第04講全等、相似三角形（題型突破+專題精練）-備戰(zhàn)2024年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)研究（全國通用）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

2、學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想。數(shù)形結(jié)合思想是指從幾何直觀的角度,利用幾何圖形的性質(zhì)研究數(shù)量關(guān)系，尋求代數(shù)問題的解決方法（以形助數(shù)），或利用數(shù)量關(guān)系來研究幾何圖形的性質(zhì)，解決幾何問題（以數(shù)助形）的一種數(shù)學(xué)思想。
3、要學(xué)會(huì)搶得分點(diǎn)。一道中考數(shù)學(xué)壓軸題解不出來，不等于“一點(diǎn)不懂、一點(diǎn)不會(huì)”，要將整道題目解題思路轉(zhuǎn)化為得分點(diǎn)。
4、學(xué)會(huì)運(yùn)用等價(jià)轉(zhuǎn)換思想。在研究數(shù)學(xué)問題時(shí)，我們通常是將未知問題轉(zhuǎn)化為已知的問題，將復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單的問題，將抽象的問題轉(zhuǎn)化為具體的問題，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題。
5、學(xué)會(huì)運(yùn)用分類討論的思想。如果不注意對(duì)各種情況分類討論，就有可能造成錯(cuò)解或漏解，縱觀近幾年的中考?jí)狠S題分類討論思想解題已成為新的熱點(diǎn)。
6、轉(zhuǎn)化思想:體現(xiàn)在數(shù)學(xué)上也就是要把難的問題轉(zhuǎn)化為簡單的問題，把不熟悉的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題，把未知的問題轉(zhuǎn)化為已知的問題。
→?題型突破←→?專題訓(xùn)練←
題型一全等三角形
1.如圖，等腰△ABC中，點(diǎn)D，E分別在腰AB，AC上，添加下列條件，不能判定△ABE≌△ACD的是（）
A．AD＝AEB．BE＝CDC．∠ADC＝∠AEBD．∠DCB＝∠EBC
【分析】利用等腰三角形的性質(zhì)得∠ABC＝∠ACB，AB＝AC，然后根據(jù)全等三角形的判定方法對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷．
【解析】∵△ABC為等腰三角形，
∴∠ABC＝∠ACB，AB＝AC，
∴當(dāng)AD＝AE時(shí)，則根據(jù)“SAS”可判斷△ABE≌△ACD；
當(dāng)∠AEB＝∠ADC，則根據(jù)“AAS”可判斷△ABE≌△ACD；
當(dāng)∠DCB＝∠EBC，則∠ABE＝∠ACD，根據(jù)“ASA”可判斷△ABE≌△ACD．
故選：B．
2.如圖，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＜OC，∠AOB＝∠COD＝36°．連接AC，BD交于點(diǎn)M，連接OM．下列結(jié)論：
①∠AMB＝36°，②AC＝BD，③OM平分∠AOD，④MO平分∠AMD．其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)有（）個(gè)．
A．4B．3C．2D．1
【分析】由SAS證明△AOC≌△BOD得出∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，②正確；
由全等三角形的性質(zhì)得出∠OCA＝∠ODB，由三角形的外角性質(zhì)得：∠CMD+∠OCA＝∠COD+∠ODB，得出∠CMD＝∠COD＝36°，∠AMB＝∠CMD＝36°，①正確；
作OG⊥AM于G，OH⊥DM于H，如圖所示：則∠OGA＝∠OHB＝90°，由AAS證明△OGA≌△OHB（AAS），得出OG＝OH，由角平分線的判定方法得出OM平分∠AMD，④正確；
假設(shè)OM平分∠AOD，則∠DOM＝∠AOM，由全等三角形的判定定理可得△AMO≌△OMD，得AO＝OD，而OC＝OD，所以O(shè)A＝OC，而OA＜OC，故③錯(cuò)誤；即可得出結(jié)論．
