中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)培優(yōu)專練專題一規(guī)律探究問題（2份打包，原卷版+解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

例題1 （2021·山東青島·一模）相傳古印度一座梵塔圣殿中鑄有一片巨大的黃銅板，之上樹立了3根寶石柱，其中一根寶石柱上插有中心有孔的64個(gè)大小兩兩相異的1寸厚的金盤，小金盤壓著較大的金盤．如圖，把這些金盤全部一個(gè)一個(gè)地從1柱移動(dòng)到3柱上去，移動(dòng)過程中不允許大金盤壓小金盤，不得把金盤放到柱子之外．
[問題提出]如果將這64個(gè)金盤按上述要求全部從1柱移動(dòng)到3柱，至少需要移動(dòng)多少次？設(shè)h（n）是把n個(gè)金盤從1柱移動(dòng)到3柱過程中的最少移動(dòng)次數(shù)．
[問題探究]
探究一：當(dāng)n＝1時(shí)，顯然h（1）＝1．
探究二：當(dāng)n＝2時(shí)，如圖①．
探究三：當(dāng)n＝3時(shí)，如圖②．
(1)探究四：當(dāng)n＝4時(shí)，先用h（3）的方法把較小的3個(gè)金盤移動(dòng)到2柱，再將最大金盤移動(dòng)到3柱，最后再用h（3）的方法把較小的3個(gè)金盤從2柱移動(dòng)到3柱，完成，即h（4）＝（直接寫出結(jié)果）．
…
(2)[初級(jí)模型]若將x個(gè)金盤按要求全部從1柱移動(dòng)到3柱，至少需要移動(dòng)a次；將（x+1）個(gè)金盤按要求全部從1柱移動(dòng)到3柱，至少需要移動(dòng) 次（用含a的代數(shù)式表示）．
(3)[自主探究]仿照“問題探究”中的方法，將6個(gè)金盤按要求全部從1柱移動(dòng)到3柱，至少需要多少次？（寫出必要的計(jì)算過程．）
(4)[最終模型]綜合收集到的數(shù)據(jù)探索規(guī)律可知：將64個(gè)金盤按上述要求全部從1柱移動(dòng)到3柱，至少需要移動(dòng) 次．
(5)[問題變式]若在原來?xiàng)l件的基礎(chǔ)上，再添加1個(gè)條件：每次只能將金盤向相鄰的柱子移動(dòng)（即：2柱的金盤可以移動(dòng)到1柱或3柱，但1柱或3柱的金盤只能移動(dòng)到2柱），則移動(dòng)完64個(gè)金盤至少需要移動(dòng) 次．
練習(xí)題
1．（2021·山東蒙陰·三模）下列圖形是由同樣大小的圍棋棋子按照一定規(guī)律擺成的“山”字，其中第①個(gè)“山”字中有7顆棋子，第②個(gè)“山”字中有12顆棋子，第③個(gè)“山”字中有17顆棋子，…，按照此規(guī)律，第⑥個(gè)“山”字中棋子顆數(shù)為（）顆．
A．32B．37C．22D．42
2．（2021·重慶十八中模擬預(yù)測(cè)）下列圖形都是由同樣大小的黑點(diǎn)按一定規(guī)律組成的，其中第①個(gè)圖形中一共有3個(gè)黑點(diǎn)，第②個(gè)圖形中一共有8個(gè)黑點(diǎn)，……，則第⑧個(gè)圖形中黑點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（）
A．29B．38C．48D．593．（2022·重慶·一模）如圖，第①個(gè)圖形中共有4個(gè)小黑點(diǎn)，第②個(gè)圖形中共有7個(gè)小黑點(diǎn)，第③個(gè)圖形中共有10個(gè)小黑點(diǎn)，第④個(gè)圖形中共有13個(gè)小黑點(diǎn)，……，按此規(guī)律排列下去，則第⑥個(gè)圖形中小黑點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）
A．19B．20C．22D．25
4．（2021·山東省日照市實(shí)驗(yàn)中學(xué)二模）如圖，將△ABC沿著過BC，AB的中點(diǎn)D，E所在的直線折疊，使點(diǎn)B落在AC邊上的B1處，稱為第一次操作，點(diǎn)D到AC的距離為h1；還原紙片后，再將△BDE沿著過BD，BE的中點(diǎn)D1，E1所在的直線折疊，使點(diǎn)B落在DE邊上的B2處，稱為第二次操作，點(diǎn)D1到AC的距離記為h2；按上述方法不斷操作下去，…，經(jīng)過第n次操作后得到點(diǎn)Dn﹣1到AC的距離記為hn．若h1＝1，則hn值為（）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
5．（2021·湖南師大附中博才實(shí)驗(yàn)中學(xué)一模）如圖：上述圖形是由同樣大小的棋子按照一定規(guī)律排列而成的，其中圖1中有5個(gè)棋子，圖2中有10個(gè)棋子，圖3中有16個(gè)棋子，…，則圖4中有_________個(gè)棋子．
6．（2021·河南武陟·一模）如圖，某圖書閱覽室擺放桌椅如下：按此規(guī)律擺放，2n+1（n是不小于4的自然數(shù)）人需要 ________張桌子．
7．（2021·內(nèi)蒙古東勝·二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中， SKIPIF 1 < 0 將 SKIPIF 1 < 0 繞A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到 SKIPIF 1 < 0 ，此時(shí) SKIPIF 1 < 0 ﹔將 SKIPIF 1 < 0 繞點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到 SKIPIF 1 < 0 ，此時(shí) SKIPIF 1 < 0 將 SKIPIF 1 < 0 繞點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 繼續(xù)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，此時(shí) SKIPIF 1 < 0 …按此規(guī)律繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，直至得到點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 為止，則 SKIPIF 1 < 0 _________．
8．（2021·山東博山·二模）德國數(shù)學(xué)家康托爾引入位于一條線段上的一些點(diǎn)的集合，做如下：
取一條長度為1的線段三等分后，去掉中間段，余下兩條線段，達(dá)到第1階段；
將剩下的兩條線段分別三等分后，各去掉中間段，余下四條線段，達(dá)到第2階段；
再將剩下四條線段分別等三等分后，各去掉中間段，余下八條線段，達(dá)到第3階段；
…，
一直如此操作下去，在不斷分割舍棄過程中，所形成的線段數(shù)目越來越多．
