【題型一】通過“累加法”學(xué)通項(xiàng)思想1：基礎(chǔ)型
【典例分析】
已知數(shù)列中，已知，，則等于（ ）
A．B．C．D．
【變式演練】
1.已知數(shù)列滿足，，則（ ）
A．510B．512C．1022D．1024
2.已知數(shù)列{an}滿足，，n∈N*，求數(shù)列的通項(xiàng)公式an.
3.數(shù)列an中，a1=0,an+1?an=1n+n+1且an=9，則n=_________
【題型二】 通過“累加法”學(xué)通項(xiàng)思想2：換元型與同除型
【典例分析】
已知數(shù)列滿足：，，，則下列說法正確的是（ ）
A． B． C．?dāng)?shù)列的最小項(xiàng)為和 D．?dāng)?shù)列的最大項(xiàng)為和
【變式演練】
1.在數(shù)列中，，，則（ ）
A．B．C．D．
2.已知數(shù)列滿足，.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求滿足的所有正整數(shù)的取值集合.
3.已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an﹣an+1＝，則a10的值是（ ）
A．B．C．D．
【題型三】 通過“累加法”學(xué)通項(xiàng)思想3：復(fù)雜“同除換元型”
【典例分析】
已知數(shù)列滿足，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式____．
【變式演練】
1.已知數(shù)列滿足，則______.
2.已知數(shù)列中，，，，則的取值范圍是_____________．
【題型四】 累積法
【典例分析】
已知數(shù)列滿足，，則的值為 ___，的值為_ ____.
【變式演練】
1.已知數(shù)列滿足.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.
2.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為___________.
3.數(shù)列滿足：，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式___________.
【題型五】 周期數(shù)列
【典例分析】
已知數(shù)列滿足，則
A．0B．C．D．
【變式演練】
1.數(shù)列中，，，，那么
A．1B．2C．3D．-3
2.在數(shù)列中，若，并有對(duì)且恒成立；則_______________．
3.設(shè)數(shù)列滿足，且對(duì)任意正整數(shù)，總有成立，則數(shù)列的前2019項(xiàng)的乘積為
A．B．1C．2D．.3
【題型六】 構(gòu)造二階等比數(shù)列型（待定系數(shù)型）
【典例分析】
已知數(shù)列滿足：，.
（1）證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)；
（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：.
【變式演練】
1.數(shù)列滿足則
A．33B．32C．31D．34
2.已知數(shù)列中，，（且），則數(shù)列通項(xiàng)公式為（ ）
A．B．C．D．
【題型七】 分式遞推
【典例分析】
在數(shù)列中，，，則是這個(gè)數(shù)列的第________________項(xiàng)．
【變式演練】
1.數(shù)列滿足：，且 ，則數(shù)列的通項(xiàng)公式是=_____．
2.已知在數(shù)列中，，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為______.
3.已知數(shù)列滿足．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,用數(shù)學(xué)歸納法證明:.
【題型八】構(gòu)造二階等差數(shù)列
【典例分析】
數(shù)列滿足：，且，則數(shù)列的前項(xiàng)和__________.
【變式演練】
1.數(shù)列滿足，（），則__________．
2.數(shù)列{an}中，，，則
A．B．C．D．
3.如果數(shù)列滿足，，且，則（ ）
A．B．C．D．
【題型九】 前n項(xiàng)積型
【典例分析】
已知數(shù)列的前項(xiàng)積為，若對(duì)，，都有成立，且，，則數(shù)列的前10項(xiàng)和為____．
【變式演練】
1.若數(shù)列的前n項(xiàng)的積為，則_____________.
2.設(shè)等比數(shù)列的公比為q，其前n項(xiàng)和為，前n項(xiàng)積為，并滿足條件，且，，下列結(jié)論正確的是（ 多選題 ）
A．B．
C．?dāng)?shù)列無最大值D．是數(shù)列中的最大值
3.已知各項(xiàng)均不為零的數(shù)列的前n項(xiàng)積滿足，則________，數(shù)列的前n項(xiàng)和________．
【題型十】 特殊通項(xiàng)1：“和”型求通項(xiàng)
【典例分析】
已知數(shù)列{an}滿足an＋an＋1＝(n∈N*)，a2＝2，Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則S21為 ( )
A．5 B． C．D．
【變式演練】
1.知數(shù)列滿足：，且a1=2，則________________．
2.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，且，則
A．－5B．－10C．12D．16
3.若數(shù)列滿足（為常數(shù)），則稱數(shù)列為等比和數(shù)列，稱為公比和，已知數(shù)列是以3為公比和的等比和數(shù)列，其中，，則______.
【題型十一】 特殊數(shù)列2：正負(fù)相間討論型
【典例分析】
已知數(shù)列中，，，則___________.
【變式演練】
1.已知數(shù)列滿足，則___________.
2.數(shù)列滿足，前16項(xiàng)和為540，則 .
3.已知數(shù)列滿足，則的前40項(xiàng)和為__________．
【題型十二】 特殊數(shù)列3：奇偶討論型
【典例分析】
已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，則
A．200B．210C．400D．410
【變式演練】
1.已知數(shù)列的首項(xiàng)，且滿足，則=________．
2.在數(shù)列中，，，則下列結(jié)論成立的是（ ）
A．存在正整數(shù)，使得為常數(shù)列
B．存在正整數(shù)，使得為單調(diào)數(shù)列
C．對(duì)任意的正整數(shù)，集合為有限集
D．存在正整數(shù)，使得任意的、，當(dāng)時(shí)，
3.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，an≠0，a1＝1，且2anan＋1＝4Sn－3(n∈N*)．
(1)求a2的值并證明：an＋2－an＝2；
(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．
【題型十三】 特殊數(shù)列4：“求和公式換元”型
【典例分析】
已知數(shù)列滿足.求數(shù)列的通項(xiàng)公式.
【變式演練】
1.若數(shù)列滿足,,則______ ．
2.已知數(shù)列滿足，，則_________________．
3.在數(shù)列中，, 則數(shù)列的通項(xiàng)公式_____．
【題型十四】 特殊數(shù)列5：因式分解型求通項(xiàng)
【典例分析】
已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和滿足=,
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
【變式演練】
1.設(shè)是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，且，則____，_____.
2.已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且滿足.
（1）求，及的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【題型十五】 特殊數(shù)列6：其他幾類特殊數(shù)列求通項(xiàng)
【典例分析】
已知正項(xiàng)數(shù)列滿足，.
（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；
（2）證明：.
【變式演練】
1.在數(shù)列中，，，.
（1）證明為等比數(shù)列；
（2）求.
2.已知和滿足，，，．
（1）證明：是等比數(shù)列，是等差數(shù)列；
（2）求和的通項(xiàng)公式；
3.設(shè)正數(shù)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，試求，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論.
【題型十六】 壓軸小題
【典例分析】
1.已如數(shù)列，，且，則_____，______.
2.已知數(shù)列與滿足，且，則__________．
3.已知數(shù)列是共有k個(gè)項(xiàng)的有限數(shù)列，且滿足，若，，，則_.
4.已知數(shù)列滿足，且，則__________.

