2024年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)全套培優(yōu)微專題高考重難點(diǎn)題型歸納32講第6講函數(shù)單調(diào)性討論16種題型(原卷版+解析)-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

【典例分析】
已知函數(shù).
（1）討論的單調(diào)性；
（2）若函數(shù)與的圖像有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，求的取值范圍.
【變式演練】
1.已知函數(shù)，，其中.
（1）試討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）若，證明：.
2.已知函數(shù).
（1）求的單調(diào)區(qū)間
（2）若的極值點(diǎn)為，且，證明：.
【題型二】討論思維基礎(chǔ)：求導(dǎo)后一元一次型參數(shù)在系數(shù)位置（單參）
【典例分析】
已知函數(shù).
（1）討論的單調(diào)性；
（2）若是的兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：.
【變式演練】
1.已知函數(shù)fx=alnx+1x+4，其中a∈R．
（1）討論函數(shù)fx的單調(diào)性；
（2）對(duì)任意x∈1,e，不等式fx≥1x+x+12恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
2.己知函數(shù)(其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性;
（2）當(dāng)時(shí)，若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
3.已知函數(shù)，，其中.
（1）試討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）若，證明：.
【題型三】討論思維基礎(chǔ)：求導(dǎo)后一元一次型參數(shù)在“斜率”和常數(shù)位置（雙參）
【典例分析】
已知函數(shù)，其中，．
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為．若函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，，證明：．
【變式演練】
1.已知函數(shù)，其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）取a＝0并記此時(shí)曲線y＝f（x）在點(diǎn)（其中）處的切線為l，l與x軸、y軸所圍成的三角形面積為，求的解析式及的最大值．
2.函數(shù)()．討論的單調(diào)性﹒
3.已知．
（1）求的單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè)，，為函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，求證：．
【題型四】上下平移思維基礎(chǔ)：反比例函數(shù)型
【典例分析】
已知函數(shù)．
（1）求的極值；
（2）若（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）時(shí)恒成立，求a的取值范圍．
【變式演練】
1.設(shè)函數(shù).
（1）若在點(diǎn)處的切線為，求a，b的值；
（2）求的單調(diào)區(qū)間.
2.已知．
（1）討論的單調(diào)性；
（2）當(dāng)時(shí)，對(duì)任意都有成立，求實(shí)數(shù)a的最大值．
【題型五】上下平移：指數(shù)型
【典例分析】
已知函數(shù).
（1）討論函數(shù)的極值；
（2）若函數(shù)在上的最小值是，求實(shí)數(shù)的值.
【變式演練】
1.設(shè)函數(shù).
（1）求函數(shù)的極值；
（2）若在時(shí)恒成立，求的取值范圍.
2.設(shè)函數(shù)．
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，，為的導(dǎo)函數(shù)，求證：．
【題型六】上下平移：對(duì)數(shù)函數(shù)型
【典例分析】
已知函數(shù)．
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）設(shè)，求證：．
【變式演練】
1.已知函數(shù)，（其中a為非零實(shí)數(shù)）．（1）討論的單調(diào)性；
（2）若函數(shù)（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）有兩個(gè)零點(diǎn)．
①求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
②設(shè)兩個(gè)零點(diǎn)分別為、，求證：．
2.已知函數(shù)．
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)函數(shù)與函數(shù)圖象的公切線經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，求實(shí)數(shù)的取值集合；
（3）證明：當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，，且滿足．
3.設(shè)為實(shí)數(shù)，且，函數(shù).
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）若對(duì)任意，函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求a的取值范圍.
【題型七】一元二次可因式分解型
【典例分析】
已知函數(shù)．（1）設(shè)討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間（，a，）上的最大值和最小值分別為和，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．
【變式演練】
1.已知函數(shù).
（1）討論的單調(diào)性.
（2）當(dāng)時(shí)，證明：.
2.設(shè)函數(shù)，其中.
（1）討論的單調(diào)性；