如圖是最初幾個(gè)階段，當(dāng)達(dá)到第n個(gè)階段時(shí)（n為正整數(shù)），去掉的線段的長度之和為_____．（用含n的式子表示）
9．（2021·臺(tái)灣·模擬預(yù)測(cè)）凱特平時(shí)常用底面為矩形的模具制作蛋糕，并以平行于模具任一邊的方式進(jìn)行橫切或縱切，橫切都是從模具的左邊切割到模具的右邊，縱切都是從模具的上邊切割到模具的下邊 SKIPIF 1 < 0 用這種方式，可以切出數(shù)個(gè)大小完全相同的小塊蛋糕 SKIPIF 1 < 0 在切割后，他發(fā)現(xiàn)小塊蛋糕接觸模具的地方外皮比較焦脆，以如圖為例，橫切2刀，縱切3刀，共計(jì)5刀，切出 SKIPIF 1 < 0 個(gè)小塊蛋糕，其中側(cè)面有焦脆的小塊蛋糕共有10個(gè)，所有側(cè)面都不焦脆的小塊蛋糕共有2個(gè)．
請(qǐng)根據(jù)上述切割方式，回答下列問題，并詳細(xì)解釋或完整寫出你的解題過程：
（1）若對(duì)一塊蛋糕切了4刀，則可切出幾個(gè)小塊蛋糕？請(qǐng)寫出任意一種可能的蛋糕塊數(shù)即可．
（2）今凱特根據(jù)一場(chǎng)聚餐的需求，打算制作出恰好60個(gè)所有側(cè)面都不焦脆的小塊蛋糕，為了避免勞累并加快出餐速度，在不超過20刀的情況下，請(qǐng)問凱特需要切幾刀，才可以達(dá)成需求？請(qǐng)寫出所有可能的情形．
10．（2022·山東青島·模擬預(yù)測(cè)）問題提出：如圖1，在 SKIPIF 1 < 0 個(gè)小正方體組成的長方體中，最多能看到多少個(gè)小正方體？
研究思路：直接研究這個(gè)問題較為復(fù)雜，我們可以將問題轉(zhuǎn)化為用小正方體總數(shù)減去看不到的小正方體個(gè)數(shù)，以求得最多能看到的小正方體的個(gè)數(shù)．
探究一：如圖2，在 SKIPIF 1 < 0 的正方體中，有 SKIPIF 1 < 0 個(gè)小正方體看不到，所以最多能看到 SKIPIF 1 < 0 個(gè)小正方體．
探究二：在 SKIPIF 1 < 0 的正方體中，有 SKIPIF 1 < 0 個(gè)小正方體看不到，所以最多能看到 SKIPIF 1 < 0 個(gè)小正方體．
(1)探究三：在 SKIPIF 1 < 0 的正方體中，有 SKIPIF 1 < 0 個(gè)小正方體看不到，所以最多能看到個(gè)小正方體．
(2)探究四：在 SKIPIF 1 < 0 的正方體中，有個(gè)小正方體看不到，所以最多能看到個(gè)小正方體．（均化為最簡(jiǎn)形式）
(3)問題解決：如圖3，小明是魔方愛好者，他有一個(gè)七階魔方（ SKIPIF 1 < 0 的正方體），則他最多能看到個(gè)小正方體．
(4)問題應(yīng)用：若在 SKIPIF 1 < 0 的正方體中最多能看到217個(gè)小正方體，求n的值．（寫出解答過程）
(5)探究五：在 SKIPIF 1 < 0 的長方體中，有 SKIPIF 1 < 0 個(gè)小正方體看不到，所以最多能看到個(gè)小正方體．
(6)探究六：在 SKIPIF 1 < 0 的長方體中，最多能看到個(gè)小正方體．（化為最簡(jiǎn)形式）
(7)拓展延伸：小明在研究 SKIPIF 1 < 0 的長方體時(shí)，他最多能看到a個(gè)小正方體，此時(shí)他看不到12個(gè)小正方體，則a有種可能取值，a的最小值是．
11．（2021·山東青島·三模）【問題提出】
每對(duì)小兔子在出生后1個(gè)月就長成大兔子，而每對(duì)大兔子每個(gè)月能生出1對(duì)小兔子來，如果1個(gè)人在1月份買了1對(duì)小兔子，假設(shè)每對(duì)兔子均可成活，且具有繁殖能力，那么理論上12月份的時(shí)候他共有多少對(duì)兔子？
(1)【問題探究】
1月份，有1對(duì)小兔子；
2月份，長成大兔子，所以還是1對(duì)；
3月份，大兔子生下1對(duì)小兔子，所以共有2對(duì)；
4月份，剛生下的小兔子長成大兔子，而原來的大兔子又生下1對(duì)小兔子，共3對(duì)；
…
依此類推，請(qǐng)?zhí)钕卤恚?br>(2)【類比應(yīng)用】
樹木生長的過程中，新生的枝條往往需要一段“休息”時(shí)間供自身生長，而后才能萌發(fā)新枝．一棵苗在1年后長出1條新枝，第2年新枝“休息”，老枝依舊萌發(fā)新枝；此后，老枝與“休息”過1年的同時(shí)萌發(fā)新枝，當(dāng)年生的新枝則依次“休息”，這在生物學(xué)上稱為“魯?shù)戮S格定律”．那么，10年后樹上有條樹枝．
(3)【綜合應(yīng)用】
如圖①，一只蜜蜂從A處出發(fā)，回到家里B處，每次只能從一個(gè)蜂房爬向右側(cè)鄰近的蜂房而不準(zhǔn)逆行，共有種回家的方法；
(4)如圖②，在正五邊形ABCDE上，一只青蛙從點(diǎn)A開始跳動(dòng)，每次可以隨意跳到相鄰兩個(gè)頂點(diǎn)中的一個(gè)上，跳到點(diǎn)D上就停止跳動(dòng)．青蛙在6次之內(nèi)（含6次）跳到點(diǎn)D有種不同的跳法．
二、數(shù)字規(guī)律探究題
例題2（2021·山東·青島經(jīng)濟(jì)技術(shù)開發(fā)區(qū)第四中學(xué)一模）閱讀下面的材料：
按照一定順序排列著的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)，排在第一位的數(shù)稱為第一項(xiàng)，記為 SKIPIF 1 < 0 ，排在第二位的數(shù)稱為第二項(xiàng)，記為 SKIPIF 1 < 0 ，依次類推，排在第 SKIPIF 1 < 0 位的數(shù)稱為第 SKIPIF 1 < 0 項(xiàng)，記為 SKIPIF 1 < 0 ．所以，數(shù)列的一般形式可以寫成： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用 SKIPIF 1 < 0 表示．如：數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,…為等差數(shù)列，其中 SKIPIF 1 < 0 ,公差 SKIPIF 1 < 0 ．
根據(jù)以上材料，解答下列問題：
(1)等差數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,…的公差 SKIPIF 1 < 0 為________，第 SKIPIF 1 < 0 項(xiàng)是________．
(2)如果一個(gè)數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是等差數(shù)列，且公差為 SKIPIF 1 < 0 ，那么根據(jù)定義可得到： SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
由此，請(qǐng)你填空完成等差數(shù)列的通項(xiàng)公式： SKIPIF 1 < 0 （_____）d．
