【典例分析】
在關(guān)于的不等式（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）的解集中，有且僅有兩個(gè)大于2的整數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
【變式演練】
1.已知函數(shù)，若存在唯一的正整數(shù)，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
2.已知偶函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，若關(guān)于x的不等式在上有且只有150個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
3.已知對(duì)任意實(shí)數(shù)，關(guān)于的不等式在上恒成立，則的最大整數(shù)值為
A．0B．C．D．
【題型二】 零點(diǎn)
【典例分析】
已知函數(shù)，若方程有3個(gè)不同的實(shí)根，，（），則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【變式演練】
1.已知，若存在唯一的零點(diǎn)，且，則a的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
2.已知函數(shù)，設(shè)方程的3個(gè)實(shí)根分別為，且，則的值可能為（ ）
A．B．C．D．
3.已知函數(shù)，對(duì)于正實(shí)數(shù)a，若關(guān)于t的方程恰有三個(gè)不同的正實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【題型三】 同構(gòu)
【典例分析】
定義：設(shè)函數(shù)在上的導(dǎo)函數(shù)為，若在上也存在導(dǎo)函數(shù)，則稱函數(shù)在上存在二階導(dǎo)函數(shù)，簡(jiǎn)記為.若在區(qū)間上，則稱函數(shù)在區(qū)間上為“凹函數(shù)”.已知在區(qū)間上為“凹函數(shù)”，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【變式演練】
1.已知函數(shù)，，若對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
2.已知不等式對(duì)恒成立，則取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
3.設(shè)，若存在正實(shí)數(shù)，使得不等式成立，則的最大值為（ ）
A．B．C．D．
【題型四】 恒成立求參：移項(xiàng)討論型
【典例分析】
若，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【變式演練】
1.若關(guān)于的不等式對(duì)一切正實(shí)數(shù)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
2.已知函數(shù)，，若有最小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是
A．B．C．D．
已知函數(shù)，若存在，對(duì)于任意，都有，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.
【題型五】 恒成立求參：代入消參型（虛設(shè)根型）
【典例分析】
設(shè)實(shí)數(shù)，若對(duì)任意，不等式恒成立，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【變式演練】
1.已知函數(shù)有唯一零點(diǎn)，則（ ）
A．B．C．D．
2.已知函數(shù)，不等式對(duì)任意恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
3.若對(duì)任意x∈（0，+∞），不等式e2x﹣mln（2m）﹣mlnx≥0恒成立，則實(shí)數(shù)m的最大值（ ）
A．B．eC．2eD．e2
【題型六】 恒成立求參：構(gòu)造函數(shù)
【典例分析】
已知函數(shù)的定義域?yàn)?，若?duì)任意的，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【變式演練】
1.已知函數(shù)與的圖象恰有三個(gè)不同的公共點(diǎn)（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
2.對(duì)于任意，，當(dāng)時(shí)，恒有成立；則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
3.已知函數(shù)滿足，若對(duì)任意正數(shù)都有，則的取值范圍是
A．B．C．D．
【題型七】 恒成立求參：分離參數(shù)（常規(guī)）
【典例分析】
設(shè)函數(shù)，若時(shí)，，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【變式演練】
1.不等式對(duì)任意恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍
A．B．C．D．
2.已知函數(shù)滿足恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是____．
3.已知函數(shù)，若對(duì)于任意，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的最大值為________.
【題型八】 恒成立求參：分離參數(shù)（洛必達(dá)法則）
【典例分析】
若對(duì)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是
A．B．C．D．
變式演練】
1.已知函數(shù) (a∈R),若在x∈(0,1］ 時(shí)恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是
A．［,+ ∞）B．[,+∞)C．[2,+∞)D．[1,+∞)
2.若對(duì)任意，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是
A．B．C．D．
【題型九】 恒成立求參：倍函數(shù)
【典例分析】
設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋魸M足條件：存在，使在上的值域?yàn)椋ㄇ遥瑒t稱為“倍函數(shù)”，若函數(shù)為“3倍函數(shù)”，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【變式演練】
1.若存在且，使成立，則在區(qū)間上，稱為的“倍函數(shù)”．設(shè)，，若在區(qū)間上，為的“倍函數(shù)”，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
2..對(duì)于函數(shù)y=f(x)，若存在區(qū)間[a，b]，當(dāng)x∈[a，b]時(shí)的值域?yàn)閇ka，kb](k>0)，則稱y=f(x)為k倍值函數(shù).若f(x)=ex+3x是k倍值函數(shù)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（ ）
A．(e+，+∞)B．(e+，+∞)
C．(e+2，+∞)D．(e+3，+∞)
3.如果存在，且，使成立，則在區(qū)間上，稱為的“倍函數(shù)”．設(shè)，，若在區(qū)間上，為的“倍函數(shù)”，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______．
【題型十】 恒成立求參：雙函數(shù)最值型
【典例分析】
已知函數(shù)，，對(duì)任意的，總存在使得成立，則a的范圍為_________．
【變式演練】
1.已知，，若存在，，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.
