一、注意基礎(chǔ)知識的整合、鞏固。進(jìn)一步夯實基礎(chǔ)，提高解題的準(zhǔn)確性和速度。
二、查漏補缺，保強(qiáng)攻弱。在二輪復(fù)習(xí)中，針對“一?！笨荚囍械膯栴}要很好的解決，根據(jù)自己的實際情況作出合理的安排。
三、提高運算能力，規(guī)范解答過程。在高考中運算占很大比例，一定要重視運算技巧粗中有細(xì)，提高運算準(zhǔn)確性和速度，同時，要規(guī)范解答過程及書寫。
四、強(qiáng)化數(shù)學(xué)思維，構(gòu)建知識體系。同學(xué)們在聽課時注意把重點要放到理解老師對問題思路的分析以及解法的歸納總結(jié)，以便于同學(xué)們在刷題時做到思路清晰，迅速準(zhǔn)確。
五、解題快慢結(jié)合，改錯反思。審題制定解題方案要慢，不要急于解題，要適當(dāng)?shù)剡x擇好的方案，一旦方法選定，解題動作要快要自信。
六、重視和加強(qiáng)選擇題的訓(xùn)練和研究。對于選擇題不但要答案正確，還要優(yōu)化解題過程，提高速度。靈活運用特值法、排除法、數(shù)形結(jié)合法、估算法等。
重難點專題32立體幾何壓軸小題（體積、角度、外接球等）九大題型匯總
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc149822105" 題型1體積最值 PAGEREF _Tc149822105 \h 1
\l "_Tc149822106" 題型2線線角最值取值范圍 PAGEREF _Tc149822106 \h 2
\l "_Tc149822107" 題型3線面角最值取范圍 PAGEREF _Tc149822107 \h 5
\l "_Tc149822108" 題型4面面角最值取值范圍 PAGEREF _Tc149822108 \h 8
\l "_Tc149822109" 題型5外接球問題 PAGEREF _Tc149822109 \h 11
\l "_Tc149822110" 題型6外接球截面相關(guān) PAGEREF _Tc149822110 \h 12
\l "_Tc149822111" 題型7正方體截面相關(guān) PAGEREF _Tc149822111 \h 13
\l "_Tc149822112" 題型8代數(shù)式最值取值范圍 PAGEREF _Tc149822112 \h 16
\l "_Tc149822113" 題型9向量相關(guān)最值取值范圍 PAGEREF _Tc149822113 \h 18
題型1體積最值
【例題1】（2021·全國·高三專題練習(xí)）在棱長為3的正方體ABCD?A1B1C1D1中，E是AA1的中點，P是底面ABCD所在平面內(nèi)一動點，設(shè)PD1，PE與底面ABCD所成的角分別為θ1，θ2（θ1，θ2均不為0），若θ1=θ2，則三棱錐P?BB1C1體積的最小值是
A．92B．52C．32D．54
【變式1-1】1. （2021·全國·校聯(lián)考二模）在長方體ABCD?A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，AA1=5,M,N分別在線段AA1和AC上，MN=2，則三棱錐D?MNC1的體積最小值為
A．4B．32?1C．43?2D．62?4
【變式1-1】2. （2021·全國·高三專題練習(xí)）如圖，已知直四棱柱ABCD?A1B1C1D1的所有棱長等于1，∠ABC=60°，O和O1分別是上下底面對角線的交點，H在線段OB1上，OH=3HB1，點M在線段BD上移動，則三棱錐M?C1O1H的體積最小值為 .
【變式1-1】3. （2023春·廣東·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)M，N，P分別是棱長為2 的正方體ABCD?A1B1C1D1的棱CD，C1D1，A1B1的中點，R為BD上一點，且R不與D重合，且M，N，P，R在同一個表面積為S的球面上，記三棱錐N?MPR的體積為V，則SV的最小值是 .
【變式1-1】4.（2020·全國·高三競賽）一個圓錐和一個圓柱，下底面在同一平面上，它們有公共的內(nèi)切球.記圓錐的體積為V1，圓柱的體積為V2，且V1=kV2.則k的最小值是 .
