銳角三角比也是中考數(shù)學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)，中考中在選擇題、填空題，解答題均有幾率出現(xiàn)，尤其是填空壓軸題，與二次函數(shù)結(jié)合，在解答壓軸題中應(yīng)用有很大概率作為中考難點(diǎn)考查，主要考查基本概念、幾何推理與證明以及相關(guān)應(yīng)用．
1.了解銳角三角比的概念，能夠正確應(yīng)用sinA 、csA、tanA、ctA表示直角三角形中兩邊的比；記憶30°、45°、60°的正弦、余弦、正切和余切的函數(shù)值，并會(huì)由一個(gè)特殊角的三角函數(shù)值說(shuō)出這個(gè)角的度數(shù).
2．理解直角三角形中邊與邊的關(guān)系，角與角的關(guān)系和邊與角的關(guān)系，會(huì)運(yùn)用勾股定理、直角三角形的兩個(gè)銳角互余、以及銳角三角函數(shù)解直角三角形，并會(huì)用解直角三角形的有關(guān)知識(shí)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.
一、銳角三角比的概念
如圖所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所對(duì)的邊BC記為a，叫做∠A的對(duì)邊，也叫做∠B的鄰邊，∠B所對(duì)的邊AC記為b，叫做∠B的對(duì)邊，也是∠A的鄰邊，直角C所對(duì)的邊AB記為c，叫做斜邊．
銳角A的對(duì)邊與斜邊的比叫做∠A的正弦，記作sinA，即；
銳角A的鄰邊與斜邊的比叫做∠A的余弦，記作csA，即；
銳角A的對(duì)邊與鄰邊的比叫做∠A的正切，記作tanA，即；
同理；；．
知識(shí)要點(diǎn)：
(1)銳角的正弦、余弦、正切是在直角三角形中定義的，反映了直角三角形邊與角的關(guān)系，是兩條線(xiàn)段的比值．角的度數(shù)確定時(shí)，其比值不變，角的度數(shù)變化時(shí)，比值也隨之變化．
(2)sinA，csA，tanA分別是一個(gè)完整的數(shù)學(xué)符號(hào)，是一個(gè)整體，不能寫(xiě)成，，
，不能理解成sin與∠A，cs與∠A，tan與∠A的乘積．書(shū)寫(xiě)時(shí)習(xí)慣上省略∠A的角的記號(hào)“∠”，但對(duì)三個(gè)大寫(xiě)字母表示成的角(如∠AEF)，其正切應(yīng)寫(xiě)成“tan∠AEF”，不能寫(xiě)成“tanAEF”；另外，、、常寫(xiě)成、、．
(3)任何一個(gè)銳角都有相應(yīng)的銳角三角比值，不因這個(gè)角不在某個(gè)三角形中而不存在．
(4)由銳角三角比的定義知：
當(dāng)角度在0°＜∠A＜90°之間變化時(shí)，，，tanA＞0．
二、特殊角的三角比的比值
利用銳角三角比的定義，可求出0°、30°、45°、60°、90°角的各三角比的比值，歸納如下：

知識(shí)要點(diǎn)：
(1)通過(guò)該表可以方便地知道0°、30°、45°、60°、90°角的各三角比的比值，它的另一個(gè)應(yīng)用就是：如果知道了一個(gè)銳角的三角比的比值，就可以求出這個(gè)銳角的度數(shù)，例如：若，則銳角．
(2)仔細(xì)研究表中數(shù)值的規(guī)律會(huì)發(fā)現(xiàn)：
、、、、的值依次為0、、、、1，而、、、、的值的順序正好相反，、、的值依次增大，其變化規(guī)律可以總結(jié)為：
當(dāng)角度在0°＜∠A＜90°之間變化時(shí)，
①正弦、正切值隨銳角度數(shù)的增大(或減小)而增大(或減小)
②余弦值隨銳角度數(shù)的增大(或減小)而減小(或增大)．
三、銳角三角比之間的關(guān)系
如圖所示，在Rt△ABC中，∠C=90°．
(1)互余關(guān)系：，；
(2)平方關(guān)系：；
(3)倒數(shù)關(guān)系：或；
(4)商數(shù)關(guān)系：．
四、解直角三角形
在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的過(guò)程，叫做解直角三角形．
解直角三角形的依據(jù)是直角三角形中各元素之間的一些相等關(guān)系，如圖：

角角關(guān)系：兩銳角互余，即∠A+∠B=90°；
邊邊關(guān)系：勾股定理，即；
邊角關(guān)系：銳角三角函數(shù)，即

知識(shí)要點(diǎn)：
解直角三角形，可能出現(xiàn)的情況歸納起來(lái)只有下列兩種情形：
(1)已知兩條邊(一直角邊和一斜邊；兩直角邊)；
(2)已知一條邊和一個(gè)銳角(一直角邊和一銳角；斜邊和一銳角)．這兩種情形的共同之處：有一條邊．因此，直角三角形可解的條件是：至少已知一條邊．
一、單選題
1．在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，那么∠A的余切值等于 （ ）
A．B．C．D．
2．已知在中，，，則的值為（ ）
A．B．C．D．
3．在中，，，，則的長(zhǎng)為（ ）
A．B．C．D．
4．如圖，在中，，點(diǎn)D為AB邊的中點(diǎn)，連接CD，若，，則的值為（ ）
A．B．C．D．
5．如圖，，，底邊BC上的高為，底邊QR上的高為，則有（ ）
A．B．C．D．以上都有可能
6．如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝∠BCD＝90°，，把沿著AC翻折得到，若，則線(xiàn)段DE的長(zhǎng)度（ ）
A．B．C．D．
二、填空題
7．在中，，，，則_______
8．如圖，的三個(gè)頂點(diǎn)都在邊長(zhǎng)是的小正方形的頂點(diǎn)上，則____________________．
9．如圖，在中，，垂足為點(diǎn)，若，，則等于 _____．
10．如圖，在中，，為上一點(diǎn)，，，．則＝_____．
11．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，DA⊥AC，tan∠BAD=，AB=，則BC的長(zhǎng)度為_(kāi)_____．
12．在△ABC中，，，，則______________．
13．在直角坐標(biāo)平面內(nèi)有一點(diǎn)，點(diǎn)與原點(diǎn)的連線(xiàn)與軸的正半軸的夾角為，那么的值為_(kāi)_____．
14．已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為6，對(duì)角線(xiàn)AC與BD相交于點(diǎn)O，OE⊥AB，垂足為點(diǎn)E，AC＝4，那么sin∠AOE＝_____．
15．勾股定理是世界文明寶庫(kù)中的一顆璀璨明珠，我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽將四個(gè)全等的直角三角形拼成了一個(gè)大正方形，同時(shí)留下一個(gè)小正方形的空隙（如圖），利用面積證明了勾股定理．如果小正方形的面積是，，那么大正方形的面積等于__________．
16．如圖，圖中提供了一種求的方法，作，使，，再延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，聯(lián)結(jié)，即可得，如果設(shè)，則可得，那么，運(yùn)用以上方法，可求得的值是______．
17．將一副三角板如圖擺放，使得一塊三角板的直角邊AC和另一塊三角板的斜邊ME重疊，點(diǎn)A與點(diǎn)M重合，已知AB=AC=8，則重疊的面積是__________．
18．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝2，以點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)的Rt△DCE的頂點(diǎn)D在BA的延長(zhǎng)線(xiàn)上，DE交CA的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)G，若tan∠CED＝，CE＝GE，那么BD的長(zhǎng)等于_____．
三、解答題
19．如圖，已知在中，為銳角，是邊上的高，， ．
(1)求的長(zhǎng)；
(2)求的正弦值．
20．如圖，已知在四邊形中，，，，．
(1)的長(zhǎng)；
(2)如果點(diǎn)E為的中點(diǎn)，連接，求的正切值．
21．如圖，在中，，，點(diǎn)在邊AC上，且，，垂足為點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，求：
(1)線(xiàn)段的長(zhǎng)；
(2)的余弦值．
22．如圖，邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD中，對(duì)角線(xiàn)AC、BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)Q、R分別在邊AD、DC上，BR交線(xiàn)段OC于點(diǎn)P，，QP交BD于點(diǎn)E．
(1)求證：；
(2)當(dāng)∠QED等于60°時(shí)，求的值．
23．已知點(diǎn)和點(diǎn)．點(diǎn)在軸的負(fù)半軸上，且，點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)C、D．
(1)求直線(xiàn)l的表達(dá)式；
(2)點(diǎn)P是直線(xiàn)l在第三象限上的點(diǎn)連接、，若線(xiàn)段是線(xiàn)段、的比例中項(xiàng)．
①求證：；
②求的值．
五、解直角三角形的應(yīng)用
解直角三角形的知識(shí)應(yīng)用很廣泛，關(guān)鍵是把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，善于將某些實(shí)際問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系化歸為直角三角形中的邊角關(guān)系是解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的關(guān)鍵.
1.解這類(lèi)問(wèn)題的一般過(guò)程
(1)弄清題中名詞、術(shù)語(yǔ)的意義，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根據(jù)題意畫(huà)出幾何圖形，建立數(shù)學(xué)模型.
(2)將已知條件轉(zhuǎn)化為幾何圖形中的邊、角或它們之間的關(guān)系，把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問(wèn)題.
(3)根據(jù)直角三角形(或通過(guò)作垂線(xiàn)構(gòu)造直角三角形)元素(邊、角)之間的關(guān)系解有關(guān)的直角三角形.
(4)得出數(shù)學(xué)問(wèn)題的答案并檢驗(yàn)答案是否符合實(shí)際意義，得出實(shí)際問(wèn)題的解.
2.常見(jiàn)的應(yīng)用問(wèn)題
(1)坡度：； 坡角:.