2.已知f(x)＝ln x－＋，g(x)＝－x2－2ax＋4，若對(duì)任意的x1∈(0,2]，存在x2∈[1,2]，使得f(x1)≥g(x2)成立，則a的取值范圍是( )
A． B． C． D．
3.已知函數(shù)，若任意給定的，總存在兩個(gè)不同的，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【題型十一】 數(shù)列與導(dǎo)數(shù)：
【典例分析】
已知數(shù)列中，，，記，，則下列結(jié)正確的是（ ）
A．B．C．D．
【變式演練】
1.已知數(shù)列滿足：.則對(duì)于任意正整數(shù)n>100，有（ ）
A．B．
C．D．
2.已知數(shù)列滿足，滿足，，則下列成立的是（ ）
A．B．
C．D．以上均有可能
3.設(shè)，數(shù)列滿足，，則（ ）
A．若，則B．若，則
C．若，則D．若，則
【課后練習(xí)】
1.已知函數(shù)，若關(guān)于的不等式恰有兩個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是
A．B．
C．D．

2.已知函數(shù)若函數(shù)恰有5個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
3.已知，若存在，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為__________．
4.已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則a的最小整數(shù)值為（ ）
A．0B．1C．2D．3
5.若對(duì)任意，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的最大值為（ ）
A．B．C．D．
6.不等式對(duì)于定義域內(nèi)的任意恒成立，則的取值范圍為__________.

7.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镈，若滿足條件：存在，使在上的值域?yàn)?，則稱為“倍脹函數(shù)”.若函數(shù)為“倍脹函數(shù)”，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是________.

8.對(duì)任意的，不等式（其中e是自然對(duì)數(shù)的底）恒成立，則的最大值為（ ）
A．B．C．D．

9.數(shù)列，滿足，，，若的前項(xiàng)和為，則下列選項(xiàng)正確的是（ ）
A．B．
C．D．

10.已知函數(shù)，若存在實(shí)數(shù)使得，則的取值范圍是___________；若，則的最大值是___________.
第8講 導(dǎo)數(shù)和函數(shù)壓軸小題11類
【題型一】 整數(shù)解
【典例分析】
在關(guān)于的不等式（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）的解集中，有且僅有兩個(gè)大于2的整數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】將不等式轉(zhuǎn)化為，分別研究?jī)蓚€(gè)函數(shù)的性質(zhì)，確定的取值范圍，構(gòu)造函數(shù)，利用放縮法進(jìn)一步縮小的取值范圍，列出不等式組，求出結(jié)果.
【詳解】由，化簡(jiǎn)得：，
設(shè)，，則原不等式即為.若，則當(dāng)時(shí)，，，
原不等式的解集中有無(wú)數(shù)個(gè)大于2的整數(shù)，∴.∵，，∴.
當(dāng)，即時(shí)，設(shè)，則.
設(shè)，則在單調(diào)遞減，所以，所以在單調(diào)遞減，∴，
∴當(dāng)時(shí)，，∴在上為減函數(shù)，即，
∴當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，原不等式的解集中沒有大于2的整數(shù).
要使原不等式的解集中有且僅有兩個(gè)大于2的整數(shù)，則f3>g3f4>g4f5≤g5，即e2>2ae34e2>3ae49e2≤4ae5，解得.
則實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：D
【變式演練】
1.已知函數(shù)，若存在唯一的正整數(shù)，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
題意等價(jià)于存在唯一的正整數(shù)使得不等式成立，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，直線過(guò)定點(diǎn)，作出函數(shù)和直線圖像，結(jié)合圖形列出不等式組化簡(jiǎn)即可.
解：函數(shù)，若存在唯一的正整數(shù)，使得。等價(jià)于存在唯一的正整數(shù)，使得不等式成立，令，則，由得，由得
所以函數(shù)在區(qū)間上遞增，在區(qū)間上遞減。所以，
直線過(guò)定點(diǎn)，作出函數(shù)和直線圖像如下：
由圖可得要使存在唯一的正整數(shù)使得不等式成立
必有所以實(shí)數(shù)的取值范圍是
故選：C.
2.已知偶函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，若關(guān)于x的不等式在上有且只有150個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
根據(jù)偶函數(shù)滿足，得到函數(shù)是以6為周期的周期函數(shù)，由時(shí)，，用導(dǎo)數(shù)法結(jié)合偶函數(shù)，作出數(shù)在上的圖象，將不等式在上有且只有150個(gè)整數(shù)解，轉(zhuǎn)化為在一個(gè)周期上有3個(gè)整數(shù)解分別為-2，2，3求解.