【變式1-1】5.（2021·福建·統(tǒng)考一模）如圖，在四棱錐E?ABCD中，EC⊥底面ABCD，F(xiàn)D//EC，底面ABCD為矩形，G為線段AB的中點，CG⊥DG，CD=2，DF=CE，BE與底面ABCD所成角為45°，則四棱錐E?ABCD與三棱錐F?CDG的公共部分的體積為 ．
題型2線線角最值取值范圍
【例題2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）在三棱錐A?BCD中，BC=BD=AC=AD=10，AB=6，CD=16，點P在平面ACD內(nèi)，且BP=30，設(shè)異面直線BP與CD所成角為α，則sinα的最小值為( )
A．31010B．1010C．255D．55
【變式2-1】1. （2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，矩形ABCD中，AB=4,BC=2，E為邊AB的中點，沿DE將ΔADE折起，點A折至A1處（A1 ?平面ABCD），若M為線段A1C的中點，則在ΔADE折起過程中，下列說法錯誤的是（ ）
A．始終有MB //平面A1DE
B．不存在某個位置，使得A1C ⊥平面A1DE
C．三棱錐A1?ADE體積的最大值是223
D．一定存在某個位置，使得異面直線BM與A1E所成角為30°
【變式2-1】2. （2021·全國·高三專題練習(xí)）如圖，已知等邊三角形ABC中，AB=AC，O為BC的中點，動點P在線段OB上（不含端點），記∠APC=θ，現(xiàn)將ΔAPC沿AP折起至ΔAPC'，記異面直線BC'與AP所成的角為α，則下列一定成立的是
A．θ>αB．θπ2D．θ+αα>βB．θ>2αC．θ>2βD．tanθ>2tanα
【變式4-1】4. （2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在單位正方體ABCD?A1B1C1D1中，點P在線段AD1上運動，給出以下四個命題：
①異面直線A1P與BC1間的距離為定值；
②三棱錐D?BPC1的體積為定值；
③異面直線C1P與直線CB1所成的角為定值；
④二面角P?BC1?D的大小為定值．
其中真命題有
A．1個B．2個C．3個D．4個
【變式4-1】5.（2020·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）設(shè)三棱錐V?ABC的底面是正三角形，側(cè)棱長均相等，P是棱VA上的點（不含端點），記直線PB與直線AC所成的角為α，直線PB與平面ABC所成的角為β，二面角P?AC?B的平面角為γ，則三個角α、β、γ中最小的角是 .
題型5外接球問題
【例題5】（2022·四川遂寧·統(tǒng)考一模）設(shè)半徑為R的球面上有A,B,C,D四點，且AB,AC,AD兩兩垂直，若S△ABC+S△ACD+S△ABD=8，則球半徑R的最小值是（ ）
A．2B．2C．22D．4
【變式5-1】1.（2022秋·江蘇南京·高三南京師大附中校聯(lián)考階段練習(xí)）四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是邊長為23的正方形，側(cè)面△PAD為正三角形，則其外接球體積最小值為（ ）
A．2873πB．323π
C．86πD．43π
【變式5-1】2.（2023·四川宜賓·宜賓市敘州區(qū)第一中學(xué)校?？寄M預(yù)測）在三棱錐A?BCD中，AD⊥平面BCD，∠ABD+∠CBD=π2,BD=BC=1，則已知三棱錐A?BCD外接球表面積的最小值為（ ）
A．25+14πB．5+12πC．25?14πD．5?12π
【變式5-1】3.（2019秋·廣西·高三校考階段練習(xí)）在三棱錐A?BCD中，AB=AC，DB=DC，AB+DB=4，AB⊥BD，則三棱錐A?BCD外接球的體積的最小值為（ ）
