平行四邊形的判定三角形的中位線
1.判定方法 判定平行四邊形可以從對邊、對角和對角線 三個(gè)方面進(jìn)行 . 如圖 19.2-27，在四邊形 ABCD 中， AC， BD 相交于點(diǎn) O，具體方法如下表所示 .
2. 靈活選擇平行四邊形判定定理的方法(1)已知一組對邊平行，可證明該組對邊相等或證明另一組對邊平行 .(2)已知一組對邊相等，可證明該組對邊平行或證明另一組對邊相等 .(3)已知條件與對角線有關(guān)，可證明對角線互相平分 .(4)已知條件與角有關(guān)，可證明兩組對角分別相等 .
特別提醒1. 平行四邊形的判定定理和性質(zhì)定理是互逆定理，解題時(shí)要注意區(qū)別，不能混淆 .(1) 由平行四邊形這一條件得到邊、角、對角線 的關(guān)系是性質(zhì)；(2) 由邊、角、對角線的關(guān)系得到平行四邊形是判定 .
2. 一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形不一定是平行四邊形 .3. 兩組鄰邊分別相等的四邊形不一定是平行四邊形 .
[ 中考·郴州 ] 如圖 19.2-28，在四邊形 ABCD 中， AB=DC，將對角線 AC 向兩端分別延長至點(diǎn) E， F，使 AE=CF．連接 BE， DF，若 BE=DF．求證：四邊形 ABCD 是平行四邊形．
解題秘方：針對條件“AB=DC”，緊扣邊的關(guān)系來判定平行四邊形 .
解題通法由邊的關(guān)系判定平行四邊形的方法：1. 若已知一組對邊平行，則可采用證這組對邊相等或另一組對邊平行這兩種方法判定平行四邊形 .2. 若 已 知 一 組對邊相等，則可采用證這組對邊平行或另一組對邊相等這兩種方法判定平行四邊形 .
如圖 19.2-29， 在 ?ABCD 中， BE 平分 ∠ ABC，交 AD 于點(diǎn) E， DF 平分∠ ADC，交 BC 于點(diǎn) F，那么四邊形BFDE 是平行四邊形嗎？為什么？
解：四邊形 BFDE 是平行四邊形 .理由：∵四邊形 ABCD 是平行四邊形，∴∠ ABC= ∠ ADC，∠ A= ∠ C.∵ BE 平分∠ ABC， DF 平分∠ ADC，
解題秘方：針對條件中與角有關(guān)的條件居多這一特點(diǎn)，緊扣“兩組對角相等”來判定平行四邊形 .
解法提醒當(dāng)已知條件中與角有關(guān)的條件居多時(shí)，應(yīng)從角的角度考慮判定平行四邊形的方法，因此可利用兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形來判定 .
[中考·徐州 ]如圖 19.2-30，在 ?ABCD 中，點(diǎn) E， F在 AC 上，且 AE=CF. 求證：四邊形 BEDF 是平行四邊形 .
解題秘方：由于條件都與四邊形的對角線相關(guān)，因此需緊扣對角線的關(guān)系判定平行四邊形 .
證明：如圖 19.2-30，連接 BD，與 AC 交于點(diǎn) O.∵四邊形 ABCD 是平行四邊形，∴ OA=OC， OB=OD.又∵ AE=CF，∴ OA－AE=OC－CF，即 OE=OF. ∴四邊形 BEDF 是平行四邊形 .
解法提醒當(dāng)已知條件都與對角線相關(guān)時(shí)，應(yīng)從對角線的角度考慮判定平行四邊形的方法，而從對角線的角度判定平行四邊形，一般結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)，利用已知平行四邊形的對角線的關(guān)系去判定要說明的四邊形是平行四邊形 .
1.?平行線等分線段定理 如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在其他直線上截得的線段也相等 .
2. 推論 經(jīng)過三角形一邊中點(diǎn)與另一邊平行的直線必平分第三邊 .
特別提醒1. 三條中位線將原三角形分割成四個(gè)全等的三角形；2. 三角形的中位線與三角形的中線的區(qū)別：三角形的中線是連接一頂點(diǎn)和它的對邊中點(diǎn)的線段，而三角形的中位線則是連接兩邊中點(diǎn)的線段；3. 三角形的一條中位線與第三邊上的中線互相平分 .
3.?三角形的中位線的定義 連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線 .數(shù)學(xué)語言： 如圖 19.2-31，∵ AD=BD， AE=EC，∴ DE 是△ ABC 的中位線 .
一個(gè)三角形有三條中位線 .
如圖 19.2-32， E 為 ABCD 中 DC 邊的延長線上一點(diǎn)，且 CE=DC，連接 AE，分別交 BC， BD 于點(diǎn) F， G，連接 AC 交 BD 于點(diǎn) O，連接 OF，求證：AB=2OF．
解題秘方：緊扣“三角形的中位線定理”的數(shù)量關(guān)系，將證明線段的倍數(shù)關(guān)系轉(zhuǎn)化為證明 OF 是△ ABC 的中位線．
證明： 如圖 19.2-32，連接 BE.∵四邊形 ABCD 是平行四邊形，∴ AB ∥ CD， AB=CD．又∵ CE=DC，∴ AB=CE．∴四邊形 ABEC 是平行四邊形，∴點(diǎn) F 是 BC 的中點(diǎn) .∵四邊形 ABCD 是平行四邊形，∴點(diǎn) O 是 AC 的中點(diǎn)，∴ OF 是△ ABC 的中位線，∴ AB=2OF．
方法點(diǎn)撥證明線段倍分關(guān)系的方法：由于三角形的中位線等于三角形第三邊的一半，因此當(dāng)需要證明某一線段是另一線段的一半或兩倍，且題中出現(xiàn)中點(diǎn)時(shí)，常先證明較短線段是三角形的中位線，再用三角形的中位線定理證明 .
如圖 19.2-33，在△ ABC 中， BC>AC，點(diǎn) D 在 BC上，且 DC=AC，∠ ACB 的平分線 CE 交 AD 于點(diǎn) E，點(diǎn) F 是AB 的中點(diǎn)，連接 EF，求證： EF ∥ BC.
解題秘方：緊扣“三角形中位線定理”的位置關(guān)系， 將證明線段的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為證明三角形的中位線 .
方法點(diǎn)撥由于三角形的中位線平行于第三邊，因此當(dāng)證明兩線段平行且題中含中點(diǎn)條件時(shí)，?？紤]用三角形中位線定理證明；而等腰三 角 形 的“ 三線合一”、平行四邊形的對角線“互相平分” 是證明一點(diǎn)是線段中點(diǎn)的常用方法 .
證明： ∵ CE 平分∠ ACB， DC=AC，∴ CE 是△ ACD 的中線，∴點(diǎn) E 是 AD 的中點(diǎn) .又∵點(diǎn) F 是 AB 的中點(diǎn)，∴ EF ∥ BD，即 EF ∥ BC.

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19.2 平行四邊形

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