【詳解】因?yàn)榕己瘮?shù)滿足，所以，即，
所以函數(shù)是以6為周期的周期函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，所以，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)遞減；
當(dāng)當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值，作出函數(shù)在上的圖象，如圖所示：
因?yàn)椴坏仁皆谏嫌星抑挥?50個(gè)整數(shù)解，
所以不等式在上有且只有3個(gè)整數(shù)解，
當(dāng)時(shí)，不符合題意，故不等式在上有且只有3個(gè)整數(shù)解，
因?yàn)?，所以，即?br>故不等式在上的3個(gè)整數(shù)解分別為-2，2，3，
所以，，即，故選：B
3.已知對(duì)任意實(shí)數(shù)，關(guān)于的不等式在上恒成立，則的最大整數(shù)值為
A．0B．C．D．
【答案】B
【詳解】令，依題意，對(duì)任意，當(dāng)時(shí)，圖象在直線下方，∴列表
得的大致圖象
則當(dāng)時(shí)，∵，∴當(dāng)時(shí)不成立；
當(dāng)時(shí)，設(shè)與相切于點(diǎn).
則，解得.
∴，故成立，∴當(dāng)時(shí),.故選B.
【題型二】 零點(diǎn)
【典例分析】
已知函數(shù)，若方程有3個(gè)不同的實(shí)根，，（），則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】對(duì)求導(dǎo)，利用的圖像求得的范圍，以及與的關(guān)系，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)值域的問(wèn)題進(jìn)行處理即可.
【詳解】因?yàn)椋士傻?，令，解得?br>故可得在區(qū)間單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.
又，，且當(dāng)趨近于負(fù)無(wú)窮時(shí)，趨近于零，故的圖象如下所示：
故若方程有3個(gè)不同的實(shí)根，則，又因?yàn)?，故，不妨令，則，令，解得，
容易知在區(qū)間單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.故可得，又0對(duì)任意x∈(﹣1，+∞)都成立，
同構(gòu)為ex+lnm+(x+lnm)>eln(x+1)+ln(x+1)，利用g(x)=ex+x在(﹣∞，+∞)是增函數(shù)，得不等式
lnm>h(x)=ln(x+1)﹣x的最大值，求出的最大值，即可得解.
解：因?yàn)?br>所以f'(x)=mex+(x+1)[lnm﹣ln(x+1)]+1，f″(x)=mex+lnm﹣ln(x+1)﹣1，
因?yàn)樵趨^(qū)間(﹣1，+∞)上為“凹函數(shù)”，
所以f''(x)=mex+lnm﹣ln(x+1)﹣1>0對(duì)任意x∈(﹣1，+∞)都成立，因?yàn)閙ex+lnm﹣ln(x+1)﹣1>0?mex+lnm>ln(x+1)+1
?ex+lnm+(x+lnm)>ln(x+1)+(x+1)?ex+lnm+(x+lnm)>eln(x+1)+ln(x+1)，且g(x)=ex+x在(﹣∞，+∞)是增函數(shù)，
所以ex+lnm+(x+lnm)>eln(x+1)+ln(x+1)?x+lnm>ln(x+1)?lnm>ln(x+1)﹣x，
由題意，lnm>h(x)=ln(x+1)﹣x的最大值， ， ， ， 單調(diào)遞增；
，單調(diào)遞減， ，
即lnm>0，所以m>1，故選：A
【變式演練】
1.已知函數(shù)，，若對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
解析：由題意得：
右邊式子湊1得
即，因?yàn)?br>當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立，所以滿足即可
當(dāng)且僅當(dāng)，即等號(hào)成立，所以.
2.已知不等式對(duì)恒成立，則取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)恒成立，構(gòu)造函數(shù)，進(jìn)而通過(guò)導(dǎo)數(shù)方法求出函數(shù)的最小值，即可得到答案.
【詳解】
不等式對(duì)恒成立，即對(duì)恒成立，令，，而在單調(diào)遞增（增+增），且，所以（x0唯一），使得.
則時(shí)，，單調(diào)遞減，時(shí)，，單調(diào)遞增.所以
根據(jù)，
所以，所以.
3.設(shè)，若存在正實(shí)數(shù)，使得不等式成立，則的最大值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】化簡(jiǎn)得，從而，，
構(gòu)造函數(shù)，有單調(diào)性得，再化簡(jiǎn)得，
再構(gòu)造函數(shù)，求得最大值即可.
解：因?yàn)椋裕驗(yàn)椋?，即?br>設(shè)函數(shù)，，，所以函數(shù)在為增函數(shù)，
所以所以，設(shè)函數(shù)，，
所以函數(shù)在為增函數(shù)，在為減函數(shù)，所以，
所以的最大值為，故選：A.
【題型四】 恒成立求參：移項(xiàng)討論型
【典例分析】
若，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
把給定恒成立的不等式變形，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探討的最大值不超過(guò)0即可作答.