【解析】∵∠AOB＝∠COD＝36°，
∴∠AOB+∠BOC＝∠COD+∠BOC，
即∠AOC＝∠BOD，
在△AOC和△BOD中，
OA=OB∠AOC=∠BODOC=OD
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，故②正確；
∵∠OCA＝∠ODB，
由三角形的外角性質(zhì)得：
∠CMD+∠OCA＝∠COD+∠ODB，
得出∠CMD＝∠COD＝36°，∠AMB＝∠CMD＝36°，故①正確；
作OG⊥AM于G，OH⊥DM于H，如圖所示，
則∠OGA＝∠OHB＝90°，
在△OGA和△OHB中，
∵∠OGA=∠OHB=90°∠OAG=∠OBHOA=OB，
∴△OGA≌△OHB（AAS），
∴OG＝OH，
∴OM平分∠AMD，故④正確；
假設(shè)OM平分∠AOD，則∠DOM＝∠AOM，
在△AMO與△DMO中，
∠AOM=∠DOMOM=OM∠AMD=∠DMO，
∴△AMO≌△OMD（ASA），
∴AO＝OD，
∵OC＝OD，
∴OA＝OC，
而OA＜OC，故③錯(cuò)誤；
正確的個(gè)數(shù)有3個(gè)；
故選：B．
3.如圖所示，均為等邊三角形，邊長分別為，B、C、D三點(diǎn)在同一條直線上，則下列結(jié)論正確的________________．（填序號(hào)）
① ② ③為等邊三角形 ④ ⑤CM平分
【答案】①②③⑤
【解析】
【分析】
①根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝60°，∠DCE＝60°，則∠ACE＝60°，利用“SAS”可判斷△ACD≌△BCE，則AD＝BE；
②過E作,根據(jù)等邊三角形求出ED、CN的長，即可求出BE的長；
③由等邊三角形的判定得出△CMN是等邊三角形；
④證明△DMC∽△DBA，求出CM長；
⑤證明M、F、C、G四點(diǎn)共圓，由圓周角定理得出∠BMC＝∠FGC＝60°，∠CMD＝∠CFG＝60°，得出∠BMC＝∠DMC，所以CM平分∠BMD.
【詳解】
解：連接MC，F(xiàn)G，過點(diǎn)E作EN⊥BD，垂足為N，
①∵△ABC和△CDE都是等邊三角形，
∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝60°，∠DCE＝60°，
∴∠ACE＝60°，
∴∠ACD＝∠BCE＝120°，
在△ACD和△BCE中，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE；①正確；
②∵△CDE都是等邊三角形，且邊長為3cm.
∴CN=cm，EN=cm.
∵BC=5cm.
∴，②正確；
③∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAD＝∠CBE，
在△ACG和△BCF中，
∴△ACG≌△BCF（ASA），
∴CG＝CF
而∠GCF＝60°，
∴△CMN是等邊三角形，③正確；
⑤∵∠EMD＝∠MBD＋∠MDB＝∠MAC＋∠MDB＝60°＝∠FCG，
∴M、F、C、G四點(diǎn)共圓，
∴∠BMC＝∠FGC＝60°，∠CMD＝∠CFG＝60°，
∴∠BMC＝∠DMC，
∴CM平分∠BMD，⑤正確；
④∵∠DMC=∠ABD，∠MDC=∠BDA
∴△DMC∽△DBA
∴
∴
∴CM=.④錯(cuò)誤.
故答案為：①②③⑤.
【點(diǎn)睛】
本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．
4.如圖，在矩形ABCD中，AD＝4，將∠A向內(nèi)翻析，點(diǎn)A落在BC上，記為A1，折痕為DE．若將∠B沿EA1向內(nèi)翻折，點(diǎn)B恰好落在DE上，記為B1，則AB＝_____．
【答案】
【解析】
【分析】
依據(jù)△A1DB1≌△A1DC（AAS），即可得出A1C＝A1B1，再根據(jù)折疊的性質(zhì)，即可得到A1C＝BC＝2，最后依據(jù)勾股定理進(jìn)行計(jì)算，即可得到CD的長，即AB的長．
【詳解】
解：由折疊可得，A1D＝AD＝4，∠A＝∠EA1D＝90°，∠BA1E＝∠B1A1E，BA1＝B1A1，∠B＝∠A1B1E＝90°，
∴∠EA1B1+∠DA1B1＝90°＝∠BA1E+∠CA1D，
∴∠DA1B1＝∠CA1D，
又∵∠C＝∠A1B1D，A1D＝A1D，
∴△A1DB1≌△A1DC（AAS），
∴A1C＝A1B1，
∴BA1＝A1C＝BC＝2，
∴Rt△A1CD中，CD＝＝，
∴AB＝.
