TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc30050" 題型01四大基礎(chǔ)模型：三線(xiàn)垂直型 PAGEREF _Tc30050 \h 1
\l "_Tc28684" 題型02 四大基礎(chǔ)模型：對(duì)棱相等型 PAGEREF _Tc28684 \h 2
\l "_Tc32446" 題型03四大基礎(chǔ)模型：直棱柱型 PAGEREF _Tc32446 \h 3
\l "_Tc32522" 題型04 四大基礎(chǔ)模型：雙線(xiàn)交心型 PAGEREF _Tc32522 \h 4
\l "_Tc16304" 題型05垂面型外接球 PAGEREF _Tc16304 \h 5
\l "_Tc9487" 題型06二面角型外接球 PAGEREF _Tc9487 \h 6
\l "_Tc31535" 題型07 四棱錐型外接球7
\l "_Tc12683" 題型08圓錐形外接球8
\l "_Tc16883" 題型09棱臺(tái)型外接球9
\l "_Tc7476" 題型10圓臺(tái)型外接球 PAGEREF _Tc7476 \h 10
\l "_Tc12596" 題型11 內(nèi)切球型 PAGEREF _Tc12596 \h 11
\l "_Tc25173" 題型12 最值型外接球12
\l "_Tc11326" 題型13翻折型外接球 PAGEREF _Tc11326 \h 13
\l "_Tc2193" 題型14外接球計(jì)算截面 PAGEREF _Tc2193 \h 14
\l "_Tc4002" 高考練場(chǎng) PAGEREF _Tc4002 \h 14
熱點(diǎn)題型歸納
題型01四大基礎(chǔ)模型：三線(xiàn)垂直型
【解題攻略】
【典例1-1】在三棱錐中，點(diǎn)在平面中的投影是的垂心，若是等腰直角三角形且，，則三棱錐的外接球表面積為_(kāi)__________
【典例1-2】.在正三棱錐中，，P到平面ABC的距離為2，則該三棱錐外接球的表面積為（ ）
A．B．C．D．
【變式1-1】（2022上·江西萍鄉(xiāng)·高三統(tǒng)考）三棱錐A-BCD中，平面BCD，，，則該三棱錐的外接球表面積為（ ）
A．B．C．D．
【變式1-2】．（2020下·四川綿陽(yáng)·高三統(tǒng)考）在邊長(zhǎng)為4的正方形中，，分別為，的中點(diǎn).將，，分別沿，，折起，使，，三點(diǎn)重合于，則三棱錐的外接球表面積為（ ）
A．B．C．D．
【變式1-3】（2018上·四川成都·高三成都外國(guó)語(yǔ)學(xué)校階段練習(xí)）已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點(diǎn)，沿AE，EF，AF折成一個(gè)三棱錐P-AEF（使B，C，D重合于P），三棱錐P-AEF的外接球表面積為（ ）
A．B．C．D．
題型02 四大基礎(chǔ)模型：對(duì)棱相等型
【解題攻略】
【典例1-1】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在三棱錐中，，，，則該三棱錐的外接球表面積是（ ）
A．B．C．D．
【典例1-2】（2019下·江蘇蘇州·高三江蘇省蘇州實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在三棱錐中，、、兩兩重直，，，，則該三棱錐外接球表面積為 ．
【變式1-1】如圖，在三棱錐中，，，，則三棱錐外接球的體積為（ ）
A．B．C．D．
【變式1-2】在三棱錐中，，，，則三棱錐的外接球的表面積為（ ）
A．B．C．D．
【變式1-3】在三棱錐P－ABC中，PA＝BC＝5，，，則三棱錐P－ABC的外接球的表面積為（ ）
A．B．C．D．
題型03四大基礎(chǔ)模型：直棱柱型
【解題攻略】
【典例1-1】（2022上·河南·高三校聯(lián)考專(zhuān)題練習(xí)）已知三棱錐中，平面，若，，，，則三棱錐的外接球表面積為（ ）
A．B．C．D．
【典例1-2】．（2022下·四川成都·高三成都七中?？奸_(kāi)學(xué)考試）在四棱錐中，底面為等腰梯形，底面.若，，則這個(gè)四棱錐的外接球表面積為（ ）
A．B．C．D．
【變式1-1】（2023·河南開(kāi)封·統(tǒng)考三模）在三棱錐中，，平面ABC，，，則三棱錐外接球體積的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【變式1-2】（2023·河北邯鄲·統(tǒng)考三模）三棱錐中，平面，，．過(guò)點(diǎn)分別作，交于點(diǎn)，記三棱錐的外接球表面積為，三棱錐的外接球表面積為，則（ ）
A．B．C．D．
【變式1-3】（2023·陜西咸陽(yáng)·武功縣普集高級(jí)中學(xué)統(tǒng)考二模）如圖，四棱錐中，平面，底面為邊長(zhǎng)為的正方形，，則該四棱錐的外接球表面積為（ ）
A．B．C．D．
題型04 四大基礎(chǔ)模型：雙線(xiàn)交心型
【解題攻略】
【典例1-1】（2023下·四川綿陽(yáng)·高三綿陽(yáng)南山中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知四棱錐的體積是，底面是正方形，是等邊三角形，平面平面，則四棱錐外接球表面積為（ ）
A．B．C．D．
【典例1-2】（2022·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在三棱錐中，平面平面，和都是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，若為三棱錐外接球上的動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)到平面距離的最大值為（ ）
A．B．
C．D．
【變式1-1】（2021上·貴州·高三統(tǒng)考）在三棱錐中，，底面是等邊三角形，三棱錐的體積為，則三棱錐的外接球表面積的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【變式1-2】（2022下·吉林·高三吉林一中?？迹┰谌忮F中，是邊長(zhǎng)為2的正三角形，且平面底面 ，，，則該三棱錐的外接球表面積為 ．
【變式1-3】（2021上·江蘇南京·高三統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）在三棱錐中，和都是邊長(zhǎng)為的正三角形，.若為三棱錐外接球上的動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)到平面距離的最大值為 .
題型05垂面型外接球
【解題攻略】
【典例1-1】（2020下·廣東深圳·高三深圳市南山區(qū)華僑城中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在三棱錐中，，，，，平面平面，若球是三棱錐的外接球，則球的半徑為．
A．B．C．D．
【典例1-2】（2021·高三課時(shí)練習(xí)）在邊長(zhǎng)為2的菱形中，，將菱形沿對(duì)角線(xiàn)折起，使得平面平面，則所得三棱錐的外接球表面積為（ ）
A．B．C．D．
【變式1-1】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，已知正方形的邊長(zhǎng)為4，若將沿翻折到的位置，使得平面平面，分別為和的中點(diǎn)，則直線(xiàn)被四面體的外接球所截得的線(xiàn)段長(zhǎng)為（ ）
A．B．C．D．
【變式1-2】（2023上·江蘇連云港·高三校考）已知三棱錐，為中點(diǎn)，，側(cè)面底面，則過(guò)點(diǎn)的平面截該三棱錐外接球所得截面面積的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【變式1-3】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在三棱錐中，，平面平面ABC，，點(diǎn)Q為三棱錐外接球O上一動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)Q到平面PAC的距離的最大值為，則球O的體積為( )
A．B．
C．D．
題型06二面角型外接球
【解題攻略】
【典例1-1】（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在菱形中，，將沿折起到的位置，若二面角的大小為，三棱錐的外接球球心為，的中點(diǎn)為，則
A．1B．2C．D．
【典例1-2】（2022上·湖南郴州·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）在邊長(zhǎng)為的菱形ABCD中，，沿對(duì)角邊折成二面角為的四面體，則四面體外接球表面積為（ ）
A．B．C．D．
【變式1-1】（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在三棱錐，是以AC為斜邊的等腰直角三角形，且，，二面角的大小為，則三棱錐的外接球表面積為（ ）
A．B．C．D．
【變式1-2】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在三棱錐中，為等腰直角三角形，，為正三角形，且二面角的平面角為，則三棱錐的外接球表面積為（ ）
A．B．C．D．
【變式1-3】已知在三棱錐中，，，，二面角的大小為，則三棱錐的外接球的表面積為（ ）
A．B．C．D．
題型07 棱錐型外接球
【解題攻略】
【典例1-1】（2022上·浙江·高三校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）已知四棱錐外接球表面積為，體積為平面，且，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【典例1-2】（2022·湖北十堰·統(tǒng)考三模）在四棱錐中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，且PA=3，AB=4，則四棱錐外接球與內(nèi)切球的表面積之比為（ ）
A．B．10C．D．11
【變式1-1】（2022·江西·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在平行四邊形中，，現(xiàn)沿著將平面折起，E，F(xiàn)分別為和的中點(diǎn)，那么當(dāng)四棱錐的外接球球心不在錐體內(nèi)部時(shí)，的最大值為（ ）
A．1B．C．D．
【變式1-2】（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖1，平面五邊形，，，，，將沿折起至平面平面，如圖2，若，則四棱錐的外接球體積是（ ）
A．B．C．D．
【變式1-3】（2022下·四川成都·高三成都七中?？奸_(kāi)學(xué)考試）在四棱錐中，底面為等腰梯形，底面.若，，則這個(gè)四棱錐的外接球表面積為（ ）
A．B．C．D．
題型08圓錐形外接球
【解題攻略】
【典例1-1】（2023下·浙江杭州·高三統(tǒng)考）圓錐內(nèi)半徑最大的球稱(chēng)為該圓錐的內(nèi)切球，若圓錐的頂點(diǎn)和底面的圓周都在同一個(gè)球面上，則稱(chēng)該球?yàn)閳A錐的外接球.如圖，圓錐的內(nèi)切球和外接球的球心重合，且圓錐的底面直徑為，則（ ）

A．設(shè)內(nèi)切球的半徑為，外接球的半徑為，則
B．設(shè)內(nèi)切球的表面積，外接球的表面積為，則
C．設(shè)圓錐的體積為，內(nèi)切球的體積為，則
D．設(shè)、是圓錐底面圓上的兩點(diǎn)，且，則平面截內(nèi)切球所得截面的面積為
【典例1-2】（2023·安徽蚌埠·統(tǒng)考三模）已知為圓錐底面圓的直徑，點(diǎn)是圓上異于，的一點(diǎn)，為的中點(diǎn)，，圓錐的側(cè)面積為，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．圓上存在點(diǎn)使平面
B．圓上存在點(diǎn)使平面
C．圓錐的外接球表面積為
D．棱長(zhǎng)為的正四面體在圓錐內(nèi)可以任意轉(zhuǎn)動(dòng)
【變式1-1】（2021·安徽·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知球是圓錐的外接球，圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)是底面半徑的倍，且球的表面積為，則圓錐的側(cè)面積為 .
【變式1-2】圓錐（其中為頂點(diǎn)，為底面圓心）的側(cè)面積與底面積的比是，則圓錐與它外接球（即頂點(diǎn)在球面上且底面圓周也在球面上）的體積比為
A．B．C．D．
【變式1-3】已知球是圓錐的外接球，圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)是底面半徑的倍，且球的表面積為，則圓錐的側(cè)面積為_(kāi)__________.
題型09棱臺(tái)型外接球
【解題攻略】
【典例1-1】由正三棱錐截得的三棱臺(tái)的高為，，．若三棱臺(tái)的各頂點(diǎn)都在球的球面上，則球的表面積為_(kāi)_____．
【典例1-2】由正三棱錐截得的三棱臺(tái)的各頂點(diǎn)都在球的球面上，若，三棱臺(tái)的高為2，且球心在平面與平面之間（不在兩平面上），則的取值范圍為_(kāi)_______.
【變式1-1】已知正三棱臺(tái)的上下底邊長(zhǎng)分別為，高為7，若該正三棱臺(tái)的六個(gè)頂點(diǎn)均在球的球面上，且球心在正三棱臺(tái)內(nèi)，則球的表面積為_(kāi)_________．
【變式1-2】在正四棱臺(tái)中，，則（ ）
A．該棱臺(tái)的體積為，該棱臺(tái)外接球的表面積為
B．該棱臺(tái)的體積為，該棱臺(tái)外接球的表面積為
C．該棱臺(tái)的體積為，該棱臺(tái)外接球的表面積為
D．該棱臺(tái)的體積為，該棱臺(tái)外接球的表面積為
【變式1-3】．如圖，三棱臺(tái)ABC－A1B1C1中，AB⊥AC，BC＝6，A1B1＝A1C1＝4，AA1＝5，平面BCC1B1⊥平面ABC，則該三棱臺(tái)外接球的體積為（ ）
A．B．C．D．
題型10圓臺(tái)型外接球
【解題攻略】
【典例1-1】（2023下·江西南昌·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，四邊形ABCD是直角梯形，其中AB＝1，CD＝2，AD⊥DC，O是AD的中點(diǎn)，以AD為直徑的半圓O與BC相切于點(diǎn)P．以AD為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周，可以得到一個(gè)球和一個(gè)圓臺(tái)．給出以下結(jié)論，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（ ）
①圓臺(tái)的母線(xiàn)長(zhǎng)為3；
②球的半徑為；
③將圓臺(tái)的母線(xiàn)延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，則得到的圓錐的高為；
④點(diǎn)的軌跡的長(zhǎng)度是．
A．1B．2C．3D．4
【典例1-2】（2023下·湖南益陽(yáng)·高三統(tǒng)考）已知一個(gè)球與某圓臺(tái)的上下底面和側(cè)面均相切，若圓臺(tái)的側(cè)面積為，上下底面面積之比為1：9，則該球的表面積為（ ）
A．B．C．D．
【變式1-1】（2023下·湖北咸寧·高三統(tǒng)考）已知球內(nèi)切于圓臺(tái)（即球與該圓臺(tái)的上、下底面以及側(cè)面均相切），且圓臺(tái)的上、下底面半徑，則圓臺(tái)的體積與球的體積之比為（ ）

