2、學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想。數(shù)形結(jié)合思想是指從幾何直觀的角度,利用幾何圖形的性質(zhì)研究數(shù)量關(guān)系，尋求代數(shù)問(wèn)題的解決方法（以形助數(shù)），或利用數(shù)量關(guān)系來(lái)研究幾何圖形的性質(zhì)，解決幾何問(wèn)題（以數(shù)助形）的一種數(shù)學(xué)思想。
3、要學(xué)會(huì)搶得分點(diǎn)。一道中考數(shù)學(xué)壓軸題解不出來(lái)，不等于“一點(diǎn)不懂、一點(diǎn)不會(huì)”，要將整道題目解題思路轉(zhuǎn)化為得分點(diǎn)。
4、學(xué)會(huì)運(yùn)用等價(jià)轉(zhuǎn)換思想。在研究數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，我們通常是將未知問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知的問(wèn)題，將復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問(wèn)題，將抽象的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為具體的問(wèn)題，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題。
5、學(xué)會(huì)運(yùn)用分類討論的思想。如果不注意對(duì)各種情況分類討論，就有可能造成錯(cuò)解或漏解，縱觀近幾年的中考?jí)狠S題分類討論思想解題已成為新的熱點(diǎn)。
6、轉(zhuǎn)化思想:體現(xiàn)在數(shù)學(xué)上也就是要把難的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問(wèn)題，把不熟悉的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題，把未知的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知的問(wèn)題。
第三章三角形章節(jié)測(cè)試
(時(shí)間：90分鐘 滿分：120分)
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的）
1．（2023·湖北鄂州·統(tǒng)考中考真題）如圖，直線，于點(diǎn)E．若，則的度數(shù)是（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】延長(zhǎng)，與交于點(diǎn)，根據(jù)平行線的性質(zhì)，求出的度數(shù)，再直角三角形的兩銳角互余即可求出．
【詳解】解：延長(zhǎng)，與交于點(diǎn)，

∵，，
∴，
∵，
∴，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)，正確作出輔助線和正確利用平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
2．（2023·吉林長(zhǎng)春·統(tǒng)考中考真題）如圖，工人師傅設(shè)計(jì)了一種測(cè)零件內(nèi)徑的卡鉗，卡鉗交叉點(diǎn)O為、的中點(diǎn)，只要量出的長(zhǎng)度，就可以道該零件內(nèi)徑的長(zhǎng)度．依據(jù)的數(shù)學(xué)基本事實(shí)是（ ）
A．兩邊及其夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等B．兩角及其夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等
C．兩余直線被一組平行線所截，所的對(duì)應(yīng)線段成比例D．兩點(diǎn)之間線段最短
【答案】A
【分析】根據(jù)題意易證，根據(jù)證明方法即可求解．
【詳解】解：O為、的中點(diǎn)，
，，
（對(duì)頂角相等），
在與中，
，
，
，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的證明，正確使用全等三角形的證明方法是解題的關(guān)鍵．
3．（2023·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，為的中點(diǎn)．若點(diǎn)在邊上，且，則的長(zhǎng)為（ ）

A．1B．2C．1或D．1或2
【答案】D
【分析】根據(jù)題意易得，然后根據(jù)題意可進(jìn)行求解．
【詳解】解：∵，
∴，
∵點(diǎn)D為的中點(diǎn)，
∴，
∵，
∴，
①當(dāng)點(diǎn)E為的中點(diǎn)時(shí)，如圖，

∴，
②當(dāng)點(diǎn)E為的四等分點(diǎn)時(shí)，如圖所示：

∴，
綜上所述：或2；
故選D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查含30度直角三角形的性質(zhì)及三角形中位線，熟練掌握含30度直角三角形的性質(zhì)及三角形中位線是解題的關(guān)鍵．
4．（2023·重慶·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知，，若的長(zhǎng)度為6，則的長(zhǎng)度為（ ）