5.已知數(shù)列滿足，且，則數(shù)列的通項(xiàng)公式__________．
【課后練習(xí)】
1.在數(shù)列{an}中，a1=1，(n≥2)，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.
2.已知數(shù)列中，，，則該數(shù)列的通項(xiàng)_______.

3.已知數(shù)列中，，，則（ ）
A．3B．C．D．
4.已知數(shù)列{an}中，，．
（1）若，證明：數(shù)列{bn}是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（3）若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn．

5.已知數(shù)列滿足，，則__________．
6.已知數(shù)列中，且，則__________．

7.若是正項(xiàng)遞增等比數(shù)列，表示其前n項(xiàng)之積，且，則當(dāng)取最小值時(shí)，n的值為_________.

8.數(shù)列滿足，則的前項(xiàng)和為
9.已知數(shù)列滿足，則的通項(xiàng)公式______．

10.數(shù)列,滿足,且,.
(1)證明:為等比數(shù)列;
(2)求,的通項(xiàng).

11.已知數(shù)列滿足,,,.
(1)證明:數(shù)列是等比數(shù)列;
(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;

第17講 數(shù)列遞推求通項(xiàng)15類
【題型一】通過“累加法”學(xué)通項(xiàng)思想1：基礎(chǔ)型
【典例分析】
已知數(shù)列中，已知，，則等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【詳解】由得：，，……，，，各式相加可得：，
又，，.故選：B.
【變式演練】
1.已知數(shù)列滿足，，則（ ）
A．510B．512C．1022D．1024
【答案】B
【詳解】由,得，，，…
，以上各式相加得，，
所以，所以.故選：B.
2.已知數(shù)列{an}滿足，，n∈N*，求數(shù)列的通項(xiàng)公式an.
【答案】；
【詳解】（1），
，
將以上個(gè)式子相加，
得
，即.
.
又當(dāng)n=1時(shí)，也符合上式，.
3.數(shù)列an中，a1=0,an+1?an=1n+n+1且an=9，則n=_________
【答案】100
【詳解】∵an+1?an=1n?n+1=n+1?n ，∴an=an?an?1+an?1?an?2+?+a2?a1+a1=n?n?1+n?1?n?2+?+2?1+0=n?1
∵an=9，即n?1=9，解得n=100故填：100
【題型二】 通過“累加法”學(xué)通項(xiàng)思想2：換元型與同除型
【典例分析】
已知數(shù)列滿足：，，，則下列說法正確的是（ ）
A． B． C．?dāng)?shù)列的最小項(xiàng)為和 D．?dāng)?shù)列的最大項(xiàng)為和
【答案】C
【詳解】
令，則，又，所以，，， ，，
所以累加得，所以，
所以，
所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，
即，所以數(shù)列的最小項(xiàng)為和，故選：C.
【變式演練】
1.在數(shù)列中，，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】由題意得，，則，…，，
由累加法得，，即，
則，所以，故選：D
2.已知數(shù)列滿足，.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求滿足的所有正整數(shù)的取值集合.
【答案】（1）；（2）.
【詳解】（1）因?yàn)?，所?因?yàn)椋?，…，，所以，于?
當(dāng)時(shí)，，所以.
（2）因?yàn)?，所以是遞增數(shù)列.
因?yàn)?，，，，?br>所以，，，，，
于是所有正整數(shù)的取值集合為.
3.已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an﹣an+1＝，則a10的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
解：由可得：，
則：＝，
則．故選：C．
【題型三】 通過“累加法”學(xué)通項(xiàng)思想3：復(fù)雜“同除換元型”
【典例分析】
已知數(shù)列滿足，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式____．
【答案】
【詳解】易知，由，得，∴，∴．
∴當(dāng)時(shí)，有，，．．．．．．，
將以上個(gè)等式相加得，又，
∴，經(jīng)驗(yàn)證，當(dāng)時(shí)符合上式，∴
【變式演練】
1.已知數(shù)列滿足，則______.
【答案】2020
【詳解】因?yàn)椋裕?br>式子兩端除以，整理得：，即為常數(shù)列.
因?yàn)?，所以，所以，所?
故答案為：2020
2.已知數(shù)列中，，，，則的取值范圍是_____________．
【答案】
【詳解】由題意得，，即，則，即，
所以，，，…，，
相加得，，故，
因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，且當(dāng)時(shí)，，
所以，即的取值范圍是.故答案為：.
【題型四】 累積法
【典例分析】
已知數(shù)列滿足，，則的值為 ___，的值為_ ____.
【答案】
解：令，則，，令，則，所以，所以，
因?yàn)椋?，即?br>當(dāng)時(shí)，有，，
因?yàn)?，所以，所以，所以，故答案為：?br>【變式演練】
1.已知數(shù)列滿足.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【答案】(1) (2)
試題解析：（Ⅰ）因?yàn)?，故，得；（也可以累積法）
設(shè)，所以，，，又因?yàn)椋?br>所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，故，故.
（Ⅱ）略.
2.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為___________.