A．B．C．2D．
【變式1-2】已知圓臺(tái)上底半徑為1，下底半徑為3，高為2，則此圓臺(tái)的外接球的表面積為_(kāi)_____．
【變式1-3】已知圓臺(tái)的上下底面半徑分別為1和2，側(cè)面積為，則該圓臺(tái)的外接球半徑為（ ）
A．B．C．D．
題型11 內(nèi)切球型
【解題攻略】
【典例1-1】（2023·湖南郴州·統(tǒng)考一模）在圓錐中，母線(xiàn)，底面圓的半徑為，圓錐的側(cè)面積為，則（ ）
A．當(dāng)時(shí)，則圓錐的體積為
B．當(dāng)時(shí)，過(guò)頂點(diǎn)和兩母線(xiàn)的截面三角形的最大面積為
C．當(dāng)時(shí)，圓錐的外接球表面積為
D．當(dāng)時(shí)，棱長(zhǎng)為的正四面體在圓錐內(nèi)可以任意轉(zhuǎn)動(dòng)
【典例1-2】.若正三棱柱既有外接球，又有內(nèi)切球，記該三棱柱的外接球和內(nèi)切球的半徑分別為、，則（ ）
A．B．C．D．
【變式1-1】古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)?商功》中，將底面為矩形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱(chēng)為陽(yáng)馬，將四個(gè)面都為直角三角形的三棱錐稱(chēng)為鱉臑．若四棱錐為陽(yáng)馬，平面，，，則此“陽(yáng)馬”外接球與內(nèi)切球的表面積之比為（ ）
A．B．C．D．
【變式1-2】（2023·山東日照·統(tǒng)考二模）已知AB為圓錐SO底面圓O的直徑，點(diǎn)C是圓O上異于A，B的一點(diǎn)，N為SA的中點(diǎn)，，圓錐SO的側(cè)面積為，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．圓O上存在點(diǎn)M使∥平面SBC
B．圓O上存在點(diǎn)M使平面SBC
C．圓錐SO的外接球表面積為
D．棱長(zhǎng)為的正四面體在圓錐SO內(nèi)可以任意轉(zhuǎn)動(dòng)
【變式1-3】已知正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為1，側(cè)棱與底邊夾角的余弦值為，則正四棱錐的外接球與內(nèi)切球的半徑之比為_(kāi)__________.
題型12 最值型外接球
【典例1-1】在中，分別為三邊中點(diǎn)，將分別沿向上折起，使重合，記為，則三棱錐的外接球表面積的最小值為
A．B．C．D．
【典例1-2】已知三棱錐的外接球O半徑為2，球心O到所在平面的距離為1，則三棱錐體積的最大值為（ ）
A．B．C．D．3
【變式1-1】已知四棱錐中，四邊形為等腰梯形，，，是等邊三角形，且；若點(diǎn)在四棱錐的外接球面上運(yùn)動(dòng)，記點(diǎn)到平面的距離為，若平面平面，則的最大值為（）
A．B．
C．D．
【變式1-2】如圖，在體積為的三棱錐中，，，底面，則三棱錐外接球體積的最小值為_(kāi)_____.
【變式1-3】如圖，已知等腰三角形的面積為，是底邊的中點(diǎn)，將沿中線(xiàn)折起，得到三棱錐．若，則該三棱錐外接球表面積的最小值為_(kāi)_____．
題型13翻折型外接球
【典例1-1】（2023·四川·四川省金堂中學(xué)校校聯(lián)考三模）如圖，在梯形ABCD中，，，，將△ACD沿AC邊折起，使得點(diǎn)D翻折到點(diǎn)P，若三棱錐P-ABC的外接球表面積為，則（ ）
A．8B．4C．D．2
【典例1-2】如圖，在△ABC中，AB=2，BC=2，AC=2，E、F、G分別為三邊中點(diǎn)，將△BEF，△AEG，△GCF分別沿EF、EG、GF向上折起，使A、B、C重合，記為S，則三棱錐S–EFG的外接球面積為（ ）
A．14πB．15πC．πD．2π
【變式1-1】（2020·江西·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知矩形中，，，取線(xiàn)段，的中點(diǎn)，，連接，以線(xiàn)段為折痕進(jìn)行翻折，使得，則四面體的外接球表面積為（ ）
A．B．C．D．
【變式1-2】（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖1，直角梯形中，，取中點(diǎn)，將沿翻折（如圖2），記四面體的外接球?yàn)榍颍榍蛐模?是球上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)直線(xiàn)與直線(xiàn)所成角最大時(shí)，四面體體積的最大值為（ ）
A．B．C．D．
【變式1-3】已知等邊的邊長(zhǎng)為，，分別為，的中點(diǎn)，將沿折起得到四棱錐.點(diǎn)為四棱錐的外接球球面上任意一點(diǎn)，當(dāng)四棱錐的體積最大時(shí)，到平面距離的最大值為_(kāi)_____.
題型14外接球計(jì)算截面
【典例1-1】已知球是正四面體的外接球，，點(diǎn)在線(xiàn)段上，且，過(guò)點(diǎn)作球的截面，則所得截面圓面積的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【典例1-2】已知球是棱長(zhǎng)為1的正方體的外接球，為棱中點(diǎn)，現(xiàn)在棱和棱上分別取點(diǎn)，，使得平面與正方體各棱所成角相等，則平面截球的截面面積是__.
【變式1-1】已知正方體的棱長(zhǎng)2，中心為，則四棱錐的外接球被平面截得的截面面積為_(kāi)_____．
【變式1-2】如圖，已知球O是直三棱柱的外接球，，，E，F(xiàn)分別為，的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A，E，F(xiàn)作三棱柱的截面α，若α交于M，過(guò)點(diǎn)M作球O的截面，則所得截面圓面積的最小值是__________．
【變式1-3】已知正三棱錐的外接球是球，，，點(diǎn)為中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作球的截面，則所得截面圓面積的取值范圍是______.
高考練場(chǎng)
1.（2018上·四川成都·高三成都外國(guó)語(yǔ)學(xué)校階段練習(xí)）已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點(diǎn)，沿AE，EF，AF折成一個(gè)三棱錐P-AEF（使B，C，D重合于P），三棱錐P-AEF的外接球表面積為（ ）
A．B．C．D．
2.（2020·浙江杭州·高三）已知三棱錐中, ,,.則該三棱錐的外接球表面積為 .
3.（2023上·四川廣元·高三統(tǒng)考）三棱錐P－ABC中，PA⊥平面ABC，，△APC的面積為，則三棱錐P－ABC的外接球體積的最小值為（ ）
A．B．C．D．
4.（2021·陜西渭南·統(tǒng)考一模）在三棱錐中，，底面是等邊三角形，三棱錐的體積為，則三棱錐的外接球表面積的最小值是 .
5.．（2023上·高三課時(shí)練習(xí)）已知三棱錐的底面ABC是等邊三角形，平面SAC⊥平面ABC，，M為SB上一點(diǎn)，且．設(shè)三棱錐外接球球心為O，則（ ）
A．直線(xiàn)OM⊥平面SAC，OA⊥SBB．直線(xiàn)平面SAC，OA⊥SB
C．直線(xiàn)OM⊥平面SAC，平面OAM⊥平面SBCD．直線(xiàn)平面SAC，平面OAM⊥平面SBC
6.在四面體中，， ，二面角的大小為，則四面體外接球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
7.（2023下·陜西西安·高三長(zhǎng)安一中?？迹┑酌姘霃綖榈膱A錐側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角大小為，則此圓錐外接球表面積為（ ）
A．B．C．D．
8.如圖所示，正四棱臺(tái)的頂點(diǎn)都在表面積為的球面上，側(cè)棱長(zhǎng)為，且側(cè)棱與底面所成角為，則其上、下底面積之比為（ ）
A．B．C．D．
9.已知某圓臺(tái)的母線(xiàn)長(zhǎng)為2，母線(xiàn)與軸所在直線(xiàn)的夾角是，且上、下底面的面積之比為1∶4，則該圓臺(tái)外接球的表面積為（ ）
A．B．C．D．
10.已知正三棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)為，底面邊長(zhǎng)為，內(nèi)有一個(gè)體積為的球，若的最大值為，則此三棱柱外接球表面積的最小值為_(kāi)_____.
11.已知三棱錐的外接球表面積為，，則三棱錐體積的最大值為_(kāi)__________.
12.如圖，在△ABC中，AB=2，BC=2，AC=2，E、F、G分別為三邊中點(diǎn)，將△BEF，△AEG，△GCF分別沿EF、EG、GF向上折起，使A、B、C重合，記為S，則三棱錐S–EFG的外接球面積為（ ）
A．14πB．15πC．πD．2π
13.在邊長(zhǎng)為的菱形ABCD中，，沿對(duì)角邊折成二面角為的四面體，則四面體外接球表面積為（ ）
A．B．C．D．
14.設(shè)三棱錐的所有棱長(zhǎng)均為1，點(diǎn)滿(mǎn)足，，，則三棱錐的外接球被平面所截的截面面積為（ ）
A．B．C．D．
15.（2021·四川·四川省綿陽(yáng)南山中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）體積為8的四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為的正方形，四棱錐的外接球球心到底面的距離為1，則點(diǎn)軌跡的長(zhǎng)度為（ ）
A．B．C．D． 正方體的棱長(zhǎng)為a，球的半徑為R，則：
①若球?yàn)檎襟w的外接球，則2R＝eq \r(3)a；
②若球?yàn)檎襟w的內(nèi)切球，則2R＝a；
③球與正方體的各棱相切，則2R＝eq \r(2)a.
長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為a，b，c，則外接球直徑＝長(zhǎng)方體對(duì)角線(xiàn)，即：2R＝eq \r(a2＋b2＋c2).
對(duì)棱相等的四面體：
三棱錐對(duì)棱相等，
存在一條棱垂直一個(gè)底面（底面是任意多邊形，實(shí)際是三角形或者四邊形（少），它的外接圓半徑是r，滿(mǎn)足正弦定理）
1.模板圖形原理
圖1 圖2
2.計(jì)算公式
解幾何體外接球（表面積/體積）的一般方法和步驟為：
1、尋找一個(gè)或兩個(gè)面的外接圓圓心
2、分別過(guò)兩個(gè)面的外心作該面的垂線(xiàn)，兩條垂線(xiàn)的交點(diǎn)即為外接圓圓心；
3、構(gòu)造直角三角形求解球半徑，進(jìn)而求出外接球表面積或體積.
如果表面有等邊三角形或者直角三角形：兩垂線(xiàn)交心法
包含了面面垂直（倆面必然是特殊三角形）

等邊或者直角：（1）等邊三角形中心（外心）做面垂線(xiàn)，必過(guò)球心；
（2）直角三角形斜邊中點(diǎn)（外心）做面垂線(xiàn)，必過(guò)球心；
面面垂直型基本圖形
一般情況下，倆面是特殊三角形。垂面型，隱藏很深的線(xiàn)面垂直型，

