基礎(chǔ)篇
一、單選題
1．（2022秋·湖南岳陽·七年級統(tǒng)考期末）下列說法錯誤的是（ ）
A．過兩點(diǎn)有且只有一條直線B．兩點(diǎn)之間線段最短
C．一個角的補(bǔ)角一定大于這個角D．鈍角的補(bǔ)角一定是銳角
2．（2023秋·湖北孝感·七年級統(tǒng)考期末）已知與互余，若，則（ ）
A．B．C．D．
3．（2023春·江蘇·七年級專題練習(xí)）如圖所示，直線a，b被直線c所截，則與是（ ）
A．同位角B．內(nèi)錯角C．同旁內(nèi)角D．對頂角
4．（2023秋·浙江溫州·七年級統(tǒng)考期末）已知的余角為35°，則的補(bǔ)角度數(shù)是（ ）
A．B．C．D．
5．（2023春·重慶渝中·九年級重慶巴蜀中學(xué)?？奸_學(xué)考試）如圖，直線a、b被直線c所截，的同位角是（ ）
A．B．C．D．以上都不是
6．（2023秋·四川瀘州·七年級統(tǒng)考期末）若一個銳角的補(bǔ)角比這個銳角的4倍少，則這個銳角為（ ）
A．B．C．D．
二、填空題
7．（2022秋·浙江金華·七年級統(tǒng)考期末）已知與互余，，則___________．
8．（2023秋·天津東麗·七年級統(tǒng)考期末）一個角的度數(shù)為，這個角的余角的度數(shù)是________．
9．（2023秋·福建福州·七年級福建省福州第十九中學(xué)?？计谀┤鐖D，兩個直角三角形的直角頂點(diǎn)重合，若，則____________.
10．（2022春·河北邯鄲·七年級?？茧A段練習(xí)）要從小河a引水到村莊A，且距離最短，如圖所示設(shè)計并作出的是最短路線，理由是_____．
三、解答題
11．（2023秋·河南洛陽·七年級統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)A、B、C在一條直線上，已知，，則與垂直嗎？請說明理由．
12．（2023秋·安徽淮南·七年級統(tǒng)考期末）如圖，是直線上一點(diǎn)，以為頂點(diǎn)作，且，位于直線兩側(cè)，平分．
(1)當(dāng)時，求的度數(shù)；
(2)請你猜想和的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
提升篇
一、填空題
1．（2023秋·山西大同·七年級統(tǒng)考期末）若一個角的補(bǔ)角等于這個角的余角的5倍，則這個角為___________．（用度、分、秒的形式表示）
2．（2023春·湖南株洲·七年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，于點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)，，___________．
3．（2022春·廣東河源·七年級?？计谀┤鐖D，中，，P為直線上一動點(diǎn)，連，則線段的最小值是______．
4．（2023秋·湖南常德·七年級校考期末）如果和互補(bǔ)，且，則下列表示的余角的式子中：①；②，③；④，正確的有___________．（填序號，多選）
5．（2023春·七年級課時練習(xí)）龍崗某校積極響應(yīng)“雙減”政策，開展課后延時服務(wù)，七年級某數(shù)學(xué)興趣小組在課后綜合實(shí)踐活動中，把一個直角三角尺的直角頂點(diǎn)O放在互相垂直的兩條直線的垂足O處，并使兩條直角邊落在直線上，若將繞著點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)一個小于的角得到，射線是的角平分線且滿足，則__________．
二、解答題
6．（四川省南充市2022-2023學(xué)年七年級上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）如圖，點(diǎn)在直線上，與互補(bǔ)，分別是，的平分線．
(1)當(dāng)時，求，的度數(shù)．
(2)若，求的度數(shù)．
7．（2023秋·湖北武漢·七年級統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)O在直線上，，射線分別平分和：
(1)若，求的度數(shù)；
(2)請寫出圖中所有與互余的角，并說明理由．
8．（四川省南充市2022-2023學(xué)年七年級上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）在桌上放置一副三角板（忽略厚度），有兩個角的頂點(diǎn)重合于一點(diǎn)，，．
(1)如圖1，當(dāng)重合時，寫出圖中互補(bǔ)的角（寫出三對即可）．
(2)繞著點(diǎn)O轉(zhuǎn)動三角板（兩個三角板有重疊），的大小是否發(fā)生變化？若不發(fā)生變化，求出它的值；若發(fā)生變化，說明理由．
(3)在（2）的條件下，當(dāng)時，求的度數(shù)．
第二章 相交線與平行線
2.1 兩條直線的位置關(guān)系