(2)方位角：

(3)仰角與俯角：

要點(diǎn)：
1．解直角三角形的常見(jiàn)類(lèi)型及解法：

2．用解直角三角形的知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的基本方法是：

把實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題(解直角三角形)，就是要舍去實(shí)際事物的具體內(nèi)容，把事物及它們的聯(lián)系轉(zhuǎn)化為圖形(點(diǎn)、線(xiàn)、角等)以及圖形之間的大小或位置關(guān)系．
借助生活常識(shí)以及課本中一些概念(如俯角、仰角、傾斜角、坡度、坡角等)的意義，也有助于把實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題．
當(dāng)需要求解的三角形不是直角三角形時(shí)，應(yīng)恰當(dāng)?shù)刈鞲?，化斜三角形為直角三角形再求解?br>3．銳角三角函數(shù)的應(yīng)用
用相似三角形邊的比的計(jì)算具有一般性，適用于所有形狀的三角形，而三角函數(shù)的計(jì)算是在直角三角形中解決問(wèn)題，所以在直角三角形中先考慮三角函數(shù)，可以使過(guò)程簡(jiǎn)潔。
一、單選題
1．如圖，傳送帶和地面所成斜坡的坡度為，若它把物體從地面點(diǎn)A處送到離地面2米高的B處，則物體從A到B所經(jīng)過(guò)的路程為（ ）
A．6米B．米C．米D． 米
2．在離鐵塔底部米的地面處測(cè)得鐵塔塔頂?shù)难鼋菫椋敲磋F塔的高為（ ）
A．B．C．D．
3．如圖，一艘船從處向北偏東的方向行駛千米到處，再?gòu)奶幭蛘鞣较蛐旭偳椎教?，這時(shí)這艘船與的距離（ ）
A．千米B．千米C．1千米D．千米
4．如圖，一塊矩形木板斜靠在墻邊（，點(diǎn)，，，，在同一平面內(nèi)）．已知，，，則點(diǎn)到的距離等于（ ）
A．B．
C．D．
5．我校興趣小組同學(xué)為測(cè)量校外“御墅臨楓”的一棟電梯高層AB的樓高，從校前廣場(chǎng)的C處測(cè)得該座建筑物頂點(diǎn)A的仰角為45°，沿著C向上走到30米處的D點(diǎn)．再測(cè)得頂點(diǎn)A的仰角為22°，已知CD的坡度：i=1：2，A、B、C、D在同一平面內(nèi)，則高樓AB的高度為（ ）（參考數(shù)據(jù)；sin22°≈0.37，cs22°≈0.93，tan22°≈0.40）
A．60B．70C．80D．90
6．如圖，一棵松樹(shù)AB挺立在斜坡CB的頂端，斜坡CB長(zhǎng)為52米，坡度為i＝12：5，小張從與點(diǎn)C相距60米的點(diǎn)D處向上爬12米到達(dá)觀景臺(tái)DE的頂端點(diǎn)E，在此測(cè)得松樹(shù)頂端點(diǎn)A的仰角為39°，則松樹(shù)的高度AB約為（ ）（參考數(shù)據(jù)：sin39°≈0.63，cs39°≈0.78，tan39°≈0.81）
A．16.8 米B．28.8 米C．40.8 米D．64.8 米
7．保利觀瀾旁邊有一望江公園，公園里有一文峰塔，工程人員在與塔底中心的同一水平線(xiàn)的處，測(cè)得米，沿坡度的斜坡走到點(diǎn)，測(cè)得塔頂仰角為37?，再沿水平方向走20米到處，測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫?2?，則塔高為（ ）米．（結(jié)果精確到十分位）（，，，，，）
A．米B．米C．20米D．米
8．共享單車(chē)為市民出行提供了便利．圖1為單車(chē)實(shí)物圖，圖2為單車(chē)示意圖，與地面平行，點(diǎn)A、B、D共線(xiàn)，點(diǎn)D、F、G共線(xiàn)，坐墊C可沿射線(xiàn)方向調(diào)節(jié)．已知，，，車(chē)輪半徑為，，小明體驗(yàn)后覺(jué)得當(dāng)坐墊C離地面高度為時(shí)騎著比較舒適，此時(shí)的長(zhǎng)約為（ ）（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：，，）
A．B．C．D．
二、填空題
9．如圖，在平地上種植樹(shù)木時(shí)，要求株距（相鄰兩樹(shù)間的水平距離）為4米．如果在山坡上種樹(shù)，也要求株距為4米，則相鄰兩樹(shù)間的坡面距離5米，則此山坡的坡度為_(kāi)_____．
10．如圖，在甲樓的底部B處測(cè)得乙樓的頂部D點(diǎn)的仰角為，在甲樓的頂部A處測(cè)得乙樓的頂部D點(diǎn)的俯角為，如果乙樓的高米，那么甲樓的高_(dá)_____米（用含，的代數(shù)式表示）．
11．如圖，某幢樓的樓梯每一級(jí)臺(tái)階的高度為20厘米，寬度為30厘米，那么斜面的坡度為_(kāi)_____．
12．如圖，小明在某次投籃中剛好把球打到籃板的點(diǎn)D處后進(jìn)球，已知小明與籃板底的距離BC＝5米，眼睛與地面的距離AB＝1.7米，視線(xiàn)AD與水平線(xiàn)的夾角為，已知的值為0.3，則點(diǎn)D到地面的距離CD的長(zhǎng)為_(kāi)_____米．
13．如圖，一個(gè)高為米的長(zhǎng)方體木箱沿坡比為的斜面下滑，當(dāng)木箱滑至如圖位置時(shí)，米，則木箱端點(diǎn)距地面的高度為_(kāi)_________米．
14．如圖1，一扇窗戶(hù)打開(kāi)一定角度，其中一端固定在窗戶(hù)邊上的點(diǎn)處，另一端在邊上滑動(dòng)，圖2為某一位置從上往下看的平面圖，測(cè)得，，長(zhǎng)為32厘米，則的長(zhǎng)為_(kāi)______ 厘米．
三、解答題
15．某小區(qū)開(kāi)展了“行車(chē)安全，方便居民”的活動(dòng)，對(duì)地下車(chē)庫(kù)作了改進(jìn)．如圖，這小區(qū)原地下車(chē)庫(kù)的入口處有斜坡長(zhǎng)為13米，它的坡度為，，為了居民行車(chē)安全，現(xiàn)將斜坡的坡角改為，即（此時(shí)點(diǎn)、、在同一直線(xiàn)上）．求斜坡改進(jìn)后的起點(diǎn)與原起點(diǎn)的距離（結(jié)果精確到0.1米）．
（參考數(shù)據(jù)：，，）
16．如圖，在大樓的正前方有一斜坡，米，坡度，小明在斜坡下端處測(cè)得樓頂點(diǎn)的仰角為60°，在斜坡上的點(diǎn)處測(cè)得樓頂?shù)牡难鼋菫?0°，與地面垂直，垂足為，其中點(diǎn)、、在同一直線(xiàn)上．
(1)求的值；
(2)求大樓的高度（結(jié)果保留根號(hào)）
17．某地一居民的窗戶(hù)朝南．窗戶(hù)的離地高度為0.8米，此地一年的冬至這一天的正午時(shí)刻太陽(yáng)光與地面的夾角最小為，夏至這一天的正午時(shí)刻太陽(yáng)光與地面的夾角最大為．若你是一名設(shè)計(jì)師，請(qǐng)你為教學(xué)樓的窗戶(hù)設(shè)計(jì)一個(gè)直角形遮陽(yáng)蓬，要求它既能最大限度地遮擋夏天炎熱的陽(yáng)光，又能最大限度地使冬天溫暖的陽(yáng)光射入室內(nèi)．根據(jù)測(cè)量測(cè)得，，米．若同時(shí)滿(mǎn)足下面兩個(gè)條件（1）當(dāng)太陽(yáng)光與地面的夾角是時(shí)，太陽(yáng)光剛好射入室內(nèi)；（2）當(dāng)太陽(yáng)光與地面的夾角是時(shí)，太陽(yáng)光剛好不射入室內(nèi)．請(qǐng)你求出直角形遮陽(yáng)蓬中的長(zhǎng)、離地面的高度．
18．有一把長(zhǎng)為6米的梯子，將它的上端A靠著墻面，下端B放在地面上，梯子與地面所成的角記為，地面與墻面互相垂直（如圖1所示），一般滿(mǎn)足時(shí)，人才能安全地使用這架梯子．
(1)當(dāng)梯子底端B距離墻面2.5米時(shí)，求的度數(shù)（結(jié)果取整數(shù)），此時(shí)人是否能安全地使用這架梯子？
(2)當(dāng)人能安全地使用這架梯子，且梯子頂端A離開(kāi)地面最高時(shí)，梯子開(kāi)始下滑 ，如果梯子頂端A沿著墻面下滑1.5米到墻面上的D點(diǎn)處停止，梯子底端B也隨之向后平移到地面上的點(diǎn)E處（如圖2所示），此時(shí)人是否能安全使用這架梯子？請(qǐng)說(shuō)明理由．
19．圭表（如圖1）是我國(guó)古代度量日影長(zhǎng)度的天文儀器，它包括一根直立的桿（稱(chēng)為“表”）和一把南北方向水平放置且與桿垂直的標(biāo)尺（稱(chēng)為“圭”）．當(dāng)正午的陽(yáng)光照射在“表”上時(shí)，“表”的影子便會(huì)投射在“圭”上．我國(guó)古代很多地區(qū)通過(guò)觀察“表”在“圭”上的影子長(zhǎng)度來(lái)測(cè)算二十四節(jié)氣，并以此作為指導(dǎo)農(nóng)事活動(dòng)的重要依據(jù)．例如，我國(guó)古代歷法將一年中白晝最短的那一天（當(dāng)日正午“表”在“圭”上的影子長(zhǎng)度為全年最長(zhǎng)）定為冬至；白晝最長(zhǎng)的那一天（當(dāng)日正午“表”在“圭”上的影子長(zhǎng)度為全年最短）定為夏至．
某地發(fā)現(xiàn)一個(gè)圭表遺跡（如圖2），但由于“表”已損壞，僅能測(cè)得“圭”上記錄的夏至線(xiàn)與冬至線(xiàn)間的距離（即的長(zhǎng)）為米．現(xiàn)已知該地冬至正午太陽(yáng)高度角（即）為，夏至正午太陽(yáng)高度角（即）為，請(qǐng)通過(guò)計(jì)算推測(cè)損壞的“表”原來(lái)的高度（即的長(zhǎng)）約為多少米？（參考數(shù)據(jù)見(jiàn)表1，結(jié)果精確到個(gè)位）
表1
（注：表1中三角比的值是近似值）
一、單選題
1． (2023·上海閔行·一模）已知在中，，，，那么AC的長(zhǎng)為（ ）
A．B．C．D．
2． (2023·上?！そy(tǒng)考一模）如圖，把兩條寬度都是1的紙條，其中一條對(duì)折后再兩條交錯(cuò)地疊在一起，相交成角α，則重疊部分的面積是（ ）
A．2sinαB．2csαC．D．
3． (2023·上海奉賢·校聯(lián)考一模）如圖，在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，射線(xiàn)OA與x軸正半軸的夾角為α，如果OA＝，tanα＝3，那么點(diǎn)A的坐標(biāo)是（ ）
A．（1，3）B．（3，1）C．（1，）D．（3，）
4． (2023·上海浦東新·統(tǒng)考一模）如圖，一架飛機(jī)在點(diǎn)A處測(cè)得水平地面上一個(gè)標(biāo)志物P的俯角為α，水平飛行m千米后到達(dá)點(diǎn)B處，又測(cè)得標(biāo)志物P的俯角為β，那么此時(shí)飛機(jī)離地面的高度為( )
A．千米B．千米C．千米D．千米
5． (2023·上海徐匯·統(tǒng)考一模）跳傘運(yùn)動(dòng)員小李在200米的空中測(cè)得地面上的著落點(diǎn)的俯角為60°，那么此時(shí)小李離著落點(diǎn)的距離是（ ）
A．200米B．400米C．米D．米
6． (2023·上海松江·統(tǒng)考一模）如圖，一艘船從A處向北偏東30°的方向行駛10千米到B處，再?gòu)腂處向正西方向行駛20千米到C處，這時(shí)這艘船與A的距離（ ）
A．15千米B．10千米C．千米D．千米
二、填空題
7． (2023·上海長(zhǎng)寧·統(tǒng)考二模）已知正六邊形外接圓的半徑為3，那么它的邊心距為 _____．
8． (2023·上海奉賢·統(tǒng)考三模）已知一斜坡的坡比為1：2，坡角為，那么________．
9． (2023·上?！そy(tǒng)考一模）在中，，如果，，那么________________．
10． (2023·上海徐匯·校聯(lián)考中考模擬）在中，，是邊上的中線(xiàn)，如果，那么的值是__________．
11． (2023·上海青浦·統(tǒng)考一模）如圖，某水庫(kù)大壩的橫斷面是梯形ABCD，壩高為15米，迎水坡CD的坡度為1：2.4，那么該水庫(kù)迎水坡CD的長(zhǎng)度為_(kāi)____米．
12． (2023·上?！そy(tǒng)考一模）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，垂足為點(diǎn)D，如果BC＝4，sin∠DBC＝，那么線(xiàn)段AB的長(zhǎng)是_____．
13． (2023·上海徐匯·?？家荒＃┤鐖D，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，CE⊥AB于點(diǎn)E，csB＝，則＝_____．
14． (2023·上海·二模）如圖，已知Rt△ABC中，∠ABC＝90°，點(diǎn)D是AC邊的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)BD．將△ABC繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)B恰好落在射線(xiàn)BD上的點(diǎn)E處，點(diǎn)C落在點(diǎn)F處，聯(lián)結(jié)FD、FC．如果AB＝1，BC＝2時(shí)，那么∠CFD的正切值是____．
三、解答題
15． (2023·上?！ど虾Ｊ羞M(jìn)才中學(xué)校考一模）如圖，在 中， ，，， CD⊥AB，垂足為 D．
(1)求 BD 的長(zhǎng)；
(2)設(shè)，，用，表示．
16． (2023·上海嘉定·統(tǒng)考一模）如圖，在中，，．
（1）求邊的長(zhǎng)度；
（2）求的值．
17． (2023·上海楊浦·統(tǒng)考二模）如圖，已知在平行四邊形中，過(guò)點(diǎn)D作，垂足為點(diǎn)E，．
(1)求平行四邊形的面積；
(2)連接，求的值．
18． (2023·上海浦東新·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，點(diǎn)D在邊BC上，且BD＝3CD，DE⊥AB，垂足為點(diǎn)E，聯(lián)結(jié)CE．
（1）求線(xiàn)段AE的長(zhǎng)；
（2）求∠ACE的余切值．
19． (2023·上海奉賢·統(tǒng)考一模）如圖，是一個(gè)手機(jī)的支架，由底座、連桿和托架組成（連桿始終在同一平面內(nèi))，連桿垂直于底座且長(zhǎng)度為厘米，連桿的長(zhǎng)度為厘米，連桿的長(zhǎng)度可以進(jìn)行伸縮調(diào)整．
（1）如圖，當(dāng)連桿在一條直線(xiàn)上，且連桿的長(zhǎng)度為厘米,時(shí)，求點(diǎn)到底座的高度（計(jì)算結(jié)果保留一位小數(shù)）
（2）如圖，如果保持不變，轉(zhuǎn)動(dòng)連桿，使得，假如時(shí)為最佳視線(xiàn)狀態(tài)，求最佳視線(xiàn)狀態(tài)時(shí)連桿的長(zhǎng)度（計(jì)算結(jié)果保留一位小數(shù)）(參考數(shù)據(jù)：）
20． (2023·上海浦東新·統(tǒng)考三模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線(xiàn)與x軸交于點(diǎn)A（?3,0）和點(diǎn)B，與y軸相交于點(diǎn)C（0,3），拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為點(diǎn)D．
（1）求拋物線(xiàn)的表達(dá)式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）聯(lián)結(jié)AD、AC、CD，求∠DAC的正切值；
（3）如果點(diǎn)P是原拋物線(xiàn)上的一點(diǎn)，且∠PAB=∠DAC，將原拋物線(xiàn)向右平移m個(gè)單位（m>0），使平移后新拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，求平移距離．
21． (2023·上海嘉定·統(tǒng)考一模）如圖，在矩形中，，，點(diǎn)E在邊上，．點(diǎn)F是線(xiàn)段上一點(diǎn)，連接，．
（1）如果，求線(xiàn)段的長(zhǎng)；
（2）如果．
①求證：；
②求線(xiàn)段的長(zhǎng)．
已知條件
解法步驟
Rt△ABC
兩
邊
兩直角邊(a，b)
由求∠A，
∠B=90°－∠A，
斜邊，一直角邊(如c，a)
由求∠A，
∠B=90°－∠A，
一
邊
一
角
一直角邊
和一銳角
銳角、鄰邊
(如∠A，b)
∠B=90°－∠A，
，
銳角、對(duì)邊
(如∠A，a)
∠B=90°－∠A，
，
斜邊、銳角(如c，∠A)
∠B=90°－∠A，
，
專(zhuān)題16 銳角三角比