【答案】
【詳解】
由，可得當(dāng)時(shí)，，
則，即，故，
所以.
當(dāng)滿足.故數(shù)列的通項(xiàng)公式為.
故答案為：
3.數(shù)列滿足：，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式___________.
【答案】
解：因?yàn)棰伲划?dāng)時(shí)，②；
①減②得，即，所以，所以，所以所以，，，……，，
所以，所以，又，所以，當(dāng)時(shí)也成立，所以故答案為：
【題型五】 周期數(shù)列
【典例分析】
已知數(shù)列滿足，則
A．0B．C．D．
【答案】A
【詳解】
由上述可知，數(shù)列是每三項(xiàng)一次循環(huán)的數(shù)列，
則有故選A．
【變式演練】
1.數(shù)列中，，，，那么
A．1B．2C．3D．-3
【答案】B
【詳解】
由題意，得，，，，，…，由此發(fā)現(xiàn)數(shù)列是以6為周期的數(shù)列，又，所以，故正確答案為B.
2.在數(shù)列中，若，并有對(duì)且恒成立；則_______________．
【答案】
解：由條件及，得，
即（且），則，從而知是數(shù)列的一個(gè)周期；
由，及，得；故故答案為：.
另解：由，又即對(duì)且，可得從而知是數(shù)列的一個(gè)周期；
故.故答案為：
3.設(shè)數(shù)列滿足，且對(duì)任意正整數(shù)，總有成立，則數(shù)列的前2019項(xiàng)的乘積為
A．B．1C．2D．.3
【答案】D
【詳解】由題意可得：，故：，，，
，，據(jù)此可得數(shù)列是周期為的周期數(shù)列，
注意到，且：，故數(shù)列的前2019項(xiàng)的乘積為：.
故選D.
【題型六】 構(gòu)造二階等比數(shù)列型（待定系數(shù)型）
【典例分析】
已知數(shù)列滿足：，.
（1）證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)；
（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：.
【答案】（1）；（2）略
試題解析：（1）解：由知，代入得：，
化簡(jiǎn)得：，即是等比數(shù)列，又，則，進(jìn)而有．
（2）證明：由于，
所以
【變式演練】
1.數(shù)列滿足則
A．33B．32C．31D．34
【答案】A
【詳解】數(shù)列滿足，是以2為公比的等比數(shù)列，首項(xiàng)為1，得到故答案為A．
2.已知數(shù)列中，，（且），則數(shù)列通項(xiàng)公式為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】
由，知：且()，而，，
∴是首項(xiàng)、公比都為3的等比數(shù)列，即，故選：C
【題型七】 分式遞推
【典例分析】
在數(shù)列中，，，則是這個(gè)數(shù)列的第________________項(xiàng)．
【答案】2018
【分析】同取倒數(shù)，得到關(guān)于是等差數(shù)列；進(jìn)而求得的通項(xiàng)公式即可求出項(xiàng)數(shù)．詳解】
由已知得，所以是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，
所以，所以，令，解得
【變式演練】
1.數(shù)列滿足：，且 ，則數(shù)列的通項(xiàng)公式是=_____．
【答案】
【詳解】
原等式可化簡(jiǎn)為：，所以數(shù)列為以3為首項(xiàng)，2公差的等差數(shù)列，
則，所以.
2.已知在數(shù)列中，，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為______.
【答案】
【詳解】由題意，，取倒數(shù)得，即，
又，所以，數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，故，
所以.故答案為：.
3.已知數(shù)列滿足．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,用數(shù)學(xué)歸納法證明:.
【答案】（1）.（2）答案見解析
【詳解】（1）,
是首項(xiàng)為,公差為的等差數(shù)列．
【題型八】構(gòu)造二階等差數(shù)列
【典例分析】
數(shù)列滿足：，且，則數(shù)列的前項(xiàng)和__________.
【答案】
【解析】∵∴，即
∴是以3為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列∴∴數(shù)列的前項(xiàng)和
【變式演練】
1.數(shù)列滿足，（），則__________．
【答案】
【解析】數(shù)列滿足，，變形得到
則。
2.數(shù)列{an}中，，，則
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由題意可得：，即：，
據(jù)此可得，數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，
故：.本題選擇A選項(xiàng).
3.如果數(shù)列滿足，，且，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【詳解】
由化簡(jiǎn)得，
所以數(shù)列是等差數(shù)列，首項(xiàng)為，公差.
所以.故答案為：B
【題型九】 前n項(xiàng)積型
【典例分析】
已知數(shù)列的前項(xiàng)積為，若對(duì)，，都有成立，且，，則數(shù)列的前10項(xiàng)和為____．
【答案】1023
【分析】把化成，結(jié)合可知為等比數(shù)列，從而可求其通項(xiàng)與其前項(xiàng)和.
【詳解】因?yàn)椋始矗ǎ?br>所以為等比數(shù)列，故，所以，填.
【變式演練】
1.若數(shù)列的前n項(xiàng)的積為，則_____________.
【答案】
【詳解】設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)積為，則.當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，.滿足.綜上所述，.故答案為：
