精選練習(xí)
基礎(chǔ)篇
一、單選題
1．（2022秋·福建泉州·八年級(jí)校考期末）已知、不同的兩個(gè)實(shí)數(shù)，且滿足、，當(dāng)為整數(shù)時(shí)，的值為（ ）
A．或B．1C．D．或
2．（2022秋·陜西渭南·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）（ ）
A．B．C．D．
3．（2022秋·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）已知 則的值為（ ）
A．B．3C．﹣D．5
4．（2021春·山東青島·七年級(jí)華東師范大學(xué)青島實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┤簦?，在下列判斷結(jié)果正確是（ ）．
A．B．C．D．無(wú)法判斷
5．（2022秋·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖所示分割正方形，各圖形面積之間的關(guān)系，驗(yàn)證了一個(gè)等式，這個(gè)等式是（ ）
A．B．
C．D．
6．（2022秋·全國(guó)·八年級(jí)期末）圖（1）是一個(gè)長(zhǎng)為，寬為的長(zhǎng)方形，用剪刀沿圖中虛線（對(duì)稱軸）剪開(kāi)，把它分成四塊形狀和大小都一樣的小長(zhǎng)方形，然后按圖（2）那樣拼成一個(gè)正方形，則中間空余的部分的面積是（ ）
A． B．C．D．
二、填空題
7．（2022秋·福建泉州·八年級(jí)?？计谀┤簦敲吹闹禐開(kāi)_______．
8．（2022秋·湖北武漢·八年級(jí)?？计谀┯?jì)算____________．
9．（2022秋·湖北武漢·八年級(jí)校考期末）是完全平方式，則____________．
10．（2021春·貴州貴陽(yáng)·八年級(jí)貴陽(yáng)市第十七中學(xué)校考期中）如果，那么______．
三、解答題
11．（2022秋·河北保定·八年級(jí)統(tǒng)考期末）計(jì)算：
(1)；
(2)．
12．（2022秋·吉林長(zhǎng)春·八年級(jí)統(tǒng)考期中）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．
提升篇
一、填空題
1．（2022秋·山東濱州·八年級(jí)?？计谀┮阎?，，則________， ______，__________．
2．（2022秋·湖北·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知：， ，則＝_____．
3．（2022秋·廣東江門·八年級(jí)統(tǒng)考期末）若是完全平方式，則的值為_(kāi)_____．
4．（2022秋·北京海淀·七年級(jí)清華附中?？计谀┮阎瑒t______．
5．（2022秋·天津和平·八年級(jí)天津一中?？计谀?）已知，，則的值為_(kāi)_____．
（2）已知，，則的值為_(kāi)_____．
（3）已知x滿足，則的值為_(kāi)_____．
二、解答題
6．（2022秋·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）已知，，求下列各式的值．
(1)；
(2)．
7．（2022秋·陜西渭南·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）（1）證明：相鄰兩個(gè)奇數(shù)的平方的差是8的倍數(shù)．（注釋：兩個(gè)奇數(shù)的平方的差：兩個(gè)奇數(shù)各自平方，然后相減）
（2）證明：任意兩個(gè)奇數(shù)的平方的差是4的倍數(shù)．
（3）已知，求的值．
8．（2022秋·河南周口·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖1是一個(gè)長(zhǎng)為2a，寬為2b的長(zhǎng)方形，沿圖中虛線剪開(kāi)分成四塊完全一樣的小長(zhǎng)方形，然后按如圖2的形狀拼成一個(gè)正方形．
(1)圖2中的陰影部分的正方形的邊長(zhǎng)是______；
(2)用兩種不同的方法求圖中陰影部分的面積，并寫(xiě)出三個(gè)代數(shù)式，，之間的等量關(guān)系；
(3)根據(jù)（2）中的等量關(guān)系，解決問(wèn)題：若，，求的值；
(4)根據(jù)（2）中的等量關(guān)系，直接寫(xiě)出和之間的關(guān)系；若，分別求出和的值．
第一章 整式的乘除
1.6 完全平方公式
精選練習(xí)
基礎(chǔ)篇
一、單選題
1．（2022秋·福建泉州·八年級(jí)?？计谀┮阎⒉煌膬蓚€(gè)實(shí)數(shù)，且滿足、，當(dāng)為整數(shù)時(shí)，的值為（ ）
A．或B．1C．D．或
【答案】C
【分析】根據(jù)已知條件，得到，然后由為整數(shù)，進(jìn)而得出結(jié)論．