銳角三角比也是中考數(shù)學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)，中考中在選擇題、填空題，解答題均有幾率出現(xiàn)，尤其是填空壓軸題，與二次函數(shù)結(jié)合，在解答壓軸題中應(yīng)用有很大概率作為中考難點(diǎn)考查，主要考查基本概念、幾何推理與證明以及相關(guān)應(yīng)用．
1.了解銳角三角比的概念，能夠正確應(yīng)用sinA 、csA、tanA、ctA表示直角三角形中兩邊的比；記憶30°、45°、60°的正弦、余弦、正切和余切的函數(shù)值，并會(huì)由一個(gè)特殊角的三角函數(shù)值說(shuō)出這個(gè)角的度數(shù).
2．理解直角三角形中邊與邊的關(guān)系，角與角的關(guān)系和邊與角的關(guān)系，會(huì)運(yùn)用勾股定理、直角三角形的兩個(gè)銳角互余、以及銳角三角函數(shù)解直角三角形，并會(huì)用解直角三角形的有關(guān)知識(shí)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.
一、銳角三角比的概念
如圖所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所對(duì)的邊BC記為a，叫做∠A的對(duì)邊，也叫做∠B的鄰邊，∠B所對(duì)的邊AC記為b，叫做∠B的對(duì)邊，也是∠A的鄰邊，直角C所對(duì)的邊AB記為c，叫做斜邊．
銳角A的對(duì)邊與斜邊的比叫做∠A的正弦，記作sinA，即；
銳角A的鄰邊與斜邊的比叫做∠A的余弦，記作csA，即；
銳角A的對(duì)邊與鄰邊的比叫做∠A的正切，記作tanA，即；
同理；；．
知識(shí)要點(diǎn)：
(1)銳角的正弦、余弦、正切是在直角三角形中定義的，反映了直角三角形邊與角的關(guān)系，是兩條線(xiàn)段的比值．角的度數(shù)確定時(shí)，其比值不變，角的度數(shù)變化時(shí)，比值也隨之變化．
(2)sinA，csA，tanA分別是一個(gè)完整的數(shù)學(xué)符號(hào)，是一個(gè)整體，不能寫(xiě)成，，
，不能理解成sin與∠A，cs與∠A，tan與∠A的乘積．書(shū)寫(xiě)時(shí)習(xí)慣上省略∠A的角的記號(hào)“∠”，但對(duì)三個(gè)大寫(xiě)字母表示成的角(如∠AEF)，其正切應(yīng)寫(xiě)成“tan∠AEF”，不能寫(xiě)成“tanAEF”；另外，、、常寫(xiě)成、、．
(3)任何一個(gè)銳角都有相應(yīng)的銳角三角比值，不因這個(gè)角不在某個(gè)三角形中而不存在．
(4)由銳角三角比的定義知：
當(dāng)角度在0°＜∠A＜90°之間變化時(shí)，，，tanA＞0．
二、特殊角的三角比的比值
利用銳角三角比的定義，可求出0°、30°、45°、60°、90°角的各三角比的比值，歸納如下：

知識(shí)要點(diǎn)：
(1)通過(guò)該表可以方便地知道0°、30°、45°、60°、90°角的各三角比的比值，它的另一個(gè)應(yīng)用就是：如果知道了一個(gè)銳角的三角比的比值，就可以求出這個(gè)銳角的度數(shù)，例如：若，則銳角．
(2)仔細(xì)研究表中數(shù)值的規(guī)律會(huì)發(fā)現(xiàn)：
、、、、的值依次為0、、、、1，而、、、、的值的順序正好相反，、、的值依次增大，其變化規(guī)律可以總結(jié)為：
當(dāng)角度在0°＜∠A＜90°之間變化時(shí)，
①正弦、正切值隨銳角度數(shù)的增大(或減小)而增大(或減小)
②余弦值隨銳角度數(shù)的增大(或減小)而減小(或增大)．
三、銳角三角比之間的關(guān)系
如圖所示，在Rt△ABC中，∠C=90°．
(1)互余關(guān)系：，；
(2)平方關(guān)系：；
(3)倒數(shù)關(guān)系：或；
(4)商數(shù)關(guān)系：．
四、解直角三角形
在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的過(guò)程，叫做解直角三角形．
解直角三角形的依據(jù)是直角三角形中各元素之間的一些相等關(guān)系，如圖：

