【題型一】 五個方程題型框架
【典例分析】
已知圓C經(jīng)過兩點A(2，2)，B(3，3)，且圓心C在直線x－y+1=0上.
（1）求圓C的標準方程；
（2）設(shè)直線l：y=kx+1與圓C相交于M，N兩點，O為坐標原點，若，求|MN|的值.
【變式演練】
1.橢圓：的左右焦點分別為，，P為橢圓C上一點.
（1）當(dāng)P為橢圓C的上頂點時，求；
（2）若，求滿足條件的點P的個數(shù)；（直接寫答案）
（3）直線與橢圓C交于A，B，若，求k.
2.已知動點P到點（0，1）的距離與到直線y＝2的距離的比值為，動點P的軌跡為曲線C．
（1）求曲線C的方程；
（2）直線y＝kx+1與曲線C交于A，B兩點，點M（0，2），證明：直線MA，MB的斜率之和為0．
3.設(shè)橢圓的左焦點為，離心率為，過點且與軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為3.
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)為橢圓的下頂點，為橢圓的上頂點，過點且斜率為的直線與橢圓交于，兩點.若，求的值.
【題型二】 直線設(shè)法
【典例分析】
已知拋物線，過點的直線交拋物線于，兩點.
（1）求拋物線的焦點坐標及準線方程；
（2）證明：以線段為直徑的圓過原點.
【變式演練】
1.已知橢圓E：過點，且離心率為．
(Ⅰ)求橢圓E的方程；
(Ⅱ)設(shè)過點（0，-1)直線交橢圓E于A，B兩點，判斷點G與以線段AB為直徑的圓的位置關(guān)系，并說明理由．
2.已知雙曲線：的離心率為，點在上，為的右焦點.
（1）求雙曲線的方程；
（2）設(shè)為的左頂點，過點作直線交于（不與重合）兩點，點是的中點，求證：.
3. 如圖，設(shè)橢圓的中心為原點O，長軸在x軸上，上頂點為A，左右焦點分別為，線段的中點分別為，且△ 是面積為4的直角三角形。
（Ⅰ）求該橢圓的離心率和標準方程；
（Ⅱ）過B做直線交橢圓于P，Q兩點，使，求直線的方程
【題型三】 雙變量直線核心理解
【典例分析】
已知點M為直線l1：x＝－1上的動點，N(1，0)，過M作直線l1的垂線l，l交MN的中垂線于點P，記點P的軌跡為C．
（1）求曲線C的方程；
（2）若直線l2：y＝kx＋m(k≠0)與圓E：(x－3)2＋y2＝6相切于點D，與曲線C交于A，B兩點，且D為線段AB的中點，求直線l2的方程．
【變式演練】
1.在平面直角坐標系中，已知分別是橢圓的左、右焦點，橢圓與拋物線有一個公共的焦點，且過點.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)設(shè)直線與橢圓相交于、兩點,若(為坐標原點),試判斷直線與圓的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論.
2.已知拋物線的準線方程為.
（1）求拋物線的標準方程；
（2）若過點的直線與拋物線相交于兩點，且以為直徑的圓過原點，求證：為常數(shù)，并求出此常數(shù).
3.已知A、B、C是橢圓W:上的三個點,O是坐標原點.
( = 1 \* ROMAN I)當(dāng)點B是W的右頂點,且四邊形OABC為菱形時,求此菱形的面積;
( = 2 \* ROMAN II)當(dāng)點B不是W的頂點時,判斷四邊形OABC是否可能為菱形,并說明理由.
【題型四】 直線過定點
【典例分析】
已知A、B分別為橢圓E：（a>1）的左、右頂點，G為E的上頂點，，P為直線x=6上的動點，PA與E的另一交點為C，PB與E的另一交點為D．
（1）求E的方程；
（2）證明：直線CD過定點.
【變式演練】
1.已知橢圓兩點在橢圓C上．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)直線l不經(jīng)過點且與C相交于A，B兩點．若直線與直線的斜率的和為，證明：l過定點．
2.在平面直角坐標系xOy中，動點Р與定點F(2，0)的距離和它到定直線l：的距離之比是常數(shù)，記P的軌跡為曲線E.
（1）求曲線E的方程；
（2）設(shè)過點A(，0)兩條互相垂直的直線分別與曲線E交于點M，N(異于點A)，求證：直線MN過定點.
3.已知橢圓C：（）的上頂點與右焦點連線的斜率為，C的短軸的兩個端點與左、右焦點的連線所構(gòu)成的四邊形的面積為．
（1）求橢圓C的標準方程．
（2）已知點，若斜率為k（）的直線l與橢圓C交于不同的兩點A，B，當(dāng)直線AP，BP的傾斜角互補時，試問直線l是否過定點？若過定點，求出該定點的坐標；若不過定點，說明理由．
【題型五】 圓過定點
【典例分析】
在平面直角坐標系中，已知橢圓的左?右焦點分別為?，點為橢圓上的動點，當(dāng)點為短軸頂點時，△的面積為，橢圓短軸長為2.
（1）求橢圓的方程；
（2）若直線過定點且與橢圓交于不同的兩點，，點是橢圓的右頂點，直線，分別與軸交于?兩點，試問：以線段為直徑的圓是否過軸上的定點？若是，求出定點坐標；若不是，說明理由.
【變式演練】
1.在平面直角坐標系中，已知動圓的半徑為1，且經(jīng)過坐標原點，設(shè)動圓的圓心為．
（1）求點的軌跡方程；
（2）設(shè)點的軌跡與軸交于，兩點（在左側(cè)），過點的直線交點的軌跡于點（異于，），交直線：于點，經(jīng)過，的直線交于點，求證以為直徑的圓過定點，并求出定點坐標．
2.已知橢圓的左右頂點分別為A，B，點P為橢圓上異于A，B的任意一點.
（1）證明：直線PA與直線PB的斜率乘積為定值；
（2）設(shè)，過點Q作與軸不重合的任意直線交橢圓E于M，N兩點.問：是否存在實數(shù)，使得以MN為直徑的圓恒過定點A？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.
3.已知拋物線的焦點F與橢圓C：的一個焦點重合，且點F關(guān)于直線的對稱點在橢圓上．
求橢圓C的標準方程；
過點且斜率為k的動直線l交橢圓于A、B兩點，在y軸上是否存在定點M，使以AB為直徑的圓恒過這個點？若存在，求出M點的坐標，若不存在，說明理由．
【題型六】 面積的幾種求法
【典例分析】
已知拋物線關(guān)于軸對稱，且過點
（1）求拋物線的標準方程；
（2）過點的直線與拋物線交于，兩點，若，求直線的方程
【變式演練】
1.已知拋物線C：的焦點為F，直線l：y=與拋物線C交于A，B兩點.