（2）當(dāng)時(shí)，若的圖像與直線沒(méi)有公共點(diǎn)，求的取值范圍.
3.已知函數(shù)．
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）當(dāng)時(shí)，方程有四個(gè)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【題型八】一元二次不能因式分解：判別式+韋達(dá)定理+求根公式
【典例分析】
已知函數(shù)（）.
（1）討論的單調(diào)性；
（2）若，且正數(shù)滿足，證明.
【變式演練】
1.已知函數(shù).
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，且，若，求證：.
2.已知函數(shù)（）
（1）討論的單調(diào)性
（2）當(dāng)時(shí)，若函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)為，判斷是否其導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)？并說(shuō)明理由
3.已知函數(shù)．
（1）討論的單調(diào)性；
（2）當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍.
【題型九】雙線法：指數(shù)型
【典例分析】
已知函數(shù)．
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求的取值范圍．
【變式演練】
1.已知函數(shù)，其中．
（1）討論的單調(diào)性；
（2）若，設(shè)，求證：函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有唯一的一個(gè)零點(diǎn)．
2.已知函數(shù)（其中，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍．
3.已知函數(shù).
（1）討論的單調(diào)性；
（2）當(dāng)時(shí)，令，若是函數(shù)的極值點(diǎn)，且，求證：.
【題型十】雙線法：對(duì)數(shù)型
【典例分析】
已知函數(shù)．
（1）討論的單調(diào)性；
（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【題型十一】含三角函數(shù)型討論
【典例分析】
已知函數(shù).
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）如果對(duì)于任意的，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）設(shè)函數(shù).過(guò)點(diǎn)作函數(shù)的圖象的所有切線，令各切點(diǎn)的橫坐標(biāo)構(gòu)成數(shù)列，求數(shù)列的所有項(xiàng)之和S的值.
【變式演練】
1.已知函數(shù)．
（1）討論函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性；
（2）求函數(shù)的最值．
2.已知.
（1）求的單調(diào)區(qū)間；
（2）若，證明:當(dāng)時(shí)，有且只有兩個(gè)零點(diǎn).
【題型十二】二階求導(dǎo)討論型
【典例分析】
已知函數(shù)（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.
（1）討論函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性；
（2）設(shè)，若x＝0為g（x）的極小值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【變式演練】
1.己知函數(shù)，，其中為常數(shù)，函數(shù)與軸的交點(diǎn)為，函數(shù)的圖象與y軸的交點(diǎn)為，函數(shù)在點(diǎn)的切線與函數(shù)在點(diǎn)處的切線互相平行．（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
2.已知函數(shù).
（1）判斷在上的單調(diào)性；
（2）時(shí)，求證：（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.
3.已知函數(shù)f(x)=(x+a)ln(x+1)?ax.
（1）若a=2，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；
（2）若a≤?2，?10，得x>1a，
由f'x0，所以f'(x)在(0,+∞)單調(diào)遞增；
所以f'(x)≥f'(0)=0，所以f(x)在(?1,+∞)單調(diào)遞增，
即f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(?1,+∞)，不存在遞減區(qū)間.
【題型十三】已知單調(diào)性求參
【典例分析】
已知函數(shù).（1）若在上是增函數(shù)，求的取值范圍；
【答案】（1）；（1）
當(dāng)時(shí)，，故結(jié)論成立
當(dāng)時(shí)，，即.
當(dāng)時(shí)，在上不恒大于或等于0，故舍去.
綜上得的取值范圍范圍是.
【變式演練】
1.已知函數(shù)．
（1）若在上為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
【答案】（1）；試題解析：（1）
由題意，即對(duì)恒成立，整理得
，即，在恒成立
設(shè)顯然其對(duì)稱軸為
∴在單調(diào)遞增，∴只要，∴．
2.已知函數(shù)．
（1）若函數(shù)在定義域上是單調(diào)遞增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
【答案】（1）；
【解析】（1）函數(shù)定義域?yàn)?，?br>依題意在上恒成立，即在上恒成立．
令．
（方法1）則
，因此當(dāng)，即時(shí)取最小值．
（方法2）則，
令得，且當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)，
所以在取得最小值，故實(shí)數(shù)的取值范圍是．
3.已知函數(shù)．（1）若函數(shù)在上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
