精選練習(xí)
基礎(chǔ)篇
一、單選題
1．（2022秋·河北石家莊·八年級校考期末）小麗同學(xué)要找到到三角形三個頂點距離相等的點，根據(jù)下列各圖中圓規(guī)作圖的痕跡，可用直尺成功找到此點的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022秋·浙江寧波·八年級統(tǒng)考期中）如圖，已知在中，是邊上的高線，平分交于點E，，則的面積等于（ ）
A．24B．12C．8D．4
3．（2022秋·湖北襄陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，平分，平分，，，則（ ）
A．B．C．D．
4．（2022秋·全國·八年級期末）如圖，直線表示三條相互交叉的公路，現(xiàn)要建一個貨物中轉(zhuǎn)站，要求它到三條公路的距離相等，則供選擇的地址有（ ）
A．1處B．2處C．3處D．4處
5．（2022秋·北京平谷·八年級統(tǒng)考期末）如圖，中，，平分交于點P，若，，則的面積是（ ）
A．B．C．D．
6．（2022秋·八年級單元測試）如圖，是的角平分線，于點F，且，，，則的面積為（ ）
A．7B．12C．8D．14
二、填空題
7．（2022秋·上海青浦·八年級校考期末）如圖，點是的平分線上的一點，過點作交于點，，若，，則___________
8．（2022秋·湖北襄陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，按以下步驟作圖：①以點B為圓心，任意長為半徑作弧，分別交于點D、E；②分別以點D、E為圓心，大于的同樣長為半徑作弧，兩弧交于點F；③作射線交于點G．如果，，的面積為12，則的面積為________．
9．（2022秋·浙江紹興·八年級校聯(lián)考期中）已知∠AOB=60°，OC是∠AOB的平分線，點D為OC上一點，過D作直線DE⊥OA，垂足為點E，且直線DE交OB于點F，如圖所示，若DE=3，則DF=_______．
10．（2021春·貴州貴陽·八年級貴陽市第十七中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在中，，平分，，，則點到的距離為______．
三、解答題
11．（2022秋·天津南開·八年級?？计谀┤鐖D，于，于，平分，若，，，求的長．
12．（2022秋·廣東江門·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）已知：如圖，為的角平分線，⊥于點，⊥于點，連接交于點，
求證：垂直平分
提升篇
一、填空題
1．（2022秋·河南安陽·八年級統(tǒng)考期中）如圖，平分，若，則________．
2．（2021秋·四川綿陽·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，E為的中點，平分，與相交于點O，若的面積比的面積大2，則的面積是_____
3．（2022秋·八年級單元測試）如圖，是的角平分線，點B在射線上，是線段的中垂線交于，，若，，則___________．
4．（2022秋·江蘇宿遷·八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在和中，，，，．連接，交于點，連接．下列結(jié)論：①，②，③平分，④平分．其中正確的結(jié)論有______．（填序號）
5．（2022秋·山東聊城·八年級?？计谀┤鐖D，的角平分線與線段的垂直平分線交于點，，，垂足分別為點E、F．若，，則______．
二、解答題
6．（2022秋·遼寧大連·八年級統(tǒng)考期中）如圖，點是的平分線上一點，于，、分別在、上，且．求證：．
7．（2022秋·八年級單元測試）如圖，已知中，，、分別平分、，交 于點F，連接．
(1)當(dāng)時，求的度數(shù)．
(2)請直接寫出與的數(shù)量關(guān)系，并給出證明．
(3)求證：．
8．（2022秋·湖北襄陽·八年級統(tǒng)考期末）己知為等邊三角形，取的邊中點，連接，如圖1，易證為等邊三角形，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)的角度，其中．
(1)如圖2，當(dāng)時，連接，求證：；
(2)在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)超過一定角度時，如圖3，連接會交于一點，記交點為點，交于點，交于點，連接，求證：平分；
(3)在第（2）問的條件下，試猜想線段和之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
第一章 三角形的證明
第四節(jié) 角平分線
精選練習(xí)
基礎(chǔ)篇
一、單選題
1．（2022秋·河北石家莊·八年級?？计谀┬←愅瑢W(xué)要找到到三角形三個頂點距離相等的點，根據(jù)下列各圖中圓規(guī)作圖的痕跡，可用直尺成功找到此點的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)角平分線的作圖，三角形的高的作圖，線段的垂直平分線的作圖，逐一分析各選項即可．
【詳解】解：∵到三角形三個頂點距離相等的點是三角形三邊的垂直平分線的交點，
∴選項B中的作圖是作的三角形的兩邊的垂直平分線，符合題意，
選項A中的作圖，作的一個內(nèi)角的平分線，作的一邊的垂直平分線，不符合題意；
選項C中的作圖作的是兩個內(nèi)角的平分線，不符合題意，
選項D中的作圖作的一邊的垂直平分線，作的一邊上的高，不符合題意；
故選B．
【點睛】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)再判斷作圖是解本題的關(guān)鍵．