(3) SKIPIF 1 < 0 是不是等差數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的項(xiàng)？如果是，是第幾項(xiàng)？
練習(xí)題
1．（2021·山東濟(jì)寧·中考真題）按規(guī)律排列的一組數(shù)據(jù)： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，□， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，…，其中□內(nèi)應(yīng)填的數(shù)是（）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2．（2021·湖北十堰·中考真題）將從1開始的連續(xù)奇數(shù)按如圖所示的規(guī)律排列，例如，位于第4行第3列的數(shù)為27，則位于第32行第13列的數(shù)是（）
A．2025B．2023C．2021D．2019
3．（2021·山東沂水·一模）觀察下列兩行數(shù)：
0，2，4，6，8，10，12，14，16，…
0，3，6，9，12，15，18，21，24，…
探究發(fā)現(xiàn)：第1個(gè)相同的數(shù)是0，第2個(gè)相同的數(shù)是6，…，若第n個(gè)相同的數(shù)是102，則n等于( )
A．18B．19C．20D．21
4．（2022·湖北房縣·模擬預(yù)測(cè)）按一定規(guī)律排列的多項(xiàng)式： SKIPIF 1 < 0 ，…，根據(jù)上述規(guī)律，則第2022個(gè)多項(xiàng)式是（）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
5．（2020·河北灤州·模擬預(yù)測(cè)）古希臘著名的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派把1、3、6、10…這樣的數(shù)稱為“三角形數(shù)”，而把1、4、9、16…這樣的數(shù)稱為“正方形數(shù)”．從圖7中可以發(fā)現(xiàn)，任何一個(gè)大于1的“正方形數(shù)”都可以看作兩個(gè)相鄰“三角形數(shù)”之和．下列等式中，符合這一規(guī)律的是（）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
6．（2021·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）如圖，小明在3×3的方格紙上寫了九個(gè)式子（其中的n是正整數(shù)），每行的三個(gè)式子的和自上而下分別記為A1，A2，A3，每列的三個(gè)式子的和自左至右分別記為B1，B2，B3，其中，值可以等于789的是（）
A．A1B．B1C．A2D．B3
7．（2021·湖北鶴峰·模擬預(yù)測(cè)）觀察下列一組數(shù)的排列規(guī)律： SKIPIF 1 < 0 那么這一組數(shù)的第2021個(gè)數(shù)
__．
8．（2021·山東費(fèi)縣·二模）在數(shù)的學(xué)習(xí)過程中，我們總會(huì)對(duì)其中一些具有某種特性的數(shù)充滿好奇，如學(xué)習(xí)自然數(shù)時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)一種特殊的自然數(shù)---“好數(shù)”．定義：對(duì)于三位自然數(shù)n，各位數(shù)字都不為0，且百位數(shù)字與十位數(shù)字之和恰好能被個(gè)位數(shù)字整除，則稱這個(gè)自然數(shù)為“好數(shù)”，如426是“好數(shù)”，因?yàn)?，2，6都不為0，且4+2=6，6能被6整除；643不是“好數(shù)”，因?yàn)?+4=10，10不能被3整除，問百位數(shù)字比十位數(shù)字大5的所有“好數(shù)”有__________個(gè)．
9．（2021·安徽·二模）觀察下列各個(gè)等式：
第1個(gè)等式： SKIPIF 1 < 0 ÷ SKIPIF 1 < 0 －0=1；
第2個(gè)等式： SKIPIF 1 < 0 ÷ SKIPIF 1 < 0 －1= SKIPIF 1 < 0 ；
第3個(gè)等式： SKIPIF 1 < 0 ÷ SKIPIF 1 < 0 －2= SKIPIF 1 < 0 ；
……
請(qǐng)用上述等式反映出的規(guī)律解決下列問題：
（1）直接寫出第5個(gè)等式；
（2）寫出你猜想的第n個(gè)等式（用含n的代數(shù)式表示），并證明你的猜想．
10．（2021·重慶市永川區(qū)教育科學(xué)研究所一模）如果一個(gè)正整數(shù)能表示為兩個(gè)正整數(shù)的平方差，那么稱這個(gè)正整數(shù)為“智慧數(shù)”，否則稱這個(gè)正整數(shù)為“非智慧數(shù)”．例如： SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ；，等等．因此3，5，8，，都是“智慧數(shù)”；而1，2，4，，都是“非智慧數(shù)”．對(duì)于“智慧數(shù)”，有如下結(jié)論：
①設(shè) SKIPIF 1 < 0 為正整數(shù)（ SKIPIF 1 < 0 ），則 SKIPIF 1 < 0 ．∴除1以外，所有的奇數(shù)都是“智慧數(shù)”；
②設(shè) SKIPIF 1 < 0 為正整數(shù)（ SKIPIF 1 < 0 ），則 SKIPIF 1 < 0 = ．∴ 都是“智慧數(shù)”．
(1)補(bǔ)全結(jié)論②中的空缺部分；并求出所有大于5而小于20的“非智慧數(shù)”；
(2)求出從1開始的正整數(shù)中從小到大排列的第103個(gè)“智慧數(shù)”．
11．（2021·山東禹城·二模）閱讀下面的材料：按照一定順序排列著的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)．排在第一位的數(shù)稱為第一項(xiàng)，記為 SKIPIF 1 < 0 ，排在第二位的數(shù)稱為第二項(xiàng)，記為 SKIPIF 1 < 0 ，依次類推，排在第n位的數(shù)稱為第n項(xiàng)，記為 SKIPIF 1 < 0 ．所以，數(shù)列的一般形式可以寫成： SKIPIF 1 < 0 ．
一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用d表示．如：數(shù)列1，3，5，7，…為等差數(shù)列，其中 SKIPIF 1 < 0 ，公差為 SKIPIF 1 < 0 ．
根據(jù)以上材料，解答下列問題：
（1）等差數(shù)列5，10，15，…的公差d為__________，第5項(xiàng)是__________．
