精選練習(xí)
基礎(chǔ)篇
一、單選題
1．（2022·重慶萬州·八年級期末）下列命題錯誤的是( )
A．正方形的四條邊都相等
B．正方形的四個角都相等
C．正方形是軸對稱圖形，共有兩條對稱軸
D．正方形的對角線相等且互相垂直平分
2．（2022·云南昆明·八年級期末）如圖，在正方形ABCD外側(cè)作等邊，則的度數(shù)為（ ）
A．15°B．22.5°C．20°D．10°
3．（2022·天津河西·八年級期末）如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)，P，Q分別是正方形ABCD的四條邊上的點(diǎn)，并且，則下列結(jié)論不一定正確的是（ ）
A．B．
C．四邊形EFPQ是正方形D．四邊形PQEF的面積是四邊形ABCD面積的一半
4．（2022·山西呂梁·八年級期末）如圖，正方形的兩條對角線相交于點(diǎn)，點(diǎn)在上，且，則的度數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
5．（2022·河北石家莊·八年級期末）如圖，正方形ABCD的對角線AC，BD交于點(diǎn)O，M是邊AD上一點(diǎn)，連接OM，過點(diǎn)O作ON⊥OM，交CD于點(diǎn)N．若四邊形MOND的面積是2，則AB的長為（ ）
A．1B．C．2D．
6．（2022·廣東·惠州一中八年級期中）如圖，將正方形ABCD剪去4個全等的直角三角形（圖中陰影部分），得到邊長為c的四邊形EFGH，下列等式成立的是（ ）
A．B．C．D．
二、填空題
7．（2022·陜西師大附中八年級期末）如圖，菱形ABCD的周長為16，∠B＝60°，則以AC為邊的正方形ACEF的周長為_____．
8．（2021·江蘇鎮(zhèn)江·八年級期中）如圖，以正方形ABCD的一邊CD為邊向形內(nèi)作等邊三角形CDE，則∠ABE=____．
9．（2022·海南?？凇て吣昙壠谀┤鐖D，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E在BC上，△ABE繞正方形的中心經(jīng)順時針旋轉(zhuǎn)后與△DAF重合，則∠DGE=______度．
10．（2022·廣東惠州·八年級期末）如圖，在直線l上擺放著三個正方形，其中正放的兩個正方形的頂點(diǎn)M，N分別是斜放正方形相鄰兩邊的中點(diǎn)，三個正方形的面積依次為，，．已知，，則=_____．
三、解答題
11．（2022·廣西百色·八年級期末）如圖，在正方形ABCD中，AE、BF相交于點(diǎn)O且AF＝DE．求證：∠DAE＝∠ABF．
12．（2021·天津津南·八年級期末）如圖，E是正方形ABCD的邊CD上一點(diǎn)，以點(diǎn)A為中心．把△ADE繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得△，連接．
(1)的度數(shù)為 ；
(2)若AD＝4，DE＝1，求的長．
提升篇
一、填空題
1．（2022·廣西欽州·八年級期末）如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)在正方形ABCD內(nèi)部且AE⊥EF，CF⊥EF，已知AE＝9，EF＝5，F(xiàn)C＝3，則正方形ABCD的邊長為________．
2．（2022·湖南邵陽·八年級期末）如圖，在正方形中，為中點(diǎn)，連結(jié)，過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，連結(jié)，若，則的值為___________．
3．（2022·重慶一中八年級期中）如圖，正方形ABCD邊長為4，P是正方形內(nèi)一動點(diǎn)，且，則的最小值是______．
4．（2022·浙江杭州·八年級期末）如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H為正方形ABCD四邊中點(diǎn)，連接BE，DG，CF，AH．若AB＝10，則四邊形MNPQ的面積是______．
5．（2022·河南開封·八年級期末）如圖，中，兩直角邊和的長分別3和4，以斜邊為邊作一個正方形，再以正方形的邊為斜邊作，然后依次以兩直角邊和為邊分別作正方形和，則圖中陰影部分的面積為______．
二、解答題
6．（2022·福建南平·八年級期末）如圖，在正方形 ABCD 中，E是邊BC上一動點(diǎn)（不與B，C重合），連接AE，過點(diǎn)A作AE的垂線交CD的延長線于點(diǎn) F ．
(1)如 圖1，求證：BE＝DF；