故答案為：．
【點(diǎn)睛】
本題考查矩形與折疊，準(zhǔn)確判斷合適的全等三角形求出A1C＝BC＝2是解題的關(guān)鍵.
5.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，將點(diǎn)繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為_____________．
【答案】
【分析】
根據(jù)題意畫出圖形，易證明，求出OE、BE的長即可求出B的坐標(biāo)．
【詳解】
解：如圖所示，點(diǎn)繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn)，
過點(diǎn)A作x軸垂線，垂足為D，過點(diǎn)B作x軸垂線，垂足為E，
∵點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，
∴CD=2，AD=3，
根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，AC=BC，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴AD=CE=3，CD=BE=2，
∴OE=2，BE=2，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查旋轉(zhuǎn)變換和三角形全等的判定與性質(zhì)，證明是解題關(guān)鍵．
6.已知，如圖1，若是中的內(nèi)角平分線，通過證明可得，同理，若是中的外角平分線，通過探究也有類似的性質(zhì)．請你根據(jù)上述信息，求解如下問題：如圖2，在中，是的內(nèi)角平分線，則的邊上的中線長的取值范圍是________
【答案】
【分析】
根據(jù)題意得到，反向延長中線至，使得，連接，最后根據(jù)三角形三邊關(guān)系解題．
【詳解】
如圖，反向延長中線至，使得，連接，
是的內(nèi)角平分線，
由三角形三邊關(guān)系可知，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】
本題考查角平分線的性質(zhì)、中線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形三邊關(guān)系等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，難度一般，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．
7.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，且AC=AD．
（1）作∠BAC的平分線，交BC于點(diǎn)E；(要求尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡)
（2）在（1）的條件下，連接DE，證明．
【答案】（1）見解析；（2）見解析
【分析】
（1）首先以A為圓心，小于AC長為半徑畫弧，交AC、AB于N、M，再分別以N、M為圓心，大于MN長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)Q，再畫射線AQ交CB于E；
（2）依據(jù)證明得到，進(jìn)一步可得結(jié)論．
【詳解】
解：（1）如圖，為所作的平分線；
（2）證明：如圖．連接DE，由(1)知：
在和中
∵
∴，
∴
又∵
∴，
∴
【點(diǎn)睛】
此題主要考查了基本作圖，以及全等三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是得到．
8.如圖，中，，點(diǎn)在邊上，．求證．
【答案】證明見解析．
【解析】
【分析】
先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，再根據(jù)線段的和差可得，然后根據(jù)三角形的判定與性質(zhì)即可得證．
【詳解】
，
，
，
，即，
在和中，，
，
，
即．
【點(diǎn)睛】
本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、三角形全等的判定定理與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握三角形全等的判定定理與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
9.如圖，點(diǎn)D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，BE、CD相交于點(diǎn)O，∠B＝∠C，BD＝CE．求證：
（1）OD＝OE；
（2）△ABE≌△ACD．
【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析.
【分析】
(1)根據(jù)∠B=∠C，∠DOB=∠EOC，BD=CE可以用“AAS”證明△DOB≌△EOC，再由全等三角形的性質(zhì)，即可得到OD=OE；
(2)根據(jù)D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，可以得到AB=2BD，AC=2CE，AD=BD，AE=EC，再根據(jù)BD=CE，即可得到AB=AC，AD=AE，再由∠A=∠A即可用“SAS”證明兩個(gè)三角形全等.
【詳解】
解：(1)∵∠B=∠C，∠DOB=∠EOC，BD=CE
∴△DOB≌△EOC（AAS）
∴OD=OE；
(2)∵D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)
∴AB=2BD，AC=2CE，AD=BD，AE=EC
又∵BD=CE
∴AB=AC，AD=AE
∵∠A=∠A
∴△ABE≌△ACD（SAS）
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解.
10.如圖，點(diǎn)E、F在線段BC上，，，，證明：．
【答案】見解析
【分析】
利用AAS證明△ABE≌△DCF，即可得到結(jié)論．
【詳解】
證明：∵，
∴∠B=∠C，
∵，，
∴△ABE≌△DCF（AAS），
∴．
【點(diǎn)睛】
此題考查全等三角形的判定及性質(zhì)，熟記全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．
11.如圖，矩形中為邊上一點(diǎn)，將沿AE翻折后，點(diǎn)B恰好落在對(duì)角線的中點(diǎn)F上．
（1）證明：；
（2）若，求折痕的長度
【答案】（1）證明見解析；（2）
【分析】
（1）由折疊的性質(zhì)證明再證明從而可得結(jié)論；
（2）利用折疊與三角形全等的性質(zhì)求解再利用的余弦求解即可.
