以外接球表面積，C選項正確；
D選項：棱長為的正四面體可以補成正方體，如圖所示，

則正方體的棱長，
所以正方體的外接球即正四面體的外接球，
直徑為，半徑為，
當時，，高，
圓錐的內(nèi)切球球心在線段上，圓錐的軸截面截內(nèi)切球的大圓，即圓錐軸截面的內(nèi)切圓，
設內(nèi)切圓半徑為，由三角形面積得，解得，
所以棱長為的正四面體不能在圓錐內(nèi)任意轉(zhuǎn)動，D選項錯誤；
故選：AC.
【典例1-2】.若正三棱柱既有外接球，又有內(nèi)切球，記該三棱柱的外接球和內(nèi)切球的半徑分別為、，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】設，計算出，可得出，再計算出，即可求得的值.
【詳解】設，則正的內(nèi)切圓半徑為，
由等面積法可得，可得，則，如下圖所示：
圓柱的底面圓直徑為，母線長為，則的中點到圓柱底面圓上每點的距離都相等，則為圓柱的外接球球心.球的半徑為，則，
可將正三棱柱置于圓柱內(nèi)，使得、的外接圓分別為圓、圓，
圓的半徑為，所以，，
因此，.故選：A.
【變式1-1】古代數(shù)學名著《九章算術(shù)?商功》中，將底面為矩形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱為陽馬，將四個面都為直角三角形的三棱錐稱為鱉臑．若四棱錐為陽馬，平面，，，則此“陽馬”外接球與內(nèi)切球的表面積之比為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
首先求出三棱錐的外接球半徑，進一步利用等體積法的應用求出內(nèi)切球的半徑，最后利用球的表面積公式求出結(jié)果．
解：因為四棱錐為陽馬，平面，，，所以
設外接球的半徑為，所以，故，所以，
所以，，所以設內(nèi)切球的半徑為，利用，解得，故，
故外接球與內(nèi)切球的表面積之比為．故選：．
【變式1-2】（2023·山東日照·統(tǒng)考二模）已知AB為圓錐SO底面圓O的直徑，點C是圓O上異于A，B的一點，N為SA的中點，，圓錐SO的側(cè)面積為，則下列說法正確的是（ ）
A．圓O上存在點M使∥平面SBC
B．圓O上存在點M使平面SBC
C．圓錐SO的外接球表面積為
D．棱長為的正四面體在圓錐SO內(nèi)可以任意轉(zhuǎn)動
【答案】ACD
【分析】對于A，根據(jù)面面平行證得線面平行；
對于B，假設存在點M使∥平面SBC，推理出矛盾，得出結(jié)論不成立；
對于C，圓錐SO的外接球球心在SO，構(gòu)造關(guān)于外接球半徑的直角三角形，由勾股定理求解；
對于D，求解圓錐SO的內(nèi)切球半徑，再求解內(nèi)切球的內(nèi)接正四面體棱長即可.
【詳解】對于A，如下圖，過點O作，交劣弧于點，連結(jié).
由于分別為的中點，所以，
又平面，平面，平面，平面，
所以平面，平面.
又，所以面平面.
又，所以平面SBC，故A正確；
對于B，假設圓O上存在點M使平面SBC, 平面，所以.
又因為平面ABC, 平面ABC，所以，又，
所以平面SOB,又平面SBC,
所以平面平面SBC，而平面平面，故B錯誤；
對于C，如下圖，已知，圓錐SO的側(cè)面積為，解得，則，
由題意可知球心O在SO上，記為，設其半徑為，
由勾股定理得，
所以，解得，
所以圓錐SO的外接球表面積為，故C正確；
對于D，設圓錐SO的內(nèi)切球半徑為，則圓錐的軸截面內(nèi)切圓的半徑為，
，，則，
如下圖，由等面積法知，.
設半徑為的球內(nèi)接正四面體棱長為.如下圖，為正四面體底面中心，為正四面體外接球球心，，
則，即，解得.故D正確.
故選：ACD.
【變式1-3】已知正四棱錐的底面邊長為1，側(cè)棱與底邊夾角的余弦值為，則正四棱錐的外接球與內(nèi)切球的半徑之比為___________.