角角關(guān)系：兩銳角互余，即∠A+∠B=90°；
邊邊關(guān)系：勾股定理，即；
邊角關(guān)系：銳角三角函數(shù)，即

知識(shí)要點(diǎn)：
解直角三角形，可能出現(xiàn)的情況歸納起來(lái)只有下列兩種情形：
(1)已知兩條邊(一直角邊和一斜邊；兩直角邊)；
(2)已知一條邊和一個(gè)銳角(一直角邊和一銳角；斜邊和一銳角)．這兩種情形的共同之處：有一條邊．因此，直角三角形可解的條件是：至少已知一條邊．
一、單選題
1．在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，那么∠A的余切值等于 （ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義，直接得出ctA＝即可得出答案．
【解析】解：如圖所示：
∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴ctA＝＝，
故選：C．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了銳角三角函數(shù)的定義，熟練地應(yīng)用銳角三角函數(shù)的定義是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，本題是道基礎(chǔ)題，比較簡(jiǎn)單．
2．已知在中，，，則的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)正弦三角函數(shù)的定義，設(shè)，則，，再根據(jù)正切三角函數(shù)的定義，即可求解．
【解析】
∵在中，，，
∴，
設(shè)，則，，
∴，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的定義，根據(jù)三角函數(shù)的定義，用未知數(shù)表示出直角三角形的各邊長(zhǎng)，是解題的關(guān)鍵．
3．在中，，，，則的長(zhǎng)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由，再把已知條件代入即可得到答案．
【解析】解：∵，，，，
∴ ，
∴．
故選：B
【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的含義，利用銳角三角函數(shù)解直角三角形是解題的關(guān)鍵．
4．如圖，在中，，點(diǎn)D為AB邊的中點(diǎn)，連接CD，若，，則的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)直角三角形斜邊中線(xiàn)等于斜邊一半求出AB，再根據(jù)三角函數(shù)的意義，可求出答案．
【解析】解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D為AB邊的中點(diǎn)，
∴AD＝BD＝CD＝AB，
∴,
又∵CD＝3，
∴AB＝6，
，
∴＝＝，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查直角三角形的性質(zhì)和三角函數(shù)，理解直角三角形的邊角關(guān)系是得出正確答案的前提．
5．如圖，，，底邊BC上的高為，底邊QR上的高為，則有（ ）
A．B．C．D．以上都有可能
【答案】B
【分析】由已知可知高所對(duì)的斜邊都為5，由正弦的定義可得到高關(guān)于正弦的表達(dá)式，比較正弦值即可得到答案．
【解析】解：如圖，分別作出兩三角形的高
∵
∴
∵
∴
∵
∴
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形，依題意作高構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．
6．如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝∠BCD＝90°，，把沿著AC翻折得到，若，則線(xiàn)段DE的長(zhǎng)度（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】作DM⊥CE，根據(jù)折疊的性質(zhì)得∠ACE=∠ACB，BC=EC，然后結(jié)合已知條件求出DM和EM的長(zhǎng)度，最后在Rt△EDM中運(yùn)用勾股定理求解即可．
【解析】如圖所示，作DM⊥CE于M點(diǎn)，
∵∠ABC＝90°，，
∴，則∠CAB=30°，
∵∠ABC＝∠BCD＝90°，
∴CD∥AB，
∴∠ACD=∠CAB=30°，
根據(jù)折疊的性質(zhì)得：∠ACE=∠ACB=60°，，
∴∠ECD=30°，
設(shè)DM=x，則CD=2x，MC=x，
∴EM=EC-MC=-x，
∵，
∴，
解得：，
經(jīng)檢驗(yàn)，是上述分式方程的解，
∴，，
∴在Rt△EDM中，，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查三角形的翻折問(wèn)題，涉及到勾股定理，解直角三角形等知識(shí)點(diǎn)，理解并熟練運(yùn)用正切函數(shù)的定義是解題關(guān)鍵．
二、填空題
7．在中，，，，則_______
【答案】##0.5
【分析】根據(jù)的正弦求出，再根據(jù)30°的正弦值求解即可．
【解析】解：如圖所示，
∵，
∴，
∴．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，熟記30°、45°、60°角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．
8．如圖，的三個(gè)頂點(diǎn)都在邊長(zhǎng)是的小正方形的頂點(diǎn)上，則____________________．
【答案】
【分析】過(guò)作于，則，求出和的長(zhǎng)，再解直角三角形求出即可．
【解析】解：如圖，過(guò)作于，
∴，
∵小正方形的邊長(zhǎng)為，
∴，，
∴．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形．理解和掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．
9．如圖，在中，，垂足為點(diǎn)，若，，則等于 _____．
【答案】
【分析】先利用等腰直角三角形的正弦算出，再運(yùn)用正切算出的值．
【解析】解：∵，
∴
∵
∴
∴
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形，熟練運(yùn)用特殊角的正弦值是解題的關(guān)鍵．
10．如圖，在中，，為上一點(diǎn)，，，．則＝_____．
【答案】
【分析】根據(jù)以及勾股定理可得BC=4，AC=3，從而得到CD=3，進(jìn)而得到，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，再由，可得，即可求解．
【解析】解：∵，，
∴可設(shè)，則，
由勾股定理得：，
∵，
∴，解得：k=1或1（舍去），
∴BC=4，AC=3，
∵，
∴AC=CD，
∴，
如圖，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，
∵，
∴可設(shè)，則，
由勾股定理得：，
∵BD=1，
∴，解得：或（舍去），
∴，
∴．
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形，勾股定理，明確題意，準(zhǔn)確構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．
11．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，DA⊥AC，tan∠BAD=，AB=，則BC的長(zhǎng)度為_(kāi)_____．
【答案】
【分析】作DE∥AC交AB于E，如圖，根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)得∠ADE＝90，由點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)得到DE為△ABC的中位線(xiàn)，則DE＝AC，AE＝BE＝AB＝2，在Rt△ADE中，根據(jù)正切的定義得tan∠EAD＝＝，設(shè)DE＝x，則AD＝2x，根據(jù)勾股定理得（2x）2＋x2＝（2）2，解得x＝2，則DE＝2，AD＝4，所以AC＝4，然后根據(jù)勾股定理計(jì)算出CD＝，再利用BC＝2CD計(jì)算即可．
【解析】作DE∥AC交AB于E，如圖，

∵DA⊥AC，
∴DE⊥AD，
∴∠ADE＝90，
∵點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，
∴DE為△ABC的中位線(xiàn)，
∴DE＝AC，AE＝BE＝AB＝2，
在Rt△ADE中，tan∠EAD＝＝，
設(shè)DE＝x，則AD＝2x，
∵AD2＋DE2＝AE2，
∴（2x）2＋x2＝（2）2，解得x＝2，
∴DE＝2，AD＝4，
∴AC＝2DE=4，
∴CD＝，
∴BC＝2CD＝
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的過(guò)程就是解直角三角形，解題的關(guān)鍵的根據(jù)題意作出輔助線(xiàn)，利用中位線(xiàn)的性質(zhì)求解．
12．在△ABC中，，，，則______________．
【答案】或
【分析】畫(huà)出圖形，分△ABC為銳角三角形和鈍角三角形兩種情況討論即可．
【解析】解：情況一：當(dāng)△ABC為銳角三角形時(shí)，如圖1所示：
過(guò)A點(diǎn)作AH⊥BC于H，
∵∠B=45°，
∴△ABH為等腰直角三角形，
∴,
在Rt△ACH中，由勾股定理可知：，
∴．
情況二：當(dāng)△ABC為鈍角三角形時(shí)，如圖2所示：
由情況一知：，，
∴．
故答案為：或．
【點(diǎn)睛】本題考察了等腰直角三角形的性質(zhì)及勾股定理的應(yīng)用，本題的關(guān)鍵是能將△ABC分成銳角三角形或鈍角三角形分類(lèi)討論．
13．在直角坐標(biāo)平面內(nèi)有一點(diǎn)，點(diǎn)與原點(diǎn)的連線(xiàn)與軸的正半軸的夾角為，那么的值為_(kāi)_____．
【答案】##0.5
【分析】如圖所示，過(guò)點(diǎn)A作AB⊥x軸于B，根據(jù)進(jìn)行求解即可．
【解析】解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)A作AB⊥x軸于B，
∵A點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2），
∴OB=1，AB=2，
∴，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形，三角函數(shù)，解題的關(guān)鍵在于能夠根據(jù)題意得到．
14．已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為6，對(duì)角線(xiàn)AC與BD相交于點(diǎn)O，OE⊥AB，垂足為點(diǎn)E，AC＝4，那么sin∠AOE＝_____．
【答案】
【分析】由菱形對(duì)角線(xiàn)互相垂直得到AC⊥BD，根據(jù)∠OAE＝∠BAO，∠OEA＝∠AOB可以判定△OAE∽△ABO，進(jìn)而得到∠AOE＝∠BAO，再由AO和AB的值即可求得sin∠AOE的值．
【解析】∵菱形對(duì)角線(xiàn)互相垂直，
∴∠OEA＝∠AOB，
∵∠OAE＝∠BAO，
∴△OAE∽△ABO，
∴∠AOE＝∠ABO，
∵AO＝AC＝2，AB＝6，
∴sin∠AOE＝sin∠ABO＝＝．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】考查了相似三角形判定和性質(zhì)、三角形中正弦函數(shù)的計(jì)算，解題關(guān)鍵是證明三角形相似再利用其性質(zhì)得到∠AOE=∠ABO．
15．勾股定理是世界文明寶庫(kù)中的一顆璀璨明珠，我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽將四個(gè)全等的直角三角形拼成了一個(gè)大正方形，同時(shí)留下一個(gè)小正方形的空隙（如圖），利用面積證明了勾股定理．如果小正方形的面積是，，那么大正方形的面積等于__________．
【答案】
【分析】由題意知小正方形邊長(zhǎng)為2，運(yùn)用正弦函數(shù)定義求解．
【解析】解：由題意知小正方形邊長(zhǎng)為2，∴FG=2，
設(shè)BF=x，BG=2+x，∵△BGC≌△AFB，
∴CG=BF=x，
∵sin∠GBC=
∴ BC=
由勾股定理得:
解得：x=1或x=﹣ （舍去）
BC=
大正方形的面積=
故答案為：10．
【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形、勾股定理的證明和正方形面積，掌握解直角三角形、勾股定理的證明和正方形面積是解題的關(guān)鍵．
16．如圖，圖中提供了一種求的方法，作，使，，再延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，聯(lián)結(jié)，即可得，如果設(shè)，則可得，那么，運(yùn)用以上方法，可求得的值是______．
【答案】
【分析】作，使，，再延長(zhǎng)BC到點(diǎn)，使，聯(lián)結(jié)，即可得，設(shè)，然后用t表示出CD，最后根據(jù)余切的定義作答即可．
【解析】解：如圖：作，使，，再延長(zhǎng)CB到點(diǎn)，使，聯(lián)結(jié)，即可得
設(shè)，則BC=t，AB=BD=t
所以DC=BC+AB=t+t=（1+）t
所以．
故答案為．
【點(diǎn)睛】本題主要考查的是解直角三角形和三角函數(shù)，構(gòu)造出含45°的直角三角形，再作輔助線(xiàn)得到22.5°角的直角三角形成為解答本題的關(guān)鍵．
17．將一副三角板如圖擺放，使得一塊三角板的直角邊AC和另一塊三角板的斜邊ME重疊，點(diǎn)A與點(diǎn)M重合，已知AB=AC=8，則重疊的面積是__________．
【答案】
【分析】過(guò)Q作QH⊥AC于H，在△QHC中，由于∠QCH=45°，則CH=QH，設(shè)CH=，則QH=x，在Rt△QHA中，由于∠QAH=60°，求得AH=，然后利用CH+AH=AC求得的值，再根據(jù)三角形面積公式計(jì)算得到結(jié)果．
【解析】過(guò)Q作QH⊥AC于H，如圖，
∠ACB=45°，∠DME=60°，AC=8，
在△QHC中，∠QCH=45°，
∴CH=QH，
設(shè)CH=x，則QH=x，
在Rt△QHA中，∠QAH=60°，
∴AH= =，
∵CH+AH=AC，
∴，
解得：，
∴QH?AC，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形，作出輔助線(xiàn)構(gòu)造直角三角形，利用條件求得AC邊上的高是解題的關(guān)鍵．
18．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝2，以點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)的Rt△DCE的頂點(diǎn)D在BA的延長(zhǎng)線(xiàn)上，DE交CA的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)G，若tan∠CED＝，CE＝GE，那么BD的長(zhǎng)等于_____．
【答案】##
【分析】如圖，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥CE于H．先證明AK＝AC，推出HK＝CH，進(jìn)而得到AK＝AD＝2即可解答．
【解析】解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥CE于H.
∵tan∠CED＝＝tan∠BAC，
∴∠E＝∠BAC，
∵CE＝EG，
∴∠CGE＝∠ECG，
∵∠BAC+∠GAK＝180°，
∴∠E+∠GAK＝180°，
∴∠AGE+∠AKE＝180°，
∵∠AKE+∠AKC＝180°，
∴∠AKC＝∠CGE，
∴∠AKC＝∠ACK，
∴AC＝AK＝2，
∵AH⊥CK，
∴KH＝CH，
∵∠AHE＝∠DCK＝90°，
∴AH∥CD，
∴KA＝AD，
∴DK＝2AK＝4，AD＝AK＝2，
∵∠ACB＝90°，BC＝1，AC＝2，
∴AB＝＝＝，
∴BD＝AB+AD＝．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形、勾股定理、三角形的中位線(xiàn)定理等知識(shí)，正確添加輔助線(xiàn)、構(gòu)造三角形的中位線(xiàn)是解得本題的關(guān)鍵．
三、解答題
19．如圖，已知在中，為銳角，是邊上的高，， ．
(1)求的長(zhǎng)；
(2)求的正弦值．
【答案】(1)長(zhǎng)為20．
(2)的正弦．
【分析】（1）由的余弦求出的長(zhǎng)，得到長(zhǎng)，由勾股定理即可解決問(wèn)題．
（2）過(guò)C作于H，由三角形的面積公式求出CH的長(zhǎng)即可解決問(wèn)題．
【解析】（1）
（2）作于H
的面積
的正弦值是
【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形，關(guān)鍵是作出恰當(dāng)?shù)妮o助線(xiàn)．
20．如圖，已知在四邊形中，，，，．
(1)的長(zhǎng)；
(2)如果點(diǎn)E為的中點(diǎn)，連接，求的正切值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）在中，利用三角函數(shù)求出，利用勾股定理求出，在中，利用勾股定理求出即可．
（2）首先證明，推出，由此即可解決問(wèn)題；
【解析】（1）解：在中，∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：在中，∵，
∴，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形、銳角三角函數(shù)、平行線(xiàn)的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．
21．如圖，在中，，，點(diǎn)在邊AC上，且，，垂足為點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，求：
(1)線(xiàn)段的長(zhǎng)；
(2)的余弦值．
【答案】(1)
(2)
【分析】對(duì)于（1），根據(jù)題意，，，可得AD的長(zhǎng)度，根據(jù)勾股定理得，由的長(zhǎng)度，則，計(jì)算即可得出答案；
對(duì)于（2），過(guò)點(diǎn)作，垂足為，如圖，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得，
，則，根據(jù)勾股定理可得，
在中，由計(jì)算即可得出答案．
【解析】（1）∵，，
∴．
∵，，
根據(jù)勾股定理，得，
∴，，
∴，
∴；
（2）過(guò)點(diǎn)E作，垂足為，如圖，
∵，
∴，
∴，
∴．
在中，
．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．
22．如圖，邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD中，對(duì)角線(xiàn)AC、BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)Q、R分別在邊AD、DC上，BR交線(xiàn)段OC于點(diǎn)P，，QP交BD于點(diǎn)E．
(1)求證：；
(2)當(dāng)∠QED等于60°時(shí)，求的值．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)，可得∠CAD=∠BDC=45°，∠OBP+∠OPB=90°，再由，可得∠OBP=∠OPE，即可求證；
（2）設(shè)OE=a，根據(jù)∠QED等于60°，可得∠BEP=60°，然后利用銳角三角函數(shù)，可得BD=2OB=6a， ，然后根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，即可求解．
（1）
證明：在正方形ABCD中，
∠CAD=∠BDC=45°，BD⊥AC，
∴∠BOC=90°，
∴∠OBP+∠OPB=90°，
∵，
∴∠BPQ=90°，
∴∠OPE+∠OPB=90°，
∴∠OBP=∠OPE，
∴；
（2）
解：設(shè)OE=a，
在正方形ABCD中，∠POE=90°，OA=OB=OD，
∵∠QED等于60°，
∴∠BEP=60°，
在 中，
，，
∵，∠BEP=60°，
∴∠PBE=30°，
∴， ，
∴OA=OB=BE-OE=3a，
∴BD=2OB=6a，
∴ ，
∵，
∴．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)定理，特殊角銳角三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．
23．已知點(diǎn)和點(diǎn)．點(diǎn)在軸的負(fù)半軸上，且，點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)C、D．
(1)求直線(xiàn)l的表達(dá)式；
(2)點(diǎn)P是直線(xiàn)l在第三象限上的點(diǎn)連接、，若線(xiàn)段是線(xiàn)段、的比例中項(xiàng)．
①求證：；
②求的值．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)，，求得，得到，然后利用待定系數(shù)法求解即可；
（2）①根據(jù)線(xiàn)段是線(xiàn)段、的比例中項(xiàng)，得到，然后根據(jù)相似三角形的判定定理即可得到結(jié)論；
②過(guò)點(diǎn)P作軸于H，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，求得，根據(jù)三角函數(shù)的定義即可得到結(jié)論．
【解析】（1）∵，，
∴，
∵，點(diǎn)在軸的負(fù)半軸上，
∴，
設(shè)直線(xiàn)l的表達(dá)式為，
∵，在直線(xiàn)上，
∴，
∴，
∴直線(xiàn)l的表達(dá)式為；
（2）①∵線(xiàn)段是線(xiàn)段、的比例中項(xiàng)，
∴，
又∵是公共角，
∴；
②∵，，
∴，
∴解得，
∵，
∴，過(guò)點(diǎn)P作軸于H，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，，，
∴，
∴在中，，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的綜合題，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角函數(shù)的定義，證得是解題的關(guān)鍵．
五、解直角三角形的應(yīng)用
解直角三角形的知識(shí)應(yīng)用很廣泛，關(guān)鍵是把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，善于將某些實(shí)際問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系化歸為直角三角形中的邊角關(guān)系是解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的關(guān)鍵.
1.解這類(lèi)問(wèn)題的一般過(guò)程
(1)弄清題中名詞、術(shù)語(yǔ)的意義，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根據(jù)題意畫(huà)出幾何圖形，建立數(shù)學(xué)模型.
(2)將已知條件轉(zhuǎn)化為幾何圖形中的邊、角或它們之間的關(guān)系，把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問(wèn)題.
(3)根據(jù)直角三角形(或通過(guò)作垂線(xiàn)構(gòu)造直角三角形)元素(邊、角)之間的關(guān)系解有關(guān)的直角三角形.
(4)得出數(shù)學(xué)問(wèn)題的答案并檢驗(yàn)答案是否符合實(shí)際意義，得出實(shí)際問(wèn)題的解.
2.常見(jiàn)的應(yīng)用問(wèn)題
(1)坡度：； 坡角:.