(2)如圖2，連接BD，EF，交點(diǎn)為O．求證：點(diǎn)O是線段EF的中點(diǎn)．
7．（2022·湖北黃石·八年級期末）四邊形ABCD為正方形，點(diǎn)E為線段AC上一點(diǎn)，連接DE，過點(diǎn)E作EF⊥DE，交射線BC于點(diǎn)F，以DE、EF為鄰邊作矩形DEFG，連接CG．
(1)如圖，求證：矩形DEFG是正方形；
(2)若AB＝2，，求CG的長度；
(3)當(dāng)線段DE與正方形ABCD的某條邊的夾角是32°時，求∠EFC的度數(shù)．
8．（2022·貴州黔東南·八年級期末）【探究發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1，在四邊形中，對角線，垂足是O，求證：．
【拓展遷移】（2）如圖2．以三角形的邊、為邊向外作正方形和正方形，求證：．
（3）如圖3，在（2）小題條件不變的情況下，連接，若，，，則的長_____________．（直接填寫答案）
第一章 特殊平行四邊形
1.3 正方形的性質(zhì)與判定
精選練習(xí)
基礎(chǔ)篇
一、單選題
1．（2022·重慶萬州·八年級期末）下列命題錯誤的是( )
A．正方形的四條邊都相等
B．正方形的四個角都相等
C．正方形是軸對稱圖形，共有兩條對稱軸
D．正方形的對角線相等且互相垂直平分
【答案】C
【解析】
【分析】
利用正方形的性質(zhì)分別判斷后即可確定正確的選項(xiàng)．
【詳解】
A.正方形的四條邊都相等，故A正確，不符合題意；
B.正方形的四個角都相等，故B正確，不符合題意；
C.正方形是軸對稱圖形，共有四條對稱軸，故C錯誤，符合題意；
D.正方形的對角線相等且互相垂直平分，故D正確，不符合題意．
故選：C．
【點(diǎn)睛】
本題考查了命題與定理的知識，解題的關(guān)鍵是了解正方形的性質(zhì)，難度不大．
2．（2022·云南昆明·八年級期末）如圖，在正方形ABCD外側(cè)作等邊，則的度數(shù)為（ ）
A．15°B．22.5°C．20°D．10°
【答案】A
【解析】
【分析】
根據(jù)正方形與等邊三角形的性質(zhì)可得，，即可求解．
【詳解】
解：∵正方形ABCD外側(cè)作等邊，
∴，
，，
，
故選：A．
【點(diǎn)睛】
本題考查了正方形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，等邊對等角，掌握正方形與等邊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
3．（2022·天津河西·八年級期末）如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)，P，Q分別是正方形ABCD的四條邊上的點(diǎn)，并且，則下列結(jié)論不一定正確的是（ ）
A．B．
C．四邊形EFPQ是正方形D．四邊形PQEF的面積是四邊形ABCD面積的一半
【答案】D
【解析】
【分析】
根據(jù)正方形的性質(zhì)可證得△AFP≌△BPQ≌△CQE≌△DEF，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和勾股定理，逐項(xiàng)判斷即可求解．
【詳解】
解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠A=∠B=90°，
又CQ=BP ，
∴AB-BP=BC-CQ，即AP=BQ
在△AFP和△BPQ中，
∵AF=BP，∠A=∠B，AP=BQ，
∴△AFP≌△BPQ（SAS），
∴∠AFP=∠BPQ，故A選項(xiàng)正確，不符合題意；
同理：△AFP≌△BPQ≌△CQE≌△DEF，
∴PF=PQ=QE=EF，
∴四邊形EFPQ為菱形，
∴EF∥QP，故B選項(xiàng)正確，不符合題意；
∵△AFP≌△BPQ
∴∠BPQ=∠AFP，
又∵∠A=90°，
∴∠AFP+∠APF=90°，
∴∠AFP+∠APF=∠BPQ+∠APF=90°，
∴∠FPQ=180°-（∠BPQ+∠APF）=90°，
∴四邊形EFPQ是正方形，故C選項(xiàng)正確，不符合題意；
設(shè)正方形ABCD的邊長為a，BP=AF=x，則，
∴AB=a，
∴，
∴正方形EFPQ的面積為，
而x的值無法確定，
∴四邊形PQEF的面積不一定是四邊形ABCD面積的一半，故D選項(xiàng)錯誤，符合題意；
故選：D
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和勾股定理，熟練掌握正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和勾股定理是解題的關(guān)鍵．
