例題（2022·全國·八年級）如圖1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，AC＝8，點P為AC邊上的一個動點，過點P作PD⊥AB于點D，求PB+PD的最小值．請在橫線上補充其推理過程或理由．
練習題
1．（2020·山東·東營市實驗中學三模）如圖，正方形ABCD的邊長為8，點M在DC上且DM＝2，N是AC上的一動點，則DN＋MN的最小值是______．
2．（2022·廣西·上思縣教育科學研究所八年級期末）如圖，正△ABC的邊長為2，過點B的直線l⊥AB，且△ABC與△A′BC′關(guān)于直線l對稱，D為線段BC′上一動點，則AD+CD的最小值是_____．
3．（2022·甘肅慶陽·八年級期末）如圖，在等邊△ABC中，E為AC邊的中點，AD垂直平分BC，P是AD上的動點．若AD=6，則EP+CP的最小值為_______________．
4．（2021·貴州·峰林學校八年級期中）如圖，方格圖中每個小正方形的邊長為1，點A，B，C都是格點．
（1）畫出△ABC關(guān)于直線MN對稱的．
（2）若B為坐標原點，請寫出、、的坐標，并直接寫出的長度．．
（3）如圖2，A，C是直線同側(cè)固定的點，D是直線MN上的一個動點，在直線MN上畫出點D，使最?。ūＡ糇鲌D痕跡）
5．（2022·湖南師大附中博才實驗中學九年級開學考試）如果有一條直線經(jīng)過三角形的某個頂點，將三角形分成兩個三角形，其中一個三角形與原三角形相似，則稱該直線為三角形的“自相似分割線”．如圖1，在△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=108°，DE垂直平分AB，且交BC于點D，連接AD．
(1)證明直線AD是△ABC的自相似分割線；
(2)如圖2，點P為直線DE上一點，當點P運動到什么位置時，PA+PC的值最?。壳蟠藭rPA+PC的長度．
(3)如圖3，射線CF平分∠ACB，點Q為射線CF上一點，當取最小值時，求∠QAC的正弦值．
6．（2021·江蘇·南京鄭和外國語學校九年級期中）問題情境：如圖1，P是⊙O外的一點，直線PO分別交⊙O于點A，B，則PA是點P到⊙O上的點的最短距離．
（1）探究證明：如圖2，在⊙O上任取一點C（不與點A，B重合），連接PC，OC．求證：PA＜PC．
（2）直接應用：如圖3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，以BC為直徑的半圓交AB于D，P是弧CD上的一個動點，連接AP，則AP的最小值是 ．
（3）構(gòu)造運用：如圖4，在邊長為2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD邊的中點，N是AB邊上一動點，將△AMN沿MN所在的直線翻折得到△A1MN，連接A1B，則A1B長度的最小值為 ．
（4）綜合應用：如圖5，平面直角坐標系中，分別以點A（﹣2，3），B（4，5）為圓心，以1，2為半徑作⊙A，⊙B，M，N分別是⊙A，⊙B上的動點，P為x軸上的動點，直接寫出PM+PN的最小值為 ．
二、線段最值問題
例題在銳角△ABC中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，將△ABC繞點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，得到△A1BC1．
（1）如圖1，當點C1在線段CA的延長線上時，求∠CC1A1的度數(shù)；
（2）如圖2，連接AA1，CC1．若△ABA1的面積為4，求△CBC1的面積；
（3）如圖3，點E為線段AB中點，點P是線段AC上的動點，在△ABC繞點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)過程中，點P的對應點是點P1，求線段EP1長度的最大值與最小值．
練習題
1．（2021·廣東·鐵一中學九年級期中）如圖，⊙M的半徑為2，圓心M的坐標為（3，4），點P是⊙M上的任意一點，PA⊥PB，且PA、PB與x軸分別交于A、B兩點，若點A、點B關(guān)于原點O對稱，則AB的最小值為（ ）
A．3B．4C．5D．6
2．（2019·廣西玉林·中考真題）如圖，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，點O是AB的三等分點，半圓O與AC相切，M，N分別是BC與半圓弧上的動點，則MN的最小值和最大值之和是（ ）
A．5B．6C．7D．8
3．（2021·四川師范大學附屬中學九年級階段練習）如圖，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，點E，F(xiàn)分別在邊AB，邊BC上運動，點G在矩形內(nèi)，且DG⊥CG，EF⊥FG，F(xiàn)G：EF＝1：2，則線段GF的最小值為_______．
4．（2021·全國·九年級專題練習）如圖，正方形ABCD的邊長為4，E為BC上一點，且BE＝1，F(xiàn)為AB邊上的一個動點，連接EF，以EF為邊向右側(cè)作等邊△EFG，連接CG，則CG的最小值為______．
5．（2021·全國·九年級專題練習）在邊長為2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD邊的中點，若線段MA繞點M旋轉(zhuǎn)得線段MA′．
（1）如圖①，線段MA'的長＝___．
（2）如圖②，連接A'C，則A'C長度的最小值是___．
6．（2020·江蘇揚州·中考真題）如圖，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，點E為邊AB上的一個動點，連接ED并延長至點F，使得 SKIPIF 1 < 0 ，以EC、EF為鄰邊構(gòu)造 SKIPIF 1 < 0 ，連接EG，則EG的最小值為________．
三、周長、面積最值問題
例題（2021·云南昭通·八年級期中）如圖，在 SKIPIF 1 < 0 中，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的垂直平分線交 SKIPIF 1 < 0 于點D，交 SKIPIF 1 < 0 于點E，連接 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的度數(shù)；
