1、圓與圓的位置關系
設圓O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝req \\al(2,1)(r1＞0)，
圓O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝req \\al(2,2)(r2＞0).
2、常用結論
1．圓的切線方程常用結論
(1)過圓x2＋y2＝r2上一點P(x0，y0)的圓的切線方程為x0x＋y0y＝r2.
(2)過圓x2＋y2＝r2外一點M(x0，y0)作圓的兩條切線，則兩切點所在直線方程為x0x＋y0y＝r2.
2．圓與圓的位置關系的常用結論
(1)兩圓相交時，其公共弦所在的直線方程由兩圓方程相減得到．
(2)兩個圓系方程
①過直線Ax＋By＋C＝0與圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交點的圓系方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)；
②過圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圓C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交點的圓系方程為x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(其中不含圓C2，所以注意檢驗C2是否滿足題意，以防丟解)．
1、（2022?新高考Ⅰ）寫出與圓和都相切的一條直線的方程 ．
【答案】（填，都正確）．
【解析】圓的圓心坐標為，半徑，
圓的圓心坐標為，半徑，
如圖：
，兩圓外切，由圖可知，與兩圓都相切的直線有三條．
，的斜率為，設直線，即，
由，解得（負值舍去），則；
由圖可知，；與關于直線對稱，
聯(lián)立，解得與的一個交點為，在上取一點，
該點關于的對稱點為，，則，解得對稱點為，．
，則，即．
與圓和都相切的一條直線的方程為：
（填，都正確）．
故答案為：（填，都正確）
1、若圓與圓外切，則
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由題意得，，，所以．
2、圓C1：(x＋1)2＋(y－2)2＝4與圓C2：(x－3)2＋(y－2)2＝4的公切線的條數是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】 C
【解析】 圓C1：(x＋1)2＋(y－2)2＝4的圓心為C1(－1,2)，半徑為2，圓C2：(x－3)2＋(y－2)2＝4的圓心為C2(3,2)，半徑為2，兩圓的圓心距|C1C2|＝eq \r(?－1－3?2＋?2－2?2)＝4＝2＋2，即兩圓的圓心距等于兩圓的半徑之和，故兩圓外切，故公切線的條數為3.
3、圓(x＋2)2＋y2＝4與圓(x－1)2＋(y－4)2＝9的位置關系為( )
A. 內切 B. 相交
C. 外切 D. 相離
【答案】 C
【解析】 由題意，得兩圓心距離d＝5，r1＋r2＝2＋3＝5，所以兩圓外切．
4、 已知圓C1：x2＋y2－2x－6y－1＝0和圓C2：x2＋y2－10x－12y＋45＝0，則圓C1和圓C2的公共弦所在直線的方程為_______________________________．
【答案】 4x＋3y－23＝0
【解析】 圓C1和圓C2的方程相減，得4x＋3y－23＝0，所以兩圓的公共弦所在直線的方程為4x＋3y－23＝0.
考向一 圓與圓的位置關系
例1、已知兩圓x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋m＝0.
(1)m取何值時兩圓外切？
(2)m取何值時兩圓內切？
(3)求m＝45時兩圓的公共弦所在直線的方程和公共弦的長．
【解析】 兩圓的標準方程為(x－1)2＋(y－3)2＝11，(x－5)2＋(y－6)2＝61－m，圓心分別為M(1,3)，N(5,6)，半徑分別為eq \r(11)和eq \r(61－m).
(1)當兩圓外切時，eq \r(?5－1?2＋?6－3?2)＝eq \r(11)＋eq \r(61－m)，解得m＝25＋10eq \r(11).
(2)當兩圓內切時，因定圓的半徑eq \r(11)小于兩圓圓心距5，故只有eq \r(61－m)－eq \r(11)＝5，解得m＝25－10eq \r(11).
(3)當m＝45時，4－eq \r(11)＜|MN|＝5＜eq \r(11)＋4，兩圓相交，其兩圓的公共弦所在直線方程為(x2＋y2－2x－6y－1)－(x2＋y2－10x－12y＋45)＝0，即4x＋3y－23＝0.
所以公共弦長為2eq \r(?\r(11)?2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(|4×1＋3×3－23|,\r(42＋32))))2)＝2eq \r(7).
變式1、（1）已知圓C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝4與圓C2：(x＋b)2＋(y＋2)2＝1相外切，則ab的最大值為________．
【答案】 eq \f(9,4)
【解析】 由圓C1與圓C2相外切，可得 eq \r((a＋b)2＋(－2＋2)2)＝2＋1＝3，即(a＋b)2＝9，根據基本不等式，得ab≤ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2))) eq \s\up12(2)＝ eq \f(9,4)，當且僅當a＝b時等號成立．故ab的最大值為 eq \f(9,4).