【答案】（1）；
試題解析：解：（1）在上恒成立，
令，有得，得．
綜上，存在實(shí)數(shù)，使得當(dāng)時(shí)有最小值3．
【題型十四】不確定單調(diào)增或減求參
【典例分析】
已知函數(shù)f(x)＝x2＋alnx.(2)若g(x)＝f(x)＋在[1，＋∞)上是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
【答案】 (2) [0，＋∞)
試題解析 (2)由題意得g′(x)＝2x＋－，函數(shù)g(x)在[1，＋∞)上是單調(diào)函數(shù)．
(ⅰ)若函數(shù)g(x)為[1，＋∞)上的單調(diào)增函數(shù)，
則g′(x)≥0在[1，＋∞)上恒成立，即a≥－2x2在[1，＋∞)上恒成立，
設(shè)φ(x)＝－2x2，因?yàn)棣?x)在[1，＋∞]上單調(diào)遞減，所以φ(x)max＝φ(1)＝0，所以a≥0.
(ⅱ)若函數(shù)g(x)為[1，＋∞)上的單調(diào)減函數(shù)，則g′(x)≤0在[1，＋∞)上恒成立，不可能．
綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是[0，＋∞)．
【變式演練】
1.已知函數(shù)，其中為常數(shù)．(Ⅱ)若在區(qū)間上單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
【答案】(Ⅱ)；．
試題解析：(Ⅱ)①當(dāng)是增函數(shù)時(shí)，在上恒成立，即在上恒成立，在上恒成立．在上是減函數(shù)，，
②當(dāng)是減函數(shù)時(shí)，在上恒成立，即在上恒成立。設(shè)，則解得。的取值范圍為
2、已知函數(shù)．
（1）若是定義域上的單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍；
（2）若在定義域上有兩個(gè)極值點(diǎn)，，證明：．
【答案】（1），；（2）證明見(jiàn)解析.
【分析】
（1）若在上單調(diào)遞減，等價(jià)于，利用二次函數(shù)求出最大值即得解；若在遞增，等價(jià)于，二次函數(shù)沒(méi)有最小值，此種情況無(wú)解. 綜合即得解.
（2）利用韋達(dá)定理求出，，再求出，求出函數(shù)的最小值即得證.
（1）
解：，，若在上單調(diào)遞減，則在上恒成立，故，，，
若在遞增，則在恒成立，故，
沒(méi)有最小值，此時(shí)不存在，
綜上，的取值范圍是，；
3.已知函數(shù)f(x)=ex-ax2-bx-1（a，bR），e=2.71828…為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．
（1）設(shè)g(x)=f′(x)，若g(x)是（0，2）上的單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍；
（2）若f（2）=0，函數(shù)f(x)在（0，2）上有零點(diǎn)，求a的取值范圍．
【答案】（1）或；（2）．
【分析】
（1）由于是（0，2）上的單調(diào)函數(shù)，所以在（0，2）上大于等于零或小于等于零，從而可求出a的取值范圍；
（2）由函數(shù)f(x)在（0，2）上有零點(diǎn)，則，使，而，，從而可得在，上不單調(diào)，則在上至少有兩個(gè)零點(diǎn)，則（1）可得當(dāng)時(shí)，有可能有兩個(gè)零點(diǎn)，從而可判斷在上有兩個(gè)零點(diǎn)，，且，，所以有，再結(jié)合解不等式組可得答案
解：（1），∴，∵在上單調(diào)，
∴或在上恒成立，即或在上恒成立，
∴或．
【題型十五】存在單調(diào)增（減）區(qū)間
【典例分析】
已知函數(shù)在處的切線與直線垂直，函數(shù).
（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）若函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
【答案】（1）；（2）；
試題解析：（1），
垂直，，
（2）
設(shè)，則只須
的取值范圍為
【變式演練】
1.已知函數(shù)，其中a為實(shí)常數(shù)．
（1）若f(x)在上存在單調(diào)遞增區(qū)間，求a的取值范圍；
【答案】（1）；
試題解析：（1）．若，即，則，從而f(x)在R上是減函數(shù)，不合題意，所以．由，得，即，
所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是．因?yàn)閒(x)在上存在單調(diào)遞增區(qū)間，
則，即，解得．故a的取值范圍是．
2.已知函數(shù)．
（1）若曲線在點(diǎn)處的切線方程為，求實(shí)數(shù)a，b的值；
（2）若函數(shù)在區(qū)間上存在單調(diào)增區(qū)間，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）若在區(qū)間上存在極大值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍（直接寫(xiě)出結(jié)果）．
【答案】（1）（2）（3）
【分析】
（1）求導(dǎo)，再根據(jù)曲線在點(diǎn)處的切線方程為求解；
（2）根據(jù)函數(shù)在區(qū)間上存在單調(diào)增區(qū)間，又在上有解求解；
（3）
（1）
解：因?yàn)椋裕驗(yàn)榍€在點(diǎn)處的切線方程為，
所以切線斜率為1，即，，所以．
（2）因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上存在單調(diào)增區(qū)間，
所以在上有解，
即只需在上的最大值大于0即可．令，
當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)，
所以，當(dāng)時(shí)，取最大值，故只需，即．
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是．
3.已知函數(shù)，.
（1）若函數(shù)存在單調(diào)增區(qū)間，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）若，為函數(shù)的兩個(gè)不同極值點(diǎn)，證明：.
【答案】（1）（2）見(jiàn)解析
【分析】
