2024年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)全套培優(yōu)微專題高考重難點(diǎn)題型歸納32講第11講導(dǎo)數(shù)壓軸大題14種題型(2)(原卷版+解析)-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

【典例分析】
已知，.
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）對(duì)一切，恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）證明：對(duì)一切，都有成立.
【變式演練】
1.已知．
（1）求函數(shù)的極值；
（2）證明：對(duì)一切，都有成立．
2.已知函數(shù).
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）證明：.
【題型二】不等式證明7：三角函數(shù)與導(dǎo)數(shù)不等式
【典例分析】
已知函數(shù)，，．
（1）若在上單調(diào)遞增，求a的最大值；
（2）當(dāng)a?。?）中所求的最大值時(shí)，討論在R上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并證明．
【變式演練】
1.設(shè)函數(shù).
（1）求的極值點(diǎn)；
（2）設(shè)函數(shù).證明：.
2.已知函數(shù)
（1）若，成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍;
（2）證明：有且只有一個(gè)零點(diǎn)，且．
【題型三】不等式證明8：極值點(diǎn)偏移之不含參型
【典例分析】
.已知函數(shù)．
（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
（2）設(shè)，為兩個(gè)不相等的正數(shù)，且，證明：．
【變式演練】
1.已知函數(shù).
（1）當(dāng)時(shí)，判斷在區(qū)間上的單調(diào)性；
（2）當(dāng)時(shí)，若，且的極值在處取得，證明：.
2.已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)為，，試證明：.
【題型四】不等式證明9：極值點(diǎn)偏移之含參型
【典例分析】
已知函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)為．（1）求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
求證：．
【變式演練】
1..已知函數(shù).
（1）設(shè)函數(shù)，且恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）求證：；
（3）設(shè)函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)、，求證：.
2.已知函數(shù).（1）若f（1）=2，求a的值；
（2）若存在兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)，滿足，證明：
①；②.
【題型五】不等式證明10：三個(gè)“極值點(diǎn)（零點(diǎn)）”不等式
【典例分析】
已知函數(shù)在處的切線方程為．
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）當(dāng)時(shí)，若函數(shù)的3個(gè)極值點(diǎn)分別為，，，求證：．
【變式演練】
1.已知函數(shù).
（1）若曲線在處的切線斜率為，求實(shí)數(shù)的值；
（2）若函數(shù)有3個(gè)不同的零點(diǎn)，，，求實(shí)數(shù)的取值范圍，并證明：.
2.已知函數(shù)f(x)=ex?ax21+x．
（1）若a=0，討論f(x)的單調(diào)性．
（2）若f(x)有三個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，x3．
①求a的取值范圍；
②求證：x1+x2+x3>?2．
【題型六】不等式證明11：比值代換（整體代換等）
【典例分析】
已知函數(shù)（為常數(shù)，且）.
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)時(shí)，若有兩個(gè)極值點(diǎn)，，證明：.
【變式演練】
1.已知函數(shù)，.
（1）若函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）若函數(shù)在定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，.
（i）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（ii）當(dāng)時(shí)，證明：.
2.和是關(guān)于的方程的兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根.
（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）若，求證：.
【題型七】不等式證明11：非對(duì)稱型（零點(diǎn)x1與x2系數(shù)不一致）
【典例分析】
已知，.
（1）討論的單調(diào)性；
（2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，是的極值點(diǎn)，求證：.
【變式演練】
1.已知函數(shù)．
（1）討論函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；
（2）若函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，證明．
2.已知函數(shù)既有極大值，又有極小值.
（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）記為函數(shù)的極小值點(diǎn)，實(shí)數(shù)且，證明：.
