精選練習
基礎篇
一、單選題
1．（2020·黑龍江·勃利縣大四站鎮(zhèn)中學九年級期中）關(guān)于x的方程ax2-3x+2=0是一元二次方程，則（ ）
A．a(chǎn) >0B．a(chǎn)≠0C．a(chǎn)=0D．a(chǎn)≧0
2．（2022·全國·九年級課時練習）把一元二次方程化成一般形式，正確的是（ ）
A．B．C．D．
3．（2021·廣東·陸豐市甲東鎮(zhèn)鐘山中學九年級期中）下列方程中，是關(guān)于的一元二次方程的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2021·河南周口·九年級期中）把方程化成一般式，則正確的是（ ）
A．，B．，C．，D．，
5．（2022·湖南·長沙市立信中學八年級期中）下列是一元二次方程的是（ ）
A．B．C．D．
6．（2021·廣西南寧·九年級期中）把一元二次方程(x-3)2 ＝5化為一般形式后，二次項系數(shù)為（ ）
A．1B．2C．3D．5
二、填空題
7．（2022·遼寧阜新·九年級期末）把一元二次方程x(3x+4)＝(2x+1)2化為一般式為_______．
8．（2022·湖南懷化·九年級期末）已知方程．當_____時，為一元二次方程．
9．（2022·江蘇·九年級專題練習）已知a是方程2x2﹣7x﹣1＝0的一個根，則代數(shù)式a（2a﹣7）＋5＝__．
10．（2022·江蘇·九年級）（1）若(m﹣2)x2﹣2x+3＝0是關(guān)于x的一元二次方程，則m的取值范圍是________．
（2）一元二次方程(m+1)x2+x+m2﹣1＝0有一個根為0，則m＝________．
三、解答題
11．（2022·全國·九年級專題練習）若關(guān)于x的一元二次方程的常數(shù)項為0，求m的值．
12．（2022·全國·九年級）已知關(guān)于x的方程（m﹣）﹣x＝3，試問：
(1)m為何值時，該方程是關(guān)于x的一元一次方程？
(2)m為何值時，該方程是關(guān)于x的一元二次方程？
提升篇
一、填空題
1．（2021·浙江溫州·八年級期中）若m是方程的一個根，則的值為______．
2．（2022·全國·九年級專題練習）若關(guān)于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x+（m2﹣4）＝0有一個根是0，則m＝_____．
3．（2022·江蘇·九年級專題練習）若關(guān)于的方程是一元二次方程，則________．
4．（2021·福建·上杭縣第三中學九年級期末）已知m是關(guān)于x的方程x2﹣2x﹣2021=0的一個根，則m2﹣2m=_____．
5．（2022·江蘇·九年級專題練習）在一元二次方程中，若，則稱a是該方程的中點值．
（1）方程的中點值是______；
（2）已知的中點值是3，其中一個根是2，則此時mn的值為______．
二、解答題
6．（2022·全國·九年級專題練習）已知m是方程x2﹣2x﹣3＝0的一個根，求（m﹣2）2+（m+3）（m﹣3）的值．
7．（2022·全國·九年級專題練習）計算：
先化簡，再求值：，其中x的值是一元二次方程的解．
8．（2022·湖南·株洲景炎學校一模）先化簡，再求值：，其中a是方程x2﹣x﹣1＝0的根．
第二章 一元二次方程
2.1 認識一元二次方程
精選練習
基礎篇
一、單選題
1．（2020·黑龍江·勃利縣大四站鎮(zhèn)中學九年級期中）關(guān)于x的方程ax2-3x+2=0是一元二次方程，則（ ）
A．a(chǎn) >0B．a(chǎn)≠0C．a(chǎn)=0D．a(chǎn)≧0
【答案】B
【解析】
【分析】
直接根據(jù)一元二次方程的概念進行求解即可．
【詳解】
關(guān)于x的方程ax2-3x+2=0是一元二次方程，
，
故選：B．
【點睛】
本題考查的知識點是一元二次方程的概念，一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a，b，c是常數(shù)，且a≠0），熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵．
2．（2022·全國·九年級課時練習）把一元二次方程化成一般形式，正確的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先把方程的左邊按照平方差公式進行整理，再移項把方程化為從而可得答案．