（1）由已知可知，若滿足條件，即有解，轉(zhuǎn)化為有解，即，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最大值；
【詳解】
（1）由題函數(shù)存在增區(qū)間，即需有解，即有解，
令，，且當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，如圖得到函數(shù)的大致圖象，故當(dāng)，
∴時(shí)，函數(shù)存在增區(qū)間；
【題型十六】非單調(diào)函數(shù)求參
【典例分析】
已知函數(shù)，其中.
（1）如果曲線與軸相切，求的值；
（2）如果函數(shù)在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍.
【答案】（1）1（2）【分析】
（1）先求導(dǎo)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出結(jié)果；
（2）先求出函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)的范圍即可，求導(dǎo)，分離參數(shù)構(gòu)造函數(shù)，求出函數(shù)的最值即可.
（1）求導(dǎo)得，曲線與軸相切，此切線的斜率為0.
由解得，又由曲線與軸相切，得解得.
（2）由題意可得，
當(dāng)時(shí)，在上恒成立，函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，在上恒成立，函數(shù)單調(diào)遞減，
在上恒成立，或在上恒成立，
在上恒成立，或在上恒成立，
令，由，解得，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，
，
或或
函數(shù)在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)，，故的取值范圍為.
【變式演練】
1.已知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，函數(shù).
（1）求；
（2）求最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間；
（3）若，不是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）；（2）最小正周期為，單調(diào)遞減區(qū)間為，；（3）.
【分析】
(1)利用基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式及導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則直接計(jì)算即得；
(2)結(jié)合(1)的結(jié)論利用三角恒等變換化簡(jiǎn)，再借助正弦函數(shù)性質(zhì)即可作答；
(3)根據(jù)給定條件求出的導(dǎo)數(shù)，在內(nèi)求出及恒成立的a值范圍即可得解.
【詳解】
(1)依題意，；
(2)由(1)知，，
則的最小正周期為，
由，得：，，
所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，；
(3)由(2)知，，，
當(dāng)時(shí)，，則，即，
當(dāng)在上單調(diào)時(shí)，則對(duì)，或成立，
由，得：，，則，
由，得：，，則，
因此，當(dāng)在上單調(diào)時(shí)，或，
于是得不是單調(diào)函數(shù)時(shí)，，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.
2.已知函數(shù).
（1）設(shè)，若存在兩個(gè)極值點(diǎn)，，且，求證：；
（2）設(shè)，在不單調(diào)，且恒成立，求的取值范圍.（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.
【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.
【分析】
（1）先求出，又由可判斷出在上單調(diào)遞減，故，令，記，利用導(dǎo)數(shù)求出的最小值即可；
（2）由在上不單調(diào)轉(zhuǎn)化為在上有解，可得，令，分類討論求的最大值，再求解即可.
【詳解】
（1）已知，，由可得，
又由,知在上單調(diào)遞減，
令，記，則
在上單調(diào)遞增；，在上單調(diào)遞增；
，
（2），，在上不單調(diào)，
在上有正有負(fù)，在上有解，，，
恒成立，記，則，
記，，在上單調(diào)增，在上單調(diào)減.
于是知
（i）當(dāng)即時(shí)，恒成立，在上單調(diào)增，，
，.
（ii）當(dāng)時(shí)，，故不滿足題意.
綜上所述，
3.設(shè)函數(shù)，，
（1）當(dāng)時(shí)，若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求的取值范圍：
（2）若函數(shù)在定義城內(nèi)不單調(diào)，求的取值范圍：
（3）是否存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意正實(shí)數(shù)恒成立?若存在，求出滿足條件的實(shí)數(shù)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】（1）；（2）；（3）存在，.
【分析】（1）根據(jù)題意，得到，再由函數(shù)單調(diào)性，即可得出結(jié)果；
（2）先由題意，得到定義域，再對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)其不單調(diào)，得到的最小值為負(fù)，進(jìn)而可得出結(jié)果；
（3）先令，對(duì)其求導(dǎo)，用導(dǎo)數(shù)的方法求出最大值，再結(jié)合題中條件，即可得出結(jié)果.
【詳解】
（1）當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，
而函數(shù)可由平移后得到，函數(shù)單調(diào)遞增，
所以只需，所以；
（2）易知函數(shù)的定義域?yàn)?，而?br>因?yàn)楹瘮?shù)在定義城內(nèi)不單調(diào)，
所以，只需的最小值為負(fù)，即，所以.
【課后練習(xí)】
1.已知函數(shù)，.
（1）討論的單調(diào)性；
（2）若關(guān)于的不等式在上恒成立，求的取值范圍.

