1、向量的夾角
(1)定義：已知兩個非零向量a和b，如圖所示，作eq \(OA,\s\up7(―→))＝a，eq \(OB,\s\up7(―→))＝b，則
∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a與b的夾角，記作〈a，b〉．
(2)范圍：夾角θ的范圍是[0，π]．
當θ＝0時，兩向量a，b共線且同向；
當θ＝eq \f(π,2)時，兩向量a，b相互垂直，記作a⊥b；
當θ＝π時，兩向量a，b共線但反向．
2、平面向量數(shù)量積的定義
已知兩個非零向量a與b，我們把數(shù)量|a||b|cs θ叫做a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a·b，即a·b＝|a||b|·cs θ，其中θ是a與b的夾角．
規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為零．
3、平面向量數(shù)量積的幾何意義
(1)一個向量在另一個向量方向上的投影
設θ是a，b的夾角，則|b|cs θ叫做向量b在向量a的方向上的投影，|a|cs θ叫做向量a在向量b的方向上的投影．
(2)a·b的幾何意義
數(shù)量積a·b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cs θ的乘積．
4、向量數(shù)量積的運算律
(1)交換律：a·b＝b·a.
(2)數(shù)乘結合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．
(3)分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c.向量數(shù)量積的運算不滿足乘法結合律，即(a·b)·c不一定等于a·(b·c)，這是由于(a·b)·c表示一個與c共線的向量，a·(b·c)表示一個與a共線的向量，而c與a不一定共線．
5、平面向量數(shù)量積的性質(zhì)
設a，b為兩個非零向量，e是與b同向的單位向量，θ是a與e的夾角，則
(1)e·a＝a·e＝|a|cs θ.
(2)a⊥b?a·b＝0.
(3)當a與b同向時，a·b＝|a||b|；當a與b反向時，a·b＝－|a||b|.
特別地，a·a＝|a|2或|a|＝eq \r(a·a).
(4)cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|).
(5)|a·b|≤|a||b|.
6、平面向量數(shù)量積的坐標表示
已知兩個非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ為a與b的夾角，則
(1)|a|＝eq \r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1))； (2)a·b＝x1x2＋y1y2；
(3)a⊥b?x1x2＋y1y2＝0;_ (4)cs θ＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1)) \r(x\\al(2,2)＋y\\al(2,2))).
1、（2023年高考數(shù)學真題完全解讀（新高考I卷））已知向量，若，則（ ）
A．B．
C．D．
2、（2023年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（全國甲卷）） 已知向量，則（ ）
A. B. C. D.
3、（2023年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（全國乙卷）） 正方形的邊長是2，是的中點，則（ ）
A. B. 3C. D. 5
4、（2023年全國新高考Ⅱ卷） 已知向量，滿足，，則______．
5、22年全國乙卷】已知向量滿足，則（ ）
A．B．C．1D．2
6、【2020年新課標2卷文科】已知單位向量，的夾角為60°，則在下列向量中，與垂直的是（ ）
A．B．C． D．
7、【2020年新課標3卷理科】已知向量 ，滿足， ，，則（ ）
A．B．C．D．
1、已知a·b＝－12 eq \r(2)，|a|＝4，a和b的夾角為135°，則|b|的值為( )
A. 12 B. 6 C. 3 eq \r(3) D. 3
2、（多選）（2022·廣州三模）已知向量a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，則下列結論中正確的是( )
A. a·b＝5 B. |a－b|＝ eq \r(5)
C. 〈a，b〉＝ eq \f(π,4) D. a∥b
3、（2022·廣州三模）已知a，b為單位向量，若 |a－2b|＝ eq \r(5)，則|a＋2b|＝ ．
4、已知a＝(－2,1)，b＝(k，－3)，c＝(1,2)，若(a－2b)⊥c，則與b共線的單位向量為( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(5),5)，－\f(\r(5),5)))或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2\r(5),5)，\f(\r(5),5)))
B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2\r(5),5)，－\f(\r(5),5)))或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(5),5)，\f(\r(5),5)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(5),5)，\f(\r(5),5)))
D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2\r(5),5)，\f(\r(5),5)))
考向一 平面向量的夾角及模的問題
例1、（1）（屆山東省德州市高三上期末）已知向量，滿足，，，則與的夾角為（ ）
A．B．C．D．
（2）（2021·山東日照市·高三二模）已知，當時，向量與的夾角為（ ）
A．B．C．D．
（3）（2022·河北深州市中學高三期末）若向量，滿足，且，則______．
變式1、已知|a|＝1，|b|＝2，a＋b＝（1， eq \r(2)），則向量a，b的夾角為 ．
變式2、 若非零向量a，b滿足|a|＝ eq \f(2\r(2),3)|b|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，則a與b的夾角為 .