4．（2022·山西呂梁·八年級期末）如圖，正方形的兩條對角線相交于點(diǎn)，點(diǎn)在上，且，則的度數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根據(jù)正方形的性質(zhì)可得∠CBD=∠ACB=45°，再由，可得∠BCE=67.5°，即可求解．
【詳解】
解：在正方形ABCD中，∠CBD=∠ACB=45°，
∵，
∴，
∴∠ACE=∠BCE-∠ACB=22.5°．
故選：A
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了正方形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握正方形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
5．（2022·河北石家莊·八年級期末）如圖，正方形ABCD的對角線AC，BD交于點(diǎn)O，M是邊AD上一點(diǎn)，連接OM，過點(diǎn)O作ON⊥OM，交CD于點(diǎn)N．若四邊形MOND的面積是2，則AB的長為（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根據(jù)正方形的性質(zhì)可證得△AOM≌△DON，從而得到S△AOM=S△DON，進(jìn)而得到S△AOD=2，可得到OA=2，再由勾股定理，即可求解．
【詳解】
解：在正方形ABCD中，AB=AD=CD，OA=OD，∠OAD=∠ODC=45°，∠AOD=90°，
∵ON⊥OM，
∴∠MON=∠AOD=90°，
∴∠AOM=∠DON，
∴△AOM≌△DON，
∴S△AOM=S△DON，
∴四邊形MOND的面積等于S△AOD，
∵四邊形MOND的面積是2，
∴S△AOD=2，即，
∴OA=2，
∴．
故選：D
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握正方形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
6．（2022·廣東·惠州一中八年級期中）如圖，將正方形ABCD剪去4個全等的直角三角形（圖中陰影部分），得到邊長為c的四邊形EFGH，下列等式成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用空白部分的面積等于原正方形面積減4個全等三角形的面積，以及空白部分本身是一個邊長為c的正方形，利用等面積法求解．
【詳解】
解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠A=90°，
∴∠AHE+∠AEH=90°，
∵△AHE≌△DGH，
∴∠DHG=∠AEH，
∴∠AHE+∠DHG=90°，
∴∠EHG=90°，
又∵HE=EF=FG=GH，
∴四邊形EFGH是正方形，
∴由圖可得剩下正方形面積為：，
根據(jù)正方形面積公式，剩下正方形面積也可以表示為：c2，
，化簡得a2+b2＝c2，
故選：D．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了勾股定理的證明，正方形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于證明四邊形EFGH是正方形．
二、填空題
7．（2022·陜西師大附中八年級期末）如圖，菱形ABCD的周長為16，∠B＝60°，則以AC為邊的正方形ACEF的周長為_____．
【答案】16
【解析】
【分析】
根據(jù)菱形的性質(zhì)得AB＝BC＝CD＝AD＝4，根據(jù)∠B＝60°得△ABC是等邊三角形，即AC＝AB＝4，即可得．
【詳解】
解：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝4，
∵∠B＝60°，
∴△ABC是等邊三角形，
∴AC＝AB＝4，
∴正方形ACEF的周長是：AC+CE+EF+AF＝4×4＝16，
故答案為：16．
【點(diǎn)睛】
本題考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握這些知識點(diǎn)．
8．（2021·江蘇鎮(zhèn)江·八年級期中）如圖，以正方形ABCD的一邊CD為邊向形內(nèi)作等邊三角形CDE，則∠ABE=____．
【答案】15°
【解析】
【分析】
由正方形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)可求得和，利用是等腰三角形即得和.
