1.(2022·全國甲,理2,文2)某社區(qū)通過公益講座以普及社區(qū)居民的垃圾分類知識.為了解講座效果,隨機抽取10位社區(qū)居民,讓他們在講座前和講座后各回答一份垃圾分類知識問卷,這10位社區(qū)居民在講座前和講座后問卷答題的正確率如下圖,則( )

A.講座前問卷答題的正確率的中位數(shù)小于70%
B.講座后問卷答題的正確率的平均數(shù)大于85%
C.講座前問卷答題的正確率的標準差小于講座后正確率的標準差
D.講座后問卷答題的正確率的極差大于講座前正確率的極差
2.(2024·華中師大一附中模擬)一組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為1,4,4,x,7,8(其中x≠7),若該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是眾數(shù)的倍,則該組數(shù)據(jù)的方差和第60百分位數(shù)分別是( )
A.,5B.5,5C.,6D.5,6
3.(2024·湖南長郡中學模擬)為調(diào)查某地區(qū)中學生每天睡眠時間,按照分層隨機抽樣的原則,現(xiàn)抽取初中生800人,其每天睡眠時間均值為9小時,方差為1,抽取高中生1 200人,其每天睡眠時間均值為8小時,方差為0.5,則估計該地區(qū)中學生每天睡眠時間的方差為( )
4.(多選題)(2021·新高考Ⅰ,9)有一組樣本數(shù)據(jù)x1,x2,…,xn,由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)y1,y2,…,yn,其中yi=xi+c(i=1,2,…,n),c為非零常數(shù),則( )
A.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)相同
B.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)相同
C.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本標準差相同
D.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差相同
5.(多選題)(2024·重慶模擬)教育部辦公廳“關(guān)于進一步加強中小學生體質(zhì)健康管理工作的通知”中指出,各地要加強對學生體質(zhì)健康重要性的宣傳,中小學校要通過體育與健康課程、大課間、課外體育鍛煉、體育競賽、班團隊活動,家校協(xié)同聯(lián)動等多種形式加強教育引導,讓家長和中小學生科學認識體質(zhì)健康的影響因素.了解運動在增強體質(zhì)、促進健康、預防肥胖與近視、錘煉意志、健全人格等方面的重要作用,提高學生體育與健康素養(yǎng),增強體質(zhì)健康管理的意識和能力,某學校共有2 000名男生,為了了解這部分學生的身體發(fā)育情況,學校抽查了100名男生的體重情況.根據(jù)所得數(shù)據(jù)繪制樣本的頻率分布直方圖如圖所示,則下列結(jié)論正確的是( )
A.樣本的眾數(shù)為67.5
B.樣本的中位數(shù)為
C.樣本的平均數(shù)為66
D.該校男生體重超過70 kg的學生大約為600人
6.(多選題)(2023·新高考Ⅰ,9)有一組樣本數(shù)據(jù)x1,x2,…,x6,其中x1是最小值,x6是最大值,則( )
A.x2,x3,x4,x5的平均數(shù)等于x1,x2,…,x6的平均數(shù)
B.x2,x3,x4,x5的中位數(shù)等于x1,x2,…,x6的中位數(shù)
C.x2,x3,x4,x5的標準差不小于x1,x2,…,x6的標準差
D.x2,x3,x4,x5的極差不大于x1,x2,…,x6的極差
7.(2024·黑龍江齊齊哈爾模擬)一組數(shù)據(jù)由8個數(shù)組成,若將其中一個數(shù)由4改為2,另一個數(shù)由6改為8,其余數(shù)不變,得到新的一組數(shù)據(jù),則新的一組數(shù)的方差相比原一組數(shù)的方差的增加值為 .
8.(2021·全國乙,理17,文17)某廠研制了一種生產(chǎn)高精產(chǎn)品的設(shè)備,為檢驗新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的某項指標有無提高,用一臺舊設(shè)備和一臺新設(shè)備各生產(chǎn)了10件產(chǎn)品,得到各件產(chǎn)品該項指標數(shù)據(jù)如下:
舊設(shè)備和新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標的樣本平均數(shù)分別記為,樣本方差分別記為.
(1)求;
(2)判斷新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標的均值較舊設(shè)備是否有顯著提高(如果≥2,則認為新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標的均值較舊設(shè)備有顯著提高,否則不認為有顯著提高).
綜合 提升練
9.(多選題)(2024·遼寧實驗中學模擬)已知一組不完全相同的數(shù)據(jù)x1,x2,…,xn的平均數(shù)為x0,方差為,中位數(shù)為m0,在這組數(shù)據(jù)中加入一個數(shù)x0后得到一組新數(shù)據(jù)x0,x1,x2,…,xn,其平均數(shù)為,方差為s2,中位數(shù)為m,則下列判斷一定正確的是( )
A.x0=B.=s2
C.>s2D.m0>m
10.(2024·山東聊城模擬)某班共有50名學生,在期末考試中,小明因病未參加數(shù)學考試.參加考試的49名學生的數(shù)學成績的方差為2.在評估數(shù)學成績時,老師把小明的數(shù)學成績按這49名學生的數(shù)學成績的平均數(shù)來算,那么全班50名學生的數(shù)學成績的標準差為 .
