1.(2024·廣東中山模擬)拋物線y=4x2的焦點坐標(biāo)是( )
A.(1,0)B.(0,1)
C.(,0)D.(0,)
2.(2024·山東濟南模擬)已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點在圓x2+y2=4上,則該拋物線的焦點到準(zhǔn)線的距離為( )
A.1B.2
C.4D.8
3.(2020·全國Ⅰ,理4)已知A為拋物線C:y2=2px(p>0)上一點,點A到C的焦點的距離為12,到y(tǒng)軸的距離為9,則p=( )
A.2B.3
C.6D.9
4.(2024·陜西商洛模擬)設(shè)O為坐標(biāo)原點,直線y=6與拋物線C:x2=2py(p>0)交于A,B兩點,若△OAB為正三角形,則點A到拋物線C的焦點的距離為( )
A.B.
C.2+1D.2
5.(2024·廣東梅州模擬)已知M是拋物線C:x2=8y上一點,F為拋物線的焦點,點N(0,-4),若|MF|=|NF|,則△MFN的面積為( )
A.8B.8
C.12D.12
6.(2024·河北張家口模擬)探照燈、汽車前燈的反光鏡面、手電筒的反光鏡面、太陽灶的鏡面等都是拋物鏡面.燈泡放在拋物線的焦點位置,通過拋物線反射就變成了平行于拋物線對稱軸的光束,這就是探照燈、汽車前燈、手電筒的設(shè)計原理.已知某型號探照燈反射鏡的縱斷面是拋物線的一部分,光源位于拋物線的焦點處,燈口直徑是80 cm,燈深40 cm,則光源到反射鏡頂點的距離為( )
A.20 cmB.10 cm
C.30 cmD.40 cm
7.(2024·浙江金麗衢十二校模擬)已知直線l1:3x-4y-6=0和直線l2:y=-2,拋物線x2=4y上一動點P到直線l1和直線l2的距離之和的最小值是( )
A.2B.3
C.D.
8.(2024·北京人大附中模擬)已知拋物線y2=4x的焦點為F,點A(3,2),點P為該拋物線上一動點,則△PAF周長的最小值是( )
A.3+2
B.3
C.4+2
D.2+2+2
9.(多選題)(2024·河北模擬)已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F(4,0),點A,B在C上,且弦AB的中點到直線x=-2的距離為5,則下列說法正確的是( )
A.p=16
B.線段AB的長為定值
C.A,B兩點到C的準(zhǔn)線的距離之和為14
D.|AF|·|BF|的最大值為49
10.(2024·山東濰坊模擬)已知拋物線C經(jīng)過第二象限,且其焦點到準(zhǔn)線的距離大于4,請寫出一個滿足條件的C的標(biāo)準(zhǔn)方程 .
11.(2024·江西南昌模擬)用垂直于圓錐軸的平面去截圓錐,得到的是圓,把平面漸漸傾斜,得到橢圓,當(dāng)平面傾斜到與且僅與圓錐的一條母線平行時,得到拋物線.已知圓錐的軸截面是一個邊長為2的等邊三角形OAB(O為圓錐的頂點),過OA的中點M作截面α與圓錐相交得到拋物線C,將C放置在合適的平面直角坐標(biāo)系中可得到標(biāo)準(zhǔn)方程y2=2px(p>0),則p= .
12.已知拋物線C:y2=2px過點A(-2,-4).
(1)求拋物線C的方程,并求其準(zhǔn)線方程;
(2)過該拋物線的焦點,作傾斜角為60°的直線,交拋物線于A,B兩點,求線段AB的長度.
綜合 提升練
13.已知A,B是拋物線y2=2px(p>0)上的兩個點,O為坐標(biāo)原點,若|OA|=|OB|且△AOB的垂心恰是拋物線的焦點,則直線AB的方程是( )
A.x=pB.x=3p
C.x=pD.x=p
14.(多選題)(2023·新高考Ⅱ,10)設(shè)O為坐標(biāo)原點,直線y=-(x-1)過拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點,且與C交于M,N兩點,l為C的準(zhǔn)線,則( )
A.p=2
B.|MN|=
C.以MN為直徑的圓與l相切
D.△OMN為等腰三角形
15.(2024·浙江名校協(xié)作體聯(lián)考)寫出兩個與直線x+1=0相切且與圓x2+y2-4x+3=0外切的圓的圓心坐標(biāo) .
