【典例分析】
如圖，已知，分別是正四面體的側(cè)面與側(cè)面上動(dòng)點(diǎn)（不包含側(cè)面邊界），則異面直線，所成角不可能的是
A．B．C．D．
【變式演練】
1.從正方體八個(gè)頂點(diǎn)的兩兩連線中任取兩條直線a，b，且a，b是異面直線，則a，b所成角的余弦值的所有可能取值構(gòu)成的集合是（ ）
A．；B．
C．；D．．
2.如圖，已知正三棱錐，，，點(diǎn)，分別棱，上（不包含端點(diǎn)），則直線，所成的角的取值范圍是______.
3.在四棱錐中，底面，底面為正方形，，點(diǎn)為正方形內(nèi)部的一點(diǎn)，且，則直線與所成角的余弦值的取值范圍為
A．B．C．D．
【題型二】 求直線和平面所成角
【典例分析】
如圖，在四棱錐P?ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB∥CD，AD＝CD＝，AB＝，PA＝，DA⊥AB，點(diǎn)Q在PB上，且滿足PQ∶QB=1∶3，求直線CQ與平面PAC所成角的正弦值．
【變式演練】
1.如圖，已知，分別是圓柱上?下底面圓的直徑，且，若該圓柱的側(cè)面積是其上底面面積的倍，則與平面所成的角為（ ）
A．B．C．D．
2.設(shè)正方體棱長為1，平面經(jīng)過頂點(diǎn)，且與棱AB?AD?所在直線所成的角都相等，則滿足條件的平面共有（ ）個(gè).
A．1B．2C．3D．4
3.如圖，在四面體VABC中，已知VA⊥平面VBC，VA與平面ABC所成的角為45°，D是BC上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)直線VD與平面ABC所成的角為θ，則（ ）
A．θ≤60°B．θ≥30°C．θ≤45°D．θ≤75°
【題型三】 求二面角的平面角
【典例分析】
已知四面體的每個(gè)頂點(diǎn)都在球O（О為球心）的球面上，為等邊三角形，，，且，則二面角的正切值為（ ）
A．B．C．D．
【變式演練】
1.設(shè)，是平面內(nèi)所成角為的兩條直線，過，分別作平面，，且銳二面角的大小為，銳二面角的大小為，則平面，所成的銳二面角的平面角的余弦值可能是（ ）
A．B．C．D．
2.過正方形的頂點(diǎn)作線段平面，若，則平面與平面所成的銳二面角的余弦值為（ ）
A．B．C．D．
3.如圖，在長方體中，，，，分別是，，的中點(diǎn)，記直線與所成的角為，平面與平面所成二面角為，則（ ）
A．B．
C．D．
【題型四】 翻折中的角度
【典例分析】
如圖，矩形中，，，．將梯形ADEF沿著EF翻折成梯形，則與平面所成角可以是（ ）
A．90°B．75°C．45°D．30°
【變式演練】
1.如圖，矩形中，已知，，為的中點(diǎn)． 將沿著向上翻折至，記銳二面角的平面角為，與平面所成的角為，則下列結(jié)論不可能成立的是（ ）
A．B．
C．D．
2.已知，，D是的中點(diǎn)，將沿翻折，得到，設(shè)與平面所成的角為，與平面所成的角為，與平面所成的角為，則（ ）
A．B．C．D．
3.如圖，矩形中，已知為的中點(diǎn)．將沿著向上翻折至得到四棱錐．平面與平面所成銳二面角為，直線與平面所成角為，則下列說法錯(cuò)誤的是（ ）
A．若為中點(diǎn)，則無論翻折到哪個(gè)位置都有平面平面
B．若為中點(diǎn)，則無論翻折到哪個(gè)位置都有平面
C．
D．存在某一翻折位置，使
【題型五】 三種角度之間的相互關(guān)系
【典例分析】
過正方體棱的中點(diǎn)與直線所成角為，且與平面所成角為的直線條數(shù)為（ ）
【變式演練】
1.如圖，二面角的大小是，線段．，與所成的角為．直線與平面所成的角的正弦值是（ ）
A．B．C．D．
2.已知正方體和空間任意直線，若直線與直線所成的角為，與直線所成的角為，與平面所成的角為，與平面所成的角為，則（ ）
A．B．
C．D．
3.已知平面內(nèi)的，射線與所成的角均為135°，則與平面所成的角的余弦值是（ ）
A．B．C．D．
【題型六】 三種角度比大小
【典例分析】
如圖，在三棱錐中，，，，分別為，的中點(diǎn)，記平面與平面所成的角為，直線，與平面所成的角分別為，，若，則（ ）
A．， B．， C．，D．，
【變式演練】
1.如圖，在等邊三角形中，分別是線段上異于端點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，且，現(xiàn)將三角形沿直線折起，使平面平面，當(dāng)從滑動(dòng)到的過程中，則下列選項(xiàng)中錯(cuò)誤的是（ ）
A．的大小不會發(fā)生變化B．二面角的平面角的大小不會發(fā)生變化
C．與平面所成的角變大D．與所成的角先變小后變大
2.如圖，在三棱錐中，，，D是棱上一點(diǎn)（不含端點(diǎn)）且，記為，直線與平面所成角為，直線與平面所成角為，則（ ）
A．B．C．D．
3.已知三棱錐，記二面角的平面角是，直線與平面所成的角是，直線與所成的角是，則（ ）
A．B．C．D．
【題型七】 球中的角度
【典例分析】
已知AB、CD是圓O的兩條直徑，且，如圖1，沿AB折起，使兩個(gè)半圓面所在的平面垂直，折到點(diǎn)位置，如圖2．設(shè)直線與直線OC所成的角為，則（ ）
A．且B．且
C．且D．且
【變式演練】
1.已知三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)在球的球面上，平面，，與平面所成的角為，則球的表面積為（ ）
A．B．C．D．
2.一圓柱形容器，底面半徑為1，高為3，里面裝有一個(gè)小球，小球的表面和圓柱側(cè)面、下底面均相切.過圓柱上底面圓周上一點(diǎn)作一個(gè)平面，使得與小球恰好相切，則與圓柱下底面所成最小的銳二面角的正弦值為（ ）
3.一球內(nèi)接一圓錐，圓錐的軸截面為正三角形，過作與球相切的平面，則直線與平面所成的角為（ ）
A．30°B．45°C．15°D．60°
【題型八】 壓軸小題中的角度題型
【典例分析】
如圖，在等邊三角形中，分別是線段上異于端點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，且，現(xiàn)將三角形沿直線折起，使平面平面，當(dāng)從滑動(dòng)到的過程中，則下列選項(xiàng)中錯(cuò)誤的是（ ）
A．的大小不會發(fā)生變化B．二面角的平面角的大小不會發(fā)生變化
C．與平面所成的角變大D．與所成的角先變小后變大
【變式演練】
1.在正四面體（所有棱長均相等的三棱錐）中，點(diǎn)在棱上，滿足，點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn).設(shè)直線與平面所成的角為，則（ ）
A．存在某個(gè)位置，使得B．存在某個(gè)位置，使得
C．存在某個(gè)位置，使得平面平面D．存在某個(gè)位置，使得
2.如圖，在邊長為4的正三角形ABC中，D，E，F(xiàn)分別為各邊的中點(diǎn)，G，H分別為DE，AF的中點(diǎn)，將沿DE，EF，DF折成正四面體，則在此正四面體中，下列說法正確的是______．
異面直線PG與DH所成的角的余弦值為；
；
與PD所成的角為；
與EF所成角為
3.斜線與平面成15°角，斜足為，為在內(nèi)的射影，為的中點(diǎn)，是內(nèi)過點(diǎn)的動(dòng)直線，若上存在點(diǎn)，使，則則的最大值是_______，此時(shí)二面角平面角的正弦值是_______
【題型九】 距離
【典例分析】
已知正方體的棱長為，點(diǎn)為中點(diǎn)，點(diǎn)?在四邊形內(nèi)（包括邊界），點(diǎn)到平面的距離等于它到點(diǎn)的距離，直線平面，則的最小值為___________.
【變式演練】
1.已知三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，滿足，，為球O的直徑且，則點(diǎn)P到底面的距離為（ ）
A．B．C．D．
2.空間給定不共面的A，B，C，D四個(gè)點(diǎn)，其中任意兩點(diǎn)間的距離都不相同，考慮具有如下性質(zhì)的平面：A，B，C，D中有三個(gè)點(diǎn)到的距離相同，另一個(gè)點(diǎn)到的距離是前三個(gè)點(diǎn)到的距離的2倍，這樣的平面的個(gè)數(shù)是___________個(gè)
3.如圖，長方體的底面是正方形，其側(cè)面展開圖是邊長為的正方形，?分別是側(cè)棱?上的動(dòng)點(diǎn)，，點(diǎn)在棱上，且，若平面，則___________.
【課后練習(xí)】
1.已知三棱錐中，棱，，的中點(diǎn)分別是M，N，O，，，都是正三角形，則異面直線與所成角的余弦值為___________.