【答案】
【分析】
先作出高PH，找出外接球的球心，計算出外接球的半徑；利用等體積法求內(nèi)切球的半徑，即可求出外接球與內(nèi)切球的半徑之比.
【詳解】
如圖，連接，取的中點，連接，則正面，則正四棱錐的外接球的球心在上，連接OA.取的中點，連接，，∵，∴，.
∵側(cè)棱與底邊夾角的余弦值為，即，∴， ..又∵，所以.
設正四棱錐的外接球的半徑為，在中，，
即，解得.設正四棱錐的外接球的內(nèi)切球的半徑為，
∵，而正四棱錐的表面積，
所以，即，解得.所以.故答案為：.
題型12 最值型外接球
【典例1-1】在中，分別為三邊中點，將分別沿向上折起，使重合，記為，則三棱錐的外接球表面積的最小值為
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
將三棱錐S﹣EFG補充成長方體，則對角線長分別為，，設長方體的長寬高分別為x，y，z，推導出x2+y2+z2＝28+，由基本不等式得，能求出三棱錐S﹣EFG的外接球面積的最小值．
【詳解】
由題意得三棱錐S﹣EFG的對棱分別相等，將三棱錐S﹣EFG補充成長方體，
則對角線長分別為，，設長方體的長寬高分別為x，y，z，
則x2+y2＝4m，y2+z2＝56，x2+z2＝4n，∴x2+y2+z2＝28+，
又∵，，且＝9，當且僅當取等號，
∴x2+y2+z2=28+，∴三棱錐S﹣EFG的外接球面積的最小值為：．
故選：B．
【典例1-2】已知三棱錐的外接球O半徑為2，球心O到所在平面的距離為1，則三棱錐體積的最大值為（ ）
A．B．C．D．3
【答案】A
【分析】
首先由球和三棱錐的組合體可知三棱錐的體積最大，轉(zhuǎn)化為半徑為的圓內(nèi)接面積的最大值，由圖形可知當?shù)母哌^圓心時面積最大，利用正弦定理表示三角形的面積，并利用導數(shù)求函數(shù)的最大值.
【詳解】
由題意可知當三棱錐的體積最大時，點到底面的距離，如圖所示， ,
中，,要求三棱錐體積的最大值，轉(zhuǎn)化為半徑為的圓內(nèi)接面積的最大值，
如圖，當?shù)母哌^圓心時面積最大，此時是等腰三角形，，
根據(jù)正弦定理,，
，，
設 則，則 ， 令，
，當時，，當時，，
當時，此時 , 此時取得最大值.
【變式1-1】已知四棱錐中，四邊形為等腰梯形，，，是等邊三角形，且；若點在四棱錐的外接球面上運動，記點到平面的距離為，若平面平面，則的最大值為（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】
根據(jù)平面平面，四邊形為等腰梯形，則球心在過的中點的面的垂線上，又是等邊三角形，所以球心也在過的外心面的垂線上，從而找到球心，再根據(jù)已知量求解即可.
【詳解】
依題意如圖所示：
取的中點，則是等腰梯形外接圓的圓心，
取是的外心，作平面平面，
則是四棱錐的外接球球心，且，
設四棱錐的外接球半徑為，則，而，
所以，故選：A.
【變式1-2】如圖，在體積為的三棱錐中，，，底面，則三棱錐外接球體積的最小值為______.
【答案】
【分析】
設外接圓的圓心為，外接圓的半徑為，由已知得是外心，為三棱錐外接球的球心，求出外接球半徑的最小值可得球體積最小值，為此設，，，，由棱錐體積得的關(guān)系，利用基本不等式得出的最小值即可得體積最小值．
【詳解】
如圖，設外接圓的圓心為，外接圓的半徑為，，，，，由，有，由可知，為三棱錐外接球的球心，有，解得
(當且僅當時取等號)，故三棱錐外接球體積的最小值為.
【變式1-3】如圖，已知等腰三角形的面積為，是底邊的中點，將沿中線折起，得到三棱錐．若，則該三棱錐外接球表面積的最小值為______．
【答案】
【分析】
將三棱錐補形為一個以為棱的長方體，利用長方體的對角線為三棱錐的外接球的直徑可求出結(jié)果.
【詳解】
設，，則的面積．
由于，，，所以平面，
將三棱錐補形為一個長方體，如圖，