【詳解】
，，
令，則，而成立，
當(dāng)時(shí)，，即在上遞增，當(dāng)時(shí)，
于是有當(dāng)時(shí)，恒有，
當(dāng)時(shí)，由得，有，有，即在上遞減，
當(dāng)時(shí)，，即成立，不符合題意，
綜上：，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.
故選：A
【變式演練】
1.若關(guān)于的不等式對(duì)一切正實(shí)數(shù)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
構(gòu)造函數(shù)，將原不等式轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)的最小值，通過(guò)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性研究函數(shù)的最值，得到，再利用基本不等式進(jìn)行求解即可．
【詳解】
解：設(shè)，則對(duì)一切正實(shí)數(shù)恒成立，即，
由，令，則恒成立，所以在上為增函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則在上，存在使得，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，
所以函數(shù)在處取得最小值為，
因?yàn)?，即，所以恒成立，即?br>又，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故，所以．故選：C．
2.已知函數(shù)，，若有最小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得出，由題意得出函數(shù)在上存在極小值點(diǎn)，然后對(duì)參數(shù)分類討論，在時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，無(wú)最小值；在時(shí)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得出，從而求出實(shí)數(shù)的取值范圍.
【詳解】
，，
構(gòu)造函數(shù)，其中，則.
①當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，
此時(shí)，，則對(duì)任意的，.
此時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，無(wú)最小值；
②當(dāng)時(shí)，解方程，得.
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
此時(shí)，.
（i）當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，則對(duì)任意的，，
此時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，無(wú)最小值；
（ii）當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
由零點(diǎn)存在定理可知，存在和，使得，
即，且當(dāng)和時(shí)，，此時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，.
所以，函數(shù)在處取得極大值，在取得極小值，
由題意可知，，
，
可得，又，可得，構(gòu)造函數(shù)，其中，
則，此時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，則，.
因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選C.
3.已知函數(shù)，若存在，對(duì)于任意，都有，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.
【答案】
【分析】
設(shè)，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)于任意，都有，利用導(dǎo)數(shù)研究的最值，建立關(guān)于的不等式即可求解.
【詳解】設(shè)，由b的任意性，結(jié)合題意可知，對(duì)于任意，
即，
又，易知函數(shù)在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
①當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，
則
故，解得，此時(shí)無(wú)解.
②當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，
則故，解得
③當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
則,
故只需且
記函數(shù)，則，函數(shù)在上遞增，
則，
記函數(shù)則，
函數(shù)在上遞減，則
故當(dāng)時(shí)，且恒成立，滿足題意，
綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍為，故答案為：
【點(diǎn)睛】
本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值最值，查了不等式的恒成立問(wèn)題，考查分類討論思想，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題.
【題型五】 恒成立求參：代入消參型（虛設(shè)根型）
【典例分析】
設(shè)實(shí)數(shù)，若對(duì)任意，不等式恒成立，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
令，根據(jù)二階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判斷的單調(diào)性，由零點(diǎn)存在性定理易知使，此時(shí)，進(jìn)而討論的單調(diào)性可知，要使題設(shè)不等式恒成立，即成立，構(gòu)造利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性確定的區(qū)間，進(jìn)而求的范圍.
【詳解】令，只需要上恒成立，
∵且，
∴，即在上單調(diào)遞增，
∵，，
∴，使，即，∴時(shí)，，單調(diào)遞減；時(shí)，，單調(diào)遞增；
故只需，令，
∴，故在上遞減，而，
∴時(shí)，恒成立，可知.故選：C
【變式演練】
1.已知函數(shù)有唯一零點(diǎn)，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
分析可知函數(shù)存在極小值且滿足，由此可得出，構(gòu)造函數(shù)，其中，利用導(dǎo)數(shù)分析得出函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，可求得的值，進(jìn)而可求得的值.
【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，則，，
則，所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
則存在，使得，則，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，，
由于函數(shù)有唯一零點(diǎn)，則，
由，解得，
所以，，
令，其中，
，
，則，，，則，
所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，，
從而可得，解得.故選：C.
2.已知函數(shù)，不等式對(duì)任意恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
問(wèn)題等價(jià)于對(duì)任意恒成立，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性求出的最小值，即可求出m的取值范圍.
【詳解】
由題可得對(duì)任意恒成立，等價(jià)于對(duì)任意恒成立，
令，則，令，則，
在單調(diào)遞增，，
存在唯一零點(diǎn)，且，使得，
在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，，
，即，
令，顯然在單調(diào)遞增，則，即，
則，.故選：A.
3.若對(duì)任意x∈（0，+∞），不等式e2x﹣mln（2m）﹣mlnx≥0恒成立，則實(shí)數(shù)m的最大值（ ）
A．B．eC．2eD．e2
【答案】B
【分析】
令 =e2x﹣mln（2m）﹣mlnx，求導(dǎo)，由時(shí),，，存在，有，則，根據(jù)不等式e2x﹣mln（2m）﹣mlnx≥0恒成立，則，整理轉(zhuǎn)化為，令，用導(dǎo)數(shù)法得到在上是減函數(shù)，再根據(jù)，解得，再由求解.