（1）求AB弦長；
（2）求△FAB的面積.
2.已知拋物線：（），其上一點到的焦點的距離為4.
（Ⅰ）求拋物線的方程；
（Ⅱ）過點的直線與拋物線分別交于，兩點（點，均在軸的上方），若的面積為4，求直線的方程.
3.已知雙曲線：（，）的離心率為，虛軸長為4.
（1）求雙曲線的標準方程；
（2）直線：與雙曲線相交于，兩點，為坐標原點，的面積是，求直線的方程.
【題型七】 面積最值
【典例分析】
已知一張紙上畫有半徑為4的圓O，在圓O內(nèi)有一個定點A，且，折疊紙片，使圓上某一點剛好與A點重合，這樣的每一種折法，都留下一條直線折痕，當(dāng)取遍圓上所有點時，所有折痕與的交點形成的曲線記為C.
（1）求曲線C的焦點在軸上的標準方程；
（2）過曲線C的右焦點（左焦點為）的直線l與曲線C交于不同的兩點M，N，記的面積為S，試求S的取值范圍.
【變式演練】
1.已知橢圓C：=1(a>b>0)的焦點F在直線上，離心率為.
（1）求橢圓C的方程；
（2）若O為坐標原點，過點M(0，2)作直線l交橢圓C于A、B兩點，求△AOB面積的最大值.
2.已知點是已知橢圓的左、右焦點，點在橢圓上，當(dāng)時，面積達到最大，且最大值為.
（1）求橢圓的標準方程；
（2）過的直線與橢圓交于兩點，且兩點與左右頂點不重合，若，求四邊形面積的取值范圍.
3.已知橢圓的長軸長為4，離心率為，一動圓過橢圓上焦點，且與直線相切．
（1）求橢圓的方程及動圓圓心軌跡的方程；
（2）過作兩條互相垂直的直線，，其中交橢圓于，兩點，交曲線于，兩點，求四邊形面積的最小值．
【題型八】 定值
【典例分析】
已知橢圓C：(a＞b＞0)的右焦點F2與拋物線y2＝4x的焦點重合，且其離心率為．
（1）求橢圓C的方程．
（2）已知與坐標軸不垂直的直線l與C交于M，N兩點，線段MN中點為P，問：kMN·kOP(O為坐標原點)是否為定值？請說明理由．
【變式演練】
1.已知雙曲線C的中心在原點，是它的一個頂點.是它的一條漸近線的一個方向向量.
（1）求雙曲線C的方程；
（2）設(shè)，M為雙曲線右支上動點，當(dāng)|PM|取得最小時，求四邊形ODMP的面積；
（3）若過點任意作一條直線與雙曲線C交于A，B兩點（A，B都不同于點D），求證:為定值.
2.已知圓：，定點，A是圓上的一動點，線段的垂直平分線交半徑于P點．
（1）求P點的軌跡C的方程；
（2）設(shè)直線過點且與曲線C相交于M，N兩點，不經(jīng)過點．證明：直線MQ的斜率與直線NQ的斜率之和為定值．
3.已知橢圓的離心率為，右焦點為，點在橢圓上．
（1）求橢圓的方程；
（2）過點的直線（不與軸重合）交橢圓于點，，直線，分別與直線交于點，．求證：以線段為直徑的圓被軸截得的弦長為定值．
【題型九】最值與范圍
【典例分析】
已知中心在原點的雙曲線的右焦點為，右頂點為．
（）求雙曲線的方程；
（）若直線與雙曲線交于不同的兩點，，且線段的垂直平分線過點，求實數(shù)的取值范圍．
【變式演練】
1.已知中心在原點的雙曲線的一個焦點，一個頂點為.
（1）求雙曲線的方程；
（2）若直線與雙曲線的左右兩支各有一個交點，求的取值范圍.
2.已知雙曲線C的方程為（），離心率為.
（1）求雙曲線的標準方程；
（2）過的直線交曲線于兩點，求的取值范圍.
3.已知橢圓C：的左、右焦點分別為，離心率為，P為橢圓C上的一個動點.當(dāng)P是C的上頂點時，△的面積為.
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）設(shè)斜率存在的直線與C的另一個交點為Q，是否存在點，使得?若存在，求出t的取值范圍；若不存在，請說明理由.
【題型十】 第六個方程的積累
【典例分析】
已知橢圓的中心在原點，焦點在軸上，離心率為，且橢圓上的點到兩個焦點的距離之和為.
（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)為橢圓的左頂點，過點的直線與橢圓交于點，與軸交于點，過原點且與平行的直線與橢圓交于點.求的值.
【變式演練】
1.已知橢圓的離心率為，其左、右焦點分別為，，點P為坐標平面內(nèi)的一點，且，，O為坐標原點.（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)M為橢圓C的左頂點，A，B是橢圓C上兩個不同的點，直線，的傾斜角分別為，，且證明：直線恒過定點，并求出該定點的坐標.
2.已知橢圓：，圓：的圓心在橢圓上，點到橢圓的右焦點的距離為2．
（1）求橢圓的方程；
（2）過點作直線交橢圓于，兩點，若，求直線的方程．
3.已知拋物線（）的焦點為，直線過點且與相交于、兩點，當(dāng)直線的傾斜角為時，.（1）求的方程；（2）若點是拋物線上、之間一點，當(dāng)點到直線的距離最大時，求△面積的最小值；（3）若的垂直平分線與相交于、兩點，且、、、四點在同一圓上，求的方程.
【課后練習(xí)】
1.（天津市耀華中學(xué)高三上學(xué)期第二次月考）已知橢圓的右焦點為，下頂點為，離心率為，且.
（1）求橢圓的標準方程；
（2）設(shè)直線與軸交于點，過作斜率為的直線交橢圓于不同的兩點，延長交于點，若，求的取值范圍.
2.已知橢圓E的方程為，過點且離心率為
（1）求橢圓E的方程；
（2）點A是橢圓E與x軸正半軸的交點，不過點A的直線交橢圓E于B、C兩點，且直線，的斜率分別是，，若，
①證明直線l過定點R；
②求面積的最大值．
3.已知橢圓經(jīng)過點，焦距為.
（1）求橢圓E的標準方程；
（2）若四邊形內(nèi)接于橢圓E，對角線交于坐標原點O，且這兩條對角線的斜率之積為，求證：四邊形的任意一組鄰邊的傾斜角互補.