則該長方體的體對角線滿足（當且僅當，時取等號），
設該三棱錐外接球的半徑為，則，該三棱錐外接球的表面積，即該三棱錐外接球表面積的最小值為.故答案為：.
題型13翻折型外接球
【典例1-1】（2023·四川·四川省金堂中學校校聯(lián)考三模）如圖，在梯形ABCD中，，，，將△ACD沿AC邊折起，使得點D翻折到點P，若三棱錐P-ABC的外接球表面積為，則（ ）
A．8B．4C．D．2
【答案】C
【分析】先找出兩個三角形外接圓的圓心及外接球的球心，通過證明，可得四邊形為平行四邊形，進而證得BC⊥面APC，通過勾股定理可求得PB的值.
【詳解】如圖所示，由題意知，，所以，，
所以AB的中點即為△ABC外接圓的圓心，記為，又因為，所以，，
所以在中，取AC的中點M，連接PM，則△APC的外心必在PM的延長線上，記為，
所以在中，因為，，所以為等邊三角形，
所以，（或由正弦定理得：）所以，
在中，，，，設外接球半徑為R，則，解得：，
設O為三棱錐P-ABC的外接球球心，則面ABC，面APC．所以在中，，
又因為在，，所以，，
所以四邊形為平行四邊形，所以，又因為，
所以，又因為面APC，所以BC⊥面APC，所以，
所以，即：.故選：C.
【典例1-2】如圖，在△ABC中，AB=2，BC=2，AC=2，E、F、G分別為三邊中點，將△BEF，△AEG，△GCF分別沿EF、EG、GF向上折起，使A、B、C重合，記為S，則三棱錐S–EFG的外接球面積為（ ）
A．14πB．15πC．πD．2π
【答案】A
【分析】
將三棱錐補充成長方體，求出長方體的體對角線長可得三棱錐的外接球的直徑，從而求出三棱錐的外接球面積.
【詳解】由題意得，三棱錐的對棱分別相等，將三棱錐補充成長方體，
則對角線長分別為，，，設長方體的長、寬、高分別為，，，
則，，，，
三棱錐的外接球的直徑為，半徑為 ， 三棱錐的外接球的面積為.故選.
【變式1-1】（2020·江西·統(tǒng)考模擬預測）已知矩形中，，，取線段，的中點，，連接，以線段為折痕進行翻折，使得，則四面體的外接球表面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】四面體的外接球就是三棱柱的外接球，記，分別是和的外接圓圓心，則的中點就是翻折后的直三棱柱的外接球球心，正弦定理求出，勾股定理求出代入球的表面積公式即可得解.
【詳解】在中，，，則是等腰三角形，，
由于四面體的外接球就是三棱柱的外接球，
記，分別是和的外接圓圓心，則的中點就是翻折后的直三棱柱的外接球球心，則外接球半徑，
由正弦定理可得，則，
所以，故四面體的外接球表面積為，
故選：B
【變式1-2】（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預測）如圖1，直角梯形中，，取中點，將沿翻折（如圖2），記四面體的外接球為球（為球心）.是球上一動點，當直線與直線所成角最大時，四面體體積的最大值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】首先得到球心在的中點，然后當與球相切時直線與直線所成角的最大，過作垂足為，當平面時四面體體積取得最大值，即可求出答案.
【詳解】由題意可知，均為等腰直角三角形，所以四面體的外接球的球心在的中點，
因為是球上的動點，若直線與直線所成角的最大，則與球相切，，此時，最大，
因為，，所以，
過作垂足為，則在以為圓心，為半徑的圓上運動.
所以當平面時四面體的體積取得最大值.
因為，所以，
所以，
故選：D.
【變式1-3】已知等邊的邊長為，，分別為，的中點，將沿折起得到四棱錐.點為四棱錐的外接球球面上任意一點，當四棱錐的體積最大時，到平面距離的最大值為______.
【答案】
【分析】
折疊為空間立體圖象，得出四棱錐的外接球的球心，求得四棱錐的外接球的半徑，則，由此能求出四棱錐的體積的最大時，點到平面距離的最大值．
【詳解】
由題意得，取的中點,
則是等腰梯形外接圓圓心，是的外心，
作平面，平面，
則是四棱錐的外接球的球心，且，
設四棱錐的外接球半徑為，則，
，
所以當四棱錐的體積最大時，
點到平面距離的最大值．
題型14外接球計算截面
【典例1-1】已知球是正四面體的外接球，，點在線段上，且，過點作球的截面，則所得截面圓面積的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
由題可得,當截面時,截面面積最小,設正四面體棱長為,先求得正四面體的外接球半徑為,再求得,進而求得截面圓的半徑,從而得到截面圓面積
【詳解】
由題,設平面為過的球的截面,則當平面時,截面積最小,
設截面半徑為,球的半徑為,則,
因為正四面體棱長為,設過點垂直于平面的直線交平面于點,則,令,,則,
在中,,即,則,
在中,,即,則,
解得,則,在中,,
因為點在線段上,,設中點為,則,所以,
在中,,即,
所以,因為,所以,所以截面面積為,故選：A
【典例1-2】已知球是棱長為1的正方體的外接球，為棱中點，現(xiàn)在棱和棱上分別取點，，使得平面與正方體各棱所成角相等，則平面截球的截面面積是__.
【答案】.
【分析】
首先證明，分別為對應棱的中點，再證明平面，求出的中點到與平面的交點的距離，再由勾股定理求得截面圓的半徑，則答案可求.
【詳解】正方體中，是棱中點，，分別為棱，上任意點，
正方體中，有，，
若平面與正方體各棱所成角相等，只需平面與，，所成角相等即可，
所以四面體中，，，與面所成角相等，設，，
過作面，如下圖所示：與面所成角為，與面所成角為，與面所成角為，則，，，
由所成角相等，得，即，，分別為，，的中點，
，，故面面，連接，，，，，
在正方體中，，又平面，，而，平面，則平面，，平面，則，同理，
，且，平面，平面，
球是正方體的外接球且正方體棱長為1，為的中點，，
設面，則為截面圓圓心且面，，
因此，設截面圓的半徑，為球的半徑，則，
，故，截面面積為.
故答案為：.
【變式1-1】已知正方體的棱長2，中心為，則四棱錐的外接球被平面截得的截面面積為______．
【答案】
【分析】
求出四棱錐的外接球的半徑，再由勾股定理求出四棱錐的外接球被平面截得的截面圓的半徑，由圓的面積公式求解．
【詳解】
設四棱錐的外接球半徑為，球心為，
直線與平面交于點，則，
即，，
又球心到平面的距離，
設四棱錐的外接球被平面截得的圓的半徑為，
則，
所以四棱錐的外接球被平面截得的截面面積．故答案為：
【變式1-2】如圖，已知球O是直三棱柱的外接球，，，E，F(xiàn)分別為，的中點，過點A，E，F(xiàn)作三棱柱的截面α，若α交于M，過點M作球O的截面，則所得截面圓面積的最小值是__________．
【答案】
【分析】
延長與相交于在三棱柱上底面，連結(jié)，與的交于點，根據(jù)線段比例關(guān)系，可以求得各線段長，求得外接球半徑，作出截面圓，求得截面圓的半徑的最小值，進而求得截面圓的面積.
【詳解】
在平面中，延長與相交于在三棱柱上底面，
連結(jié)，與的交于點，
根據(jù)線段比例關(guān)系，可以求得各線段長，如圖所示，
外接球：上下底面為直角三角形，所以上下底面的外心就是斜邊上的中點，
則有外接球半徑，
當垂直截面圓時，過的截面圓最小，
設截面圓半徑為，由余弦定理可得，
所以，
所以截面圓最小面積為.
故答案為：.