（2）已知圓C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝4與圓C2：(x＋b)2＋(y＋2)2＝1， 則 a2＋b2的最小值為__________．
【答案】 eq \f(1,2)
【解析】 由圓C1與圓C2內切，得 eq \r((a＋b)2＋(－2＋2)2)＝1，即(a＋b)2＝1.又由基本不等式 eq \f(a2＋b2,2)≥ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2))) eq \s\up12(2)，可知a2＋b2≥ eq \f((a＋b)2,2)＝ eq \f(1,2)，當且僅當a＝b時等號成立，故a2＋b2的最小值為 eq \f(1,2).
變式2、(1)已知兩圓C1：x2＋y2－2x＋10y－24＝0，C2：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0，則兩圓公共弦所在的直線方程是____________．
(2)兩圓x2＋y2－6x＋6y－48＝0與x2＋y2＋4x－8y－44＝0公切線的條數是________．
(3)已知⊙O的方程是x2＋y2－2＝0，⊙O′的方程是x2＋y2－8x＋10＝0，若由動點P向⊙O和⊙O′所引的切線長相等，則動點P的軌跡方程是________．
【答案】：(1)x－2y＋4＝0 (2)2 (3)x＝eq \f(3,2)
【解析】：(1)兩圓的方程相減得：x－2y＋4＝0．
(2)兩圓圓心距d＝eq \r(74)＜eq \r(66)＋eq \r(64)，∴兩圓相交，故有2條公切線，
(3)⊙O的圓心為(0，0)，半徑為eq \r(2)，⊙O′的圓心為(4，0)，半徑為eq \r(6)，設點P為(x，y)，由已知條件和圓切線性質得x2＋y2－2＝(x－4)2＋y2－6，化簡得x＝eq \f(3,2)
方法總結：(1)判斷兩圓的位置關系多用幾何法，即用兩圓圓心距與半徑和或差的關系判斷，一般不采用代數法．
(2)求兩圓公共弦長的方法是在其中一圓中，由弦心距d，半弦長eq \f(l,2)，半徑r所在線段構成直角三角形，利用勾股定理求解．若兩圓相交，則兩圓公共弦所在直線的方程可由兩圓的方程作差得到．
考向二 圓與圓的綜合問題
例2、（2022·山東臨沂·高三期末）已知圓：，圓：，在圓上，在圓上，則（ ）
A．的取值范圍是B．直線是圓在點處的切線
C．直線與圓相交D．直線與圓相切
【答案】ABD
【解析】圓：的圓心為，半徑為1，圓：的圓心為，半徑為2，
觀察圖象可得，所以的取值范圍是，A對，
∵，∴ 點在直線上，
又到直線的距離，又圓的半徑為1，
∴直線是圓在點處的切線，B對，
∵ 點在圓上， ∴，
∴ 到直線的距離，又圓的半徑為2，
∴直線與圓相離，C錯，
圓的圓心為，半徑為，
點到直線的距離，
∴直線與圓相切，D對，
故選：ABD.
變式、（2022·湖北武昌·高三期末）已知圓O的方程為，P是圓C：上一點，過P作圓O的兩條切線，切點分別為A、B，則的取值范圍為______．
【答案】
【解析】如圖，
設PA與PB的夾角為2α，
則|PA|=|PB|=，
∴．
P是圓C：上一點，
，
，
令,
則在上遞減，
所以當時，，此時P的坐標為，
當時，，此時P的坐標為，
∴的范圍為．
故答案為：.
方法總結：圓與圓的綜合題目涉及到參數的問題，解題思路就是通過圓與圓的位置關系，尋求參數之間的關系，然后轉化為函數的思想進行解決
1、 （2022年重慶市巴蜀中學高三模擬試卷）圓關于直線對稱的圓為，若圓和圓有公共點，則實數的取值范圍為______.
【答案】
【解析】
.
得.又設關于的對稱點為，
則，故：.
又兩圓有公共點，則.
故答案為：.
2、（2022·山東棗莊·高三期末）設與相交于兩點，則________．
【答案】
【解析】
將和兩式相減：
得過兩點的直線方程： ，
則圓心到的距離為，
所以 ，
故答案為：
3、（深圳市羅湖區(qū)期末試題）圓與圓公共弦長為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
聯(lián)立兩個圓的方程，
兩式相減可得公共弦方程，
圓的圓心坐標為，半徑為，
圓心到公共弦的距離為，
公共弦長為.
故選:.
4、（2022年重慶市第八中學高三模擬試卷）（多選題）若過點的圓與兩坐標軸都相切，且與過點和點的直線相離，設為圓上的動點，則下列說法正確的是（ ）
A. 圓心的坐標為或
B. 面積的最大值為22
C. 當最小時，
D. 不存在點使
【答案】BCD
【解析】
【詳解】由題意知圓心必在第一象限，設圓心的坐標為，則圓的半徑為，
圓的標準方程為，由題意可得，解得或，
當時，圓心到直線：的距離為，
當時，圓心到直線：的距離為，
又圓與：相離， 所以圓心的坐標為，A錯誤；
因為點到直線的距離的最大值為，
所以，B正確；
當最小時，與圓相切，由對稱性或勾股定理可得，C正確；
假設存在點使，則的外接圓圓的半徑為，
設圓方程為，則
，解得或
又因為為圓上的動點，當圓心時，，
當圓心時，，所以圓與圓相離，點不存在，D正確，
故選：BCD
5、（2022·河北唐山·高三期末）（多選題）圓M：關于直線對稱，記點，下列結論正確的是（ ）
A．點P的軌跡方程為B．以PM為直徑的圓過定點
C．的最小值為6D．若直線PA與圓M切于點A，則
【答案】ABD
【解析】
圓M：配方得： ，
圓M關于直線對稱，
直線過圓心.
,即
點P的軌跡方程為，A正確.
由，則，則以PM為直徑的圓過定點，B正確.
的最小值即為到直線的距離，由于,則，C錯誤.
由于，要使取最小，即取最小值，,，則D正確.
故選：ABD
方法
位置關系
幾何法：圓心距d與r1，r2的關系
代數法：兩圓方程聯(lián)立組成方程組的解的情況
外離
d>r1＋r2
無解
外切
d＝r1＋r2
一組實數解
相交
|r1－r2|