【詳解】令 =e2x﹣mln（2m）﹣mlnx，所以，要ln（2m）有意義,
則 ，當(dāng)時(shí),，，所以存在，有，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以，又，
所以，，
所以，，
，因?yàn)椴坏仁絜2x﹣mln（2m）﹣mlnx≥0恒成立，
所以令，
，所以在上是減函數(shù)，又，
當(dāng)時(shí)，，即，又，所以，
所以在時(shí)是增函數(shù)，所以，
所以實(shí)數(shù)m的最大值是.故選：B
【題型六】 恒成立求參：構(gòu)造函數(shù)
【典例分析】
已知函數(shù)的定義域?yàn)椋魧?duì)任意的，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
由題意可知，在上單調(diào)遞減，將不等式兩邊同時(shí)乘以，變形為，不妨設(shè)，則，構(gòu)造新函數(shù)，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性定義可知，若使得對(duì)任意的，恒成立，則需恒成立，即，求解即可.
【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?br>，即函數(shù)在上單調(diào)遞減.
變形為即
不妨設(shè)，則，即
令則
若使得對(duì)任意的，恒成立.
則需恒成立.則恒成立.
即恒成立.所以.
即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：B
【變式演練】
1.已知函數(shù)與的圖象恰有三個(gè)不同的公共點(diǎn)（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由兩圖象有三個(gè)公共點(diǎn)可得有三個(gè)實(shí)根，變形得，設(shè)，則關(guān)于的方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根且共有三個(gè)實(shí)數(shù)根，結(jié)合二次方程根的分布和的圖象性質(zhì)可得答案.
【詳解】令，可得，可得.設(shè)，則，即.，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增且；
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減且.作出的圖象如圖所示.
對(duì)于，，
設(shè)該方程有兩個(gè)不同的實(shí)根，由題意得共有三個(gè)實(shí)數(shù)根.
若是方程的根，則，即，則方程的另一個(gè)根為，不合題意.
若是方程的根，則，即，則方程的另一個(gè)根為，不合題意.
所以關(guān)于的方程的兩根(不妨令)滿足.
所以解得.故選A.
2.對(duì)于任意，，當(dāng)時(shí)，恒有成立；則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
對(duì)于任意，，當(dāng)時(shí)，恒有成立，可得成立，令，可知函數(shù)在上單調(diào)遞減，求導(dǎo)，令恒成立，即可求出的取值范圍．
【詳解】對(duì)于任意，，當(dāng)時(shí)，恒有成立，
即成立，
令，∴，
∴在上單調(diào)遞減，
∴在恒成立，∴在恒成立，
∵當(dāng)，，∴實(shí)數(shù)的取值范圍為，故選C.
3.已知函數(shù)滿足，若對(duì)任意正數(shù)都有，則的取值范圍是
A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】
由題得,所以
所以當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí), ,單調(diào)遞減.
所以
所以，所以在上單調(diào)遞減.
因?yàn)?br>所以
令，u(x)是一個(gè)增函數(shù)，
所以x>1.故選D.
【題型七】 恒成立求參：分離參數(shù)（常規(guī)）
【典例分析】
設(shè)函數(shù)，若時(shí)，，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)題意變形整理為，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求在上的最小值，求解即可.
【詳解】時(shí)，即，對(duì)成立.∴.
令，則令，即，解得.
令，即，解得∴在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù).
∴∴.故選：B
【變式演練】
1.不等式對(duì)任意恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
本題首先可以將“不等式對(duì)任意恒成立”轉(zhuǎn)化為“對(duì)恒成立”，然后求出方程，的最小值即可得出結(jié)果．
【詳解】
題意即為對(duì)恒成立，
即對(duì)恒成立，從而求，的最小值，而故即
當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，方程在內(nèi)有根，
故，所以，故選D．
2.已知函數(shù)滿足恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是____．
【答案】
【分析】
化簡(jiǎn)不等式，并分離變量可得，根據(jù)函數(shù)與不等式的關(guān)系轉(zhuǎn)化已知條件得，利用換元法及導(dǎo)數(shù)求的最小值，由此可得a的范圍.
【詳解】∵ 恒成立，∴ 恒成立.∴
又 設(shè)，則∴ 時(shí)，，函數(shù)為增函數(shù)
時(shí)，，函數(shù)為減函數(shù)，又時(shí)，∴
設(shè)則恒成立，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，
所以，故所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.
故答案為：.
3.已知函數(shù)，若對(duì)于任意，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的最大值為________.
【答案】1
【分析】
依題意，對(duì)任意，恒成立，令，則，利用導(dǎo)數(shù)求得的最小值，進(jìn)而可得的最大值.