（2）如果一個(gè)數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 ，是等差數(shù)列，且公差為d，那么根據(jù)定義可得到：
SKIPIF 1 < 0 ．
所以
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
……
由此，請(qǐng)你填空完成等差數(shù)列的通項(xiàng)公式： SKIPIF 1 < 0 ．
（3） SKIPIF 1 < 0 是不是等差數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的項(xiàng)？如果是，是第幾項(xiàng)？
（4）如果一個(gè)數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 是等差數(shù)列，且公差為d，前n項(xiàng)的和記為 SKIPIF 1 < 0 ，請(qǐng)用含 SKIPIF 1 < 0 ，n，d的代數(shù)式表示 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 _________．
三、與代數(shù)計(jì)算有關(guān)的規(guī)律探究題
例題3 （2021·山東·利津縣第一實(shí)驗(yàn)學(xué)校一模）探索發(fā)現(xiàn)：
SKIPIF 1 < 0 ＝1－ SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 － SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 － SKIPIF 1 < 0
根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，回答下列問題：
（1） SKIPIF 1 < 0 ＝__________； SKIPIF 1 < 0 ＝__________；
（2）利用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律計(jì)算：
SKIPIF 1 < 0 ＋ SKIPIF 1 < 0 ＋ SKIPIF 1 < 0 ＋···＋ SKIPIF 1 < 0
（3）利用以上規(guī)律解方程：
SKIPIF 1 < 0 ＋ SKIPIF 1 < 0 ＋···＋ SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0
練習(xí)題
1．（2021·湖北鄂州·中考真題）已知 SKIPIF 1 < 0 為實(shí)數(shù)﹐規(guī)定運(yùn)算： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，……， SKIPIF 1 < 0 ．按上述方法計(jì)算：當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 的值等于（）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2．（2021·浙江余杭·一模）a是不為2的有理數(shù)，我們把 SKIPIF 1 < 0 稱為a的“哈利數(shù)”．如：3的“哈利數(shù)”是 SKIPIF 1 < 0 ＝﹣2，﹣2的“哈利數(shù)”是 SKIPIF 1 < 0 ，已知a1＝3，a2是a1的“哈利數(shù)”，a3是a2的“哈利數(shù)”，a4是a3的“哈利數(shù)”，…，依此類推，則a2019＝（）
A．3B．﹣2C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
3．（2020·廣西賀州·中考真題）我國宋代數(shù)學(xué)家楊輝發(fā)現(xiàn)了 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ，1，2，3，…）展開式系數(shù)的規(guī)律：
以上系數(shù)三角表稱為“楊輝三角”，根據(jù)上述規(guī)律， SKIPIF 1 < 0 展開式的系數(shù)和是（）
A．64B．128C．256D．612
4．（2021·山東陽谷·一模）我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝用“三角形”解釋二項(xiàng)和的乘方規(guī)律，稱之為“楊輝三角”，這個(gè)“三角形”給出了 SKIPIF 1 < 0 的展開式的系數(shù)規(guī)律（按 SKIPIF 1 < 0 的次數(shù)由大到小的順序）
1 1 SKIPIF 1 < 0
1 2 1 SKIPIF 1 < 0
1 3 3 1 SKIPIF 1 < 0
1 4 6 4 1 SKIPIF 1 < 0
… …
請(qǐng)依據(jù)上述規(guī)律，寫出 SKIPIF 1 < 0 展開式中含 SKIPIF 1 < 0 項(xiàng)的系數(shù)是（）
A．-2021B．2021C．4042D．-4042
5．（2021·湖北·華中科技大學(xué)附屬中學(xué)一模）我國古代數(shù)學(xué)的許多創(chuàng)新和發(fā)展都位居世界前列，如南宋數(shù)學(xué)家楊輝（約13世紀(jì)）所著的《詳解九章算術(shù)》一書中，用如圖的三角形解釋二項(xiàng)和 SKIPIF 1 < 0 的展開式的各項(xiàng)系數(shù)，此三角形稱為“楊輝三角”．根據(jù)“楊輝三角”設(shè) SKIPIF 1 < 0 的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的值為（）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
6．（2020·湖南邵東·三模）a是不為1的有理數(shù)，我們把 SKIPIF 1 < 0 稱為a的差倒數(shù)，如2的差倒數(shù)為 SKIPIF 1 < 0 ，-1的差倒數(shù)為 SKIPIF 1 < 0 ，已知 SKIPIF 1 < 0 ＝5， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 差倒數(shù)， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 差倒數(shù)， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 差倒數(shù)，以此類推…， SKIPIF 1 < 0 的值是_____．
7．（2021·四川眉山·中考真題）觀察下列等式： SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 ；
……
根據(jù)以上規(guī)律，計(jì)算 SKIPIF 1 < 0 ______．