A．4B．9C．12D．
【答案】B
【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求出．
【詳解】解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故選：B.
【點(diǎn)睛】此題考查的是相似三角形的性質(zhì),掌握相似三角形的邊長(zhǎng)比等于相似比是解決此題的關(guān)鍵.
5．（2023·山東東營(yíng)·統(tǒng)考中考真題）如圖，，點(diǎn)在線段上（不與點(diǎn)，重合），連接，若，，則（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)求得，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求解．
【詳解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的外角的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
6．（2023·云南·統(tǒng)考中考真題）如圖，兩點(diǎn)被池塘隔開(kāi)，三點(diǎn)不共線．設(shè)的中點(diǎn)分別為．若米，則（ ）

A．4米B．6米C．8米D．10米
【答案】B
【分析】根據(jù)三角形中位線定理計(jì)算即可．
【詳解】解∶∵的中點(diǎn)分別為，
∴是的中位線，
∴米，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形中位線定理，掌握三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．
7．（2023·浙江·統(tǒng)考中考真題）如圖，在四邊形中，，以為腰作等腰直角三角形，頂點(diǎn)恰好落在邊上，若，則的長(zhǎng)是（ ）

A．B．C．2D．1
【答案】A
【分析】先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，，，再判斷出點(diǎn)四點(diǎn)共圓，在以為直徑的圓上，連接，根據(jù)圓周角定理可得，，然后根據(jù)相似三角形的判定可得，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得．
【詳解】解：是以為腰的等腰直角三角形，
，，，
，
，
，
點(diǎn)四點(diǎn)共圓，在以為直徑的圓上，
如圖，連接，

由圓周角定理得：，，
，
，
，
在和中，，
，
，
，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓內(nèi)接四邊形、圓周角定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，正確判斷出點(diǎn)四點(diǎn)共圓，在以為直徑的圓上是解題關(guān)鍵．
8．（2023·四川南充·統(tǒng)考中考真題）如圖，數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，為測(cè)量學(xué)校旗桿高度，小菲同學(xué)在腳下水平放置一平面鏡，然后向后退（保持腳、鏡和旗桿底端在同一直線上），直到她剛好在鏡子中看到旗桿的頂端．已知小菲的眼睛離地面高度為，同時(shí)量得小菲與鏡子的水平距離為，鏡子與旗桿的水平距離為，則旗桿高度為（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)鏡面反射性質(zhì)，可求出，再利用垂直求，最后根據(jù)三角形相似的性質(zhì)，即可求出答案.
【詳解】解：如圖所示，

由圖可知，，，
.
根據(jù)鏡面的反射性質(zhì)，
∴，
∴，
，
，
.
小菲的眼睛離地面高度為，同時(shí)量得小菲與鏡子的水平距離為，鏡子與旗桿的水平距離為，
，，.
.
.
故選：B.
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于熟練掌握鏡面反射的基本性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì).
9．（2023·四川內(nèi)江·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，點(diǎn)D、E為邊的三等分點(diǎn)，點(diǎn)F、G在邊上，，點(diǎn)H為與的交點(diǎn)．若，則的長(zhǎng)為（ ）

A．1B．C．2D．3
【答案】C
【分析】由三等分點(diǎn)的定義與平行線的性質(zhì)得出，，，是的中位線，易證，得，解得，則．
【詳解】解：、為邊的三等分點(diǎn)，，
，，，
，是的中位線，
，
，
，
，即，
解得：，
，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了三等分點(diǎn)的定義、平行線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、三角形中位線定理等知識(shí)；熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
10．（2023·福建·統(tǒng)考中考真題）閱讀以下作圖步驟：
①在和上分別截取，使；
②分別以為圓心，以大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在內(nèi)交于點(diǎn)；
③作射線，連接，如圖所示．
根據(jù)以上作圖，一定可以推得的結(jié)論是（ ）

