第04講全等、相似三角形（考點(diǎn)精析+真題精講）-備戰(zhàn)2024年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)研究（全國通用）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

2、學(xué)會運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想。數(shù)形結(jié)合思想是指從幾何直觀的角度,利用幾何圖形的性質(zhì)研究數(shù)量關(guān)系，尋求代數(shù)問題的解決方法（以形助數(shù)），或利用數(shù)量關(guān)系來研究幾何圖形的性質(zhì)，解決幾何問題（以數(shù)助形）的一種數(shù)學(xué)思想。
3、要學(xué)會搶得分點(diǎn)。一道中考數(shù)學(xué)壓軸題解不出來，不等于“一點(diǎn)不懂、一點(diǎn)不會”，要將整道題目解題思路轉(zhuǎn)化為得分點(diǎn)。
4、學(xué)會運(yùn)用等價(jià)轉(zhuǎn)換思想。在研究數(shù)學(xué)問題時(shí)，我們通常是將未知問題轉(zhuǎn)化為已知的問題，將復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單的問題，將抽象的問題轉(zhuǎn)化為具體的問題，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題。
5、學(xué)會運(yùn)用分類討論的思想。如果不注意對各種情況分類討論，就有可能造成錯(cuò)解或漏解，縱觀近幾年的中考壓軸題分類討論思想解題已成為新的熱點(diǎn)。
6、轉(zhuǎn)化思想:體現(xiàn)在數(shù)學(xué)上也就是要把難的問題轉(zhuǎn)化為簡單的問題，把不熟悉的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題，把未知的問題轉(zhuǎn)化為已知的問題。
備戰(zhàn)2024中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)
第4講全等、相似三角形
№考向解讀
?考點(diǎn)精析
?真題精講
?題型突破
?專題精練
第四章三角形
第4講全等、相似三角形
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考向一全等三角形
考向二相似三角形
第4講全等、相似三角形
→?考點(diǎn)精析←
一、全等三角形
1．三角形全等的判定定理：
（1）邊角邊定理：有兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡寫成“邊角邊”或“SAS”）；
（2）角邊角定理：有兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡寫成“角邊角”或“ASA”）；
（3）邊邊邊定理：有三邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡寫成“邊邊邊”或“SSS”）；
（4）對于特殊的直角三角形，判定它們?nèi)葧r(shí)，還有HL定理（斜邊、直角邊定理）：有斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等（可簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”）．
2．全等三角形的性質(zhì)：
（1）全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等；
（2）全等三角形的周長相等，面積相等；
（3）全等三角形對應(yīng)的中線、高線、角平分線、中位線都相等．
二、相似三角形的判定及性質(zhì)
1．定義
對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形叫做相似三角形，相似三角形對應(yīng)邊的比叫做相似比．
2．性質(zhì)
（1）相似三角形的對應(yīng)角相等；
（2）相似三角形的對應(yīng)線段（邊、高、中線、角平分線）成比例；
（3）相似三角形的周長比等于相似比，面積比等于相似比的平方．
3．判定
（1）有兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似；
（2）兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似；
（3）三邊對應(yīng)成比例，兩三角形相似；
（4）兩直角三角形的斜邊和一條直角邊對應(yīng)成比例，兩直角三角形相似．
【方法技巧】判定三角形相似的幾條思路：
（1）條件中若有平行線，可采用相似三角形的判定（1）；
（2）條件中若有一對等角，可再找一對等角[用判定（1）]或再找夾邊成比例[用判定（2）]；
（3）條件中若有兩邊對應(yīng)成比例，可找夾角相等；
（4）條件中若有一對直角，可考慮再找一對等角或證明斜邊、直角邊對應(yīng)成比例；
（5）條件中若有等腰條件，可找頂角相等，或找一個(gè)底角相等，也可找底和腰對應(yīng)成比例．
→?真題精講←
題型一全等三角形
1．（2023·云南·統(tǒng)考中考真題）如圖，兩點(diǎn)被池塘隔開，三點(diǎn)不共線．設(shè)的中點(diǎn)分別為．若米，則（）

A．4米B．6米C．8米D．10米
【答案】B
【分析】根據(jù)三角形中位線定理計(jì)算即可．
【詳解】解∶∵的中點(diǎn)分別為，
∴是的中位線，
∴米，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形中位線定理，掌握三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．
2．（2023·浙江臺州·統(tǒng)考中考真題）如圖，銳角三角形中，，點(diǎn)D，E分別在邊，上，連接，．下列命題中，假命題是（）．