A．53π3B．52π3C．82π3D．83π3
【變式5-1】4.（2023·全國·高三專題練習(xí)）在棱長為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，E,F分別為AB,BC的中點，則（ ）
A．平面D1EF ∥平面BA1C1
B．點P為正方形A1B1C1D1內(nèi)一點，當(dāng)DP //平面B1EF時，DP的最小值為322
C．過點D1,E,F的平面截正方體ABCD?A1B1C1D1所得的截面周長為32+25
D．當(dāng)三棱錐B1?BEF的所有頂點都在球O的表面上時，球O的表面積為12π
【變式5-1】5.（2020·湖北·校聯(lián)考一模）已知三棱錐P?ABC滿足PA⊥底面ABC，在ΔABC中，AB=6，AC=8，AB⊥AC，D是線段AC上一點，且AD=3DC，球O為三棱錐P?ABC的外接球，過點D作球O的截面，若所得截面圓的面積的最小值與最大值之和為40π，則球O的表面積為（ ）
A．72πB．86πC．112πD．128π
【變式5-1】6.（2022秋·新疆烏魯木齊·高三?？茧A段練習(xí)）魯班鎖是中國傳統(tǒng)的智力玩具，起源于古代漢族建筑中首創(chuàng)的榫卯結(jié)構(gòu)，這種三維的拼插器具內(nèi)部的凹凸部分（即榫卯結(jié)構(gòu)）嚙合，十分巧妙，外觀看是嚴(yán)絲合縫的十字立方體，其上下、左右、前后完全對稱，從外表上看，六根等長的正四棱柱分成三組，經(jīng)90°榫卯起來，如圖，若正四棱柱的高為6，底面正方形的邊長為1，現(xiàn)將該魯班鎖放進(jìn)一個球形容器內(nèi)，則該球形容器的表面積的最小值為（容器壁的厚度忽略不計）
A．36πB．40πC．41πD．44π
題型6外接球截面相關(guān)
【例題6】（2021秋·河北唐山·高三唐山一中?？计谥校┧拿骟wABCD的四個頂點在同一球面上中，AB=BC= CD=DA=4，AC=BD=22，E為AC的中點，過E作其外接球的截面，則截面面積的最大值與最小值的比為（ ）
A．5:4B．5:2C．5:2D．5:2
【變式6-1】1. （2022秋·云南·高三云南師大附中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD是矩形，且該四棱錐的所有頂點都在球O的球面上，PA⊥平面ABCD, PA=AB=2，BC=2 ，點E在棱PB上，且EB=2PE， 過E作球O的截面，則所得截面面積的最小值是 .
【變式6-1】2. （2021秋·山東濰坊·高三山東省濰坊第四中學(xué)?？奸_學(xué)考試）正△ABC的三個頂點都在半徑為2的球面上,球心O到平面ABC的距離為1,點D是線段BC的中點,過D作球O的截面,則截面面積的最小值為 .
【變式6-1】3. （2019·湖北·高三校聯(lián)考期中）已知三棱錐S?ABC的所有頂點在球O的球面上，SA⊥平面ABC，ΔABC是等腰直角三角形，SA=AB=AC=2，D是BC的中點，過點D作球O的截面，則截面面積的最小值是 .
【變式6-1】4. （2023春·四川成都·高三樹德中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知菱形ABCD邊長為6，∠ADC=2π3，E為對角線AC上一點，AE=3．將△ABD沿BD翻折到△A'BD的位置，E移動到E'且二面角A'?BD?A的大小為π3，則三棱錐A'?BCD的外接球的半徑為 ；過E'作平面α與該外接球相交，所得截面面積的最小值為 ．
【變式6-1】5.（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知空間四邊形ABCD的各邊長及對角線BD的長度均為6，平面ABD⊥平面CBD，點M在AC上，且AM=2MC，那么ABCD外接球的半徑為 ；過點M作四邊形ABCD外接球的截面.則截面面積最大值與最小值之比為 .