8．（2020·山東魚臺(tái)·一模）計(jì)算下列各式的值： SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ．觀察所得結(jié)果，總結(jié)存在的規(guī)律，應(yīng)用得到的規(guī)律可得 SKIPIF 1 < 0 =_____________．
9．（2021·河北新華·一模）嘉琪通過計(jì)算和化簡(jiǎn)下列兩式，發(fā)現(xiàn)了一個(gè)結(jié)論，請(qǐng)你幫助嘉琪完成這一過程．
（1）計(jì)算： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）化簡(jiǎn)： SKIPIF 1 < 0 ；
（3）請(qǐng)寫出嘉琪發(fā)現(xiàn)的結(jié)論．
10．（2021·安徽包河·一模）觀察下列等式：
第1個(gè)等式： SKIPIF 1 < 0 ；
第2個(gè)等式： SKIPIF 1 < 0 ；
第3個(gè)等式： SKIPIF 1 < 0 ；
第4個(gè)等式： SKIPIF 1 < 0 ；
…
根據(jù)你觀察到的規(guī)律，解決下列問題：
（1）請(qǐng)寫出第5個(gè)等式：_____________________；
（2）請(qǐng)寫出第 SKIPIF 1 < 0 個(gè)等式：___________________________（用含 SKIPIF 1 < 0 的等式表示），并證明．
四、圖形變換規(guī)律探究題
例題4（2020·河北·模擬預(yù)測(cè)）如圖，正六邊形 SKIPIF 1 < 0 的邊 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 軸重合，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 軸的正半軸上，已知，正六邊形的邊長為1，沿 SKIPIF 1 < 0 軸向右無滑動(dòng)滾動(dòng)，當(dāng)邊 SKIPIF 1 < 0 落到 SKIPIF 1 < 0 軸上時(shí)，我們記為一次滾動(dòng)完成，此時(shí)正六邊形記為 SKIPIF 1 < 0 ，請(qǐng)回答：
（1）點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的坐標(biāo)為__________；
（2）當(dāng)正六邊形滾動(dòng)2020次后，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 運(yùn)動(dòng)過的軌跡長__________．
練習(xí)題
1．（2021·江蘇·靖江外國語學(xué)校一模）如圖，在直角坐標(biāo)系中放置一個(gè)邊長為 SKIPIF 1 < 0 的正方形ABCD，將正方形ABCD沿x軸的正方向無滑動(dòng)的在x軸上滾動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)A第三次回到x 軸上時(shí)，點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)的路線與x軸圍成的圖形的面積和為（）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2．（2021·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）第一次：將點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 繞原點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) SKIPIF 1 < 0 得到 SKIPIF 1 < 0 ；
第二次：作點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 關(guān)于 SKIPIF 1 < 0 軸的對(duì)稱點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ；
第三次：將點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 繞點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) SKIPIF 1 < 0 得到 SKIPIF 1 < 0 ；
第四次：作點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 關(guān)于 SKIPIF 1 < 0 軸的對(duì)稱點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 …，
按照這樣的規(guī)律，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的坐標(biāo)是（）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
3．（2020·山東寧津·一模）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（a,b）繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°為一次變換，第2020次變換后得點(diǎn)P′，則點(diǎn)P′的坐標(biāo)為（）
A．（ a, b）B．（-a,-b）C．（b,-a）D．（b,-a）
4．（2022·山東陵城·九年級(jí)期末）如圖，直線 SKIPIF 1 < 0 與x軸、y軸分別相交于點(diǎn)A、B，過點(diǎn)B作 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 ，將 SKIPIF 1 < 0 繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn) SKIPIF 1 < 0 ，則第2021次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 落在反比例函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的圖象上，則k的值為（）
A． SKIPIF 1 < 0 B．4C． SKIPIF 1 < 0 D．6