A．且B．且
C．且D．且
【答案】A
【分析】由作圖過(guò)程可得：，再結(jié)合可得，由全等三角形的性質(zhì)可得即可解答．
【詳解】解：由作圖過(guò)程可得：，
∵，
∴．
∴．
∴A選項(xiàng)符合題意；
不能確定,則不一定成立，故B選項(xiàng)不符合題意；
不能確定,故C選項(xiàng)不符合題意，
不一定成立，則不一定成立，故D選項(xiàng)不符合題意．
故選A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的尺規(guī)作圖、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，理解尺規(guī)作圖過(guò)程是解答本題的關(guān)鍵．
二、填空題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）
11．（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考中考真題）一個(gè)三角形的兩邊長(zhǎng)分別是3和5，則第三邊長(zhǎng)可以是__________．（只填一個(gè)即可）
【答案】4（答案不唯一，大于2且小于8之間的數(shù)均可）
【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理：三角形兩邊之和大于第三邊，三角形的兩邊差小于第三邊可得，再解即可．
【詳解】解：設(shè)第三邊長(zhǎng)為x，由題意得：
，
則，
故答案可為：4（答案不唯一，大于2且小于8之間的數(shù)均可）．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了三角形的三邊關(guān)系：第三邊的范圍是：大于已知的兩邊的差，而小于兩邊的和．
12．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，分別以點(diǎn)B和點(diǎn)C為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩孤交于點(diǎn)D，作直線交于點(diǎn)E．若，則的大小為_(kāi)_________度．

【答案】55
【分析】首先根據(jù)題意得到是的角平分線，進(jìn)而得到．
【詳解】∵由作圖可得，是的角平分線
∴．
故答案為：55．
【點(diǎn)睛】此題考查了作角平分線，角平分線的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)．
13．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）七巧板是我國(guó)民間廣為流傳的一種益智玩具，某同學(xué)用邊長(zhǎng)為的正方形紙板制作了一副七巧板（如圖），由5個(gè)等腰直角三角形，1個(gè)正方形和1個(gè)平行四邊形組成．則圖中陰影部分的面積為_(kāi)_________．

【答案】
【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)，以及七巧板的特點(diǎn)，求得的長(zhǎng)，即可求解．
【詳解】解：如圖所示，

依題意，，
∴圖中陰影部分的面積為
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，七巧板，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
14．（2023·湖北鄂州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，與位似，原點(diǎn)O是位似中心，且．若，則點(diǎn)的坐標(biāo)是___________．

【答案】
【分析】直接利用位似圖形的性質(zhì)得出相似比進(jìn)而得出對(duì)應(yīng)線段的長(zhǎng)．
【詳解】解∶設(shè)
∵與位似，原點(diǎn)是位似中心，且．若，
∴位似比為，
∴，
解得，，
∴
故答案為：.
【點(diǎn)睛】此題主要考查了位似變換，正確得出相似比是解題關(guān)鍵．
15．（2023·四川樂(lè)山·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平行四邊形中，E是線段上一點(diǎn)，連結(jié)交于點(diǎn)F．若，則__________．

【答案】
【分析】四邊形是平行四邊形，則，可證明，得到，由進(jìn)一步即可得到答案．
【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，
∴，
∴，
∴，
∴,
∵，
∴，
∴．
故答案為：
【點(diǎn)睛】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，證明是解題的關(guān)鍵．
16．（2023·浙江臺(tái)州·統(tǒng)考中考真題）用一張等寬的紙條折成如圖所示的圖案，若，則∠2的度數(shù)為_(kāi)_______．

【答案】
【分析】如圖，先標(biāo)注點(diǎn)與角，由對(duì)折可得：，求解，利用，從而可得答案．
【詳解】解：如圖，先標(biāo)注點(diǎn)與角，

由對(duì)折可得：，
∴，
∵，
∴；
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題考查的是折疊的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟記兩直線平行，同位角相等是解本題的關(guān)鍵．
17．（2023·河南·統(tǒng)考中考真題）矩形中，M為對(duì)角線的中點(diǎn)，點(diǎn)N在邊上，且．當(dāng)以點(diǎn)D，M，N為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形時(shí)，的長(zhǎng)為_(kāi)_____．
【答案】2或
【分析】分兩種情況：當(dāng)時(shí)和當(dāng)時(shí)，分別進(jìn)行討論求解即可．
【詳解】解：當(dāng)時(shí)，

∵四邊形矩形，
∴，則，
由平行線分線段成比例可得：，
又∵M(jìn)為對(duì)角線的中點(diǎn)，
∴，
∴，
即：，
∴，
當(dāng)時(shí)，