(2)方位角：

(3)仰角與俯角：

要點(diǎn)：
1．解直角三角形的常見(jiàn)類(lèi)型及解法：

2．用解直角三角形的知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的基本方法是：

把實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題(解直角三角形)，就是要舍去實(shí)際事物的具體內(nèi)容，把事物及它們的聯(lián)系轉(zhuǎn)化為圖形(點(diǎn)、線(xiàn)、角等)以及圖形之間的大小或位置關(guān)系．
借助生活常識(shí)以及課本中一些概念(如俯角、仰角、傾斜角、坡度、坡角等)的意義，也有助于把實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題．
當(dāng)需要求解的三角形不是直角三角形時(shí)，應(yīng)恰當(dāng)?shù)刈鞲?，化斜三角形為直角三角形再求解?br>3．銳角三角函數(shù)的應(yīng)用
用相似三角形邊的比的計(jì)算具有一般性，適用于所有形狀的三角形，而三角函數(shù)的計(jì)算是在直角三角形中解決問(wèn)題，所以在直角三角形中先考慮三角函數(shù)，可以使過(guò)程簡(jiǎn)潔。
一、單選題
1．在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，那么∠A的余切值等于 （ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義，直接得出ctA＝即可得出答案．
【解析】解：如圖所示：
∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴ctA＝＝，
故選：C．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了銳角三角函數(shù)的定義，熟練地應(yīng)用銳角三角函數(shù)的定義是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，本題是道基礎(chǔ)題，比較簡(jiǎn)單．
2．已知在中，，，則的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)正弦三角函數(shù)的定義，設(shè)，則，，再根據(jù)正切三角函數(shù)的定義，即可求解．
【解析】
∵在中，，，
∴，
設(shè)，則，，
∴，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的定義，根據(jù)三角函數(shù)的定義，用未知數(shù)表示出直角三角形的各邊長(zhǎng)，是解題的關(guān)鍵．
3．在中，，，，則的長(zhǎng)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由，再把已知條件代入即可得到答案．
【解析】解：∵，，，，
∴ ，
∴．
故選：B
【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的含義，利用銳角三角函數(shù)解直角三角形是解題的關(guān)鍵．
4．如圖，在中，，點(diǎn)D為AB邊的中點(diǎn)，連接CD，若，，則的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)直角三角形斜邊中線(xiàn)等于斜邊一半求出AB，再根據(jù)三角函數(shù)的意義，可求出答案．
【解析】解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D為AB邊的中點(diǎn)，
∴AD＝BD＝CD＝AB，
∴,
又∵CD＝3，
∴AB＝6，
，
∴＝＝，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查直角三角形的性質(zhì)和三角函數(shù)，理解直角三角形的邊角關(guān)系是得出正確答案的前提．
5．如圖，，，底邊BC上的高為，底邊QR上的高為，則有（ ）
A．B．C．D．以上都有可能
【答案】B
【分析】由已知可知高所對(duì)的斜邊都為5，由正弦的定義可得到高關(guān)于正弦的表達(dá)式，比較正弦值即可得到答案．
【解析】解：如圖，分別作出兩三角形的高
∵
∴
∵
∴
∵
∴
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形，依題意作高構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．
6．如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝∠BCD＝90°，，把沿著AC翻折得到，若，則線(xiàn)段DE的長(zhǎng)度（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】作DM⊥CE，根據(jù)折疊的性質(zhì)得∠ACE=∠ACB，BC=EC，然后結(jié)合已知條件求出DM和EM的長(zhǎng)度，最后在Rt△EDM中運(yùn)用勾股定理求解即可．
【解析】如圖所示，作DM⊥CE于M點(diǎn)，
∵∠ABC＝90°，，
∴，則∠CAB=30°，
∵∠ABC＝∠BCD＝90°，
∴CD∥AB，
∴∠ACD=∠CAB=30°，
根據(jù)折疊的性質(zhì)得：∠ACE=∠ACB=60°，，
∴∠ECD=30°，
設(shè)DM=x，則CD=2x，MC=x，
∴EM=EC-MC=-x，
∵，
∴，
解得：，
經(jīng)檢驗(yàn)，是上述分式方程的解，
∴，，
∴在Rt△EDM中，，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查三角形的翻折問(wèn)題，涉及到勾股定理，解直角三角形等知識(shí)點(diǎn)，理解并熟練運(yùn)用正切函數(shù)的定義是解題關(guān)鍵．
二、填空題
7．在中，，，，則_______
【答案】##0.5
【分析】根據(jù)的正弦求出，再根據(jù)30°的正弦值求解即可．
【解析】解：如圖所示，
∵，
∴，
∴．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，熟記30°、45°、60°角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．
8．如圖，的三個(gè)頂點(diǎn)都在邊長(zhǎng)是的小正方形的頂點(diǎn)上，則____________________．
【答案】
【分析】過(guò)作于，則，求出和的長(zhǎng)，再解直角三角形求出即可．
【解析】解：如圖，過(guò)作于，
∴，
∵小正方形的邊長(zhǎng)為，
∴，，
∴．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形．理解和掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．
9．如圖，在中，，垂足為點(diǎn)，若，，則等于 _____．
【答案】
【分析】先利用等腰直角三角形的正弦算出，再運(yùn)用正切算出的值．
【解析】解：∵，
∴
∵
∴
∴
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形，熟練運(yùn)用特殊角的正弦值是解題的關(guān)鍵．
10．如圖，在中，，為上一點(diǎn)，，，．則＝_____．
【答案】
【分析】根據(jù)以及勾股定理可得BC=4，AC=3，從而得到CD=3，進(jìn)而得到，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，再由，可得，即可求解．
【解析】解：∵，，
∴可設(shè)，則，
由勾股定理得：，
∵，
∴，解得：k=1或1（舍去），
∴BC=4，AC=3，
∵，
∴AC=CD，
∴，
如圖，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，
∵，
∴可設(shè)，則，
由勾股定理得：，
∵BD=1，
∴，解得：或（舍去），
∴，
∴．
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形，勾股定理，明確題意，準(zhǔn)確構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．
11．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，DA⊥AC，tan∠BAD=，AB=，則BC的長(zhǎng)度為_(kāi)_____．
【答案】
【分析】作DE∥AC交AB于E，如圖，根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)得∠ADE＝90，由點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)得到DE為△ABC的中位線(xiàn)，則DE＝AC，AE＝BE＝AB＝2，在Rt△ADE中，根據(jù)正切的定義得tan∠EAD＝＝，設(shè)DE＝x，則AD＝2x，根據(jù)勾股定理得（2x）2＋x2＝（2）2，解得x＝2，則DE＝2，AD＝4，所以AC＝4，然后根據(jù)勾股定理計(jì)算出CD＝，再利用BC＝2CD計(jì)算即可．
【解析】作DE∥AC交AB于E，如圖，