2.在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，過點(diǎn)C做直線l，使得直線l與直線BA1和B1D1所成的角均為，則這樣的直線l（ ）
A．不存在B．2條
C．4條D．無數(shù)條

3.設(shè)三棱錐的底面是正三角形，側(cè)棱長均相等，P是棱上的點(diǎn)（不含端點(diǎn)），記直線與直線所成的角為，直線與平面所成的角為，二面角的平面角是則三個(gè)角，，中最小的角是（ ）
A．B．C．D．不能確定
4.如圖，四邊形中，，，沿直線將折成，使點(diǎn)在平面上的射影在內(nèi)（不含邊界），記二面角的平面角大小為，直線?與平面所成角分別為?，則（ ）
A．B． C．D．

5.已知直角梯形滿足:，且△為正三角形.將△沿著直線翻折至△，且，二面角的平面角大小分別為，直線與平面所成角分別是，則（ ）
A． B．
C． D．

6.，為空間中兩條互相垂直的直線，等腰直角三角形的直角邊所在直線與，都垂直，斜邊以直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，有下列結(jié)論：①當(dāng)直線與成角時(shí)，與成角；②當(dāng)直線與成角時(shí)，與成角；③直線與所成角的最大值為；④直線與所成角的最小值為；其中正確的是___________（填寫所有正確結(jié)論的編號）

7.在正三棱柱中，，點(diǎn)M是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)N是線段AB的中點(diǎn)，記直線與CN所成角為，二面角的平面角為，則（ ）
A．B．C．D．

8.已知平面α與β所成銳二面角的平面角為，P為α，β外一定點(diǎn)，過點(diǎn)P的一條直線與α和β所成的角都是，則這樣的直線有且僅有（ ）
A．1條B．2條C．3條D．4條

9.如圖，梯形為直角梯形，，，，，將沿折起，使點(diǎn)到點(diǎn)的位置，得到三棱錐，其中點(diǎn)在底面上的射影在的內(nèi)部.記直線與直線所成的角為，直線與平面所成的角為，二面角的平面角為，則（ ）
A．B．C．D．

10.如圖，在四棱錐中，，平面平面，若，，與平面所成的角為，則以下結(jié)論正確的是（ ）

A．B．C．D．

11.如圖 ，邊長為2的正方形ABCD和正方形 ABEF所在的面成角 ，M、N分 別 是線段 AC、BF上 的 點(diǎn)，且AM =FN．則 線 段 MN的 長 的 取 值范圍 是（ ）.

