2024年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)全套培優(yōu)微專題高考重難點(diǎn)題型歸納32講第25講圓錐小題壓軸九類(原卷版+解析)-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

【題型一】第一定義及其應(yīng)用
【典例分析】已知橢圓，F(xiàn)1，F(xiàn)2為其焦點(diǎn)，平面內(nèi)一點(diǎn)P滿足PF2⊥F1F2，且，線段PF1，PF2分別交橢圓于點(diǎn)A，B，若，則=___
【變式演練】
1．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，過且垂直于軸的直線與該雙曲線的左支交于，兩點(diǎn)，，分別交軸于，兩點(diǎn)，若的周長為16，則的最大值為______.
2．已知拋物線的焦點(diǎn)為，直線與交于，兩點(diǎn)，，線段的中點(diǎn)為，過點(diǎn)作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足為，則的最小值為____．
3．設(shè)分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，為橢圓上任一點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的最大值為___．
【題型二】第二定義及應(yīng)用
【典例分析】已知雙曲線C:x2a2+y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2，O為坐標(biāo)原點(diǎn).P是雙曲線在第一象限上的點(diǎn)，直線PO,PF2分別交雙曲線C左、右支于另一點(diǎn)M,N.若|PF1|=2|PF2|，且∠MF2N=60°，則C的離心率為__．
【變式演練】
1.如圖，橢圓，圓，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，過橢圓上一點(diǎn)和原點(diǎn)作直線交圓于兩點(diǎn)，若，則的值為__________.
2.過拋物線的焦點(diǎn)作直線交拋物線于兩點(diǎn)，若則= 。
3.設(shè)F1，F(xiàn)2為雙曲線的左右焦點(diǎn)，P為雙曲線右支上任一點(diǎn)，當(dāng)最小值為8a時，該雙曲線離心率e的取值范圍是．
【題型三】第三定義及其應(yīng)用
【典例分析】已知橢圓的右焦點(diǎn)為,且離心率為，?ABC的三個頂點(diǎn)都在橢圓上，設(shè)?ABC三條邊的中點(diǎn)分別為，且三條邊所在直線的斜率分別為，且均不為0.為坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線的斜率之和為1.則__________．
【變式演練】
1.設(shè)雙曲線的左，右頂點(diǎn)為是雙曲線上不同于的一點(diǎn)，設(shè)直線的斜率分別為，則當(dāng)取得最小值時，雙曲線C的離心率為
A.B.C.D.
2.已知平行四邊形內(nèi)接于橢圓，且，斜率之積的范圍為，則橢圓離心率的取值范圍是（）
A.B.C.D.
3.在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，、是雙曲線上的兩個動點(diǎn)，動點(diǎn)滿足，直線與直線斜率之積為2，已知平面內(nèi)存在兩定點(diǎn)、，使得為定值，則該定值為________
【題型四】焦點(diǎn)三角形與離心率
【典例分析】
已知，分別是雙曲線的左，右焦點(diǎn)，是雙曲線上在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，若且.延長交雙曲線右支于點(diǎn)，則的面積等于________．
【變式演練】
1.點(diǎn)是橢圓上的點(diǎn)，以為圓心的圓與軸相切于橢圓的焦點(diǎn)，圓與軸相交于，若是鈍角三角形，則橢圓離心率的取值范圍是________．
2.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，是右支上的一點(diǎn)，是的延長線上一點(diǎn)，且，若，則的離心率的取值范圍是______________．
3.設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，與拋物線的準(zhǔn)線相交于點(diǎn)，，則與的面積之比__________．
【題型五】定比分點(diǎn)
【典例分析】已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在橢圓上，且，則當(dāng)時，橢圓的離心率的取值范圍為______．
【變式演練】
1.設(shè)雙曲線：的右焦點(diǎn)為，過且斜率為的直線交于、兩點(diǎn)，若，則的離心率為__________．
2.拋物線y2=4x，直線l經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)F，與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，若BA=4BF，則△OAB（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積為______．
3.直線過橢圓：（a＞0，b＞0）的左焦點(diǎn)F和上頂點(diǎn)A，與圓心在原點(diǎn)的圓交于P，Q兩點(diǎn)，若，∠POQ=120°，則橢圓離心率為（）
A．B．C．D．
【題型六】焦點(diǎn)三角形與四心
【典例分析】已知是拋物線的焦點(diǎn)，，在拋物線上，且的重心坐標(biāo)為，則____．
【變式演練】
1..已知點(diǎn)P為雙曲線x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)右支上的一點(diǎn)，點(diǎn)F1,F2分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，雙曲線的一條漸近線的斜率為7，若M為ΔPF1F2的內(nèi)心，且SΔPMF1=SΔPMF2+λSΔMF1F2，則λ的值為．
2.橢圓+=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，弦AB過點(diǎn)F1，若△ABF2的內(nèi)切圓周長為π，A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（x1，y1），（x2，y2），則|y1﹣y2|= ．
3.點(diǎn)、分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線上，則的內(nèi)切圓半徑的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【題型七】共焦點(diǎn)的橢圓雙曲線性質(zhì)
【典例分析】
橢圓與雙曲線共焦點(diǎn)、，它們的交點(diǎn)對兩公共焦點(diǎn)、的張角為，橢圓與雙曲線的離心率分別為、，則（）
A．B．C．D．
【變式演練】
1.已知是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)，是它們的一個公共點(diǎn)，且，橢圓的離心率為，雙曲線的離心率，則_______.