【詳解】
依題意，對(duì)任意，恒成立，
令，則.，
令，則，所以在上單調(diào)遞增，又，
所以，當(dāng)時(shí)，即，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，即，單調(diào)遞增，
所以，故，即實(shí)數(shù)的最大值為1.故答案為：1
【題型八】 恒成立求參：分離參數(shù)（洛必達(dá)法則）
【典例分析】
若對(duì)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
將條件對(duì)恒成立轉(zhuǎn)化為對(duì)有恒成立，令，并求導(dǎo)，再令，利用一階導(dǎo)函數(shù)與二階導(dǎo)函數(shù)一起分析得到，進(jìn)而表示在單調(diào)遞增，則，由洛必達(dá)法則求得，則由構(gòu)建不等式，解得答案.
【詳解】
將條件對(duì)恒成立轉(zhuǎn)化為對(duì)有恒成立
令，則
令，則，，對(duì)，有，所以在單調(diào)遞增；
則，所以在單調(diào)遞增；
則，所以，故在單調(diào)遞增，則
由洛必達(dá)法則可知，則恒成立
所以，故
故選：A
【變式演練】
1.已知函數(shù) (a∈R),若在x∈(0,1］ 時(shí)恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是
A．［,+ ∞）B．[,+∞)C．[2,+∞)D．[1,+∞)
【答案】B
【分析】首先將式子化簡(jiǎn)，將參數(shù)化為關(guān)于的函數(shù)，之后將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求最值問(wèn)題來(lái)解決，之后應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，從而求得函數(shù)的最值，在求解的過(guò)程中，注意對(duì)函數(shù)進(jìn)行簡(jiǎn)化，最后用洛必達(dá)法則，通過(guò)極限求得結(jié)果.
【詳解】
根據(jù)題意，有恒成立，當(dāng)時(shí)，將其變形為恒成立，即，令，利用求得法則及求導(dǎo)公式可求得，令，可得，可得，因?yàn)?，所以時(shí)，，時(shí)，，所以函數(shù)在時(shí)單調(diào)減，在時(shí)單調(diào)增，即，而，所以在上是減函數(shù)，且，所以函數(shù)在區(qū)間上滿足恒成立，同理也可以確定在上也成立，即在上恒成立，即在上單調(diào)增，且，故所求的實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選B.
2.若對(duì)任意，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】
將等價(jià)轉(zhuǎn)化為在上恒成立，令，則，令，則，即在上為增函數(shù)，則，所以在恒成立，則在單調(diào)遞增，則，由洛必達(dá)法則，得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是；故選C.
點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問(wèn)題，往往是先合理構(gòu)造函數(shù)（作差、作商、轉(zhuǎn)化等），將不等式恒成立問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題，再利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值而本題中要用到二次求導(dǎo)和洛必達(dá)法則，是本題的難點(diǎn).
【題型九】 恒成立求參：倍函數(shù)
【典例分析】
設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋魸M足條件：存在，使在上的值域?yàn)椋ㄇ遥?，則稱為“倍函數(shù)”，若函數(shù)為“3倍函數(shù)”，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
由函數(shù)與方程的關(guān)系得：函數(shù)為“3倍函數(shù)”，即函數(shù)的圖像與直線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，設(shè)，再利用導(dǎo)數(shù)可得求出的單調(diào)區(qū)間，只需，即可求出
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為增函數(shù)，由函數(shù)為“3倍函數(shù)”，即函數(shù)的圖像與直線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，設(shè)，則，又，所以，
則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以函數(shù)在為減函數(shù)，在為增函數(shù)，
要使的圖像與直線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則需，即
所以， 所以 所以 所以 所以 即
又，所以 故選A
【變式演練】
1.若存在且，使成立，則在區(qū)間上，稱為的“倍函數(shù)”．設(shè)，，若在區(qū)間上，為的“倍函數(shù)”，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】
利用導(dǎo)數(shù)可證得在上單調(diào)遞增，設(shè)，可將不等式化為，可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在上存在單調(diào)遞增區(qū)間，結(jié)合導(dǎo)數(shù)可進(jìn)一步化為在上有解，令，可得，則，利用導(dǎo)數(shù)求得最大值，從而得到結(jié)果.
【詳解】
在恒成立，在上單調(diào)遞增，
由對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性知：在上單調(diào)遞增；
不妨設(shè)，
由得：，
．
令，則，在上存在單調(diào)遞增區(qū)間，
即在上有解，
即在上有解，，
令，則，令，則，
，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，
，，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：B.
2..對(duì)于函數(shù)y=f(x)，若存在區(qū)間[a，b]，當(dāng)x∈[a，b]時(shí)的值域?yàn)閇ka，kb](k>0)，則稱y=f(x)為k倍值函數(shù).若f(x)=ex+3x是k倍值函數(shù)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（ ）
A．(e+，+∞)B．(e+，+∞)
C．(e+2，+∞)D．(e+3，+∞)
【答案】D
【分析】根據(jù)f(x)=ex+3x是定義域R上的增函數(shù)，易得，即是方程的兩個(gè)根，轉(zhuǎn)化為有兩個(gè)根，令，用導(dǎo)數(shù)法求解.