∵M(jìn)為對(duì)角線的中點(diǎn)，
∴為的垂直平分線，
∴，
∵四邊形矩形，
∴，則，
∴
∴，
綜上，的長(zhǎng)為2或，
故答案為：2或．
【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)，平行線分線段成比例，垂直平分線的判定及性質(zhì)等，畫(huà)出草圖進(jìn)行分類討論是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
18．（2023·遼寧大連·統(tǒng)考中考真題）如圖，在正方形中，，延長(zhǎng)至，使，連接，平分交于，連接，則的長(zhǎng)為_(kāi)______________．
【答案】
【分析】如圖，過(guò)作于，于，由平分，可知，可得四邊形是正方形，，設(shè)，則，證明，則，即，解得，，由勾股定理得，計(jì)算求解即可．
【詳解】解：如圖，過(guò)作于，于，則四邊形是矩形，，
∵平分，
∴，
∴，
∴四邊形是正方形，
設(shè)，則，
∵，
∴，
∴，即，解得，
∴，
由勾股定理得，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的判定與性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握與靈活運(yùn)用．
19．（2023·山東·統(tǒng)考中考真題）如圖，是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，點(diǎn)在邊上，若，，則_________．

【答案】
【分析】過(guò)點(diǎn)A作于H，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，再由，可得，再根據(jù)，可得，從而可得，利用銳角三角函數(shù)求得，再由，求得，即可求得結(jié)果．
【詳解】解：過(guò)點(diǎn)A作于H，
∵是等邊三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∵ ，
∴，
∴，
∴，
故答案為：．

【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)證明是解題的關(guān)鍵．
20．（2023·浙江·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，的垂直平分線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，．若，則的長(zhǎng)是__________．

【答案】4
【分析】由可得，由是的垂直平分線可得，從而可得．
【詳解】解：∵，
∴，
∵是的垂直平分線，
∴，
∴．
故答案為：4．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)以及等角對(duì)等邊等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解答本題的關(guān)鍵．
三、解答題（本大題共8小題，共66分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）
21．（2023·江西·統(tǒng)考中考真題）如圖，，平分．求證：．

【答案】見(jiàn)解析
【分析】先由角平分線的定義得到，再利用證明即可．
【詳解】解
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定，角平分線的定義等等，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
22．（2023·四川宜賓·統(tǒng)考中考真題）已知：如圖，，，．求證：．

【答案】見(jiàn)解析
【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，然后證明，證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得證．
【詳解】證明：∵，
∴，
∵，
∴
即
在與中
，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．
23．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）在中，是斜邊上的高．

(1)證明：；
(2)若，求的長(zhǎng)．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)三角形高的定義得出，根據(jù)等角的余角相等，得出，結(jié)合公共角，即可得證；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，利用相似三角形的性質(zhì)即可求解．
【詳解】（1）證明：∵是斜邊上的高．
∴，
∴，
∴
又∵
∴，
（2）∵
∴，
又
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．
24．（2023·四川眉山·統(tǒng)考中考真題）如圖，中，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．

(1)求證：；
(2)點(diǎn)G是線段上一點(diǎn)，滿足，交于點(diǎn)H，若，求的長(zhǎng)．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，，證明，推出，即可解答；
（2）通過(guò)平行四邊形的性質(zhì)證明，再通過(guò)（1）中的結(jié)論得到，最后證明，利用對(duì)應(yīng)線段比相等，列方程即可解答．
【詳解】（1）證明：四邊形是平行四邊形，
，，
，
是的中點(diǎn)，
，
，
，
∴，
；
（2）解：四邊形是平行四邊形，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
設(shè),則，
可得方程，
解得，
即的長(zhǎng)為．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練運(yùn)用上述性質(zhì)證明三角形相似是解題的關(guān)鍵．
25．（2023·河南·統(tǒng)考中考真題）綜合實(shí)踐活動(dòng)中，某小組用木板自制了一個(gè)測(cè)高儀測(cè)量樹(shù)高，測(cè)高儀為正方形，，頂點(diǎn)A處掛了一個(gè)鉛錘M．如圖是測(cè)量樹(shù)高的示意圖，測(cè)高儀上的點(diǎn)D，A與樹(shù)頂E在一條直線上，鉛垂線交于點(diǎn)H．經(jīng)測(cè)量，點(diǎn)A距地面，到樹(shù)的距離，．求樹(shù)的高度（結(jié)果精確到）．
【答案】樹(shù)的高度為
【分析】由題意可知，，，易知，可得，進(jìn)而求得，利用即可求解．
【詳解】解：由題意可知，，，
則，
∴，
∵，，
則，
∴，
∵，則，
∴，
∴，
答：樹(shù)的高度為．
【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，得到是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
26．（2023·遼寧·統(tǒng)考中考真題）暑假期間，小明與小亮相約到某旅游風(fēng)景區(qū)登山，需要登頂高的山峰，由山底A處先步行到達(dá)處，再由處乘坐登山纜車到達(dá)山頂處．已知點(diǎn)A，B．D，E，F(xiàn)在同一平面內(nèi)，山坡的坡角為，纜車行駛路線與水平面的夾角為（換乘登山纜車的時(shí)間忽略不計(jì)）