【答案】（1）答案見(jiàn)解析（2）
【分析】
（1）首先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再對(duì)分和兩種情況討論，分別求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）依題意在上恒成立，令，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再由二次函數(shù)的性質(zhì)，可得二次函數(shù)必有一正一負(fù)兩個(gè)零點(diǎn)，設(shè)其中一個(gè)零點(diǎn)，則，再利用導(dǎo)數(shù)求出的范圍，從而求出的取值范圍；
解：因?yàn)槎x域?yàn)?，?
①若，則，所以在上單調(diào)遞減.
②若，令，得.
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
2.已知函數(shù)．
（1）討論的單調(diào)性；
（2）若恒成立，求實(shí)數(shù)a的值．

【答案】（1）答案見(jiàn)解析（2）
【分析】
（1）求得的定義域?yàn)?，且，分和兩種情況討論，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，即可求解；
（2）當(dāng)時(shí)，得到，不合題意；當(dāng)時(shí)，得到，根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為，令，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值，即可求解.
解（1）：由題意，函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>則，
當(dāng)時(shí)，對(duì)，，故在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減
綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
3.已知函數(shù)．
（1）討論的單調(diào)性；
（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

【答案】
（1）答案不唯一，具體見(jiàn)解析；
（2）答案不唯一，具體見(jiàn)解析.
【分析】
(1)確定函數(shù)的定義域并求導(dǎo)，再對(duì)a的取值進(jìn)行分類討論即可得函數(shù)的單調(diào)性.
(2)求出函數(shù)，借助導(dǎo)數(shù)求出的最大值，再對(duì)a的取值進(jìn)行分類討論即可確定零點(diǎn)個(gè)數(shù).
（1）
函數(shù)的定義域?yàn)?，求?dǎo)得：，
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
于是得函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
4.已知函數(shù)．
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）若不等式對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