16.(2021·新高考Ⅰ,14)已知O為坐標(biāo)原點,拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F,P為C上一點,PF與x軸垂直,Q為x軸上一點,且PQ⊥OP.若|FQ|=6,則C的準(zhǔn)線方程為 .
17.(2024·江蘇南通模擬)已知點P在拋物線C:y2=2px(p>0)上,過P作C的準(zhǔn)線的垂線,垂足為H,點F為C的焦點.若∠HPF=60°,點P的橫坐標(biāo)為1,則p= .
18.(2024·上海大同中學(xué)模擬)如圖,一個酒杯的內(nèi)壁的軸截面是拋物線的一部分,杯口寬4 cm,杯深8 cm,稱為拋物線酒杯.在杯內(nèi)放入一個小的玻璃球,要使球觸及酒杯底部,則玻璃球的半徑的取值范圍為 .
創(chuàng)新 應(yīng)用練
19.(2024·云南保山模擬)已知在正方體ABCD-A1B1C1D1中,Q為上底面A1B1C1D1所在平面內(nèi)的動點,當(dāng)直線DQ與DA1所成的角為45°時,點Q的軌跡為( )
A.圓B.直線C.拋物線D.橢圓
課時規(guī)范練65 拋物線
1.D 解析 拋物線y=4x2,即x2=y,故焦點坐標(biāo)為(0,).
2.C 解析 由于拋物線y2=2px(p>0)的焦點在x軸正半軸上,圓x2+y2=4與x軸正半軸的交點為(2,0),故拋物線的焦點為(2,0),所以=2,即p=4,所以拋物線的焦點到準(zhǔn)線的距離為p=4.
3.C 解析 設(shè)點A的坐標(biāo)為(x,y).由點A到y(tǒng)軸的距離為9可得x=9,由點A到拋物線C的焦點的距離為12,可得x+=12,解得p=6.
4.B 解析 設(shè)A(x0,6),因為△OAB是正三角形,由拋物線的對稱性可知,|x0|=2,則12=12p,解得p=1,故點A到拋物線C的焦點的距離為6+
5.C 解析 由拋物線C:x2=8y,知其焦點坐標(biāo)為F(0,2),準(zhǔn)線方程為y=-2.
設(shè)點M(x0,y0),由拋物線的定義可知,|MF|等于點M到準(zhǔn)線的距離,即|MF|=y0+2,又|MF|=|NF|=6,故y0=4,故|x0|=4,S△MFN=|FN|·|x0|=12
6.B 解析在縱斷面內(nèi),以反射鏡的頂點(即拋物線的頂點)為坐標(biāo)原點,過頂點垂直于燈口直徑的直線為x軸,建立平面直角坐標(biāo)系,如圖所示.由題意可得A(40,40).
設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=2px(p>0),于是402=2p·40,解得p=20.所以拋物線的焦點到頂點的距離為=10,即光源到反射鏡頂點的距離為10cm.
7.B 解析 由題意可得,拋物線x2=4y的焦點F(0,1),準(zhǔn)線l:y=-1.
設(shè)動點P與直線l,l1,l2的距離分別為d,d1,d2,點F到直線l1的距離為d3==2,則d2=d+1=|PF|+1,可得d1+d2=d1+|PF|+1≥d3+1=3,當(dāng)且僅當(dāng)點P在點F到直線l1的垂線上且點P在F與l1之間時,等號成立,動點P到直線l1和直線l2的距離之和的最小值是3.
8.C 解析 因為拋物線方程為y2=4x,所以2p=4,=1,所以焦點F(1,0),且準(zhǔn)線方程為x=-1.因為A(3,2),F(1,0),所以|FA|==2,所以△PAF的周長為|PF|+|PA|+2因為根據(jù)拋物線的定義,點P到準(zhǔn)線x=-1的距離等于|PF|,如圖,過點A作直線x=-1的垂線,與拋物線交于點P時,點P到準(zhǔn)線x=-1的距離與|PA|之和最小,最小值為3-(-1)=4,所以△PAF周長的最小值為4+2
9.CD 解析 由拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F(4,0),所以=4,則p=8,A錯誤;
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則由弦AB的中點到直線x=-2的距離為5,可得+2=5,所以x1+x2=6,當(dāng)AB過點F時,由拋物線的定義可得|AF|+|BF|=x1+4+x2+4=x1+x2+8=14.