2．（2022秋·浙江寧波·八年級統(tǒng)考期中）如圖，已知在中，是邊上的高線，平分交于點E，，則的面積等于（ ）
A．24B．12C．8D．4
【答案】B
【分析】過點作交于點，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，得到，再根據(jù)三角形的面積公式，進行計算即可．
【詳解】解：過點作交于點，
∵是邊上的高線，
∴，
∵平分，
∴，
∴；
故選B．
【點睛】本題考查角平分線的性質(zhì)，熟練掌握角平分線上的點到角兩邊的距離相等，是解題的關(guān)鍵．
3．（2022秋·湖北襄陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，平分，平分，，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由三角形的內(nèi)角和定理可得，再利用角平分線的性質(zhì)得到，最后利用三角形外角的性質(zhì)得出結(jié)果．
【詳解】解：，
，
平分，
平分，
故選A．
【點睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理、角平分線的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形的內(nèi)角和及三角形外角的性質(zhì)．
4．（2022秋·全國·八年級期末）如圖，直線表示三條相互交叉的公路，現(xiàn)要建一個貨物中轉(zhuǎn)站，要求它到三條公路的距離相等，則供選擇的地址有（ ）
A．1處B．2處C．3處D．4處
【答案】D
【分析】到三條相互交叉的公路距離相等的地點應(yīng)是三條角平分線的交點．把三條公路所圍成部分三角形，那么這個三角形兩個內(nèi)角平分線的交點以及三個外角兩兩平分線的交點都滿足要求．由此即可求解．
【詳解】解：滿足條件的有：
（1）三角形兩個內(nèi)角平分線的交點，共一處；
（2）三個外角兩兩平分線的交點，共三處．
故選D．
【點睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)定理的應(yīng)用，熟練運用角平分線的性質(zhì)定理是解決問題的關(guān)鍵．
5．（2022秋·北京平谷·八年級統(tǒng)考期末）如圖，中，，平分交于點P，若，，則的面積是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)，角平分線上的點到線段兩端的距離相等，可得，即可直接求得的面積．
【詳解】解：過點P作于點H，
平分，
，
，
．
故選：D．
【點睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是作出垂線求得的高．
6．（2022秋·八年級單元測試）如圖，是的角平分線，于點F，且，，，則的面積為（ ）
A．7B．12C．8D．14
【答案】A
【分析】過點D作于H，根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得，然后利用“”證明和全等，根據(jù)全等三角形的面積相等可得，設(shè)面積為S，然后根據(jù)列出方程求解即可．
【詳解】解：如圖，過點D作于H，
∵是的角平分線，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，設(shè)面積為S，
同理，
∴，
即，
解得，故A正確．
故選：A．
【點睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，證明．
二、填空題
7．（2022秋·上海青浦·八年級?？计谀┤鐖D，點是的平分線上的一點，過點作交于點，，若，，則___________
【答案】
【分析】作，則，由等腰三角形的性質(zhì)可得，，在中，利用勾股定理即可求解．
【詳解】解：作，如下圖：
∵平分，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
在中，，，
∴
∴，
由勾股定理得，，
∴．
故答案為：．
【點睛】此題考查了角平分線的性質(zhì)，勾股定理，三角形外角的性質(zhì)，二次根式的化簡，等腰三角形的判定與性質(zhì)以及含直角三角形的性質(zhì)等，解題的關(guān)鍵是靈活運用相關(guān)性質(zhì)進行求解．
8．（2022秋·湖北襄陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，按以下步驟作圖：①以點B為圓心，任意長為半徑作弧，分別交于點D、E；②分別以點D、E為圓心，大于的同樣長為半徑作弧，兩弧交于點F；③作射線交于點G．如果，，的面積為12，則的面積為________．
【答案】16
【分析】由作圖步驟可知：為的角平分線，過G作，可得，然后再結(jié)合已知條件和三角形的面積公式解答即可．
【詳解】解：由作圖作法可知：為的角平分線
過G作，
∴
∴,
故答案為16．
【點睛】本題考查了角平分線定理和三角形面積公式的應(yīng)用，通過作法發(fā)現(xiàn)角平分線并靈活應(yīng)用角平分線的性質(zhì)定理是解答本題的關(guān)鍵．
9．（2022秋·浙江紹興·八年級校聯(lián)考期中）已知∠AOB=60°，OC是∠AOB的平分線，點D為OC上一點，過D作直線DE⊥OA，垂足為點E，且直線DE交OB于點F，如圖所示，若DE=3，則DF=_______．
【答案】6
【分析】過點作，垂足為，則，在中，利用三角形內(nèi)角和定理可求出，在中，由角所對的直角邊等于斜邊的一半可求出的長，此題得解．
【詳解】解：過點作，垂足為，如圖所示．
