2024年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)全套培優(yōu)微專題高考重難點題型歸納32講第20講立體幾何中的軌跡問題(原卷版+解析)-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

【題型一】由動點保持平行性求軌跡
【典例分析】
如圖，在邊長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H、N分別是CC1、C1D1、DD1、CD、BC的中點，M在四邊形EFGH邊上及其內(nèi)部運動，若MN∥面A1BD，則點M軌跡的長度是（）
A．a(chǎn)B．a(chǎn)C．D．
【變式演練】
1.在三棱臺中，點在上，且，點是三角形內(nèi)（含邊界）的一個動點，且有平面平面，則動點的軌跡是（）
A．三角形邊界的一部分B．一個點
C．線段的一部分D．圓的一部分
2.已知正方體的棱長為，、分別是棱、的中點，點為底面內(nèi)（包括邊界）的一動點，若直線與平面無公共點，則點的軌跡長度為（）
A．B．C．D．

3.在棱長為2的正方體中，點E，F(xiàn)分別是棱，的中點，P是上底面內(nèi)一點（含邊界），若平面BDEF，則Р點的軌跡長為（）
A．1B．C．2D．
【題型二】動點保持垂直性求軌跡
【典例分析】
在正方體中，Q是正方形內(nèi)的動點，，則Q點的軌跡是（）
A．點B．線段C．線段D．平面
【變式演練】
1.在正方體中，點在側(cè)面及其邊界上運動，且保持，則動點的軌跡為
A．線段B．線段
C．的中點與的中點連成的線段D．的中點與的中點連成的線段
2.在棱長為1的正方體中，M，N分別為，的中點，點P在正方體的表面上運動，且滿足．給出下列說法：
①點P可以是棱的中點；
②線段MP的最大值為；
③點P的軌跡是正方形；
④點P軌跡的長度為．
其中所有正確說法的序號是________．
3.如圖，在正方體中，是棱的中點，是側(cè)面內(nèi)的動點，且與平面的垂線垂直，則下列說法不正確的是（）
A．與不可能平行
B．與是異面直線
C．點的軌跡是一條線段
D．三棱錐的體積為定值
【題型三】由動點保持等距（或者定距）求軌跡
【典例分析】
已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，P為底面ABCD內(nèi)一點，若P到棱CD，A1D1距離相等的點，則點P的軌跡是（）
A．直線B．橢圓C．拋物線D．雙曲線
【變式演練】
1.如圖，在四棱錐中，側(cè)面為正三角形，底面為正方形，側(cè)面底面，為正方形內(nèi)（包括邊界）的一個動點，且滿足．則點在正方形內(nèi)的軌跡為（）
A．B．
C．D．
2.如圖，在棱長為的正方體中，、分別是、的中點，長為的線段的一個端點在線段上運動，另一個端點在底面上運動，則線段的中點的軌跡（曲面）與正方體（各個面）所圍成的幾何體的體積為（）
A．B．C．D．
3.四棱錐P﹣OABC中，底面OABC是正方形，OP⊥OA，OA＝OP＝a．D是棱OP上的一動點，E是正方形OABC內(nèi)一動點，DE的中點為Q，當(dāng)DE＝a時，Q的軌跡是球面的一部分，其表面積為3π，則a的值是（）
A．B．C．D．6
【題型四】由動點保持等角（或定角）求軌跡
【典例分析】
正方體中，，分別為，的中點，是邊上的一個點（包括端點），是平面上一動點，滿足直線與直線夾角與直線與直線的夾角相等，則點所在軌跡為（）
A．橢圓B．雙曲線C．拋物線D．拋物線或雙曲線
【變式演練】
1.如圖，斜線段與平面所成的角為，為斜足，平面上的動點滿足，則點的軌跡是（）
A．直線B．拋物線
C．橢圓D．雙曲線的一支
2.如圖所示，為長方體，且AB=BC=2，=4，點P為平面上一動點，若，則P點的軌跡為（）
A．拋物線B．橢圓C．雙曲線D．圓
3.在長方體中，，，M為棱BC的中點，動點P滿足，則點P的軌跡與長方體的側(cè)面的交線長等于___________.