【題型八】不等式證明12：韋達(dá)定理型
【典例分析】
已知函數(shù)．
（1）若是定義域上的單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍；
（2）若在定義域上有兩個(gè)極值點(diǎn)，，證明：．
【變式演練】
1.已知函數(shù)，在定義域上有兩個(gè)極值點(diǎn)．
（1）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）求證:
2.已知函數(shù)，．
（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，且，證明：當(dāng)，，，．
【題型九】不等式證明13：利用第一問(wèn)
【典例分析】
已知函數(shù)．
（1）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）若正數(shù)m，n滿足，求證．
【變式演練】
1.設(shè)函數(shù).
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）當(dāng)時(shí)，證明：.
2..已知函數(shù).
（1）若，討論的單調(diào)性；
（2）證明：.
【題型十】不等式證明14：含ex和lnx型
【典例分析】
已知函數(shù)．
（1）若是的極值點(diǎn)，求，并討論的單調(diào)性；
（2）當(dāng)時(shí)，證明：．
【變式演練】
1.已知函數(shù)，.
（1）討論的單調(diào)性；
（2）當(dāng)時(shí)，證明：，.
2.已知函數(shù)，，其中.
（1）試討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）若，證明：.
【題型十一】不等式證明15：先放縮再證明
【典例分析】
設(shè)函數(shù)．
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)時(shí)，證明：．
【變式演練】
1.已知函數(shù).
（1）若曲線在點(diǎn)處的切線方程為，求a的值；
（2）若，證明：.
2.已知函數(shù)．
（1）求函數(shù)的極值；
（2）求證：．
【題型十二】不等式證明16.：切線放縮證明兩根差型（剪刀模型）
【典例分析】
已知函數(shù)，．
（1）求函數(shù)的極值；
（2）設(shè)曲線與軸正半軸的交點(diǎn)為，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
（3）若方程為實(shí)數(shù)）有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且，求證：．
【變式演練】
1.已知函數(shù)，其中.
(I)討論的單調(diào)性；
(II)設(shè)曲線與軸正半軸的交點(diǎn)為P，曲線在點(diǎn)P處的切線方程為,求證：對(duì)于任意的正實(shí)數(shù)，都有；
(III)若關(guān)于的方程有兩個(gè)正實(shí)根，求證： .
2.已知函數(shù).
（1）設(shè)曲線在處的切線為，求證：；
（2）若關(guān)于的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，求證：.
【題型十三】不等式證明17：條件不等式證明
【典例分析】
已知函數(shù)．
（1）設(shè)函數(shù)，討論在區(qū)間上的單調(diào)性；
（2）若存在兩個(gè)極值點(diǎn)，（極值點(diǎn)是指函數(shù)取極值時(shí)對(duì)應(yīng)的自變量的值），且，證明：．
【變式演練】
1.已知.
（1）證明：是上的增函數(shù)，
（2）若，且，證明：.
2.已知函數(shù).
（1）討論零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；
（2）設(shè)m，n為兩個(gè)不相等的正數(shù)，且，證明：.
【題型十四】綜合證明：x1與x2型
【典例分析】
已知函數(shù)．
（1）判斷函數(shù)的單調(diào)性；
（2）若對(duì)任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）若，求證：．
【變式演練】
1.已知函數(shù)，，，是兩個(gè)任意實(shí)數(shù)且．
（1）求函數(shù)的圖象在處的切線方程；
（2）若函數(shù)在上是增函數(shù)，求的取值范圍；
（3）求證：．
2..已知函數(shù)．
（1）若函數(shù)在點(diǎn)處的切線斜率為，求的值．
（2）若函數(shù)存在減區(qū)間，求的取值范圍．
（3）求證：若，，都有．
【課后練習(xí)】
1.已知函數(shù)（為常數(shù)，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），曲線在點(diǎn)處的切線與軸平行．
（1）求的值；（2）求的單調(diào)區(qū)間；
（3）設(shè)，其中是的導(dǎo)函數(shù)．證明：對(duì)任意，．
2.已知函數(shù).
（1）設(shè)且，求函數(shù)的最小值；
（2）當(dāng)，證明：.