基礎(chǔ)篇
一、單選題
1．（2022秋·湖南岳陽·七年級統(tǒng)考期末）下列說法錯誤的是（ ）
A．過兩點(diǎn)有且只有一條直線B．兩點(diǎn)之間線段最短
C．一個角的補(bǔ)角一定大于這個角D．鈍角的補(bǔ)角一定是銳角
【答案】C
【分析】分別根據(jù)直線的定義，補(bǔ)角的定義以及線段的性質(zhì)判斷即可．
【詳解】解：A．兩點(diǎn)確定一條直線，故正確，不合題意．
B．兩點(diǎn)之間線段最短，故正確，不合題意；
C．一個角的補(bǔ)角不一定大于這個角，比如，的補(bǔ)角為，但是，故錯誤，符合題意；
D．鈍角的補(bǔ)角一定是銳角，故正確，不合題意；
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線的定義，補(bǔ)角的定義以及線段的性質(zhì)，熟記相關(guān)定義是解答本題的關(guān)鍵．
2．（2023秋·湖北孝感·七年級統(tǒng)考期末）已知與互余，若，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)余角的定義即可得到答案．
【詳解】解：∵與互余，
∴，
∵，
∴，
故選：B
【點(diǎn)睛】此題考查了余角，熟練掌握兩個角的和是，則兩個角互為余角是解題的關(guān)鍵．
3．（2023春·江蘇·七年級專題練習(xí)）如圖所示，直線a，b被直線c所截，則與是（ ）
A．同位角B．內(nèi)錯角C．同旁內(nèi)角D．對頂角
【答案】C
【分析】根據(jù)同旁內(nèi)角的定義可判斷．
【詳解】∵和都在直線c的下側(cè)，且和在直線a、b之內(nèi)
∴和是同旁內(nèi)角的關(guān)系
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查同旁內(nèi)角的理解，解題的關(guān)鍵是根據(jù)定義來判斷．
4．（2023秋·浙江溫州·七年級統(tǒng)考期末）已知的余角為35°，則的補(bǔ)角度數(shù)是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)余角的定義得出，再由補(bǔ)角的定義即可求出答案．
【詳解】解：∵的余角為35°，
∴
∴的補(bǔ)角．
故選B．
【點(diǎn)睛】本題考查余角和補(bǔ)角的計算，掌握余角和補(bǔ)角的定義是解題關(guān)鍵．
5．（2023春·重慶渝中·九年級重慶巴蜀中學(xué)?？奸_學(xué)考試）如圖，直線a、b被直線c所截，的同位角是（ ）
A．B．C．D．以上都不是
【答案】B
【分析】根據(jù)兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個角都在兩直線的同側(cè)，并且在第三條直線（截線）的同旁，則這樣一對角叫做同位角即可得出答案．
【詳解】解：的同位角是，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角，掌握同位角的邊構(gòu)成“ “形，內(nèi)錯角的邊構(gòu)成“”形，同旁內(nèi)角的邊構(gòu)成“”形是解題的關(guān)鍵．
6．（2023秋·四川瀘州·七年級統(tǒng)考期末）若一個銳角的補(bǔ)角比這個銳角的4倍少，則這個銳角為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先設(shè)出這個角，再表示出這個角的補(bǔ)角，根據(jù)題干中的等量關(guān)系進(jìn)行計算即可求解．
【詳解】解：設(shè)這個銳角為x，則這個銳角的補(bǔ)角為，
由題意可知：
解得：，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查補(bǔ)角，解題的關(guān)鍵是根據(jù)假設(shè)表示出補(bǔ)角列出方程．
二、填空題
7．（2022秋·浙江金華·七年級統(tǒng)考期末）已知與互余，，則___________．
【答案】
【分析】根據(jù)與互余，可得，再進(jìn)行計算即可得到答案．
【詳解】解：∵與互余，
∴，
∵，
∴，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了互余，角的加減運(yùn)算，掌握互余的含義，角的四則運(yùn)算的運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．
8．（2023秋·天津東麗·七年級統(tǒng)考期末）一個角的度數(shù)為，這個角的余角的度數(shù)是________．
【答案】
【分析】利用余角的定義直接計算求解即可.
【詳解】，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查余的定義和角度的計算，余角：如果兩個角相加等于90°，那么這兩個角互為余角．掌握概念和、是本題的解題關(guān)鍵.