4.已知P(，)是橢圓C： (a>b>0)上一點，以點P及橢圓的左、右焦點F1，F(xiàn)2為頂點的三角形面積為2．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）過F2作斜率存在且互相垂直的直線l1，l2，M是l1與C兩交點的中點，N是l2與C兩交點的中點，求△MNF2面積的最大值．
5.（福建省廈門第一中學(xué)高三上學(xué)期期中）已知點A為拋物線上的一個動點（A與坐標原點O不重合），中點P的軌跡為曲線C.
（1）求曲線C的方程；
（2）直線L過交曲線C于M，N兩點，F(xiàn)為曲線C的焦點，求的最小值.
6（江蘇省百校大聯(lián)考高三上學(xué)期11月一輪復(fù)習(xí)階段檢測）.已知橢圓C：的離心率為，且是C上一點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過右焦點作直線l交橢圓C于A，B兩點，在x軸上是否存在點M，使為定值？若存在，求出點M的坐標及該定值；若不存在，試說明理由．
7.已知橢圓的右頂點為，焦距是，離心率.（1）求橢圓的方程；
（2）直線（均為常數(shù)）與橢圓相交于不同的兩點（均異于點），若以為直徑的圓經(jīng)過橢圓的右頂點，試判斷直線能否過定點？若能，求出該定點坐標；若不能，也請說明理由．
8.已知圓F1：（x+1）2+y2=16，F(xiàn)2（1，0），P是圓F1上的一個動點，F(xiàn)2P的中垂線l交F1P于點Q.
（1）求點Q的軌跡E的方程；
（2）若斜率為k（k≠0）的直線l1與點Q的軌跡E交于不同的兩點A，B，且線段AB的垂直平分線過定點（，0），求k的取值范圍.
9.已知橢圓的離心率為，直線與以原點為圓心、橢圓的短半軸長為半徑的圓相切．（1）求橢圓的方程；
（2）是否存在直線與橢圓交于兩點，交軸于點，使成立？若存在，求出實數(shù)的取值范圍；若不存在，請說明理由．
已知點在橢圓上，設(shè)，，分別為橢圓的左頂點?上頂點?下頂點，且點到直線的距離為.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)為坐標原點，，為橢圓上的兩點，且，求證：的面積為定值，并求出這個定值.
第27講 圓錐曲線壓軸大題十類
【題型一】 五個方程題型框架
【典例分析】
已知圓C經(jīng)過兩點A(2，2)，B(3，3)，且圓心C在直線x－y+1=0上.
（1）求圓C的標準方程；
（2）設(shè)直線l：y=kx+1與圓C相交于M，N兩點，O為坐標原點，若，求|MN|的值.
【答案】（1）（2）
【分析】
（1）設(shè)圓的方程為，由已知列出關(guān)于，，的方程組求解即可得答案；
（2）設(shè)，，，，將代入，利用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合向量數(shù)量積的坐標運算求出值，再利用弦長公式即可求解．
（1）解：設(shè)所求圓的標準方程為，
由題意，有，解得，所以圓C的標準方程為；
解：設(shè)，，，，將
代入，
整理得，
所以，
，所以，
解得或，
檢驗時，不合題意，所以，所以，，
所以.
【變式演練】
1.橢圓：的左右焦點分別為，，P為橢圓C上一點.
（1）當(dāng)P為橢圓C的上頂點時，求；
（2）若，求滿足條件的點P的個數(shù)；（直接寫答案）
（3）直線與橢圓C交于A，B，若，求k.
【答案】（1）（2）0（3）
【分析】（1）由橢圓的方程可得，，然后可得答案；
（2）結(jié)合（1）的答案可得點的個數(shù)；（3）聯(lián)立直線與橢圓的方程消元，利用弦長公式求解即可.
解（1）因為橢圓：的左右焦點分別為，，P為橢圓C的上頂點
所以，，
所以，，所以
（2）若，滿足條件的點P的個數(shù)為0
（3）設(shè)，聯(lián)立可得
所以所以解得
2.已知動點P到點（0，1）的距離與到直線y＝2的距離的比值為，動點P的軌跡為曲線C．
（1）求曲線C的方程；
（2）直線y＝kx+1與曲線C交于A，B兩點，點M（0，2），證明：直線MA，MB的斜率之和為0．
【答案】（1）（2）證明見解析
【分析】（1）根據(jù)題意，結(jié)合兩點間距離公式進行求解即可；
（2）直線y＝kx+1與曲線C方程聯(lián)立，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系，結(jié)合斜率公式進行求解即可.
解（1）設(shè)點P的坐標為P（x，y），則，整理可得曲線C的軌跡方程為；
（2）證明：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），與直線方程聯(lián)立可得：（k2+2）x2+2kx﹣1＝0，則：，
＝，
從而直線MA，MB的斜率之和為0．
3.設(shè)橢圓的左焦點為，離心率為，過點且與軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為3.
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)為橢圓的下頂點，為橢圓的上頂點，過點且斜率為的直線與橢圓交于，兩點.若，求的值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）根據(jù)橢圓離心率公式，結(jié)合代入法進行求解即可；
（2）根據(jù)平面向量數(shù)量積坐標表示公式，結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系進行求解即可.
【詳解】：（1）由題意可得，，當(dāng)時，，所以得：，解得，所以橢圓的標準方程為；
（2）由（1）可知，，，，過點且斜率為的直線方程為，
聯(lián)立方程，可得，設(shè)，，
則，，故，
又，，，，
所以
，整理可得，解得.
【題型二】 直線設(shè)法
【典例分析】
已知拋物線，過點的直線交拋物線于，兩點.
（1）求拋物線的焦點坐標及準線方程；
（2）證明：以線段為直徑的圓過原點.
【答案】（1）焦點坐標，準線方程；（2）證明見解析.
【分析】（1）由拋物線的標準方程即可求解.
（2）方法一：討論直線斜率存在或不存在，將直線與拋物線聯(lián)立，證出即可證明；方法二：當(dāng)直線斜率為0或者設(shè)，將直線與拋物線聯(lián)立，證明即可證明.
【詳解】
（1）由拋物線的標準方程：焦點坐標，準線方程.
（2）法一：①當(dāng)直線斜率不存在時，，，，.
②當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)，，，
由得，得，∴，，
∴
.綜上所述，∴，故以線段為直徑的圓過原點.
法二：當(dāng)直線斜率為0時，直線與拋物線交于一點，不符合題意.
設(shè)，，，聯(lián)立，得，，
，.∴
.∴，故以線段為直徑的圓過原點.