3.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的極大值；
（2）設(shè)實(shí)數(shù)a，b互不相等，且，證明：.
4.若．
（1）當(dāng)，時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）若，且有兩個(gè)極值點(diǎn)，，證明．
5.已知函數(shù).
（1）求的極值.
（2）若，，證明：.
6.已知，
（1）求在處的切線方程以及的單調(diào)性；
（2）令，若有兩個(gè)零點(diǎn)分別為，且為唯一極值點(diǎn)，求證：.
7.已知函數(shù).
（1）函數(shù)的圖象能否與軸相切？若能與軸相切，求實(shí)數(shù)的值；否則請(qǐng)說(shuō)明理由；
（2）若函數(shù)恰好有兩個(gè)零點(diǎn)、，求證：.
8.已知是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn).
（1）求的值；
（2）證明：.
9.已知函數(shù)．
（1）設(shè)是的極值點(diǎn)，求，并求的單調(diào)區(qū)間；
（2）證明：當(dāng)時(shí)，．
10.已知函數(shù)，.
（1）若恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）求證：當(dāng)時(shí)，.
11.已知函數(shù)，.
（1）若，求函數(shù)的最大值；
（2）若，
（i）求過(guò)原點(diǎn)且與曲線相切的直線方程；
（ii）設(shè)，為方程()的解，求證：.

12.已知函數(shù)，
（1）求的極值；
（2）若在上恒成立，求的取值范圍；
（3）已知，，且，求證：．
13.已知函數(shù)，gx=x?1x?(x>0)
（1）不等式對(duì)于任意的恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值集合；
（2）若函數(shù)與函數(shù)的圖象有且僅有一條公切線，求實(shí)數(shù)a的取值集合
（3）設(shè)，，若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，且，求證：.

第11講導(dǎo)數(shù)壓軸大題14類（2）
【題型一】不等式證明6:凹凸翻轉(zhuǎn)型
【典例分析】
已知，.
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）對(duì)一切，恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）證明：對(duì)一切，都有成立.
【答案】（1）函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增（2）（3）證明見解析
【分析】
（1）求出的導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)小于0，可求得函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間，導(dǎo)函數(shù)大于0，可求得函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）把與解析式代入已知不等式，整理后設(shè)，求出的導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)判斷單調(diào)性，進(jìn)而求出的最小值，即可確定的范圍；
（3）所證不等式兩邊乘以，左邊為，右邊設(shè)為，求出左邊的最小值及右邊的最大值，比較即可得證．
（1）
解：因?yàn)?，所以?br>當(dāng)，，當(dāng)，，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
（2）
解：原不等式等價(jià)于，即對(duì)一切恒成立，
設(shè)，則，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
所以，
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為；
（3）證明：原問(wèn)題等價(jià)于證明，
由（1）可知，的最小值是，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到，
設(shè)，則，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到，
所以對(duì)一切，都有成立．
【變式演練】
1.已知．
（1）求函數(shù)的極值；
（2）證明：對(duì)一切，都有成立．
【答案】（1）極小值為，無(wú)極大值（2）證明見解析
【分析】
（1）求導(dǎo)，令f′(x)=0，解得，分別討論和時(shí)，的正負(fù)，可得的單調(diào)區(qū)間，即可得答案.（2）問(wèn)題等價(jià)于證明，x∈(0，＋∞)．設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求得的單調(diào)區(qū)間和極值，分析即可得答案.
解（1）由，x>0，得f′(x)=ln x＋1，令f′(x)=0，得．
當(dāng)時(shí)，f′(x)＜0，f(x)單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增．
所以的極小值為，無(wú)極大值．
（2）證明：?jiǎn)栴}等價(jià)于證明，x∈(0，＋∞)．由（1）可知，x∈(0，＋∞)，
設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減．易知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到．
從而對(duì)一切x∈(0，＋∞)，成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．
即對(duì)一切，都有成立．
2.已知函數(shù).
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）證明：.