【題型五】投影求軌跡
【典例分析】
1822年，比利時數(shù)學(xué)家 Dandelin利用圓錐曲線的兩個內(nèi)切球，證明了用一個平面去截圓錐，可以得到橢圓（其中兩球與截面的切點即為橢圓的焦點），實現(xiàn)了橢圓截線定義與軌跡定義的統(tǒng)一性．在生活中，有一個常見的現(xiàn)象：用手電筒斜照地面上的籃球，留下的影子會形成橢圓．這是由于光線形成的圓錐被地面所截產(chǎn)生了橢圓的截面．如圖，在地面的某個占正上方有一個點光源，將小球放置在地面，使得與小球相切．若，小球半徑為2，則小球在地面的影子形成的橢圓的離心率為（）
A．B．C．D．
【變式演練】
1.如圖，已知水平地面上有一半徑為3的球，球心為，在平行光線的照射下，其投影的邊緣軌跡為橢圓C．如圖，橢圓中心為O，球與地面的接觸點為E，．若光線與地面所成角為，橢圓的離心率__________．
【題型六】翻折與動點求軌跡（難點）
【典例分析】
如圖，將四邊形中，沿著翻折到，則翻折過程中線段中點的軌跡是（）
A．橢圓的一段B．拋物線的一段
C．雙曲線的一段D．一段圓弧
【變式演練】
1.已知△ABC的邊長都為2，在邊AB上任取一點D，沿CD將△BCD折起，使平面BCD⊥平面ACD．在平面BCD內(nèi)過點B作BP⊥平面ACD，垂足為P，那么隨著點D的變化，點P的軌跡長度為（）
A．B．C．D．π
2.如圖，等腰梯形中，，，，，沿著把折起至，使在平面上的射影恰好落在上．當(dāng)邊長變化時，點的軌跡長度為（）
A．B．C．D．
3.已知矩形中，，，如圖，將沿著進行翻折，使得點與點重合，若點在平面上的射影在四邊形內(nèi)部（包含邊界），則動點的軌跡長度是（）
A．B．C．D．
【課后練習(xí)】
1．（多選題）（海南省?？谑斜本煼洞髮W(xué)海口附屬學(xué)校12月月考）如圖，已知正方體的棱長為的中點，為正方形所在平面內(nèi)一動點，則下列結(jié)論正確的是( )
A．若到直線與直線的距離相等，則的軌跡為拋物線
B．若，則的中點的軌跡所圍成圖形的面積為
C．若與所成的角為，則的軌跡為雙曲線
D．若與平面所成的角為，則的軌跡為橢圓
2.（多選題）（廣東省六校高三上學(xué)期第三次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）如圖的正方體中，棱長為2，點是棱的中點，點在正方體表面上運動.以下命題正確的有（）
A．側(cè)面上不存在點，使得
B．點到面的距離與點到面的距離之比為
C．若點滿足平面，則動點的軌跡長度為
D．若點到點的距離為，則動點的軌跡長度為
3.（多選題）（全國著名重點中學(xué)領(lǐng)航高考沖刺試卷（六））如圖，在正方體中，E為的中點，點F在線段上運動，G為底面ABCD內(nèi)一動點，則下列說法正確的是（）
A．
B．若，則點G在線段AC上
C．當(dāng)點F從A向運動時，三棱錐的體積由小變大
D．若，GE與底面ABCD所成角相等，則動點G的軌跡為圓的一部分
4.（吉林省梅河口市第五中學(xué)第一次月考）在棱長為1的正方體中，，分別為，的中點，為底面的中心，點在正方體的表面上運動，且滿足，則下列說法正確的是（）
A．點可以是棱的中點B．線段的最大值為
C．點的軌跡是平行四邊形D．點軌跡的長度為
5.（廣東省深圳市平岡高級中學(xué)高三上學(xué)期9月第一次月考）如圖所示，在棱長為a的正方體ABCD -A1B1C1D1中，E是棱DD1的中點，F(xiàn)是側(cè)面CDD1C1上的動點，且B1F∥平面A1BE，則F在側(cè)面CDD1C1上的軌跡的長度是（）
A．a(chǎn)B．C．D．
6.（湖南省永州市高三上學(xué)期第一次適應(yīng)性考試）已知在三棱錐中，為線段的中點，點在(含邊界位置)內(nèi)，則滿足平面的點的軌跡為（）
A．線段，的中點連接而成的線段
B．線段的中點與線段靠近點的三等分點連接而成的線段
C．線段的中點與線段靠近點的三等分點連接而成的線段
D．線段靠近點的三等分點與線段靠近點的三等分點連接而成的線段
7.（遼寧省實驗中學(xué)上學(xué)期聯(lián)考）已知正六棱柱的棱長均為，點在棱上運動，點在底面內(nèi)運動，，為的中點，則動點的軌跡與正六棱柱的側(cè)面和底面圍成的較小部分的體積為（）
A．B．C．D．
8.四棱錐中，底面是正方形，，．是棱上的一動點，E是正方形內(nèi)一動點，的中點為，當(dāng)時，的軌跡是球面的一部分，其表面積為，則的值是（）
A．B．C．D．6
9.棱長為的正方體中，點P在平面內(nèi)運動，點到直線的距離為定值，若動點的軌跡為橢圓，則此定值可能為（）
A．B．C．D．
10.（上海市建平中學(xué)期中）已知菱形邊長為2，，沿對角線折疊成三棱錐，使得二面角為60°，設(shè)為的中點，為三棱錐表面上動點，且總滿足，則點軌跡的長度為（）
A．B．C．D．
11.（河南省鄲城縣第一高級中學(xué)高三第一次模擬）在三棱錐中，G是的重心，P是面內(nèi)一點，且平面.
（1）畫出點P的軌跡，并說明理由；
（2）平面，，，，當(dāng)最短時，求二面角的余弦值.
第20講立體幾何中軌跡問題7類
【題型一】由動點保持平行性求軌跡
【典例分析】
如圖，在邊長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H、N分別是CC1、C1D1、DD1、CD、BC的中點，M在四邊形EFGH邊上及其內(nèi)部運動，若MN∥面A1BD，則點M軌跡的長度是（）
A．a(chǎn)B．a(chǎn)C．D．
【答案】D
【分析】
連接GH、HN，有GH∥BA1，HN∥BD，證得面A1BD∥面GHN，由已知得點M須在線段GH上運動，即滿足條件，由此可得選項.