是的平分線，
．
在中，，，
，即．
在中，，，
．
故答案為：6．
【點睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理以及含30度角的直角三角形，利用角平分線的性質(zhì)及角所對的直角邊等于斜邊的一半，求出的長是解題的關(guān)鍵．
10．（2021春·貴州貴陽·八年級貴陽市第十七中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在中，，平分，，，則點到的距離為______．
【答案】4
【分析】過點D作于點E，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)，即可進行解答．
【詳解】解：過點D作于點E，
∵，，
∴，
∵平分，，，
∴，即點到的距離為4，
故答案為：4．
【點睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握角平分線上的點到兩邊的距離相等．
三、解答題
11．（2022秋·天津南開·八年級?？计谀┤鐖D，于，于，平分，若，，，求的長．
【答案】，
【分析】先證明與全等得，再證明與全等得，設(shè)，通過等量代換列方程即可求解．
【詳解】解：，平分
在與中
在與中
設(shè)，
，，
∴，
即
【點睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練掌握角平分線的性質(zhì)和直角三角形全等的判定．
12．（2022秋·廣東江門·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）已知：如圖，為的角平分線，⊥于點，⊥于點，連接交于點，
求證：垂直平分
【答案】見解析
【分析】根據(jù)平分，，，可得，，則可證，并得，可證得，根據(jù)，，得到點、點在的垂直平分線上，可證垂直平分．
【詳解】證明∵平分，，，
∴，，
∴，
∴，
∴
∴，
∵，，
∴點、點在的垂直平分線上，
∴垂直平分．
【點睛】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，熟悉相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
提升篇
一、填空題
1．（2022秋·河南安陽·八年級統(tǒng)考期中）如圖，平分，若，則________．
【答案】
【分析】根據(jù)角平分線上的點到兩邊的距離相等可得兩個三角形的高一樣，再根據(jù)三角形面積公式即可求得．
【詳解】∵平分，
∴ D到、的距離相等，
又∵
根據(jù)三角形面積等于底乘以高，
∴，
答案為∶ ．
【點睛】此題考查了角平分線的性質(zhì)和三角形面積，解題的關(guān)鍵是熟悉角平分線的性質(zhì)和三角形面積公式．
2．（2021秋·四川綿陽·八年級校考階段練習(xí)）如圖，在中，E為的中點，平分，與相交于點O，若的面積比的面積大2，則的面積是_____
【答案】20
【分析】過點D作于M，于N，證明，設(shè)的面積為S，則，，結(jié)合的面積比的面積大2，可得的面積比的面積大2，再列方程求解即可得到答案．
【詳解】解：過點D作于M，于N，
∵平分，
∴，
∴，
設(shè)的面積為S，則，
為的中點，
∴，
∵的面積比的面積大2，
∴的面積比的面積大2，
∴，
∴,
∴，
故答案為：20．
【點睛】本題考查的是角平分線的性質(zhì)定理，中線的性質(zhì)，以及利用方程思想解決三角形的面積問題，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．
3．（2022秋·八年級單元測試）如圖，是的角平分線，點B在射線上，是線段的中垂線交于，，若，，則___________．
【答案】39°
【分析】連接，過作于，交于，交于，根據(jù)角平分線性質(zhì)和線段垂直平分線的性質(zhì)得出，，根據(jù)全等求，求出，求出，求出的度數(shù)，再求出，求出，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)求出，再求出答案即可．
【詳解】解：連接，過作于，交于，交于，
∵是線段的中垂線，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵
∴，
平分
在和中，
平分
，
故答案為：39°．
【點睛】本題考查角平分線性質(zhì)、中垂線性質(zhì)、三角形內(nèi)角和180°、三角形外角等于與它不相鄰內(nèi)角和、全等三角形的性質(zhì)與判定，掌握這些并正確添加輔助線才能解答正確．
4．（2022秋·江蘇宿遷·八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在和中，，，，．連接，交于點，連接．下列結(jié)論：①，②，③平分，④平分．其中正確的結(jié)論有______．（填序號）
【答案】①②④
【分析】由證明得出，，②正確；由全等三角形的性質(zhì)得出，由三角形的外角性質(zhì)得：，得出，①正確；作于G，于H，如圖所示：則，利用全等三角形對應(yīng)邊上的高相等，得出，由角平分線的判定方法得出平分，④正確；假設(shè)平分，則，由全等三角形的判定定理可得，得，而，所以，而，故③錯誤；即可得出結(jié)論．
【詳解】解：∵，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴，，故②正確；
同時，
由三角形的外角性質(zhì)得：
，
∴，故①正確；
作于G，于H，如圖所示，
則，
∵，
∴，
∴平分，故④正確；
假設(shè)平分，則，