【答案】（1）答案見解析.（2）證明見解析
【分析】（1），令，分別討論，，，解不等式或即可得單調(diào)增區(qū)間和減區(qū)間，進(jìn)而可得單調(diào)性.
（2）設(shè)分別求，利用導(dǎo)數(shù)判斷兩個(gè)函數(shù)的單調(diào)性以及最值，求出即可求證.
解（1）因?yàn)?，所以，，?br>令，當(dāng)時(shí)，恒成立，此時(shí)在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，解不等式可得：，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，解不等式可得：，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞減，
在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
（2）由可得，由可得，由可得，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，所以，設(shè)，則，
由即可得；由即可得，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，
所以，所以對(duì)任意的恒成立.
【題型二】不等式證明7：三角函數(shù)與導(dǎo)數(shù)不等式
【典例分析】
已知函數(shù)，，．
（1）若在上單調(diào)遞增，求a的最大值；
（2）當(dāng)a?。?）中所求的最大值時(shí)，討論在R上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并證明．
【答案】（1）1；（2）2個(gè)，證明見解析.
【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)在上恒成立，再求導(dǎo)求其最小值即可；（2）利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在上的單調(diào)性，根據(jù)兩點(diǎn)的存在性定理可確定出2個(gè)零點(diǎn)，再由導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值，求出最小值的范圍即可得證.
解（1）由題意可知，在上恒成立，
因?yàn)椋詥握{(diào)遞增，
所以，解得a≤1，所以a的最大值為1.
（2）
易知a=1，所以,
當(dāng)x≤0時(shí)，，所以g(x)單調(diào)遞減，
當(dāng)x>0時(shí)，，則，所以單調(diào)遞增,
因?yàn)椋源嬖?，使得?br>在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
又，所以,
因?yàn)?，所以存在，使得?br>所以有兩個(gè)零點(diǎn)，又因?yàn)椋?br>所以，因?yàn)椋?br>所以，故成立.
【變式演練】
1.設(shè)函數(shù).
（1）求的極值點(diǎn)；
（2）設(shè)函數(shù).證明：.
【答案】（1）；（2）證明過(guò)程見解析.
【分析】（1）利用二次求導(dǎo)法，結(jié)合函數(shù)極值的定義進(jìn)行求解即可；
（2）利用構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)分類討論進(jìn)行證明即可.
解（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋海?br>由，設(shè)，
因?yàn)?，所以是單調(diào)遞減函數(shù)，
因此當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，
因此當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極大值，極大值為；
（2）函數(shù)的定義域?yàn)椋?，即?br>要想證明，只需證明，
構(gòu)造函數(shù)，由（1）可知當(dāng)時(shí)，函數(shù)的極大值為，
即，當(dāng)時(shí)，，
設(shè)，，，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，即有，
因此此時(shí)有成立，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，即有，
因此此時(shí)有成立，
所以當(dāng)時(shí)，，即，
設(shè)，當(dāng)時(shí)，顯然有，
因此有，即，而，
所以當(dāng)時(shí)，不等式成立，即成立.
2.已知函數(shù)
（1）若，成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍;
（2）證明：有且只有一個(gè)零點(diǎn)，且．
【答案】（1）（2）證明見解析.
【分析】
（1）把已知條件轉(zhuǎn)化成大于在上的最小值即可解決；
（2）先求導(dǎo)函數(shù)，判斷出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，圖像走勢(shì)，再判斷函數(shù)零點(diǎn)，隱零點(diǎn)問(wèn)題重在轉(zhuǎn)化.
解（1）由得，則在上單調(diào)遞增，在上最小值為
若，成立，則必有由，得故實(shí)數(shù)的取值范圍為
（2）在上單調(diào)遞增，且恒成立，最小正周期，在上最小值為由此可知在恒為正值，沒(méi)有零點(diǎn).
下面看在上的零點(diǎn)情況.，，則
即在單調(diào)遞增，
，
故在上有唯一零點(diǎn).綜上可知，在上有且只有一個(gè)零點(diǎn).