【詳解】
解：連接GH、HN、GN，∵在邊長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H分別是CC1、C1D1、DD1、CD的中點，N是BC的中點，
則GH∥BA1，HN∥BD，又面A1BD，BA1面A1BD，所以面A1BD，同理可證得面A1BD，
又，∴面A1BD∥面GHN，
又∵點M在四邊形EFGH上及其內(nèi)部運動，MN∥面A1BD，
則點M須在線段GH上運動，即滿足條件，GH=a，則點M軌跡的長度是a.
故選：D.
【變式演練】
1.在三棱臺中，點在上，且，點是三角形內(nèi)（含邊界）的一個動點，且有平面平面，則動點的軌跡是（）
A．三角形邊界的一部分B．一個點
C．線段的一部分D．圓的一部分
【答案】C
【分析】
過作交于，連接，證明平面平面，得，即得結(jié)論．
【詳解】
如圖，過作交于，連接，
，平面，平面，所以平面，
同理平面，又，平面，
所以平面平面，所以，（不與重合，否則沒有平面），
故選：C．
2.已知正方體的棱長為，、分別是棱、的中點，點為底面內(nèi)（包括邊界）的一動點，若直線與平面無公共點，則點的軌跡長度為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
以點為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點，計算出平面的一個法向量的坐標(biāo)，由已知條件得出，可得出、所滿足的等式，求出點的軌跡與線段、的交點坐標(biāo)，即可求得結(jié)果.
【詳解】
以點為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則、、、，設(shè)點，
，，設(shè)平面的法向量為，
由，取，可得，
，由題意可知，平面，則，
令，可得；令，可得.
所以，點的軌跡交線段于點，交線段的中點，
所以，點的軌跡長度為.
故選：B.
3.在棱長為2的正方體中，點E，F(xiàn)分別是棱，的中點，P是上底面內(nèi)一點（含邊界），若平面BDEF，則Р點的軌跡長為（）
A．1B．C．2D．
【答案】B
【分析】
由分別取棱?的中點M?N，連接MN，由線面平行得面面平行，得動點軌跡，從而可計算其長度．
【詳解】
如圖所示，分別取棱?的中點M?N，連接MN，連接，
∵M?N?E?F為所在棱的中點，∴，，∴，
又平面BDEF，平面BDEF，∴平面BDEF，
連接NF，由，，，，可得，，則四邊形ANFB為平行四邊形，則，
而平面BDEF，平面BDEF，則平面BDEF.
又，∴平面平面BDEF.
又P是上底面內(nèi)一點，且平面BDEF，
∴P點在線段MN上.又，∴P點的軌跡長為.
【題型二】動點保持垂直性求軌跡
【典例分析】
在正方體中，Q是正方形內(nèi)的動點，，則Q點的軌跡是（）
A．點B．線段C．線段D．平面
【答案】B
【分析】
如圖，連接,證明,又，即得解.
【詳解】
如圖，連接,
因為平面,所以平面, 又平面,
所以,又.所以點在線段上.故選：B
【變式演練】
1.在正方體中，點在側(cè)面及其邊界上運動，且保持，則動點的軌跡為（）
A．線段B．線段
C．的中點與的中點連成的線段D．的中點與的中點連成的線段
【答案】A
【分析】
利用直線與平面垂直的判定可得面，又點在側(cè)面及其邊界上運動，并且總是保持與垂直，得到點的軌跡為面與面的交線．
【詳解】
如圖，連接，，，在正方體中，有平面，
又點在側(cè)面及其邊界上運動，
故點的軌跡為平面與平面的交線段.故選：A.
2.在棱長為1的正方體中，M，N分別為，的中點，點P在正方體的表面上運動，且滿足．給出下列說法：
①點P可以是棱的中點；
②線段MP的最大值為；
③點P的軌跡是正方形；
④點P軌跡的長度為．
其中所有正確說法的序號是________．
【答案】②④
【分析】
以D為坐標(biāo)原點，分別以DA，DC，為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出的坐標(biāo)，從而得到MP的最大值，即可判斷選項②，通過分析判斷可得點P不可能是棱的中點，從而判斷選項①，又，，可判斷選項③和選項④．
【詳解】
解：在正方體中，以D為坐標(biāo)原點，為x軸，y軸，
∵該正方體的棱長為1，M，N分別為，的中點，
∴，M（，，），，
∴，
設(shè)，則，
∵，∴，即
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
取，，，，
連結(jié)EF，F(xiàn)G，，HE，
則，，
∴四邊形EFGH為矩形，則，，
即，，
又和為平面中的兩條相交直線，
∴平面EFGH，
又，，
∴M為EG的中點，則平面EFGH，
為使，必有點平面EFGH，
又點P在正方體表面上運動，∴點P的軌跡為四邊形EFGH，
因此點P不可能是棱的中點，故選項①錯誤；
又，，
∴，則點P的軌跡不是正方形且矩形EFGH周長為，
故選項③錯誤，選項④正確；
∵，，
又，則，即，
∴，點在正方體表面運動，
則，解，
∴，
故當(dāng)或，或1，MP取得最大值為，故②正確.