【詳解】
∵四邊形為正方形，
∴，=90°，
又∵為等邊三角形，，=60°，
∴=90°-60°=30°，
∵，是等腰三角形，
∴=（180°-30°）=75°，
又∵=90°，
∴=90°-75°=15°，
故答案為：15°.
【點(diǎn)睛】
本題主要考查正方形的性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)，熟練運(yùn)用兩者性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.
9．（2022·海南海口·七年級期末）如圖，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E在BC上，△ABE繞正方形的中心經(jīng)順時針旋轉(zhuǎn)后與△DAF重合，則∠DGE=______度．
【答案】90
【解析】
【分析】
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠ADF=∠BAE，再根據(jù)正方形的性質(zhì)，得∠DAF=90°，從而得∠AFD+∠ADF=90°，即∠AFD+∠BAE=90°，再由三角形內(nèi)角和定理得出∠AGF=90°，即可由對頂角相等求得答案．
【詳解】
解：∵△ABE繞正方形的中心經(jīng)順時針旋轉(zhuǎn)后與△DAF重合，
∴∠ADF=∠BAE，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠DAF=90°，
∴∠AFD+∠ADF=90°，
∴∠AFD+∠BAE=90°，
∵∠AFD+∠BAE+∠AGF=180°，
∴∠AGF=90°，
∴∠DGE=∠AGF=90°，
故答案為：90．
【點(diǎn)睛】
本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，對頂角性質(zhì)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
10．（2022·廣東惠州·八年級期末）如圖，在直線l上擺放著三個正方形，其中正放的兩個正方形的頂點(diǎn)M，N分別是斜放正方形相鄰兩邊的中點(diǎn)，三個正方形的面積依次為，，．已知，，則=_____．
【答案】16
【解析】
【分析】
利用AAS證明△AMB≌△CBN，得BC=AM，再利用勾股定理求出BM的長，從而解決問題．
【詳解】
解：如圖，
∵正放的兩個正方形的頂點(diǎn)M，N分別是斜放正方形相鄰兩邊的中點(diǎn)，
∴BM=BN，∠MBN=90°，∠MAB=∠NCB=90°，
∴∠MBA+∠CBN=90°，
∵∠MBA+∠AMB=90°，
∴∠AMB=∠CBN，
∴△AMB≌△CBN（AAS），
∴BC=AM，
∵，，
∴AM=1，，
∴由勾股定理得：BM=2，
∴．
故答案為：16
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識，證明△AMB≌△CBN是解題的關(guān)鍵．
三、解答題
11．（2022·廣西百色·八年級期末）如圖，在正方形ABCD中，AE、BF相交于點(diǎn)O且AF＝DE．求證：∠DAE＝∠ABF．
【答案】證明見解析
【解析】
【分析】
由正方形的性質(zhì)可得AB=AD，∠BAD=∠ADC=90°，由“SAS”可證△ABF≌△DAE，可得∠DAE=∠ABF．
【詳解】
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠D＝∠BAD＝90°，AB＝AD，
在△ABF與△DAE中

∴△ABF≌△DAE（SAS），
∴∠DAE＝∠ABF
【點(diǎn)睛】
本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．
12．（2021·天津津南·八年級期末）如圖，E是正方形ABCD的邊CD上一點(diǎn)，以點(diǎn)A為中心．把△ADE繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得△，連接．
(1)的度數(shù)為 ；
(2)若AD＝4，DE＝1，求的長．
【答案】(1)90°
(2)
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可求解；
（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)，勾股定理求得的長，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，進(jìn)而勾股定理即可求解．