A．B．C．D．
第23講 立體幾何求角度、距離9類
【題型一】 求異面直線所成的角
【典例分析】
如圖，已知，分別是正四面體的側(cè)面與側(cè)面上動(dòng)點(diǎn)（不包含側(cè)面邊界），則異面直線，所成角不可能的是
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】取的中點(diǎn)，根據(jù)線面垂直判定定理可得平面，進(jìn)一步可得平面然后計(jì)算直線與平面所成角，最后進(jìn)行判斷即可.
【詳解】另設(shè)正四面體的邊長為2，取的中點(diǎn)，連接，并作，連接
如圖在該正四面體中，有
所以，，平面
所以平面，又平面
所以，由，平面
所以平面，則與平面所成的角為
又，則
所以，則
所以，所以所以若點(diǎn)為點(diǎn)，與平面所成的角要大于
則當(dāng)在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)，與所成角要大于
所以，在側(cè)面與側(cè)面運(yùn)動(dòng)，與所成角要大于故選：A
【變式演練】
1.從正方體八個(gè)頂點(diǎn)的兩兩連線中任取兩條直線a，b，且a，b是異面直線，則a，b所成角的余弦值的所有可能取值構(gòu)成的集合是（ ）
A．；B．
C．；D．．
【答案】D
【分析】
利用異面直線的定義，從正方體的八個(gè)頂點(diǎn)兩兩連線中任取兩條異面直線，可以分類討論其夾角可能取值，進(jìn)而得解.
【詳解】
利用異面直線的夾角范圍為，故其余弦值范圍為，可以分為以下幾類：
兩條棱所在直線異面時(shí)，所成角的度數(shù)是，其余弦值為0；
面對角線與棱所在直線異面時(shí)，所成角的度數(shù)是或，其余弦值為或0；
兩條面對角線異面時(shí)，所成角的度數(shù)是或，其余弦值為或0；
體對角線與棱所在直線異面時(shí)，所成角的余弦值為；
體對角線與面對角線異面時(shí)，所成角的度數(shù)是，其余弦值為0；
所以從正方體八個(gè)頂點(diǎn)的兩兩連線中任取兩條直線a，b，且a，b是異面直線，則a，b所成角的余弦值的所有可能取值構(gòu)成的集合是故選：D
2.如圖，已知正三棱錐，，，點(diǎn)，分別棱，上（不包含端點(diǎn)），則直線，所成的角的取值范圍是______.
【答案】
【分析】根據(jù)異面直線所成角的取值范圍，同時(shí)根據(jù)題意找出臨界情況，即可求出直線，所成的角的取值范圍.
【詳解】設(shè)在平面內(nèi)的射影為，
在正三棱錐中，點(diǎn)的投影為底面的中心，
當(dāng)為中點(diǎn)，為的三等分點(diǎn)且靠近點(diǎn)時(shí)，
平面,此時(shí),直線，所成的角為，
又因?yàn)槭桥c底面內(nèi)直線所成角的最小值，
所以當(dāng)與重合且與重合時(shí)，最小為，
又因?yàn)辄c(diǎn)在棱上（不包含端點(diǎn)），
所以直線，所成的角的取值范圍是.故答案為：.
3.在四棱錐中，底面，底面為正方形，，點(diǎn)為正方形內(nèi)部的一點(diǎn)，且，則直線與所成角的余弦值的取值范圍為
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)題意，建立空間直角坐標(biāo)系，在平面上，由計(jì)算的軌跡方程，可知的軌跡是以為圓心，以2為半徑的圓，在正方形中的部分；根據(jù)平行找直線與所成角的平面角，根據(jù)的軌跡判定臨界值，從而確定直線與所成角的余弦值的取值范圍.
【詳解】
由題意，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則有，
設(shè)，由，則列方程有
化簡得，即點(diǎn)的軌跡是以為圓心，以2為半徑的圓，在正方形中的部分；
過作垂足為,連接，則有
則直線與所成角的平面角為，則
根據(jù)點(diǎn)的軌跡是以為圓心，以2為半徑的圓，在正方形中的部分，
則點(diǎn)軌跡與正方形的邊交于一點(diǎn)，記為
與正方形的邊交于一點(diǎn)，記為
當(dāng)點(diǎn)從運(yùn)動(dòng)到位置時(shí)，逐漸減小，逐漸增大，則的取值逐漸減小，
計(jì)算，
則直線與所成角的余弦值的取值范圍是，故選：
【題型二】 求直線和平面所成角
【典例分析】
如圖，在四棱錐P?ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB∥CD，AD＝CD＝，AB＝，PA＝，DA⊥AB，點(diǎn)Q在PB上，且滿足PQ∶QB=1∶3，求直線CQ與平面PAC所成角的正弦值．
【答案】
【分析】根據(jù)線段比例關(guān)系及勾股定理，可分別求出CM、CQ的長度，再由等體積法求得點(diǎn)Q到平面PAC的距離，進(jìn)而求得直線CQ與平面PAC夾角的正弦值．
【詳解】作CN⊥AB交AB于N，QM⊥AB交AB于M，連接CM；QG⊥平面PAC于G，連接GC
因?yàn)镻Q∶QB=1∶3，AD＝CD＝，AB＝，PA＝，所以AM=MN=AB=，QM=PA=
所以。所以
設(shè)Q到平面PAC的距離為h，CQ與平面PAC的夾角為α則由 可得
，即解得
所以CQ與平面PAC的夾角的正弦值為
【變式演練】
1.如圖，已知，分別是圓柱上?下底面圓的直徑，且，若該圓柱的側(cè)面積是其上底面面積的倍，則與平面所成的角為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】設(shè)為圓柱下底面內(nèi)與垂直的直徑，由對稱性和線面角的定義可確定為所求角，由側(cè)面積和底面面積可得到，由此可求得結(jié)果.
【詳解】
如圖，設(shè)為圓柱下底面內(nèi)與垂直的直徑，記，連接，，
由對稱性可知：，，平面，
設(shè)，垂足為，則，平面，
直線在平面內(nèi)的射影為，為與平面所成的角，
，，，
與平面所成的角為.故選：C.
2.設(shè)正方體棱長為1，平面經(jīng)過頂點(diǎn)，且與棱AB?AD?所在直線所成的角都相等，則滿足條件的平面共有（ ）個(gè).
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】
由正方體的性質(zhì)，分在同一側(cè)、不同側(cè)兩種情況畫出滿足題設(shè)的平面，即可知平面的個(gè)數(shù).
【詳解】
1當(dāng)平面面且過點(diǎn)時(shí)，滿足題設(shè)；2、由正方體的性質(zhì)，面、面、面都滿足題設(shè)；∴共有4個(gè)平面..故選：D
3.如圖，在四面體VABC中，已知VA⊥平面VBC，VA與平面ABC所成的角為45°，D是BC上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)直線VD與平面ABC所成的角為θ，則（ ）
A．θ≤60°B．θ≥30°C．θ≤45°D．θ≤75°
【答案】C
【分析】作底面于點(diǎn)，于，分析得，結(jié)合三角函數(shù)分析變化對影響即可求解.
【詳解】如圖，作底面于點(diǎn)，于，由幾何關(guān)系可得，，，當(dāng)固定時(shí)，也固定，最小時(shí)應(yīng)為時(shí)，此時(shí)與重合，又因?yàn)閂A⊥平面VBC，所以，所以平面，易知三點(diǎn)共線，因?yàn)閂A與平面ABC所成的角為45°，故, VA⊥平面VBC，所以,所以，此時(shí)最大，最大，故.故選：C
【題型三】 求二面角的平面角
【典例分析】
已知四面體的每個(gè)頂點(diǎn)都在球O（О為球心）的球面上，為等邊三角形，，，且，則二面角的正切值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
若為中點(diǎn)，連接，利用線面垂直的判定、勾股定理及面面垂直判定可得面面，結(jié)合已知條件有△為等腰直角三角形，進(jìn)而可確定四面體外接球球心的位置，若為中點(diǎn)，連接，易知即為二面角的平面角，即可求其正切值.
【詳解】
若為中點(diǎn)，連接，由為等邊三角形，則，又，且，
∴面，又面，即，
由題設(shè)，，，而，
∴，即，又，面，
∴面，而面，則面面，
由上可得：，則，故△為等腰直角三角形，
∴綜上，四面體的球心為△的中心，即靠近的三等分點(diǎn)，
若為中點(diǎn)，連接，易知：即為二面角的平面角，
由上、且，面，可得面，
又面，則，即，
∴，而，∴.故選：A.
【變式演練】
1.設(shè)，是平面內(nèi)所成角為的兩條直線，過，分別作平面，，且銳二面角的大小為，銳二面角的大小為，則平面，所成的銳二面角的平面角的余弦值可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
根據(jù)題意作出圖形，由題過點(diǎn)P向平面作垂線,找到銳二面角，，設(shè)，利用邊角關(guān)系計(jì)算各個(gè)邊長，計(jì)算點(diǎn)C到PA的距離以及點(diǎn)C到平面的距離，從而可得到所求的二面角.