在與中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
而，故③錯誤；
正確的個數(shù)有3個，
故答案為：①②④．
【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)、角平分線的判定等知識；證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．
5．（2022秋·山東聊城·八年級校考期末）如圖，的角平分線與線段的垂直平分線交于點，，，垂足分別為點E、F．若，，則______．
【答案】1
【分析】先根據(jù)角平分線性質(zhì)定理得到，再利用中垂線性質(zhì)得到．進而證明，通過線段之間的數(shù)量關(guān)系即可求解．
【詳解】解：如圖，連接，
∵是的平分線，，，
∴，，，
∴，
∵ 是 的垂直平分線，
∴，
在 和 中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴
故答案為：1
【點睛】本題考查了三角形中垂線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)定理，還有用證明兩三角形全等．綜合性較強，中等難度．合理的作出輔助線是解決這類圖形問題的有效方法和解題關(guān)鍵．
二、解答題
6．（2022秋·遼寧大連·八年級統(tǒng)考期中）如圖，點是的平分線上一點，于，、分別在、上，且．求證：．
【答案】見解析
【分析】作于,根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得，由，，等量代換可得，則，由全等的性質(zhì)得，再由是平角，即可得證．
【詳解】證明：作于，
，，
，．
，，，
，
，
，
，
，
．
【點睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，添加輔助線，構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．
7．（2022秋·八年級單元測試）如圖，已知中，，、分別平分、，交 于點F，連接．
(1)當(dāng)時，求的度數(shù)．
(2)請直接寫出與的數(shù)量關(guān)系，并給出證明．
(3)求證：．
【答案】(1)
(2)，證明見解析
(3)見解析
【分析】（1）利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和可計算出，再利用鄰補角的定義得到，然后根據(jù)角平分線的定義可計算出，，再利用三角形外角性質(zhì)可計算出；
（2）由外角的性質(zhì)得到，，即可得出；
（3）作于M，于N，于H，根據(jù)角平分線的定義以及平行線的判定即可得到結(jié)論．
【詳解】（1）解：∵，，
∴，
∴，
∵，分別平分，，
∴，，
∴；
（2）解： ．理由如下：
∵、分別平分、，交于F，
∴，，
∴，
∴；
（3）證明：作于M，于N，于H，如圖所示，
∵、分別平分、，
∴， ，
∴，
∴平分，即，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【點睛】本題考查的是三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，三角形的外角的性質(zhì)的應(yīng)用，等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的定義與性質(zhì)與判定，平行線的判定，熟練的利用角平分線的性質(zhì)與判定進行證明是解本題的關(guān)鍵．
8．（2022秋·湖北襄陽·八年級統(tǒng)考期末）己知為等邊三角形，取的邊中點，連接，如圖1，易證為等邊三角形，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)的角度，其中．
(1)如圖2，當(dāng)時，連接，求證：；
(2)在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)超過一定角度時，如圖3，連接會交于一點，記交點為點，交于點，交于點，連接，求證：平分；
(3)在第（2）問的條件下，試猜想線段和之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
(3)，理由見解析
【分析】（1）根據(jù)等邊三角形性質(zhì)，利用兩個三角形全等的判定定理得到，利用全等性質(zhì)即可得到答案；
（2）過點作于，過點作于，如圖所示，根據(jù)等邊三角形性質(zhì)，利用兩個三角形全等的判定定理得到，利用全等性質(zhì)即可得到，，，利用等面積得到，再根據(jù)角平分線的判定定理即可得到答案；
（3）在上截取，連接，如圖所示，根據(jù)等邊三角形的判定與性質(zhì)，利用兩個三角形全等的判定定理得到，利用全等的性質(zhì)即可得到答案．
【詳解】（1）證明：，都是等邊三角形，
，，，
，
在和中，
，
；
（2）證明：過點作于，過點作于，如圖所示：
，都是等邊三角形，
，，，
，
在和中，
，
，，，
，
，
，，
平分；
（3）解：．
理由如下：在上截取，連接，如圖所示：
，，
是等邊三角形，
，，
，
在和中，
，
，
，
．
【點睛】本題是幾何變換綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、角平分線的判定等知識，根據(jù)題意，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是解決本題的關(guān)鍵．

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