【變式演練】
1.已知橢圓E：過點，且離心率為．
(Ⅰ)求橢圓E的方程；
(Ⅱ)設(shè)過點（0，-1)直線交橢圓E于A，B兩點，判斷點G與以線段AB為直徑的圓的位置關(guān)系，并說明理由．
試題解析：解法一：(Ⅰ)由已知得解得所以橢圓E的方程為．
.(Ⅱ)設(shè)點，則
由所以
從而

2.已知雙曲線：的離心率為，點在上，為的右焦點.
（1）求雙曲線的方程；
（2）設(shè)為的左頂點，過點作直線交于（不與重合）兩點，點是的中點，求證：.
【答案】（1）；（2）證明見解析.
【分析】
（1）根據(jù)離心率和橢圓上的點可構(gòu)造方程組求得雙曲線方程；
（2）易知直線斜率不為，設(shè)，與雙曲線方程聯(lián)立后可得韋達定理的形式，根據(jù)向量數(shù)量積的坐標運算，結(jié)合韋達定理可得，證得，由直角三角形的性質(zhì)可得結(jié)論.
解（1）由已知可得，，解得：…①，
又點在上，…②，由①②可得：，，雙曲線的方程為；
（2）當(dāng)?shù)男甭蕿闀r，此時中有一點與重合，不符合題意.
當(dāng)斜率不為時，設(shè)，，，
聯(lián)立得：，則，解得：.
，
，，則是直角三角形，是斜邊，
點是斜邊的中點，，即.
3. 如圖，設(shè)橢圓的中心為原點O，長軸在x軸上，上頂點為A，左右焦點分別為，線段的中點分別為，且△ 是面積為4的直角三角形。
（Ⅰ）求該橢圓的離心率和標準方程；
（Ⅱ）過B做直線交橢圓于P，Q兩點，使，求直線的方程
解：設(shè)所求橢圓的標準方程為，右焦點為。
因是直角三角形，又,故為直角，因此,得。
結(jié)合得，故，所以離心率。
在中，，故
由題設(shè)條件，得，從而。因此所求橢圓的標準方程為：
（2）由（1）知，由題意知直線的傾斜角不為0，故可設(shè)直線的方程為：，代入橢圓方程得， 設(shè)，則是上面方程的兩根，因此
,又，所以


由,得,即，解得，
所以滿足條件的直線有兩條，其方程分別為：和
【題型三】 雙變量直線核心理解
【典例分析】
已知點M為直線l1：x＝－1上的動點，N(1，0)，過M作直線l1的垂線l，l交MN的中垂線于點P，記點P的軌跡為C．
（1）求曲線C的方程；
（2）若直線l2：y＝kx＋m(k≠0)與圓E：(x－3)2＋y2＝6相切于點D，與曲線C交于A，B兩點，且D為線段AB的中點，求直線l2的方程．
【答案】（1）（2）或
【分析】
（1），點到定點的距離等于到直線的距離，說明點的軌跡是以為焦點，為準線的拋物線，求解拋物線方程即可．
（2）設(shè)，，，，，，直線斜率為，顯然，由得，，求出D的坐標，再利用與圓切于D求解即可．
（1）
由已知可得，，
即點到定點的距離等于到直線的距離，
故點的軌跡是以為焦點，為準線的拋物線，
所以曲線的方程為．
（2）設(shè)，，，，，，直線斜率為，顯然，
由得，，
．所以，，即，．
因為直線與圓相切于點，所以；，
從而且，整理可得，即．
所以，故的方程為或．
【變式演練】
1.在平面直角坐標系中，已知分別是橢圓的左、右焦點，橢圓與拋物線有一個公共的焦點，且過點.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)設(shè)直線與橢圓相交于、兩點,若(為坐標原點),試判斷直線與圓的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論.
解(Ⅰ)由已知得,由題意得 ，又，……2分
消去可得，，解得或（舍去），則，
所以橢圓的方程為．……4分
(Ⅱ)結(jié)論：直線與圓相切.
證明:由題意可知,直線不過坐標原點,設(shè)的坐標分別為
(ⅰ)當(dāng)直線軸時,直線的方程為且
則

解得，故直線的方程為 ，
因此,點到直線的距離為，又圓的圓心為,
半徑 所以直線與圓相切 …7分
(ⅱ)當(dāng)直線不垂直于軸時,設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線和橢圓方程消去得；
得

，故，
即①10分又圓的圓心為,半徑，
圓心到直線的距離為，②
將①式帶入②式得： ， 所以 因此,直線與圓相切13分
2.已知拋物線的準線方程為.
（1）求拋物線的標準方程；
（2）若過點的直線與拋物線相交于兩點，且以為直徑的圓過原點，求證：為常數(shù)，并求出此常數(shù).
【答案】（1）；（2）證明見解析，.
【分析】（1）由準線方程為 求得，得解拋物線C的方程
（2）設(shè)過P的直線l方程為：（m），聯(lián)解后，利用原點落在以為直徑的圓上得 得到得解
【詳解】（1）由準線方程為可設(shè)拋物線C的方程求得
故所求的拋物線C的方程為：
（2）依題意可設(shè)過P的直線l方程為：（m），設(shè)
由得： 依題意可知，且原點落在以為直徑的圓上令
即
解得：即 為常數(shù)，∴ 原題得證
3.已知A、B、C是橢圓W:上的三個點,O是坐標原點.
( = 1 \* ROMAN I)當(dāng)點B是W的右頂點,且四邊形OABC為菱形時,求此菱形的面積;
( = 2 \* ROMAN II)當(dāng)點B不是W的頂點時,判斷四邊形OABC是否可能為菱形,并說明理由.
【答案】解:( = 1 \* ROMAN I)橢圓W:的右頂點B的坐標為(2,0).因為四邊形OABC為菱形,所以AC與OB相互垂直平分. 所以可設(shè)A(1,),代入橢圓方程得,即. 所以菱形OABC的面積是.
( = 2 \* ROMAN II)假設(shè)四邊形OABC為菱形. 因為點B不是W的頂點,且直線AC不過原點,所以可設(shè)AC的方程為.
由消去并整理得.
設(shè)A,C,則,.
所以AC的中點為M(,). 因為M為AC和OB的交點,所以直線OB的斜率為.
因為,所以AC與OB不垂直. 所以O(shè)ABC不是菱形,與假設(shè)矛盾.
所以當(dāng)點B不是W的頂點時,四邊形OABC不可能是菱形.
【題型四】 直線過定點
【典例分析】
已知A、B分別為橢圓E：（a>1）的左、右頂點，G為E的上頂點，，P為直線x=6上的動點，PA與E的另一交點為C，PB與E的另一交點為D．
（1）求E的方程；（2）證明：直線CD過定點.