【詳解】
如圖，平面為平面ABC,直線為直線AB,直線為直線AC,由題意得，
過作平面為平面ABP, 過作平面為平面ACP,過點(diǎn)P向平面作垂線,垂足為O,
再由點(diǎn)O作連接PB,PC,銳二面角的大小為，
即，同理可知，設(shè)，則，，,在三角形中，,，，所以，，，過點(diǎn)C作所以高線，
,可得,,,,過點(diǎn)O作,則,
可得到面的距離，故可知到面的距離為，記平面，所成的角為，則，所以.
故選：B.
2.過正方形的頂點(diǎn)作線段平面，若，則平面與平面所成的銳二面角的余弦值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出平面與平面所成的銳二面角的余弦值．
【詳解】
解：設(shè)，
以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
，0，，，1，，，1，，
，1，，，1，，
設(shè)平面的法向量，，，
則，取，得，1，，
平面的法向量，1，，
平面與平面所成的銳二面角為，
則，
故選：．
3.如圖，在長方體中，，，，分別是，，的中點(diǎn)，記直線與所成的角為，平面與平面所成二面角為，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】
根據(jù)異面直線所成角定義可知即為，由正三角形知，可證，分別為平面和平面的垂線，視作平面法向量，利用其夾角可得二面角，即可求解.
【詳解】
連接,如圖，在長方體內(nèi)知,
所以為異面直線與所成的角為，易知為等邊三角形，所以，
因?yàn)槠矫?平面，所以
又，所以平面，同理可得平面，
則，可分別視為平面，平面的一個(gè)法向量，
又因?yàn)樵陂L方體內(nèi)易知，而故與的夾角為，
所以或，即，故選：B
【題型四】 翻折中的角度
【典例分析】
如圖，矩形中，，，．將梯形ADEF沿著EF翻折成梯形，則與平面所成角可以是（ ）
A．90°B．75°C．45°D．30°
【答案】B
【分析】
由平面幾何知識證得，是它們的中點(diǎn)，從而可證明平面平面．過作于，過作于，可證得交于即為與平面的交點(diǎn)，并得出即為直線與平面所成的角，然后計(jì)算求得此角正切的范圍，從而可得正確選項(xiàng)．
【詳解】
設(shè)，即，，，
，
由，可得，所以，，
所以，即，
折疊后，，又，平面，
所以平面．平面，所以平面平面．
過作于，過作于，原平面圖形中，折疊后仍然保持平行，所以共面，平面．
設(shè)交于，
與平面的交點(diǎn)即為，即為直線與平面所成的角，
由平面，平面，得，
在原平面圖形中易得，，所以，
顯然，所以，即，
故選：B．
【變式演練】
1.如圖，矩形中，已知，，為的中點(diǎn)． 將沿著向上翻折至，記銳二面角的平面角為，與平面所成的角為，則下列結(jié)論不可能成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】
先取中點(diǎn)為，判斷四邊形是正方形，再作于，證明，，分別再直角三角形中計(jì)算和，比較即判斷A正確；將選項(xiàng)A的結(jié)論平方，結(jié)合二倍角公式和余弦函數(shù)的單調(diào)性，即判斷C正確；計(jì)算即判斷B可能成立；判斷，結(jié)合，即得，判斷D錯(cuò)誤.
【詳解】
記中點(diǎn)為，連接，連接與交于點(diǎn)， 依題意知四邊形是正方形.
，故銳二面角的平面角為，
平面，過作于，則，
而相交于平面內(nèi)，
故平面，故連接，則與平面所成的角為.
記，因?yàn)橹校?br>中，，所以①，選項(xiàng)A成立；
將①平方得：，所以，，
易見，都是銳角，則，∴，而，
根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性可知，，選項(xiàng)C成立；
因?yàn)椋?，若使，則需，
即當(dāng)，可以成立，即B可能成立；
另外，由，都是銳角，且知，，知.
由選項(xiàng)C知，∴，選項(xiàng)D錯(cuò)誤．
故選：D.
2.已知，，D是的中點(diǎn)，將沿翻折，得到，設(shè)與平面所成的角為，與平面所成的角為，與平面所成的角為，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
依題意畫出草圖，過作交的延長線于點(diǎn)，連接，可證面，即可得到，，，由，得到，再利用銳角三角函數(shù)得到，即可得解；
【詳解】
解：在，，D是的中點(diǎn)，所以，，又，面，所以面
過作交的延長線于點(diǎn)，連接，因?yàn)槊?，面，所以，，面，所以面，因?yàn)榕c平面所成的角為，所以，與平面所成的角為，所以，與平面所成的角為，所以
因?yàn)?，所以，即?br>又，，因?yàn)?，所以，即，所，即，?dāng)時(shí)，
故選：C
3.如圖，矩形中，已知為的中點(diǎn)．將沿著向上翻折至得到四棱錐．平面與平面所成銳二面角為，直線與平面所成角為，則下列說法錯(cuò)誤的是（ ）
A．若為中點(diǎn)，則無論翻折到哪個(gè)位置都有平面平面
B．若為中點(diǎn)，則無論翻折到哪個(gè)位置都有平面
C．
D．存在某一翻折位置，使
【答案】C
【分析】
對于A：根據(jù)線面垂直的判定和面面垂直的判定可判斷；
對于B：取中點(diǎn)，根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)可證得四邊形PECQ是平行四邊形，再由線面平行的判定可判斷；
對于C：過作平面，則在上，所以平面與平面所成銳二面角為或其補(bǔ)角，根據(jù)面面角和線面角的定義可判斷；
對于D：根據(jù)面面角和線面角的定義可判斷．
【詳解】
若為中點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，則面，又面，所以平面平面，故A正確；
取中點(diǎn)，則，，又，
所以四邊形PECQ是平行四邊形，又平面，平面，所以平面，故B正確；
過作平面，則在上，所以平面與平面所成銳二面角為（或其補(bǔ)角），
，故C錯(cuò)誤；
若，又，則，故D正確，
故選：C．
【題型五】 三種角度之間的相互關(guān)系
【典例分析】
過正方體棱的中點(diǎn)與直線所成角為，且與平面所成角為的直線條數(shù)為（ ）
A．1B．2C．3D．無數(shù)
【答案】B
【分析】
取的中點(diǎn),的中點(diǎn)為,的中點(diǎn)為,的中點(diǎn)為,連結(jié)和,則⊥平面, ，在平面內(nèi)，以點(diǎn)為圓心，半徑為畫圓，進(jìn)一步得出結(jié)論.
【詳解】
設(shè)正方體邊長為1，取的中點(diǎn),的中點(diǎn)為,的中點(diǎn)為,的中點(diǎn)為,連結(jié)和,則⊥平面, .
在平面內(nèi)，以點(diǎn)為圓心，半徑為畫圓，
則點(diǎn)與此圓上的點(diǎn)的連線滿足：過的中點(diǎn)與平面所成的角為50°
E點(diǎn)為與圓的交點(diǎn)，
∴50°，∴∠50°
所以滿足與所成角為40°的直線有且只有2條.
故選: B.
【變式演練】
1.如圖，二面角的大小是，線段．，與所成的角為．直線與平面所成的角的正弦值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
過點(diǎn)作平面的垂線，垂足為，在內(nèi)過作的垂線．垂足為連接，由三垂線定理可知，故為二面角的平面角為，在即可得到答案；
【詳解】
解：過點(diǎn)作平面的垂線，垂足為，在內(nèi)過作的垂線．垂足為連接，
由三垂線定理可知，故為二面角的平面角為
又由已知，
連接，則為與平面所成的角，
設(shè)，則，，
直線與平面所成的角的正弦值．
故選：．
2.已知正方體和空間任意直線，若直線與直線所成的角為，與直線所成的角為，與平面所成的角為，與平面所成的角為，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】
若平面，可得，可排除CD；當(dāng)直線時(shí)，可得，排除A.
【詳解】
若平面，則，此時(shí)可以是的任意值，此時(shí)，故CD錯(cuò)誤；
當(dāng)直線時(shí)，，此時(shí)，故A錯(cuò)誤.
故選：B.
3.已知平面內(nèi)的，射線與所成的角均為135°，則與平面所成的角的余弦值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
作出圖形，如圖，通過分析，可得為與平面所成的角的補(bǔ)角，利用余弦定理可以計(jì)算.
【詳解】
作出如下圖形，令，則，，
取中點(diǎn)，連接，則即為與平面所成的角的補(bǔ)角，在中，，在中，，
，，與平面所成的角的余弦值是.
故選：B.
【題型六】 三種角度比大小
【典例分析】
如圖，在三棱錐中，，，，分別為，的中點(diǎn)，記平面與平面所成的角為，直線，與平面所成的角分別為，，若，則（ ）