∵DA⊥AC，
∴DE⊥AD，
∴∠ADE＝90，
∵點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，
∴DE為△ABC的中位線(xiàn)，
∴DE＝AC，AE＝BE＝AB＝2，
在Rt△ADE中，tan∠EAD＝＝，
設(shè)DE＝x，則AD＝2x，
∵AD2＋DE2＝AE2，
∴（2x）2＋x2＝（2）2，解得x＝2，
∴DE＝2，AD＝4，
∴AC＝2DE=4，
∴CD＝，
∴BC＝2CD＝
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的過(guò)程就是解直角三角形，解題的關(guān)鍵的根據(jù)題意作出輔助線(xiàn)，利用中位線(xiàn)的性質(zhì)求解．
12．在△ABC中，，，，則______________．
【答案】或
【分析】畫(huà)出圖形，分△ABC為銳角三角形和鈍角三角形兩種情況討論即可．
【解析】解：情況一：當(dāng)△ABC為銳角三角形時(shí)，如圖1所示：
過(guò)A點(diǎn)作AH⊥BC于H，
∵∠B=45°，
∴△ABH為等腰直角三角形，
∴,
在Rt△ACH中，由勾股定理可知：，
∴．
情況二：當(dāng)△ABC為鈍角三角形時(shí)，如圖2所示：
由情況一知：，，
∴．
故答案為：或．
【點(diǎn)睛】本題考察了等腰直角三角形的性質(zhì)及勾股定理的應(yīng)用，本題的關(guān)鍵是能將△ABC分成銳角三角形或鈍角三角形分類(lèi)討論．
13．在直角坐標(biāo)平面內(nèi)有一點(diǎn)，點(diǎn)與原點(diǎn)的連線(xiàn)與軸的正半軸的夾角為，那么的值為_(kāi)_____．
【答案】##0.5
【分析】如圖所示，過(guò)點(diǎn)A作AB⊥x軸于B，根據(jù)進(jìn)行求解即可．
【解析】解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)A作AB⊥x軸于B，
∵A點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2），
∴OB=1，AB=2，
∴，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形，三角函數(shù)，解題的關(guān)鍵在于能夠根據(jù)題意得到．
14．已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為6，對(duì)角線(xiàn)AC與BD相交于點(diǎn)O，OE⊥AB，垂足為點(diǎn)E，AC＝4，那么sin∠AOE＝_____．
【答案】
【分析】由菱形對(duì)角線(xiàn)互相垂直得到AC⊥BD，根據(jù)∠OAE＝∠BAO，∠OEA＝∠AOB可以判定△OAE∽△ABO，進(jìn)而得到∠AOE＝∠BAO，再由AO和AB的值即可求得sin∠AOE的值．
【解析】∵菱形對(duì)角線(xiàn)互相垂直，
∴∠OEA＝∠AOB，
∵∠OAE＝∠BAO，
∴△OAE∽△ABO，
∴∠AOE＝∠ABO，
∵AO＝AC＝2，AB＝6，
∴sin∠AOE＝sin∠ABO＝＝．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】考查了相似三角形判定和性質(zhì)、三角形中正弦函數(shù)的計(jì)算，解題關(guān)鍵是證明三角形相似再利用其性質(zhì)得到∠AOE=∠ABO．
15．勾股定理是世界文明寶庫(kù)中的一顆璀璨明珠，我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽將四個(gè)全等的直角三角形拼成了一個(gè)大正方形，同時(shí)留下一個(gè)小正方形的空隙（如圖），利用面積證明了勾股定理．如果小正方形的面積是，，那么大正方形的面積等于__________．
【答案】
【分析】由題意知小正方形邊長(zhǎng)為2，運(yùn)用正弦函數(shù)定義求解．
【解析】解：由題意知小正方形邊長(zhǎng)為2，∴FG=2，
設(shè)BF=x，BG=2+x，∵△BGC≌△AFB，
∴CG=BF=x，
∵sin∠GBC=
∴ BC=
由勾股定理得:
解得：x=1或x=﹣ （舍去）
BC=
大正方形的面積=
故答案為：10．
【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形、勾股定理的證明和正方形面積，掌握解直角三角形、勾股定理的證明和正方形面積是解題的關(guān)鍵．
16．如圖，圖中提供了一種求的方法，作，使，，再延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，聯(lián)結(jié)，即可得，如果設(shè)，則可得，那么，運(yùn)用以上方法，可求得的值是______．
【答案】
【分析】作，使，，再延長(zhǎng)BC到點(diǎn)，使，聯(lián)結(jié)，即可得，設(shè)，然后用t表示出CD，最后根據(jù)余切的定義作答即可．
【解析】解：如圖：作，使，，再延長(zhǎng)CB到點(diǎn)，使，聯(lián)結(jié)，即可得
設(shè)，則BC=t，AB=BD=t
所以DC=BC+AB=t+t=（1+）t
所以．
故答案為．
【點(diǎn)睛】本題主要考查的是解直角三角形和三角函數(shù)，構(gòu)造出含45°的直角三角形，再作輔助線(xiàn)得到22.5°角的直角三角形成為解答本題的關(guān)鍵．
17．將一副三角板如圖擺放，使得一塊三角板的直角邊AC和另一塊三角板的斜邊ME重疊，點(diǎn)A與點(diǎn)M重合，已知AB=AC=8，則重疊的面積是__________．
【答案】
【分析】過(guò)Q作QH⊥AC于H，在△QHC中，由于∠QCH=45°，則CH=QH，設(shè)CH=，則QH=x，在Rt△QHA中，由于∠QAH=60°，求得AH=，然后利用CH+AH=AC求得的值，再根據(jù)三角形面積公式計(jì)算得到結(jié)果．
【解析】過(guò)Q作QH⊥AC于H，如圖，
∠ACB=45°，∠DME=60°，AC=8，
在△QHC中，∠QCH=45°，
∴CH=QH，
設(shè)CH=x，則QH=x，
在Rt△QHA中，∠QAH=60°，
∴AH= =，
∵CH+AH=AC，
∴，
解得：，
∴QH?AC，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形，作出輔助線(xiàn)構(gòu)造直角三角形，利用條件求得AC邊上的高是解題的關(guān)鍵．
18．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝2，以點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)的Rt△DCE的頂點(diǎn)D在BA的延長(zhǎng)線(xiàn)上，DE交CA的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)G，若tan∠CED＝，CE＝GE，那么BD的長(zhǎng)等于_____．
【答案】##
【分析】如圖，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥CE于H．先證明AK＝AC，推出HK＝CH，進(jìn)而得到AK＝AD＝2即可解答．
【解析】解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥CE于H.
∵tan∠CED＝＝tan∠BAC，
∴∠E＝∠BAC，
∵CE＝EG，
∴∠CGE＝∠ECG，
∵∠BAC+∠GAK＝180°，
∴∠E+∠GAK＝180°，
∴∠AGE+∠AKE＝180°，
∵∠AKE+∠AKC＝180°，
∴∠AKC＝∠CGE，
∴∠AKC＝∠ACK，
∴AC＝AK＝2，
∵AH⊥CK，
∴KH＝CH，
∵∠AHE＝∠DCK＝90°，
∴AH∥CD，
∴KA＝AD，
∴DK＝2AK＝4，AD＝AK＝2，
∵∠ACB＝90°，BC＝1，AC＝2，
∴AB＝＝＝，
∴BD＝AB+AD＝．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形、勾股定理、三角形的中位線(xiàn)定理等知識(shí)，正確添加輔助線(xiàn)、構(gòu)造三角形的中位線(xiàn)是解得本題的關(guān)鍵．
三、解答題
19．如圖，已知在中，為銳角，是邊上的高，， ．
(1)求的長(zhǎng)；
(2)求的正弦值．
【答案】(1)長(zhǎng)為20．
(2)的正弦．
【分析】（1）由的余弦求出的長(zhǎng)，得到長(zhǎng)，由勾股定理即可解決問(wèn)題．
（2）過(guò)C作于H，由三角形的面積公式求出CH的長(zhǎng)即可解決問(wèn)題．
【解析】（1）
（2）作于H
的面積
的正弦值是
【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形，關(guān)鍵是作出恰當(dāng)?shù)妮o助線(xiàn)．
20．如圖，已知在四邊形中，，，，．
(1)的長(zhǎng)；
(2)如果點(diǎn)E為的中點(diǎn)，連接，求的正切值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）在中，利用三角函數(shù)求出，利用勾股定理求出，在中，利用勾股定理求出即可．
（2）首先證明，推出，由此即可解決問(wèn)題；
【解析】（1）解：在中，∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：在中，∵，
∴，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形、銳角三角函數(shù)、平行線(xiàn)的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．
21．如圖，在中，，，點(diǎn)在邊AC上，且，，垂足為點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，求：
(1)線(xiàn)段的長(zhǎng)；
(2)的余弦值．
【答案】(1)
(2)
【分析】對(duì)于（1），根據(jù)題意，，，可得AD的長(zhǎng)度，根據(jù)勾股定理得，由的長(zhǎng)度，則，計(jì)算即可得出答案；
對(duì)于（2），過(guò)點(diǎn)作，垂足為，如圖，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得，
，則，根據(jù)勾股定理可得，
在中，由計(jì)算即可得出答案．
【解析】（1）∵，，
∴．
∵，，
根據(jù)勾股定理，得，
∴，，
∴，
∴；
（2）過(guò)點(diǎn)E作，垂足為，如圖，
∵，
∴，
∴，
∴．
在中，
．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．
22．如圖，邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD中，對(duì)角線(xiàn)AC、BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)Q、R分別在邊AD、DC上，BR交線(xiàn)段OC于點(diǎn)P，，QP交BD于點(diǎn)E．
(1)求證：；
(2)當(dāng)∠QED等于60°時(shí)，求的值．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)，可得∠CAD=∠BDC=45°，∠OBP+∠OPB=90°，再由，可得∠OBP=∠OPE，即可求證；
（2）設(shè)OE=a，根據(jù)∠QED等于60°，可得∠BEP=60°，然后利用銳角三角函數(shù)，可得BD=2OB=6a， ，然后根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，即可求解．
（1）
證明：在正方形ABCD中，
∠CAD=∠BDC=45°，BD⊥AC，
∴∠BOC=90°，
∴∠OBP+∠OPB=90°，
∵，
∴∠BPQ=90°，
∴∠OPE+∠OPB=90°，
∴∠OBP=∠OPE，
∴；
（2）
解：設(shè)OE=a，
在正方形ABCD中，∠POE=90°，OA=OB=OD，
∵∠QED等于60°，
∴∠BEP=60°，
在 中，
，，
∵，∠BEP=60°，
∴∠PBE=30°，
∴， ，
∴OA=OB=BE-OE=3a，
∴BD=2OB=6a，
∴ ，
∵，
∴．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)定理，特殊角銳角三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．
23．已知點(diǎn)和點(diǎn)．點(diǎn)在軸的負(fù)半軸上，且，點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)C、D．
(1)求直線(xiàn)l的表達(dá)式；
(2)點(diǎn)P是直線(xiàn)l在第三象限上的點(diǎn)連接、，若線(xiàn)段是線(xiàn)段、的比例中項(xiàng)．
①求證：；
②求的值．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)，，求得，得到，然后利用待定系數(shù)法求解即可；