9．（2023秋·福建福州·七年級福建省福州第十九中學(xué)?？计谀┤鐖D，兩個直角三角形的直角頂點(diǎn)重合，若，則____________.
【答案】60
【分析】根據(jù)題意得到，再計算，然后根據(jù)進(jìn)行計算即可．
【詳解】解：∵，
而，
∴，
∴．
故答案為：60．
【點(diǎn)睛】本題考查了余角和補(bǔ)角，熟練掌握角的和差關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
10．（2022春·河北邯鄲·七年級?？茧A段練習(xí)）要從小河a引水到村莊A，且距離最短，如圖所示設(shè)計并作出的是最短路線，理由是_____．
【答案】垂線段最短
【分析】根據(jù)垂線段最短即可得出答案．
【詳解】解：連接直線外一點(diǎn)與直線上所有點(diǎn)的連線中，垂線段最短，
因此過點(diǎn)A作河岸的垂線段，理由是垂線段最短．
故答案為：垂線段最短．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂線段最短，解題的關(guān)鍵是熟練掌握直線外一點(diǎn)與直線上所有點(diǎn)的連線中，垂線段最短．
三、解答題
11．（2023秋·河南洛陽·七年級統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)A、B、C在一條直線上，已知，，則與垂直嗎？請說明理由．
【答案】與垂直，理由見解析
【分析】根據(jù)平角的定義求出，即可判定垂直．
【詳解】解：與垂直．
理由如下：∵，，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了平角的定義，垂直的定義，比較簡單．根據(jù)平角的定義求出是解題的關(guān)鍵．
12．（2023秋·安徽淮南·七年級統(tǒng)考期末）如圖，是直線上一點(diǎn)，以為頂點(diǎn)作，且，位于直線兩側(cè)，平分．
(1)當(dāng)時，求的度數(shù)；
(2)請你猜想和的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
【答案】(1)
(2)，理由見詳解
【分析】（1），，可求出的度數(shù)，平分，可求出的度數(shù)，根據(jù)平角即可求解；
（2），，由此即可求解．
【詳解】（1）解：∵，，
∴，
∵OB平分，
∴，
∴；
（2）解：，理由如下：
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，即．
【點(diǎn)睛】本題主要考查角的和、差、倍、分，理解圖示中角度的數(shù)量關(guān)系，位置關(guān)系，互余、互補(bǔ)的運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．
提升篇
一、填空題
1．（2023秋·山西大同·七年級統(tǒng)考期末）若一個角的補(bǔ)角等于這個角的余角的5倍，則這個角為___________．（用度、分、秒的形式表示）
【答案】
【分析】利用題中的關(guān)系“一個角的補(bǔ)角等于這個角的余角的5倍”作為相等關(guān)系列方程求解即可．
【詳解】解：設(shè)這個角為x，則它的補(bǔ)角為，余角為，由題意得：
，
解得：．
即這個角的度數(shù)為．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了余角和補(bǔ)角的定義，一元一次方程的應(yīng)用．解此題的關(guān)鍵是能準(zhǔn)確的從題中找出各個量之間的數(shù)量關(guān)系，找出等量關(guān)系列方程，從而計算出結(jié)果．互為余角的兩角的和為，互為補(bǔ)角的兩角之和為．
2．（2023春·湖南株洲·七年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，于點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)，，___________．
【答案】##62度
【分析】先根據(jù)垂直的定義求出，再根據(jù)對頂角相等解答即可.
【詳解】解：如圖所示，
，
，
，
．
故答案為：.