A．， B．， C．，D．，
【答案】A
【分析】將三棱錐置于直三棱柱中，不妨設(shè)為銳角，，分別為，的中點(diǎn)，為線段上一點(diǎn)，且，連接，，，，然后可得，，，利用，可比較出的大小，由可得，然后可得.
【詳解】
如圖所示， 將三棱錐置于直三棱柱中，
不妨設(shè)為銳角，，分別為，的中點(diǎn)，為線段上一點(diǎn)，且．
連接，，，，由直三棱柱的幾何性質(zhì)易知，為的中點(diǎn)，
，，，則，，
又，故，；
易知，則，又，所以，故．
故選：A
【變式演練】
1.如圖，在等邊三角形中，分別是線段上異于端點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，且，現(xiàn)將三角形沿直線折起，使平面平面，當(dāng)從滑動(dòng)到的過程中，則下列選項(xiàng)中錯(cuò)誤的是（ ）
A．的大小不會發(fā)生變化B．二面角的平面角的大小不會發(fā)生變化
C．與平面所成的角變大D．與所成的角先變小后變大
【答案】C
【分析】
過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，可證明在三角形沿直線折起的過程中，平面，然后用的值分別將各個(gè)選項(xiàng)中的角的相應(yīng)三角函數(shù)表示出來，然后判斷可得答案.
【詳解】
設(shè)等邊三角形的邊長為1，，則
在中，由，則
過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，則
,所以，
在三角形沿直線折起的過程中，始終滿足.
由平面平面，平面平面，所以平面
由平面,則
在中， ,
所以
所以
所以大小不變，故選項(xiàng)A正確.
過作交于點(diǎn)，由，則
由平面，又平面，則
由,所以平面,
所以為二面角的平面角
在直角中，
所以大小不變，故選項(xiàng)B正確.
由,則，又, 且
所以 平面，又平面,所以 由平面，由平面,則。所以 設(shè)點(diǎn)到平面的距離為.
由等體積法可得,即
則
設(shè)與平面所成的角為，則
當(dāng)從滑動(dòng)到的過程中，的值從1變小到0，這一過程中逐漸變大.
所以在這一過程中，變小，則角變小， 故選項(xiàng)C不正確.
由，則 (或其補(bǔ)角)為與所成的角.
由上可知：，則
函數(shù)的對稱軸為
當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減.
當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增.
所以當(dāng)從1變到的過程中，變小，當(dāng)從變到0的過程中，變大，
所以選項(xiàng)D正確.故選：C
2.如圖，在三棱錐中，，，D是棱上一點(diǎn)（不含端點(diǎn)）且，記為，直線與平面所成角為，直線與平面所成角為，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
由，，可得≌，從而得，而直線與平面所成角為，由最小角定理可得，再由，，進(jìn)而可比較的大小
解：因?yàn)?，，所以≌，所以，因?yàn)橹本€與平面所成角為，
所以由最小角定理可得，因?yàn)?，所?
因?yàn)?，，所以?br>令點(diǎn)到平面的距離為，點(diǎn)到平面的距離為，因?yàn)椋?所以，
因?yàn)橹本€與平面所成角為，直線與平面所成角為，所以
因?yàn)?，所以因?yàn)樗?，故選：A
3.已知三棱錐，記二面角的平面角是，直線與平面所成的角是，直線與所成的角是，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
設(shè)三棱錐D-ABC是棱長為2的正四面體，取AB中點(diǎn)E，DC中點(diǎn)M，AC中點(diǎn)M，連結(jié)DE、CE、MN、EN，過D作，交CE于O，連結(jié)AO，則，，，排除B，C．當(dāng)二面角是直二面角時(shí)，，排除D．由此能求出結(jié)果．
【詳解】
設(shè)三棱錐D-ABC是棱長為2的正四面體，
取AB中點(diǎn)E，DC中點(diǎn)M，AC中點(diǎn)M，連結(jié)DE、CE、MN、EN，
過D作DO⊥CE，交CE于O，連結(jié)AO，則，，，，，
∴，，∴，
取BC中點(diǎn)F，連結(jié)DF、AF，則，，
又，∴平面AFD，∴，∴，
∴，排除B，C，
當(dāng)二面角是直二面角時(shí)，，排除D，故選：A.
【題型七】 球中的角度
【典例分析】
已知AB、CD是圓O的兩條直徑，且，如圖1，沿AB折起，使兩個(gè)半圓面所在的平面垂直，折到點(diǎn)位置，如圖2．設(shè)直線與直線OC所成的角為，則（ ）
A．且B．且
C．且D．且
【答案】C
【分析】
根據(jù)圓的性質(zhì)知，過D作于，連接CE、AC，設(shè)圓的半徑為，有，利用余弦定理、線面垂直的性質(zhì)證，結(jié)合勾股定理判斷是否為直角；再過作交于，則F為中點(diǎn)，連接，即直線與直線OC所成的角為，過F作于，連接，利用勾股定理及余弦定理求，即可比較與60°的大小.
【詳解】
圖1中過D作于，連接CE、AC，設(shè)圓的半徑為，
由，則且，
∴在△中，，而，
∵圖2中兩個(gè)半圓面所在的平面垂直，它們交線為AB，且面，
∴面，面，則，
∴在Rt△中，，而
∴，故，
過作交于，則F為中點(diǎn)，連接，即直線與直線OC所成的角為，，，
過F作于，連接，且面面，面，
∴面，面，則，
而在圖1中，，，，在△中，，
∴圖2，在Rt△中，，則在△中，，∴.故選：C
【變式演練】
1.已知三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)在球的球面上，平面，，與平面所成的角為，則球的表面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
取中點(diǎn)，連接，證明平面，故為與平面所成的角為，球心在平面的投影為的外心，計(jì)算得到答案.
【詳解】取中點(diǎn)，連接，，則.
平面，平面，故.，故平面，故為與平面所成的角為.，故，，，故.
球心在平面的投影為的外心，根據(jù)知，，故，
故球的表面積為.故選：.
2.一圓柱形容器，底面半徑為1，高為3，里面裝有一個(gè)小球，小球的表面和圓柱側(cè)面、下底面均相切.過圓柱上底面圓周上一點(diǎn)作一個(gè)平面，使得與小球恰好相切，則與圓柱下底面所成最小的銳二面角的正弦值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
作出當(dāng)平面與小球相切，且與底面所成銳二面角最小時(shí)的剖面圖，再由直線與圓相切時(shí)的性質(zhì)求得，由面面角的定義可求得該平面與圓柱下底面所成銳二面角的正弦值.
【詳解】
當(dāng)平面與小球相切，且與底面所成銳二面角最小時(shí)，軸截面如下圖所示，，，所以，，
在中，由勾股定理得，
所以該平面與圓柱下底面所成銳二面角的正弦值為.
故選：D.
3.一球內(nèi)接一圓錐，圓錐的軸截面為正三角形，過作與球相切的平面，則直線與平面所成的角為（ ）
A．30°B．45°C．15°D．60°
【答案】D
【分析】
分析得平面與圓錐底面平行，求直線與圓錐底面所成的角，即得結(jié)果.
【詳解】
如圖所示截面為正三角形的三棱錐中，在球上，過作與球相切的平面必然與圓錐底面平行，則直線與平面所成的角，即直線與圓錐底面所成的角，即，
故選：D.
【題型八】 壓軸小題中的角度題型
【典例分析】
如圖，在等邊三角形中，分別是線段上異于端點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，且，現(xiàn)將三角形沿直線折起，使平面平面，當(dāng)從滑動(dòng)到的過程中，則下列選項(xiàng)中錯(cuò)誤的是（ ）
A．的大小不會發(fā)生變化B．二面角的平面角的大小不會發(fā)生變化
C．與平面所成的角變大D．與所成的角先變小后變大
【答案】C
【分析】
過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，可證明在三角形沿直線折起的過程中，平面，然后用的值分別將各個(gè)選項(xiàng)中的角的相應(yīng)三角函數(shù)表示出來，然后判斷可得答案.
【詳解】
設(shè)等邊三角形的邊長為1，，則
在中，由，則
過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，則
,所以，
在三角形沿直線折起的過程中，始終滿足.
由平面平面，平面平面，所以平面
由平面,則
在中， ,
所以
所以
所以大小不變，故選項(xiàng)A正確.
過作交于點(diǎn)，由，則
由平面，又平面，則
由,所以平面,
所以為二面角的平面角
在直角中，
所以大小不變，故選項(xiàng)B正確.