（2）若點P為直線 SKIPIF 1 < 0 上一點， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 周長的最小值．
練習題
1．（2021·陜西·西安交通大學附屬中學航天學校八年級階段練習）如圖，凸四邊形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，若點M、N分別為邊 SKIPIF 1 < 0 上的動點，則 SKIPIF 1 < 0 的周長最小值為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．6D．3
2．（2021·河南省直轄縣級單位·八年級期末）如圖，在直角坐標系中，點A（2，2），C（4，4）是第一象限角平分線上的兩點，點B的縱坐標為2，且BA＝CB，在y軸上取一點D，連接AB，BC，AD，CD，使得四邊形ABCD的周長最小，則這個周長的最小值為____．
3．（2021·全國·九年級專題練習）如圖，∠AOB＝45°，角內(nèi)有一點P，PO＝10，在角兩邊上有兩點Q、R（均不同于點O），則△PQR的周長最小值是____；當△PQR周長最小時，∠QPR的度數(shù)＝__．
4．（2021·湖北武漢·八年級期中）如圖，將△ABC沿AD折疊使得頂點C恰好落在AB邊上的點M處，D在BC上，點P在線段AD上移動，若AC＝6，CD＝3，BD＝7，則△PMB周長的最小值為 ___．
5．（2021·云南紅河·八年級期末）在平面直角坐標系中，矩形紙片AOBC按如圖方法放置，點A、B分別在y軸和x軸上，已知OA=2，OB=4，點D在邊AC上，且AD=1．

解答下列問題．
（1）點C的坐標為 _______；
（2）在x軸上有一點E，使得△CDE的周長最短，求出點E的坐標及直線CE的解析式．
（3）在平面直角坐標系內(nèi)是否存在點P，使得以C、D、P、E為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由．
6．（2021·山東·日照市田家炳實驗中學一模）如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）過原點O和點A(3，﹣3)，F(xiàn)(1， SKIPIF 1 < 0 )是該拋物線對稱軸上的一個定點，過y軸上的點B(0， SKIPIF 1 < 0 )作y軸的垂線l．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點P(m，n)是拋物線上的任意一點，過點P作直線l的垂線，垂足為M．求證：點P在線段FM的垂直平分線上；
（3）點E為線段OA的中點，在拋物線上是否存在點Q，使 SKIPIF 1 < 0 QEF周長最??？若存在，求點Q的坐標和 SKIPIF 1 < 0 QEF周長的最小值；若不存在，請說明理由．
7．（2021·重慶市萬盛經(jīng)濟技術(shù)開發(fā)區(qū)溱州中學九年級階段練習）已知如圖，在 SKIPIF 1 < 0 中，點 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 邊上一點，連接 SKIPIF 1 < 0 ，點 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 上一動點，連接 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）如圖1，當 SKIPIF 1 < 0 時，連接 SKIPIF 1 < 0 ，延長 SKIPIF 1 < 0 交于點 SKIPIF 1 < 0 ，求證： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）如圖2，以 SKIPIF 1 < 0 為直角邊作等腰 SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，當點 SKIPIF 1 < 0 在運動過程中，求 SKIPIF 1 < 0 周長的最小值．
8．（2022·廣東廣州·八年級期末）在長方形ABCD中，AB＝4，BC＝8，點P、Q為BC邊上的兩個動點（點P位于點Q的左側(cè)，P、Q均不與頂點重合），PQ＝2
(1)如圖①，若點E為CD邊上的中點，當Q移動到BC邊上的中點時，求證：AP＝QE；
(2)如圖②，若點E為CD邊上的中點，在PQ的移動過程中，若四邊形APQE的周長最小時，求BP的長；
(3)如圖③，若M、N分別為AD邊和CD邊上的兩個動點（M、N均不與頂點重合），當BP＝3，且四邊形PQNM的周長最小時，求此時四邊形PQNM的面積．
9．（2021·湖北·沙市中學九年級階段練習）如圖，拋物線 SKIPIF 1 < 0 交x軸于 SKIPIF 1 < 0 兩點，交y軸于點C SKIPIF 1 < 0 ，點Q為線段 SKIPIF 1 < 0 上的動點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）求 SKIPIF 1 < 0 的最小值；
（3）過點Q作 SKIPIF 1 < 0 交拋物線的第四象限部分于點P，連接 SKIPIF 1 < 0 ，記 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的面積分別為 SKIPIF 1 < 0 ，設 SKIPIF 1 < 0 ，當S最大時，求點P的坐標，并求S的最大值．
四、隱形圓問題
例題（2021·全國·九年級專題練習）如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，點E，F(xiàn)分別是邊CD，BC上的動點，且∠AFE＝90°
（1）證明：△ABF∽△FCE；
（2）當DE取何值時，∠AED最大．
練習題
1．（2021·山東濟南·二模）如圖，菱形ABCD的邊AB=8，∠B=60°，BP=3，Q是CD邊上一動點，將梯形APQD沿直線PQ折疊，A的對應點為A′．當CA′的長度最小時，CQ的長為（ ）
A．5B．7C．8D．6.5