A．若，則B．若，則
C．若，則D．若，則
【答案】A
【分析】由，可得，再由，由無法證明與全等，從而無法得到；證明可得；證明，可得，即可證明；證明，即可得出結(jié)論．
【詳解】解：∵，
∴，
∵若，
又，
∴與滿足“”的關(guān)系，無法證明全等，
因此無法得出，故A是假命題，
∵若，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，故B是真命題；
若，則，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，故C是真命題；
若，則在和中，
，
∴，
∴，故D是真命題；
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯(cuò)誤的命題叫假命題，判斷命題的真假關(guān)鍵是掌握相關(guān)性質(zhì)定理．
3．（2023·河北·統(tǒng)考中考真題）在和中，．已知，則（）
A．B．C．或D．或
【答案】C
【分析】過A作于點(diǎn)D，過作于點(diǎn)，求得，分兩種情況討論，利用全等三角形的判定和性質(zhì)即可求解．
【詳解】解：過A作于點(diǎn)D，過作于點(diǎn)，
∵，
∴，
當(dāng)在點(diǎn)D的兩側(cè)，在點(diǎn)的兩側(cè)時(shí)，如圖，

∵，，
∴，
∴；
當(dāng)在點(diǎn)D的兩側(cè)，在點(diǎn)的同側(cè)時(shí)，如圖，

∵，，
∴，
∴，即；
綜上，的值為或．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了含30度角的直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，分類討論是解題的關(guān)鍵．
4．（2023·湖北隨州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，D為AC上一點(diǎn)，若是的角平分線，則___________．

【答案】3
【分析】首先證明，，設(shè)，在中，利用勾股定理構(gòu)建方程即可解決問題．
【詳解】解：如圖，過點(diǎn)D作的垂線，垂足為P，

在中，∵，
∴，
∵是的角平分線，
∴，
∵，
∴，
∴，，
設(shè)，
在中，∵，，
∴，
∴，
∴．
故答案為：3．
【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．
5．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，，點(diǎn)D為上一動(dòng)點(diǎn)，連接，將沿翻折得到，交于點(diǎn)G，，且，則______．

【答案】
【分析】于點(diǎn)M，于點(diǎn)N，則，過點(diǎn)G作于點(diǎn)P，設(shè)，根據(jù)得出，繼而求得，，，再利用，求得，利用勾股定理求得，，故，
【詳解】由折疊的性質(zhì)可知，是的角平分線，，用證明，從而得到，設(shè)，則，，利用勾股定理得到即，化簡得，從而得出，利用三角形的面積公式得到：．
作于點(diǎn)M，于點(diǎn)N，則，
過點(diǎn)G作于點(diǎn)P，

∵于點(diǎn)M，
∴，
設(shè)，則，，
又∵，，
∴，，，
∵，即，
∴，，
在中，，，
設(shè)，則
∴
∴，
∵，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，，，
∴，
∴，
設(shè)，則，，
在中，，即，
化簡得：，
∴，
∴
故答案是：．
【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形，折疊的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，勾股定理等知識，正確作出輔助線并利用勾股定理列出方程是解題的關(guān)鍵．
6．（2023·云南·統(tǒng)考中考真題）如圖，是的中點(diǎn)，．求證：．

【答案】見解析
【分析】根據(jù)是的中點(diǎn)，得到，再利用證明兩個(gè)三角形全等．
【詳解】證明：是的中點(diǎn)，
，
在和中，
，
【點(diǎn)睛】本題考查了線段中點(diǎn)，三角形全等的判定，其中對三角形判定條件的確定是解決本題的關(guān)鍵．
7．（2023·四川宜賓·統(tǒng)考中考真題）已知：如圖，，，．求證：．

【答案】見解析
【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，然后證明，證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得證．
【詳解】證明：∵，
∴，
∵，
∴
即
在與中
，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．
8．（2023·全國·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)C在線段上，在和中，．
求證：．

【答案】證明見解析
【分析】直接利用證明，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可證明．
【詳解】解：在和中，
∴
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．
9．（2023·山東臨沂·統(tǒng)考中考真題）如圖，．