由,則，又, 且
所以 平面，又平面,所以
由平面，由平面,則
所以

設(shè)點(diǎn)到平面的距離為.
由等體積法可得,即
則
設(shè)與平面所成的角為，則
當(dāng)從滑動(dòng)到的過程中，的值從1變小到0，這一過程中逐漸變大.
所以在這一過程中，變小，則角變小， 故選項(xiàng)C不正確.
由，則 (或其補(bǔ)角)為與所成的角.
由上可知：，則
函數(shù)的對稱軸為
當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減.
當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增.
所以當(dāng)從1變到的過程中，變小，當(dāng)從變到0的過程中，變大，
所以選項(xiàng)D正確.
故選：C
【變式演練】
1.在正四面體（所有棱長均相等的三棱錐）中，點(diǎn)在棱上，滿足，點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn).設(shè)直線與平面所成的角為，則（ ）
A．存在某個(gè)位置，使得B．存在某個(gè)位置，使得
C．存在某個(gè)位置，使得平面平面D．存在某個(gè)位置，使得
【答案】C
【分析】
設(shè)正四面體的底面中心為點(diǎn)，連接，則平面，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、所在直線分別為、軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正四面體的棱長為，然后利用空間向量法逐一分析求解可得結(jié)果.
【詳解】
如下圖所示，設(shè)正四面體的底面中心為點(diǎn)，連接，則平面，
以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、所在直線分別為、軸建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)正四面體的棱長為，
則、、、、，
設(shè)，其中，
對于A選項(xiàng)，若存在某個(gè)位置使得，，，
，解得，不合乎題意，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對于B選項(xiàng)，若存在某個(gè)位置使得，，，
，該方程無解，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對于C選項(xiàng)，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
，，
由，取，得，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
，，
由，取，則，
若存在某個(gè)位置，使得平面平面，則，解得，合乎題意，C選項(xiàng)正確；
對于D選項(xiàng)，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
，，
由，令，則，
若存在某個(gè)位置，使得，即，
整理得，，該方程無解，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選：C.
2.如圖，在邊長為4的正三角形ABC中，D，E，F(xiàn)分別為各邊的中點(diǎn)，G，H分別為DE，AF的中點(diǎn)，將沿DE，EF，DF折成正四面體，則在此正四面體中，下列說法正確的是______．
異面直線PG與DH所成的角的余弦值為；
；
與PD所成的角為；
與EF所成角為
【答案】①②③
【分析】
可證明平面,可得正確；連接,取中點(diǎn),異面直線與所成的角為，由余弦定理可證明正確；取中點(diǎn)，連接，異面與所成的角為，由余弦定理可得不對；異面與所成角的為，由余弦定理可得不對，從而可得結(jié)果.
【詳解】
的邊長為4，折成正四面體后，如圖
，E，F(xiàn)分別為各邊的中點(diǎn)，G，H分別為DE，AF的中點(diǎn)，
，；
連接FG，取中點(diǎn)M，可得，
異面直線PG與DH所成的角的平角為；
，
連接MD，可得．
；
在中，
余弦定理：；對；對；
取DF中點(diǎn)N，連接GN，NH，可得
異面GH與PD所成的角的平面角為，
由余弦定理，GH與PD所成的角是；對；
異面PG與EF所成角的平面角為，
由余弦定理，可得PG與EF所成角不是不對．
故答案為①②③．
3.斜線與平面成15°角，斜足為，為在內(nèi)的射影，為的中點(diǎn)，是內(nèi)過點(diǎn)的動(dòng)直線，若上存在點(diǎn)，使，則則的最大值是_______，此時(shí)二面角平面角的正弦值是_______
【答案】2
【分析】
(1)作圖，不妨設(shè)，由已知可得點(diǎn)，在以為弦長的圓上，其中為圓心，當(dāng)直線過圓心時(shí)，最大，此時(shí)，，然后即可求解
(2)作圖，利用(1)的條件，由于，斜線與平面成15°角，可求出，過點(diǎn)作，是二面角的平面角，然后利用即可求解.
【詳解】
，點(diǎn)，在以為弦長的圓上，
其中為圓心，則，如圖：
不妨設(shè)，當(dāng)直線過圓心時(shí)，
最大，此時(shí)，，的最大值為2，而此時(shí)，為等腰三角形，，此時(shí)，過點(diǎn)作，，平面，
是二面角的平面角，斜線與平面成15°角，即
在中，， ，如圖：
，，在中，，可求得，
在中，.故答案為：2；.
【題型九】 距離
【典例分析】
已知正方體的棱長為，點(diǎn)為中點(diǎn)，點(diǎn)?在四邊形內(nèi)（包括邊界），點(diǎn)到平面的距離等于它到點(diǎn)的距離，直線平面，則的最小值為___________.
【答案】
【分析】
建立空間直角坐標(biāo)系得到在平面中點(diǎn)?的軌跡方程，然后利用導(dǎo)數(shù)知識進(jìn)行求解即可.
【詳解】如圖所以，設(shè)由點(diǎn)到平面的距離等于它到點(diǎn)的距離，即點(diǎn)到的距離等于它到點(diǎn)的距離
在平面中，直線方程為所以，
所以點(diǎn)的軌跡方程為，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為則，令，所以
所以，由直線平面所以
所以點(diǎn)的軌跡為的導(dǎo)函數(shù)為
所以，所以同平行的直線與相切的切點(diǎn)為，
所以點(diǎn)到直線的距離為所以的最小值為
故答案為：
【變式演練】
1.已知三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，滿足，，為球O的直徑且，則點(diǎn)P到底面的距離為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
球心O是的中點(diǎn)，球半徑，取AB的中點(diǎn)D，可知，求得,利用勾股定理證得，利用線面垂直的判定定理證得平面，進(jìn)而求得點(diǎn)P到底面的距離
【詳解】∵三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，為球O的直徑且，
∴球心O是的中點(diǎn)，球半徑，
取AB的中點(diǎn)D，連接OD，OB，則，且
∵滿足，，∴，∴
又，平面，平面
所以點(diǎn)P到底面的距離為,故選：D.
2.空間給定不共面的A，B，C，D四個(gè)點(diǎn)，其中任意兩點(diǎn)間的距離都不相同，考慮具有如下性質(zhì)的平面：A，B，C，D中有三個(gè)點(diǎn)到的距離相同，另一個(gè)點(diǎn)到的距離是前三個(gè)點(diǎn)到的距離的2倍，這樣的平面的個(gè)數(shù)是___________個(gè)
【答案】32
【分析】按照四個(gè)點(diǎn)的位置不同分類討論，即可求解
【詳解】首先取3個(gè)點(diǎn)相等，不相等的那個(gè)點(diǎn)由4種取法；
然后分3分個(gè)點(diǎn)到平面的距離相等，有以下兩種可能性：
（1）全同側(cè)，這樣的平面有2個(gè)；
（2）不同側(cè)，必然2個(gè)點(diǎn)在一側(cè)，另一個(gè)點(diǎn)在一側(cè)，
1個(gè)點(diǎn)的取法有3種，并且平面過三角形兩個(gè)點(diǎn)邊上的中位線，
考慮不相等的點(diǎn)與單側(cè)點(diǎn)是否同側(cè)有兩種可能，每種情況下都唯一確定一個(gè)平面，
故共有6個(gè)，
所有這兩種情況共有8個(gè)，綜上滿足條件的這樣的平面共有個(gè)，
故答案為：32
3.如圖，長方體的底面是正方形，其側(cè)面展開圖是邊長為的正方形，?分別是側(cè)棱?上的動(dòng)點(diǎn)，，點(diǎn)在棱上，且，若平面，則___________.
【答案】1
【分析】先連接AC交BD于O，進(jìn)而通過線面平行的性質(zhì)定理得出∥，然后在上截取PQ，使得PQ=PA=1，進(jìn)而證明∥，得出∥，進(jìn)一步得到四邊形是平行四邊形，得出，結(jié)合條件的長度關(guān)系最后得到答案.
【詳解】
由題意可知，長方體的高為4，底面ABCD是邊長為1的正方形，
連接AC交BD于O，連接PO，因?yàn)镋F∥平面PBD，平面EACF，平面EACF平面PBD=PO，所以∥.