2.設(shè)等比數(shù)列的公比為q，其前n項(xiàng)和為，前n項(xiàng)積為，并滿足條件，且，，下列結(jié)論正確的是（ 多選題 ）
A．B．
C．?dāng)?shù)列無最大值D．是數(shù)列中的最大值
【答案】ABD
【詳解】根據(jù)題意，等比數(shù)列的公比為q，若，
則，又由，必有，則數(shù)列各項(xiàng)均為正值，
若，必有，，則必有，依次分析選項(xiàng)：
對(duì)于A，數(shù)列各項(xiàng)均為正值，則，必有，A正確；
對(duì)于B，若，則，B正確，
對(duì)于C，根據(jù)，可知是數(shù)列中的最大項(xiàng)，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，易得D正確，故選：ABD.
3.已知各項(xiàng)均不為零的數(shù)列的前n項(xiàng)積滿足，則________，數(shù)列的前n項(xiàng)和________．
【答案】
【詳解】由，得．因?yàn)?，所以．由題意知，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，兩邊同時(shí)除以，得．因?yàn)?，所以，，所以?shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，
所以，，從而，故，所以數(shù)列的前項(xiàng)和為．
故答案為：；.
【題型十】 特殊通項(xiàng)1：“和”型求通項(xiàng)
【典例分析】
已知數(shù)列{an}滿足an＋an＋1＝(n∈N*)，a2＝2，Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則S21為 ( )
A．5 B． C．D．
【答案】B
【解析】
因?yàn)?，所?因此， ，選B.
【變式演練】
1.知數(shù)列滿足：，且a1=2，則________________．
【答案】
【詳解】∵數(shù)列{an}滿足a1=2，an+1+an=4n-3（n∈N*），∴當(dāng)n=1時(shí)，a2+a1=1，解得a2=-1．
當(dāng)n≥2時(shí)，an+2+an+1=4n+1，∴an+2﹣an=4，
∴數(shù)列{an}的奇數(shù)項(xiàng)構(gòu)成等差數(shù)列，首項(xiàng)為2，公差為4；偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成等差數(shù)列，首項(xiàng)為-1，公差為4．
∴a2k﹣1=2+4（k﹣1）=4k﹣2，即n為奇數(shù)時(shí)：an=2n．
a2k=-1+4（k﹣1）=4k-5，即n為偶數(shù)時(shí)：an=2n-5．∴．
2.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，且，則
A．－5B．－10C．12D．16
【答案】C
【詳解】由題意可得：，，
兩式作差可得：， ①
進(jìn)一步有：， ②
①-②可得：，故數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)為等差數(shù)列，且公差為4，
據(jù)此可得：，即：，解得：.故選C.
3.若數(shù)列滿足（為常數(shù)），則稱數(shù)列為等比和數(shù)列，稱為公比和，已知數(shù)列是以3為公比和的等比和數(shù)列，其中，，則______.
【答案】
解：令 ，則 ①，②，
①-②得：，即,又，所以，
所以,即，
所以
所以.故答案為
【題型十一】 特殊數(shù)列2：正負(fù)相間討論型
【典例分析】
已知數(shù)列中，，，則___________.
【答案】-9
【詳解】當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，
故
故答案為:-9
【變式演練】
1.已知數(shù)列滿足，則___________.
【答案】5050
【分析】
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，左右分別相加得：
，
，，
.故答案為：5050
2.數(shù)列滿足，前16項(xiàng)和為540，則 .
【答案】7
【思路分析】在已知數(shù)列遞推式中，分別取為奇數(shù)與偶數(shù)，可得與，利用累加法得到為奇數(shù)時(shí)與的關(guān)系，求出偶數(shù)項(xiàng)的和，然后列式求解．
【解析】：由，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，有，
可得，，累加可得
；
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，
可得，，，．
可得．．
，
，即．故答案為：7．
3.已知數(shù)列滿足，則的前40項(xiàng)和為__________．
【答案】
【詳解】∵，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),
該數(shù)列前項(xiàng)和為．
【題型十二】 特殊數(shù)列3：奇偶討論型
【典例分析】
已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，則
A．200B．210C．400D．410
【答案】B
【分析】
首先利用遞推關(guān)系式求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)一步利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式的應(yīng)用求出結(jié)果．
【詳解】
由題，，又因?yàn)?br>所以當(dāng)時(shí)，可解的
當(dāng)時(shí)，，與相減得
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，數(shù)列是以為首相，為公差的等差數(shù)列，
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，數(shù)列是以為首相，為公差的等差數(shù)列，
所以當(dāng)為正整數(shù)時(shí)，，
則。故選B.
【變式演練】
1.已知數(shù)列的首項(xiàng)，且滿足，則=________．
【答案】512