(1)寫出與的數(shù)量關(guān)系
(2)延長到，使，延長到，使，連接．求證：．
(3)在（2）的條件下，作的平分線，交于點(diǎn)，求證：．
【答案】(1)
(2)見解析
(3)見解析
【分析】（1）勾股定理求得，結(jié)合已知條件即可求解；
（2）根據(jù)題意畫出圖形，證明，得出，則，即可得證；
（3）延長交于點(diǎn)，延長交于點(diǎn)，根據(jù)角平分線以及平行線的性質(zhì)證明，進(jìn)而證明，即可得證．
【詳解】（1）解：∵
∴，
∵
∴
即；
（2）證明：如圖所示，
∴
∴，
∵，
∴
∵，,
∴
∴
∴
∴
（3）證明：如圖所示，延長交于點(diǎn)，延長交于點(diǎn)，

∵，，
∴，
∴
∵是的角平分線，
∴，
∴
∴
∵，
∴，，
∴，
又∵，
∴，

即，
∴，
又，則，
在中，
，
∴，
∴
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的與判定，等腰三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，平行線的性質(zhì)與判定，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．
10．（2023·山東聊城·統(tǒng)考中考真題）如圖，在四邊形中，點(diǎn)E是邊上一點(diǎn)，且，．

(1)求證：；
(2)若，時(shí)，求的面積．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】（1）由求出，然后利用證明，可得，再由等邊對等角得出結(jié)論；
（2）過點(diǎn)E作于F，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和含直角三角形的性質(zhì)求出和，然后利用勾股定理求出，再根據(jù)三角形面積公式計(jì)算即可．
【詳解】（1）證明：∵，
∴，即，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：過點(diǎn)E作于F，
由（1）知，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴．

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，含直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理等知識，正確尋找證明三角形全等的條件是解題的關(guān)鍵．
題型二相似三角形
11．（2023·重慶·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知，，若的長度為6，則的長度為（）

A．4B．9C．12D．
【答案】B
【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求出．
【詳解】解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故選：B.
【點(diǎn)睛】此題考查的是相似三角形的性質(zhì),掌握相似三角形的邊長比等于相似比是解決此題的關(guān)鍵.
12．（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考中考真題）如圖，在直角坐標(biāo)系中，的三個(gè)頂點(diǎn)分別為，現(xiàn)以原點(diǎn)O為位似中心，在第一象限內(nèi)作與的位似比為2的位似圖形，則頂點(diǎn)的坐標(biāo)是（）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】直接根據(jù)位似圖形的性質(zhì)即可得．
【詳解】解：∵的位似比為2的位似圖形是，且，
，即，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與位似圖形，熟練掌握位似圖形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
13．（2023·安徽·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)在正方形的對角線上，于點(diǎn)，連接并延長，交邊于點(diǎn)，交邊的延長線于點(diǎn)．若，，則（）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)平行線分線段成比例得出，根據(jù)，得出，則，進(jìn)而可得，根據(jù)，得出，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出，進(jìn)而在中，勾股定理即可求解．
【詳解】解：∵四邊形是正方形，，，
∴，，，
∵，
∴
∴，，
∴，
則，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
在中，，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，平行線分線段成比例，相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．
14．（2023·四川內(nèi)江·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，點(diǎn)D、E為邊的三等分點(diǎn)，點(diǎn)F、G在邊上，，點(diǎn)H為與的交點(diǎn)．若，則的長為（）

A．1B．C．2D．3
【答案】C
【分析】由三等分點(diǎn)的定義與平行線的性質(zhì)得出，，，是的中位線，易證，得，解得，則．
【詳解】解：、為邊的三等分點(diǎn)，，
，，，
，是的中位線，
，
，
，
，即，
解得：，
，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了三等分點(diǎn)的定義、平行線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、三角形中位線定理等知識；熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
15.（2023·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考中考真題）如圖，把一個(gè)邊長為5的菱形沿著直線折疊，使點(diǎn)C與延長線上的點(diǎn)Q重合．交于點(diǎn)F，交延長線于點(diǎn)E．交于點(diǎn)P，于點(diǎn)M，，則下列結(jié)論，①，②，③，④．正確的是（）

A．①②③B．②④C．①③④D．①②③④
【答案】A
【分析】由折疊性質(zhì)和平行線的性質(zhì)可得，根據(jù)等角對等邊即可判斷①正確；根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)求出，再求出即可判斷②正確；由得，求出即可判斷③正確；根據(jù)即可判斷④錯(cuò)誤．
【詳解】由折疊性質(zhì)可知：，
∵，
∴．
∴．
∴．
故正確；
∵，，
∴．
∵，
∴．
故正確；
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
故正確；
∵，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴與不相似．
∴．
∴與不平行．
故錯(cuò)誤；
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了折疊的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，菱形的性質(zhì)等知識，屬于選擇壓軸題，有一定難度，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
16．（2023·湖北鄂州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，與位似，原點(diǎn)O是位似中心，且．若，則點(diǎn)的坐標(biāo)是___________．