11.(2024·安徽黃山模擬)為了深入學習領(lǐng)會黨的二十大精神,某高級中學全體學生參加了《二十大知識競賽》,試卷滿分為100分,所有學生成績均在區(qū)間[40,100]分內(nèi),已知該校高一、高二、高三年級的學生人數(shù)分別為800,1 000,1 200,現(xiàn)用分層隨機抽樣的方法抽取了300名學生的答題成績,繪制了如下樣本頻率分布直方圖.
(1)根據(jù)樣本頻率分布直方圖估計該校全體學生成績的眾數(shù)、平均數(shù)、第71百分位數(shù);
(2)已知所抽取各年級答題成績的平均數(shù)、方差的數(shù)據(jù)如表,且根據(jù)頻率分布直方圖估計出總成績的方差為140,求高三年級學生成績的平均數(shù)和高二年級學生成績的方差.
創(chuàng)新 應用練
12.(多選題)(2024·湖南懷化模擬)投擲一枚均勻的骰子8次,記錄每次骰子出現(xiàn)的點數(shù).根據(jù)統(tǒng)計結(jié)果,可以判斷一定出現(xiàn)點數(shù)6的是( )
A.第25百分位數(shù)為2,極差為4
B.平均數(shù)為3.5,第75百分位數(shù)為3.5
C.平均數(shù)為3,方差為3
D.眾數(shù)為4,平均數(shù)為4.75
課時規(guī)范練73 用樣本估計總體
1.B 解析 對于A,中位數(shù)為(70%+75%)÷2=72.5%>70%,A錯誤;對于B,平均數(shù)為89.5%>85%,B正確;對于C,從圖中可以看出,講座前問卷答題的正確率的波動幅度要大于講座后問卷答題的正確率的波動幅度,故C錯誤;對于D,講座后問卷答題的正確率的極差為20%,講座前問卷答題的正確率的極差為35%,D錯誤.故選B.
2.C 解析 依題意,這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為,眾數(shù)為4,由題意知=4,解得x=6,該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為(1+4+4+6+7+8)=5,該組數(shù)據(jù)的方差是s2=[(1-5)2+(4-5)2+(4-5)2+(6-5)2+(7-5)2+(8-5)2]=,因為6×60%=3.6,所以該組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)是6.
3.A 解析 該地區(qū)中學生每天睡眠時間的平均數(shù)為9+8=8.4(小時),該地區(qū)中學生每天睡眠時間的方差為[1+(9-8.4)2]+[0.5+(8-8.4)2]=0.94.
4.CD 解析 xi,+c,故A錯誤;兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)相差c,故B錯誤;(xi-)2,[(xi+c)-(+c)]2=,故C正確;x極差=xmax-xmin,y極差=(xmax+c)-(xmin+c)=xmax-xmin,故D正確.
5.ABD 解析 對于A,觀察頻率分布直方圖可知,樣本的眾數(shù)為=67.5,A正確;
對于B,設(shè)樣本的中位數(shù)為x,觀察頻率分布直方圖可知該中位數(shù)位于(65,70]之間,則有5×0.03+5×0.05+(x-65)×0.06=0.5,解得x=,B正確;
對于C,由直方圖估計樣本平均值為57.5×0.15+62.5×0.25+67.5×0.3+72.5×0.2+77.5×0.1=66.75,C錯誤;
對于D,2000名男生中體重大于70kg的人數(shù)大約為2000×5×(0.04+0.02)=600,D正確.故選ABD.
6.BD 解析 對于選項A,如1,2,2,2,2,5的平均數(shù)不等于2,2,2,2的平均數(shù),故A錯誤;對于選項B,不妨設(shè)x2≤x3≤x4≤x5,x2,x3,x4,x5的中位數(shù)為,x1,x2,…,x6的中位數(shù)為,故B正確;對于選項C,因為x1是最小值,x6是最大值,所以x1,x2,…,x6的數(shù)據(jù)波動更大,故C錯誤;對于選項D,不妨設(shè)x2≤x3≤x4≤x5,則x1≤x2≤x3≤x4≤x5≤x6,所以x5-x2≤x6-x1,故D正確.故選BD.
7.2 解析 一個數(shù)由4改為2,另一個數(shù)由6改為8,故該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)不變,設(shè)沒有改變的6個數(shù)分別為x1,x2,…,x6,
原數(shù)據(jù)的方差+…+],新數(shù)據(jù)的方差+…+],所以]=2.