【分析】利用已知將n換為n+1，再寫一個(gè)式子，與已知作比，得到數(shù)列的各個(gè)偶數(shù)項(xiàng)成等比，公比為2，再求得，最后利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．
【詳解】∵anan+1=2n，（）∴an+1an+2=2n+2．（）
∴,（），∴數(shù)列的各個(gè)奇數(shù)項(xiàng)成等比，公比為2，
數(shù)列的各個(gè)偶數(shù)項(xiàng)成等比，公比為2，
又∵anan+1=2n，（），∴a1a2=2,又，∴，
可得：當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，∴a20＝1?29＝512．故答案為512．
2.在數(shù)列中，，，則下列結(jié)論成立的是（ ）
A．存在正整數(shù)，使得為常數(shù)列
B．存在正整數(shù)，使得為單調(diào)數(shù)列
C．對(duì)任意的正整數(shù)，集合為有限集
D．存在正整數(shù)，使得任意的、，當(dāng)時(shí)，
【答案】C
【分析】
對(duì)分奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況討論，根據(jù)是否有解可判斷A選項(xiàng)的正誤；對(duì)分奇數(shù)和偶數(shù)，結(jié)合遞推公式，說明兩種情況下數(shù)列的單調(diào)性，進(jìn)行推理，進(jìn)而判斷B選項(xiàng)的正誤；設(shè)，利用數(shù)學(xué)歸納法證明出數(shù)列有界，進(jìn)而可判斷C選項(xiàng)的正誤；由列有界可判斷D選項(xiàng)的正誤.綜合可得出結(jié)論.
【詳解】
對(duì)于A，若為偶數(shù)時(shí)，，不符題意，
若為奇數(shù)時(shí)，無解，故A錯(cuò)；
對(duì)于B，若為偶數(shù)，，，若為單調(diào)數(shù)列，即為遞減數(shù)列，
而，可以為奇數(shù)，此時(shí)，，不滿足遞減數(shù)列.
若為奇數(shù)，，，若為單調(diào)數(shù)列即為遞增數(shù)列，
而，，不滿足遞增數(shù)列，故B錯(cuò)；
對(duì)于C，，
不妨令（其中是一個(gè)給定的正整數(shù)），記，
①若為奇數(shù)，當(dāng)、時(shí)，成立，
為偶數(shù)，成立，
假設(shè)當(dāng)時(shí)，若是奇數(shù)，則，若是偶數(shù)，則，
那么時(shí)，若是奇數(shù)，則是偶數(shù)，；
若是偶數(shù)，則，
若此時(shí)是奇數(shù)，則滿足，若是偶數(shù)，則滿足，即時(shí)結(jié)論成立；
②若為偶數(shù)，當(dāng)、時(shí)，成立，成立.
假設(shè)當(dāng)時(shí)，若是奇數(shù)，則，若是偶數(shù)，則，
那么時(shí)，若是奇數(shù)，則是偶數(shù)，；
若是偶數(shù)，則，
若此時(shí)是奇數(shù)，則滿足，若是偶數(shù)，則滿足，即時(shí)結(jié)論成立.
綜上，對(duì)任意的正整數(shù)，若為奇數(shù)，則，若為偶數(shù)，則，
所以，對(duì)任意的正整數(shù)，集合為有限集，故C對(duì)；
對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，即各項(xiàng)的數(shù)值各不相同，
則當(dāng)，集合有無窮多個(gè)元素，這與有上界矛盾，故不符合，故D錯(cuò).
故選：C．
3.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，an≠0，a1＝1，且2anan＋1＝4Sn－3(n∈N*)．
(1)求a2的值并證明：an＋2－an＝2；
(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．
【答案】（1）詳見解析；（2）an＝.
試題解析：(1)令n＝1得2a1a2＝4S1－3，又a1＝1，∴a2＝.2anan＋1＝4Sn－3，①2an＋1an＋2＝4Sn＋1－3.②
②－①得，2an＋1(an＋2－an)＝4an＋1.∵an≠0，∴an＋2－an＝2.
(2)由(1)可知：數(shù)列a1，a3，a5，…，a2k－1，…為等差數(shù)列，公差為2，首項(xiàng)為1，
∴a2k－1＝1＋2(k－1)＝2k－1，即n為奇數(shù)時(shí)，an＝n.數(shù)列a2，a4，a6，…，a2k，…為等差數(shù)列，公差為2，首項(xiàng)為，
∴a2k＝＋2(k－1)＝2k－，即n為偶數(shù)時(shí)，an＝n－.綜上所述，an＝.
【題型十三】 特殊數(shù)列4：“求和公式換元”型
【典例分析】
已知數(shù)列滿足.求數(shù)列的通項(xiàng)公式.
【答案】
【分析】
由求出，當(dāng)時(shí)，得出，并與相減，得出，代入，驗(yàn)證是否等于，即可得出數(shù)列的通項(xiàng)公式.
【詳解】
由題意，知當(dāng)時(shí)，。因?yàn)棰伲?br>所以當(dāng)時(shí)，②
①－②得，即，易知時(shí)，滿足上式，
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為
【變式演練】
1.若數(shù)列滿足,,則______ ．
【答案】
【分析】
利用遞推公式再遞推一步,得到一個(gè)新的等式,兩個(gè)等式相減,再利用累乘法可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式,利用所求的通項(xiàng)公式可以求出的值.
【詳解】
得, ,
所以有,因此.
故答案為：
2.已知數(shù)列滿足，，則_________________．
【答案】
【分析】
首先求得的值，然后結(jié)合遞推關(guān)系式求解時(shí)的通項(xiàng)公式即可確定數(shù)列的通項(xiàng)公式.
【詳解】
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，由題意可得：
，
，
兩式作差可得：，故，
綜上可得：.
3.在數(shù)列中，, 則數(shù)列的通項(xiàng)公式_____．
【答案】
【解析】
【分析】