【詳解】
解：（1）矩形，

由對(duì)折可得：

為的中點(diǎn)，

（2），

由折疊可得：

【點(diǎn)睛】
本題考查的是矩形的性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，靈活應(yīng)用以上知識(shí)解題是解題的關(guān)鍵.
12.如圖，點(diǎn)A，D，B，E在一條直線上，，．
求證：．
【答案】見詳解
【分析】
由題意易得，進(jìn)而易證，然后問題可求證．
【詳解】
證明：∵，
∴，即，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查全等三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．
13.如圖，在矩形中，點(diǎn)在上，，且，垂足為．
（1）求證：；
（2）若，求四邊形的面積．
【答案】（1）見詳解；（2）4-8
【分析】
（1）由矩形的性質(zhì)可得∠D=90°，AB∥CD，從而得∠D=∠ANB，∠BAN=∠AMD，進(jìn)而即可得到結(jié)論；
（2）由以及勾股定理得AN=DM=4，AB=，進(jìn)而即可求解．
【詳解】
（1）證明：∵在矩形中，
∴∠D=90°，AB∥CD，
∴∠BAN=∠AMD，
∵，
∴∠ANB=90°，即：∠D=∠ANB，
又∵，
∴（AAS），
（2）∵，
∴AN=DM=4，
∵，
∴，
∴AB=，
∴矩形的面積=×2=4，
又∵，
∴四邊形的面積=4-4-4=4-8．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查矩形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握AAS證明三角形全等，是解題的關(guān)鍵．
14.如圖，在中，點(diǎn)在邊上，，將邊繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到的位置，使得，連接與交于點(diǎn)，且，．
（1）求證：；
（2）求的度數(shù)．
【答案】（1）見詳解；（2）
【分析】
（1）由題意易得，，則有，然后問題可求證；
（2）由（1）可得，然后可得，進(jìn)而根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可進(jìn)行求解．
【詳解】
（1）證明：∵，
∴，即，
∵，，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∴根據(jù)三角形內(nèi)角和可得，
∴，
由（1）可得，
∵，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)及全等三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)及全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．
15.在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC平分∠BAD．
（探究發(fā)現(xiàn)）
（1）如圖①，若∠BAD＝，∠ABC＝∠ADC＝．求證：AD＋AB＝AC；
（拓展遷移）
（2）如圖②，若∠BAD＝，∠ABC＋∠ADC＝．
①猜想AB、AD、AC三條線段的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
②若AC＝10，求四邊形ABCD的面積．
【答案】（1）見解析；（2）①AD＋AB＝AC，見解析；②
【分析】
（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到∠DAC＝∠BAC＝，然后根據(jù)直角三角形中是斜邊的一半即可寫出數(shù)量關(guān)系；
（2）①根據(jù)第一問中的思路，過點(diǎn)C分別作CE⊥AD于E，CF⊥AB于F，構(gòu)造證明△CFB△CED，根據(jù)全等的性質(zhì)得到FB＝DE，結(jié)合第一問結(jié)論即可寫出數(shù)量關(guān)系；
②根據(jù)題意應(yīng)用的正弦值求得的長，然后根據(jù)的數(shù)量關(guān)系即可求解四邊形ABCD的面積．
【詳解】
（1）證明：∵AC平分∠BAD，∠BAD＝，
∴∠DAC＝∠BAC＝，
∵∠ADC＝∠ABC＝，
∴∠ACD＝∠ACB＝，
∴AD＝．
∴AD＋AB＝AC，
（2）①AD＋AB＝AC，
理由：過點(diǎn)C分別作CE⊥AD于E，CF⊥AB于F．
，
∵AC平分∠BAD，
∴CF＝CE，
∵∠ABC＋∠ADC＝，∠EDC＋∠ADC＝，
∴∠FBC＝∠EDC，
又∠CFB＝∠CED＝，
∴△CFB△CED，
∴FB＝DE，
∴AD＋AB＝AD＋FB＋AF＝AD＋DE＋AF＝AE＋AF，
在四邊形AFCE中，由⑴題知：AE＋AF＝AC，
∴AD＋AB＝AC；
②在Rt△ACE中，∵AC平分∠BAD，∠BAD＝
∴∠DAC＝∠BAC＝，
又∵AC＝10，
∴CE＝A，
∵CF＝CE，AD＋AB＝AC，
∴
＝．
【點(diǎn)睛】