二面角型求外接圓
在空間四邊形中，二面角的平面角大小為，的外接圓圓心為，的外接圓圓心為，為兩面交線(xiàn)的中點(diǎn)
所以
因?yàn)樗狞c(diǎn)共圓，，根據(jù)余弦定理可知
錐體求外接球
（1）：確定球心的位置，取的外心，則三點(diǎn)共線(xiàn)；
(2)：算出小圓的半徑，算出棱錐的高（即圓錐的高）；
(3)：勾股定理：，解出
類(lèi)比正棱錐，可以得帶圓錐型外接球
正棱臺(tái)外接球，以棱軸截面為主。
，其中分別為圓臺(tái)的上底面、下底面、高．
基本規(guī)律:正棱臺(tái)外接球，以棱軸截面為主
圓臺(tái)外接圓模型
圓臺(tái)外接球，即軸截面題型外接圓
內(nèi)切球球心到多面體各面的距離均相等，外接球球心到多面體各頂點(diǎn)的距離均相等，正多面體的內(nèi)切球和外接球的球心重合，正棱錐的內(nèi)切球和外接球球心都在高線(xiàn)上，但不重合.其中錐體與內(nèi)切球的關(guān)系：(V為幾何體的體積，S為多面體的表面積，r為內(nèi)切球的半徑)
三角形內(nèi)切圓
類(lèi)比：三棱錐
第十八講 立體幾何動(dòng)點(diǎn)與外接球歸類(lèi)
目錄
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc30050" 題型01四大基礎(chǔ)模型：三線(xiàn)垂直型 PAGEREF _Tc30050 \h 1
\l "_Tc28684" 題型02 四大基礎(chǔ)模型：對(duì)棱相等型 PAGEREF _Tc28684 \h 4
\l "_Tc32446" 題型03四大基礎(chǔ)模型：直棱柱型 PAGEREF _Tc32446 \h 6
\l "_Tc32522" 題型04 四大基礎(chǔ)模型：雙線(xiàn)交心型 PAGEREF _Tc32522 \h 10
\l "_Tc16304" 題型05垂面型外接球 PAGEREF _Tc16304 \h 13
\l "_Tc9487" 題型06二面角型外接球 PAGEREF _Tc9487 \h 17
\l "_Tc31535" 題型07 四棱錐型外接球 PAGEREF _Tc31535 \h 21
\l "_Tc12683" 題型08圓錐形外接球 PAGEREF _Tc12683 \h 24
\l "_Tc16883" 題型09棱臺(tái)型外接球 PAGEREF _Tc16883 \h 28
\l "_Tc7476" 題型10圓臺(tái)型外接球 PAGEREF _Tc7476 \h 32
\l "_Tc12596" 題型11 內(nèi)切球型 PAGEREF _Tc12596 \h 35
\l "_Tc25173" 題型12 最值型外接球 PAGEREF _Tc25173 \h 41
\l "_Tc11326" 題型13翻折型外接球 PAGEREF _Tc11326 \h 44
\l "_Tc2193" 題型14外接球計(jì)算截面 PAGEREF _Tc2193 \h 47
\l "_Tc4002" 高考練場(chǎng) PAGEREF _Tc4002 \h 51
熱點(diǎn)題型歸納
題型01四大基礎(chǔ)模型：三線(xiàn)垂直型
【解題攻略】
【典例1-1】在三棱錐中，點(diǎn)在平面中的投影是的垂心，若是等腰直角三角形且，，則三棱錐的外接球表面積為_(kāi)__________
【答案】【分析】設(shè)的垂心為，由平面可證明，，，結(jié)合推導(dǎo)出，，兩兩互相垂直，則外接球半徑滿(mǎn)足，求出代入求解即可得出答案．
【詳解】
解：設(shè)的垂心為，連接，則平面，如圖所示：
由垂心知，，又，，則平面，又平面，所以，
又，，所以平面，又平面，得，
同理，則，
所以，，兩兩互相垂直，設(shè)三棱錐的外接球半徑為，
則，所以，球的表面積為．故答案為：.
【典例1-2】.在正三棱錐中，，P到平面ABC的距離為2，則該三棱錐外接球的表面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A【解析】因?yàn)?，由正三棱錐的性質(zhì)知，PA，PB，PC兩兩垂直且相等．設(shè)，則．
根據(jù)，得，
解得．
設(shè)三棱錐外接球的半徑為，則，所以．
故所求外接球的表面積為．
故選：A．
【變式1-1】（2022上·江西萍鄉(xiāng)·高三統(tǒng)考）三棱錐A-BCD中，平面BCD，，，則該三棱錐的外接球表面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C【分析】由題可知，可將三棱錐補(bǔ)成長(zhǎng)方體，求長(zhǎng)方體的外接球的表面積即可.
【詳解】由平面BCD，，知三棱錐A-BCD可補(bǔ)形為以AD，DC，BD為三條棱的長(zhǎng)方體，如圖所示，
三棱錐的外接球即長(zhǎng)方體的外接球，長(zhǎng)方體的對(duì)角線(xiàn)是外接球的直徑，設(shè)外接球的半徑為R，
則，所以該三棱錐的外接球表面積為.故選：C．
【變式1-2】．（2020下·四川綿陽(yáng)·高三統(tǒng)考）在邊長(zhǎng)為4的正方形中，，分別為，的中點(diǎn).將，，分別沿，，折起，使，，三點(diǎn)重合于，則三棱錐的外接球表面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】三棱錐中，兩兩垂直，以它們?yōu)橄噜徖獍讶忮F中補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方體，長(zhǎng)方體的外接球就是三棱錐的外接球，由此易得球半徑，得面積．
【詳解】由題意三棱錐中，兩兩垂直，以它們?yōu)橄噜徖獍讶忮F中補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方體，如圖，則長(zhǎng)方體的外接球就是三棱錐的外接球，
，，則外接球半徑為，
表面積為．
故選：D．
【變式1-3】（2018上·四川成都·高三成都外國(guó)語(yǔ)學(xué)校階段練習(xí)）已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點(diǎn)，沿AE，EF，AF折成一個(gè)三棱錐P-AEF（使B，C，D重合于P），三棱錐P-AEF的外接球表面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由題意畫(huà)出圖形，把三棱錐P-AEF補(bǔ)形為長(zhǎng)方體，求出長(zhǎng)方體的對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)，得到三棱錐外接球的半徑，代入球的表面積公式求解．
【詳解】解：如圖，
由題意可得，三棱錐P-AEF的三條側(cè)棱PA，PE，PF兩兩互相垂直，
且，，
把三棱錐P-AEF補(bǔ)形為長(zhǎng)方體，則長(zhǎng)方體的體對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為，
則三棱錐P-AEF的外接球的半徑為，
外接球的表面積為．
故選C．
題型02 四大基礎(chǔ)模型：對(duì)棱相等型
【解題攻略】
【典例1-1】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在三棱錐中，，，，則該三棱錐的外接球表面積是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由于三棱錐對(duì)棱相等，可將它補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方體，利用長(zhǎng)方體求得其外接球的半徑，然后求出球表面積即可．
【詳解】因?yàn)椋?br>所以可以將三棱錐如圖放置于一個(gè)長(zhǎng)方體中，如圖所示：
設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為a、b、c，則有，整理得，
則該棱錐外接球的半徑即為該長(zhǎng)方體外接球的半徑，
所以有，
所以所求的球體表面積為：．故選：A．
【典例1-2】（2019下·江蘇蘇州·高三江蘇省蘇州實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在三棱錐中，、、兩兩重直，，，，則該三棱錐外接球表面積為 ．
【答案】
【分析】三棱錐的三條側(cè)棱、、兩兩互相垂直，它的外接球就是它擴(kuò)展為長(zhǎng)方體的外接球，求出長(zhǎng)方體的對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)，就是球的直徑，然后求球的表面積．
【詳解】三棱錐的三條側(cè)棱、、兩兩互相垂直，它的外接球就是它擴(kuò)展為長(zhǎng)方體的外接球.
設(shè)，長(zhǎng)方體的對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為，
∴ ∴，
球的直徑是，球的半徑為，
球的表面積．故答案為：．
【變式1-1】如圖，在三棱錐中，，，，則三棱錐外接球的體積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】將三棱錐放到長(zhǎng)方體中，設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為，求出即得三棱錐外接球的半徑，即得解.
【詳解】解：由題意，，，，將三棱錐放到長(zhǎng)方體中，可得長(zhǎng)方體的三條對(duì)角線(xiàn)分別為，2，，設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為，
則，，，解得，，．
所以三棱錐外接球的半徑．
三棱錐外接球的體積．故選：C
【變式1-2】在三棱錐中，，，，則三棱錐的外接球的表面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)給定條件，構(gòu)造面對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)分別為4，5，的長(zhǎng)方體，求出其體對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)即可求解作答.
【詳解】三棱錐中，，，，
構(gòu)造長(zhǎng)方體，使得面上的對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)分別為4，5，，則長(zhǎng)方體的對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)等于三棱錐外接球的直徑，如圖，
設(shè)長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)分別為，，，則，，，則，
因此三棱錐外接球的直徑為，
所以三棱錐外接球的表面積為．
故選：A
【變式1-3】在三棱錐P－ABC中，PA＝BC＝5，，，則三棱錐P－ABC的外接球的表面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】將棱錐補(bǔ)全為長(zhǎng)方體，由長(zhǎng)方體外接球直徑與棱長(zhǎng)關(guān)系求直徑，進(jìn)而求其表面積.
【詳解】三棱錐P－ABC中，PA＝BC＝5，，，
構(gòu)造長(zhǎng)方體使得面對(duì)角線(xiàn)分別為5，，，則長(zhǎng)方體體對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)等于三棱錐外接球直徑，如圖所示，
設(shè)長(zhǎng)方體棱長(zhǎng)分別為a，b，c，則，，，
則，即，外接球表面積.
故選：D
.
題型03四大基礎(chǔ)模型：直棱柱型
【解題攻略】
【典例1-1】（2022上·河南·高三校聯(lián)考專(zhuān)題練習(xí)）已知三棱錐中，平面，若，，，，則三棱錐的外接球表面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由已知利用余弦定理求得，可得，由平面，可知三棱錐可以補(bǔ)形為長(zhǎng)方體，此時(shí)三棱錐的外接球即為長(zhǎng)方體的外接球，即可求得外接球的表面積.
【詳解】如圖，在中，由余弦定理，得，
即，則，故，
又而平面，將三棱錐置于一個(gè)長(zhǎng)方體中，可知三棱錐的外接球半徑，
則外接球表面積，
故選:D．