【詳解】因?yàn)閒(x)=ex+3x是定義域R上的增函數(shù)，所以，即，
所以是方程的兩個(gè)根，顯然不是方程的根，所以，
令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以當(dāng)時(shí)，取得極小值，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，畫出函數(shù)圖象，如下圖所示：
所以所以實(shí)數(shù)k的取值范圍是(e+3，+∞)，故選：D
3.如果存在，且，使成立，則在區(qū)間上，稱為的“倍函數(shù)”．設(shè)，，若在區(qū)間上，為的“倍函數(shù)”，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______．
【答案】
【分析】
求導(dǎo)，易知函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，不妨設(shè)，將轉(zhuǎn)化為．令，轉(zhuǎn)化為在上有解，即在上有解求解.
【詳解】
由題可知，在上，．因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，易知在上單調(diào)遞增，
不妨設(shè)，因?yàn)椋?br>所以，即．
令，則，則函數(shù)在上存在增區(qū)間，
則在上有解，即在上有解，
所以．令，則，令，則，
又，所以單調(diào)遞增，所以，所以．
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為故答案為：
【題型十】 恒成立求參：雙函數(shù)最值型
【典例分析】
已知函數(shù)，，對(duì)任意的，總存在使得成立，則a的范圍為_________．
【答案】
【分析】
解題的關(guān)鍵在于讀懂“對(duì)任意的，總存在使得成立”這一恒成立問(wèn)題，即要恒成立，先通過(guò)求導(dǎo)求出，再通過(guò)恒成立問(wèn)題分離參數(shù)，被分離部分再構(gòu)造函數(shù)求最值，即可求出
【詳解】
解：對(duì)任意的，總存在使得成立，即恒成立
∵，∴
∴當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，
∴當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，
∴
當(dāng)時(shí)，，則
記，，，
在上單減，，所以單減，則
，單增，，單減，所以
故當(dāng)時(shí)，．
故實(shí)數(shù)a的取值范圍為．
【變式演練】
1.已知，，若存在，，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.
【答案】
【分析】根據(jù)存在，，使得成立，只需，先利用導(dǎo)數(shù)法求得，再令，將求的最大值轉(zhuǎn)化為在中的最大值，求導(dǎo)，然后分， 和 三種情況討論求解.
【詳解】因?yàn)榇嬖冢?，使得成立，所以只需?br>因?yàn)?，?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，
所以在中單調(diào)遞減，在中單調(diào)遞增，所以，
令，則在中的最大值，也就是在中的最大值.
因?yàn)?br>（1）當(dāng)時(shí)，，在中遞減，且趨近于0時(shí)，趨近于，滿足題意；
（2）當(dāng)時(shí)，，，不合題意舍去；
（3）當(dāng)時(shí)，由可得，可得，
∴在中單調(diào)遞增，在中單調(diào)遞減，∴，
∴只需，即，令，則.
由可知，，∴在中單調(diào)遞減，在中單調(diào)遞增，
又時(shí)，，∴的解為，即的解為.
綜上所述，所求實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：
2.已知f(x)＝ln x－＋，g(x)＝－x2－2ax＋4，若對(duì)任意的x1∈(0,2]，存在x2∈[1,2]，使得f(x1)≥g(x2)成立，則a的取值范圍是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
函數(shù) 的定義域?yàn)椋?
易知當(dāng) 時(shí)， ，當(dāng) 時(shí)， 所以在 上遞減，在 上遞增，故 ．
對(duì)于二次函數(shù) 該函數(shù)開口向下，所以其在區(qū)間 上的最小值在端點(diǎn)處取得，
所以要使對(duì) 使得 成立，只需 或 ，所以
或
解得 故選B．
3.已知函數(shù)，若任意給定的，總存在兩個(gè)不同的，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
由題意，求，對(duì)分類討論，判斷單調(diào)性，求出函數(shù)的值域，即可求.
【詳解】
.
當(dāng)時(shí)，，顯然不滿足題意；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)的變化情況如下表所示
又時(shí)，在上是減函數(shù)，
且對(duì)任意的值域?yàn)椋?br>此時(shí)當(dāng)時(shí)，函數(shù)上不存在兩個(gè)使得成立，∴不合題意；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)的變化情況如下表所示
在的最大值為.
又時(shí)，在上是增函數(shù)，且對(duì)任意.
由題意可知.
綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：.