相關試卷

新高考數學一輪復習考點分類講與練第80講 正態(tài)分布（2份，原卷版+解析版）：

這是一份新高考數學一輪復習考點分類講與練第80講 正態(tài)分布（2份，原卷版+解析版），文件包含新高考數學一輪復習考點分類講與練第80講正態(tài)分布原卷版doc、新高考數學一輪復習考點分類講與練第80講正態(tài)分布解析版doc等2份試卷配套教學資源，其中試卷共27頁， 歡迎下載使用。

新高考數學一輪復習考點分類講與練第61講 圓的方程（2份，原卷版+解析版）：

這是一份新高考數學一輪復習考點分類講與練第61講 圓的方程（2份，原卷版+解析版），文件包含新高考數學一輪復習考點分類講與練第61講圓的方程原卷版doc、新高考數學一輪復習考點分類講與練第61講圓的方程解析版doc等2份試卷配套教學資源，其中試卷共16頁， 歡迎下載使用。

新高考數學一輪復習考點分類講與練第59講 直線的方程（2份，原卷版+解析版）：

這是一份新高考數學一輪復習考點分類講與練第59講 直線的方程（2份，原卷版+解析版），文件包含新高考數學一輪復習考點分類講與練第59講直線的方程原卷版doc、新高考數學一輪復習考點分類講與練第59講直線的方程解析版doc等2份試卷配套教學資源，其中試卷共16頁， 歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關試卷 更多

新高考數學一輪復習考點分類講與練第44講 數列的求和（2份，原卷版+解析版）

新高考數學一輪復習考點分類講與練第44講 數列的求和（2份，原卷版+解析版）
新高考數學一輪復習考點分類講與練第38講 復數（2份，原卷版+解析版）

新高考數學一輪復習考點分類講與練第38講 復數（2份，原卷版+解析版）
新高考數學一輪復習考點分類講與練第14講 函數的圖象（2份，原卷版+解析版）

新高考數學一輪復習考點分類講與練第14講 函數的圖象（2份，原卷版+解析版）
新高考數學一輪復習導學案第63講 圓與圓的位置關系（2份打包，原卷版+解析版）

新高考數學一輪復習導學案第63講 圓與圓的位置關系（2份打包，原卷版+解析版）
資料下載及使用幫助
版權申訴
版權申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認為該資料內容侵犯了您的知識產權，請掃碼添加我們的相關工作人員，我們盡可能的保護您的合法權益。
入駐教習網，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權申訴二維碼
高考專區(qū)
歡迎來到教習網
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機號注冊
手機號碼

手機號格式錯誤

手機驗證碼 獲取驗證碼

手機驗證碼已經成功發(fā)送，5分鐘內有效

設置密碼

6-20個字符，數字、字母或符號

注冊即視為同意教習網「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部