【詳解】∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，解得，
∵，
∴，
∴，
∵為整數(shù)，
∴為平方數(shù)，
∴，
解得，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了完全平方公式的變形，正確掌握做題的方法是解題的關(guān)鍵．
2．（2022秋·陜西渭南·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先利用完全平方公式去括號(hào)，再求值即可．
【詳解】解：
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查整式的混合運(yùn)算，解題關(guān)鍵是掌握完全平方公式．
3．（2022秋·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）已知 則的值為（ ）
A．B．3C．﹣D．5
【答案】C
【分析】根據(jù)完全平方公式得，代入即可求出答案．
【詳解】解：將兩邊平方得：，
把代入得：，即，
故選：C．
【點(diǎn)睛】此題考查了完全平方公式的變形計(jì)算，正確掌握完全平方公式是解題的關(guān)鍵．
4．（2021春·山東青島·七年級(jí)華東師范大學(xué)青島實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┤?，，在下列判斷結(jié)果正確是（ ）．
A．B．C．D．無(wú)法判斷
【答案】C
【分析】根據(jù)完全平方公式的變形，將b化簡(jiǎn)，進(jìn)而與a比較即可求解
【詳解】解：，
，
故．
故選C．
【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式的變形，掌握完全平方公式的變形是解題的關(guān)鍵．
5．（2022秋·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖所示分割正方形，各圖形面積之間的關(guān)系，驗(yàn)證了一個(gè)等式，這個(gè)等式是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】此圖形中，一個(gè)大正方形的面積小正方形的面積=四個(gè)矩形的面積．
【詳解】解：如圖，大正方形的面積，
小正方形的面積，
四個(gè)長(zhǎng)方形的面積，
則由圖形知，大正方形的面積小正方形的面積四個(gè)矩形的面積，
即．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式的幾何背景．應(yīng)從整體和部分兩方面來(lái)理解完全平方公式的幾何意義；主要圍繞圖形面積展開(kāi)分析．
6．（2022秋·全國(guó)·八年級(jí)期末）圖（1）是一個(gè)長(zhǎng)為，寬為的長(zhǎng)方形，用剪刀沿圖中虛線（對(duì)稱軸）剪開(kāi)，把它分成四塊形狀和大小都一樣的小長(zhǎng)方形，然后按圖（2）那樣拼成一個(gè)正方形，則中間空余的部分的面積是（ ）
A． B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)中間部分的四邊形是正方形，表示出邊長(zhǎng)，則面積可以求得．
【詳解】解：中間部分的四邊形是正方形，邊長(zhǎng)是，
則面積是．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式的幾何背景，求出正方形的邊長(zhǎng)是解答本題的關(guān)鍵．
二、填空題
7．（2022秋·福建泉州·八年級(jí)校考期末）若，那么的值為_(kāi)_______．
【答案】4
【分析】先去括號(hào)，再合并同類項(xiàng)，然后把代入化簡(jiǎn)后的式子進(jìn)行計(jì)算即可解答．
【詳解】
，
當(dāng)，原式，
故答案為：4．
【點(diǎn)睛】本題考查了整式的混合運(yùn)算-化簡(jiǎn)求值，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．
8．（2022秋·湖北武漢·八年級(jí)?？计谀┯?jì)算____________．
【答案】
【分析】利用平方差公式和完全平方公式進(jìn)行計(jì)算即可得．
【詳解】解：原式
，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了平方差公式和完全平方公式，熟記乘法公式是解題關(guān)鍵．
9．（2022秋·湖北武漢·八年級(jí)?？计谀┦峭耆椒绞?，則____________．
【答案】
【分析】根據(jù)完全平方公式即可得．
【詳解】解：是完全平方式，
，
，
，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方式，熟記公式是解題關(guān)鍵．