【題型十一】 數(shù)列與導(dǎo)數(shù)：
【典例分析】
已知數(shù)列中，，，記，，則下列結(jié)正確的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
根據(jù)數(shù)列特征得到，且與同號(hào)，結(jié)合裂項(xiàng)相消法求得，與比較，發(fā)現(xiàn)不恒成立，判斷出A選項(xiàng)；結(jié)合，可得，判斷出B選項(xiàng)；利用可得：，構(gòu)造新函數(shù)可得：，得到，而根據(jù)一次函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的增長(zhǎng)速度，可得不恒成立，故判斷C選項(xiàng)；根據(jù)題干條件得到，，進(jìn)而求出，結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性可得：，故D選項(xiàng)正確.
【詳解】
由，，可得：，故，所以，因?yàn)?，所以，故，所以與同號(hào)，因?yàn)?，所以，綜上：，又因?yàn)椋傻茫?，所以，因?yàn)?，所以，所以，從而，所以不恒成立，選項(xiàng)A不成立
因?yàn)?，所以恒成立，選項(xiàng)B不成立；
因?yàn)?，所以，若，則，其中設(shè)（），則，所以在上單調(diào)遞減，其中，當(dāng)時(shí)，，所以
，故有，結(jié)合函數(shù)的增長(zhǎng)速度，顯然不恒成立，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；
，∴可視為數(shù)列的前項(xiàng)和，
∵單調(diào)遞增，∴，故恒成立，選項(xiàng)D正確.
故選：D
【變式演練】
1.已知數(shù)列滿足：.則對(duì)于任意正整數(shù)n>100，有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】
根據(jù)題意，可知，即可排除B、D,
對(duì)于A選項(xiàng)，對(duì)進(jìn)行放縮，即可判斷正誤，對(duì)于C選項(xiàng)，由得，，轉(zhuǎn)化為，再證，即可判斷正確.
【詳解】
解：易知，
下證的單調(diào)性:
（令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減）
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，則單調(diào)遞減，則也單調(diào)遞減，故，
于是B、D不成立.
對(duì)于A,
，故A錯(cuò).
對(duì)于C，要證：，
由，只需證 .
由知，只需證得證.
下證，令
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng) 時(shí)，，單調(diào)遞增，
所以，即恒成立，當(dāng)取等號(hào).又，故.
故選：C.
2.已知數(shù)列滿足，滿足，，則下列成立的是（ ）
A．B．
C．D．以上均有可能
【答案】C
【分析】
由題設(shè)可得且，根據(jù)等式條件有，應(yīng)用放縮法可得，構(gòu)造并利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性可得上，則即可得到答案.
【詳解】
由題設(shè)，，，即數(shù)列均為正項(xiàng)，
∴，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
當(dāng)時(shí)，有，以此類推可得與題設(shè)矛盾，
綜上，，故，即.
∵，
∴，
令，則，
當(dāng)時(shí)，即遞減，當(dāng)時(shí)，即遞增，
∴，故上，即，
∴
故選：C
3.設(shè)，數(shù)列滿足，，則（ ）
A．若，則B．若，則
C．若，則D．若，則
【答案】A
【分析】
當(dāng)時(shí)，，即，則，設(shè)利用導(dǎo)數(shù)研究出函數(shù)的的單調(diào)性，從而得到，即，得到數(shù)列單調(diào)遞增，則選項(xiàng)A正確，B錯(cuò)誤，當(dāng)時(shí)，，即，則，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)研究出函數(shù)的的單調(diào)性，可得一定存在，使得，，使得,當(dāng)（或）時(shí)有,，從而選項(xiàng)C, D不正確.
【詳解】
當(dāng)時(shí)，，即.
則，設(shè)，則
，所以在上單調(diào)遞增,且
所以當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增.
當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減.
所以，所以
所以當(dāng)時(shí)，數(shù)列單調(diào)遞增，則選項(xiàng)A正確，B錯(cuò)誤.
當(dāng)時(shí)，，即.
則，設(shè)，則
，所以在上單調(diào)遞增,且
所以當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增.
當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減.
所以,又，
所以一定存在，使得，，使得
當(dāng)(或)時(shí)有，，即.
同理可得，，所以選項(xiàng)C, D不正確.
故選：A
【課后練習(xí)】
1.已知函數(shù)，若關(guān)于的不等式恰有兩個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是
A．B．
C．D．

【答案】A
【詳解】∵，
∴f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,+∞)上單調(diào)遞減，
當(dāng)a>0時(shí),f2(x)+af(x)>0?f(x)0,此時(shí)不等式f2(x)+af(x)>0有無(wú)數(shù)個(gè)整數(shù)解，不符合題意；
當(dāng)a=0時(shí),f2(x)+af(x)>0?f(x)≠0,此時(shí)不等式f2(x)+af(x)>0有無(wú)數(shù)個(gè)整數(shù)解，不符合題意；
當(dāng)a0?f(x)?a,要使不等式f2(x)+af(x)>0恰有兩個(gè)整數(shù)解，必須滿足f(3)??a

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