【詳解】
解：∵，
∴

∴方程的一般形式為：
故選A
【點睛】
本題考查的是一元二次方程的一般形式，掌握“一元二次方程的一般形式： ”是解本題的關(guān)鍵．
3．（2021·廣東·陸豐市甲東鎮(zhèn)鐘山中學九年級期中）下列方程中，是關(guān)于的一元二次方程的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
本題根據(jù)一元二次方程的定義求解．
【詳解】
解：A、該方程屬于分式方程，故本選項錯誤；
B、該方程中，當a＝0時，它不是關(guān)于x的一元二次方程，故本選項錯誤；
C、化簡得：符合一元二次方程的定義，故本選項正確；
D、該方程中含有2個未知數(shù)，它不是關(guān)于x的一元二次方程，故本選項錯誤；
故選：C．
【點睛】
本題考查了一元二次方程的概念．只有一個未知數(shù)且未知數(shù)最高次數(shù)為2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c＝0（且a≠0）．特別要注意a≠0的條件．這是在做題過程中容易忽視的知識點．
4．（2021·河南周口·九年級期中）把方程化成一般式，則正確的是（ ）
A．，B．，C．，D．，
【答案】C
【解析】
【分析】
將方程進行去括號、移項整理成一般式，同類項對應的系數(shù)相等即可得出答案．
【詳解】
將去括號得；移項得
∴，
故選C．
【點睛】
本題考查了一元二次方程的概念，一元二次方程的一般式，難點是一元二次方程的一般式的概念．
5．（2022·湖南·長沙市立信中學八年級期中）下列是一元二次方程的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根據(jù)一元二次方程的定義：只含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的方程叫做一元二次方程，逐項判定即可．
【詳解】
解：A、是一元二次方程，故此選項符合題意；
B、含有兩個未知數(shù)，不是一元二次方程，故此選項不符合題意；
C、分母中含有未知數(shù)，不是一元二次方程，故此選項不符合題意；
D、未知數(shù)的最高次數(shù)是1不是2，不是一元二次方程，故此選項不符合題意；
故選：A．
【點睛】
本題考查一元二次方程的定義，熟練掌握一元二次方程的定義是解題的關(guān)鍵．
6．（2021·廣西南寧·九年級期中）把一元二次方程(x-3)2 ＝5化為一般形式后，二次項系數(shù)為（ ）
A．1B．2C．3D．5
【答案】A
【解析】
【分析】
利用完全平方公式將一元二次方程化簡為ax2+bx+c=0，再找出二次項的系數(shù)即可．
【詳解】
解：∵（x-3）2=5化為一般形式為x2-6x+4=0，
∴二次項系數(shù)為1，故A正確．
故選：A．
【點睛】
本題主要考查了一元二次方程的一般形式，解題的關(guān)鍵是將方程（x-3）2=5化為一般形式．
二、填空題
7．（2022·遼寧阜新·九年級期末）把一元二次方程x(3x+4)＝(2x+1)2化為一般式為_______．
【答案】
【解析】
【分析】
直接去括號，進而移項得出答案．
【詳解】
解：由x(3x+4)＝(2x+1)2得： ，即，
故答案為：．
【點睛】
此題主要考查了一元二次方程的一般形式，正確移項是解題關(guān)鍵．
8．（2022·湖南懷化·九年級期末）已知方程．當_____時，為一元二次方程．
【答案】-1
【解析】
【分析】
根據(jù)一元二次方程的定義得到且，解得即可．
【詳解】
根據(jù)題意得，且，
解得k=-1，
故答案為：-1．
【點睛】
本題考查一元二次方程的定義：只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程，熟知定義是解題的關(guān)鍵．
9．（2022·江蘇·九年級專題練習）已知a是方程2x2﹣7x﹣1＝0的一個根，則代數(shù)式a（2a﹣7）＋5＝__．
【答案】6
【解析】
【分析】
根據(jù)題意“a是方程2x2﹣7x﹣1＝0的一個根”，則可把x=a代入原方程，得到關(guān)于a的一個一元二次方程，通過移項得到“2a2﹣7a＝1”，將2a2﹣7a當作一個整體，代入原代數(shù)式，即可得到答案．
【詳解】
解：∵a是方程2x2﹣7x﹣1＝0的一個根，