解：（1）由題設(shè)得A（–a，0），B（a，0），G（0，1）.則，=（a，–1）.由=8得a2–1=8，即a=3.
所以E的方程為+y2=1．
（2）設(shè)C（x1，y1），D（x2，y2），P（6，t）.若t≠0，設(shè)直線CD的方程為x=my+n，由題意可知–30)的焦點F在直線上，離心率為.
（1）求橢圓C的方程；
（2）若O為坐標原點，過點M(0，2)作直線l交橢圓C于A、B兩點，求△AOB面積的最大值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）由和解得，即可求得橢圓的方程；
（2）設(shè)出直線AB的方程代入橢圓方程，利用一元二次方程跟與系數(shù)關(guān)系得出交點縱坐標的關(guān)系，繼而表示△OAB的面積，利用基本不等式求最值．
（1）設(shè)F(c，0)，則知c=1，離心率，知a=c，由，從而a=，b=1，
所以橢圓C的方程為.
（2）設(shè)，由題意可設(shè)直線AB的方程為y=kx+2，
由消去y并整理，得，
由，得，
由韋達定理，得， ，
因為點O到直線AB的距離為d=，|AB|=，
所以S△AOB=|AB|·d=，設(shè)，由，知t>0，
于是S△AOB=，由t+≥8，得S△AOB≤，當(dāng)且僅當(dāng)t=4，時等號成立，
所以△AOB面積的最大值為.
2.已知點是已知橢圓的左、右焦點，點在橢圓上，當(dāng)時，面積達到最大，且最大值為.
（1）求橢圓的標準方程；
（2）過的直線與橢圓交于兩點，且兩點與左右頂點不重合，若，求四邊形面積的取值范圍.
【答案】（1）（2）
【分析】
（1）根據(jù)題意，點在短軸端點時，△PF1F2的面積最大，且為正三角形，進而得到的關(guān)系，解得答案即可；
（2）根據(jù)判斷出四邊形是平行四邊形，進而設(shè)出直線方程并代入橢圓方程化簡，然后結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系求出面積的表達式，最后解出面積的范圍.
（1）
由題可知，當(dāng)點在短軸端點時，△PF1F2的面積最大，且為正三角形，
，又，由，解得，所以橢圓的標準方程為.
（2）設(shè)，則由，可得，即，，
又因為，所以四邊形是平行四邊形，設(shè)平面四邊形的面積為S，
則.
設(shè)，則,所以
因為，而對勾函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，
所以.所以四邊形面積的取值范圍為.
3.已知橢圓的長軸長為4，離心率為，一動圓過橢圓上焦點，且與直線相切．
（1）求橢圓的方程及動圓圓心軌跡的方程；
（2）過作兩條互相垂直的直線，，其中交橢圓于，兩點，交曲線于，兩點，求四邊形面積的最小值．
【答案】（1），；（2）8．
【分析】
(1)利用橢圓的簡單幾何性質(zhì)求a、b、c，利用直線和圓相切關(guān)系求圓心軌跡方程；
(2)先討論，其中一條斜率不存在，另外一條斜率為零的情況；再討論斜率存在且不為零的情況﹒，互相垂直，可設(shè)斜率為k，則斜率為，用弦長公式分別求出|PQ|和|MN|﹒對角線互相垂直的四邊形，面積等于對角線乘積的一半，據(jù)此用k表示出四邊形的面積，求這個關(guān)于k的式子的最小值，即可得到答案﹒
（1）由已知可得，則所求橢圓方程，
由已知可得動圓圓心軌跡為拋物線，且拋物線的焦點為，準線方程為，
則動圓圓心軌跡方程為．
（2）當(dāng)直線的斜率不存在時，，此時，從而，
設(shè)直線的斜率為，則，直線的方程為：，
直線的方程為，設(shè)，，，，，，，，
由，消去可得，，
由，消去得，由拋物線定義可知：，，
令，，則，則，
∴，綜上，，
∴四邊形面積的最小值為8．
【題型八】 定值
【典例分析】
已知橢圓C：(a＞b＞0)的右焦點F2與拋物線y2＝4x的焦點重合，且其離心率為．
（1）求橢圓C的方程．
（2）已知與坐標軸不垂直的直線l與C交于M，N兩點，線段MN中點為P，問：kMN·kOP(O為坐標原點)是否為定值？請說明理由．
【答案】（1）；（2）kMN·kOP為定值，定值為；理由見解析
【分析】
（1）根據(jù)橢圓離心率公式，結(jié)合拋物線焦點坐標公式進行求解即可；
（2）把直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系，結(jié)合斜率公式、中點坐標公式進行求解證明即可.
（1）∵拋物線y2＝4x的焦點為(1，0)，∴橢圓C的半焦距c＝1，
又橢圓的離心率，，因此橢圓C的方程為；
（2）由題意可知，直線l的斜率存在且不為0，設(shè)l的方程為y＝kx＋m，
將y＝kx＋m代入，得(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，
Δ＞0，可得m2＜4k2＋3．設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，，
因為線段MN中點為P，所以，
因此，所以kMN·kOP.
【變式演練】
1.已知雙曲線C的中心在原點，是它的一個頂點.是它的一條漸近線的一個方向向量.
（1）求雙曲線C的方程；
（2）設(shè)，M為雙曲線右支上動點，當(dāng)|PM|取得最小時，求四邊形ODMP的面積；
（3）若過點任意作一條直線與雙曲線C交于A，B兩點（A，B都不同于點D），求證:為定值.
【答案】（1）；（2）；（3）定值0，證明見解析.
【分析】
(1)根據(jù)給定條件設(shè)出雙曲線C的方程，利用待定系數(shù)法計算得解.
(2)根據(jù)給定條件求出點M的坐標，并求出點M到直線DP距離，再借助三角形面積公式計算即得.
(3)設(shè)出直線AB方程：，聯(lián)立直線AB與雙曲線C的方程，借助韋達定理計算即可作答.
（1）
因雙曲線C的中心在原點，一個頂點是，則設(shè)雙曲線C的方程為：，
于是得雙曲線C的漸近線方程為，而雙曲線C的一條漸近線的一個方向向量是，
則有，所以雙曲線C的方程為.
（2）依題意，設(shè)點，則，即，
，當(dāng)時，，此時，
點M到直線DP：的距離為，而，如圖，
四邊形ODMP的面積，
所以四邊形ODMP的面積為.