（2）①根據(jù)線(xiàn)段是線(xiàn)段、的比例中項(xiàng)，得到，然后根據(jù)相似三角形的判定定理即可得到結(jié)論；
②過(guò)點(diǎn)P作軸于H，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，求得，根據(jù)三角函數(shù)的定義即可得到結(jié)論．
【解析】（1）∵，，
∴，
∵，點(diǎn)在軸的負(fù)半軸上，
∴，
設(shè)直線(xiàn)l的表達(dá)式為，
∵，在直線(xiàn)上，
∴，
∴，
∴直線(xiàn)l的表達(dá)式為；
（2）①∵線(xiàn)段是線(xiàn)段、的比例中項(xiàng)，
∴，
又∵是公共角，
∴；
②∵，，
∴，
∴解得，
∵，
∴，過(guò)點(diǎn)P作軸于H，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，，，
∴，
∴在中，，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的綜合題，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角函數(shù)的定義，證得是解題的關(guān)鍵．
一、單選題(共0分)
1． (2023·上海閔行·一模）已知在中，，，，那么AC的長(zhǎng)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義即可求出答案．
【解析】解：在Rt△ABC中，
sinβ=，
∴AC=AB?sinβ=5sinβ，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查銳角三角函數(shù)，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用銳角三角函數(shù)的定義，本題屬于基礎(chǔ)題型．
2． (2023·上?！そy(tǒng)考一模）如圖，把兩條寬度都是1的紙條，其中一條對(duì)折后再兩條交錯(cuò)地疊在一起，相交成角α，則重疊部分的面積是（ ）
A．2sinαB．2csαC．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)題意可知：所得圖形是菱形，設(shè)菱形ABCD，由已知得∠ABE=α，過(guò)A作AE⊥BC于E，由勾股定理可求BE、AB、BC的長(zhǎng)度，根據(jù)菱形的面積公式即可求出所填答案．
【解析】解：由題意可知：重疊部分是菱形，設(shè)菱形ABCD，則∠ABE＝α，
過(guò)A作AE⊥BC于E，則AE＝1，
設(shè)BE＝x，
∵∠ABE＝α，
∴AB＝，
∴BC＝AB＝，
∴重疊部分的面積是：×1＝．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，菱形的面積公式等知識(shí)點(diǎn)，把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問(wèn)題，利用所學(xué)的知識(shí)進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵．
3． (2023·上海奉賢·校聯(lián)考一模）如圖，在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，射線(xiàn)OA與x軸正半軸的夾角為α，如果OA＝，tanα＝3，那么點(diǎn)A的坐標(biāo)是（ ）
A．（1，3）B．（3，1）C．（1，）D．（3，）
【答案】A
【分析】過(guò)點(diǎn)A作AB⊥x軸于點(diǎn)B，由于tanα=3，設(shè)AB=3x，OB=x，根據(jù)勾股定理列出方程即可求出x的值，從而可求出點(diǎn)A的坐標(biāo)．
【解析】過(guò)點(diǎn)A作AB⊥x軸于點(diǎn)B，由于tanα=3，∴，設(shè)AB=3x，OB=x．
∵OA，∴由勾股定理可知：9x2+x2=10，∴x2=1，∴x=1，∴AB=3，OB=1，∴A的坐標(biāo)為（1，3）．
故選A．
【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形，解題的關(guān)鍵是熟練作出輔助線(xiàn)后，利用勾股定理列出方程，本題屬于中等題型．
4． (2023·上海浦東新·統(tǒng)考一模）如圖，一架飛機(jī)在點(diǎn)A處測(cè)得水平地面上一個(gè)標(biāo)志物P的俯角為α，水平飛行m千米后到達(dá)點(diǎn)B處，又測(cè)得標(biāo)志物P的俯角為β，那么此時(shí)飛機(jī)離地面的高度為( )
A．千米B．千米C．千米D．千米
【答案】A
【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)的概念進(jìn)行作答.
【解析】在P點(diǎn)做一條直線(xiàn)垂直于直線(xiàn)AB且交于點(diǎn)O，由銳角三角函數(shù)知，AO=PO，BO=PO，又AB=m=AO-BO= PO- PO= . 所以答案選A.
【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的概念，熟練掌握銳角三角函數(shù)是本題解題關(guān)鍵.
5． (2023·上海徐匯·統(tǒng)考一模）跳傘運(yùn)動(dòng)員小李在200米的空中測(cè)得地面上的著落點(diǎn)的俯角為60°，那么此時(shí)小李離著落點(diǎn)的距離是（ ）
A．200米B．400米C．米D．米
【答案】D
【分析】已知直角三角形的一個(gè)銳角和直角邊求斜邊，運(yùn)用三角函數(shù)定義解答．
【解析】根據(jù)題意，此時(shí)小李離著落點(diǎn)A的距離是，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用--仰角俯角問(wèn)題，要求學(xué)生能借助俯角構(gòu)造直角三角形并解直角三角形．
6． (2023·上海松江·統(tǒng)考一模）如圖，一艘船從A處向北偏東30°的方向行駛10千米到B處，再?gòu)腂處向正西方向行駛20千米到C處，這時(shí)這艘船與A的距離（ ）
A．15千米B．10千米C．千米D．千米
【答案】C
【分析】根據(jù)題意，利用，根據(jù)銳角三角函數(shù)求出AD和BD的長(zhǎng)，從而得到CD的長(zhǎng)，再用勾股定理求出AC的長(zhǎng)．
【解析】解：如圖，
根據(jù)題意，，，
∴，
，
∵，
∴，
∴．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形，解題的關(guān)鍵是掌握利用銳角三角函數(shù)解直角三角形的方法．
二、填空題(共0分)
7． (2023·上海長(zhǎng)寧·統(tǒng)考二模）已知正六邊形外接圓的半徑為3，那么它的邊心距為 _____．
【答案】
【分析】根據(jù)正六邊形的性質(zhì)得到∠BOG＝∠BOC＝30°，再根據(jù)余弦的定義計(jì)算即可；
【解析】解：∵ABCDDEF為正六邊形，
∴∠BOC＝360°÷6＝60°，OG⊥BC．
∴∠BOG＝∠BOC＝30°．
在Rt△BOG中，cs∠BOG＝．
∵OB＝3，
∴OG＝OB?cs∠BOG＝3×＝．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了正多邊形的性質(zhì)和余弦的性質(zhì)，準(zhǔn)確分析計(jì)算是解題的關(guān)鍵．
8． (2023·上海奉賢·統(tǒng)考三模）已知一斜坡的坡比為1：2，坡角為，那么________．
【答案】
【分析】坡比坡角的正切值， 設(shè)豎直直角邊為，水平直角邊為，由勾股定理求出斜邊， 進(jìn)而可求出的正弦值 ．
【解析】解： 如圖所示：
由題意，得：，
設(shè)豎直直角邊為，水平直角邊為，
則斜邊，
則．
故答案為．
【點(diǎn)睛】此題主要考查坡比、坡角的關(guān)系以及勾股定理；熟記坡角的正切等于坡比是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
9． (2023·上海·統(tǒng)考一模）在中，，如果，，那么________________．
【答案】
【分析】直接根據(jù)，將已知條件代入，便可求出AC.
【解析】∵=2，，
∴，
故答案為：6.
【點(diǎn)睛】本題考查余切的定義，正確掌握余切的公式是解題的關(guān)鍵.
10． (2023·上海徐匯·校聯(lián)考中考模擬）在中，，是邊上的中線(xiàn)，如果，那么的值是__________．
【答案】
【分析】設(shè)CD=a，根據(jù)題意求出BC和AD，根據(jù)勾股定理求出AC，根據(jù)余弦的定義計(jì)算，得到答案．
【解析】如圖：
設(shè)CD=a，
∵AD是BC邊上的中線(xiàn)，
∴BC=2CD=2a，
∴AD=2BC=4a，
由勾股定理得，AC==a，
∴cs∠CAD===，
故答案為．
【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形，掌握勾股定理、余弦的定義是解題的關(guān)鍵．
11． (2023·上海青浦·統(tǒng)考一模）如圖，某水庫(kù)大壩的橫斷面是梯形ABCD，壩高為15米，迎水坡CD的坡度為1：2.4，那么該水庫(kù)迎水坡CD的長(zhǎng)度為_(kāi)____米．
【答案】39．
【分析】直接利用坡度的定義得出EC的長(zhǎng)，進(jìn)而利用勾股定理得出答案．
【解析】過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E，
∵壩高為15米，迎水坡CD的坡度為1：2.4，
∴DE＝15m，
則，
故EC＝2.4×15＝36（m），
則在Rt△DEC中，
DC＝＝39（m）．
故答案為39．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了坡度的定義，正確得出EC的長(zhǎng)是解題關(guān)鍵．
12． (2023·上海·統(tǒng)考一模）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，垂足為點(diǎn)D，如果BC＝4，sin∠DBC＝，那么線(xiàn)段AB的長(zhǎng)是_____．
【答案】2．
【分析】在中，根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系求出CD，根據(jù)勾股定理求出BD，在在中，再求出AB即可．
【解析】解：在Rt△BDC中，
∵BC＝4，sin∠DBC＝，
∴，
∴，
∵∠ABC＝90°，BD⊥AC，
∴∠A＝∠DBC，
在Rt△ABD中，
∴，
故答案為：2．
【點(diǎn)睛】考查直角三角形的邊角關(guān)系，勾股定理等知識(shí)，在不同的直角三角形中利用合適的邊角關(guān)系式正確解答的關(guān)鍵．
13． (2023·上海徐匯·校考一模）如圖，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，CE⊥AB于點(diǎn)E，csB＝，則＝_____．
【答案】.
【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到AD⊥BC，設(shè)BD＝5x，AB＝13x，根據(jù)勾股定理得到AD＝＝12x，求得BC＝2BD＝10x，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到BE＝x，CE＝x，于是得到結(jié)論．
【解析】∵AB＝AC，BD＝CD，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∵csB＝，
設(shè)BD＝5x，AB＝13x，
∴AD＝＝12x，
∴BC＝2BD＝10x，
∵CE⊥AB，
∴∠BEC＝90°，
∵∠B＝∠B，
∴△ABD∽△CBE，
∴，
∴，
∴BE＝x，CE＝x，
∴，
故答案為．
【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵．
14． (2023·上海·二模）如圖，已知Rt△ABC中，∠ABC＝90°，點(diǎn)D是AC邊的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)BD．將△ABC繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)B恰好落在射線(xiàn)BD上的點(diǎn)E處，點(diǎn)C落在點(diǎn)F處，聯(lián)結(jié)FD、FC．如果AB＝1，BC＝2時(shí)，那么∠CFD的正切值是____．
【答案】
【分析】旋轉(zhuǎn)后如圖示，過(guò)A作于 過(guò)作于 過(guò)作 交的延長(zhǎng)線(xiàn)于 過(guò)作于證明四邊形是矩形，再證明設(shè) 則 可得 求解 可得 連接 設(shè) 則 由建立方程求解，從而可得答案.
【解析】解：旋轉(zhuǎn)后如圖示，過(guò)A作于 過(guò)作于 過(guò)作 交的延長(zhǎng)線(xiàn)于 過(guò)作于
為的中點(diǎn)，