【變式1-3】已知正三棱錐的外接球是球，，，點為中點，過點作球的截面，則所得截面圓面積的取值范圍是______.
【答案】
【分析】
利用球心和小圓圓心的連線垂直于小圓，計算OD、OE，過E的截面垂直于OE時，截面最小，求出面積；當過E的截面經(jīng)過球心時，截面最大，求出面積即可.
【詳解】
如圖，設的中心為，球的半徑為，連接，，，，則，，
在中，，解得，所以，，所以，過點作球的截面，當截面與垂直時，截面的面積最小，此時截面的半徑為，則截面面積為，當截面過球心時，截面面積最大，最大面積為.
故答案為：.
高考練場
1.（2018上·四川成都·高三成都外國語學校階段練習）已知正方形ABCD的邊長為4，E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點，沿AE，EF，AF折成一個三棱錐P-AEF（使B，C，D重合于P），三棱錐P-AEF的外接球表面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由題意畫出圖形，把三棱錐P-AEF補形為長方體，求出長方體的對角線長，得到三棱錐外接球的半徑，代入球的表面積公式求解．
【詳解】解：如圖，
由題意可得，三棱錐P-AEF的三條側(cè)棱PA，PE，PF兩兩互相垂直，
且，，
把三棱錐P-AEF補形為長方體，則長方體的體對角線長為，
則三棱錐P-AEF的外接球的半徑為，
外接球的表面積為．
故選C．
2.（2020·浙江杭州·高三）已知三棱錐中, ,,.則該三棱錐的外接球表面積為 .
【答案】
【詳解】試題分析：由條件，可將三棱錐放入如圖所示的長方體中，設其長寬高分別為，有，得到，所以長方體的體對角線長為，該長方體的外接球也就是三棱錐的外接球半徑為，從而其表面積為.
3.（2023上·四川廣元·高三統(tǒng)考）三棱錐P－ABC中，PA⊥平面ABC，，△APC的面積為，則三棱錐P－ABC的外接球體積的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】設 ，利用△APC的面積為，所以 ，由正弦定理 ，得出△ABC外接圓半徑，再用勾股定理表示出外接球半徑，用基本不等式求出半徑的最小值，從而得出體積的最小值.
【詳解】設 ，因為△APC的面積為，所以 ，，
設△ABC外接圓半徑為r，利用正弦定理得 ，即.
因為平面，所球心O在過△ABC外心且與平面ABC垂直的直線上，
球心O到平面ABC的距離為 ，
設球O的半徑為R，則，
當且僅當 時，等號成立，
故三棱錐的外接球體積的最小值為 .故選：D.
4.（2021·陜西渭南·統(tǒng)考一模）在三棱錐中，，底面是等邊三角形，三棱錐的體積為，則三棱錐的外接球表面積的最小值是 .
【答案】
【解析】由條件可得是三棱錐的外接球的一條直徑，設三棱錐底面邊長和高分別為a，h.，根據(jù)體積公式可得，再由球心到底面的距離、求半徑和底面外接圓半徑的勾股關(guān)系，得到，進而得解.
【詳解】設三棱錐外接球的球心為O，三棱錐底面邊長和高分別為a，h.由，可知是三棱錐的外接球的一條直徑，所以O為的中點，則球心到底面的距離為.底面的外接圓半徑為r，則.
則，即.設三棱錐的外接球半徑為R，
則，當且僅當，即時等號成立，
故三棱錐的外接球表面積為.故答案為：.
5.．（2023上·高三課時練習）已知三棱錐的底面ABC是等邊三角形，平面SAC⊥平面ABC，，M為SB上一點，且．設三棱錐外接球球心為O，則（ ）
A．直線OM⊥平面SAC，OA⊥SBB．直線平面SAC，OA⊥SB
C．直線OM⊥平面SAC，平面OAM⊥平面SBCD．直線平面SAC，平面OAM⊥平面SBC
【答案】D
【分析】畫出幾何圖形，根據(jù)題意先找出和的外心，通過兩個外心與平面的位置關(guān)系確定出球心位置，再根據(jù)線面垂直判斷OA與SB的位置關(guān)系，繼而可判斷平面OAM與平面SBC的位置關(guān)系，最后根據(jù)線線平行判斷出直線OM與平面SAC的位置關(guān)系.
【詳解】第1步：判斷OA與SB的位置關(guān)系,如圖，取AC的中點E，BC的中點F，
連接AF，BE，設AF與BE的交點為O，連接OM，則O為外心，E為外心，因為平面SAC⊥平面ABC，所以O為三棱錐S-ABC外接球球心，因為SE⊥AC，BE⊥AC，，