【答案】
（1）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增
（2）
【分析】
（1）求出函數(shù)的定義域與導(dǎo)函數(shù)分，兩種情況討論的正負(fù)→函數(shù)的單調(diào)性；
（2）轉(zhuǎn)化為恒成立，設(shè)，轉(zhuǎn)化為，設(shè)，轉(zhuǎn)化恒成立分，，討論，利用分離參數(shù)法求解a的取值范圍
（1）
解：由題意，得函數(shù)的定義域?yàn)镽，則，
當(dāng)時(shí)，對(duì)任意恒成立，所以函數(shù)在R上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，令，得，令，得，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
綜上，當(dāng)時(shí)，在R上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
5.已知函數(shù)（）.
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)時(shí)，若，（）滿足，求證：.

【答案】
（1）答案見(jiàn)解析
（2）證明見(jiàn)解析
【分析】
（1）求導(dǎo)得，分類討論參數(shù)可求的單調(diào)區(qū)間；
解（1）.
①當(dāng)時(shí)，，由，得；由，得；
②當(dāng)時(shí)，由，得或；由，得；
③當(dāng)時(shí)，；
④當(dāng)時(shí)，由，得或，由，得.
綜上：當(dāng)時(shí)，的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為；
當(dāng)時(shí)，的單調(diào)減區(qū)間為，，單調(diào)增區(qū)間為；
當(dāng)時(shí)，的單調(diào)減區(qū)間為，無(wú)單調(diào)增區(qū)間；
當(dāng)時(shí)，的單調(diào)減區(qū)間為，，單調(diào)增區(qū)間為；
6.已知函數(shù)．
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）若不等式對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

【答案】
（1）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增
（2）
【分析】
（1）求出函數(shù)的定義域與導(dǎo)函數(shù)分，兩種情況討論的正負(fù)→函數(shù)的單調(diào)性；
（2）轉(zhuǎn)化為恒成立，設(shè)，轉(zhuǎn)化為，設(shè)，轉(zhuǎn)化恒成立分，，討論，利用分離參數(shù)法求解a的取值范圍
（1）
解：由題意，得函數(shù)的定義域?yàn)镽，則，
當(dāng)時(shí)，對(duì)任意恒成立，所以函數(shù)在R上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，令，得，令，得，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
綜上，當(dāng)時(shí)，在R上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
7.設(shè)函數(shù).
（1）求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；
（2）當(dāng)時(shí)，記，是否存在整數(shù)，使得關(guān)于x的不等式有解？若存在，請(qǐng)求出的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.（參考數(shù)據(jù)：）

【答案】（1）答案見(jiàn)解析（2）存在，的最小值為0
【分析】
（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，就的不同取值可求的解，從而可得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.
（2）利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合虛設(shè)零點(diǎn)可求，從而可得整數(shù)的最小值.
（1）
因?yàn)椋?br>所以，
①當(dāng)時(shí)，由，解得；
②當(dāng)時(shí)，由，解得；
③當(dāng)時(shí)，由，解得；
④當(dāng)時(shí)，由，解得；
⑤當(dāng)時(shí)，由，解得，
綜上所述，當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間為；
當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間為；
時(shí)，的增區(qū)間為.
8.已知函數(shù)
（1）若，試求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
（2）討論的單調(diào)性．

【答案】
（1）
（2）答案見(jiàn)解析
【分析】
（1）求導(dǎo)得到導(dǎo)函數(shù)，計(jì)算，，得到切線方程.
（2）求導(dǎo)得到，考慮，，，四種情況，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)得到函數(shù)的單調(diào)性.
（1）
，，，
，故切線方程為：.
（2）
，故，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，得到，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)和時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)，時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，恒成立，函數(shù)在R單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)和時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；
綜上所述：
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
9.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；
（2）討論函數(shù)的單調(diào)性.