在上截取PQ，使得PQ=PA=1，連接QC，易知O為AC的中點(diǎn)，所以∥，
所以∥，又∥，所以四邊形是平行四邊形，所以.
又，所以，所以CF=1.
故答案為：1.
【課后練習(xí)】
1.已知三棱錐中，棱，，的中點(diǎn)分別是M，N，O，，，都是正三角形，則異面直線與所成角的余弦值為___________.
【答案】
【分析】根據(jù)異面直線的定義可知，（或其補(bǔ)角）是異面直線MN與AD所成的角，進(jìn)而求出的長度，用余弦定理求得答案.
【詳解】如圖，根據(jù)題意可知，因?yàn)槎际钦切?，所以，，連接，設(shè)AC=2，則.
易知，在中，由余弦定理：，
在中，由余弦定理：，
于是.
易知，在中，由余弦定理：，
在中，由余弦定理：，
于是.
連接ON，則，于是（或其補(bǔ)角）是異面直線MN與AD所成的角，連接MO，易得MO=NO=1，在中，由余弦定理可得.故答案為：.
2.在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，過點(diǎn)C做直線l，使得直線l與直線BA1和B1D1所成的角均為，則這樣的直線l（ ）
A．不存在B．2條
C．4條D．無數(shù)條
【答案】C
【分析】連接，由此求出直線BA1和B1D1所成角，把問題轉(zhuǎn)化為過點(diǎn)B做直線與直線BA1和BD所成的角均為，讓繞著點(diǎn)B從
的平分線AO開始在過直線AO并與平面垂直的平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)觀察是否存在，再在的鄰補(bǔ)角中同理去觀察即可得解.
【詳解】在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，連接，如圖，
則有，顯然，即直線BA1和B1D1所成角，
過點(diǎn)C做直線l與直線BA1和B1D1所成的角均為可以轉(zhuǎn)化為過點(diǎn)B做直線與直線BA1和BD所成的角均為，
的平分線AO與直線BA1和BD都成的角，讓繞著點(diǎn)B從AO開始在過直線AO并與平面垂直的平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，
在轉(zhuǎn)動(dòng)到平面的過程中，直線與直線BA1和BD所成的角均相等，角大小從到，
由于直線的轉(zhuǎn)動(dòng)方向有兩種，從而得有兩條直線與直線BA1和BD所成的角均為，
又的鄰補(bǔ)角大小為，其角平分線與直線BA1和BD都成的角，
當(dāng)直線繞著點(diǎn)B從的鄰補(bǔ)角的平分線開始在過該平分線并與平面垂直的平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，
在轉(zhuǎn)動(dòng)到平面的過程中，直線與直線BA1和BD所成的角均相等，角大小從到，
由于直線的轉(zhuǎn)動(dòng)方向有兩種，從而得有兩條直線與直線BA1和BD所成的角均為，
綜上得，這樣的直線有4條，
所以過點(diǎn)C與直線BA1和B1D1所成的角均為的直線l有4條.
故選：C
3.設(shè)三棱錐的底面是正三角形，側(cè)棱長均相等，P是棱上的點(diǎn)（不含端點(diǎn)），記直線與直線所成的角為，直線與平面所成的角為，二面角的平面角是則三個(gè)角，，中最小的角是（ ）
A．B．C．D．不能確定
【答案】B
【分析】根據(jù)異面直線夾角，直線與平面的夾角，平面與平面的夾角的定義分別做PB與AC，PB與平面ABC，平面PAC與平面ABC的夾角，再根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)比較幾個(gè)角的大小.
【詳解】如圖，取BC的中點(diǎn) D，作VO⊥平面ABC于點(diǎn)O，由題意知點(diǎn)O在AD上，且AO=2OD.
作PE//AC，PE交VC于點(diǎn)E，作PF⊥AD于點(diǎn)F，連接BF，則PF⊥平面ABC
取AC的中點(diǎn)M，連接BM，VM，VM交 PE于點(diǎn)H，連接BH，易知BH⊥PE，
作于點(diǎn)G，連接FG，由PG⊥AC，PF⊥AC，PGPF=P，由線面垂直判定定理可得AC⊥平面PGF，又平面PGF
∴ FG⊥AC,作FN⊥BM于點(diǎn)N.∵ PG∥VM，PF∥VN∴ 平面PGF∥平面VMB， 又 PH∥FN,
四邊形PFNH為平行四邊形，所以PH=FN因此，直線PB 與直線AC所成的角，
直線PB與平面ABC所成的角，二面角P-AC-B的平面角，
又又，∴ 因?yàn)?br>∴
綜上所述，中最小角為，故選 B.
4.如圖，四邊形中，，，沿直線將折成，使點(diǎn)在平面上的射影在內(nèi)（不含邊界），記二面角的平面角大小為，直線?與平面所成角分別為?，則（ ）
A．B． C．D．
【答案】A
【分析】
題目考察二面角和線面角的概念，首先，將折成，通過輔助線找到分別在圖中的位置，因?yàn)?，所以比較三個(gè)角的大小，可以等價(jià)于比較的大小，根據(jù)圖中的直角三角形可以表示出三個(gè)角的正弦值，通過比較各線段的長度判斷正弦的大小，從而推出角度的大小
【詳解】