本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)和應(yīng)用，解直角三角形，關(guān)鍵是辨認(rèn)出本題屬于角平分線類題型，作垂直類輔助線．
16.已知等邊三角形，過A點(diǎn)作的垂線l，點(diǎn)P為l上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合），連接，把線段繞點(diǎn)C逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到，連．
（1）如圖1，直接寫出線段與的數(shù)量關(guān)系；
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)P、B在同側(cè)且時(shí)，求證：直線垂直平分線段；
（3）如圖3，若等邊三角形的邊長為4，點(diǎn)P、B分別位于直線異側(cè)，且的面積等于，求線段的長度．
【答案】（1）AP=BQ；（2）見詳解；（3）或或
【分析】
（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及等邊三角形的性質(zhì)，可得CP=CQ，∠ACP=∠BCQ，AC=BC，進(jìn)而即可得到結(jié)論；
（2）先證明是等腰直角三角形，再求出∠CBD=45°，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)，即可得到結(jié)論；
（3）過點(diǎn)B作BE⊥l，過點(diǎn)Q作QF⊥l，根據(jù)，可得AP=BQ，∠CAP=∠CBQ=90°，設(shè)AP=x，則BQ=x，MQ=x-，QF=( x-)×，再列出關(guān)于x的方程，即可求解．
【詳解】
（1）證明：∵線段繞點(diǎn)C逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到，
∴CP=CQ，∠PCQ=60°，
∵在等邊三角形中，∠ACB=60°，AC=BC，
∴∠ACP=∠BCQ，
∴，
∴=；
（2）∵，CA⊥l，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴是等腰直角三角形，∠CBQ=90°，
∵在等邊三角形中，AC=AB，∠BAC=∠ABC=60°，
∴AB=AP，∠BAP=90°-60°=30°，
∴∠ABP=∠APB=(180°-30°)÷2=75°，
∴∠CBD=180°-75°-60°=45°，
∴PD平分∠CBQ，
∴直線垂直平分線段；
（3）①當(dāng)點(diǎn)Q在直線上方時(shí)，如圖所示，
延長BQ交l與點(diǎn)E，過點(diǎn)Q作與點(diǎn)F，
由題意得，
，
，
，
，
，
，
，
，
設(shè)，則，
，
在中，，
，
即，
解得或，
即AP的長度為或；
②當(dāng)點(diǎn)Q在直線l下方時(shí)，
過點(diǎn)B作BE⊥l，過點(diǎn)Q作QF⊥l，
由（1）小題，可知：，
∴AP=BQ，∠CAP=∠CBQ=90°，
∵∠ACB=60°，∠CAM=90°，
∴∠AMB=360°-60°-90°-90°=120°，即：∠BME=∠QMF=60°，
∵∠BAE=90°-60°=30°，AB=4，
∴BE=，
∴BM=BE÷sin60°=2÷=，
設(shè)AP=x，則BQ=x，MQ=x-，QF= MQ×sin60°=( x-)×，
∵的面積等于，
∴AP×QF=，即：x×( x-)×=，解得：或（不合題意，舍去），
∴AP=．
綜上所述，AP的長為：或或．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，根據(jù)題意畫出圖形，添加輔助線，構(gòu)造直角三角形，是解題的關(guān)鍵．
17.如圖①，是等腰的斜邊上的兩動(dòng)點(diǎn)，且．
（1）求證：；
（2）求證：；
（3）如圖②，作，垂足為H，設(shè)，不妨設(shè)，請利用（2）的結(jié)論證明：當(dāng)時(shí)，成立．
【答案】（1）證明見詳解；（2）證明見詳解；（3）證明見詳解．
【分析】
（1）△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，∠BAC=90°，由CD⊥BC，可求∠DCA=∠ABE即可；
（2）由△ABE≌△ACD，可得∠FAD=∠EAF，可證△AEF≌△ADF（SAS），可得EF=DF，在Rt△CDF中，根據(jù)勾股定理，即可；
（3）將△ABE逆時(shí)針繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)90°到△ACD，由△ABC為等腰直角三角形，可求∠DCF=90°，由，在Rt△ABC中由勾股定理，由AH⊥BC，可求BH=CH=AH=，可表示EF= tanα+ tanβ,BE =1-tanα,CF= 1-tanβ，可證△AEF≌△ADF（SAS），得到EF=DF，由可得，整理即得結(jié)論．
【詳解】
（1）證明：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵CD⊥BC，
∴∠DCB=90°，
∴∠DCA=90°-∠ACB=90°-45°=45°=∠ABE，
在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
（2）證明∵△ABE≌△ACD，
∴∠BAE=∠CAD，AE=AD，
∵∠EAF=45°，
∴∠BAE+∠FAC=90°-∠EAF=90°-45°=45°，
∴∠FAD=∠FAC+∠CAD=∠FAC+∠BAE=45°=∠EAF，
在△AEF和△ADF中，
，
∴△AEF≌△ADF（SAS），
∴EF=DF，
在Rt△CDF中，根據(jù)勾股定理，
，
即；
（3）證明：將△ABE逆時(shí)針繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)90°到△ACD，連結(jié)FD，
∴∠BAE=∠CAD，BE=CD，AE=AD，
∵△ABC為等腰直角三角形，
∠ACB=∠B=∠ACD=45°，∠DCF=∠DCA+∠ACF=45°+45°=90°，
∵，
∴AC= ，
在Rt△ABC中由勾股定理
∵AH⊥BC，
∴BH=CH=AH=，
∴EF=EH+FH=AHtanα+AH tanβ= tanα+ tanβ,BE=BH-EH=1-tanα,CF=CH-HF=1-tanβ，
∵∠EAF=45°，
∴∠BAE+∠CAF=90°-∠EAF=45°，
∴∠DAF=∠DAC+∠CAF=∠BAE+∠CAF=45°=∠EAF，
在△AEF和△ADF中，
，
∴△AEF≌△ADF（SAS），
∴EF=DF，
在Rt△CDF中，即，
∴，
整理得，
即，
∴，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】
本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形全等判定與性質(zhì)，三角形旋轉(zhuǎn)變換，勾股定理，銳角三角函數(shù)及其公式推導(dǎo)，掌握上述知識(shí)、靈活應(yīng)用全等三角形的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
題型二相似三角形
18.如圖，與位似，位似中心是點(diǎn)O，若，則與的周長比是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
根據(jù)位似圖形的概念得到△，，進(jìn)而得出△，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)解答即可．
【解析】
解：與△位似，
△，，
△，
，
與△的周長比為，
故選：．
【點(diǎn)睛】
本題考查的是位似圖形的概念、相似三角形的性質(zhì)，掌握位似圖形是相似圖形、位似圖形的對(duì)應(yīng)邊平行是解題的關(guān)鍵．
19.如圖，ABC中，點(diǎn)D、E分別在AB、AC上，且，下列結(jié)論正確的是（）
A．DE：BC＝1：2
B．ADE與ABC的面積比為1：3
C．ADE與ABC的周長比為1：2
D．DEBC
【答案】D
【分析】
根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)進(jìn)行逐一判斷即可．
【解析】
解：∵，
∴AD：AB=AE：AC=1：3，
∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ABC，
∴DE：BC=1：3，故A錯(cuò)誤；
∵△ADE∽△ABC，
∴△ADE與△ABC的面積比為1：9，周長的比為1：3，故B和C錯(cuò)誤；
∵△ADE∽△ABC，
∴∠ADE=∠B，
∴DE∥BC．故D正確．
故選：D．
【點(diǎn)睛】
本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的判定與性質(zhì)．
20.如圖，在中，，，，且，若，點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，得到，，過B作于H，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)勾股定理得到，當(dāng)時(shí)，PQ的值最小，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
【解析】
解：，
，
，
解得：（負(fù)值舍去），
，
，
，
，
，
，
，
過B作于H，
，
，
，
，
當(dāng)時(shí)，PQ的值最小，
，
，
，
，
故選：A．
【點(diǎn)睛】
本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔21.如圖，△ABC中，AB＝AC，∠B＝72°，∠ACB的平分線CD交AB于點(diǎn)D，則點(diǎn)D是線段AB的黃金分割點(diǎn)．若AC＝2，則BD＝______．
【答案】
【分析】
先根據(jù)AB=AC，∠B=72°求出∠A的度數(shù)，再根據(jù)CD是∠CAB的角平分線得到∠A=∠ACD，即AD=CD，再根據(jù)大角對(duì)大邊得到AD>BD，最后利用黃金分割公式計(jì)算求解即可.