【答案】（1）極大值，極小值（2）答案見(jiàn)解析
【分析】（1）當(dāng)時(shí)，，求導(dǎo)，令可得極值點(diǎn)和極值；
（2），對(duì)分類討論，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可得出．
（1）當(dāng)時(shí)，，令得或.
∴時(shí)，有極大值，時(shí)，有極小值.
（2），∵，∴.
（1）當(dāng)時(shí)，有，
當(dāng)，，在上單調(diào)遞增.
（2）當(dāng)時(shí)，令，得.
①當(dāng)，即，有，
從而函數(shù)在上單調(diào)遞增.
②當(dāng)，即時(shí)，
當(dāng)，，單調(diào)遞減；
當(dāng)，，單調(diào)遞增.
綜上，時(shí)，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.
10.已知，．
（1）求的單調(diào)區(qū)間；
（2）若時(shí)，恒成立，求m的取值范圍．

【答案】
（1）在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.
（2）
【分析】
(1)先對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，再進(jìn)行分類討論判斷導(dǎo)數(shù)值的正負(fù)，即可得到答案；
(2)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在恒成立，令，再利用（1）的結(jié)論進(jìn)行求解，即可得到答案；
（1）
，，
①當(dāng)時(shí)，，
在恒成立，，在單調(diào)遞減，
②當(dāng)時(shí)，令，則在恒成立，
在單調(diào)遞增，且，在恒成立，
即在恒成立，
在單調(diào)遞增，
綜上所述：在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.
11.已知函數(shù).
（1）求在（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）上的最大值；
（2）對(duì)任意給定的正實(shí)數(shù)，曲線上是否存在兩點(diǎn)P，Q，使得是以О為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且此直角三角形斜邊的中點(diǎn)在y軸上?

【答案】（1）答案見(jiàn)解析（2）存在，理由見(jiàn)解析.
【分析】
（1）先分別討論，兩段上的函數(shù)最值，再根據(jù)兩段函數(shù)最值比較綜合即可得答案；
（2）假設(shè)存在，則設(shè)（），則，進(jìn)而根據(jù)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為有解問(wèn)題，再分和討論求解即可得答案.
（1）
解：當(dāng)時(shí)，，，令，解得，此時(shí)在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，由于，故當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，，故當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，，當(dāng)時(shí)，.
綜上，當(dāng)時(shí)，在上的最大值為，當(dāng)時(shí)，在上的最大值為.
12.已知函數(shù)
（1）若函數(shù)在處的切線方程為，求的值；
（2）若函數(shù)在區(qū)間上存在單調(diào)增區(qū)間，求的取值范圍；
（3）當(dāng)時(shí)，證明：對(duì)任意恒成立.

【答案】（1）；（2）；（3）證明見(jiàn)解析.
【分析】
（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得函數(shù)在處的切線斜率，可得關(guān)于的方程，從而可得結(jié)果；
（2）函數(shù)在區(qū)間上存在單調(diào)增區(qū)間，等價(jià)于在區(qū)間上有解，分離參數(shù)求出函數(shù)范圍，即得結(jié)果；
（3）先利用，求出值，然后證明對(duì)任意的恒成立即可.
【詳解】
（1）由得，
因?yàn)楹瘮?shù)在處的切線方程為，
曲線在點(diǎn)處的切線斜率為，
解得；
（2）函數(shù)，，
因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上存在單調(diào)增區(qū)間，所以在區(qū)間上有解，
即在區(qū)間上有解，因?yàn)樵趨^(qū)間上遞增，
所以，可得故；
13.設(shè)函數(shù)（）（是一個(gè)無(wú)理數(shù)）
（1）若函數(shù)在定義域上不是單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍；
（2）設(shè)函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)為和，記過(guò)點(diǎn)、的直線
的斜率為k，是否存在a，使得？若存在，求出a的取值集合；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

【答案】（1）a>2；（2）
【解析】試題解析：（1）f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），
令g（x）=，其判別式△=a2 -4
1）當(dāng)-2≤a≤2時(shí)，△≤0，，故f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，不合題意；
2）當(dāng)a0，g（x）=0的兩個(gè)根都小于零，故在（0，+∞）上，，所以f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，不合題意；
3）當(dāng)a>2時(shí)，△>0，g（x）=0的兩個(gè)根都大于零，令，，x1x2=1
當(dāng)0

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