(1)
把△ADE繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得△，
；
(2)
四邊形是正方形，
，
，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，
，
【點(diǎn)睛】
本題考查了性質(zhì)的性質(zhì)，勾股定理，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
提升篇
一、填空題
1．（2022·廣西欽州·八年級期末）如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)在正方形ABCD內(nèi)部且AE⊥EF，CF⊥EF，已知AE＝9，EF＝5，F(xiàn)C＝3，則正方形ABCD的邊長為________．
【答案】
【解析】
【分析】
連接，過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，在中，勾股定理求得，進(jìn)而即可求解．
【詳解】
如圖，連接，過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)
AE⊥EF，CF⊥EF，
則四邊形是矩形，
中，，，
，
，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】
本題考查了正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)與判定，勾股定理，構(gòu)造直角三角形求得的長是解題的關(guān)鍵．
2．（2022·湖南邵陽·八年級期末）如圖，在正方形中，為中點(diǎn)，連結(jié)，過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，連結(jié)，若，則的值為___________．
【答案】
【解析】
【分析】
由題意可得△AED≌△CFD，從而得到CF=AE=1，然后根據(jù)勾股定理可以得到解答．
【詳解】
解：∵E為AB的中點(diǎn)，
∴AB＝2AE＝2，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴BC＝AB＝2，∠ADC＝∠ABC＝90°，
∵，
∴∠EDC+∠CDF=90°=∠EDC+∠ADE，BC＝AB，
∴∠CDF=∠ADE，
又CD=AD，∠DCF=∠A=90°，
∴△AED≌△CFD（ASA），
∴CF=AE=1，BF=BC+CF=2+1=3，
∴在RT△EBF中，由勾股定理可得：
EF=，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】
本題考查正方形的綜合應(yīng)用，熟練掌握正方形的性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用是解題關(guān)鍵．
3．（2022·重慶一中八年級期中）如圖，正方形ABCD邊長為4，P是正方形內(nèi)一動點(diǎn)，且，則的最小值是______．
【答案】
【解析】
【分析】
過點(diǎn)P作，由可得，得PE=1，PF=3，過點(diǎn)P作MN//AB交AD于點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)N，可得出四邊形PFCN是矩形，得CN=PF=3，延長CB到K，使NK=CN=3，連接DK，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短故可知的最小值為DK的長，根據(jù)勾股定理可求解
【詳解】
解：如圖，過點(diǎn)P作，交AB于點(diǎn)E，交CD于點(diǎn)F，

∵四邊形是正方形，
∴，，，，
∴
∵，，
∴，
∴
∵
∴，
∴，，
過點(diǎn)P作MN//AB交AD于點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)N，則，
∴∠
∴四邊形是矩形，
∴四邊形是矩形，
∴，
∵∠，
延長CB到K，使NK=CN=3，則有：
連接DK，當(dāng)在一條直線上時，，當(dāng)不在一條直線上時，，
故當(dāng)共線時，
又N是CK的中點(diǎn)，，
∴PN是CK的垂直平分線，
∴CP=PK，