令，則，。
令，則。即在上單調(diào)遞減，
故有
【題型三】不等式證明8：極值點(diǎn)偏移之不含參型
【典例分析】
.已知函數(shù)．
（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
（2）設(shè)，為兩個(gè)不相等的正數(shù)，且，證明：．
【答案】（1）x－y－1＝0；（2）證明見解析﹒
【分析】(1)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求；
(2)①對(duì)不等式右側(cè)可以采用切線放縮來(lái)進(jìn)行證明；②不等式左側(cè)變形轉(zhuǎn)化為證明﹒
解（1）切點(diǎn)為，，，切線方程為，即x－y－1＝0；
（2），令，且當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．∵，不妨設(shè)，∴，
對(duì)不等式右側(cè)可以采用切線放縮來(lái)進(jìn)行證明．
注意到，而，∴．
再證左邊：要證：，只需證明：．∵，∴．
又∵，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增﹐故只需證明．
，構(gòu)造函數(shù)，，
∴，∴
∴在上單調(diào)遞減，∴，
∴，∴．
【變式演練】
1.已知函數(shù).
（1）當(dāng)時(shí)，判斷在區(qū)間上的單調(diào)性；
（2）當(dāng)時(shí)，若，且的極值在處取得，證明：.
【答案】（1）在上是增函數(shù)．（2）證明見解析．
【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，設(shè)，再求導(dǎo)，由恒成立得單調(diào)遞增，得，從而得的單調(diào)性；
（2）利用導(dǎo)數(shù)得出的極小值點(diǎn)，注意，題設(shè)中，滿足，考慮到，引入新函數(shù)，，利用導(dǎo)數(shù)確定是單調(diào)增函數(shù)，得，即得，再利用的關(guān)系，及函數(shù)的單調(diào)性可證得結(jié)論成立．
解（1），時(shí)，，，
設(shè)，則，時(shí)，恒成立，
所以，即在上單調(diào)遞增，又，所以時(shí)，恒成立，
所以在上是增函數(shù)．
（2），，，由（1）知在上是增函數(shù)，
，，所以在，即在上存在唯一零點(diǎn)，，
時(shí)，，遞減，時(shí)，，遞增．
是函數(shù)的唯一極小值點(diǎn)．若，則，
設(shè)，，
，
由得，所以，
由，得，，又，
所以，所以是增函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，，
所以，，又，
，所以，又，在上單調(diào)遞增，
所以，所以．
2.已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)為，，試證明：.
【答案】（1）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）證明見解析.
【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，討論的取值范圍，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系即可求解.
（2）利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極大值，由零點(diǎn)存在性定理可得兩零點(diǎn)所在的區(qū)間，不妨設(shè)，則有，構(gòu)造函數(shù)，，利用導(dǎo)數(shù)判斷出函數(shù)單調(diào)遞增，從而可得，再由即可求解.
解：（1）易得函數(shù)的定義域?yàn)?對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得：.
當(dāng)時(shí)，恒成立，即可知在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
（2）當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
，又，，不妨設(shè)，則有，
令，，.
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，，，
，又，，
，，在上單調(diào)遞減，，即.
【題型四】不等式證明9：極值點(diǎn)偏移之含參型
【典例分析】
已知函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)為．（1）求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
求證：．
【答案】（1）（2）見解析
【詳解】（1），當(dāng)時(shí)，，
在上單調(diào)遞增，不可能有兩個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，由可解得，由可解得，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，
要使得在上有兩個(gè)零點(diǎn)，則，解得，
則m的取值范圍為．
（2）令，則，由題意知方程有兩個(gè)根，
即方程有兩個(gè)根，不妨設(shè)，，令，
則當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，時(shí)，單調(diào)遞減，綜上可知，，
要證，即證，即，即證，
令，下面證對(duì)任意的恒成立，∵，∴，
∴又∵，∴，則在單調(diào)遞增∴，故原不等式成立．
【變式演練】
1..已知函數(shù).