【典例1-2】．（2022下·四川成都·高三成都七中?？奸_(kāi)學(xué)考試）在四棱錐中，底面為等腰梯形，底面.若，，則這個(gè)四棱錐的外接球表面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先求得四棱錐的外接球的半徑，再去求外接球表面積即可解決.
【詳解】取BC中點(diǎn)E，連接EA、ED，取PC中點(diǎn)H，連接EH、BH，
等腰梯形中，，，
則有，則四邊形為平行四邊形，
則，又，則為等邊三角形，
則，則△為等邊三角形
則，故點(diǎn)E為等腰梯形的外接圓圓心，
△中，，則
又底面，則底面，
又，即，
故點(diǎn)H為四棱錐的外接球球心，
球半徑則四棱錐外接球表面積為故選：C
【變式1-1】（2023·河南開(kāi)封·統(tǒng)考三模）在三棱錐中，，平面ABC，，，則三棱錐外接球體積的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】將三棱錐可以補(bǔ)成長(zhǎng)方體，從而得到為三棱錐的外接球的直徑，要想體積最小，則最小即可，設(shè)，表達(dá)出，從而得到，進(jìn)而求出外接球體積的最小值.
【詳解】根據(jù)題意三棱錐可以補(bǔ)成分別以為長(zhǎng)、寬、高的長(zhǎng)方體，其中為長(zhǎng)方體的對(duì)角線(xiàn)，
則三棱錐的外接球球心即為的中點(diǎn)，要使三棱錐的外接球的體積最小，則最小．
設(shè)，則，，，
所以當(dāng)時(shí)，，則有三棱錐的外接球的球半徑最小為，
所以．故選：A
【變式1-2】（2023·河北邯鄲·統(tǒng)考三模）三棱錐中，平面，，．過(guò)點(diǎn)分別作，交于點(diǎn)，記三棱錐的外接球表面積為，三棱錐的外接球表面積為，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連，，，，證明是三棱錐的外接球的球心，為該球的直徑；是三棱錐的外接球的球心，為該球的直徑，設(shè)，求出，根據(jù)球的表面積公式可求出結(jié)果.
【詳解】取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連，，，，
因?yàn)槠矫?，平面，所以，，?br>因?yàn)?，，平面，所以平面?br>因?yàn)槠矫妫裕?br>在直角三角形中，是斜邊的中點(diǎn)，所以，
在直角三角形中，是斜邊的中點(diǎn)，所以，
所以是三棱錐的外接球的球心，為該球的直徑.
因?yàn)?，是斜邊的中點(diǎn)，所以，
因?yàn)椋?是斜邊的中點(diǎn)，所以，
所以是三棱錐的外接球的球心，為該球的直徑.設(shè)，則，
則，，所以.故選：B.
【變式1-3】（2023·陜西咸陽(yáng)·武功縣普集高級(jí)中學(xué)統(tǒng)考二模）如圖，四棱錐中，平面，底面為邊長(zhǎng)為的正方形，，則該四棱錐的外接球表面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】首先確定底面外接圓半徑，則所求外接球半徑為，代入球的表面積公式即可求得結(jié)果.
【詳解】四邊形為邊長(zhǎng)為的正方形，四邊形的外接圓半徑，
又平面，，四棱錐的外接球半徑，
四棱錐的外接球表面積.故選：D.
.
題型04 四大基礎(chǔ)模型：雙線(xiàn)交心型
【解題攻略】
【典例1-1】（2023下·四川綿陽(yáng)·高三綿陽(yáng)南山中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知四棱錐的體積是，底面是正方形，是等邊三角形，平面平面，則四棱錐外接球表面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】過(guò)點(diǎn)作于E，則PE為四棱錐的高，據(jù)此求出正方形棱長(zhǎng).再根據(jù)幾何關(guān)系找出外接球球心，根據(jù)勾股定理求出外接球半徑即可.
【詳解】
設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，在等邊三角形中，過(guò)點(diǎn)作于E，
由于平面平面，∴平面．
由于是等邊三角形，則，
∴，解得．
設(shè)四棱錐外接球的半徑為，為正方形ABCD中心，為等邊三角形PAB中心，
O為四棱錐P－ABCD外接球球心，則易知為矩形，
則，，
，∴外接球表面積．故選：C．
【典例1-2】（2022·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在三棱錐中，平面平面，和都是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，若為三棱錐外接球上的動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)到平面距離的最大值為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】設(shè)中點(diǎn)為，的外心為，的外心為，過(guò)點(diǎn)作平面的垂線(xiàn)，過(guò)點(diǎn)作平面的垂線(xiàn)，兩條垂線(xiàn)的交點(diǎn)，則點(diǎn)即為三棱錐外接球的球心，求出三棱錐外接球的半徑，假設(shè)球心到平面的距離得答案．
【詳解】解：設(shè)中點(diǎn)為，的外心為，的外心為，過(guò)點(diǎn)作平面的垂線(xiàn)，過(guò)點(diǎn)作平面的垂線(xiàn)，兩條垂線(xiàn)的交點(diǎn)，則點(diǎn)即為三棱錐外接球的球心，
因?yàn)楹投际沁呴L(zhǎng)為的正三角形，可得，
因?yàn)槠矫嫫矫?，，平面，平面平面?br>所以平面，又平面，所以，
又，所以四邊形是邊長(zhǎng)為1的正方形，
所以外接球半徑，所以到平面的距離，
即點(diǎn)到平面距離的最大值為.故選：D.
【變式1-1】（2021上·貴州·高三統(tǒng)考）在三棱錐中，，底面是等邊三角形，三棱錐的體積為，則三棱錐的外接球表面積的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】分別設(shè)出三棱錐的底面邊長(zhǎng)和高，利用體積為，則可得出其關(guān)系式.再利用三棱錐的底面邊長(zhǎng)和高表示出三棱錐的外接球半徑，即可利用基本不等式得出其半徑的最小值，即可求出其表面積的最小值.
【詳解】設(shè)三棱錐外接球的球心為，三棱錐底面邊長(zhǎng)和高分別為，.底面的外接圓半徑為，則.
由題意可知是三棱錐的外接球的一條直徑，則，即.
設(shè)三棱錐的外接球半徑為，球心到底面的距離為.則，
故三棱錐的外接球表面積為.
故選：A.
【變式1-2】（2022下·吉林·高三吉林一中?？迹┰谌忮F中，是邊長(zhǎng)為2的正三角形，且平面底面 ，，，則該三棱錐的外接球表面積為 ．
【答案】
【詳解】
如圖，是三棱錐外接球的球心，是外接圓的圓心，由球的性質(zhì)可得平面；又平面平面，取的中點(diǎn)，連接，
又是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，故且 ,又平面平面，平面， 平面 ，，連結(jié)過(guò)點(diǎn)作 所以四邊形是平行四邊形，；
在中， 由正弦定理可得 即：
設(shè)三棱錐外接球的半徑為
在中， 故
在中，且是的中點(diǎn)，故
在中， 故
在中， 故
兩邊平方得：
解得：所以三棱錐外接球的表面積為
故答案為：
【變式1-3】（2021上·江蘇南京·高三統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）在三棱錐中，和都是邊長(zhǎng)為的正三角形，.若為三棱錐外接球上的動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)到平面距離的最大值為 .
【答案】
【分析】設(shè)中點(diǎn)為，可證明，設(shè)和的外心分別為和，過(guò)和分別作兩個(gè)平面的垂線(xiàn)交于點(diǎn)即為三棱錐外接球的球心，求出外接球的半徑的長(zhǎng)，到平面的距離即可求解.
【詳解】
設(shè)中點(diǎn)為，的外心為，的外心為，
過(guò)點(diǎn)作面的垂線(xiàn)，過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)面的垂線(xiàn)，
兩條垂線(xiàn)的交點(diǎn)即為三棱錐外接球的球心，
因?yàn)楹投际沁呴L(zhǎng)為的正三角形，可得，
又，所以，所以，
又因?yàn)椋?，所以面?br>因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫?，且?br>所以四邊形是邊長(zhǎng)為的正方形，所以外接球半徑，
到平面的距離，
故答案為：.
題型05垂面型外接球
【解題攻略】
【典例1-1】（2020下·廣東深圳·高三深圳市南山區(qū)華僑城中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在三棱錐中，，，，，平面平面，若球是三棱錐的外接球，則球的半徑為．
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】取AB中點(diǎn)D，AC中點(diǎn)E，連PD，ED，得E為△外接圓的圓心，且OE∥平面，然后求出△的外接圓半徑和球心到平面的距離等于，由勾股定理得，即可得出答案.
【詳解】解：取AB中點(diǎn)D，AC中點(diǎn)E，連PD，ED
因?yàn)椋訣為△外接圓的圓心
因?yàn)镺E∥PD，OE不包含于平面，所以O(shè)E∥平面
因?yàn)槠矫嫫矫?，，得PDAB，EDAB
所以PD平面，ED平面。且，
所以球心到平面的距離等于
在△中，，，所以，
所以△得外接圓半徑，即
由勾股定理可得球的半徑故選A.
【典例1-2】（2021·高三課時(shí)練習(xí)）在邊長(zhǎng)為2的菱形中，，將菱形沿對(duì)角線(xiàn)折起，使得平面平面，則所得三棱錐的外接球表面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由題意畫(huà)出圖形，由于與均為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，取中點(diǎn)，連接，，則，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可得出平面，再確定為三棱錐的外接球的球心，結(jié)合已知求出三棱錐外接球的半徑，最后根據(jù)球的表面積公式求出外接球的表面積.
【詳解】解：在邊長(zhǎng)為2的菱形中，，
如圖，
由已知可得，與均為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，
取中點(diǎn)，連接，，則，，
平面平面，交線(xiàn)為，而平面，則平面，分別取與的外心，，
過(guò)，分別作兩面的垂線(xiàn)，相交于，則為三棱錐的外接球的球心，
由與均為等邊三角形且邊長(zhǎng)為2，可得，，
，即三棱錐外接球的半徑：，
三棱錐的外接球的表面積為：.故選：C.
【變式1-1】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，已知正方形的邊長(zhǎng)為4，若將沿翻折到的位置，使得平面平面，分別為和的中點(diǎn)，則直線(xiàn)被四面體的外接球所截得的線(xiàn)段長(zhǎng)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】首先取的中點(diǎn)，連接，，根據(jù)題意得到為四面體外接球的球心，且半徑，再計(jì)算的長(zhǎng)度得到，從而得到到的距離為1，再計(jì)算直線(xiàn)被四面體的外接球所截得的線(xiàn)段長(zhǎng)即可.
【詳解】取的中點(diǎn)，連接，，如圖所示：
因?yàn)?，，所以為四面體外接球的球心，且半徑.因?yàn)?，且為中點(diǎn)，所以.平面平面，所以平面.
過(guò)作，過(guò)作，連接，如圖所示：
在中，，，所以，同理，所以.
在中，，所以在中，.
又因?yàn)?，所以到的距離，
所以直線(xiàn)被球截得的線(xiàn)段長(zhǎng).故選：D
【變式1-2】（2023上·江蘇連云港·高三校考）已知三棱錐，為中點(diǎn)，，側(cè)面底面，則過(guò)點(diǎn)的平面截該三棱錐外接球所得截面面積的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】連接，，，設(shè)三棱錐外接球的球心為，設(shè)過(guò)點(diǎn)的平面為，則當(dāng)時(shí)，此時(shí)所得截面的面積最小，當(dāng)點(diǎn)在以為圓心的大圓上時(shí)，此時(shí)截面的面積最大，再結(jié)合球的截面的性質(zhì)即可得解.
【詳解】連接，，由，
可知：和是等邊三角形，
設(shè)三棱錐外接球的球心為，
所以球心到平面和平面的射影是和的中心，，
是等邊三角形，為中點(diǎn)，
所以，又因?yàn)閭?cè)面底面，側(cè)面底面，
所以底面，而底面，因此，所以是矩形,
和是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，所以?xún)蓚€(gè)三角形的高，
在矩形中，，連接，
所以，設(shè)過(guò)點(diǎn)的平面為，當(dāng)時(shí)，
此時(shí)所得截面的面積最小，該截面為圓形，，
因此圓的半徑為：，所以此時(shí)面積為，
當(dāng)點(diǎn)在以為圓心的大圓上時(shí)，此時(shí)截面的面積最大，面積為：，
所以截面的面積范圍為.故選：A．
【變式1-3】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在三棱錐中，，平面平面ABC，，點(diǎn)Q為三棱錐外接球O上一動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)Q到平面PAC的距離的最大值為，則球O的體積為( )
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】取AC的中點(diǎn)M，證明BM⊥平面PAC，從而可得BM⊥平面PAC，可得BM⊥PA，再證PA⊥平面ABC；設(shè)BC＝a，在△ABC中，利用余弦定理求出cs∠ABC及∠ABC的大小.設(shè)外接圓的圓心為，半徑為r，球O的半徑為R，求出長(zhǎng)度；連接，OA，求出長(zhǎng)度；在△PAO中，利用勾股定理求出R．易知，從而得∥平面PAC，從而得點(diǎn)O到平面PAC的距離等于點(diǎn)到平面PAC的距離.根據(jù)點(diǎn)Q到平面PAC距離的最大值為可得a的值，從而求得R，再根據(jù)球的體積公式即可求解．
【詳解】取AC的中點(diǎn)M，∵，∴，∵平面平面ABC，平面平面，
∴平面PAC，∵平面PAC，∴，∵，，∴平面ABC，
設(shè)，則，∴，
設(shè)外接圓的圓心為，半徑為r，球O的半徑為R，如圖所示，顯然B，M，三點(diǎn)共線(xiàn)，且平面PAC．
由，，得，，∴；連接，OA，則，
由平面ABC，且外接圓的圓心為，可得．
∵平面ABC，∴，∥平面PAC，∴點(diǎn)O到平面PAC的距離等于點(diǎn)到平面PAC的距離，
∵點(diǎn)Q到平面PAC距離的最大值為，∴，得，∴，
∴球O的體積為．故選：C．
.
題型06二面角型外接球
【解題攻略】
【典例1-1】（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在菱形中，，將沿折起到的位置，若二面角的大小為，三棱錐的外接球球心為，的中點(diǎn)為，則
A．1B．2C．D．
【答案】B
【詳解】因?yàn)樵诹庑?中，的中點(diǎn)為,所以 ,則 ,所以 為二面角的平面角,,由于,所以 為等邊三角形,若外接圓的圓心為,則平面,在等邊中,,可以證明,所以,又,所以 ,在中,,選B.
【典例1-2】（2022上·湖南郴州·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）在邊長(zhǎng)為的菱形ABCD中，，沿對(duì)角邊折成二面角為的四面體，則四面體外接球表面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】正確作出圖形，利用勾股定理建立方程，求出四面體的外接球的半徑，即可求出四面體的外接球的表面積．
【詳解】解：如圖所示，，，，
，設(shè)，則，，由勾股定理可得，
，四面體的外接球的表面積為，故選：．
【變式1-1】（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在三棱錐，是以AC為斜邊的等腰直角三角形，且，，二面角的大小為，則三棱錐的外接球表面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由題作出圖形，易得外接圓圓心在中點(diǎn)，結(jié)合正弦定理可求外接圓半徑，結(jié)合圖形知，，再結(jié)合二面角大小求出，進(jìn)而得解.
【詳解】根據(jù)題意，作出圖形，如圖所示，因?yàn)槭且訟C為斜邊的等腰直角三角形，所以的外心在中點(diǎn)，設(shè)為，設(shè)的外心為，中點(diǎn)為，，因?yàn)?，所以必在連線(xiàn)上，則，即，因?yàn)閮善矫娼痪€(xiàn)為，為平面所在圓面中心，所以，，又因?yàn)槎娼堑拇笮?，，所以，所以，錐體外接球半徑，則三棱錐的外接球表面積為，
故選：B
【變式1-2】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在三棱錐中，為等腰直角三角形，，為正三角形，且二面角的平面角為，則三棱錐的外接球表面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由球的截面性質(zhì)確定球心的位置，結(jié)合條件求出球的半徑，由此可求外接球的表面積
【詳解】如圖所示，為直角三角形，又，所以，因?yàn)闉檎切?，所以?br>連接，為的中點(diǎn)，E為中點(diǎn)，則，所以為二面角的平面角
所以．因?yàn)闉橹苯侨切?，E為中點(diǎn)，所以點(diǎn)為的外接圓的圓心，
設(shè)G為的中心，則G為的外接圓圓心．過(guò)E作面的垂線(xiàn)，過(guò)G作面的垂線(xiàn)，設(shè)兩垂線(xiàn)交于O．
則O即為三棱錐的外接球球心．設(shè)與交于點(diǎn)H，
，
所以,，∴．
所以，故選：C.
【變式1-3】已知在三棱錐中，，，，二面角的大小為，則三棱錐的外接球的表面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】如圖，取AC的中點(diǎn)D，連接BD，SD，則可得為二面角的平面角，得，過(guò)點(diǎn)D作與平面垂直的直線(xiàn)，則球心O在該直線(xiàn)上，設(shè)球的半徑為R，連接OB，OS，然后在△OSD中利用余弦定理可求出R，從而可求得球的表面積.
【詳解】如圖，取AC的中點(diǎn)D，連接BD，SD，因?yàn)椋?br>所以，所以為二面角的平面角，所以，因?yàn)锳B⊥BC，，所以，因?yàn)?，所以?br>過(guò)點(diǎn)D作與平面ABC垂直的直線(xiàn)，則球心O在該直線(xiàn)上，設(shè)球的半徑為R，連接OB，OS，可得，
在△OSD中，∠ODS＝，利用余弦定理可得，
解得R2＝，所以其外接球的表面積為.故選：D
.
題型07 棱錐型外接球
【解題攻略】
【典例1-1】（2022上·浙江·高三校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）已知四棱錐外接球表面積為，體積為平面，且，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】將已知轉(zhuǎn)化為，運(yùn)用余弦定理與基本不等式得到AC的取值范圍，
由此運(yùn)用正弦定理得四邊形ABCD外接圓半徑的范圍，然后根據(jù)球的性質(zhì)得球半徑的
范圍，得解.
【詳解】
以四邊形ABCD的外接圓為底，PA為高，將四棱錐補(bǔ)形為一個(gè)已知球的內(nèi)接圓柱.
設(shè)內(nèi)接圓柱的底面半徑為r、 R外接球的半徑，,則，
，故，
，所以
在中運(yùn)用余弦定理與基本不等式得：
，
在中運(yùn)用余弦定理與基本不等式得：，
上兩式相加得：，故有： ，
在中由正弦定理得：，
因此，.故選：B
【典例1-2】（2022·湖北十堰·統(tǒng)考三模）在四棱錐中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，且PA=3，AB=4，則四棱錐外接球與內(nèi)切球的表面積之比為（ ）
A．B．10C．D．11
【答案】C
【分析】判斷出為外接球直徑即可求出外接球半徑，由得即可求出內(nèi)切球半徑，即可求出表面積之比.
【詳解】
設(shè)四棱錐外接球與內(nèi)切球的半徑分別為R，r，由底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，
則即為外接球直徑，則.
設(shè)內(nèi)切球球心為，因?yàn)椋?br>又，，
四棱錐的表面積，所以，
故四棱錐外接球與內(nèi)切球的表面積之比為.
故選：C.
【變式1-1】（2022·江西·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在平行四邊形中，，現(xiàn)沿著將平面折起，E，F(xiàn)分別為和的中點(diǎn)，那么當(dāng)四棱錐的外接球球心不在錐體內(nèi)部時(shí)，的最大值為（ ）
A．1B．C．D．
【答案】D
【分析】由題意可知，當(dāng)折起平面時(shí)，四棱錐的外接球球心在或其延長(zhǎng)線(xiàn)上.當(dāng)外接球球心與點(diǎn)重合時(shí)，求出的值，利用排除法出答案.
【詳解】因?yàn)槠叫兴倪呅沃?，?br>所以三角形與都是邊長(zhǎng)為的正三角形，
當(dāng)折起平面時(shí)，四棱錐的外接球球心是過(guò)三角形的中心平面的垂線(xiàn)與過(guò)三角形的中心平面的垂線(xiàn)的交點(diǎn)，
因?yàn)镋，F(xiàn)分別為和的中點(diǎn)，所以由對(duì)稱(chēng)性可知，球心在或其延長(zhǎng)線(xiàn)上.
因?yàn)樗睦忮F的外接球球心不在錐體內(nèi)部，
若球心與點(diǎn)重合.連接，根據(jù)題設(shè)可知,，所以，根據(jù)勾股定理，有
可得, ，因?yàn)?，所以排除ABC.
故選：D.
【變式1-2】（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖1，平面五邊形，，，，，將沿折起至平面平面，如圖2，若，則四棱錐的外接球體積是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】作，，由題意計(jì)算得，，，證明得平面，從而判斷得外接球球心在平面的垂線(xiàn)上，再計(jì)算出，可得就是外接球球心，從而得半徑，代入球的體積公式計(jì)算.
【詳解】由，易得，由題可知四邊形為等腰梯形，過(guò)點(diǎn)作，在中，，，由三角函數(shù)知，所以，取中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接，，又因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面，易求，所以為中點(diǎn)，且外接球球心在平面的垂線(xiàn)上，又因?yàn)橹?，，，所以；同理可得，所以在平面?nèi)，，即就是外接球球心，所以半徑，所以四棱錐外接球體積為.
故選：A.
【變式1-3】（2022下·四川成都·高三成都七中?？奸_(kāi)學(xué)考試）在四棱錐中，底面為等腰梯形，底面.若，，則這個(gè)四棱錐的外接球表面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先求得四棱錐的外接球的半徑，再去求外接球表面積即可解決.
【詳解】取BC中點(diǎn)E，連接EA、ED，取PC中點(diǎn)H，連接EH、BH，等腰梯形中，，，
則有，則四邊形為平行四邊形，則，又，則為等邊三角形，
則，則△為等邊三角形。則，故點(diǎn)E為等腰梯形的外接圓圓心，
△中，，則
又底面，則底面，
又，
即，故點(diǎn)H為四棱錐的外接球球心，
球半徑則四棱錐外接球表面積為故選：C
題型08圓錐形外接球
【解題攻略】
【典例1-1】（2023下·浙江杭州·高三統(tǒng)考）圓錐內(nèi)半徑最大的球稱(chēng)為該圓錐的內(nèi)切球，若圓錐的頂點(diǎn)和底面的圓周都在同一個(gè)球面上，則稱(chēng)該球?yàn)閳A錐的外接球.如圖，圓錐的內(nèi)切球和外接球的球心重合，且圓錐的底面直徑為，則（ ）