8.解 (1)由題中數(shù)據(jù)可得,(9.8+10.3+10.0+10.2+9.9+9.8+10.0+10.1+10.2+9.7)=10,
(10.1+10.4+10.1+10.0+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5)=10.3,
[(9.8-10)2+(10.3-10)2+(10.0-10)2+(10.2-10)2+(9.9-10)2+(9.8-10)2+(10.0-10)2+(10.1-10)2+(10.2-10)2+(9.7-10)2]=0.036;
[(10.1-10.3)2+(10.4-10.3)2+(10.1-10.3)2+(10.0-10.3)2+(10.1-10.3)2+(10.3-10.3)2+(10.6-10.3)2+(10.5-10.3)2+(10.4-10.3)2+(10.5-10.3)2]=0.04.
(2)因為=10.3-10=0.3,
2=2=20.174,所以>2,
故新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標的均值較舊設(shè)備有顯著提高.
9.AC 解析 =x0,∴x1+x2+…+xn=nx0,
=x0,平均數(shù)不變,∴A選項正確;
+…+],
s2=+…+],所以>s2,故B錯誤,C正確;
對于D選項,由于原數(shù)據(jù)的中位數(shù)與平均數(shù)的大小關(guān)系不確定,所以不能比較新數(shù)據(jù)與原數(shù)據(jù)的中位數(shù)的大小,故D錯誤.故選AC.
10 解析 設(shè)參加考試的49名學生的數(shù)學成績?yōu)閤i(i=1,2,3,…,49),平均成績?yōu)?則小明的成績也為,由題意得=2,則全班50名學生的數(shù)學成績的標準差為
=
=
=
11.解 (1)由頻率分布直方圖知,學生成績在[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]內(nèi)的頻率分別為:0.06,0.12,0.4,0.26,0.10,0.06,顯然學生成績在[60,70)內(nèi)的頻率最大,所以估計該校全體學生成績的眾數(shù)為65;
平均數(shù)=0.06×45+0.12×55+0.4×65+0.26×75+0.10×85+0.06×95=69;
0.06+0.12+0.4=0.580.71,所以第71百分位數(shù)m∈[70,80),由0.06+0.12+0.4+(m-70)×0.026=0.71,解得m=75,所以第71百分位數(shù)為75.
(2)由題知,樣本中高一、高二、高三年級分別抽取了80人、100人、120人,記樣本中高一學生的成績?yōu)閍i(1≤i≤80,i∈N*),高二學生的成績?yōu)閎i(1≤i≤100,i∈N*),高三學生的成績?yōu)閏i(1≤i≤120,i∈N*),于是ai=80×60,bi=100×63,ci=120,因此ai+bi+ci)=(80×60+100×63+120)=60+63+=69,解得=80,樣本中三個年級成績的方差s2=(ai-)2+],
高一、高二、高三年級學生成績的平均數(shù)分別為,方差分別為,則有=80(ai-)=ai-80=80-80=0,[(ai-)+()]2=+2(ai-)()+]=+2((ai-)+80],同理=
100[],].因此s2=]+]+]=[(60-69)2+75]+[(63-69)2+]+[(80-69)2+55]=+12+=124+=140,解得=48,所以估計高三年級學生成績的平均數(shù)=80,高二年級學生成績的方差=48.
12.BD 解析 記8次的投擲結(jié)果為xi,i=1,…,8,不妨設(shè)1≤x1≤x2≤x3≤x4≤x5≤x6≤x7≤x8≤6,則對于A,這8個數(shù)可以是1,2,2,2,3,3,4,5,符合要求,但沒出現(xiàn)點數(shù)6,故A錯誤.
對于B,因為平均數(shù)為3.5,所以x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8=3.5×8=28,又第75百分位數(shù)為3.5,所以x6+x7=7,所以x6=3,x7=4,所以x1+x2+x3+x4+x5+x8=21,且x1≤x2≤x3≤x4≤x5≤3,4≤x8≤6,所以x1+x2+x3+x4+x5≤15,所以x8≥6,即x8=6.所以一定出現(xiàn)點數(shù)6,故B正確.
對于C,若這8個數(shù)是1,1,1,3,3,5,5,5,(1+1+1+3+3+5+5+5)=3,s2=[(1-3)2+(1-3)2+(1-3)2+(3-3)2+(3-3)2+(5-3)2+(5-3)2+(5-3)2]=3,符合要求,但沒出現(xiàn)點數(shù)6,故C錯誤.
對于D,因為平均數(shù)為4.75,所以x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8=4.75×8=38,又眾數(shù)為4,假設(shè)這8個數(shù)中沒有6,則和最大的情況為4+4+4+4+4+5+5+5=35

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