【答案】
【分析】直接利用位似圖形的性質(zhì)得出相似比進(jìn)而得出對應(yīng)線段的長．
【詳解】解∶設(shè)
∵與位似，原點(diǎn)是位似中心，且．若，
∴位似比為，
∴，
解得，，
∴
故答案為：.
【點(diǎn)睛】此題主要考查了位似變換，正確得出相似比是解題關(guān)鍵．
17．（2023·四川樂山·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平行四邊形中，E是線段上一點(diǎn)，連結(jié)交于點(diǎn)F．若，則__________．

【答案】
【分析】四邊形是平行四邊形，則，可證明，得到，由進(jìn)一步即可得到答案．
【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，
∴，
∴，
∴，
∴,
∵，
∴，
∴．
故答案為：
【點(diǎn)睛】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，證明是解題的關(guān)鍵．
18．（2023·內(nèi)蒙古·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，將繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，得到．連接，交于點(diǎn)D，則的值為________．

【答案】5
【分析】過點(diǎn)D作于點(diǎn)F，利用勾股定理求得，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可證、是等腰直角三角形，可得，再由，得，證明，可得，即，再由，求得，從而求得，，即可求解．
【詳解】解：過點(diǎn)D作于點(diǎn)F，
∵，，，
∴，
∵將繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
又∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，即，
∵ ，，
∴，
∴，即，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
故答案為：5．

【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、三角形的面積，熟練掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．
19．（2023·四川瀘州·統(tǒng)考中考真題）如圖，，是正方形的邊的三等分點(diǎn)，是對角線上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)取得最小值時(shí)，的值是___________．

【答案】
【分析】作點(diǎn)F關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，此時(shí)取得最小值，過點(diǎn)作的垂線段，交于點(diǎn)K，根據(jù)題意可知點(diǎn)落在上，設(shè)正方形的邊長為，求得的邊長，證明，可得，即可解答．
【詳解】解：作點(diǎn)F關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，過點(diǎn)作的垂線段，交于點(diǎn)K，

由題意得：此時(shí)落在上，且根據(jù)對稱的性質(zhì)，當(dāng)P點(diǎn)與重合時(shí)取得最小值，
設(shè)正方形的邊長為a，則，
四邊形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
當(dāng)取得最小值時(shí)，的值是為，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了四邊形的最值問題，軸對稱的性質(zhì)，相似三角形的證明與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，正確畫出輔助線是解題的關(guān)鍵．
20．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）在中，是斜邊上的高．

(1)證明：；
(2)若，求的長．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)三角形高的定義得出，根據(jù)等角的余角相等，得出，結(jié)合公共角，即可得證；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，利用相似三角形的性質(zhì)即可求解．
【詳解】（1）證明：∵是斜邊上的高．
∴，
∴，
∴
又∵
∴，
（2）∵
∴，
又
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．
21．（2023·四川眉山·統(tǒng)考中考真題）如圖，中，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，連接并延長交的延長線于點(diǎn)F．

(1)求證：；
(2)點(diǎn)G是線段上一點(diǎn)，滿足，交于點(diǎn)H，若，求的長．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，，證明，推出，即可解答；
（2）通過平行四邊形的性質(zhì)證明，再通過（1）中的結(jié)論得到，最后證明，利用對應(yīng)線段比相等，列方程即可解答．
【詳解】（1）證明：四邊形是平行四邊形，
，，
，
是的中點(diǎn)，
，
，
，
∴，
；
（2）解：四邊形是平行四邊形，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
設(shè),則，
可得方程，
解得，
即的長為．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練運(yùn)用上述性質(zhì)證明三角形相似是解題的關(guān)鍵．
22．（2023·上?！そy(tǒng)考中考真題）如圖，在梯形中，點(diǎn)F，E分別在線段，上，且，

(1)求證：
(2)若，求證：
【答案】見解析
【分析】（1）先根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，再根據(jù)三角形的全等的判定可得，然后根據(jù)全等的三角形的性質(zhì)即可得證；
（2）先根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，從而可得，再根據(jù)相似三角形的判定可得，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得證．
【詳解】（1）證明：，
，
在和中，，
，
．
（2）證明：，
，
，即，
在和中，，
，
，
由（1）已證：，
，
．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．

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