2.已知，是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)，是它們的一個公共點(diǎn)，且，記橢圓和雙曲線的離心率分別為，，則的最大值為（）
A．B．C．D．
3.已知，是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)，是它們的一個公共點(diǎn)，且，則橢圓和雙曲線的離心率之積的范圍是（）
A．B．C．D．
【題型八】切線與切點(diǎn)弦
【典例分析】
過點(diǎn)M(2，－2p)作拋物線x2＝2py(p>0)的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，若線段AB的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為6，則p的值是________．
【變式演練】
1.兩個長軸在軸上、中心在坐標(biāo)原點(diǎn)且離心率相同的橢圓．若，分別為外層橢圓的左頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，分別向內(nèi)層橢圓作切線，，切點(diǎn)分別為，，且兩切線斜率之積等于，則橢圓的離心率為（）
A．B．C．D．
2.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，過作圓的切線，交雙曲線右支于點(diǎn)M，若，則雙曲線的漸近線方程為（）
A．B．C．D．
3.過拋物線C:x2=4y的焦點(diǎn)F的直線l交C于A,B兩點(diǎn)，在點(diǎn)A處的切線與x,y軸分別交于點(diǎn)M,N，若ΔMON的面積為12，則|AF|=_________________。
【題型九】多曲線
【典例分析】
已知點(diǎn)是拋物線的對稱軸與準(zhǔn)線的交點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上且滿足，若取最大值時，點(diǎn)恰好在以為焦點(diǎn)的雙曲線上，則雙曲線的離心率為( )
A.B.C.D.
【變式演練】
1.已知點(diǎn)是拋物線：與橢圓：的公共焦點(diǎn)，是橢圓的另一焦點(diǎn)，P是拋物線上的動點(diǎn)，當(dāng)取得最小值時，點(diǎn)P恰好在橢圓上，則橢圓的離心率為_______.
2.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，其中也是拋物線的焦點(diǎn)，與在一象限的公共點(diǎn)為，若直線斜率為，則雙曲線離心率為______．
3.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，拋物線的焦點(diǎn)與重合，若點(diǎn)為橢圓和拋物線的一個公共點(diǎn)且，則橢圓的離心率為_____．
【課后練習(xí)】
1．如圖，過拋物線的焦點(diǎn)作兩條互相垂直的弦、，若與面積之和的最小值為16，則拋物線的方程為______.
2．已知雙曲線x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦點(diǎn)分別為F1,F2，過點(diǎn)F1且垂直于x軸的直線與該雙曲線的左支交于A,B兩點(diǎn)，AF2,BF2分別交y軸于P,Q兩點(diǎn)，若ΔPQF2的周長為12，則ab取得最大值時該雙曲線的離心率為（）
A．2 B．3 C．233 D．322
3.橢圓的一個焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，點(diǎn)C是點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn).若，，則橢圓的離心率為__________．
4.已知兩定點(diǎn)A（－1，0）和B（1，0）,動點(diǎn)在直線上移動，橢圓C
以A，B為焦點(diǎn)且經(jīng)過點(diǎn)P，則橢圓C的離心率的最大值為．
5.已知雙曲線x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)上一點(diǎn)C，過雙曲線中心的直線交雙曲線于A、B兩點(diǎn)．設(shè)直線AC、BC的斜率分別為k1、k2，當(dāng)2k1k2+lnk1+lnk2最小時，雙曲線的離心率為________________．
6.設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，與拋物線的準(zhǔn)線相交于點(diǎn)，，則與的面積之比__________．
7.已知、是過拋物線（）的焦點(diǎn)的直線與拋物線的交點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，且滿足，，則的值為__________．
8.已知雙曲線：的左，右頂點(diǎn)分別為，，點(diǎn)為雙曲線
的左焦點(diǎn)，過點(diǎn)作垂直于軸的直線與雙曲線交于點(diǎn)，，其中點(diǎn)在第二象限，連接
交軸于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為_______.
9.設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，為拋物線上第一象限內(nèi)一點(diǎn)，滿足，已知為拋物線準(zhǔn)線上任一點(diǎn)，當(dāng)取得最小值時，的外接圓半徑為______.