當(dāng)x1=x2=3時,|AB|=8,所以AB的長不是定值,B錯誤;
A,B兩點到C的準(zhǔn)線的距離之和與|AF|+|BF|相等,值為14,C正確;
|AF|·|BF|≤()2=49,當(dāng)且僅當(dāng)|AF|=|BF|=7時等號成立,故|AF|·|BF|的最大值為49,D正確.
故選CD.
10.x2=16y(答案不唯一) 解析 設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=2py(p>0).由已知可得,焦點到準(zhǔn)線的距離p>4.可取p=8,則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=16y.
11 解析由題意,過點M且平行于母線OB的截面α截圓錐得到拋物線,其標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=2px(p>0).因為圓錐的軸截面是一個邊長為2的等邊三角形OAB,則MC=1,CD=1,故拋物線必過點(1,1),代入拋物線的方程y2=2px,得2p=1,則p=
12.解 (1)因為拋物線C:y2=2px過點A(-2,-4),所以(-4)2=-4p,解得p=-4,故拋物線C的方程為y2=-8x,其準(zhǔn)線方程為x=2.
(2)拋物線C的方程為y2=-8x,焦點為F(-2,0).直線AB的斜率為tan60°=,則直線AB的方程為y=(x+2),聯(lián)立y2=-8x,消去y,整理得3x2+20x+12=0,Δ=256>0.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=-,由拋物線定義可得|AB|=|AF|+|BF|=2-x1+(2-x2)=4-(x1+x2)=4+
13.C 解析 由A,B是拋物線y2=2px(p>0)上的兩點,且|OA|=|OB|,
根據(jù)拋物線的對稱性,可得點A,B關(guān)于x軸對稱.
設(shè)直線AB的方程為x=m,不妨設(shè)點A在第一象限,則A(m,),B(m,-),因為△AOB的垂心恰好是拋物線的焦點F(,0),所以AF⊥OB,可得直線AF與直線OB的斜率之積是-1,即=-1,解得m=p,即直線AB的方程為x=p.
14.AC 解析 對于A,在y=-(x-1)中令y=0,得x=1,所以拋物線的焦點為(1,0),所以=1,所以p=2,故A正確;
對于B,由A知,拋物線的方程為y2=4x,則由不妨設(shè)M(),N(3,-2),則由拋物線的定義知|MN|=+3+2=,故B不正確;
對于C,由B知,以MN為直徑的圓的圓心為(,-),半徑為,又拋物線的準(zhǔn)線l的方程為x=-=-1,圓心到準(zhǔn)線l的距離為-(-1)=,故以MN為直徑的圓與l相切,故C正確;
對于D,因為|OM|=,|ON|=,|MN|=,可知△OMN不是等腰三角形,故D不正確.故選AC.
15.(0,0),(2,4)(答案不唯一,只要圓心坐標(biāo)(a,b)滿足b2=8a即可) 解析 設(shè)所求圓心坐標(biāo)為(a,b),圓x2+y2-4x+3=0化為(x-2)2+y2=1,其圓心為(2,0),半徑為1.
由題意得,a+1=-1,即a-(-2)=,故圓心(a,b)到點(2,0)的距離和到直線x=-2的距離相等,所以所求圓心的軌跡是以(2,0)為焦點的拋物線,故b2=8a,只要滿足該式即可.
16. x=- 解析 ∵PF⊥x軸,∴xP=xF=,將xP=代入y2=2px,得y=±p.不妨設(shè)點P在x軸的上方,則P,即|PF|=p.
如圖,由條件得,△PFO∽△QFP,
,即,解得p=3.故C的準(zhǔn)線方程為x=-
17 解析如圖所示,不妨設(shè)點P在第一象限,因為點P的橫坐標(biāo)是1,所以y=,即點P(1,).易知PH平行于x軸,所以直線PF的傾斜角為60°,直線PF的斜率是又點F(,0),所以,整理得2(2-p),且有2-p>0,故0

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