（1）設(shè)函數(shù)，且恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）求證：；
（3）設(shè)函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)、，求證：.
【答案】（1）（2）證明見解析（3）證明見解析
【分析】（1）利用變量分離法得出，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值，即可得出實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）證明出，即可證得結(jié)論成立；
（3）分析可得，證得，利用基本不等式可得出，構(gòu)造函數(shù)，分析看可知函數(shù)在上為增函數(shù)，分析得出，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可證得結(jié)論成立.
解：（1）由可得，可得，令，其中，則，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，
所以，，所以，；
（2）解：要證，即證，由（1）可知，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，令，其中，則，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，所以，，
因?yàn)楹腿〉鹊臈l件不同，故，即；
（3）解：由題知①，②， ①②得③，
②①得④. ③④得，
不妨設(shè)，記.令，則，
所以在上單調(diào)遞增，所以，則，即，
所以.因?yàn)椋?br>所以，即.令，，則在上單調(diào)遞增.
又，所以，即，所以.
2.已知函數(shù).（1）若f（1）=2，求a的值；
（2）若存在兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)，滿足，證明：
①；②.
【答案】（1）2；（2）證明過(guò)程見解析.
【分析】（1）代入f（1）=2即可求出a的值；（2）①分情況討論，得到時(shí)滿足題意，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性，不妨設(shè)，構(gòu)造差函數(shù)，證明極值點(diǎn)偏移問(wèn)題；②在第一問(wèn)的基礎(chǔ)上進(jìn)行放縮即可證明..
解（1）由，化簡(jiǎn)得：，兩邊平方，解得：.
（2）不妨令，
①當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，故不能使得存在兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)，滿足，舍去；
當(dāng)時(shí)，為定值，不合題意；
當(dāng)時(shí)，，由對(duì)勾函數(shù)知識(shí)可知：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，兩個(gè)分段函數(shù)在處函數(shù)值相同，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，不能使得存在兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)，滿足，舍去；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，即分段函數(shù)在處函數(shù)值相等，要想存在兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)，滿足，則有三種類型，第一種：，顯然，令，則，當(dāng)時(shí)，，即在單調(diào)遞增，所以，即，由于，所以，又因?yàn)?，所以，因?yàn)椋谏蠁握{(diào)遞減，所以，即，綜上：；第二種情況：，顯然滿足，
接下來(lái)證明，令，則，當(dāng)時(shí)，，即在單調(diào)遞增，所以，又，所以，又，所以，因?yàn)?，，在上單調(diào)遞增，所以，即，綜上：；第三種情況：，由第一種情況可知滿足，由第二種情況可知：，則，
綜上：，證畢.
②由①可知：當(dāng)時(shí)，由得：，整理得：，即；
當(dāng)時(shí)，，整理得：，整理得：，因?yàn)?，所以，綜上：，證畢.
【題型五】不等式證明10：三個(gè)“極值點(diǎn)（零點(diǎn)）”不等式
【典例分析】
已知函數(shù)在處的切線方程為．
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）當(dāng)時(shí)，若函數(shù)的3個(gè)極值點(diǎn)分別為，，，求證：．
【答案】（1）（2）證明見解析【分析】
（1）由切線方程及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，得，解得，把點(diǎn)代入曲線方程，解得，進(jìn)而可得函數(shù)的解析式；
（2）由（1）可得的解析式，對(duì)求導(dǎo)，分析的單調(diào)性，極值，推出函數(shù)的3個(gè)極值點(diǎn)中，有一個(gè)為，有一個(gè)小于，有一個(gè)大于1，進(jìn)而得出答案．
解：（（1）1）由，可得，，所以，
所以，解得，又因?yàn)樵谇€上，所以，解得，
所以函數(shù)的解析式為：；
（2）證明：，，
令，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，因?yàn)楹瘮?shù)有3個(gè)極值點(diǎn)，所以，所以，所以當(dāng)時(shí)，又，
（1），從而函數(shù)的3個(gè)極值點(diǎn)中，有一個(gè)為，有一個(gè)小于，有一個(gè)大于1，
又，所以，，，即，，
故．
【變式演練】
1.已知函數(shù).