故答案為：②④．
3.如圖，在正方體中，是棱的中點，是側(cè)面內(nèi)的動點，且與平面的垂線垂直，則下列說法不正確的是（）
A．與不可能平行
B．與是異面直線
C．點的軌跡是一條線段
D．三棱錐的體積為定值
【答案】A
【分析】
設(shè)平面與直線交于，連接，，則為的中點，分別取，的中點，，連接，，，證明平面平面，即可分析選項ABC的正誤；再由，得點到平面的距離為定值，可得三棱錐的體積為定值判斷D．
【詳解】
解：設(shè)平面與直線交于，連接，，
則為的中點，分別取，的中點，，
連接，，，
如圖，∵，平面，平面，
∴平面，同理可得平面，
又、是平面內(nèi)的兩條相交直線，
∴平面平面，而平面，∴平面，
得點的軌跡為一條線段，故C正確；
并由此可知，當(dāng)與重合時，與平行，故A錯誤；
∵平面平面，和平面相交，∴與是異面直線，故B正確；
∵，則點到平面的距離為定值，∴三棱錐的體積為定值，故D正確．
故選：A．
【題型三】由動點保持等距（或者定距）求軌跡
【典例分析】
已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，P為底面ABCD內(nèi)一點，若P到棱CD，A1D1距離相等的點，則點P的軌跡是（）
A．直線B．橢圓C．拋物線D．雙曲線
【答案】D
【分析】
以D為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系，求出點P的軌跡方程即可判斷.
【詳解】
如圖示，過P作PE⊥AB與E，過P作PF⊥AD于F，過F作FG∥AA1交A1D1于G，連結(jié)PG，由題意可知PE=PG
以D為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，由PE=PG得：
，平方得：即點P的軌跡是雙曲線.故選：D.
【變式演練】
1.如圖，在四棱錐中，側(cè)面為正三角形，底面為正方形，側(cè)面底面，為正方形內(nèi)（包括邊界）的一個動點，且滿足．則點在正方形內(nèi)的軌跡為（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】
如圖，以為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，正方形的邊長為，求出，的坐標(biāo)，利用可得與的關(guān)系，即可求解.
【詳解】
如圖，以為坐標(biāo)原點，，所在的直線分別為，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方形的邊長為，，則，，，，則，．由，得，
所以點在正方形內(nèi)的軌跡為一條線段，
故選：A．
2.如圖，在棱長為的正方體中，、分別是、的中點，長為的線段的一個端點在線段上運動，另一個端點在底面上運動，則線段的中點的軌跡（曲面）與正方體（各個面）所圍成的幾何體的體積為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
連接、，分析得出，可知點的軌跡是以點為球心，半徑長為的球面，作出圖形，結(jié)合球體的體積公式可求得結(jié)果.
【詳解】
連接、，因為，，且、分別為、的中點，
故且，
所以，四邊形為平行四邊形，故且，
平面，則平面，
因為平面，所以，，
為的中點，故，
所以，點的軌跡是以點為球心，半徑長為的球面，如下圖所示：
所以，線段的中點的軌跡（曲面）與正方體（各個面）所圍成的幾何體為球的，
故所求幾何體的體積為.
故選：D.
3.四棱錐P﹣OABC中，底面OABC是正方形，OP⊥OA，OA＝OP＝a．D是棱OP上的一動點，E是正方形OABC內(nèi)一動點，DE的中點為Q，當(dāng)DE＝a時，Q的軌跡是球面的一部分，其表面積為3π，則a的值是（）
A．B．C．D．6
【答案】B
【分析】
由題意結(jié)合選項可特殊化處理，即取OP與底面垂直，求得Q的軌跡，結(jié)合球的表面積求解．
【詳解】
解：不妨令OP⊥OC，則OP⊥底面OABC，
如圖，
∵D是OP上的動點，∴OD⊥底面OABC，可得OD⊥OE，
又Q為DE的中點，∴OQ，即Q的軌跡是以O(shè)為球心，以為半徑的球面，
其表面積為S，得a故選：B．
【題型四】由動點保持等角（或定角）求軌跡
【典例分析】
正方體中，，分別為，的中點，是邊上的一個點（包括端點），是平面上一動點，滿足直線與直線夾角與直線與直線的夾角相等，則點所在軌跡為（）
A．橢圓B．雙曲線C．拋物線D．拋物線或雙曲線
【答案】D
【分析】
根據(jù)題設(shè)分析可知：點軌跡為以為母線，為軸，為底面直徑的圓錐體，及其關(guān)于反向?qū)ΨQ的錐體與平面的交線，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合，結(jié)合平面與雙錐面相交所成曲線的性質(zhì)判斷所在軌跡的形狀.
【詳解】
由題設(shè)，點軌跡為以為母線，為軸，為底面直徑的圓錐體，及其關(guān)于反向?qū)ΨQ的錐體與平面的交線，如下圖示：
當(dāng)是邊上移動過程中，只與下方錐體有相交，點軌跡為拋物線；
當(dāng)是邊上移動過程中，與上方錐體也有相交，點軌跡為雙曲線；
故選：D
【變式演練】
1.如圖，斜線段與平面所成的角為，為斜足，平面上的動點滿足，則點的軌跡是（）
A．直線B．拋物線
C．橢圓D．雙曲線的一支
【答案】C
【分析】
由題可知點在以為軸的圓錐的側(cè)面上，再結(jié)合條件可知的軌跡符合圓錐曲線中橢圓定義，即得.
