A.B.C.D.
2.(2024·四川石室中學(xué)模擬)過(guò)原點(diǎn)的直線與雙曲線=1(a>0,b>0)交于A,B兩點(diǎn),以AB為直徑的圓恰好經(jīng)過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)F,若△ABF的面積為4a2,則雙曲線的漸近線方程為( )
A.y=±xB.y=±x
C.y=±xD.y=±2x
3.(2024·江西南昌模擬)已知直線l:x-y+1=0與拋物線C:x2=2py(p>0)交于A,B兩點(diǎn),|AB|=8.
(1)求p;
(2)設(shè)拋物線C的焦點(diǎn)為F,過(guò)點(diǎn)F且與l垂直的直線與拋物線C交于E,G兩點(diǎn),求四邊形AEBG的面積.
4.(2024·湖北武漢高三開(kāi)學(xué)考試)已知橢圓C:=1(a>b>0)的離心率為,點(diǎn)()在橢圓C上.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)過(guò)點(diǎn)N(2,0)的直線與橢圓C交于A,B兩點(diǎn),求△AOB的面積S△AOB的最大值.
5.已知雙曲線C:2x2-y2=2與點(diǎn)P(1,2).
(1)求過(guò)點(diǎn)P的弦AB所在直線的方程,使得弦AB的中點(diǎn)為P;
(2)在(1)的前提下,如果線段AB的垂直平分線與雙曲線交于C,D兩點(diǎn),證明:A,B,C,D四點(diǎn)共圓.
6.如圖,已知焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C的焦距為2,點(diǎn)(2,-1)在橢圓C上.過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交C于P,Q兩點(diǎn),其中點(diǎn)P在第一象限,PE垂直于x軸,垂足為E,連接QE并延長(zhǎng)交C于點(diǎn)G.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)證明:△PQG是直角三角形.
7.設(shè)橢圓C:=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,P是C上一點(diǎn),PF2垂直于x軸,∠PF1F2的正切值為.
(1)求C的離心率e;
(2)過(guò)點(diǎn)F2的直線l與C交于M,N兩點(diǎn),若△F1MN面積的最大值為3,求C的方程.
課時(shí)規(guī)范練68 解析幾何減少運(yùn)算量的常用技巧
1.A 解析 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則兩式左、右分別相減,得=0,即=-由題意可得x1+x2=4,y1+y2=2,又=-,則-=-,從而,故橢圓C的離心率e=
2.D 解析設(shè)F1是雙曲線的左焦點(diǎn).如圖,根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性知OA=OB,所以點(diǎn)O是以AB為直徑的圓的圓心.因?yàn)橐訟B為直徑的圓恰好經(jīng)過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)F,則圓的方程為x2+y2=c2,圓也過(guò)左焦點(diǎn)F1,所以AB與F1F相等且互相平分,所以四邊形AF1BF為矩形,所以|AF|=|BF1|.設(shè)|AF|=m,|BF|=n,則|AF|-|BF|=|AF|-|AF1|=m-n=2a,所以m2+n2-2mn=4a2.因?yàn)锳F⊥BF,所以m2+n2=|AB|2=4c2.因?yàn)椤鰽BF的面積為4a2,所以mn=4a2,得mn=8a2,所以4c2-16a2=4a2,得c2=5a2,所以a2+b2=5a2,所以b2=4a2,得b=2a,所以雙曲線的漸近線方程為y=±x=±2x.
3.解 (1)設(shè)A(xA,yA),B(xB,yB),
由消去y,整理得x2-2px-2p=0,易得Δ=4p2+8p>0,所以xA+xB=2p,xAxB=-2p,
則|AB|==2=8,即p2+2p-8=0,因?yàn)閜>0,所以p=2.
(2)由題意可得拋物線C的焦點(diǎn)為F(0,1),直線EG的方程為x+y-1=0.
聯(lián)立消去y,整理得x2+4x-4=0,則Δ=16+16=32>0,
設(shè)E(x1,y1),G(x2,y2),則x1+x2=-4,y1+y2=2-(x1+x2)=6,
則|EG|=y1+y2+p=8.
因?yàn)锳B⊥EG,所以四邊形AEBG的面積是|AB|·|EG|=8×8=32.
4.解 (1)由橢圓C的離心率為,可得,可得a2=3b2.
則橢圓C:=1,將點(diǎn)()代入方程,可得b2=1,
故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為+x2=1.
(2)設(shè)lAB:x=ny+2且A(x1,y1),B(x2,y2),
聯(lián)立方程消去x,整理得(3n2+1)y2+12ny+9=0,由Δ>0,可得n2-1>0,且y1+y2=-,y1y2=,又由原點(diǎn)到直線lAB的距離h=,由圓錐曲線的弦長(zhǎng)公式,可得|AB|=|y1-y2|,所以S△AOB=|y1-y2|=|y1-y2|=
令t=n2-1>0,可得S△AOB=,當(dāng)且僅當(dāng)9t=,即t=時(shí)等號(hào)成立,此時(shí)n2-1=>0,所以面積取到最大值
5.(1)解 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2-=1,所以a2=1,b2=2.設(shè)存在過(guò)點(diǎn)P的弦AB,使得弦AB的中點(diǎn)為P.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則=1,=1,兩式左、右兩邊分別相減,得=0,整理得=2.設(shè)直線AB的斜率是k,又x1+x2=2,y1+y2=4,所以有k=2,所以k=1.所以直線AB的方程為y-2=x-1,即x-y+1=0.經(jīng)檢驗(yàn),存在這樣的弦AB,方程為x-y+1=0.
(2)證明 設(shè)直線CD的方程為x+y+m=0,則點(diǎn)P(1,2)在直線CD上,則m=-3,所以直線CD的方程為x+y-3=0.設(shè)C(x3,y3),D(x4,y4),CD的中點(diǎn)為Q(x0,y0).由=1,=1,兩式左、右兩邊分別相減,得=0,即=2,即-=2,從而kCD,則-1=2,y0=-2x0.
又點(diǎn)Q(x0,y0)在直線CD上,有x0+y0-3=0,解得所以Q(-3,6).由解得A(-1,0),B(3,4).由消去y,整理得x2+6x-11=0,則則|CD|=|x3-x4|=4,由距離公式得|QA|=|QB|=|QC|=|QD|=2,所以A,B,C,D四點(diǎn)共圓.
6.(1)解 (方法一)設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為=1(a>b>0).由條件知2c=2,所以c=,所以a2-b2=3,又=1,聯(lián)立解得a2=6,b2=3,從而橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為=1.
(方法二)設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為=1(a>b>0).
易知橢圓C的兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為F1(-,0),F2(,0),所以2a==2,解得a=,則a2=6,b2=3,從而橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為=1.
(2)證明 設(shè)直線PQ的斜率為k,則直線PQ的方程為y=kx(k>0).
設(shè)P(x1,y1),則Q(-x1,-y1),由題意知x1>0,y1>0.
由解得x1=,y1=k記t=,則P(t,kt),Q(-t,-kt),E(t,0),所以直線EQ的斜率為,則直線EQ的方程為y=(x-t).
由消去y,整理得(2+k2)x2-2tk2x+t2k2-12=0,①
Δ=4t2k4-4(2+k2)(t2k2-12)=-8(t2k2-6k2-12)>0,即t2k2-6k2-12

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