10．（2021春·貴州貴陽(yáng)·八年級(jí)貴陽(yáng)市第十七中學(xué)校考期中）如果，那么______．
【答案】
【分析】把右邊的完全平方公式展開(kāi)，根據(jù)多項(xiàng)式相等，比較兩邊對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)，即可求得m的值．
【詳解】解：，
，
，
，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式，兩個(gè)多項(xiàng)式的相等，應(yīng)用完全平方公式展開(kāi)是關(guān)鍵．
三、解答題
11．（2022秋·河北保定·八年級(jí)統(tǒng)考期末）計(jì)算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）根據(jù)同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方和積的乘方的運(yùn)算法則展開(kāi)，再合并同類項(xiàng)即可．
（2）根據(jù)乘法公式展開(kāi)，再合并同類項(xiàng)即可．
【詳解】（1）解：
；
（2）解：
．
【點(diǎn)睛】本題考查了整式的運(yùn)算，熟練掌握整式的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
12．（2022秋·吉林長(zhǎng)春·八年級(jí)統(tǒng)考期中）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】利用完全平方公式，平方差公式進(jìn)行計(jì)算，然后把x的值代入化簡(jiǎn)后的式子進(jìn)行計(jì)算即可解答．
【詳解】解：原式
當(dāng)時(shí)，原式．
【點(diǎn)睛】本題考查了整式的混合運(yùn)算-化簡(jiǎn)求值，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．
提升篇
一、填空題
1．（2022秋·山東濱州·八年級(jí)?？计谀┮阎?，則________， ______，__________．
【答案】 5 4 17
【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的乘法和冪的乘方運(yùn)算法則，即可求出和的值，再根據(jù)完全平方公式即可求出的值．
【詳解】解：∵，，
∴，，
∴，
故答案為：5，4，17．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算法則，冪的乘方運(yùn)算法則，完全平方公式，解題的關(guān)鍵是掌握同底數(shù)冪的乘法，底數(shù)不變，指數(shù)相加；冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘；完全平方公式．
2．（2022秋·湖北·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知：， ，則＝_____．
【答案】
【分析】將代入計(jì)算可得．
【詳解】解：∵，
∴，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了代數(shù)求值，解題的關(guān)鍵是掌握完全平方公式及其變形．
3．（2022秋·廣東江門·八年級(jí)統(tǒng)考期末）若是完全平方式，則的值為_(kāi)_____．
【答案】或##或
【分析】根據(jù)完全平方公式的特點(diǎn)：首平方，尾平方，首尾兩數(shù)積的兩倍在中央求解即可．
【詳解】解：∵是完全平方式，
∴，
整理得：或，
解得或，
故答案為：或．
【點(diǎn)睛】本題考查完全平方式，記住完全平方式的特征是解題的關(guān)鍵，形如這樣的式子是完全平方式，屬于中考?？碱}型．
4．（2022秋·北京海淀·七年級(jí)清華附中?？计谀┮阎瑒t______．
【答案】61
【分析】根據(jù)可得，，然后將原分式適當(dāng)變形后整體代入計(jì)算即可．
【詳解】解：∵，
∴，，
∴，
∴
．
故答案為：61．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了代數(shù)式求值，掌握整體代入思想是解題關(guān)鍵．在本題中還需理解．
5．（2022秋·天津和平·八年級(jí)天津一中校考期末）（1）已知，，則的值為_(kāi)_____．
（2）已知，，則的值為_(kāi)_____．
（3）已知x滿足，則的值為_(kāi)_____．
【答案】 39 5 5
【分析】（1）將變形為，再代入已知條件計(jì)算即可；
（2）將變形為，再代入已知條件，即可求出值，將變形為，代入即可求解．
（3）將變形為，則，將看做成一個(gè)整體，化簡(jiǎn)即可求得的值．
【詳解】解：（1）∵，，
∴
，
故答案為：39；
（2）∵
∴
∵，
∴，
∴
，
故答案為：5；
（3）∵，
∴，
，
，
，
，
故答案為：5．