（1）若曲線在處的切線斜率為，求實(shí)數(shù)的值；
（2）若函數(shù)有3個(gè)不同的零點(diǎn)，，，求實(shí)數(shù)的取值范圍，并證明：.
【答案】（1）1；（2），證明見解析.
【分析】
（1）由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，知，即可求出的值；
（2）由題意，又有3個(gè)不同的零點(diǎn)，則有兩個(gè)異于2的不等實(shí)根，令，結(jié)合導(dǎo)數(shù)研究的零點(diǎn)分布情況即可求的取值范圍，應(yīng)用分析法：要證僅需證，而，是的兩個(gè)實(shí)根有，令，，，只需證，上恒成立即可.
【詳解】
（1）對(duì)求導(dǎo)，得，
依題意，，解得.
（2）依題意，，，令，得或，
要使有三個(gè)不等實(shí)根，需使有兩個(gè)異于2的不等實(shí)根，不妨設(shè)，，令，則，
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，不可能有兩個(gè)零點(diǎn)，不合題意；
當(dāng)時(shí)，令，得，
∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴要使有兩個(gè)異于2的不等實(shí)根，須使，即，此時(shí)有，，，
∴由函數(shù)零點(diǎn)存在定理知有兩個(gè)零點(diǎn)，即，又有，
∴實(shí)數(shù)的取值范圍是.要證，只需證.①
∵，是的兩個(gè)實(shí)根，且，∴，即，有.
令，，則，，，∴要證①式成立，只需證，，即證，.令，，則在上恒成立，
∴在上單調(diào)遞增，有，
∴，則得證.
2.已知函數(shù)f(x)=ex?ax21+x．
（1）若a=0，討論f(x)的單調(diào)性．
（2）若f(x)有三個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，x3．
①求a的取值范圍；
②求證：x1+x2+x3>?2．
【答案】（1）f(x)在(?∞,?1)和(?1,0)上單調(diào)遞減，在(0,+∞)上單調(diào)遞增（2）①(1e,12)∪(12,+∞) ；②證明見解析
【分析】（1）求導(dǎo)，根據(jù)的導(dǎo)函數(shù)與0的關(guān)系求出單調(diào)區(qū)間，
（2）①先求導(dǎo)，f'(0)=0，令g(x)=ex?a(x+2)，再求導(dǎo)，判斷根的范圍
②利用分析法進(jìn)行求證，要證：x1+x2+x3>?2，只要證：x1+x2>?2，只要證ex2?e?2?x2?2a(x2+1)0，求導(dǎo)，判斷增減性，問(wèn)題得以證明．
解：（1）當(dāng)a=0時(shí)，f(x)=ex1+x，x≠?1，∴f'(x)=xex(1+x)2，
當(dāng)f'(x)0，所以x0是g(x)的極小值點(diǎn)且為最小值，
要使g(x)=0有兩根，只要g(x0)1e且a≠12時(shí)，g?3=e?3+a>0，設(shè)Sx=x?2lnx,x>2，則S'x=x?2x>0，
故Sx在2,+∞上為增函數(shù)，故Sx>S(2)=2?2ln2>0即ex>x2x>2，
取M=max2,a+a2+8a2，則x>M時(shí)，ex?ax?2a>x2?ax?2a>0，
故此時(shí)g(x)=0有兩個(gè)既不等于0也不等于?1的根，
而g(?1)=1e?a?x2?2，
因?yàn)間(x)在(?∞,lna)上單調(diào)遞減，其中l(wèi)na>?1，故只要證g(x1)

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