∴2a2﹣7a﹣1＝0，
∴2a2﹣7a＝1，
∴a（2a﹣7）+5＝2a2﹣7a+5＝1+5＝6．
故答案為：6．
【點睛】
本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．將2a2﹣7a當作一個整體，代入原代數(shù)式是解題的關(guān)鍵．
10．（2022·江蘇·九年級）（1）若(m﹣2)x2﹣2x+3＝0是關(guān)于x的一元二次方程，則m的取值范圍是________．
（2）一元二次方程(m+1)x2+x+m2﹣1＝0有一個根為0，則m＝________．
【答案】 m≠2 1
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)一元二次方程的定義可進行求解；
（2）把x＝0代入方程即可求解．
【詳解】
解：（1）∵方程（m﹣2）x2﹣2x+3＝0是關(guān)于x的一元二次方程，
∴m﹣2≠0，解得m≠2．
故答案為：m≠2；
（2）將x＝0代入（m+1）x2+x+m2﹣1＝0，
∴m2﹣1＝0，
∴m＝1或m＝﹣1，
∵m+1≠0，
∴m＝1，
故答案為：1．
【點睛】
本題主要考查一元二次方程的定義及一元二次方程的解，熟練掌握一元二次方程的定義及其它的解是解題的關(guān)鍵，注意二次項系數(shù)不能為0．
三、解答題
11．（2022·全國·九年級專題練習）若關(guān)于x的一元二次方程的常數(shù)項為0，求m的值．
【答案】m＝﹣2
【解析】
【分析】
根據(jù)常數(shù)項為0，二次項系數(shù)不為0，確定出m的值即可．
【詳解】
解：∵關(guān)于x的一元二次方程的常數(shù)項為0，
∴
解得：
【點睛】
此題考查了一元二次方程的定義，一元二次方程的一般形式，熟練掌握其定義是解本題的關(guān)鍵．
12．（2022·全國·九年級）已知關(guān)于x的方程（m﹣）﹣x＝3，試問：
(1)m為何值時，該方程是關(guān)于x的一元一次方程？
(2)m為何值時，該方程是關(guān)于x的一元二次方程？
【答案】(1)m＝或或±1
(2)m＝﹣
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)方程中只含有一個未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)是1次的整式方程是一元一次方程，可得答案；
（2）根據(jù)一元二次方程的定義求解，一元二次方程必須滿足兩個條件：（1）未知數(shù)的最高次數(shù)是2；（2）二次項系數(shù)不為0．由這兩個條件得到相應的關(guān)系式，再求解即可．
(1)
解：由題意，得m2﹣1＝1，
解得m＝，
當m＝時，該方程是一元一次方程；
m﹣＝0，解得m＝，
當m＝時，該方程是一元一次方程；
m2﹣1＝0，解得m＝±1，
m＝±1時，該方程是一元一次方程，
綜上，當m＝或或±1時，該方程是關(guān)于x的一元一次方程；
(2)
解：由題意，得m2﹣1＝2且m﹣≠0，
解得m＝﹣，
當m＝﹣時，該方程是關(guān)于x的一元二次方程．
【點睛】
本題考查了一元一次方程和一元二次方程的概念，只有一個未知數(shù)且未知數(shù)最高次數(shù)為2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c＝0（且a≠0）．特別要注意a≠0的條件，這是在做題過程中容易忽視的知識點．
提升篇
一、填空題
1．（2021·浙江溫州·八年級期中）若m是方程的一個根，則的值為______．
【答案】2019
【解析】
【分析】
首先根據(jù)題意可得，再把變式，即可求得其值．
【詳解】
解：m是方程的一個根，
，
，


=2019
故答案為：2019．
【點睛】
本題考查了利用方程的解求代數(shù)式的值，熟練掌握和運用利用方程的解求代數(shù)式值的方法是解決本題的關(guān)鍵．
2．（2022·全國·九年級專題練習）若關(guān)于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x+（m2﹣4）＝0有一個根是0，則m＝_____．
【答案】﹣2
【解析】
【分析】
把x＝0代入（m﹣2）x2+2x+（m2﹣4）＝0得m2﹣4＝0，然后解關(guān)于m的方程，最后利用一元二次方程的定義確定m的值．
【詳解】