5．（2021·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系 SKIPIF 1 < 0 中，正方形 SKIPIF 1 < 0 的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn) SKIPIF 1 < 0 得點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn) SKIPIF 1 < 0 得點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn) SKIPIF 1 < 0 得點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn) SKIPIF 1 < 0 得點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn) SKIPIF 1 < 0 得點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，……，重復(fù)操作依次得到點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，……，則點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的坐標(biāo)為（）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
6．（2021·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，將半徑為2cm，圓心角為36°的扇形紙片AOB，在射線MN的方向上作無滑動(dòng)的滾動(dòng)至扇形A′O′B′處，則圓心O經(jīng)過的路徑長為_____cm．
7．（2021·河北·邯鄲市第二十三中學(xué)九年級(jí)期中）如圖1，將一個(gè)正三角形繞其中心最少旋轉(zhuǎn) SKIPIF 1 < 0 ，所得圖形與原圖的重疊部分是正六邊形；如圖2，將一個(gè)正方形繞其中心最少旋轉(zhuǎn) 45°，所得圖形與原圖形的重疊部分是正八邊形；依此規(guī)律，將一個(gè)正七邊形繞其中心最少旋轉(zhuǎn)______ SKIPIF 1 < 0 ，所得圖形與原圖的重疊部分是正多邊形．在圖2中，若正方形的邊長為 SKIPIF 1 < 0 ，則所得正八邊形的面積為_______．

8．如圖，在直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的坐標(biāo)為 SKIPIF 1 < 0 ，將線段 SKIPIF 1 < 0 按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn) SKIPIF 1 < 0 ，再將其長度伸長為 SKIPIF 1 < 0 的 SKIPIF 1 < 0 倍，得到線段 SKIPIF 1 < 0 ；又將線段 SKIPIF 1 < 0 按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn) SKIPIF 1 < 0 ，長度伸長為 SKIPIF 1 < 0 的 SKIPIF 1 < 0 倍，得到線段 SKIPIF 1 < 0 ．．．．．．如此下去，得到線段 SKIPIF 1 < 0 為正整數(shù))，則點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的坐標(biāo)為 __________________．
9．（2021·廣東乳源·三模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，Rt△OA1C1，Rt△OA2C2，Rt△OA3C3，…的斜邊都在坐標(biāo)軸上，∠A1OC1=∠A2OC2=∠A3OC3=∠A4OC4=…=30°．若點(diǎn)A1的坐標(biāo)為(3,0)，OA1=OC2，OA2=OC3，OA3=OC4，…則依此規(guī)律，點(diǎn)A2021的坐標(biāo)為______．
10．（2020·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，等腰直角三角形①沿x軸正半軸滾動(dòng)并且按一定規(guī)律變換，每次變換后得到的圖形仍是等腰直角三角形．第一次滾動(dòng)后點(diǎn)A1（0，2）變換到點(diǎn)A2（6，0），得到等腰直角三角形②；第二次滾動(dòng)后點(diǎn)A2變換到點(diǎn)A3（6，0），得到等腰直角三角形③；第三次滾動(dòng)后點(diǎn)A3變換到點(diǎn)A4（10，4 SKIPIF 1 < 0 ），得到等腰直角三角形④；第四次滾動(dòng)后點(diǎn)A4變換到點(diǎn)A5（10+12 SKIPIF 1 < 0 ，0），得到等腰直角三角形⑤；依此規(guī)律…，則第2020個(gè)等腰直角三角形的面積是_____．
11．（2021·廣西·南寧三中九年級(jí)階段練習(xí)）如圖Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝1，且AC在直線l上，將△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到①，可得到點(diǎn)P1，此時(shí)AP1＝2；將位置①的三角形繞點(diǎn)P1順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到位置②，可得到點(diǎn)P2，此時(shí)AP2＝2+ SKIPIF 1 < 0 ；將位置②的三角形繞點(diǎn)P2順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到位置③，可得到點(diǎn)P3，此時(shí)AP3＝3+ SKIPIF 1 < 0 ；…按此規(guī)律繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，直到點(diǎn)P2020為止，則AP2020等于_______．
五、函數(shù)規(guī)律探究題
例題5（2021·山東·寧津縣教育和體育局教育科學(xué)研究所二模）如圖所示，在x軸的正半軸上依次截取OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4＝A4A5…，過A1、A2、A3、A4、A5…分別作x軸的垂線與反比例函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的圖象交于點(diǎn)P1、P2、P3、P4、P5…，并設(shè)△OA1P1、△A1A2P2、△A2A3P3…面積分別為S1、S2、S3…，按此作法進(jìn)行下去，則S2021的值為____．
練習(xí)題
1．（2021·山東莘縣·三模）如圖，直線l：y＝x+1交y軸于點(diǎn)A1，在x軸正方向上取點(diǎn)B1，使OB1＝OA1；過點(diǎn)B1，作A2B1⊥x軸，交l于點(diǎn)A2，在x軸正方向上取點(diǎn)B2，使B1B2＝B1A2；過點(diǎn)B2作A3B2⊥x軸，交l于點(diǎn)A3，在x軸正方向上取點(diǎn)B3使B2B3＝B2A3；…記△OA1B1面積為S1，△B1A2B2面積為S2，△B2A3B3面積為S3，…則S2021等于（）
A．24039B．24038C．24037D．24036