利用數(shù)列的遞推關(guān)系式，求出相鄰兩項(xiàng)的關(guān)系式，得出數(shù)列從第二項(xiàng)起是以2為首項(xiàng)，3為公比等比數(shù)列，即可求解.
【詳解】
由題意知，數(shù)列滿足，
所以
兩式相減可得，即，
令時(shí)，，所以，
所以數(shù)列從第二項(xiàng)起構(gòu)成以2為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，
所以，所以
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.
【題型十四】 特殊數(shù)列5：因式分解型求通項(xiàng)
【典例分析】
已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和滿足=,
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
【答案】（1）；
試題解析：(1)解關(guān)于的方程=可得或(舍去),
==.
【變式演練】
1.設(shè)是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，且，則____，_____.
【答案】
【分析】由條件可得，可得，再由遞推即可得到所求通項(xiàng)．
解：是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，且，
可得，
即有，
由是的正項(xiàng)數(shù)列可得，則
可得，．故答案為(1). (2).
2.已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且滿足.
（1）求，及的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【答案】（1）；.；（2）
【分析】（1）根據(jù)題意，知，且，令和即可求出，，以及運(yùn)用遞推關(guān)系求出的通項(xiàng)公式；
（2）通過定義法證明出是首項(xiàng)為8，公比為4的等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式，即可求得的前項(xiàng)和.
【詳解】
解：（1）由題可知，，且，
當(dāng)時(shí)，，則，
當(dāng)時(shí)，，，
由已知可得，且，
∴的通項(xiàng)公式：.
【題型十五】 特殊數(shù)列6：其他幾類特殊數(shù)列求通項(xiàng)
【典例分析】
已知正項(xiàng)數(shù)列滿足，.
（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；
（2）證明：.
【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.
【分析】
（1）將題干中的等式因式分解后得出，由此得出，再利用定義證明出數(shù)列為等比數(shù)列；
（2）求出，利用放縮法得出，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式可證明出結(jié)論成立.
【詳解】
（1），.
，，，即，
則有且，
【變式演練】
1.在數(shù)列中，，，.
（1）證明為等比數(shù)列；
（2）求.
【答案】（1）證明見解析；（2）.
【分析】（1）由，構(gòu)造出的關(guān)系，然后利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解.
（2）由（1）得，利用累加法求解通項(xiàng)即可
【詳解】
解：（1）由得
，
又，所以是以1為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列.
（2）由（1）得，所以，.
所以時(shí)，
..
因此，.
當(dāng)時(shí)，也滿足上式，故.
2.已知和滿足，，，．
（1）證明：是等比數(shù)列，是等差數(shù)列；
（2）求和的通項(xiàng)公式；
【答案】（1）證明見解析（2），
【分析】
（1）由，兩式相加減即可證明
（2）由（1）解方程組得和的通項(xiàng)公式
（3）利用錯(cuò)位相減求得，結(jié)合數(shù)列單調(diào)性即可證明
【詳解】
（1）（其中），①
（其中），②
由①與②相加得，
即（其中），又，故是以1為首項(xiàng)為公比的等比數(shù)列
由①與②相減得，
即（其中），又，
則數(shù)列是以1為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列．
（2）由（1）知，（其中），③
（其中），④
得，，
即，（），
3.設(shè)正數(shù)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，試求，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論.
【答案】；證明見解析
【分析】
根據(jù)，分別求出時(shí)，，，猜想；，利用數(shù)學(xué)歸納法的證明規(guī)則及遞推公式，即可證明.
【詳解】
解：當(dāng)時(shí)，由，得，
當(dāng)時(shí)，由，得，
當(dāng)時(shí)，由，得，
……
猜想：.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明.
證明：(1)當(dāng)時(shí)，已證；
(2)假設(shè)時(shí)，成立；
則時(shí)，， ，
，
即，
解得，
∴當(dāng)時(shí)也成立，
由(1)，(2)可得，對(duì)，總有成立.
【題型十六】 壓軸小題
【典例分析】
1.已如數(shù)列，，且，則_____，______.
【答案】
【詳解】由，可得，，兩式相除可得，所以時(shí)，;,所以，所以時(shí)，，所以.
故答案為： ；
2.已知數(shù)列與滿足，且，則__________．
【答案】
【解析】
分析：令和，得，令，得①，令，得,②①-②得：，利用累加求通項(xiàng)即可.
詳解：由，當(dāng),；當(dāng),.
由，令，得：,①
令，得：,②
①-②得：.從而得：，，…….
上述個(gè)式子相加得：.
由①式可得：，得.所以.
故答案為.
3.已知數(shù)列是共有k個(gè)項(xiàng)的有限數(shù)列，且滿足，若，，，則_.
【答案】
【詳解】
由題數(shù)列是共有個(gè)項(xiàng)的有限數(shù)列，且滿足，
則 ，則
……