【詳解】
用垂直于圓錐軸的平面去截圓錐，得到的是圓；把平面漸漸傾斜，得到橢圓；當(dāng)平面和圓錐的一條母線平行時，得到拋物線.
此題中平面上的動點滿足，可理解為在以為軸的圓錐的側(cè)面上，
再由斜線段與平面所成的角為，可知的軌跡符合圓錐曲線中橢圓定義.
故可知動點的軌跡是橢圓.
故選：C.
2.如圖所示，為長方體，且AB=BC=2，=4，點P為平面上一動點，若，則P點的軌跡為（）
A．拋物線B．橢圓C．雙曲線D．圓
【答案】B
【分析】
建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的坐標(biāo)運算和軌跡方程思想求得的軌跡方程，進而根據(jù)方程判定軌跡類型.
【詳解】
如圖，建立直角坐標(biāo)系，則,.
設(shè),則向量，向量,
，
∴，即,,
,這方程表示的軌跡是平面上的橢圓，故選：B.
3.在長方體中，，，M為棱BC的中點，動點P滿足，則點P的軌跡與長方體的側(cè)面的交線長等于___________.
【答案】
【分析】
由題意畫出圖形，由角的關(guān)系得到邊的關(guān)系，然后再在平面內(nèi)建系，求出P的軌跡方程，確定點P的軌跡與長方體的面的交線，進而求得交線長.
【詳解】
如下圖所示：
當(dāng)P在面內(nèi)時，面，面；
又，在與中，∵，則，
∴，則，即.
在平面中，以DC所在直線為x軸，以DC的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則，，
設(shè)，由，得，
整理得：，即.
∴點P的軌跡是以F(5，0)為圓心，半徑為4的圓.
設(shè)圓F與面的交點為E?M，作EK垂直x軸于點K，如圖，
則；∴；
故點P的軌跡與長方體的面的交線為劣弧，所以劣弧的長為.故答案為：
【題型五】投影求軌跡
【典例分析】
1822年，比利時數(shù)學(xué)家 Dandelin利用圓錐曲線的兩個內(nèi)切球，證明了用一個平面去截圓錐，可以得到橢圓（其中兩球與截面的切點即為橢圓的焦點），實現(xiàn)了橢圓截線定義與軌跡定義的統(tǒng)一性．在生活中，有一個常見的現(xiàn)象：用手電筒斜照地面上的籃球，留下的影子會形成橢圓．這是由于光線形成的圓錐被地面所截產(chǎn)生了橢圓的截面．如圖，在地面的某個占正上方有一個點光源，將小球放置在地面，使得與小球相切．若，小球半徑為2，則小球在地面的影子形成的橢圓的離心率為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
設(shè)，從而可得，，，利用勾股定理可得，再由離心率的定義即可求解.
【詳解】
在中，設(shè)，
，，，，
， ∴長軸長，，則離心率.故選：A
【變式演練】
1.如圖，已知水平地面上有一半徑為3的球，球心為，在平行光線的照射下，其投影的邊緣軌跡為橢圓C．如圖，橢圓中心為O，球與地面的接觸點為E，．若光線與地面所成角為，橢圓的離心率__________．
【答案】
【分析】
根據(jù)平行投影計算出橢圓C的短半軸長b，再求出光線與水平面所成銳角的正弦，進而求得橢圓C的長軸長2a而得解.
【詳解】
連接，則，因為，如圖：
所以，所以
在照射過程中，橢圓的短半軸長b是球的半徑R，即，
過球心與橢圓長軸所在直線確定的平面截球面所得大圓及對應(yīng)光線，如圖：
橢圓的長軸長是，過A向做垂線，垂足是B，則，
由題意得：，又，
則，，即，
所以橢圓的離心率為.故答案為：
【題型六】翻折與動點求軌跡（難點）
【典例分析】
如圖，將四邊形中，沿著翻折到，則翻折過程中線段中點的軌跡是（）
A．橢圓的一段B．拋物線的一段
C．雙曲線的一段D．一段圓弧
【答案】D
【分析】
過點作的垂線，垂足為，過點點作的垂線，垂足為，連接，再分別分析翻折前、后的變化量與不變量，在翻折后的圖形中取中點，進而可得答案.
【詳解】
解：在四邊形中，過點作的垂線，垂足為，過點點作的垂線，垂足為，連接，如圖1，
所以當(dāng)四邊形確定時，和三邊長度均為定值，
當(dāng)沿著翻折到，形成如圖2的幾何體，并取中點，連接，
由于在翻折過程中，，所以由中位線定理可得為定值，
所以線段中點的軌跡是以中點為圓心的圓弧上的部分.故選：D
【變式演練】
1.已知△ABC的邊長都為2，在邊AB上任取一點D，沿CD將△BCD折起，使平面BCD⊥平面ACD．在平面BCD內(nèi)過點B作BP⊥平面ACD，垂足為P，那么隨著點D的變化，點P的軌跡長度為（）
A．B．C．D．π
【答案】C
【分析】
根據(jù)題意，先確定點P軌跡的形狀，進而求出軌跡的長度即可.