所以AC⊥平面SBE，又平面SBE，所以AC⊥SB，假設OA⊥SB，因為，所以SB⊥平面ABC，
如圖顯然SB不垂直于平面ABC，所以OA不垂直于SB，故A、B錯誤；
第2步：判斷平面OAM與平面SBC的位置關(guān)系,因為AM⊥BC，AF⊥BC，，
所以BC⊥平面AMF，又平面SBC，所以平面OAM⊥平面SBC；第3步：判斷直線OM與平面SAC的位置關(guān)系,
因為AC⊥平面SBE，所以AC⊥OM，因為BC⊥平面AMF，所以BC⊥OM，
又，所以OM⊥平面ABC，又SE⊥平面ABC，所以，
所以直線平面SAC，故C錯誤， D正確.故選：D.
6.在四面體中，， ，二面角的大小為，則四面體外接球的表面積為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】取中點，中點，連接，證明是二面角的平面角，，是直角的外心，是直角的外心，在平面內(nèi)過作，過作，交點為四面體外接球球心，求出球半徑可得表面積．
【詳解】取中點，中點，連接，則，，
，，所以是直角的外心，，，
，，所以，，所以是二面角的平面角，，
是中點，則是直角的外心，
由，，，平面得平面，
平面，所以平面平面，同理平面平面，
平面平面，平面平面，
在平面內(nèi)過作，則平面，
在平面內(nèi)過作，則平面，與交于點，
所以為四面體的外接球的球心，
中，，所以，所以，
，所以外接球表面積為．故選：B．
7.（2023下·陜西西安·高三長安一中校考）底面半徑為的圓錐側(cè)面展開圖的圓心角大小為，則此圓錐外接球表面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由題意，根據(jù)圓錐底面周長與側(cè)面弧長的關(guān)系建立方程，求得母線，由勾股定理求得高線，進而求得外接球半徑，可得答案.
【詳解】由題意可作圖如下：
設圓錐的母線長為，由題意可得，解得，則圓錐的高，
圓錐外接球的半徑設為，則，解得，
故圓錐外接球的表面積.故選：A.
8.如圖所示，正四棱臺的頂點都在表面積為的球面上，側(cè)棱長為，且側(cè)棱與底面所成角為，則其上、下底面積之比為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】將棱臺的截面拿出來分析，根據(jù)對稱性，球心一定在這個梯形平面上下底的垂線上，列方程找出梯形上下底之間的關(guān)系即可.
【詳解】
把棱臺的截面拿出來分析，
如圖所示，根據(jù)對稱性，球心一定在這個梯形平面上下底的垂線上，注意到梯形的底角是，解得，
設球心為，，于是是等邊三角形，，可確定球心在梯形下底下方.
于是，，故， ，
又上下底面正方形的對角線，
于是上、下底面積之比為.故選：A
9.已知某圓臺的母線長為2，母線與軸所在直線的夾角是，且上、下底面的面積之比為1∶4，則該圓臺外接球的表面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】作出圓臺的軸截面等腰梯形，其外接圓是圓臺外接球的大圓，在這個軸截面中進行計算可得．
【詳解】如圖等腰梯形是圓臺的軸截面，是圓臺的對稱軸，
圓臺上、下底面的面積之比為1：4，則半徑比為1：2，設圓臺上、下底面半徑分別為r，2r，
因母線與軸的夾角是，母線長為2，可得圓臺的高為1，，設圓臺外接球的半徑為R，球心到下底面（大圓面）的距離為x，若球心在圓臺兩底面之間，如圖點位置，則且，無解；
若圓臺兩底面在球心同側(cè)，如圖點位置，則且，解得，則，
則該圓臺外接球的表面積為．
故選：C．
10.已知正三棱柱的側(cè)棱長為，底面邊長為，內(nèi)有一個體積為的球，若的最大值為，則此三棱柱外接球表面積的最小值為______.
【答案】
【分析】
求出正三棱柱底面內(nèi)切圓、外接圓的半徑，對和分類討論，即可求出此三棱柱外接球表面積的最小值.
【詳解】
解：因為正三棱柱的側(cè)棱長為，底面邊長為，
則底面三角形的內(nèi)切圓的半徑，外接圓的半徑
三棱柱內(nèi)的球的體積的最大值為，此時球的半徑，
當，即時，三棱柱的內(nèi)的球的半徑，
取得最大值，因為，所以不可能為；
當，即時，三棱柱的內(nèi)的球的半徑，取得最大值
解得，又，所以，
設正三棱柱外接球的半徑為，則