A．設(shè)內(nèi)切球的半徑為，外接球的半徑為，則
B．設(shè)內(nèi)切球的表面積，外接球的表面積為，則
C．設(shè)圓錐的體積為，內(nèi)切球的體積為，則
D．設(shè)、是圓錐底面圓上的兩點(diǎn)，且，則平面截內(nèi)切球所得截面的面積為
【答案】ACD
【分析】作出圓錐的軸截面，依題意可得為等邊三角形，設(shè)球心為（即為的重心），即可求出的外接圓和內(nèi)切圓的半徑，即可為圓錐的外接球、內(nèi)切球的半徑，即可判斷A、B，由圓錐及球的體積公式判斷C，所對(duì)的圓心角為（在圓上），設(shè)的中點(diǎn)為，即可求出，不妨設(shè)為上的點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，利用三角形相似求出，即可求出截面圓的半徑，從而判斷D.
【詳解】作出圓錐的軸截面如下：

因?yàn)閳A錐的內(nèi)切球和外接球的球心重合，所以為等邊三角形，
又，所以，
設(shè)球心為（即為的重心），所以，，
即內(nèi)切球的半徑為，外接球的半徑為，所以，故A正確；
設(shè)內(nèi)切球的表面積，外接球的表面積為，則，故B錯(cuò)誤；
設(shè)圓錐的體積為，則，
內(nèi)切球的體積為，則，所以，故C正確；
設(shè)、是圓錐底面圓上的兩點(diǎn)，且，則所對(duì)的圓心角為（在圓上），
設(shè)的中點(diǎn)為，則，不妨設(shè)為上的點(diǎn)，連接，則，
過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，則，所以，
即，解得，
所以平面截內(nèi)切球截面圓的半徑，
所以截面圓的面積為，故D正確；故選：ACD
【典例1-2】（2023·安徽蚌埠·統(tǒng)考三模）已知為圓錐底面圓的直徑，點(diǎn)是圓上異于，的一點(diǎn)，為的中點(diǎn)，，圓錐的側(cè)面積為，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．圓上存在點(diǎn)使平面
B．圓上存在點(diǎn)使平面
C．圓錐的外接球表面積為
D．棱長(zhǎng)為的正四面體在圓錐內(nèi)可以任意轉(zhuǎn)動(dòng)
【答案】AD
【分析】對(duì)于選項(xiàng)A，通過(guò)找面面平行得到線(xiàn)面平行，從而判斷出選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，通過(guò)假設(shè)存在點(diǎn)，從則得出面SBC應(yīng)與面平行，與題意不符，從而判斷出B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，可以直接求出外接球的半徑，求出球的表面積，從而判斷出C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，轉(zhuǎn)化成正四面體的外接球能否在圓錐內(nèi)任意轉(zhuǎn)動(dòng)，進(jìn)而去判斷圓錐軸截面內(nèi)切圓半徑與球半徑的關(guān)系，從而判斷出選項(xiàng)D的正誤.
【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，如下圖，過(guò)作，交劣弧與點(diǎn)，連接，
由于分別為的中點(diǎn)，所以，
由于面，面，面，面，
所以面，面，面，面，
又因?yàn)椋悦婷妫?br>由于面，所以面，所以選項(xiàng)A正確；
選項(xiàng)B， 假設(shè)在點(diǎn)M使面SBC，面SBC，所以，
由圓錐易得底面圓，底面圓，
所以，，面，面，
所以面，
故面SBC應(yīng)與面平行，與題意顯然不符，即選項(xiàng)B錯(cuò)誤；
選項(xiàng)C，如下圖，依題意可知，所以，又，所以，
不妨設(shè)圓錐外接球心為，半徑為，則，
即，將代入，解得，
所以球的表面積，即選項(xiàng)C錯(cuò)誤；
選項(xiàng)D，棱長(zhǎng)為的正四面體如下圖所示，
正方體的邊長(zhǎng)為，體對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為，
所以棱長(zhǎng)為的正四面體的外接球半徑為，
設(shè)內(nèi)切圓的半徑為，則，解得，
所以，所以棱長(zhǎng)為的正四面體在圓錐內(nèi)可以任意轉(zhuǎn)動(dòng)，即選項(xiàng)D正確．
故選：AD.
【變式1-1】（2021·安徽·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知球是圓錐的外接球，圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)是底面半徑的倍，且球的表面積為，則圓錐的側(cè)面積為 .
【答案】
【分析】設(shè)圓錐的底面半徑為，球的半徑為，根據(jù)已知條件求出、，利用圓錐的側(cè)面積公式可求得圓錐的側(cè)面積.
【詳解】設(shè)，球的半徑為，則，球的表面積為，得，
,
在中，，即，解得，
故圓錐的側(cè)面積為.
故答案為：.
【變式1-2】圓錐（其中為頂點(diǎn)，為底面圓心）的側(cè)面積與底面積的比是，則圓錐與它外接球（即頂點(diǎn)在球面上且底面圓周也在球面上）的體積比為
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
根據(jù)已知條件求得圓錐母線(xiàn)與底面圓半徑r的關(guān)系，從而得到圓錐的高與r關(guān)系，計(jì)算圓錐體積，由截面圖得到外接球的半徑R與r間的關(guān)系，計(jì)算球的體積，作比即可得到答案.
【詳解】
設(shè)圓錐底面圓的半徑為r,圓錐母線(xiàn)長(zhǎng)為l，則側(cè)面積為，
側(cè)面積與底面積的比為,則母線(xiàn)l=2r,圓錐的高為h=,
則圓錐的體積為,
設(shè)外接球的球心為O,半徑為R,截面圖如圖，則OB=OS=R,OD=h-R=,BD=r,
在直角三角形BOD中，由勾股定理得,即,
展開(kāi)整理得R=所以外接球的體積為,
故所求體積比為故選A
【變式1-3】已知球是圓錐的外接球，圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)是底面半徑的倍，且球的表面積為，則圓錐的側(cè)面積為_(kāi)__________.
【答案】
【分析】
設(shè)圓錐的底面半徑為，球的半徑為，根據(jù)已知條件求出、，利用圓錐的側(cè)面積公式可求得圓錐的側(cè)面積.
【詳解】
設(shè)，球的半徑為，則，球的表面積為，得，
,
在中，，即，解得，
故圓錐的側(cè)面積為.故答案為：.
題型09棱臺(tái)型外接球
【解題攻略】
【典例1-1】由正三棱錐截得的三棱臺(tái)的高為，，．若三棱臺(tái)的各頂點(diǎn)都在球的球面上，則球的表面積為_(kāi)_____．
【答案】
【分析】設(shè)三棱臺(tái)的上底面的外接圓的圓心為，下底面的外接圓的圓易得三棱臺(tái)的外接球的球心在上，分別求得AG，，在和，利用勾股定理求解.
【詳解】如圖所示：設(shè)三棱臺(tái)的上底面的外接圓的圓心為，
下底面的外接圓的圓心為，則，為所在正三角形的中心，故三棱臺(tái)的外接球的球心在上，因?yàn)槭沁呴L(zhǎng)為6的等邊三角形，故，
同理可得，設(shè)三棱臺(tái)的外接球的半徑為，在中，，
在中，，又三棱臺(tái)的高為，
因?yàn)?，所以，故球心在的延長(zhǎng)線(xiàn)上，
則，解得，
所以球的表面積為．故答案為：．
【典例1-2】由正三棱錐截得的三棱臺(tái)的各頂點(diǎn)都在球的球面上，若，三棱臺(tái)的高為2，且球心在平面與平面之間（不在兩平面上），則的取值范圍為_(kāi)__________.
【答案】
【分析】利用三棱臺(tái)的橫截面，設(shè)OH=h，A1G=m，利用球的半徑結(jié)合勾股定理列出關(guān)于m和h的關(guān)系式，由此求出m的范圍，由，即可得出答案.
【詳解】該三棱臺(tái)的橫截面如下圖所示，因?yàn)闉檎切?，，所?br>又，球心O在GH上，A，A1都在球面上，故OA=OA1，
設(shè)OH=h，A1G=m，由和均為直角三角形，
所以，解得，
又由圖可知，，
綜上可得，，又，所以，
則的取值范圍為，
故答案為：.
【變式1-1】已知正三棱臺(tái)的上下底邊長(zhǎng)分別為，高為7，若該正三棱臺(tái)的六個(gè)頂點(diǎn)均在球的球面上，且球心在正三棱臺(tái)內(nèi)，則球的表面積為_(kāi)_________．
【答案】
【詳解】分析：取正三棱臺(tái)的上、下底面的中心分別為，則，得，解得，得，利用球的表面積公式即可求解．
詳解：因?yàn)檎馀_(tái)的上、下底面邊長(zhǎng)分別為，
取正三棱臺(tái)的上、下底面的中心分別為，
則正三棱臺(tái)的高為，
在上下底面的等邊三角形中，可得,
則球心在直線(xiàn)上，且半徑為，
所以，且,
解得，所以，
所以球的表面積為．
【變式1-2】在正四棱臺(tái)中，，則（ ）
A．該棱臺(tái)的體積為，該棱臺(tái)外接球的表面積為
B．該棱臺(tái)的體積為，該棱臺(tái)外接球的表面積為
C．該棱臺(tái)的體積為，該棱臺(tái)外接球的表面積為
D．該棱臺(tái)的體積為，該棱臺(tái)外接球的表面積為
【答案】B
【分析】根據(jù)正棱臺(tái)中的直角梯形（或直角三角形）求得棱臺(tái)的高，外接球的半徑，從而計(jì)算棱臺(tái)體積、球表面積．
【詳解】如圖，正四棱臺(tái)中，、分別是上、下底面對(duì)角線(xiàn)交點(diǎn)，即上、下底面中心，是正四棱臺(tái)的高．
，，
在直角梯形中，，
棱臺(tái)的體積為，
由對(duì)稱(chēng)性外接球球心在直線(xiàn)上，設(shè)球半徑為，連接，，，
若在線(xiàn)段上（如圖1），由得，因?yàn)?，，所以方程無(wú)實(shí)數(shù)解，
因此在的延長(zhǎng)線(xiàn)上（如圖2），即在平面下方，
因此有，解得，
所以球表面積為．
故選：B．
【變式1-3】．如圖，三棱臺(tái)ABC－A1B1C1中，AB⊥AC，BC＝6，A1B1＝A1C1＝4，AA1＝5，平面BCC1B1⊥平面ABC，則該三棱臺(tái)外接球的體積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)面面垂直的性質(zhì)，結(jié)合球的幾何性質(zhì)、球體積進(jìn)行求解即可.
【詳解】設(shè)的中點(diǎn)分別為，連接，如下圖所示：
顯然，因?yàn)槠矫鍮CC1B1⊥平面ABC，平面BCC1B1⊥平面ABC，
所以平面ABC，顯然該三棱臺(tái)外接球的球心在直線(xiàn)上，設(shè)球心為
因?yàn)锳B⊥AC，BC＝6，A1B1＝A1C1＝，所以，
因此，當(dāng)在線(xiàn)段上時(shí)，如下圖所示：
設(shè)，由勾股定理可知：，
所以球的體積為：，當(dāng)不在線(xiàn)段上時(shí)，如下圖所示：
，由勾股定理可知：，方程組無(wú)實(shí)數(shù)解，
故選：A
題型10圓臺(tái)型外接球
【解題攻略】
【典例1-1】（2023下·江西南昌·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，四邊形ABCD是直角梯形，其中AB＝1，CD＝2，AD⊥DC，O是AD的中點(diǎn)，以AD為直徑的半圓O與BC相切于點(diǎn)P．以AD為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周，可以得到一個(gè)球和一個(gè)圓臺(tái)．給出以下結(jié)論，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（ ）
①圓臺(tái)的母線(xiàn)長(zhǎng)為3；
②球的半徑為；
③將圓臺(tái)的母線(xiàn)延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，則得到的圓錐的高為；
④點(diǎn)的軌跡的長(zhǎng)度是．
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】由球體、圓臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征及已知條件確定母線(xiàn)長(zhǎng)、臺(tái)高和球體的半徑，再根據(jù)圓錐與圓臺(tái)相關(guān)線(xiàn)段相似比求錐體高，進(jìn)而求的軌跡的長(zhǎng)度.
【詳解】圓臺(tái)上、下底半徑分別為，設(shè)母線(xiàn)長(zhǎng)為，高為，則球的直徑為，
因?yàn)榕c半圓相切于點(diǎn)，則，所以，①正確；
過(guò)作于，則1，
所以，即球的半徑為，②正確；
因?yàn)?，易得，則，③錯(cuò)誤；
過(guò)作于，延長(zhǎng)與交于，則的軌跡以為圓心，為半徑的圓．
作于，得，則，即，得，
所以，點(diǎn)的軌跡的長(zhǎng)度是，④錯(cuò)誤，
故選：B
【典例1-2】（2023下·湖南益陽(yáng)·高三統(tǒng)考）已知一個(gè)球與某圓臺(tái)的上下底面和側(cè)面均相切，若圓臺(tái)的側(cè)面積為，上下底面面積之比為1：9，則該球的表面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】首先利用圓臺(tái)和球的關(guān)系求出圓臺(tái)的上下底的半徑，進(jìn)一步求出圓臺(tái)的母線(xiàn)長(zhǎng)，最后求出內(nèi)切球的半徑和球的表面積.
【詳解】設(shè)圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為和，母線(xiàn)長(zhǎng)為，內(nèi)切球的半徑為，
因?yàn)樯舷碌酌婷娣e之比為1：9，所以，得，
所以圓臺(tái)的側(cè)面積為，得，
因?yàn)榍蚺c圓臺(tái)的上下底面和側(cè)面均相切，所以，
所以，得，所以，，
所以，得，
所以該球的表面積為，故選：A
【變式1-1】（2023下·湖北咸寧·高三統(tǒng)考）已知球內(nèi)切于圓臺(tái)（即球與該圓臺(tái)的上、下底面以及側(cè)面均相切），且圓臺(tái)的上、下底面半徑，則圓臺(tái)的體積與球的體積之比為（ ）