（3）顯然直線AB不垂直于y軸，設(shè)直線AB方程：，由消去x得：，
當(dāng)時，恒成立，設(shè)，
則有，，
因此，
，所以為定值0.
2.已知圓：，定點，A是圓上的一動點，線段的垂直平分線交半徑于P點．
（1）求P點的軌跡C的方程；
（2）設(shè)直線過點且與曲線C相交于M，N兩點，不經(jīng)過點．證明：直線MQ的斜率與直線NQ的斜率之和為定值．
【答案】（1）；（2）證明見解析，定值為-1.
【分析】(1)根據(jù)給定條件探求出，再利用橢圓定義即可得軌跡C的方程.
(2)由給定條件可得直線的斜率k存在且不為0，寫出直線的方程，再聯(lián)立軌跡C的方程，借助韋達定理計算作答.
（1）圓：的圓心，半徑為8，
因A是圓上的一動點，線段的垂直平分線交半徑于P點，則，
于是得，因此，P點的軌跡C是以，為左右焦點，
長軸長2a=8的橢圓，短半軸長b有，
所以P點的軌跡C的方程是.
（2）因直線過點且與曲線C：相交于M，N兩點，則直線的斜率存在且不為0，
又不經(jīng)過點，即直線的斜率不等于-1，設(shè)直線的斜率為k，且，
直線的方程為：，即，
由消去y并整理得：，
，即，則有且，
設(shè)，則，
直線MQ的斜率，直線NQ的斜率，
，
所以直線MQ的斜率與直線NQ的斜率之和為定值.
3.已知橢圓的離心率為，右焦點為，點在橢圓上．
（1）求橢圓的方程；
（2）過點的直線（不與軸重合）交橢圓于點，，直線，分別與直線交于點，．求證：以線段為直徑的圓被軸截得的弦長為定值．
【答案】（1）（2）證明見解析
【分析】（1）由條件、、可得答案；
（2）設(shè)，，，，直線的方程為，可得、坐標，設(shè)直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達定理可得及中點坐標，可求得以線段為直徑的圓被軸截得的弦長為定值．
（1）由條件有，解得，，所以橢圓的方程為．
（2）證明：，設(shè)直線的方程為，，，，，聯(lián)立橢圓方程，整理得，，，直線的方程為，
令，得，同理，，
所以，
中點為，即，
故以線段為直徑的圓被軸截得的弦長為，
即：以線段為直徑的圓被軸截得的弦長為定值．
【題型九】最值與范圍
【典例分析】
已知中心在原點的雙曲線的右焦點為，右頂點為．
（）求雙曲線的方程；
（）若直線與雙曲線交于不同的兩點，，且線段的垂直平分線過點，求實數(shù)的取值范圍．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
試題分析：（1）由雙曲線的右焦點為，右頂點為求出和,進而根據(jù)求得,則雙曲線方程可得；（2）把直線方程與雙曲線方程聯(lián)立，消去，利用判別式大于求得和的不等式關(guān)系，設(shè)的中點為，根據(jù)韋達定理表示出和，根據(jù)，可知的斜率為，進而求得和的關(guān)系，最后綜合可求得的范圍.
試題解析：（）設(shè)雙曲線方程為．由已知得，，，
∴．故雙曲線的方程為．
（）聯(lián)立，整理得．∵直線與雙曲線有兩個不同的交點，
∴，可得．（）設(shè)、，的中點為．
則，，．由題意，，∴．整理得．（）將（）代入（），得，∴或．又，即．∴的取值范圍是．
【變式演練】
1.已知中心在原點的雙曲線的一個焦點，一個頂點為.
（1）求雙曲線的方程；
（2）若直線與雙曲線的左右兩支各有一個交點，求的取值范圍.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）由題可得，求出即得雙曲線方程；
（2）聯(lián)立直線與雙曲線方程，利用判別式和韋達定理即可求出.
【詳解】
（1）雙曲線的一個焦點，一個頂點為，
雙曲線的焦點在x軸上，且，
，
雙曲線的方程為；
（2）聯(lián)立直線與雙曲線方程，可得，
直線與雙曲線的左右兩支各有一個交點，
，解得.
2.已知雙曲線C的方程為（），離心率為.
（1）求雙曲線的標準方程；
（2）過的直線交曲線于兩點，求的取值范圍.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）根據(jù)題意，結(jié)合離心率易，知雙曲線為等軸雙曲線，進而可求解；
（2）根據(jù)題意，分直線斜率否存在兩種情形討論，結(jié)合設(shè)而不求法以及向量數(shù)量積的坐標公式，即可求解.
（1）
根據(jù)題意，由離心率為，知雙曲線是等軸雙曲線，所以
，故雙曲線的標準方程為.
（2）
當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)直線的方程為，
則由消去，得到，
∵直線與雙曲線交于M?N兩點，，解得.
設(shè)，則有，，
因此，
∵，∴且，故或，
故；
②當(dāng)直線的斜率不存在時，此時，易知，，故.
綜上所述，所求的取值范圍是.
3.已知橢圓C：的左、右焦點分別為，離心率為，P為橢圓C上的一個動點.當(dāng)P是C的上頂點時，△的面積為.
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）設(shè)斜率存在的直線與C的另一個交點為Q，是否存在點，使得?若存在，求出t的取值范圍；若不存在，請說明理由.
【答案】（1）；（2）存在點，使得，且.
【分析】
（1）根據(jù)題意，結(jié)合橢圓的性質(zhì)，列方程組求出、、，即可求解；
（2）根據(jù)題意，結(jié)合設(shè)而不求法以及中垂線的性質(zhì)，即可求解.
解（1）根據(jù)題意，由離心率為，得，由當(dāng)P是C的上頂點時，△的面積為，得，
聯(lián)立，解得，故橢圓C的標準方程為.
（2）根據(jù)題意，知，設(shè)直線：，聯(lián)立，得，
設(shè)，，則，，設(shè)為的中點，則.
當(dāng)時，若，易得；
當(dāng)時，若，則，得，
因為，所以，
即，由，得.
綜上所述，.故存在點，使得，且.
【題型十】 第六個方程的積累
【典例分析】
已知橢圓的中心在原點，焦點在軸上，離心率為，且橢圓上的點到兩個焦點的距離之和為.
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)為橢圓的左頂點，過點的直線與橢圓交于點，與軸交于點，過原點且與平行的直線與橢圓交于點.求的值.