2．（2021·全國·九年級課時練習）如圖，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 cm， SKIPIF 1 < 0 cm． SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 邊上的一個動點，連接 SKIPIF 1 < 0 ，過點 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ，在點 SKIPIF 1 < 0 變化的過程中，線段 SKIPIF 1 < 0 的最小值是（ ）
A．1B． SKIPIF 1 < 0 C．2D． SKIPIF 1 < 0
3．（2022·湖北荊州·九年級期末）如圖，長方形ABCD中， SKIPIF 1 < 0 ，BC=2，點E是DC邊上的動點，現(xiàn)將△BEC沿直線BE折疊，使點C落在點F處，則點D到點F的最短距離為________．
4．（2022·重慶·一模）如圖，已知 SKIPIF 1 < 0 ，外心為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，分別以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 為腰向形外作等腰直角三角形 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 交于點 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的最小值是______．
5．（2021·江蘇泰州·九年級期中）如圖，在Rt SKIPIF 1 < 0 ABC中，∠ACB＝90°，D為AC的中點，M為BD的中點，將線段AD繞A點任意旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)過程中始終保持點M為BD的中點），若AC＝8，BC＝6，那么在旋轉(zhuǎn)過程中，線段CM長度的取值范圍是____．
6．（2021·山東濰坊·九年級期中）如圖，點 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的坐標分別為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 為坐標平面內(nèi)一動點，且 SKIPIF 1 < 0 ，點 SKIPIF 1 < 0 為線段 SKIPIF 1 < 0 的中點，連接 SKIPIF 1 < 0 ，當 SKIPIF 1 < 0 取最大值時，點 SKIPIF 1 < 0 的縱坐標為____．
7．（2021·全國·九年級課時練習）如圖， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的直徑， SKIPIF 1 < 0 ，點C為 SKIPIF 1 < 0 上一點， SKIPIF 1 < 0 ，點 SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 上一動點，點 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中點，求 SKIPIF 1 < 0 的最小值．
8．（2021·湖北·武漢第三寄宿中學九年級階段練習）問題背景如圖（1），△ABC為等腰直角三角形，∠BAC＝90°，直線l繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)，過B，C兩點分別向直線l作垂線BD，CE，垂足為D，E，此時△ABD可以由△CAE通過旋轉(zhuǎn)變換得到，請寫出旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向及旋轉(zhuǎn)角的大小（取最小旋轉(zhuǎn)角度）．
嘗試應用如圖（2），△ABC為等邊三角形，直線l繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)，D、E為直線l上兩點，∠BDA＝∠AEC＝60°．△ABD可以由△CAE通過旋轉(zhuǎn)變換得到嗎？若可以，請指出旋轉(zhuǎn)中心O的位置并說明理由；
拓展創(chuàng)新如圖（3）在問題背景的條件下，若AB＝2，連接DC，直接寫出CD的長的取值范圍．
9．（2022·重慶忠縣·九年級期末）已知等腰直角 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 有公共頂點 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．現(xiàn)將 SKIPIF 1 < 0 繞點 SKIPIF 1 < 0 旋轉(zhuǎn)．
(1)如圖①，當點 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在同一直線上時，點 SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 的中點，求 SKIPIF 1 < 0 的長；
(2)如圖②，連接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．點 SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 的中點，連接 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于點 SKIPIF 1 < 0 ，求證： SKIPIF 1 < 0 ；
(3)如圖③，點 SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 的中點，以 SKIPIF 1 < 0 為直角邊構(gòu)造等腰 SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 繞點 SKIPIF 1 < 0 旋轉(zhuǎn)過程中，當 SKIPIF 1 < 0 最小時，直接寫出 SKIPIF 1 < 0 的面積．

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