由旋轉(zhuǎn)可得：


四邊形是矩形，


同理可得：



設(shè) 則
則 所以

而





而

連接


設(shè) 則
由

解得： 則


故答案為：
【點(diǎn)睛】本題考查的是直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，掌握各圖形之間的聯(lián)系，作出正確的輔助線(xiàn)是解題的關(guān)鍵，是難度大的壓軸題.
三、解答題(共0分)
15． (2023·上?！ど虾Ｊ羞M(jìn)才中學(xué)?？家荒＃┤鐖D，在 中， ，，， CD⊥AB，垂足為 D．
(1)求 BD 的長(zhǎng)；
(2)設(shè)，，用，表示．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)解直角三角形，先求出CD的長(zhǎng)度，然后求出AD，由等角的三角函數(shù)值相等，有，即可求出BD的長(zhǎng)度；
（2）由（1）可求AB的長(zhǎng)度，根據(jù)三角形法則，求出，然后求出.
（1）
解：∵CD⊥AB，
∴∠ADC=∠BDC=90°，
在Rt△ACD中，，
∴．
∴，
∴．
∵∠ACB=90°，
∴∠DCB+∠B =∠A+∠B=90°，
∴∠DCB=∠A．
∴；
（2）
解：∵，
∴，
又∵，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形，向量的運(yùn)算，勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握解直角三角形求三角形的各邊長(zhǎng)度.
16． (2023·上海嘉定·統(tǒng)考一模）如圖，在中，，．
（1）求邊的長(zhǎng)度；
（2）求的值．
【答案】（1）12；（2）
【分析】（1）作，根據(jù)求出AE，再根據(jù)勾股定理求出BE，利用等腰三角形的三線(xiàn)合一的性質(zhì)得到BC；
（2））作，由AB=AC，證得∠B=∠C，得到csC=，，求出CF，AF，即可得到答案．
【解析】（1）作，垂足為點(diǎn)E．
∵，AB=10，
∴，
∴=6，
∴；
（2）作，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴csC=，
∴，
∴，
∴，
∴．
．
【點(diǎn)睛】此題考查等腰三角形的三線(xiàn)合一的性質(zhì)，解直角三角形的應(yīng)用，勾股定理，同角的三角函數(shù)值相等，引出輔助線(xiàn)構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．
17． (2023·上海楊浦·統(tǒng)考二模）如圖，已知在平行四邊形中，過(guò)點(diǎn)D作，垂足為點(diǎn)E，．
(1)求平行四邊形的面積；
(2)連接，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】對(duì)于（1），在中，根據(jù)，求出AE，再根據(jù)勾股定理求出DE，進(jìn)而求出面積即可；
對(duì)于（2），作，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得，可求出EB，進(jìn)而求出EF，根據(jù)勾股定理求CE，最后根據(jù)得出答案．
（1）
∵，
∴．
在中，．
又，
∴．
在中，，
∴
∴．
（2）
過(guò)E作，與的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)F．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
在中，，又，
∴．
在中，．
在中，．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，勾股定理等，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．
18． (2023·上海浦東新·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，點(diǎn)D在邊BC上，且BD＝3CD，DE⊥AB，垂足為點(diǎn)E，聯(lián)結(jié)CE．
（1）求線(xiàn)段AE的長(zhǎng)；
（2）求∠ACE的余切值．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根據(jù)銳角三角函數(shù)定義即可求出AE的長(zhǎng)；
（2）過(guò)點(diǎn)E作EH⊥AC于點(diǎn)H．根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得EH＝AH的值，再根據(jù)三角函數(shù)即可求出∠ACE的余切值．
【解析】解：（1）∵BC＝4，BD＝3CD，
∴BD＝3．
∵AB＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠A＝∠B＝45°．
∵DE⊥AB，
∴在Rt△DEB中，csB＝．
∴BE＝，
在Rt△ACB中，AB＝＝4，
∴AE＝.
（2）如圖，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥AC于點(diǎn)H．
∴在Rt△AHE中，csA＝，
AH=AE?cs45°=，
∴CH＝AC?AH＝4?＝ ，
∴EH=AH=，
∴在Rt△CHE中，ct∠ECB=，
即∠ECB的余切值是．
【點(diǎn)睛】此題考查解直角三角形、等腰直角三角形，解決本題的關(guān)鍵是掌握銳角三角函數(shù)定義．
19． (2023·上海奉賢·統(tǒng)考一模）如圖，是一個(gè)手機(jī)的支架，由底座、連桿和托架組成（連桿始終在同一平面內(nèi))，連桿垂直于底座且長(zhǎng)度為厘米，連桿的長(zhǎng)度為厘米，連桿的長(zhǎng)度可以進(jìn)行伸縮調(diào)整．
（1）如圖，當(dāng)連桿在一條直線(xiàn)上，且連桿的長(zhǎng)度為厘米,時(shí)，求點(diǎn)到底座的高度（計(jì)算結(jié)果保留一位小數(shù)）
（2）如圖，如果保持不變，轉(zhuǎn)動(dòng)連桿，使得，假如時(shí)為最佳視線(xiàn)狀態(tài)，求最佳視線(xiàn)狀態(tài)時(shí)連桿的長(zhǎng)度（計(jì)算結(jié)果保留一位小數(shù)）(參考數(shù)據(jù)：）
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，先求解 再利用 求解，從而可得答案；
（2）作，垂足分別為，證明：四邊形為矩形，求解：，從而可得的長(zhǎng)度，再利用，利用銳角三角函數(shù)可得答案．
【解析】解：（1）過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)
，
到底面高度為；
（2）作，垂足分別為
，
四邊形為矩形，
，
，
，

，

的長(zhǎng)度為．
【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形，矩形的判定與性質(zhì)，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
20． (2023·上海浦東新·統(tǒng)考三模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線(xiàn)與x軸交于點(diǎn)A（?3,0）和點(diǎn)B，與y軸相交于點(diǎn)C（0,3），拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為點(diǎn)D．
（1）求拋物線(xiàn)的表達(dá)式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）聯(lián)結(jié)AD、AC、CD，求∠DAC的正切值；
（3）如果點(diǎn)P是原拋物線(xiàn)上的一點(diǎn)，且∠PAB=∠DAC，將原拋物線(xiàn)向右平移m個(gè)單位（m>0），使平移后新拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，求平移距離．
【答案】(1)，（-1，4）； (2) ；(3) 平移距離為或
【分析】（1）利用待定系數(shù)法構(gòu)建方程組即可解決問(wèn)題．
（2）利用勾股定理求出AD，CD，AC，證明∠ACD=90°即可解決問(wèn)題．
（3）過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線(xiàn)，垂足為H．設(shè)P（a，-a2-2a+3），可得PH=|-a2-2a+3|，AH=a+3，由∠PAB=∠DAC，推出tan∠PAB=tan∠DAC=．接下來(lái)分兩種情形，構(gòu)建方程求解即可．
【解析】解：（1）拋物線(xiàn)交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，
根據(jù)題意，得：
解得,.
∴拋物線(xiàn)的表達(dá)式是，頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1，4）；
（2）∵A（-3，0），C（0，3），D（-1，4），
∴，
，
，
∵
∴，
∴，
∴；
（3）過(guò)點(diǎn)作軸垂線(xiàn)，垂足為點(diǎn)，
∵點(diǎn)是拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，
∴設(shè)，可得，，
∵，
∴；
（?。?解得（舍去），，
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，
過(guò)點(diǎn)作軸平行線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于點(diǎn)，則點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，
由拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性可得，
∴平移距離為；
（ⅱ），解得（舍去），，
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，
過(guò)點(diǎn)作軸平行線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于點(diǎn)，則點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，
由拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性可得，
∴平移距離為，
綜上所述，平移距離為或．
【點(diǎn)睛】本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法，勾股定理的逆定理，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用分類(lèi)討論的思想思考問(wèn)題，學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．
21． (2023·上海嘉定·統(tǒng)考一模）如圖，在矩形中，，，點(diǎn)E在邊上，．點(diǎn)F是線(xiàn)段上一點(diǎn)，連接，．
（1）如果，求線(xiàn)段的長(zhǎng)；
（2）如果．
①求證：；
②求線(xiàn)段的長(zhǎng)．
【答案】（1）；（2）①證明見(jiàn)解析；②．
【分析】（1）如圖：作，設(shè)、FG=2k,然后用k表示出BG，在根據(jù)AG+BG=AB求出K即可完成解答；
（2）①作，先用矩形的性質(zhì)和解三角形的相關(guān)知識(shí)求得EG、CG、FG，最后說(shuō)明即可證明；
②直接運(yùn)用線(xiàn)段的和差計(jì)算即可．
【解析】解：（1）如圖：作，設(shè)，
∵
∴,即，
∵
∴，
∴，即
∵AG+BG=AB
∴．
∴，
∴；
（2）作，
①∵矩形ABCD
∴BC=AD=8,CD=AB=6
∴=4
∵
∴即DE=4,
∴CE=CD-DE=6-4=2,
∵∠CEG=∠DEA
∴tan∠CEG=tan∠DEA=2
∴tan∠CEG=2=
設(shè)EG=m,則CG=2m
∴,即，解得m=
∴，
∴．
∴
∴；
②．
【點(diǎn)睛】本題屬于三角函數(shù)的綜合題，主要考查了解三角形、正切以及勾股定理等內(nèi)容，靈活運(yùn)用三角函數(shù)解直角三角形成為解答本題的關(guān)鍵．
已知條件
解法步驟
Rt△ABC
兩
邊
兩直角邊(a，b)
由求∠A，
∠B=90°－∠A，
斜邊，一直角邊(如c，a)
由求∠A，
∠B=90°－∠A，
一
邊
一
角
一直角邊
和一銳角
銳角、鄰邊
(如∠A，b)
∠B=90°－∠A，
，
銳角、對(duì)邊
(如∠A，a)
∠B=90°－∠A，
，
斜邊、銳角(如c，∠A)
∠B=90°－∠A，
，

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