A．B．C．2D．
【答案】B
【分析】畫(huà)出圓臺(tái)的軸截面圖，由幾何知識(shí)可確定球的半徑，即可得答案.
【詳解】如圖為該幾何體的軸截面，其中圓是等腰梯形的內(nèi)切圓，設(shè)圓與梯形的腰相切于點(diǎn)，與上、下底的分別切于點(diǎn)，，
設(shè)球的半徑為，圓臺(tái)上下底面的半徑為，.注意到與均為角平分線(xiàn)，因此，
從而，故.設(shè)臺(tái)體體積為，球體體積為，
則.
故選：B

【變式1-2】已知圓臺(tái)上底半徑為1，下底半徑為3，高為2，則此圓臺(tái)的外接球的表面積為_(kāi)_____．
【答案】
【分析】先畫(huà)出圓臺(tái)的軸截面，利用圓心到上底圓周上一點(diǎn)等于外接球半徑，圓心到下底圓周上一點(diǎn)等于外接球半徑，建立方程，解出外接球半徑，求出外接球表面積.
【詳解】如圖所示，
設(shè)外接球半徑為r，球心到上底的距離為h，則球心到下底的距離為
則有，，解得，．所以外接球的表面積為．
故答案為：
【變式1-3】已知圓臺(tái)的上下底面半徑分別為1和2，側(cè)面積為，則該圓臺(tái)的外接球半徑為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)圓臺(tái)的側(cè)面積計(jì)算公式可求母線(xiàn)長(zhǎng)，進(jìn)而可求圓臺(tái)的高，根據(jù)球的性質(zhì)，即可利用球心與底面圓心的連線(xiàn)垂直與底面，根據(jù)勾股定理即可求解.
【詳解】設(shè)圓臺(tái)的高和母線(xiàn)分別為，球心到圓臺(tái)上底面的距離為，
根據(jù)圓臺(tái)的側(cè)面積公式可得，
因此圓臺(tái)的高，
當(dāng)球心在圓臺(tái)內(nèi)部時(shí)，則，解得，故此時(shí)外接球半徑為，
當(dāng)球心在圓臺(tái)外部時(shí)，則，，解得不符合要求，舍去，
故球半徑為。故選：B
題型11 內(nèi)切球型
【解題攻略】
【典例1-1】（2023·湖南郴州·統(tǒng)考一模）在圓錐中，母線(xiàn)，底面圓的半徑為，圓錐的側(cè)面積為，則（ ）
A．當(dāng)時(shí)，則圓錐的體積為
B．當(dāng)時(shí)，過(guò)頂點(diǎn)和兩母線(xiàn)的截面三角形的最大面積為
C．當(dāng)時(shí)，圓錐的外接球表面積為
D．當(dāng)時(shí)，棱長(zhǎng)為的正四面體在圓錐內(nèi)可以任意轉(zhuǎn)動(dòng)
【答案】AC
【分析】根據(jù)側(cè)面積可得，進(jìn)而可得體積，可判斷A選項(xiàng)，利用余弦定理可確定軸截面的頂角為鈍角，進(jìn)而可得截面面積的最值，可判斷B選項(xiàng)，確定外接球球心與半徑，可得外接球表面積，判斷C選項(xiàng)，求得正四面體的外接球半徑及圓錐的內(nèi)切球半徑，即可判斷D選項(xiàng).
【詳解】由已知圓錐的側(cè)面積為，即，
A選項(xiàng)：當(dāng)時(shí)，，所以，體積，A選項(xiàng)正確；
B選項(xiàng)：當(dāng)時(shí)，，此時(shí)圓錐的軸截面如圖所示，

，所以為鈍角，令，是圓錐的底面圓周上任意的不同兩點(diǎn)，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C選項(xiàng)：當(dāng)時(shí)，，其軸截面如圖所示，

可知其軸截面的外接圓半徑即為圓錐的外接球半徑，
又，
所以，所以外接球半徑滿(mǎn)足，，
所以外接球表面積，C選項(xiàng)正確；
D選項(xiàng)：棱長(zhǎng)為的正四面體可以補(bǔ)成正方體，如圖所示，

則正方體的棱長(zhǎng)，
所以正方體的外接球即正四面體的外接球，
直徑為，半徑為，
當(dāng)時(shí)，，高，
圓錐的內(nèi)切球球心在線(xiàn)段上，圓錐的軸截面截內(nèi)切球的大圓，即圓錐軸截面的內(nèi)切圓，
設(shè)內(nèi)切圓半徑為，由三角形面積得，解得，
所以棱長(zhǎng)為的正四面體不能在圓錐內(nèi)任意轉(zhuǎn)動(dòng)，D選項(xiàng)錯(cuò)誤；
故選：AC.
【典例1-2】.若正三棱柱既有外接球，又有內(nèi)切球，記該三棱柱的外接球和內(nèi)切球的半徑分別為、，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】設(shè)，計(jì)算出，可得出，再計(jì)算出，即可求得的值.
【詳解】設(shè)，則正的內(nèi)切圓半徑為，
由等面積法可得，可得，則，如下圖所示：
圓柱的底面圓直徑為，母線(xiàn)長(zhǎng)為，則的中點(diǎn)到圓柱底面圓上每點(diǎn)的距離都相等，則為圓柱的外接球球心.球的半徑為，則，
可將正三棱柱置于圓柱內(nèi)，使得、的外接圓分別為圓、圓，
圓的半徑為，所以，，
因此，.故選：A.
【變式1-1】古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)?商功》中，將底面為矩形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱(chēng)為陽(yáng)馬，將四個(gè)面都為直角三角形的三棱錐稱(chēng)為鱉臑．若四棱錐為陽(yáng)馬，平面，，，則此“陽(yáng)馬”外接球與內(nèi)切球的表面積之比為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
首先求出三棱錐的外接球半徑，進(jìn)一步利用等體積法的應(yīng)用求出內(nèi)切球的半徑，最后利用球的表面積公式求出結(jié)果．
解：因?yàn)樗睦忮F為陽(yáng)馬，平面，，，所以
設(shè)外接球的半徑為，所以，故，所以，
所以，，所以設(shè)內(nèi)切球的半徑為，利用，解得，故，
故外接球與內(nèi)切球的表面積之比為．故選：．
【變式1-2】（2023·山東日照·統(tǒng)考二模）已知AB為圓錐SO底面圓O的直徑，點(diǎn)C是圓O上異于A，B的一點(diǎn)，N為SA的中點(diǎn)，，圓錐SO的側(cè)面積為，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．圓O上存在點(diǎn)M使∥平面SBC
B．圓O上存在點(diǎn)M使平面SBC
C．圓錐SO的外接球表面積為
D．棱長(zhǎng)為的正四面體在圓錐SO內(nèi)可以任意轉(zhuǎn)動(dòng)
【答案】ACD
【分析】對(duì)于A，根據(jù)面面平行證得線(xiàn)面平行；
對(duì)于B，假設(shè)存在點(diǎn)M使∥平面SBC，推理出矛盾，得出結(jié)論不成立；
對(duì)于C，圓錐SO的外接球球心在SO，構(gòu)造關(guān)于外接球半徑的直角三角形，由勾股定理求解；
對(duì)于D，求解圓錐SO的內(nèi)切球半徑，再求解內(nèi)切球的內(nèi)接正四面體棱長(zhǎng)即可.
【詳解】對(duì)于A，如下圖，過(guò)點(diǎn)O作，交劣弧于點(diǎn)，連結(jié).
由于分別為的中點(diǎn)，所以，
又平面，平面，平面，平面，
所以平面，平面.
又，所以面平面.
又，所以平面SBC，故A正確；
對(duì)于B，假設(shè)圓O上存在點(diǎn)M使平面SBC, 平面，所以.
又因?yàn)槠矫鍭BC, 平面ABC，所以，又，
所以平面SOB,又平面SBC,
所以平面平面SBC，而平面平面，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，如下圖，已知，圓錐SO的側(cè)面積為，解得，則，
由題意可知球心O在SO上，記為，設(shè)其半徑為，
由勾股定理得，
所以，解得，
所以圓錐SO的外接球表面積為，故C正確；
對(duì)于D，設(shè)圓錐SO的內(nèi)切球半徑為，則圓錐的軸截面內(nèi)切圓的半徑為，
，，則，
如下圖，由等面積法知，.
設(shè)半徑為的球內(nèi)接正四面體棱長(zhǎng)為.如下圖，為正四面體底面中心，為正四面體外接球球心，，
則，即，解得.故D正確.
故選：ACD.
【變式1-3】已知正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為1，側(cè)棱與底邊夾角的余弦值為，則正四棱錐的外接球與內(nèi)切球的半徑之比為_(kāi)__________.
【答案】
【分析】
先作出高PH，找出外接球的球心，計(jì)算出外接球的半徑；利用等體積法求內(nèi)切球的半徑，即可求出外接球與內(nèi)切球的半徑之比.
【詳解】
如圖，連接，取的中點(diǎn)，連接，則正面，則正四棱錐的外接球的球心在上，連接OA.取的中點(diǎn)，連接，，∵，∴，.
∵側(cè)棱與底邊夾角的余弦值為，即，∴， ..又∵，所以.
設(shè)正四棱錐的外接球的半徑為，在中，，
即，解得.設(shè)正四棱錐的外接球的內(nèi)切球的半徑為，
∵，而正四棱錐的表面積，
所以，即，解得.所以.故答案為：.
題型12 最值型外接球
【典例1-1】在中，分別為三邊中點(diǎn)，將分別沿向上折起，使重合，記為，則三棱錐的外接球表面積的最小值為
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
將三棱錐S﹣EFG補(bǔ)充成長(zhǎng)方體，則對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)分別為，，設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高分別為x，y，z，推導(dǎo)出x2+y2+z2＝28+，由基本不等式得，能求出三棱錐S﹣EFG的外接球面積的最小值．
【詳解】
由題意得三棱錐S﹣EFG的對(duì)棱分別相等，將三棱錐S﹣EFG補(bǔ)充成長(zhǎng)方體，
則對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)分別為，，設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高分別為x，y，z，
則x2+y2＝4m，y2+z2＝56，x2+z2＝4n，∴x2+y2+z2＝28+，
又∵，，且＝9，當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)，
∴x2+y2+z2=28+，∴三棱錐S﹣EFG的外接球面積的最小值為：．
故選：B．
【典例1-2】已知三棱錐的外接球O半徑為2，球心O到所在平面的距離為1，則三棱錐體積的最大值為（ ）
A．B．C．D．3
【答案】A
【分析】
首先由球和三棱錐的組合體可知三棱錐的體積最大，轉(zhuǎn)化為半徑為的圓內(nèi)接面積的最大值，由圖形可知當(dāng)?shù)母哌^(guò)圓心時(shí)面積最大，利用正弦定理表示三角形的面積，并利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最大值.
【詳解】
由題意可知當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，點(diǎn)到底面的距離，如圖所示， ,
中，,要求三棱錐體積的最大值，轉(zhuǎn)化為半徑為的圓內(nèi)接面積的最大值，
如圖，當(dāng)?shù)母哌^(guò)圓心時(shí)面積最大，此時(shí)是等腰三角形，，
根據(jù)正弦定理,，
，，
設(shè) 則，則 ， 令，
，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，此時(shí) , 此時(shí)取得最大值.
【變式1-1】已知四棱錐中，四邊形為等腰梯形，，，是等邊三角形，且；若點(diǎn)在四棱錐的外接球面上運(yùn)動(dòng)，記點(diǎn)到平面的距離為，若平面平面，則的最大值為（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】
根據(jù)平面平面，四邊形為等腰梯形，則球心在過(guò)的中點(diǎn)的面的垂線(xiàn)上，又是等邊三角形，所以球心也在過(guò)的外心面的垂線(xiàn)上，從而找到球心，再根據(jù)已知量求解即可.
【詳解】
依題意如圖所示：
取的中點(diǎn)，則是等腰梯形外接圓的圓心，
取是的外心，作平面平面，
則是四棱錐的外接球球心，且，
設(shè)四棱錐的外接球半徑為，則，而，
所以，故選：A.
【變式1-2】如圖，在體積為的三棱錐中，，，底面，則三棱錐外接球體積的最小值為_(kāi)_____.
【答案】
【分析】
設(shè)外接圓的圓心為，外接圓的半徑為，由已知得是外心，為三棱錐外接球的球心，求出外接球半徑的最小值可得球體積最小值，為此設(shè)，，，，由棱錐體積得的關(guān)系，利用基本不等式得出的最小值即可得體積最小值．
【詳解】
如圖，設(shè)外接圓的圓心為，外接圓的半徑為，，，，，由，有，由可知，為三棱錐外接球的球心，有，解得
(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào))，故三棱錐外接球體積的最小值為.
【變式1-3】如圖，已知等腰三角形的面積為，是底邊的中點(diǎn)，將沿中線(xiàn)折起，得到三棱錐．若，則該三棱錐外接球表面積的最小值為_(kāi)_____．
【答案】
【分析】
將三棱錐補(bǔ)形為一個(gè)以為棱的長(zhǎng)方體，利用長(zhǎng)方體的對(duì)角線(xiàn)為三棱錐的外接球的直徑可求出結(jié)果.
【詳解】
設(shè)，，則的面積．
由于，，，所以平面，
將三棱錐補(bǔ)形為一個(gè)長(zhǎng)方體，如圖，

