備戰(zhàn)2025屆新高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)課時(shí)規(guī)范練57求空間角（附解析人教A版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

A.B.4C.2D.3
2.(多選題)(2024·浙江寧波模擬)已知SO⊥平面α于點(diǎn)O,A,B是平面α上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),且∠OSA=,∠OSB=,則下列說(shuō)法正確的是( )
A.SA與SB所成的角可能為
B.SA與OB所成的角可能為
C.SO與平面SAB所成的角可能為
D.平面SOB與平面SAB的夾角可能為
3.(2023·北京,16)如圖,在三棱錐P-ABC中,PA⊥平面ABC,PA=AB=BC=1,PC=.
(1)求證:BC⊥平面PAB;
(2)求二面角A-PC-B的大小.
4.(2024·山東濰坊模擬)如圖,圓臺(tái)O1O2上底面半徑為1,下底面半徑為,AB為圓臺(tái)下底面的一條直徑,圓O2上的點(diǎn)C滿足AC=BC,PO1是圓臺(tái)上底面的一條半徑,點(diǎn)P,C在平面ABO1的同側(cè),且PO1∥BC.
(1)證明:O1O2∥平面PAC;
(2)從條件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知,求直線AO1與平面PBC所成角的正弦值.
條件①:三棱錐O1-ABC的體積為;條件②:AO1與圓臺(tái)底面的夾角的正切值為.
5.(2024·江蘇蘇錫常鎮(zhèn)模擬)在三棱柱ABC-A1B1C1中,平面A1B1BA⊥平面ABC,側(cè)面A1B1BA為菱形,∠ABB1=,A1B⊥AC,AB=AC=2,E是AC的中點(diǎn).
(1)求證:A1B⊥平面AB1C;
(2)點(diǎn)P在線段A1E上(異于點(diǎn)A1,E),AP與平面A1BE所成角為,求的值.
6.(2024·浙江溫州模擬)如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,底面ABCD為等腰梯形,AD∥BC,BC=2AD=2,∠PBA=∠CBA=60°.
(1)求證:平面PAB⊥平面PAC;
(2)若點(diǎn)M在線段PB上,且直線AD與平面MAC所成角的正弦值為,求平面MBC與平面MAC夾角的余弦值.
課時(shí)規(guī)范練57 求空間角
1. B 解析如圖,以D為坐標(biāo)原點(diǎn),直線DA,DC,DS分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系.不妨設(shè)SD=t(t>0),則D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),S(0,0,t),E(2,1,0),F(0,1,),所以=(-2,1,0),=(-2,-1,).因?yàn)楫惷嬷本€EC與BF所成角的余弦值為,所以|cs|=,解得t=4,即SD=4.
2. AC 解析設(shè)OA=1,則SO=,SA=2,OB=,SB=以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以直線OA,OS為x軸,z軸,在平面α內(nèi)過(guò)點(diǎn)O垂直于OA的直線為y軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則S(0,0,),A(1,0,0),設(shè)B(m,n,0),且m2+n2=3,=(1,0,-),=(m,n,-),=(m,n,0),=(0,0,-).若SA與SB所成的角為,則|cs|==cs,解得m=-3±當(dāng)m=-3-時(shí),m2>3,不符合題意;當(dāng)m=-3+時(shí),n2=6-12>0,方程有解,故A正確;若SA與OB所成的角為,則|cs|==cs,得m2=9>3,不符合題意,故B錯(cuò)誤;設(shè)平面SAB的法向量為p=(x1,y1,z1),則令z1=1,則x1=,y1=,則p=(,1).若SO與平面SAB所成的角為,則|cs|==sin,解得m=1,n=±,故C正確;設(shè)平面SOB的法向量為q=(x2,y2,z2),則令x2=1,則y2=-,則q=(1,-,0),若平面SOB與平面SAB的夾角為,則p·q=0,即=0,得m2+n2=m,又m2+n2=3,得m=3,m2=9>3,不符合題意,故D錯(cuò)誤.故選AC.