正三棱柱外接球表面積.當時，取得最小值。故答案為：
11.已知三棱錐的外接球表面積為，，則三棱錐體積的最大值為___________.
【答案】
【分析】
根據(jù)，可確定平面，，從而確定三棱錐外接球的球心為的中點，以及三棱錐的高為，再根據(jù)三棱錐的外接球表面積為，計算出外接球半徑，，當為以為直徑的半圓的中點時，的面積取得最大值，則此時體積最大，求解即可.
【詳解】
依題意，，解得，記三棱錐外接球的球心為，的中點為，其中即為的中點，則，則，設，在中，由勾股定理可得，，即，解得，即三棱錐的高；因為，故為所在截面圓的直徑，故當為半圓的中點時，的面積取得最大值，則三棱錐體積的最大值為
故答案為：
12.如圖，在△ABC中，AB=2，BC=2，AC=2，E、F、G分別為三邊中點，將△BEF，△AEG，△GCF分別沿EF、EG、GF向上折起，使A、B、C重合，記為S，則三棱錐S–EFG的外接球面積為（ ）
A．14πB．15πC．πD．2π
A．14πB．15πC．πD．2π
【答案】A【分析】將三棱錐補充成長方體，求出長方體的體對角線長可得三棱錐的外接球的直徑，從而求出三棱錐的外接球面積.
【詳解】由題意得，三棱錐的對棱分別相等，將三棱錐補充成長方體，
則對角線長分別為，，，設長方體的長、寬、高分別為，，，
則，，，，
三棱錐的外接球的直徑為，半徑為 ， 三棱錐的外接球的面積為.故選.
13.在邊長為的菱形ABCD中，，沿對角邊折成二面角為的四面體，則四面體外接球表面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D【分析】正確作出圖形，利用勾股定理建立方程，求出四面體的外接球的半徑，即可求出四面體的外接球的表面積．
解：如圖所示，，，，，
設，則，，由勾股定理可得，，
四面體的外接球的表面積為，故選：．
14.設三棱錐的所有棱長均為1，點滿足，，，則三棱錐的外接球被平面所截的截面面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】設⊥平面，垂足為，交平面于點，連結(jié)AM,求出AM, SM,
列方程求出外接球半徑R,根據(jù)勾股定理求出小圓半徑r,即可求出面積.
【詳解】
設⊥平面，垂足為，交平面于點，連結(jié)AM,
∵三棱錐的所有棱長均為1，
∴，.
易知三棱錐的外接球球心在直線上，設為點，并設外接球的半徑為，由，即解得.
由，， ，得，所以，
設三棱錐的外接球被平面所截的截面小圓的半徑為，則，
所以三棱錐的外接球被平面所截的截面面積為．故選：B.
15.（2021·四川·四川省綿陽南山中學?？寄M預測）體積為8的四棱錐的底面是邊長為的正方形，四棱錐的外接球球心到底面的距離為1，則點軌跡的長度為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B【分析】由已知可得到底面的距離，進而求出的外接球的半徑，確定點與點不在平面的兩側(cè)，得到點的軌跡，求解軌跡長度即可．
【詳解】由題意可知，點到底面的距離，
又四棱錐的外接球球心到底面的距離為1，設外接球半徑為，
因為底面的中心為，所以平面，且，
所以與不可能在面的兩側(cè)，如圖所示，故點在垂直于且與球心距離為2的平面與的外接球的交線上，即在如圖所示的以為半徑的圓上，而，
所以，故點的軌跡長度為．故選：B 正方體的棱長為a，球的半徑為R，則：
①若球為正方體的外接球，則2R＝eq \r(3)a；
②若球為正方體的內(nèi)切球，則2R＝a；
③球與正方體的各棱相切，則2R＝eq \r(2)a.
長方體的長、寬、高分別為a，b，c，則外接球直徑＝長方體對角線，即：2R＝eq \r(a2＋b2＋c2).
對棱相等的四面體：
三棱錐對棱相等，
存在一條棱垂直一個底面（底面是任意多邊形，實際是三角形或者四邊形（少），它的外接圓半徑是r，滿足正弦定理）
1.模板圖形原理
圖1 圖2
2.計算公式
解幾何體外接球（表面積/體積）的一般方法和步驟為：
1、尋找一個或兩個面的外接圓圓心
2、分別過兩個面的外心作該面的垂線，兩條垂線的交點即為外接圓圓心；
3、構(gòu)造直角三角形求解球半徑，進而求出外接球表面積或體積.
如果表面有等邊三角形或者直角三角形：兩垂線交心法
包含了面面垂直（倆面必然是特殊三角形）