以上 各式子同向相加，將代入可得
（舍）.故答案為50.
4.已知數(shù)列滿足，且，則__________.

【答案】
【解析】
由遞推關(guān)系可得：，則：
，即，
據(jù)此可得，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，
故，則，
據(jù)此可得，數(shù)列的通項(xiàng)公式為.
5.已知數(shù)列滿足，且，則數(shù)列的通項(xiàng)公式__________．
【答案】
【解析】
∵
兩邊同除以，得：，
整理，得：即是以3為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列.
,即.
【課后練習(xí)】
1.在數(shù)列{an}中，a1=1，(n≥2)，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.
【答案】
解：因?yàn)閍1=1，(n≥2)，所以，
所以·…··1=.
又因?yàn)楫?dāng)n=1時(shí)，a1=1，符合上式，所以an=.
2.已知數(shù)列中，，，則該數(shù)列的通項(xiàng)_______.

【答案】
【詳解】,在等式兩邊同時(shí)除以，得，
，,,,
,累加得：，
故答案為：
3.已知數(shù)列中，，，則（ ）
A．3B．C．D．
【答案】C
【詳解】∵，，
∴，，，，
4.已知數(shù)列{an}中，，．
（1）若，證明：數(shù)列{bn}是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（3）若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn．

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）
試題解析：（1）
又所以，
，又所以數(shù)列是以為首項(xiàng)為公比的等比數(shù)列．
5.已知數(shù)列滿足，，則__________．