題型7正方體截面相關(guān)
【例題7】（2021·浙江·高三專題練習(xí)）正四面體ABCD的棱長為4，E為棱AB的中點，過E作此正四面體的外接球的截面，則該截面面積的最小值是
A．4πB．8πC．12πD．16π
【變式7-1】1. （2021·湖南株洲·校聯(lián)考一模）過棱長為1的正方體的一條體對角線作截面，則截得正方體的截面面積的最小值是
A．1B．2C．32D．62
【變式7-1】2. （多選）（2022秋·湖南常德·高三湖南省桃源縣第一中學(xué)?？计谥校┤鐖D，正方體ABCD?A1B1C1D1棱長為1，點P是線段A1D上的一個動點，下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．存在點P，使得BP⊥PC1
B．三棱錐C?B1D1P的體積為定值16
C．若動點Q在以點B為球心，63為半徑的球面上，則PQ的最小值為66
D．過點P，B，C1作正方體的截面，則截面多邊形的周長的取值范圍是32,2+22
【變式7-1】3.（2022秋·吉林長春·高三長春市第六中學(xué)?？计谀├忾L為1的正方體ABCD?A1B1C1D1內(nèi)部有一圓柱O1O2，此圓柱恰好以直線AC1為軸，且圓柱上下底面分別與正方體中以A ， C1為公共點的3個面都有一個公共點，以下命題正確的是（ ）
A．在正方體ABCD?A1B1C1D1內(nèi)作與圓柱O1O2底面平行的截面，則截面的最大面積為32
B．無論點O1在線段AC1上如何移動，都有BO1⊥B1C
C．圓柱O1O2的母線與正方體ABCD?A1B1C1D1所有的棱所成的角都相等
D．圓柱O1O2外接球體積的最小值為π6
【變式7-1】4. （多選）（2023·全國·高三專題練習(xí)）在正方體ABCD?A1B1C1D1中，AB=1，點P滿足CP=λCD+μCC1，其中λ∈0,1,μ∈0,1，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．當(dāng)B1P//平面A1BD時，B1P與CD1所成夾角可能為π3
B．當(dāng)λ=μ時，|DP→|+|A1P→|的最小值為2+52
C．若B1P與平面CC1D1D所成角為π4，則點P的軌跡長度為π2
D．當(dāng)λ=1時，正方體經(jīng)過點A1?P?C的截面面積的取值范圍為32,2
【變式7-1】5. （多選）（2022·安徽·校聯(lián)考二模）在底面邊長為2、高為4的正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，O為棱A1A上一點，且A1O=14A1A,P?Q分別為線段B1D1?A1D1上的動點，M為底面ABCD的中心，N為線段AQ的中點，則下列命題正確的是（ ）
A．CN與QM共面
B．三棱錐A?DMN的體積為43
C．PQ+QO的最小值為322
D．當(dāng)D1Q=13D1A1時，過A,Q,M三點的平面截正四棱柱所得截面的周長為82+103
【變式7-1】6.（2021·浙江溫州·統(tǒng)考二模）如圖所示的一塊長方體木料中，已知AB=BC=4,AA1=1，設(shè)E為底面ABCD的中心，且AF=λAD,(0≤λ≤12)，則該長方體中經(jīng)過點A1,E,F的截面面積的最小值為 ．
題型8代數(shù)式最值取值范圍
【例題8】（2022·四川成都·石室中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知正四面體ABCD的棱長為6,P是棱AB上任意一點（不與A,B重合）,且點P到面ACD和面BCD的距離分別為x,y,則3x+1y的最小值為 .
【變式8-1】1. （2019·湖南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在四棱錐P?ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB⊥AD，AB//CD，AD=CD=PD=2，AB=1，E,F分別為棱PC,PB上一點，若BE與平面PCD所成角的正切值為2，則(AF+EF)2的最小值為 .
【變式8-1】2. （2022秋·廣東廣州·高三?？计谥校┱嗝骟w也稱柏拉圖立體（被譽為最有規(guī)律的立體結(jié)構(gòu)）是所有面都只由一種正多邊形構(gòu)成的多面體（各面都是全等的正多邊形）.數(shù)學(xué)家已經(jīng)證明世界上只存在五種柏拉圖立體，即正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體.已知一個正八面體ABCDEF的棱長都是2（如圖），P、Q分別為DF、BF的中點，則AP·AQ= .若EG=2GB，過點G的直線分別交直線FE、FB于M、N兩點，設(shè)FE=mFM,FB=nFN（其中m、n均為正數(shù)），則2m+1n的最小值為 .