所以的最小值為，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查正方形的性質(zhì)，矩形的判斷與性質(zhì)，勾股定理以及線段的垂直平分線的判斷與性質(zhì)等知識，掌握正方形的性質(zhì)，正確做出輔助線是解題的關(guān)鍵．
4．（2022·浙江杭州·八年級期末）如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H為正方形ABCD四邊中點(diǎn)，連接BE，DG，CF，AH．若AB＝10，則四邊形MNPQ的面積是______．
【答案】20
【解析】
【分析】
根據(jù)正方形四邊相等，四個角為直角的性質(zhì)，且點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H為正方形ABCD四邊中點(diǎn)，可證明△ADG≌△DCG≌△CBF≌△BAE（SAS），得到AH=DG=CF=BE，∠HAD=∠GDC=∠FCB=∠EBA，則可證明△AQD≌△BAM≌△CBN≌△DCP（AAS），四邊形MNPQ是正方形，求出MNPQ的邊長即可求出其面積．
【詳解】
解：∵點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H為正方形ABCD四邊中點(diǎn)，
∴AE=DH=CG=BF，
又∵AB=BC=CD=AD，
∴△ADG≌△DCG≌△CBF≌△BAE（SAS），
∴AH=DG=CF=BE，∠HAD=∠GDC=∠FCB=∠EBA，
∵∠HAD+∠BAH=90°，
∴∠BAH+∠ABE=90°，
∴∠AMB=180°-(∠BAH+∠ABE)=90°，
同理：∠BNC=∠CPD=∠DQA=90°，
∴△AQD≌△BAM≌△CBN≌△DCP（AAS），
∴AM=BN=CP=DQ，AQ=BM=CN=DP，
∴MQ=MN=PN=PQ，
∴四邊形MNPQ是正方形，
∵AB=BC=CD=AD=10，
∴BE=CF=DG=AH=，
∵，
∴AM=，
∴，
∴MQ=MN=PN=PQ=，
∴四邊形MNPQ的面積=，
故答案為：20
【點(diǎn)睛】
本題考查了正方形的性質(zhì)和全等三角形，熟練運(yùn)用正方形的性質(zhì)和全等三角形是解題的關(guān)鍵．
5．（2022·河南開封·八年級期末）如圖，中，兩直角邊和的長分別3和4，以斜邊為邊作一個正方形，再以正方形的邊為斜邊作，然后依次以兩直角邊和為邊分別作正方形和，則圖中陰影部分的面積為______．
【答案】25
【解析】
【分析】
證明，可得到AF和FE的長度，分別計(jì)算出正方形和的面積即可得到陰影部分的面積．
【詳解】
解：∵ 四邊形是正方形，
∴，
∵,
∴,
∵,
∴,
∵,
∴,
∴,
∵ ，
∴
∴，，
∴,,
∴,
故答案為：25．
【點(diǎn)睛】
本題考查正方形、全等三角形和直角三角形的性質(zhì)，證明是解本題的關(guān)鍵．
二、解答題
6．（2022·福建南平·八年級期末）如圖，在正方形 ABCD 中，E是邊BC上一動點(diǎn)（不與B，C重合），連接AE，過點(diǎn)A作AE的垂線交CD的延長線于點(diǎn) F ．
(1)如 圖1，求證：BE＝DF；
(2)如圖2，連接BD，EF，交點(diǎn)為O．求證：點(diǎn)O是線段EF的中點(diǎn)．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【解析】
【分析】
（1）證明△ABE≌△ADF（ASA）即可得到結(jié)論；
（2）過點(diǎn)E作EG⊥BC交BD于點(diǎn)G，則∠BEG＝90°，證明△GOE≌△DOF（AAS），即可得到結(jié)論．
(1) 證明：∵四邊形 ABCD 是正方形，
∴∠BAD=∠B= ∠ADC=90°，AB=AD，
∴∠ADF＝180°－∠ADC＝90°，
∴∠ADF＝∠ABE，
∵AF⊥ AE，
∴∠EAF=∠BAD = 90°，
∴∠BAE+∠DAE=∠DAF+∠DAE，
∴∠BAE=∠DAF，
∴△ABE≌△ADF（ASA）．
∴BE=DF．
(2)
證明：如圖，過點(diǎn)E作EG⊥BC交BD于點(diǎn)G，則∠BEG＝90°，
∵四邊形 ABCD 是正方形，
∴∠DBC=∠CDB =45° ，
∴∠BGE＝90°－∠CBD＝45°，∠ODG＝180°－∠BDC＝135°，
∴BE＝GE，∠OGE＝180°－∠BGE＝135°，
∴△BGE 是等腰直角三角形，∠OGE=∠ODF= 135° ，
∴由（1）可知，BE=DF ，
∴GE=DF．
∵∠GOE=∠DOF，
∴△GOE≌△DOF（AAS）．