【解析】
解：∵AB=AC，∠B=72°
∴∠ACB=∠B=72°
∴∠A=180°-∠B-∠ACB=36°
∵CD是∠CAB的角平分線
∴∠ACD=∠BCD=
∴∠A=∠ACD
∴AD=CD
在△ABC與△CBD中
∠A=∠BCD=36°，∠B=∠B
∴△ABC∽△CBD
∴
在三角形CDB中，∠B=72°，∠BCD=36°
∴∠CDB=72°
∴∠CDB=∠B=72°
∴AD=CD=BC
∴
即
∴D點(diǎn)為AB的黃金分割點(diǎn)
在三角形CDB中，∠B=72°，∠BCD=36°
∴CD>BD（大角對(duì)大邊）
∴AD>BD
∵D是AB的黃金分割點(diǎn)，AD>BD
∴
∴
故答案為：.
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，黃金分割點(diǎn)，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解.
22.如圖，矩形中，，，對(duì)角線的垂直平分線交于點(diǎn)、交于點(diǎn)，則線段的長為 __．
【答案】
【分析】
根據(jù)矩形的性質(zhì)和勾股定理求出BD，證明△BOF∽△BCD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到比例式，求出EF即可．
【解析】
解：如圖：
四邊形是矩形，
，又，，
，
是的垂直平分線，
，，又，
，
，
，
解得，，
四邊形是矩形，
，，
，
是的垂直平分線，
，，
在和中，
，
，
，
．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】
本題考查的是矩形的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)用，掌握矩形的四個(gè)角是直角、對(duì)邊相等以及線段垂直平分線的定義是解題的關(guān)鍵．
23.如圖，在菱形中，點(diǎn)M，N分別是邊，上的點(diǎn)，，．連接，，延長交線段延長線于點(diǎn)E．
（1）求證：；
（2）若，則的長是__________．
【答案】（1）見解析；（2）．
【分析】
（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)可得，，根據(jù)，，可得，利用即可證明；
（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)可證明，根據(jù)相似的性質(zhì)可求得的長度，進(jìn)而可求．
【解析】
解：（1）證明：四邊形為菱形，
，，
，，
，
在和中，
，
，
（2）四邊形為菱形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【點(diǎn)睛】
本題考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定，相似三角形的判定和性質(zhì)，通過菱形的性質(zhì)得到是關(guān)鍵．
24.已知，，．
（1）找出與相等的角并證明；
（2）求證：；
（3），，求．
【答案】（1）（2）見解析（3）
【分析】
（1）根據(jù)三角形外角的性質(zhì)直接求解即可；
（2）在BF上截取BP，使AE=BP，即可證明，進(jìn)一步證明和均為等腰三角形且頂角相等，即可證明；
（3）由（2）可得，即可得，設(shè)，則，根據(jù)，可求得，即可證明，列比例求出，代入以上數(shù)據(jù)即可求得的值．
【詳解】
（1）根據(jù)題意可知，
，
，
；
（2）如圖，在BF上截取BP，使AE=BP，
由（1）得，
即，
在和中，
，
，
，
，
，
，
即，
，
，
和均為等腰三角形，
又，
，
和為頂角相等的等腰三角形，
，
；
（3）又（1）可知，
，
，
設(shè)，則，
，
，
，
則，
，
，
，
，
，即，
由此得，
則，
．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查三角形綜合，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有，等腰三角形判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題意用含字母的式子表示出AE和MF的值是解題關(guān)鍵．
25.已知在ABC中，O為BC邊的中點(diǎn)，連接AO，將AOC繞點(diǎn)O順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角為鈍角），得到EOF，連接AE，CF．
（1）如圖1，當(dāng)∠BAC＝90°且AB＝AC時(shí)，則AE與CF滿足的數(shù)量關(guān)系是；
（2）如圖2，當(dāng)∠BAC＝90°且AB≠AC時(shí)，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由；
（3）如圖3，延長AO到點(diǎn)D，使OD＝OA，連接DE，當(dāng)AO＝CF＝5，BC＝6時(shí)，求DE的長．