【變式8-1】3. （2021·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在正方體ABCD?A1B1C1D1中，點E∈平面AA1B1B，點F是線段AA1的中點，若D1E⊥CF，則當(dāng)ΔEBC的面積取得最小值時，SΔEBCS四邊形ABCD=
A．255B．12C．55D．510
【變式8-1】4. （2021·全國·高三專題練習(xí)）已知直三棱柱ABC?A1B1C1的側(cè)棱長為6，且底面是邊長為2的正三角形，用一平面截此棱柱，與側(cè)棱AA1,BB1,CC1，分別交于三點M,N,Q，若ΔMNQ為直角三角形，則該直角三角形斜邊長的最小值為（ ）
A．22B．3C．23D．4
【變式8-1】5.（2019秋·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在三棱錐P?ABC中，PA、PB、PC兩兩垂直，且PA=3，PB=2，PC=1．設(shè)M是底面ABC內(nèi)一點，定義f(M)=(m，n，p)，其中m、n、P分別是三棱錐M?PAB、三棱錐M?PBC、三棱錐M?PCA的體積．若f(M)=(12，x，y)，且1x+ay?18恒成立，則正實數(shù)a的最小值為（ ）
A．1B．2C．3D．4
【變式8-1】6.（2021秋·四川成都·高三石室中學(xué)階段練習(xí)）如圖，四邊形ABCD是邊長為1的正方形，ED⊥平面ABCD，F(xiàn)B⊥平面ABCD，且ED=FB=1，G為線段EC上的動點，則下列結(jié)論中正確的是
①EC⊥AF；②該幾何體外接球的表面積為3π；
③若G為EC中點，則GB//平面AEF；
④AG2+BG2的最小值為3．
【變式8-1】7.（2020·全國·高三專題練習(xí)）已知四面體ABCD的所有棱長都為6,O是該四面體內(nèi)一點,且點O到平面ABC、平面ACD、平面ABD、平面BCD的距離分別為13,x,16和y,則1x+1y的最小值是 .
【變式8-1】8.（2021·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6.四邊形AEFG為邊長為2的正方形，現(xiàn)將矩形ABCD沿過點F的動直線l翻折，使翻折后的點C在平面AEFG上的射影C1落在直線AB上，若點C在折痕l上射影為C2，則C1C2CC2的最小值為 ．
題型9向量相關(guān)最值取值范圍
【例題9】（2021秋·浙江寧波·高三統(tǒng)考期末）在空間直角坐標(biāo)系中，OA=2a,2b,0,OB=c?1,d,1,O為坐標(biāo)原點，滿足a2+b2=1,c2+d2=4，則下列結(jié)論中不正確的是
A．OA·OB的最小值為-6B．OA·OB的最大值為10
C．AB最大值為26D．AB最小值為1
【變式9-1】1. （2021·浙江·模擬預(yù)測）正四面體ABCD的棱長為2，半徑為2的球O過點D，MN為球O的一條直徑，則AM?AN的最小值是 ．
【變式9-1】2. （2021春·上海·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知a,b,c為空間三個向量，又a,b是兩個相互垂直的單位向量，向量c滿足c=3，c?a=2,c?b=1，則對于任意實數(shù)x，y，c?xa?yb的最小值為
【變式9-1】3.（多選） （2023秋·河南·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知球O的半徑為2，點A,B,C是球O表面上的定點，且OA?OB=OB?OC=?1，OC?OA=?2，點D是球O表面上的動點，滿足CA?CD=0，則（ ）
A．有且僅有一個點D使得∠CAD=30°B．點O到平面ABC的距離為217
C．存在點D使得BD//平面AOCD．OB?OD的取值范圍為?2,2
