菱形的定義及其性質菱形的判定
1.定義? 有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形 .
特別提醒1.菱形必須滿足兩個條件：一是平行四邊形；二是一組鄰邊相等 .二者必須同時具備，缺一不可 .2.菱形的定義既是菱形的基本性質，又是菱形的基本判定方法 .
特別提醒： (1)菱形的性質可以用來證明線段相等，角相等，直線平行、垂直以及進行相關的計算 .(2)菱形的性質與勾股定理聯(lián)系，可得對角線與邊之間的關系，即邊長的平方等于兩條對角線長的一半的平方和 .(3)如果菱形的一個內角為 60°，那么菱形的兩條邊與較短的對角線構成的三角形為等邊三角形 .(4)菱形的面積 = 底 × 高 = 兩條對角線長的乘積的一半 .
3. 矩形與菱形的區(qū)別(1)矩形和菱形都建立在平行四邊形的基礎上，矩形是附加一直角，而菱形是附加一組鄰邊相等；(2)矩形的兩條對角線把矩形分割成四個面積相等的等腰三角形；而菱形的兩條對角線把菱形分割成四個全等的直角三角形；(3)矩形的對稱軸是兩條過兩組對邊中點的直線，而菱形的對稱軸是兩條對角線所在的直線 .
如圖 19.3-18，在△ ABC 中， DE ∥ BC， EF ∥ AB，BE 平分∠ ABC，求證：四邊形 DBFE 是菱形 .
解題秘方：緊扣定義中的“兩個條件”進行判定 .
解法提醒菱形的定義既是菱形的性質，又是菱形的一種判定方法 .在用菱形的定義判定一個四邊形是菱形時，先判定這個四邊形是平行四邊形，再證一組鄰邊相等 .
解：∵ DE ∥ BC， EF ∥ AB，∴四邊形 DBFE 是平行四邊形，∵ DE ∥ BC，∴∠ DEB= ∠ EBC，∵ BE 平分∠ ABC，∴∠ EBC= ∠ EBD，∴∠ EBD= ∠ DEB，∴ BD=DE，∴四邊形 DBFE 是菱形．
如圖 19.3-19，在菱形 ABCD 中， E， F 分別是 BC， CD上的點，且∠ B= ∠ EAF=60°，∠ BAE=18° . 求∠ CEF 的度數(shù) .
解題秘方：緊扣菱形的性質、三角形外角的性質求解 .
解：如圖 19.3-19，連接 AC.∵ 四邊形 ABCD 是菱形，∠ B=60° ，∴ AB=BC=CD=DA，∠ D= ∠ B=60° .∴△ ABC 和△ ACD 均為等邊三角形 .∴ AB=AC，∠ B= ∠ ACF= ∠ BAC=60° .
∵∠ EAF=60°，∴∠ BAC= ∠ EAF，∴△ ABE ≌△ ACF ( ASA ) . ∴ AE=AF.又∵∠ EAF=60°，∴△ EAF 是等邊三角形 .∴∠ AEF=60° .∵∠ AEC= ∠ B＋∠ BAE= ∠ AEF＋∠ CEF，∴ 60° ＋18° =60° ＋ ∠ CEF. ∴∠ CEF=18° .
技巧點撥在求有關菱形的角的問題時，由于菱形的每條對角線都把菱形分成兩個全等的等腰三角形，因此通常通過連接對角線，把四邊形問題轉化為特殊三角形問題來解答 .
解題秘方：本題考查菱形的性質、矩形的判定和性質、勾股定理等知識 . 解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題， 屬于中考常考題型．
(1)求證： OE=CD；
(2)若菱形 ABCD 的邊長為 6，∠ ABC=60°，求 AE 的長 .
解法提醒(1) 只要證明四邊形OCED 是矩形即可；(2) 在 Rt △ ACE 中，利用勾股定理即可解決問題 .
1. 判定定理 1 四邊都相等的四邊形是菱形 .數(shù)學語言： 如圖19.3-21，在四邊形ABCD 中，∵ AB=BC=CD=DA，∴四邊形ABCD 是菱形 .
2.判定定理 2 對角線互相垂直的平行四邊形是菱形 .數(shù)學語言： 如圖 19.3-22，在 ? ABCD 中，∵ AC ⊥ BD，∴ ? ABCD 是菱形 .
[中考·濱州 ] 如圖 19.3-23， 過 ? ABCD 的對角線 AC與 BD 的交點 E 作兩條互相垂直的直線，分別交邊 AB， BC，CD， DA 于點 P， M， Q， N．
解題秘方：本題考查了平行四邊形的判定與性質，菱形的判定，全等三角形的判定與性質等知識 . 熟練掌握菱形的判定和平行四邊形的判定與性質，證明三角形全等是解題的關鍵．
(1)求證：△ PBE ≌△ QDE；
證明： ∵四邊形 ABCD 是平行四邊形，∴ EB=ED， AB ∥ CD， ∴∠ EBP= ∠ EDQ，∵∠ BEP= ∠ DEQ，∴△ PBE ≌△ QDE(ASA) .
(2) 順次連接點P， M， Q， N，求證：四邊形 PMQN是菱形．
證明：由(1)得△ PBE ≌△ QDE，∴ EP=EQ，同理可得△ BME ≌△ DNE(ASA)，∴ EM=EN，∴四邊形 PMQN 是平行四邊形，又∵ PQ ⊥ MN，∴平行四邊形 PMQN 是菱形．
方法點撥證明一個四邊形是菱形的方法：若已知要證的四邊形的對角線互相垂直，則要考慮證明這個四邊形是平行四邊形，用“對角線互相垂直的平行四邊形是菱形”進行證明 .
如圖 19.3-24， 在四邊形 ABCD 中， AB=CD， 點E， F， G， H 分別是 AD， BD， BC， AC 的中點 . 求證：四邊形 EFGH 是菱形 .
解題秘方：緊扣題中中點與線段相等這兩個條件， 從證四邊相等入手判定菱形 .
技巧點撥判定菱形的方法：1. 若用對角線進行判定：先證明四邊形是平行四邊形，再證明對角線互相垂直，或直接證明四邊形的對角線互相垂直平分；2. 若用邊進行判定：先證明四邊形是平行四邊形，再證明一組鄰邊相等，或直接證明四邊形的四條邊都相等 .

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19.3 矩形 菱形 正方形

版本： 滬科版

年級： 八年級下冊

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