【答案】（1）；（2）成立，證明見解析；（3）
【分析】
（1）結(jié)論．證明，可得結(jié)論．
（2）結(jié)論成立．證明方法類似（1）．
（3）首先證明，再利用相似三角形的性質(zhì)求出，利用勾股定理求出即可．
【詳解】
解：（1）結(jié)論：．
理由：如圖1中，
，，，
，，
，
，
，，
，
．
（2）結(jié)論成立．
理由：如圖2中，
，，
，
，
，
，，
，
．
（3）如圖3中，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，
，
，
，
，，，
，
，
，
，
，
，
．
【點(diǎn)睛】
本題屬于幾何變換綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)變換，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形或相似三角形解決問題，屬于中考?jí)狠S題．
26.在△ABC中，AC＝AB，∠BAC＝，D為線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，連接DC，將DC繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到DE，連接CE，BE．
（1）如圖1，當(dāng)＝60°時(shí)，求證：△CAD≌△CBE；
（2）如圖2，當(dāng)tanα＝時(shí)，
①探究AD和BE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
②若AC＝5，H是BC上一點(diǎn)，在點(diǎn)D移動(dòng)過程中，CE＋EH是否存在最小值？若存在，請直接寫出CE＋EH的最小值；若不存在，請說明理由．
【答案】（1）見解析；（2）①＝，理由見解析；②存在，
【分析】
（1）首先證明△ACB，△CDE都是等邊三角形，再根據(jù)SAS證明三角形全等即可．
（2）①結(jié)論：＝．利用相似三角形的性質(zhì)解決問題即可．
②如圖2中，過點(diǎn)C作CJ⊥BE交BE的延長線于J．作點(diǎn)C關(guān)于BE的對(duì)稱點(diǎn)R，連接BR，ER，過點(diǎn)R作RT⊥BC于T．利用相似三角形的性質(zhì)求出CJ＝，推出點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡是射線BE，利用面積法求出RT，可得結(jié)論．
【解析】
（1）證明：如圖1中，
∵＝60°，AC＝AB，
∴△ABC是等邊三角形，
∴CA＝CB，∠ACB＝60°，
∵將DC繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到DE，
∴DC＝DE，∠CDE＝60°，
∴△CDE是等邊三角形，
∴CD＝CE，∠DCE＝∠ACB＝60°，
∴∠ACD＝∠BCE，
∴△CAD≌△CBE（SAS）．
（2）解：①結(jié)論：＝．
如圖2中，過點(diǎn)C作CK⊥AB于K．
∵tan∠CAK＝＝，
∴可以假設(shè)CK＝3k，AK＝4k，則AC=AB＝5k，BK＝AB﹣AK＝k，
∴BC＝＝k，
∵∠A＝∠CDE，AC＝AB，CD＝DE，
∴∠ACB＝∠ABC＝∠DCE＝∠DEC，
∴△ACB∽△DCE，
∴＝，
∴＝，
∵∠ACB＝∠DCE，
∴∠ACD＝∠BCE，
∴△ACD∽△BCE，
∴＝＝＝．
②如圖2中，過點(diǎn)C作CJ⊥BE交BE的延長線于J．作點(diǎn)C關(guān)于BE的對(duì)稱點(diǎn)R，連接BR，ER，過點(diǎn)R作RT⊥BC于T．
∵AC＝5，
由①可知，AK＝4，CK＝3，BC＝，
∵△CAD∽△BCE，CK⊥AD，CJ⊥BE，
∴＝＝（全等三角形對(duì)應(yīng)邊上的高的比等于相似比），
∴CJ＝，
∴點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡是射線BE，
∵C，R關(guān)于BE對(duì)稱，
∴CR＝2CJ＝，
∵BJ＝＝＝，
∵S△CBR＝?CR?BJ＝?CB?RT，
∴RT＝＝，
∵EC＋EH＝ER＋EH≥RT，
∴EC＋EH≥，
∴EC＋EH的最小值為．
【點(diǎn)睛】
本題屬于三角形綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)變換，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，軸對(duì)稱最短問題等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形解決問題，確定點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡是最后一個(gè)問題的突破點(diǎn)，屬于中考?jí)狠S題．

相關(guān)試卷

相關(guān)試卷更多

相關(guān)試卷

相關(guān)試卷 更多

相關(guān)試卷更多