2．（2021·山東濟(jì)南·中考真題）新定義：在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 和點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，若滿足 SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，則稱點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 是點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的限變點(diǎn)．例如：點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的限變點(diǎn)是 SKIPIF 1 < 0 ，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的限變點(diǎn)是 SKIPIF 1 < 0 ．若點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在二次函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的圖象上，則當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，其限變點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的縱坐標(biāo) SKIPIF 1 < 0 的取值范圍是（）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
3．（2021·江蘇豐縣·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l：y＝ SKIPIF 1 < 0 x﹣ SKIPIF 1 < 0 與x軸交于點(diǎn)B1，以O(shè)B1為一邊在OB1上方作等邊△A1OB1，過點(diǎn)A1作A1B2平行于x軸，交直線l于點(diǎn)B2，以A1B2為一邊在A1B2上方作等邊△A2A1B2，過點(diǎn)A2作A2B3平行于x軸，交直線l于點(diǎn)B3，以A2B3為一邊在A2B3上方作等邊△A3A2B3，…，則A2020的橫坐標(biāo)是_____．
4．（2021·廣東潮南·一模）如圖，直線 SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 ，過點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 軸，與直線 SKIPIF 1 < 0 交于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，以原點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 為圓心， SKIPIF 1 < 0 長為半徑畫圓弧交 SKIPIF 1 < 0 軸于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ；再作 SKIPIF 1 < 0 軸，交直線 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，以原點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 為圓心， SKIPIF 1 < 0 長為半徑畫圓弧交 SKIPIF 1 < 0 軸于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ，按此作法進(jìn)行下去，則點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的坐標(biāo)為__．
5．（2021·全國·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，…和 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，…分別在直線 SKIPIF 1 < 0 和x軸上． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，……都是等腰直角三角形，如果點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，那么b的值是________； SKIPIF 1 < 0 的縱坐標(biāo)是________．
6．（2021·山東牡丹·三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系 SKIPIF 1 < 0 中，直線 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 交y軸于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，…， SKIPIF 1 < 0 在直線 SKIPIF 1 < 0 上，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，…， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 軸的正半軸上，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，…， SKIPIF 1 < 0 ，依次均為等腰直角三角形，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的坐標(biāo)是______．
7．（2021·四川廣安·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中， SKIPIF 1 < 0 軸，垂足為 SKIPIF 1 < 0 ，將 SKIPIF 1 < 0 繞點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到 SKIPIF 1 < 0 的位置，使點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的對(duì)應(yīng)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 落在直線 SKIPIF 1 < 0 上，再將 SKIPIF 1 < 0 繞點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到 SKIPIF 1 < 0 的位置，使點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的對(duì)應(yīng)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 也落在直線 SKIPIF 1 < 0 上，以此進(jìn)行下去……若點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的坐標(biāo)為 SKIPIF 1 < 0 ，則點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的縱坐標(biāo)為______．