【變式9-1】4. （2021·湖南長沙·高三長郡中學(xué)階段練習(xí)）已知半徑為1的球O內(nèi)切于正四面體A?BCD，線段MN是球O的一條動直徑（M,N是直徑的兩端點），點P是正四面體A?BCD的表面上的一個動點，則PM?PN的取值范圍是 ．
【變式9-1】5.（2020·全國·高三專題練習(xí)）已知球O的半徑為1,A,B是球面上的兩點，且AB=3，若點P是球面上任意一點，則PA?PB的取值范圍是 ．
1. （2019·四川·統(tǒng)考模擬預(yù)測）若矩形ABCD的對角線交點為O'，周長為410，四個頂點都在球O的表面上，且OO'=3，則球O的表面積的最小值為
A．322π3B．642π3C．32πD．48π
2. （2022·四川瀘州·統(tǒng)考一模）已知正三棱錐（底面是正三角形且頂點在底面的射影是底面三角形的中心）的體積為3，其各頂點都在同一球面上，則該球的表面積的最小值為 ．
3. （2022·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·海拉爾第二中學(xué)?？寄M預(yù)測）等腰直角三角形ABE的斜邊AB為正四面體ABCD側(cè)棱，直角邊AE繞斜邊AB旋轉(zhuǎn)，則在旋轉(zhuǎn)的過程中，有下列說法：
（1）四面體E?BCD的體積有最大值和最小值；
（2）存在某個位置，使得AE⊥BD；
（3）設(shè)二面角D?AB?E的平面角為θ，則θ≥∠DAE；
（4）AE的中點M與AB的中點N連線交平面BCD于點P，則點P的軌跡為橢圓.
其中，正確說法的個數(shù)是（ ）
A．1B．2C．3D．4
4. （2020·河南鶴壁·統(tǒng)考二模）在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝6，AB＝8，點M為△ABC內(nèi)切圓的圓心，過點M作動直線l與線段AB，AC都相交，將△ABC沿動直線l翻折，使翻折后的點A在平面BCM上的射影P落在直線BC上，點A在直線l上的射影為Q，則|PQ||AQ|的最小值為 ．
5. （2023·四川達(dá)州·統(tǒng)考一模）在棱長為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，E,F分別為AB,BC的中點，則（ ）
A．異面直線DD1與B1F所成角的余弦值為55
B．點P為正方形A1B1C1D1內(nèi)一點，當(dāng)DP//平面B1EF時，DP的最小值為322
C．過點D1,E,F的平面截正方體ABCD?A1B1C1D1所得的截面周長為32+25
D．當(dāng)三棱錐B1?BEF的所有頂點都在球O的表面上時，球O的表面積為12π
6. （2021·天津·統(tǒng)考高考真題）兩個圓錐的底面是一個球的同一截面，頂點均在球面上，若球的體積為32π3，兩個圓錐的高之比為1:3，則這兩個圓錐的體積之和為（ ）
A．3πB．4πC．9πD．12π
7. （2023·天津·統(tǒng)考高考真題）在三棱錐P?ABC中，線段PC上的點M滿足PM=13PC，線段PB上的點N滿足PN=23PB，則三棱錐P?AMN和三棱錐P?ABC的體積之比為（ ）
A．19B．29C．13D．49
8. （2023·全國·統(tǒng)考高考真題）在正方體ABCD?A1B1C1D1中，AB=4,O為AC1的中點，若該正方體的棱與球O的球面有公共點，則球O的半徑的取值范圍是 ．
平移線段法是求異面直線所成角的常用方法，其基本思路是通過平移直線，把異面問題化歸為共面問題來解決，具體步驟如下：
①平移：平移異面直線中的一條或兩條，作出異面直線所成的角；
②認(rèn)定：證明作出的角就是所求異面直線所成的角；
③計算：求該角的值，常利用解三角形；
④取舍：由異面直線所成的角的取值范圍是0,π2，當(dāng)所作的角為鈍角時，應(yīng)取它的補角作為兩條異面直線所成的角．

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