∴OE=OF ．
【點(diǎn)睛】
此題主要考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．
7．（2022·湖北黃石·八年級期末）四邊形ABCD為正方形，點(diǎn)E為線段AC上一點(diǎn)，連接DE，過點(diǎn)E作EF⊥DE，交射線BC于點(diǎn)F，以DE、EF為鄰邊作矩形DEFG，連接CG．
(1)如圖，求證：矩形DEFG是正方形；
(2)若AB＝2，，求CG的長度；
(3)當(dāng)線段DE與正方形ABCD的某條邊的夾角是32°時，求∠EFC的度數(shù)．
【答案】(1)證明見解析
(2)
(3)∠EFC＝122°或32°
【解析】
【分析】
（1）作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，證明，可得EF＝ED，則矩形DEFG是正方形；
（2）根據(jù)AB＝2，，可得重合，根據(jù)正方形的性質(zhì)即可求解；
（3）①當(dāng)DE與AD的夾角為32°時，點(diǎn)F在BC邊上，∠ADE＝32°，在四邊形CDEF中，由四邊形內(nèi)角和定理得：∠EFC＝122°，②當(dāng)DE與DC的夾角為32°時，點(diǎn)F在BC的延長線上，∠CDE＝32°，可得∠EFC＝∠CDE＝32°．
(1)
證明：作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，
∵∠DCA＝∠BCA，
∴EQ＝EP，
∵∠QEF＋∠FEC＝45°，∠PED＋∠FEC＝45°，
∴∠QEF＝∠PED，
在和中，
∴
∴EF＝ED，
∴矩形DEFG是正方形；
(2)
解：如圖2中，
在中，，
∵，
∴AE＝CE，
∴點(diǎn)F與C重合，
．
(3)
①當(dāng)DE與AD的夾角為32°時，點(diǎn)F在BC邊上，∠ADE＝32°，如圖3所示：
則∠CDE＝90°－32°＝58°，
在四邊形CDEF中，由四邊形內(nèi)角和定理得：
∠EFC＝360°－90°－90°－58°＝122°，
②當(dāng)DE與DC的夾角為32°時，點(diǎn)F在BC的延長線上，∠CDE＝32°，如圖4所示：
∵∠HCF＝∠DEF＝90°，∠CHF＝∠EHD，
∴∠EFC＝∠CDE＝32°，
綜上所述，∠EFC＝122°或32°．
【點(diǎn)睛】
本題考查了正方形的性質(zhì)與判定，四邊形內(nèi)角和定理，勾股定理，掌握正方形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．
8．（2022·貴州黔東南·八年級期末）【探究發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1，在四邊形中，對角線，垂足是O，求證：．
【拓展遷移】（2）如圖2．以三角形的邊、為邊向外作正方形和正方形，求證：．
（3）如圖3，在（2）小題條件不變的情況下，連接，若，，，則的長_____________．（直接填寫答案）
【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）．
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)，利用勾股定理分別求出和即可證明結(jié)論；
（2）利用正方形的性質(zhì)證明△CAE≌△GAB（SAS），可得∠CEA＝∠GBA，根據(jù)∠GBA＋∠ANB＝90°等量代換求出∠EMN＝90°即可；
（3）利用勾股定理分別求出AE、CG和BE，然后利用（1）中結(jié)論求出BC即可．
【詳解】
解：（1）∵，
∴∠AOD＝∠AOB＝∠COD＝∠BOC＝90°，
由勾股定理得：，，
∴；
（2）∵在正方形和正方形中，AC＝AG，AE＝AB，∠CAG＝∠EAB＝90°，
∴∠CAG＋∠GAE＝∠EAB＋∠GAE，即∠CAE＝∠GAB，
∴△CAE≌△GAB（SAS），
∴∠CEA＝∠GBA，
∵∠GBA＋∠ANB＝90°，∠ANB＝∠MNE，
∴∠CEA＋∠MNE＝90°，
∴∠EMN＝90°，
∴；
（3）如圖3，連接CG，BE，
∵，，，
∴AC＝8，AE＝，
∴AB＝10，
∴CG＝，BE＝，
∵，
∴由（1）可知：，即，
∵BC＞0，
∴．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握勾股定理是解答此題的關(guān)鍵．

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