變式3、已知向量a＝(k，3)，b＝(1，4)，c＝(2，1)，若2a－3b與c的夾角為鈍角，則k的取值范圍是 ．
.
變式4、（2019春?泉州期末）（多選題）中，，，，在下列命題中，是真命題的有
A．若，則為銳角三角形
B．若．則為直角三角形
C．若，則為等腰三角形
D．若，則為直角三角形
方法總結：求向量的夾角，有兩種方法：
(1)定義法：當a，b是非坐標形式時，求a與b的夾角θ，需求出a·b及|a|，|b|或得出它們之間的關系，由cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)求得．
(2)公式法：若已知a＝(x1，y1)與b＝(x2，y2)，則cs〈a，b〉＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1))·\r(x\\al(2,2)＋y\\al(2,2)))，〈a，b〉∈[0，π]．
考向二 平面向量中的垂直
例2、（2021·山東日照市·高三其他模擬）已知向量，，，且，則實數(shù)的值為（ ）
A．B．C．D．
變式1、(2021·宜昌二模)已知△ABC中，∠A＝120°，且AB＝3，AC＝4，若eq \(AP,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))，且eq \(AP,\s\up6(→))⊥eq \(BC,\s\up6(→))，則實數(shù)λ的值為( )
A.eq \f(22,15) B.eq \f(10,3) C.6 D.eq \f(12,7)
變式2、已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)，x∈R.
(1) 若a⊥b，求x的值；
(2) 若a∥b，求|a－b|的值．
方法總結：平面向量的垂直問題，有兩個類型：
(1)利用坐標運算證明兩個向量的垂直問題
若證明兩個向量垂直，先根據(jù)共線、夾角等條件計算出這兩個向量的坐標；然后根據(jù)數(shù)量積的坐標運算公式，計算出這兩個向量的數(shù)量積為0即可。
(2)已知兩個向量的垂直關系，求解相關參數(shù)的值。
考向三 平面向量的數(shù)量積的運算
例3、（2022·湖北襄陽·高三期末）在中，，，其中，，，，，則（ ）
A．當時，B．當時，
C．當時，D．當時，
變式1、（2022·湖北·高三期末）在中，，點E滿足，則（ ）
A．B．C．3D．6
變式2、如圖，在△ABC中，AD⊥AB， eq \(BC,\s\up6(→))＝ eq \r(3) eq \(BD,\s\up6(→))，| eq \(AD,\s\up6(→))|＝1，則 eq \(AC,\s\up6(→))· eq \(AD,\s\up6(→))＝ ．
變式3、 在△ABC中，∠BAD＝60°， eq \(BC,\s\up6(→))＝ eq \r(3) eq \(BD,\s\up6(→))，| eq \(AD,\s\up6(→))|＝1， eq \(AC,\s\up6(→))· eq \(AD,\s\up6(→))＝1，則| eq \(AB,\s\up6(→))|＝ ．
方法總結：1.求向量的模的方法：(1)公式法，利用|a|＝eq \r(a·a)及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2，把向量的模的運算轉(zhuǎn)化為數(shù)量積運算；(2)幾何法，利用向量的幾何意義.
2.求向量模的最值(范圍)的方法：(1)代數(shù)法，把所求的模表示成某個變量的函數(shù)，再用求最值的方法求解；(2)幾何法(數(shù)形結合法)，弄清所求的模表示的幾何意義，結合動點表示的圖形求解.
1、（2022·湖北·黃石市有色第一中學高三期末）已知，為單位向量，且，則，的夾角為（ ）
A．B．C．D．
2、（2022·山東淄博·高三期末）已知向量、滿足，且在上的投影的數(shù)量為，則（ ）
A．B．C．D．
3、（2022·山東青島·高三期末）已知非零向量滿足：，則夾角的值為（ ）
A．B．C．D．
4、（2022·山東日照·高三期末）已知△是邊長為1的等邊三角形，點分別是邊的中點，且 ，則的值為（ ）
A．B．C．1D．
5、（2022·山東濟南·高三期末）（多選題）已知平面向量，，則下列說法正確的是（ ）
A．B．
C．向量與的夾角為30°D．向量在上的投影向量為
6、（2022·湖北江岸·高三期末）（多選題）若是所在的平面內(nèi)的點，且下面給出的四個命題中，其中正確的是（ ）
A．B．
C．點??…一定在一條直線上D．?在向量方向上的投影一定相等

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