(1)求登山纜車上升的高度；
(2)若步行速度為，登山纜車的速度為，求從山底A處到達(dá)山頂處大約需要多少分鐘（結(jié)果精確到）
（參考數(shù)據(jù)：）
【答案】(1)登山纜車上升的高度
(2)從山底A處到達(dá)山頂處大約需要
【分析】（1）過(guò)B點(diǎn)作于C，于E，則四邊形是矩形，在中，利用含30度的直角三角形的性質(zhì)求得的長(zhǎng)，據(jù)此求解即可；
（2）在中，求得的長(zhǎng)，再計(jì)算得出答案．
【詳解】（1）解：如圖，過(guò)B點(diǎn)作于C，于E，則四邊形是矩形，
在中，，，
∴，
∴，
答：登山纜車上升的高度；
（2）解：在中，，，
∴，
∴從山底A處到達(dá)山頂處大約需要：
，
答：從山底A處到達(dá)山頂處大約需要.
【點(diǎn)睛】此題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，正確掌握直角三角形的邊角關(guān)系是解題關(guān)鍵．
27．（2023·內(nèi)蒙古通遼·統(tǒng)考中考真題）如圖，一艘海輪位于燈塔P的北偏東方向，距離燈塔的A處，它沿正南方向航行一段時(shí)間后，到達(dá)位于燈塔P的南偏東方向上的B處．這時(shí)，B處距離燈塔P有多遠(yuǎn)（結(jié)果取整數(shù)）？（參考數(shù)據(jù)：．）

【答案】B處距離燈塔P大約有．
【分析】在中，求出的長(zhǎng)，再在中，求出即可．
【詳解】解：設(shè)與燈塔P的正東方向相交于點(diǎn)C，
根據(jù)題意，得，，；
在中，
∵，
∴；
在中，，
∵，
∴，
答：B處距離燈塔P大約有．
【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用－方向角問(wèn)題，結(jié)合航海中的實(shí)際問(wèn)題，將解直角三角形的相關(guān)知識(shí)有機(jī)結(jié)合，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)應(yīng)用于實(shí)際生活的思想．
28．（2023·北京·統(tǒng)考中考真題）在中、，于點(diǎn)M，D是線段上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)M，C重合），將線段繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段．

(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在線段上時(shí)，求證：D是的中點(diǎn)；
(2)如圖2，若在線段上存在點(diǎn)F（不與點(diǎn)B，M重合）滿足，連接，，直接寫(xiě)出的大小，并證明．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)，證明見(jiàn)解析
【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，，利用三角形外角的性質(zhì)求出，可得，等量代換得到即可；
（2）延長(zhǎng)到H使，連接，，可得是的中位線，然后求出，設(shè)，，求出，證明，得到，再根據(jù)等腰三角形三線合一證明即可．
【詳解】（1）證明：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即D是的中點(diǎn)；
（2）；
證明：如圖2，延長(zhǎng)到H使，連接，，
∵，
∴是的中位線，
∴，，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，，
∴，
∵，
∴，是等腰三角形，
∴，，
設(shè)，，則，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∵，
∴，即．

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，三角形中位線定理以及全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，作出合適的輔助線，構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵．

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