8．（2021·江蘇邳州·二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線 SKIPIF 1 < 0 為正比例函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的圖像，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的坐標(biāo)為(1，0)，過點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 軸的垂線交直線 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，以 SKIPIF 1 < 0 為邊作正方形 SKIPIF 1 < 0 ；過點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 作直線 SKIPIF 1 < 0 的垂線，垂足為 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 軸于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，以 SKIPIF 1 < 0 為邊作正方形 SKIPIF 1 < 0 ；過點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 軸的垂線，垂足為 SKIPIF 1 < 0 ，交直線 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，以 SKIPIF 1 < 0 為邊作正方形 SKIPIF 1 < 0 ，…，按此規(guī)律操作下所得到的正方形 SKIPIF 1 < 0 的面積是______．
9．（2021·山東青島·三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=x(x-5)(0≤x≤5)的圖象記作y1，它與x軸的交于點(diǎn)O，x1，將y1繞x1旋轉(zhuǎn)180°得到y(tǒng)2，y2與x軸相交于點(diǎn)x1，x2，將y2繞點(diǎn)x2旋轉(zhuǎn)180°得到y(tǒng)3，y3與x軸相交于x2，x3；…，按照這個(gè)規(guī)律在x軸上依次得到點(diǎn)x1，x2，x3，…，xn，以及拋物線y1，y2，y3，…，yn，則點(diǎn)x6的坐標(biāo)為 ____；yn的頂點(diǎn)坐標(biāo)為 _____(n為正整數(shù)，用含n的代數(shù)式表示)．
10．（2021·廣東·佛山市三水區(qū)三水中學(xué)附屬初中三模）如圖，一段拋物線： SKIPIF 1 < 0 記為 SKIPIF 1 < 0 ，它與 SKIPIF 1 < 0 軸交于兩點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；將 SKIPIF 1 < 0 繞點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 旋轉(zhuǎn) SKIPIF 1 < 0 得到 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 軸于 SKIPIF 1 < 0 ；將 SKIPIF 1 < 0 繞點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 旋轉(zhuǎn) SKIPIF 1 < 0 得到 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 軸于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 如此進(jìn)行下去，直至得到 SKIPIF 1 < 0 ，若點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在第2021段拋物線上，則 SKIPIF 1 < 0 的值為 __．
11．（2021·全國·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，平行于 SKIPIF 1 < 0 軸的直線 SKIPIF 1 < 0 分別交函數(shù) SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的圖象于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 兩點(diǎn)，過點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 軸的平行線交 SKIPIF 1 < 0 的圖象于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，直線DE SKIPIF 1 < 0 AC，交 SKIPIF 1 < 0 的圖象于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 _______．
12．（2022·福建·廈門五緣實(shí)驗(yàn)學(xué)校模擬預(yù)測(cè)）如圖，直線 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，與函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的圖象分別交于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ；與函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的圖象分別交于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 如果四邊形 SKIPIF 1 < 0 的面積記為 SKIPIF 1 < 0 ，四邊形 SKIPIF 1 < 0 的面積記為 SKIPIF 1 < 0 ，四邊形 SKIPIF 1 < 0 的面積記為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，以此類推，則 SKIPIF 1 < 0 的值是______．
月份
1月份
2月份
3月份
4月份
5月份
6月份
7月份
…
12月份
兔子對(duì)數(shù)
1
1
2
3

…

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