等邊或者直角：（1）等邊三角形中心（外心）做面垂線，必過球心；
（2）直角三角形斜邊中點（外心）做面垂線，必過球心；
面面垂直型基本圖形
一般情況下，倆面是特殊三角形。垂面型，隱藏很深的線面垂直型，

二面角型求外接圓
在空間四邊形中，二面角的平面角大小為，的外接圓圓心為，的外接圓圓心為，為兩面交線的中點
所以
因為四點共圓，，根據(jù)余弦定理可知
錐體求外接球
（1）：確定球心的位置，取的外心，則三點共線；
(2)：算出小圓的半徑，算出棱錐的高（即圓錐的高）；
(3)：勾股定理：，解出
類比正棱錐，可以得帶圓錐型外接球
正棱臺外接球，以棱軸截面為主。
，其中分別為圓臺的上底面、下底面、高．
基本規(guī)律:正棱臺外接球，以棱軸截面為主
圓臺外接圓模型
圓臺外接球，即軸截面題型外接圓
內(nèi)切球球心到多面體各面的距離均相等，外接球球心到多面體各頂點的距離均相等，正多面體的內(nèi)切球和外接球的球心重合，正棱錐的內(nèi)切球和外接球球心都在高線上，但不重合.其中錐體與內(nèi)切球的關(guān)系：(V為幾何體的體積，S為多面體的表面積，r為內(nèi)切球的半徑)
三角形內(nèi)切圓
類比：三棱錐