【詳解】
由題意，在平面BCD內(nèi)作BQ⊥CD，交CD于Q，因為平面BCD⊥平面ACD，平面BCD與平面ACD交于CD，所以BQ⊥平面ACD，又BP⊥平面ACD，所以P,Q兩點重合，于是隨著點D的變化，BP⊥CD始終成立，可得在平面ABC中，BP⊥CP始終成立，即得點P的軌跡是以BC為直徑的圓的一部分，由題意知隨著點D的變化，∠BCD的范圍為，可得點P的軌跡是以BC為直徑（半徑為1）的圓的，即得點P的軌跡長度為.故選：C.
2.如圖，等腰梯形中，，，，，沿著把折起至，使在平面上的射影恰好落在上．當(dāng)邊長變化時，點的軌跡長度為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
根據(jù)的射影在邊上，且固定長度為1，所以的軌跡在以為原點半徑為1的圓上，因此考慮的長度縮短到0時和變長到的長度兩種情況，從而求出夾角大小，進而求出弧長.
【詳解】
因為的射影在邊上，且固定長度為1，所以的軌跡在以為原點半徑為1的圓上.考慮極端情況：當(dāng)?shù)拈L度縮短到0時，都匯聚到線段的中點（D2）；當(dāng)變長到的長度時（的射影為D3），如圖，設(shè)，則,
在中，，
同理：，
∴，即在線段上的投影與點的距離為，從而與夾角為，故點的軌跡為.故選：B.
3.已知矩形中，，，如圖，將沿著進行翻折，使得點與點重合，若點在平面上的射影在四邊形內(nèi)部（包含邊界），則動點的軌跡長度是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
過點作于點，交于點，則點在平面上的射影落在線段上.由翻折過程可知，，判斷出的軌跡是以點為圓心，為半徑的一段圓弧，求出圓心角，利用弧長公式求出弧長.
【詳解】
如圖（1），過點作于點，交于點，則點在平面上的射影落在線段上.
在中，，，則，由等面積法得.
翻折的過程中，動點滿足，則動點的軌跡是以點為圓心，為半徑的一段圓弧.易得，，，所以，則，如圖（2），在圓中，，，所以點的軌跡是，且，則，，從而點的軌跡長度為.
故選：C
【課后練習(xí)】
1．（多選題）（海南省海口市北京師范大學(xué)?？诟綄賹W(xué)校12月月考）如圖，已知正方體的棱長為的中點，為正方形所在平面內(nèi)一動點，則下列結(jié)論正確的是( )
A．若到直線與直線的距離相等，則的軌跡為拋物線
B．若，則的中點的軌跡所圍成圖形的面積為
C．若與所成的角為，則的軌跡為雙曲線
D．若與平面所成的角為，則的軌跡為橢圓
【答案】ABC
【分析】
A：由平面，可得即為到直線的距離，由拋物線的定義即可判斷；
B：由題意可得中點的軌跡為以中點為圓心，為半徑且平行于平面的圓，計算可判斷；
C：建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，，由與所成的角為60°，可得點的軌跡方程，從而可判斷；
D：由與平面所成的角為，計算可得為定值，可判斷點的軌跡為以為圓心，為半徑的圓，從而可判斷．
【詳解】
對于A，平面，即為到直線的距離，
在平面內(nèi)，點到定點的距離與到定直線的距離相等，
∴點的軌跡就是以為焦點，為準(zhǔn)線的拋物線，故A正確；
對于B，平面，即為到直線的距離，
在平面內(nèi)，點到定點的距離與到定直線的距離相等，
∴點的軌跡就是以為焦點，為準(zhǔn)線的拋物線，故B正確；
對于C，如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，
，0，，，0，，，0，，，2，，
設(shè)，，，則，，，，2，，
，
化簡得，即，∴的軌跡為雙曲線，故C正確；
對于D，與平面所成的角為，∴，
則，∴點的軌跡為以為圓心，為半徑的圓，故D錯誤．
故選：ABC﹒
2.（廣東省六校高三上學(xué)期第三次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）（多選題）如圖的正方體中，棱長為2，點是棱的中點，點在正方體表面上運動.以下命題正確的有（）
A．側(cè)面上不存在點，使得
B．點到面的距離與點到面的距離之比為
C．若點滿足平面，則動點的軌跡長度為
D．若點到點的距離為，則動點的軌跡長度為
【答案】BD
【分析】
先找到點滿足平面的軌跡，可判斷選項，將平面補全，利用比例判斷選項，找到滿足點到點的距離為的軌跡，可判斷選項
【詳解】
取中點，中點，連接，，，
易證，又平面，平面，所以平面，
又，同理得到平面，
所以平面平面，
所以若點滿足平面，則點在的三邊上運動，
，所以動點的軌跡長度為，所以錯誤；
當(dāng)點在側(cè)面上運動時，點的運動軌跡為線段，
當(dāng)運動到中點時，因為△是等腰三角形，所以，又因為，
所以，故錯誤；
取中點，連接，，
易證，則共面，令，則易得，
所以點到面的距離與點到面的距離之比為，故正確；
因為，所以若點到點的距離為，
則動點的軌跡在正方形和正方形及正方形上，
若在正方形上，則滿足，所以在正方形上，動點的軌跡為以為圓心，為半徑的四分之一圓弧，所以周長為，
同理點在正方形及正方形面上運動時，軌跡分別為以為圓心，為半徑的四分之一圓弧，所以動點的軌跡長度為，所以正確；
故選：
3.（多選題）（全國著名重點中學(xué)領(lǐng)航高考沖刺試卷（六））如圖，在正方體中，E為的中點，點F在線段上運動，G為底面ABCD內(nèi)一動點，則下列說法正確的是（）
A．
B．若，則點G在線段AC上
C．當(dāng)點F從A向運動時，三棱錐的體積由小變大
D．若，GE與底面ABCD所成角相等，則動點G的軌跡為圓的一部分
【答案】ABD
【分析】
結(jié)合線面垂直的知識來判斷A選項的正確性.結(jié)合平面的知識來判斷B選項的正確性.結(jié)合錐體體積的求法來確定C選項的正確性.結(jié)合阿波羅尼斯圓的知識來判斷D選項的正確性.