則該長(zhǎng)方體的體對(duì)角線(xiàn)滿(mǎn)足（當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等號(hào)），
設(shè)該三棱錐外接球的半徑為，則，該三棱錐外接球的表面積，即該三棱錐外接球表面積的最小值為.故答案為：.
題型13翻折型外接球
【典例1-1】（2023·四川·四川省金堂中學(xué)校校聯(lián)考三模）如圖，在梯形ABCD中，，，，將△ACD沿AC邊折起，使得點(diǎn)D翻折到點(diǎn)P，若三棱錐P-ABC的外接球表面積為，則（ ）
A．8B．4C．D．2
【答案】C
【分析】先找出兩個(gè)三角形外接圓的圓心及外接球的球心，通過(guò)證明，可得四邊形為平行四邊形，進(jìn)而證得BC⊥面APC，通過(guò)勾股定理可求得PB的值.
【詳解】如圖所示，由題意知，，所以，，
所以AB的中點(diǎn)即為△ABC外接圓的圓心，記為，又因?yàn)?，所以，?br>所以在中，取AC的中點(diǎn)M，連接PM，則△APC的外心必在PM的延長(zhǎng)線(xiàn)上，記為，
所以在中，因?yàn)?，，所以為等邊三角形?br>所以，（或由正弦定理得：）所以，
在中，，，，設(shè)外接球半徑為R，則，解得：，
設(shè)O為三棱錐P-ABC的外接球球心，則面ABC，面APC．所以在中，，
又因?yàn)樵?，，所以，?br>所以四邊形為平行四邊形，所以，又因?yàn)椋?br>所以，又因?yàn)槊鍭PC，所以BC⊥面APC，所以，
所以，即：.故選：C.
【典例1-2】如圖，在△ABC中，AB=2，BC=2，AC=2，E、F、G分別為三邊中點(diǎn)，將△BEF，△AEG，△GCF分別沿EF、EG、GF向上折起，使A、B、C重合，記為S，則三棱錐S–EFG的外接球面積為（ ）
A．14πB．15πC．πD．2π
【答案】A
【分析】
將三棱錐補(bǔ)充成長(zhǎng)方體，求出長(zhǎng)方體的體對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)可得三棱錐的外接球的直徑，從而求出三棱錐的外接球面積.
【詳解】由題意得，三棱錐的對(duì)棱分別相等，將三棱錐補(bǔ)充成長(zhǎng)方體，
則對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)分別為，，，設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為，，，
則，，，，
三棱錐的外接球的直徑為，半徑為 ， 三棱錐的外接球的面積為.故選.
【變式1-1】（2020·江西·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知矩形中，，，取線(xiàn)段，的中點(diǎn)，，連接，以線(xiàn)段為折痕進(jìn)行翻折，使得，則四面體的外接球表面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】四面體的外接球就是三棱柱的外接球，記，分別是和的外接圓圓心，則的中點(diǎn)就是翻折后的直三棱柱的外接球球心，正弦定理求出，勾股定理求出代入球的表面積公式即可得解.
【詳解】在中，，，則是等腰三角形，，
由于四面體的外接球就是三棱柱的外接球，
記，分別是和的外接圓圓心，則的中點(diǎn)就是翻折后的直三棱柱的外接球球心，則外接球半徑，
由正弦定理可得，則，
所以，故四面體的外接球表面積為，
故選：B
【變式1-2】（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖1，直角梯形中，，取中點(diǎn)，將沿翻折（如圖2），記四面體的外接球?yàn)榍颍榍蛐模?是球上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)直線(xiàn)與直線(xiàn)所成角最大時(shí)，四面體體積的最大值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】首先得到球心在的中點(diǎn)，然后當(dāng)與球相切時(shí)直線(xiàn)與直線(xiàn)所成角的最大，過(guò)作垂足為，當(dāng)平面時(shí)四面體體積取得最大值，即可求出答案.
【詳解】由題意可知，均為等腰直角三角形，所以四面體的外接球的球心在的中點(diǎn)，
因?yàn)槭乔蛏系膭?dòng)點(diǎn)，若直線(xiàn)與直線(xiàn)所成角的最大，則與球相切，，此時(shí)，最大，
因?yàn)?，，所以?br>過(guò)作垂足為，則在以為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng).
所以當(dāng)平面時(shí)四面體的體積取得最大值.
因?yàn)椋裕?br>所以，
故選：D.
【變式1-3】已知等邊的邊長(zhǎng)為，，分別為，的中點(diǎn)，將沿折起得到四棱錐.點(diǎn)為四棱錐的外接球球面上任意一點(diǎn)，當(dāng)四棱錐的體積最大時(shí)，到平面距離的最大值為_(kāi)_____.
【答案】
【分析】
折疊為空間立體圖象，得出四棱錐的外接球的球心，求得四棱錐的外接球的半徑，則，由此能求出四棱錐的體積的最大時(shí)，點(diǎn)到平面距離的最大值．
【詳解】
由題意得，取的中點(diǎn),
則是等腰梯形外接圓圓心，是的外心，
作平面，平面，
則是四棱錐的外接球的球心，且，
設(shè)四棱錐的外接球半徑為，則，
，
所以當(dāng)四棱錐的體積最大時(shí)，
點(diǎn)到平面距離的最大值．
題型14外接球計(jì)算截面
【典例1-1】已知球是正四面體的外接球，，點(diǎn)在線(xiàn)段上，且，過(guò)點(diǎn)作球的截面，則所得截面圓面積的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
由題可得,當(dāng)截面時(shí),截面面積最小,設(shè)正四面體棱長(zhǎng)為,先求得正四面體的外接球半徑為,再求得,進(jìn)而求得截面圓的半徑,從而得到截面圓面積
【詳解】
由題,設(shè)平面為過(guò)的球的截面,則當(dāng)平面時(shí),截面積最小,
設(shè)截面半徑為,球的半徑為,則,
因?yàn)檎拿骟w棱長(zhǎng)為,設(shè)過(guò)點(diǎn)垂直于平面的直線(xiàn)交平面于點(diǎn),則,令,,則,
在中,,即,則,
在中,,即,則,
解得,則,在中,,
因?yàn)辄c(diǎn)在線(xiàn)段上,,設(shè)中點(diǎn)為,則,所以,
在中,,即,
所以,因?yàn)?所以,所以截面面積為,故選：A
【典例1-2】已知球是棱長(zhǎng)為1的正方體的外接球，為棱中點(diǎn)，現(xiàn)在棱和棱上分別取點(diǎn)，，使得平面與正方體各棱所成角相等，則平面截球的截面面積是__.
【答案】.
【分析】
首先證明，分別為對(duì)應(yīng)棱的中點(diǎn)，再證明平面，求出的中點(diǎn)到與平面的交點(diǎn)的距離，再由勾股定理求得截面圓的半徑，則答案可求.
【詳解】正方體中，是棱中點(diǎn)，，分別為棱，上任意點(diǎn)，
正方體中，有，，
若平面與正方體各棱所成角相等，只需平面與，，所成角相等即可，
所以四面體中，，，與面所成角相等，設(shè)，，
過(guò)作面，如下圖所示：與面所成角為，與面所成角為，與面所成角為，則，，，
由所成角相等，得，即，，分別為，，的中點(diǎn)，
，，故面面，連接，，，，，
在正方體中，，又平面，，而，平面，則平面，，平面，則，同理，
，且，平面，平面，
球是正方體的外接球且正方體棱長(zhǎng)為1，為的中點(diǎn)，，
設(shè)面，則為截面圓圓心且面，，
因此，設(shè)截面圓的半徑，為球的半徑，則，
，故，截面面積為.
故答案為：.
【變式1-1】已知正方體的棱長(zhǎng)2，中心為，則四棱錐的外接球被平面截得的截面面積為_(kāi)_____．
【答案】
【分析】
求出四棱錐的外接球的半徑，再由勾股定理求出四棱錐的外接球被平面截得的截面圓的半徑，由圓的面積公式求解．
【詳解】
設(shè)四棱錐的外接球半徑為，球心為，
直線(xiàn)與平面交于點(diǎn)，則，
即，，
又球心到平面的距離，
設(shè)四棱錐的外接球被平面截得的圓的半徑為，
則，
所以四棱錐的外接球被平面截得的截面面積．故答案為：
【變式1-2】如圖，已知球O是直三棱柱的外接球，，，E，F(xiàn)分別為，的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A，E，F(xiàn)作三棱柱的截面α，若α交于M，過(guò)點(diǎn)M作球O的截面，則所得截面圓面積的最小值是__________．
【答案】
【分析】
延長(zhǎng)與相交于在三棱柱上底面，連結(jié)，與的交于點(diǎn)，根據(jù)線(xiàn)段比例關(guān)系，可以求得各線(xiàn)段長(zhǎng)，求得外接球半徑，作出截面圓，求得截面圓的半徑的最小值，進(jìn)而求得截面圓的面積.
【詳解】
在平面中，延長(zhǎng)與相交于在三棱柱上底面，
連結(jié)，與的交于點(diǎn)，
根據(jù)線(xiàn)段比例關(guān)系，可以求得各線(xiàn)段長(zhǎng)，如圖所示，
外接球：上下底面為直角三角形，所以上下底面的外心就是斜邊上的中點(diǎn)，
則有外接球半徑，
當(dāng)垂直截面圓時(shí)，過(guò)的截面圓最小，
設(shè)截面圓半徑為，由余弦定理可得，
所以，
所以截面圓最小面積為.
故答案為：.