【答案】（1）（2）
【詳解】（1）設(shè)橢圓的標準方程為，由題意知解得，
所以橢圓的標準方程為
（2）設(shè)過原點且與平行的直線和距離為，則
設(shè)直線的方程為，直線的方程為，則，由得易知，設(shè)，
則，是方程（1）的兩個根，所以，所以，
則又，
所以由得.設(shè)，
則，，所以，所以，
【變式演練】
1.已知橢圓的離心率為，其左、右焦點分別為，，點P為坐標平面內(nèi)的一點，且，，O為坐標原點.
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)M為橢圓C的左頂點，A，B是橢圓C上兩個不同的點，直線，的傾斜角分別為，，且證明：直線恒過定點，并求出該定點的坐標.
【答案】（1）（2）證明見解析，該點坐標,
【詳解】（1）設(shè)，，，由，可得，，，，即有，即，又，可得，，則橢圓的方程為；
（2）證明：設(shè)，，,，由題意可得，
若直線的斜率不存在，即，，由題意可得直線，的斜率大于0，即，矛盾；
因此直線的斜率存在，設(shè)其方程為．聯(lián)立橢圓方程，
化為：，△，化為：．
，．由，可得，，
，化為：，
，
化為，解得，或．
直線的方程可以表示為（舍去），或，則直線恒過定點,．
2.已知橢圓：，圓：的圓心在橢圓上，點到橢圓的右焦點的距離為2．
（1）求橢圓的方程；
（2）過點作直線交橢圓于，兩點，若，求直線的方程．
【答案】（1）（2）或．
試題解析：（1）因為橢圓的右焦點，，所以，因為在橢圓上，所以，
由，得，，所以橢圓的方程為．
（2）由得：，即，可得，
①當(dāng)垂直軸時，，此時滿足，所以此時直線的方程為；
②當(dāng)不垂直軸時，設(shè)直線的方程為，由消去得，
設(shè)，，所以，，代入可得：，代入，，得，
代入化簡得：，解得，經(jīng)檢驗滿足題意，則直線的方程為，
綜上所述直線的方程為或．
3.已知拋物線（）的焦點為，直線過點且與相交于、兩點，當(dāng)直線的傾斜角為時，.
（1）求的方程；
（2）若點是拋物線上、之間一點，當(dāng)點到直線的距離最大時，求△面積的最小值；
（3）若的垂直平分線與相交于、兩點，且、、、四點在同一圓上，求的方程.
【答案】（1）；（2）2；（3）或.
解：（1）由已知，設(shè)，設(shè)直線的方程為，代入，得，
則，于是，得，∴的方程為；
（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，消去，得，
于是， 由題意，拋物線過點的切線與直線平行，可設(shè)該切線的方程為，
代入，得，由，可得，
從而可得點到直線的距離為，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，
即面積的最小值為2；
（3）由題意知與坐標軸不垂直，∴可設(shè)的方程為，代入，得，
設(shè)、，則，．∴的中點為，，
又的斜率為，∴的方程為，將上式代入，并整理得，設(shè)、，則，，
∴的中點為，，
由于垂直平分，
∴、、、四點在同一圓上等價于，從而，
即，化簡得：，解得：或，
所求直線的方程為或．
【課后練習(xí)】
1.（天津市耀華中學(xué)高三上學(xué)期第二次月考）已知橢圓的右焦點為，下頂點為，離心率為，且.
（1）求橢圓的標準方程；
（2）設(shè)直線與軸交于點，過作斜率為的直線交橢圓于不同的兩點，延長交于點，若，求的取值范圍.
【答案】（1）（2）
【分析】
（1）利用離心率和求出與的值，進而求出橢圓方程；（2）設(shè)出點和點坐標，利用直線方程得到的橫坐標，進而求出與的長，根據(jù)題意設(shè)出直線BC：，聯(lián)立后利用韋達定理，再結(jié)合求出的與的長，不等式，得到關(guān)于的不等關(guān)系，解出答案，結(jié)合得出的k的取值范圍，最終確定答案
（1）由題意得：，，故，由得：，故橢圓的標準方程為
（2）如圖所示，，設(shè)，，因為直線BC的斜率存在，所以，故直線：，令得：，同理，設(shè)直線BC：，由，可得：，故，解得：或.
又，，故，所以，

故，解得：，綜上：
2.已知橢圓E的方程為，過點且離心率為
（1）求橢圓E的方程；
（2）點A是橢圓E與x軸正半軸的交點，不過點A的直線交橢圓E于B、C兩點，且直線，的斜率分別是，，若，
①證明直線l過定點R；
②求面積的最大值．
【答案】（1）（2）①證明見解析，②.
【分析】（1）由已知可得，從而可求出，進而可得橢圓E的方程，
（2）①設(shè)，直線，再將直線方程與橢圓方程聯(lián)立方程組，消去，再利用根與系數(shù)的關(guān)系，由可得，結(jié)合前面的式子可求得，從而可證得結(jié)論，
②，再利用基本不等可求得答案
（1）由題意，解得，得，所以曲線E的方程為．
（2）①設(shè)，直線，聯(lián)立方程組得，
由，解得，
由知
，
且，代入化簡得，解得，
∴直線l過定點
②由①知且，得，
（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）．綜上，面積的最大值為
3.已知橢圓經(jīng)過點，焦距為.
（1）求橢圓E的標準方程；
（2）若四邊形內(nèi)接于橢圓E，對角線交于坐標原點O，且這兩條對角線的斜率之積為，求證：四邊形的任意一組鄰邊的傾斜角互補.
【答案】（1）；（2）證明見解析.
【分析】
（1）根據(jù)焦距求的值，把點代入橢圓方程結(jié)合橢圓中的關(guān)系式，即可求出橢圓的標準方程；
（2）設(shè)出直線的方程，；把直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消元，寫韋達，根據(jù)可求出直線的斜率；同樣的方法，可求出直線的斜率，從而可得出結(jié)論，即四邊形的任意一組鄰邊的傾斜角互補.
（1）
設(shè)橢圓的半焦距為c，所以，所以，
因為橢圓經(jīng)過點，所以，解得，
所以橢圓E的標準方程為；
（2）不妨設(shè)一組鄰邊為，，
由四邊形內(nèi)接于橢圓E，對角線交于坐標原點O，且這兩條對角線的斜率之積為，得
，即.若直線的斜率不存在，此時，此時不滿足；
所以直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立，得，
(※)，
，所以，
因為，所以，
即，整理，得，即，
同理可得，直線的斜率為，所以，
所以四邊形的任意一組鄰邊的傾斜角互補.