【詳解】
連接，∵在平面內(nèi)的射影為，，且，則平面，，∴，故A正確；
∵，∴FG與確定唯一的平面，而平面與有F，，C三個不在一條直線上的公共點，∴平面與重合，又G為底面ABCD內(nèi)一動點，則點G必在平面與平面ABCD的交線AC上，故B正確；
∵，平面，平面，∴平面，故當(dāng)點F在上運動時，點F到平面的距離不變，于是三棱錐的體積不變，即三棱錐的體積不變，故C錯誤；
連接GD，GA，當(dāng)，GE與底面ABCD所成角相等時，易得，∵AD為定值，由阿波羅尼斯圓易知點G的軌跡為圓的一部分，故D正確．
阿波羅尼斯圓：已知平面上兩點A，B，則所有滿足（且）的點P的軌跡是一個以定比m：n內(nèi)分和外分定線段AB的兩個分點的連線為直徑的圓，此圓稱為阿波羅尼斯圓．
故選：ABD
4.（吉林省梅河口市第五中學(xué)第一次月考）在棱長為1的正方體中，，分別為，的中點，為底面的中心，點在正方體的表面上運動，且滿足，則下列說法正確的是（）
A．點可以是棱的中點B．線段的最大值為
C．點的軌跡是平行四邊形D．點軌跡的長度為
【答案】B
【分析】
在正方體中，以點為坐標(biāo)原點，分別以、、方向為軸、軸、軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)，確定點的軌跡，在逐項判斷，即可得出結(jié)果.
【詳解】
在正方體中，以點為坐標(biāo)原點，分別以、、方向為軸、軸、軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，
因為該正方體的棱長為，分別為，的中點，
則，，，，
所以，設(shè)，則，
因為，所以
所以，即，
令，當(dāng)時，；當(dāng)時，；
取，，
連接，，，則，，
則，
，
所以，，
又，且平面，平面，
所以平面，
所以，為使，必有點平面，又點在正方體的表面上運動，
所以點的軌跡為正三角形，故C錯誤；
因此點不可能是棱的中點，故A錯誤；
線段的最大值為，故B正確；
點軌跡的長度為，故D錯誤；
故選：B
5.（廣東省深圳市平岡高級中學(xué)高三上學(xué)期9月第一次月考）如圖所示，在棱長為a的正方體ABCD -A1B1C1D1中，E是棱DD1的中點，F(xiàn)是側(cè)面CDD1C1上的動點，且B1F∥平面A1BE，則F在側(cè)面CDD1C1上的軌跡的長度是（）
A．a(chǎn)B．C．D．
【答案】D
【分析】
過做與平面平行的平面，該平面與側(cè)面的交線，即為滿足條件的軌跡，求解即可.
【詳解】
設(shè)G，H，I分別為CD，CC1，C1D1邊上的中點，
連接B1I，B1H，IH，CD1，EG，BG，則∥∥,
所以 A1，B，E，G四點共面，
由∥平面B1HI，平面B1HI，
所以A1E∥平面B1HI，同理A1B∥平面B1HI，
，所以平面A1BGE∥平面B1HI，

又因為B1F∥平面A1BE，所以F落在線段HI上，
因為正方體ABCD -A1B1C1D1的棱長為a，所以，
即F在側(cè)面CDD1C1上的軌跡的長度是.故選：D.
6.（湖南省永州市高三上學(xué)期第一次適應(yīng)性考試）已知在三棱錐中，為線段的中點，點在(含邊界位置)內(nèi)，則滿足平面的點的軌跡為（）
A．線段，的中點連接而成的線段
B．線段的中點與線段靠近點的三等分點連接而成的線段
C．線段的中點與線段靠近點的三等分點連接而成的線段
D．線段靠近點的三等分點與線段靠近點的三等分點連接而成的線段
【答案】A
【分析】
利用面面平行得到線面平行，即可.
【詳解】
解：如圖所示，P、Q分別為線段，的中點，
所以,平面,
平面，所以平面，
同理平面，,
所以平面平面，若平面,則會有平面，
故點的軌跡為線段，的中點連接而成的線段，
故選A.