圖一 圖二
沿直線將折成之后如圖一所示，記中點(diǎn)為,在底面的投影為，所以平面
連接，則
所以，在三個(gè)直角三角形中，，，
設(shè)，因?yàn)?，所以?，
當(dāng)點(diǎn)落在平面內(nèi)時(shí)，如圖二所示，中，，所以
中， 由余弦定理可得：
所以， 所以：，所以，且
所以 故選：A
5.已知直角梯形滿足:，且△為正三角形.將△沿著直線翻折至△，且，二面角的平面角大小分別為，直線與平面所成角分別是，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由題設(shè)得到平面圖及翻折的立體示意圖，、分別為、的中點(diǎn)，為、交點(diǎn)，易知在面上的投影在上，由判斷投影的所在線段，根據(jù)投影點(diǎn)到、、的距離判斷二面角的大小關(guān)系，再設(shè)的高為，由，即可知線面角的大小關(guān)系.
【詳解】
由題意，若，則，，如下圖，、分別為、的中點(diǎn)，為、交點(diǎn)，
∴，則，在旋轉(zhuǎn)過程中在面上的投影在上，
當(dāng)投影為時(shí)，，當(dāng)投影為上時(shí)，，當(dāng)投影為上時(shí)，，當(dāng)投影為時(shí)，，
∴要使，則投影在兩點(diǎn)之間，此時(shí)投影點(diǎn)到、、的距離.
∴二面角最大，其次為二面角，而二面角最小，即.
設(shè)三棱錐的高為，則，
∵，∴.故選：A
6.，為空間中兩條互相垂直的直線，等腰直角三角形的直角邊所在直線與，都垂直，斜邊以直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，有下列結(jié)論：①當(dāng)直線與成角時(shí)，與成角；②當(dāng)直線與成角時(shí)，與成角；③直線與所成角的最大值為；④直線與所成角的最小值為；其中正確的是___________（填寫所有正確結(jié)論的編號）
【答案】①
【分析】由題意知，、、三條直線兩兩相互垂直，構(gòu)建如圖所示的邊長為1的正方體，，，斜邊以直線為旋轉(zhuǎn)軸，則點(diǎn)保持不變，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是以為圓心，1為半徑的圓，以坐標(biāo)原點(diǎn)，以為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法即可求解．
解：由題意知，、、三條直線兩兩相互垂直，構(gòu)建如圖所示的邊長為1的正方體，，，斜邊以直線為旋轉(zhuǎn)軸，則點(diǎn)保持不變，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是以為圓心，1為半徑的圓，
以坐標(biāo)原點(diǎn)，以為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則，0，，，0，，直線的方向單位向量，1，，，直線的方向單位向量，0，，，設(shè)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過程中的坐標(biāo)中的坐標(biāo)，，，其中為與的夾角，，，在運(yùn)動(dòng)過程中的向量，，，，設(shè)與所成夾角為，，
則，，，，③，④錯(cuò)誤．
設(shè)與所成夾角為，，，
當(dāng)與夾角為時(shí)，即，，
，，，，，此時(shí)與的夾角為，
①正確，②錯(cuò)誤．故答案為：①.
7.在正三棱柱中，，點(diǎn)M是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)N是線段AB的中點(diǎn)，記直線與CN所成角為，二面角的平面角為，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
依題意作出異面直線所成角的平面角，以及二面角的平面角，再根據(jù)銳角三角函數(shù)計(jì)算，即可判斷；
解：過點(diǎn)作且，連接，則為直線與直線所成角，即．過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，則由題意易知為的中點(diǎn)，連接，，因?yàn)?，所以，，易知，所以，又正三棱柱中，，所以，，于是，故?br>取的中點(diǎn)，連接，，因?yàn)槿庵钦庵?，且，所以易知即為二面角的平面角，即．在正中，，則．因?yàn)?，且正切函?shù)在上單調(diào)遞增，所以，且，
故選：B．
8.已知平面α與β所成銳二面角的平面角為，P為α，β外一定點(diǎn)，過點(diǎn)P的一條直線與α和β所成的角都是，則這樣的直線有且僅有（ ）
A．1條B．2條C．3條D．4條
【答案】D
【分析】
先將題目問題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)與直線所成角為的直線有幾條，得出滿足條件的直線有4條.
【詳解】
如圖，過作的垂線,其確定的平面與棱交于，若二面角為，與平面成角，則 ，與成角，因此問題轉(zhuǎn)化為過點(diǎn)與直線所成角為的直線有幾條.

,所以這樣的直線有4條.故選：D
9.如圖，梯形為直角梯形，，，，，將沿折起，使點(diǎn)到點(diǎn)的位置，得到三棱錐，其中點(diǎn)在底面上的射影在的內(nèi)部.記直線與直線所成的角為，直線與平面所成的角為，二面角的平面角為，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
由翻折后的線線關(guān)系，結(jié)合線線角、線面角、二面角的定義，分別作出題干中的角，利用余弦定理和最小角定理來判斷三個(gè)角的大小.
【詳解】如圖，設(shè)的中點(diǎn)為，連接并延長，交于，
易知為的中點(diǎn)，連接，則，點(diǎn)在線段上（不含端點(diǎn)）連接，，，，，
由線線角、線面角、二面角的定義可知，，.
，，
故，得；易知，，，
所以，所以；由最小角定理知.綜上，；故選：B.
10.如圖，在四棱錐中，，平面平面，若，，與平面所成的角為，則以下結(jié)論正確的是（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
在射線取，過作的垂線，垂足為，連接，設(shè)過三點(diǎn)平面交棱于，在四棱錐中可討論的大小關(guān)系.
【詳解】
在射線取，過作的垂線，垂足為，連接，
因?yàn)?，，?br>故，故，即.
設(shè)過三點(diǎn)平面交棱于，
以下在四棱錐中討論的大小關(guān)系.
連接，它們交于點(diǎn).
因?yàn)槠矫嫫矫?，，平面平面?br>平面，故平面，
所以為直線與平面所成的角，故，
而為與平面內(nèi)的直線（異于射影）所成的角，故.
因?yàn)?，，故為的平面角?br>結(jié)合平面平面可得，故為等腰直角三角形.
又，，，故，
故，而，，故，
故，故，
因?yàn)?，，，故平面?br>而平面，故，而，故平面.
因?yàn)?，故為的角平分線.
又，且，
在直角三角形中，，
因?yàn)?，，故，而均為銳角，故，
綜上，.故選：D.
11.如圖 ，邊長為2的正方形ABCD和正方形 ABEF所在的面成角 ，M、N分 別 是線段 AC、BF上 的 點(diǎn)，且AM =FN．則 線 段 MN的 長 的 取 值范圍 是（ ）.

A．B．C．D．
【答案】B
【詳解】如圖 ，過點(diǎn)M作 MH∥BC與 AB交于點(diǎn)H．則
因AM =FN，AC=FB．所以，NH∥AF.
從而，,于是，
設(shè)則，
故 選B

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