【點(diǎn)睛】本題考查完全平方公式的應(yīng)用，熟練掌握利用完全平方公式變形求代數(shù)式值是解題的關(guān)鍵．
二、解答題
6．（2022秋·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）已知，，求下列各式的值．
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用完全平方差公式變形即可求解；
（2）利用完全平方公式變形，將式子用含、的式子表示，再代入求解．
【詳解】（1）解：
（2）解：
【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式及其變形式，根據(jù)公式的特征進(jìn)行變形是求解的關(guān)鍵．
7．（2022秋·陜西渭南·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）（1）證明：相鄰兩個(gè)奇數(shù)的平方的差是8的倍數(shù)．（注釋：兩個(gè)奇數(shù)的平方的差：兩個(gè)奇數(shù)各自平方，然后相減）
（2）證明：任意兩個(gè)奇數(shù)的平方的差是4的倍數(shù)．
（3）已知，求的值．
【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）2
【分析】（1）表示出相鄰兩個(gè)奇數(shù)為：，，列出他們平方的差進(jìn)行計(jì)算即可；
（2）表示相互兩個(gè)奇數(shù)為：，，列出他們平方的差進(jìn)行計(jì)算即可；
（3）將，轉(zhuǎn)化為底數(shù)為3的形式，再利用冪的乘方和同底數(shù)冪的乘方運(yùn)算即可．
【詳解】（1）證明：相鄰兩個(gè)奇數(shù)的平方的差是8的倍數(shù)．（注釋：兩個(gè)奇數(shù)的平方的差：兩個(gè)奇數(shù)各自平方，然后相減）
設(shè)：這兩個(gè)奇數(shù)為：，（注：設(shè)為2n-1，2n+1也可以）
則：是8的倍數(shù)，
∴相鄰兩個(gè)奇數(shù)的平方的差是8的倍數(shù)．
（2）證明：任意兩個(gè)奇數(shù)的平方的差是4的倍數(shù)．
設(shè)：這兩個(gè)奇數(shù)為：，
則：是4的倍數(shù)，
∴任意兩個(gè)奇數(shù)的平方的差是4的倍數(shù)．
（3）已知，求的值．
．
【點(diǎn)睛】本題考查完全平方公式的運(yùn)算及同底數(shù)冪的乘法和冪的乘方的運(yùn)算，熟練運(yùn)用公式及法則是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
8．（2022秋·河南周口·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖1是一個(gè)長(zhǎng)為2a，寬為2b的長(zhǎng)方形，沿圖中虛線剪開(kāi)分成四塊完全一樣的小長(zhǎng)方形，然后按如圖2的形狀拼成一個(gè)正方形．
(1)圖2中的陰影部分的正方形的邊長(zhǎng)是______；
(2)用兩種不同的方法求圖中陰影部分的面積，并寫(xiě)出三個(gè)代數(shù)式，，之間的等量關(guān)系；
(3)根據(jù)（2）中的等量關(guān)系，解決問(wèn)題：若，，求的值；
(4)根據(jù)（2）中的等量關(guān)系，直接寫(xiě)出和之間的關(guān)系；若，分別求出和的值．
【答案】(1)
(2)方法一：，方法二：，或
(3)
(4)的值為4，的值為12
【分析】（1）圖2中，大正方形的邊長(zhǎng)為：，橫著看，是由兩個(gè)b和陰影正方形的邊長(zhǎng)構(gòu)成，相減便得陰影正方形邊長(zhǎng)；
（2）方法一：圖1中已求出陰影正方形的邊長(zhǎng)，邊長(zhǎng)乘邊長(zhǎng)即為面積；方法二：圖2長(zhǎng)方形面積減圖2非陰影部分面積，即為陰影部分面積；
（3）運(yùn)用（2）中關(guān)系可得，代入求解即可；
（4）將m視為a，視為b，按照上述結(jié)論即可解決．
【詳解】（1）解：陰影部分的正方形的邊長(zhǎng)為：，
故答案為：；
（2）陰影部分的面積：
方法一：利用整體思想，邊長(zhǎng)為的正方形其面積為，
方法二：利用分割思想，陰影部分面積=邊長(zhǎng)為的大正方形面積-4個(gè)長(zhǎng)為a寬為b的矩形面積，
∴三個(gè)代數(shù)式之間的數(shù)量關(guān)系為：，或：；
（3）∵，且，，
∴，
∴；
（4）由（2）可得：，
∵，
∴，
∴，
∴，
綜上，的值為4，的值為12．
【點(diǎn)睛】此題利用數(shù)形結(jié)合的思想，來(lái)研究完全平方式之間的聯(lián)系，以及代數(shù)式求值的問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題型．

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