4.已知P(，)是橢圓C： (a>b>0)上一點，以點P及橢圓的左、右焦點F1，F(xiàn)2為頂點的三角形面積為2．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）過F2作斜率存在且互相垂直的直線l1，l2，M是l1與C兩交點的中點，N是l2與C兩交點的中點，求△MNF2面積的最大值．
【答案】（1）；（2）﹒【分析】
(1)由橢圓過的點的坐標及三角形的面積可得，，之間的關(guān)系，求出，的值，進而求出橢圓的標準方程；
(2)由題意設(shè)直線的方程，與橢圓聯(lián)立求出兩根之和，進而求出交點的中點的縱坐標，同理求出的縱坐標，進而求出面積的表達式，換元由函數(shù)的單調(diào)性求出其最大值．
（1）由題意可得，解得：，，∴橢圓的標準方程為：；
（2）由(1)可得右焦點，
由題意設(shè)直線的方程為：，設(shè)直線與橢圓的交點，，，，則中點的縱坐標為，聯(lián)立直線與橢圓的方程，
整理可得：，，∴，
同理可得直線與橢圓的交點的縱坐標，
∴，
設(shè)，令，則，令，，
，，恒成立，∴在，單調(diào)遞增，∴．
∴面積的最大值為：．
5.已知點A為拋物線上的一個動點（A與坐標原點O不重合），中點P的軌跡為曲線C.
（1）求曲線C的方程；
（2）直線L過交曲線C于M，N兩點，F(xiàn)為曲線C的焦點，求的最小值.
【答案】（1）（2）4
【分析】(1)首先設(shè)出點和的坐標，利用P點橫縱坐標表示A點橫縱坐標關(guān)系并結(jié)合A在拋物線上即可求解；(2)首先設(shè)出直線，然后與拋物線聯(lián)立方程，求出的值，然后表示出，最后利用均值不等式求解即可.
（1）設(shè)，，因為是的中點，所以，，
因為A在拋物線上，所以，即，化簡得，
所以曲線C的方程為.
（2）設(shè)直線L為：，，，由可得，，
，故，，
又因為點坐標為，所以，
從而，，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時，有最小值4.
6（江蘇省百校大聯(lián)考高三上學(xué)期11月一輪復(fù)習(xí)階段檢測）.已知橢圓C：的離心率為，且是C上一點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過右焦點作直線l交橢圓C于A，B兩點，在x軸上是否存在點M，使為定值？若存在，求出點M的坐標及該定值；若不存在，試說明理由．
【答案】（1）（2）存在；，該定值為
【分析】（1）根據(jù)題意，將點代入橢圓方程，再橢圓離心率公式和，由此即可求出結(jié)果；
（2）設(shè)直線AB的方程為，將其與橢圓方程聯(lián)立化簡，求出韋達定理，設(shè)根據(jù)數(shù)量積公式和韋達定理化簡可得，根據(jù)為定值，即可求出結(jié)果.
（1）
解：由題意知，∴橢圓C的方程為．
（2）解：設(shè)直線AB的方程為，，，
，即，
所以
假設(shè)存在這樣的符合題意，則，
，要使其為定值，則，解得．
∴存在符合題意，該定值為．
7.已知橢圓的右頂點為，焦距是，離心率.
（1）求橢圓的方程；
（2）直線（均為常數(shù)）與橢圓相交于不同的兩點（均異于點），若以為直徑的圓經(jīng)過橢圓的右頂點，試判斷直線能否過定點？若能，求出該定點坐標；若不能，也請說明理由．
【答案】（1）（2）直線過定點，該定點為
【分析】
(1) 由題意可得，可得，再由離心率可得答案.
(2)將直線的方程與橢圓方程聯(lián)立，得出韋達定理，由條件可得，將韋達定理代入，可得的關(guān)系，從而得到答案.
（1）由題意得：，解得∴橢圓的方程為：；
（2）設(shè)，，由得：
∵直線與橢圓相交于兩點，
∴得： （）
由韋達定理：，；
∵以為直徑的圓過橢圓的右頂點，∴，
由于，所以
從而即，即
∴或，均符合（）
當(dāng)時，直線，即，所以恒過定點，
當(dāng)時，直線，過定點，舍去．
綜上可知：直線過定點，該定點為．
8.已知圓F1：（x+1）2+y2=16，F(xiàn)2（1，0），P是圓F1上的一個動點，F(xiàn)2P的中垂線l交F1P于點Q.
（1）求點Q的軌跡E的方程；
（2）若斜率為k（k≠0）的直線l1與點Q的軌跡E交于不同的兩點A，B，且線段AB的垂直平分線過定點（，0），求k的取值范圍.
【答案】（1）（2）
【分析】
（1）利用橢圓的定義可求橢圓方程.
（2）設(shè)直線，聯(lián)立直線方程和橢圓方程后利用韋達定理可求的中垂線的方程，結(jié)合其過所得的等式，結(jié)合判別式為正可得的取值范圍.
（1）由題意可知：，由的中垂線l交于點Q，則，
∴，則點Q的軌跡E為以為焦點，4為長軸長的橢圓，
即，∴點Q的軌跡E的方程為：.
（2）設(shè)直線，將代入橢圓方程，
消去y得，
所以即①，
由根與系數(shù)關(guān)系得，則，
所以線段的中點M的坐標為.又線段的直平分線的方程為，
由點M在直線上，得，
即，所以②，由①②得，
∵，∴，所以，即或，
所以實數(shù)的取值范圍是.
9.已知橢圓的離心率為，直線與以原點為圓心、橢圓的短半軸長為半徑的圓相切．
（1）求橢圓的方程；
（2）是否存在直線與橢圓交于兩點，交軸于點，使成立？若存在，求出實數(shù)的取值范圍；若不存在，請說明理由．
【答案】(1) (2) 或
解析：（1）由已知得，解方程組得，∴橢圓的方程為，
（2）假設(shè)存在這樣的直線，由已知可知直線的斜率存在，設(shè)直線方程為，
由得，
設(shè)，則，
，
由得，即，即，
故，代入（*）式解得或．
10．已知點在橢圓上，設(shè)，，分別為橢圓的左頂點?上頂點?下頂點，且點到直線的距離為.
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)為坐標原點，，為橢圓上的兩點，且，求證：的面積為定值，并求出這個定值.
【答案】（1）；（2）證明見解析，.
解：根據(jù)題意得：，，，所以直線的方程為：，
所以點到直線的距離為：，化簡整理得：.
又因為點在橢圓上，故.聯(lián)立，解得：.
故橢圓的方程為：.
（2）設(shè)直線的方程為：，與橢圓聯(lián)立方程 并化簡得：，
所以，，，所以，因為，所以，化簡整理得：，所以，整理得：（滿足）
此時，
，
原點到直線的距離為：，所以的面積為：

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