相關(guān)試卷

2024年新高考數(shù)學題型全歸納講義第二十二講求曲線方程和動點軌跡歸類(原卷版+解析)：

這是一份2024年新高考數(shù)學題型全歸納講義第二十二講求曲線方程和動點軌跡歸類(原卷版+解析)，共48頁。

2024年新高考數(shù)學題型全歸納講義第二十講立體幾何大題綜合歸類(原卷版+解析)：

這是一份2024年新高考數(shù)學題型全歸納講義第二十講立體幾何大題綜合歸類(原卷版+解析)，共77頁。

2024年新高考數(shù)學題型全歸納講義第十九講立體幾何截面與最值歸類(原卷版+解析)：

這是一份2024年新高考數(shù)學題型全歸納講義第十九講立體幾何截面與最值歸類(原卷版+解析)，共89頁。

英語朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

專題6-1立體幾何動點與外接球歸類（14題型+解題攻略）-2024年高考數(shù)學二輪熱點題型歸納與變式演練（新高考通用）

專題6-1立體幾何動點與外接球歸類（14題型+解題攻略）-2024年高考數(shù)學二輪熱點題型歸納與變式演練（新高考通用）
專題6-1立體幾何動點與外接球歸類（14題型+解題攻略）-2024年高考數(shù)學二輪熱點題型歸納與變式演練（新高考通用）.zip

專題6-1立體幾何動點與外接球歸類（14題型+解題攻略）-2024年高考數(shù)學二輪熱點題型歸納與變式演練（新高考通用）.zip
專題5-2 截面與動點10題型歸類（講+練）-高考數(shù)學一輪復習熱點題型歸納培優(yōu)講義（新高考通用）

專題5-2 截面與動點10題型歸類（講+練）-高考數(shù)學一輪復習熱點題型歸納培優(yōu)講義（新高考通用）
高考數(shù)學一輪復習題型歸納講義 專題11 立體幾何 11.2外接球和內(nèi)切球 題型歸納講義 （原卷版+解析版）

高考數(shù)學一輪復習題型歸納講義 專題11 立體幾何 11.2外接球和內(nèi)切球 題型歸納講義 （原卷版+解析版）
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護您的合法權(quán)益。
入駐教習網(wǎng)，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
高考專區(qū)
歡迎來到教習網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機號注冊
手機號碼

手機號格式錯誤

手機驗證碼 獲取驗證碼

手機驗證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部