【點(diǎn)睛】本題考查了對頂角相等的性質(zhì)，余角的定義，垂線的定義，掌握相關(guān)基礎(chǔ)知識是解題關(guān)鍵．
3．（2022春·廣東河源·七年級?？计谀┤鐖D，中，，P為直線上一動點(diǎn)，連，則線段的最小值是______．
【答案】
【分析】根據(jù)垂線段最短，得到當(dāng)時，的值最小，利用等積法進(jìn)行計算即可。
【詳解】∵點(diǎn)到直線的距離，垂線段最短，
∴當(dāng)時，的值最小，
在中，
∵，
∴，即：，
∴，
故答案為．
【點(diǎn)睛】本題考查垂線段最短，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用面積法求高，屬于中考?？碱}型．
4．（2023秋·湖南常德·七年級?？计谀┤绻突パa(bǔ)，且，則下列表示的余角的式子中：①；②，③；④，正確的有___________．（填序號，多選）
【答案】①②④
【分析】由和互補(bǔ)，可得，即：，，再用不同的形式表示的余角．
【詳解】解：和互補(bǔ)，
，
，
∴的余角為：，故①正確，
，故②正確，
，故④正確，
因此正確的有①②④，
故答案為：①②④．
【點(diǎn)睛】本題考查互為余角、互為補(bǔ)角的意義，熟悉利用等式的性質(zhì)進(jìn)行變形和整體代入的方法是解題的關(guān)鍵．
5．（2023春·七年級課時練習(xí)）龍崗某校積極響應(yīng)“雙減”政策，開展課后延時服務(wù)，七年級某數(shù)學(xué)興趣小組在課后綜合實(shí)踐活動中，把一個直角三角尺的直角頂點(diǎn)O放在互相垂直的兩條直線的垂足O處，并使兩條直角邊落在直線上，若將繞著點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)一個小于的角得到，射線是的角平分線且滿足，則__________．
【答案】或
【分析】分兩種情況進(jìn)行討論，①當(dāng)在內(nèi)部時，②當(dāng)在內(nèi)部時，根據(jù)角平分線的定義，以及角度之間的和差關(guān)系，即可進(jìn)行解答．
【詳解】解：設(shè)，
①當(dāng)在內(nèi)部時，
∵，
∴，
∵是的角平分線，
∴，
∵，
∴，則，
∵，
∴，解得：
∴；
②當(dāng)在內(nèi)部時，
∵，
∴，
∵是的角平分線，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，解得：，
∴；
故答案為：或．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握角平分線的定義以及角度之間的和差關(guān)系．
二、解答題
6．（四川省南充市2022-2023學(xué)年七年級上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）如圖，點(diǎn)在直線上，與互補(bǔ)，分別是，的平分線．
(1)當(dāng)時，求，的度數(shù)．
(2)若，求的度數(shù)．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根據(jù)同角的補(bǔ)角相等，得出，根據(jù)已知條件得出，根據(jù)角平分線的定義，得出，，根據(jù)即可求解；
（2）由（1）得出，繼而得出①，又②，進(jìn)而即可求解．
【詳解】（1）解：∵
∴，
∵，
∴，
∵分別是，的平分線，
∴，，
∴，
∴，；
（2）由（1）可知，
∵，
∴①，
又∵，
∴②，
①+②得，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了同角的補(bǔ)角相等，角平分線的定義，幾何圖形中角度的計算，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．
7．（2023秋·湖北武漢·七年級統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)O在直線上，，射線分別平分和：
(1)若，求的度數(shù)；
(2)請寫出圖中所有與互余的角，并說明理由．
【答案】(1)
(2)是的余角，理由見解析
【分析】（1）先求出，再根據(jù)平角的定義求出，最后根據(jù)角平分線的定義即可得到；
（2）先證明，再由角平分線的定義和平角的定義推出，，即可得到答案．
【詳解】（1）解：∵，，
∴，
∴，
∵平分，
∴
（2）解：是的余角，理由如下：
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴
∴，
∴是的余角．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了幾何中角度的計算，角平分線的定義，余角的定義，靈活運(yùn)用所學(xué)知識是解題的關(guān)鍵．
8．（四川省南充市2022-2023學(xué)年七年級上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）在桌上放置一副三角板（忽略厚度），有兩個角的頂點(diǎn)重合于一點(diǎn)，，．
(1)如圖1，當(dāng)重合時，寫出圖中互補(bǔ)的角（寫出三對即可）．
(2)繞著點(diǎn)O轉(zhuǎn)動三角板（兩個三角板有重疊），的大小是否發(fā)生變化？若不發(fā)生變化，求出它的值；若發(fā)生變化，說明理由．
(3)在（2）的條件下，當(dāng)時，求的度數(shù)．
【答案】(1)與；與，與
(2)的大小不變，
(3)
【分析】（1）根據(jù)三角板中的角度，結(jié)合補(bǔ)角的定義，即可求解；
（2）根據(jù)，即可求解．
（3）根據(jù)題意，設(shè)，表示出，根據(jù)，列出方程，解方程即可求解．
【詳解】（1）解：∵；
；
；
圖中互補(bǔ)的角有與；與，與；
（2），
∵，
∴的大小不變，，
（3）解：設(shè)，
則，
∵，
∵，
∴，
解得：，
即：．
【點(diǎn)睛】本題考查了補(bǔ)角的定義，三角板中角度的計算，一元一次方程的應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．

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