3.(1)證明因?yàn)镻A⊥平面ABC,BC?平面ABC,所以PA⊥BC,同理PA⊥AB,
所以△PAB為直角三角形.
因?yàn)镻B=,BC=1,PC=,所以PB2+BC2=PC2,則△PBC為直角三角形,故BC⊥PB,
又因?yàn)锽C⊥PA,PA∩PB=P,PA,PB?平面PAB,所以BC⊥平面PAB.
(2)解由(1)得BC⊥平面PAB,又AB?平面PAB,則BC⊥AB,以A為坐標(biāo)原點(diǎn),直線AB為x軸,過(guò)點(diǎn)A且與BC平行的直線為y軸,直線AP為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,如圖,則A(0,0,0),P(0,0,1),C(1,1,0),B(1,0,0),
所以=(0,0,1),=(1,1,0),=(0,1,0),=(1,1,-1).
設(shè)平面PAC的法向量為m=(x1,y1,z1),
則令x1=1,則y1=-1,所以m=(1,-1,0).
設(shè)平面PBC的法向量為n=(x2,y2,z2),
則
令x2=1,則z2=1,所以n=(1,0,1).
所以cs=,
又二面角A-PC-B為銳二面角,
所以二面角A-PC-B的大小為
4. (1)證明取AC的中點(diǎn)M,連接O2M,PM,如圖.
由題意,PO1=1,BC=AB=2,
∵PO1∥BC,PO1=BC,
又O2M∥BC,O2M=BC,故PO1∥O2M,PO1=O2M,所以四邊形PO1O2M為平行四邊形,則PM∥O1O2,又PM?平面PAC,O1O2?平面PAC,故O1O2∥平面PAC.
(2)解選①:S△ABC=AC·BC=2×2=2,又O1O2⊥平面ABC,
所以三棱錐O1-ABC的體積V=S△ABC×O1O2=所以O(shè)1O2=2.
選②:因?yàn)镺1O2⊥平面ABC,所以∠O1AO2為AO1與底面所成的角,所以tan∠O1AO2=,又AO2=,所以O(shè)1O2=2.
以O(shè)2為坐標(biāo)原點(diǎn),直線O2B,O2C,O2O1分別為x軸,y軸,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則有A(-,0,0),B(,0,0),C(0,,0),P(-,2),O1(0,0,2),故=(,0,2).設(shè)平面PBC的法向量n=(x,y,z),而=(-,0),=(-,-,2),故
令z=1,解得x=y=,得n=(,1).
設(shè)所求角的大小為θ,
則sinθ=|cs|=所以直線AO1與平面PBC所成角的正弦值為
5.(1)證明因?yàn)樗倪呅蜛1B1BA為菱形,
所以A1B⊥AB1,
又因?yàn)锳1B⊥AC,AB1,AC?平面AB1C,AB1∩AC=A,
所以A1B⊥平面AB1C.
(2)解取AB的中點(diǎn)O,連接B1O,四邊形A1B1BA為菱形,且∠ABB1=,
所以B1O⊥AB.
因?yàn)槠矫鍭1B1BA⊥平面ABC,平面A1B1BA∩平面ABC=AB,B1O?平面A1B1BA,
所以B1O⊥平面ABC,所以B1O⊥AC,
又因?yàn)锳1B⊥AC,B1O與A1B相交,
所以AC⊥平面A1B1BA,所以AC⊥AB.
取BC的中點(diǎn)D,連接OD,則OD∥AC.
以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),直線OB,OD,OB1分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系.則B(1,0,0),A(-1,0,0),A1(-2,0,),E(-1,1,0),所以=(-3,0,),=(-2,1,0).
設(shè)平面A1BE的一個(gè)法向量為n=(x,y,z),
所以
令x=1,則z=,y=2,所以n=(1,2,).設(shè)=(0

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