7.（遼寧省實驗中學(xué)上學(xué)期聯(lián)考）已知正六棱柱的棱長均為，點在棱上運動，點在底面內(nèi)運動，，為的中點，則動點的軌跡與正六棱柱的側(cè)面和底面圍成的較小部分的體積為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
根據(jù)題意，可判斷出動點的軌跡為球，結(jié)合球的體積公式，即可求解.
【詳解】
由直角三角形的性質(zhì)得，
所以點在以為球心，半徑是的球面上運動，
因為，所以動點的軌跡與正六棱柱的側(cè)面和底面圍成的較小部分球，
其體積為.
故選：B.
8.四棱錐中，底面是正方形，，．是棱上的一動點，E是正方形內(nèi)一動點，的中點為，當(dāng)時，的軌跡是球面的一部分，其表面積為，則的值是（）
A．B．C．D．6
【答案】B
【分析】
首先假設(shè)，將四棱錐放在正方體中，然后根據(jù)直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半求得，得到點的軌跡，最后根據(jù)題意列出方程求出的值 .
【詳解】
由題意不妨設(shè),又，底面是正方形，
所以可將四棱錐放在一個正方體內(nèi)，
所以面，又面，
則，又的中點為，
所以，
即的軌跡是以為球心，為半徑的球，且點恒在正方體內(nèi)部，
又因為8個一樣的正方體放在一起，點的軌跡就可以圍成一個完整的球，
所以的軌跡是以為球心，為半徑的球的球面，
所以，解得，
故選：B
9.棱長為的正方體中，點P在平面內(nèi)運動，點到直線的距離為定值，若動點的軌跡為橢圓，則此定值可能為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
設(shè)，分析出點在以為軸的圓錐的側(cè)面上，計算出，并分析出，可得出，由此可得出合適的選項.
【詳解】
如下圖所示：

因為點到直線的距離為定值，所以，點在以為軸的圓錐的側(cè)面上，
因為點的軌跡為橢圓，即圓錐被平面所截的截面為橢圓，
設(shè)圓錐軸截面的半頂角為，則點到直線的距離為，
當(dāng)截面與圓錐的母線平行時，即時，截面為拋物線，不合乎題意，
所以，.
綜合選擇，可知A選項合乎題意.
故選：A.
10.（上海市建平中學(xué)期中）已知菱形邊長為2，，沿對角線折疊成三棱錐，使得二面角為60°，設(shè)為的中點，為三棱錐表面上動點，且總滿足，則點軌跡的長度為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
在側(cè)面上，點的軌跡是，在側(cè)面上，點的軌跡是，在底面上，點的軌跡是，求的周長即可.
【詳解】
連接，交于點，連接，為菱形，
，所以，
，，，均為正三角形，
所以為二面角的平面角，于是，
又因為，所以為正三角形，
所以,
取的中點，取的中點，連接，
所以，，
所以，所以平面,
所以在三棱錐表面上，滿足的點軌跡為，
因為，，，
所以的周長為，
所以點軌跡的長度為.
故選：D
11.（河南省鄲城縣第一高級中學(xué)高三第一次模擬）在三棱錐中，G是的重心，P是面內(nèi)一點，且平面.
（1）畫出點P的軌跡，并說明理由；
（2）平面，，，，當(dāng)最短時，求二面角的余弦值.
【答案】（1）答案見解析；（2）．
【分析】
（1）分別取，三等分點E，F(xiàn)，因為G是的重心，結(jié)合面面平行的判定定理即可證明平面平面，故有平面，得點P的軌跡為；假設(shè)P不在上，根據(jù)平行關(guān)系會得出矛盾結(jié)果；
（2）由余弦定理得，根據(jù)垂直關(guān)系可證，故當(dāng)點P與E重合時，最短，以C為坐標(biāo)原點，建立坐標(biāo)系，分別求得平面和的一個法向量，再結(jié)合向量的夾角公式即可求出二面角的余弦值．
【詳解】
解；（1）分別取，三等分點E，F(xiàn)，其中，，
連接，，，則為點P的軌跡.
①因為，，所以，
因為平面，所以平面，
因為G是的重心，所以，
因為平面.所以平面，
因為，所以平面平面，
當(dāng)P在上時，平面
②如圖，假設(shè)P不在上，任取上一點Q，連接，
因為平面，平面，，
所以平面平面，
所以平面，
因為平面平面，平面，所以，
所以，與矛盾，
所以假設(shè)不成立，"
綜上所述，為點P的軌跡.
（2）由余弦定理得，解得，
所以，所以，
因為，所以，
因為平面，所以，
因為，平面，，所以平面，
因為平面，所以，
當(dāng)點P與E重合時，最短，
如圖，在平面內(nèi)，作，以C為坐標(biāo)原點，為x軸，為y軸，為z軸，建立直角坐標(biāo)系，則，，，，
所以，，，
設(shè)為平面的一個法向量，
則，即，
令，得，
設(shè)為平面的一個法向量，
則，即
令，符，
所以，
所以二面角的余弦值為.

相關(guān)試卷

相關(guān)試卷更多

相關(guān)試卷

相關(guān)試卷 更多

相關(guān)試卷更多