【變式1-3】已知正三棱錐的外接球是球，，，點(diǎn)為中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作球的截面，則所得截面圓面積的取值范圍是______.
【答案】
【分析】
利用球心和小圓圓心的連線(xiàn)垂直于小圓，計(jì)算OD、OE，過(guò)E的截面垂直于OE時(shí)，截面最小，求出面積；當(dāng)過(guò)E的截面經(jīng)過(guò)球心時(shí)，截面最大，求出面積即可.
【詳解】
如圖，設(shè)的中心為，球的半徑為，連接，，，，則，，
在中，，解得，所以，，所以，過(guò)點(diǎn)作球的截面，當(dāng)截面與垂直時(shí)，截面的面積最小，此時(shí)截面的半徑為，則截面面積為，當(dāng)截面過(guò)球心時(shí)，截面面積最大，最大面積為.
故答案為：.
高考練場(chǎng)
1.（2018上·四川成都·高三成都外國(guó)語(yǔ)學(xué)校階段練習(xí)）已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點(diǎn)，沿AE，EF，AF折成一個(gè)三棱錐P-AEF（使B，C，D重合于P），三棱錐P-AEF的外接球表面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由題意畫(huà)出圖形，把三棱錐P-AEF補(bǔ)形為長(zhǎng)方體，求出長(zhǎng)方體的對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)，得到三棱錐外接球的半徑，代入球的表面積公式求解．
【詳解】解：如圖，
由題意可得，三棱錐P-AEF的三條側(cè)棱PA，PE，PF兩兩互相垂直，
且，，
把三棱錐P-AEF補(bǔ)形為長(zhǎng)方體，則長(zhǎng)方體的體對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為，
則三棱錐P-AEF的外接球的半徑為，
外接球的表面積為．
故選C．
2.（2020·浙江杭州·高三）已知三棱錐中, ,,.則該三棱錐的外接球表面積為 .
【答案】
【詳解】試題分析：由條件，可將三棱錐放入如圖所示的長(zhǎng)方體中，設(shè)其長(zhǎng)寬高分別為，有，得到，所以長(zhǎng)方體的體對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為，該長(zhǎng)方體的外接球也就是三棱錐的外接球半徑為，從而其表面積為.
3.（2023上·四川廣元·高三統(tǒng)考）三棱錐P－ABC中，PA⊥平面ABC，，△APC的面積為，則三棱錐P－ABC的外接球體積的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】設(shè) ，利用△APC的面積為，所以 ，由正弦定理 ，得出△ABC外接圓半徑，再用勾股定理表示出外接球半徑，用基本不等式求出半徑的最小值，從而得出體積的最小值.
【詳解】設(shè) ，因?yàn)椤鰽PC的面積為，所以 ，，
設(shè)△ABC外接圓半徑為r，利用正弦定理得 ，即.
因?yàn)槠矫?，所球心O在過(guò)△ABC外心且與平面ABC垂直的直線(xiàn)上，
球心O到平面ABC的距離為 ，
設(shè)球O的半徑為R，則，
當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，等號(hào)成立，
故三棱錐的外接球體積的最小值為 .故選：D.
4.（2021·陜西渭南·統(tǒng)考一模）在三棱錐中，，底面是等邊三角形，三棱錐的體積為，則三棱錐的外接球表面積的最小值是 .
【答案】
【解析】由條件可得是三棱錐的外接球的一條直徑，設(shè)三棱錐底面邊長(zhǎng)和高分別為a，h.，根據(jù)體積公式可得，再由球心到底面的距離、求半徑和底面外接圓半徑的勾股關(guān)系，得到，進(jìn)而得解.
【詳解】設(shè)三棱錐外接球的球心為O，三棱錐底面邊長(zhǎng)和高分別為a，h.由，可知是三棱錐的外接球的一條直徑，所以O(shè)為的中點(diǎn)，則球心到底面的距離為.底面的外接圓半徑為r，則.
則，即.設(shè)三棱錐的外接球半徑為R，
則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，
故三棱錐的外接球表面積為.故答案為：.
5.．（2023上·高三課時(shí)練習(xí)）已知三棱錐的底面ABC是等邊三角形，平面SAC⊥平面ABC，，M為SB上一點(diǎn)，且．設(shè)三棱錐外接球球心為O，則（ ）
A．直線(xiàn)OM⊥平面SAC，OA⊥SBB．直線(xiàn)平面SAC，OA⊥SB
C．直線(xiàn)OM⊥平面SAC，平面OAM⊥平面SBCD．直線(xiàn)平面SAC，平面OAM⊥平面SBC
【答案】D
【分析】畫(huà)出幾何圖形，根據(jù)題意先找出和的外心，通過(guò)兩個(gè)外心與平面的位置關(guān)系確定出球心位置，再根據(jù)線(xiàn)面垂直判斷OA與SB的位置關(guān)系，繼而可判斷平面OAM與平面SBC的位置關(guān)系，最后根據(jù)線(xiàn)線(xiàn)平行判斷出直線(xiàn)OM與平面SAC的位置關(guān)系.
【詳解】第1步：判斷OA與SB的位置關(guān)系,如圖，取AC的中點(diǎn)E，BC的中點(diǎn)F，
連接AF，BE，設(shè)AF與BE的交點(diǎn)為O，連接OM，則O為外心，E為外心，因?yàn)槠矫鍿AC⊥平面ABC，所以O(shè)為三棱錐S-ABC外接球球心，因?yàn)镾E⊥AC，BE⊥AC，，
所以AC⊥平面SBE，又平面SBE，所以AC⊥SB，假設(shè)OA⊥SB，因?yàn)?，所以SB⊥平面ABC，
如圖顯然SB不垂直于平面ABC，所以O(shè)A不垂直于SB，故A、B錯(cuò)誤；
第2步：判斷平面OAM與平面SBC的位置關(guān)系,因?yàn)锳M⊥BC，AF⊥BC，，
所以BC⊥平面AMF，又平面SBC，所以平面OAM⊥平面SBC；第3步：判斷直線(xiàn)OM與平面SAC的位置關(guān)系,
因?yàn)锳C⊥平面SBE，所以AC⊥OM，因?yàn)锽C⊥平面AMF，所以BC⊥OM，
又，所以O(shè)M⊥平面ABC，又SE⊥平面ABC，所以，
所以直線(xiàn)平面SAC，故C錯(cuò)誤， D正確.故選：D.
6.在四面體中，， ，二面角的大小為，則四面體外接球的表面積為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】取中點(diǎn)，中點(diǎn)，連接，證明是二面角的平面角，，是直角的外心，是直角的外心，在平面內(nèi)過(guò)作，過(guò)作，交點(diǎn)為四面體外接球球心，求出球半徑可得表面積．
【詳解】取中點(diǎn)，中點(diǎn)，連接，則，，
，，所以是直角的外心，，，
，，所以，，所以是二面角的平面角，，
是中點(diǎn)，則是直角的外心，
由，，，平面得平面，
平面，所以平面平面，同理平面平面，
平面平面，平面平面，
在平面內(nèi)過(guò)作，則平面，
在平面內(nèi)過(guò)作，則平面，與交于點(diǎn)，
所以為四面體的外接球的球心，
中，，所以，所以，
，所以外接球表面積為．故選：B．
7.（2023下·陜西西安·高三長(zhǎng)安一中校考）底面半徑為的圓錐側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角大小為，則此圓錐外接球表面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由題意，根據(jù)圓錐底面周長(zhǎng)與側(cè)面弧長(zhǎng)的關(guān)系建立方程，求得母線(xiàn)，由勾股定理求得高線(xiàn)，進(jìn)而求得外接球半徑，可得答案.
【詳解】由題意可作圖如下：
設(shè)圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)為，由題意可得，解得，則圓錐的高，
圓錐外接球的半徑設(shè)為，則，解得，
故圓錐外接球的表面積.故選：A.
8.如圖所示，正四棱臺(tái)的頂點(diǎn)都在表面積為的球面上，側(cè)棱長(zhǎng)為，且側(cè)棱與底面所成角為，則其上、下底面積之比為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】將棱臺(tái)的截面拿出來(lái)分析，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，球心一定在這個(gè)梯形平面上下底的垂線(xiàn)上，列方程找出梯形上下底之間的關(guān)系即可.
【詳解】
把棱臺(tái)的截面拿出來(lái)分析，
如圖所示，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，球心一定在這個(gè)梯形平面上下底的垂線(xiàn)上，注意到梯形的底角是，解得，
設(shè)球心為，，于是是等邊三角形，，可確定球心在梯形下底下方.
于是，，故， ，
又上下底面正方形的對(duì)角線(xiàn)，
于是上、下底面積之比為.故選：A
9.已知某圓臺(tái)的母線(xiàn)長(zhǎng)為2，母線(xiàn)與軸所在直線(xiàn)的夾角是，且上、下底面的面積之比為1∶4，則該圓臺(tái)外接球的表面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】作出圓臺(tái)的軸截面等腰梯形，其外接圓是圓臺(tái)外接球的大圓，在這個(gè)軸截面中進(jìn)行計(jì)算可得．
【詳解】如圖等腰梯形是圓臺(tái)的軸截面，是圓臺(tái)的對(duì)稱(chēng)軸，
圓臺(tái)上、下底面的面積之比為1：4，則半徑比為1：2，設(shè)圓臺(tái)上、下底面半徑分別為r，2r，
因母線(xiàn)與軸的夾角是，母線(xiàn)長(zhǎng)為2，可得圓臺(tái)的高為1，，設(shè)圓臺(tái)外接球的半徑為R，球心到下底面（大圓面）的距離為x，若球心在圓臺(tái)兩底面之間，如圖點(diǎn)位置，則且，無(wú)解；
若圓臺(tái)兩底面在球心同側(cè)，如圖點(diǎn)位置，則且，解得，則，
則該圓臺(tái)外接球的表面積為．
故選：C．
10.已知正三棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)為，底面邊長(zhǎng)為，內(nèi)有一個(gè)體積為的球，若的最大值為，則此三棱柱外接球表面積的最小值為_(kāi)_____.
【答案】
【分析】
求出正三棱柱底面內(nèi)切圓、外接圓的半徑，對(duì)和分類(lèi)討論，即可求出此三棱柱外接球表面積的最小值.
【詳解】
解：因?yàn)檎庵膫?cè)棱長(zhǎng)為，底面邊長(zhǎng)為，
則底面三角形的內(nèi)切圓的半徑，外接圓的半徑
三棱柱內(nèi)的球的體積的最大值為，此時(shí)球的半徑，
當(dāng)，即時(shí)，三棱柱的內(nèi)的球的半徑，
取得最大值，因?yàn)?，所以不可能為?br>當(dāng)，即時(shí)，三棱柱的內(nèi)的球的半徑，取得最大值
解得，又，所以，
設(shè)正三棱柱外接球的半徑為，則
正三棱柱外接球表面積.當(dāng)時(shí)，取得最小值。故答案為：
11.已知三棱錐的外接球表面積為，，則三棱錐體積的最大值為_(kāi)__________.
【答案】
【分析】
根據(jù)，可確定平面，，從而確定三棱錐外接球的球心為的中點(diǎn)，以及三棱錐的高為，再根據(jù)三棱錐的外接球表面積為，計(jì)算出外接球半徑，，當(dāng)為以為直徑的半圓的中點(diǎn)時(shí)，的面積取得最大值，則此時(shí)體積最大，求解即可.
【詳解】
依題意，，解得，記三棱錐外接球的球心為，的中點(diǎn)為，其中即為的中點(diǎn)，則，則，設(shè)，在中，由勾股定理可得，，即，解得，即三棱錐的高；因?yàn)?，故為所在截面圓的直徑，故當(dāng)為半圓的中點(diǎn)時(shí)，的面積取得最大值，則三棱錐體積的最大值為
故答案為：
12.如圖，在△ABC中，AB=2，BC=2，AC=2，E、F、G分別為三邊中點(diǎn)，將△BEF，△AEG，△GCF分別沿EF、EG、GF向上折起，使A、B、C重合，記為S，則三棱錐S–EFG的外接球面積為（ ）
A．14πB．15πC．πD．2π
A．14πB．15πC．πD．2π
【答案】A【分析】將三棱錐補(bǔ)充成長(zhǎng)方體，求出長(zhǎng)方體的體對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)可得三棱錐的外接球的直徑，從而求出三棱錐的外接球面積.
【詳解】由題意得，三棱錐的對(duì)棱分別相等，將三棱錐補(bǔ)充成長(zhǎng)方體，
則對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)分別為，，，設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為，，，
則，，，，
三棱錐的外接球的直徑為，半徑為 ， 三棱錐的外接球的面積為.故選.
13.在邊長(zhǎng)為的菱形ABCD中，，沿對(duì)角邊折成二面角為的四面體，則四面體外接球表面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D【分析】正確作出圖形，利用勾股定理建立方程，求出四面體的外接球的半徑，即可求出四面體的外接球的表面積．
解：如圖所示，，，，，
設(shè)，則，，由勾股定理可得，，
四面體的外接球的表面積為，故選：．
14.設(shè)三棱錐的所有棱長(zhǎng)均為1，點(diǎn)滿(mǎn)足，，，則三棱錐的外接球被平面所截的截面面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】設(shè)⊥平面，垂足為，交平面于點(diǎn)，連結(jié)AM,求出AM, SM,
列方程求出外接球半徑R,根據(jù)勾股定理求出小圓半徑r,即可求出面積.
【詳解】
設(shè)⊥平面，垂足為，交平面于點(diǎn)，連結(jié)AM,
∵三棱錐的所有棱長(zhǎng)均為1，
∴，.
易知三棱錐的外接球球心在直線(xiàn)上，設(shè)為點(diǎn)，并設(shè)外接球的半徑為，由，即解得.
由，， ，得，所以，
設(shè)三棱錐的外接球被平面所截的截面小圓的半徑為，則，
所以三棱錐的外接球被平面所截的截面面積為．故選：B.
15.（2021·四川·四川省綿陽(yáng)南山中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）體積為8的四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為的正方形，四棱錐的外接球球心到底面的距離為1，則點(diǎn)軌跡的長(zhǎng)度為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B【分析】由已知可得到底面的距離，進(jìn)而求出的外接球的半徑，確定點(diǎn)與點(diǎn)不在平面的兩側(cè)，得到點(diǎn)的軌跡，求解軌跡長(zhǎng)度即可．
【詳解】由題意可知，點(diǎn)到底面的距離，
又四棱錐的外接球球心到底面的距離為1，設(shè)外接球半徑為，
因?yàn)榈酌娴闹行臑椋云矫?，且?br>所以與不可能在面的兩側(cè)，如圖所示，故點(diǎn)在垂直于且與球心距離為2的平面與的外接球的交線(xiàn)上，即在如圖所示的以為半徑的圓上，而，
所以，故點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為．故選：B 正方體的棱長(zhǎng)為a，球的半徑為R，則：
①若球?yàn)檎襟w的外接球，則2R＝eq \r(3)a；
②若球?yàn)檎襟w的內(nèi)切球，則2R＝a；
③球與正方體的各棱相切，則2R＝eq \r(2)a.
長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為a，b，c，則外接球直徑＝長(zhǎng)方體對(duì)角線(xiàn)，即：2R＝eq \r(a2＋b2＋c2).
對(duì)棱相等的四面體：
三棱錐對(duì)棱相等，
存在一條棱垂直一個(gè)底面（底面是任意多邊形，實(shí)際是三角形或者四邊形（少），它的外接圓半徑是r，滿(mǎn)足正弦定理）
1.模板圖形原理
圖1 圖2
2.計(jì)算公式
解幾何體外接球（表面積/體積）的一般方法和步驟為：
1、尋找一個(gè)或兩個(gè)面的外接圓圓心
2、分別過(guò)兩個(gè)面的外心作該面的垂線(xiàn)，兩條垂線(xiàn)的交點(diǎn)即為外接圓圓心；
3、構(gòu)造直角三角形求解球半徑，進(jìn)而求出外接球表面積或體積.
如果表面有等邊三角形或者直角三角形：兩垂線(xiàn)交心法
包含了面面垂直（倆面必然是特殊三角形）

等邊或者直角：（1）等邊三角形中心（外心）做面垂線(xiàn)，必過(guò)球心；
（2）直角三角形斜邊中點(diǎn)（外心）做面垂線(xiàn)，必過(guò)球心；
面面垂直型基本圖形
一般情況下，倆面是特殊三角形。垂面型，隱藏很深的線(xiàn)面垂直型，

二面角型求外接圓
在空間四邊形中，二面角的平面角大小為，的外接圓圓心為，的外接圓圓心為，為兩面交線(xiàn)的中點(diǎn)
所以
因?yàn)樗狞c(diǎn)共圓，，根據(jù)余弦定理可知
錐體求外接球
（1）：確定球心的位置，取的外心，則三點(diǎn)共線(xiàn)；
(2)：算出小圓的半徑，算出棱錐的高（即圓錐的高）；
(3)：勾股定理：，解出
類(lèi)比正棱錐，可以得帶圓錐型外接球
正棱臺(tái)外接球，以棱軸截面為主。
，其中分別為圓臺(tái)的上底面、下底面、高．
基本規(guī)律:正棱臺(tái)外接球，以棱軸截面為主
圓臺(tái)外接圓模型
圓臺(tái)外接球，即軸截面題型外接圓
內(nèi)切球球心到多面體各面的距離均相等，外接球球心到多面體各頂點(diǎn)的距離均相等，正多面體的內(nèi)切球和外接球的球心重合，正棱錐的內(nèi)切球和外接球球心都在高線(xiàn)上，但不重合.其中錐體與內(nèi)切球的關(guān)系：(V為幾何體的體積，S為多面體的表面積，r為內(nèi)切球的半徑)
三角形內(nèi)切圓
類(lèi)比：三棱錐

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