【答案】
詳解： ∵，∴，即，又，
∴數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，∴，∴，
故．
6.已知數(shù)列中，且，則__________．
【答案】
【解析】
7.若是正項(xiàng)遞增等比數(shù)列，表示其前n項(xiàng)之積，且，則當(dāng)取最小值時(shí)，n的值為_________.
【答案】15.
【解析】試題分析：，所以因此當(dāng)取最小值時(shí)，n的值為15.
8.數(shù)列滿足，則的前項(xiàng)和為
【解析】的前項(xiàng)和為
可證明：

9.已知數(shù)列滿足，則的通項(xiàng)公式______．
【答案】．
【解析】
【分析】
利用已知條件，通過代換n，兩式作差，求解即可．
【詳解】
當(dāng)時(shí)，由，得；
當(dāng)時(shí)，由，
可得，
兩式相減得，，故．
故答案為：．
10.數(shù)列,滿足,且,.
(1)證明:為等比數(shù)列;
(2)求,的通項(xiàng).
【答案】（1）證明見解析；（2），
【分析】
（1）由，可得，，代入，化簡(jiǎn)整理可得，即可得證.
（2）由（1）可得：，化為：，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得，進(jìn)而得到.
【詳解】
（1）證明：由，可得：，
，代入，
可得：，
化為：，
，
為等比數(shù)列，首項(xiàng)為-14，公比為3.
（2）由（1）可得：，
化為：，
數(shù)列是等比數(shù)列，首項(xiàng)為16，公比為2.
，
可得：，
.
11.已知數(shù)列滿足,,,.
(1)證明:數(shù)列是等比數(shù)列;
(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
【答案】(1)證明見解析;(2);(3)證明見解析.
【分析】
由，得，即可得到本題答案；（2）由，得，即可得到本題答案；
【詳解】(1)因?yàn)椋裕?br>因?yàn)?，所以，所以?shù)列是等比數(shù)列；
(2)因?yàn)椋?，所以?br>又因?yàn)?，所以，所以是以為首?xiàng)，
為公比的等比數(shù)列，所以，所以

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第37講 等比數(shù)列的前n項(xiàng)和 第38講 數(shù)列通項(xiàng)公式題型全歸納-2023屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)經(jīng)典結(jié)論微專題

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