解：把x＝0代入（m﹣2）x2+2x+（m2﹣4）＝0得m2﹣4＝0，解得m1＝2，m2＝﹣2，
而m﹣2≠0，
所以m＝﹣2．
故答案為：﹣2．
【點睛】
本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．
3．（2022·江蘇·九年級專題練習）若關(guān)于的方程是一元二次方程，則________．
【答案】-1
【解析】
【分析】
根據(jù)一元二次方程的定義得出k?1≠0且|k|＋1＝2，再求出k即可．
【詳解】
解：∵關(guān)于x的方程是一元二次方程，
∴k?1≠0且|k|＋1＝2，
解得：k＝?1，
故答案為：?1．
【點睛】
本題考查了一元二次方程的定義，能熟記一元一次方程的定義是解此題的關(guān)鍵，只含有一個未知數(shù)，并且所含未知數(shù)的項的最高次數(shù)是2的整式方程，叫一元二次方程．
4．（2021·福建·上杭縣第三中學九年級期末）已知m是關(guān)于x的方程x2﹣2x﹣2021=0的一個根，則m2﹣2m=_____．
【答案】2021
【解析】
【分析】
利用一元二次方程的解的定義代入的方法計算m2-2m的值．
【詳解】
解：把x=m代入方程x2﹣2x﹣2021=0，
得m2-2m-2021=0，
∴m2-2m=2021．
故答案為：2021．
【點睛】
此題主要考查了一元二次方程的解，關(guān)鍵是掌握能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．
5．（2022·江蘇·九年級專題練習）在一元二次方程中，若，則稱a是該方程的中點值．
（1）方程的中點值是______；
（2）已知的中點值是3，其中一個根是2，則此時mn的值為______．
【答案】 4 48
【解析】
【分析】
（1）利用中點值的定義進行分析即可；
（2）利用中點值的定義求出的值，將的值與方程的根代入方程即可求出，從而計算的值．
【詳解】
解：（1）由，得，
，
該方程的中點値為．
（2）由，得，
該方程的中點值為，
，解得．
的一個根是，
，即，
解得．
符合題意．
．
故答案為：；．
【點睛】
本題考查了新定義概念，解決本題的關(guān)鍵是充分理解新定義的含義．
二、解答題
6．（2022·全國·九年級專題練習）已知m是方程x2﹣2x﹣3＝0的一個根，求（m﹣2）2+（m+3）（m﹣3）的值．
【答案】1
【解析】
【分析】
根據(jù)方程的根的定義，得到m2﹣2m﹣3＝0，化簡得m2﹣2m＝3，再化簡原式得原式=2（m2﹣2m）﹣5，將m2﹣2m＝3代入原式，從而求得原式的值．
【詳解】
解：∵m是方程x2﹣2x﹣3＝0的一個根，
∴m2﹣2m﹣3＝0，
∴m2﹣2m＝3，
∴（m﹣2）2+（m+3）（m﹣3）
＝m2﹣4m+4+m2﹣9
＝2（m2﹣2m）﹣5
＝2×3﹣5＝1．
【點睛】
本題考查了方程的根的定義，整式的乘法，掌握相關(guān)定義并進行正確的運算是解題的關(guān)鍵，解題中注意整體代入法的運用．
7．（2022·全國·九年級專題練習）計算：
先化簡，再求值：，其中x的值是一元二次方程的解．
【答案】，6
【解析】
【分析】
先計算括號內(nèi)分式的加法，再將除法轉(zhuǎn)化為乘法，最后約分即可化簡原式，繼而根據(jù)方程變形得出，代入計算即可．
【詳解】
解：原式
；
∵，
∴，
∴原式；
【點睛】
本題考查了分式的化簡求值，一元二次方程的解，解題的關(guān)鍵是掌握分式的混合運算順序和運算法則．
8．（2022·湖南·株洲景炎學校一模）先化簡，再求值：，其中a是方程x2﹣x﹣1＝0的根．
【答案】，1
【解析】
【分析】
原式括號中兩項通分并利用同分母分式的減法法則計算，再利用除以一個數(shù)等于乘以這個數(shù)的倒數(shù)將除法運算化為乘法運算，約分得到最簡結(jié)果，由a是方程x2﹣x﹣1＝0的根，將x=a代入方程得到a2－a＝1，代入化簡后的式子中計算，即可求出值．
【詳解】
解：原式
∵a是方程x2﹣x﹣1＝0的根，
∴a2－a－1＝0，
∴a2－a＝1，
∴原式＝1．
【點睛】
本題綜合考查了一元二次方程的解、分式的化簡求值．解答此題時，采用了“整體代入”思想是解題的關(guān)鍵，避免了求a的值的繁瑣過程，而是直接將a2－a＝1整體代入化簡后的代數(shù)式．

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