10.在等腰梯形中，，且，其中，以為焦點(diǎn)且過點(diǎn)的雙曲線的離心率為，以為焦點(diǎn)且過點(diǎn)的橢圓的離心率為，若對任意，不等式恒成立，則的最大值是（）
A． B． C．2 D．
11.過拋物線的焦點(diǎn)，且斜率為的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，則____________．
12.畫法幾何的創(chuàng)始人——法國數(shù)學(xué)家加斯帕爾·蒙日發(fā)現(xiàn)：與橢圓相切的兩條垂直切線的交點(diǎn)的軌跡是以橢圓中心為圓心的圓.我們通常把這個圓稱為該橢圓的蒙日圓.已知橢圓的蒙日圓方程為，橢圓的離心率為，為蒙日圓上一個動點(diǎn)，過點(diǎn)作橢圓的兩條切線，與蒙日圓分別交于、兩點(diǎn)，則面積的最大值為（）
A．B．C．D．
13.己知點(diǎn)A是拋物線的對稱軸與準(zhǔn)線的交點(diǎn)，點(diǎn)B為拋物線的焦點(diǎn)，P在拋物線上且滿足，當(dāng)取最大值時，點(diǎn)P恰好在以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線上，則雙曲線的離心率為
A．B．C．D．
第25講圓錐小題壓軸9類
【題型一】第一定義及其應(yīng)用
【典例分析】已知橢圓，F(xiàn)1，F(xiàn)2為其焦點(diǎn)，平面內(nèi)一點(diǎn)P滿足PF2⊥F1F2，且，線段PF1，PF2分別交橢圓于點(diǎn)A，B，若，則=___
【答案】
【詳解】如圖所示，由橢圓的方程可知，，又由，且，所以為等腰直角三角形，又由，所以點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，則，且，在等腰直角中，因?yàn)?，可得?br>又由橢圓的定義可知，即，即，又由，所以，又因?yàn)?，所以直線的方程為，聯(lián)立方程組，解得，即，所以。
【提分秘籍】
1．三大曲線第一定義
橢圓第一定義：
雙曲線第一定義：
拋物線定義：
2．解題思路
試題中，如果是橢圓和雙曲線，則到一個焦點(diǎn)距離，可轉(zhuǎn)化為到另一個焦點(diǎn)距離．
【變式演練】
1．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，過且垂直于軸的直線與該雙曲線的左支交于，兩點(diǎn)，，分別交軸于，兩點(diǎn)，若的周長為16，則的最大值為______.
【答案】4
【詳解】如圖：
由的周長為16，所以的周長為32，AB是雙曲線的通徑，，
，可得，可得則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，故填.
2．已知拋物線的焦點(diǎn)為，直線與交于，兩點(diǎn)，，線段的中點(diǎn)為，過點(diǎn)作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足為，則的最小值為____．
【答案】
【解析】
如圖所示，設(shè)拋物線的準(zhǔn)線L,做AQL，于點(diǎn)Q，BPL于點(diǎn)P，拋物線定義可設(shè)：|AF|=|AQ|=a，|BF|=|BP|=b。由勾股定理可知，，由梯形的中位線的性質(zhì)可知，
，則：，當(dāng)且解答a=b時等號成立，所以最小值為
3．設(shè)分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，為橢圓上任一點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的最大值為___．
【答案】15.
【詳解】由橢圓方程可得：a=5,b=4,c=3.∴F1(?3,0),F2(3,0)，如圖所示，
由橢圓的定義可得：|PF1|+|PF2|=2a=10，∴|PM|+|PF1|=|PM|+2a?|PF2|=10+(|PM|?|PF2|)?10+|MF2|==15，
則|PM|+|PF1|的最大值為15.故答案為：15.
【題型二】第二定義及應(yīng)用
【典例分析】已知雙曲線C:x2a2+y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2，O為坐標(biāo)原點(diǎn).P是雙曲線在第一象限上的點(diǎn)，直線PO,PF2分別交雙曲線C左、右支于另一點(diǎn)M,N.若|PF1|=2|PF2|，且∠MF2N=60°，則C的離心率為__．
【答案】3
【解析】設(shè)P(t,y)，則由雙曲線的定義可得PF1=4a,PF2=2a，又PF1=et+a,PF2=et?a，故t=3ae，依據(jù)雙曲線的對稱性可得MF2=PF1=4a,PF2=2a,∠MF2P=120°，故在ΔMF2P中運(yùn)用余弦定理可得MP=4a2+16a2?2×2a×4a(?12)=28a2=27a，又P(t,y)在雙曲線上，故y2=b2(9e2?1)，則MP=2t2+y2=29a2?b2，所以29a2?b2=27a，即2a2=b2，也即2a2=c2?a2?e=3，應(yīng)填答案3。
【提分秘籍】
橢圓雙曲線曲線第二定義：
平面上到定點(diǎn)F的距離與到定直線的距離之比為常數(shù)e，即
2．焦半徑公式：
橢圓焦半徑：
雙曲線焦半徑：．，
拋物線焦半徑：
3．焦半徑范圍
橢圓焦半徑范圍：
雙曲線焦半徑范圍：．
拋物線焦半徑范圍：
4.解題技巧：
焦半徑角度公式。其中，為焦半徑與焦點(diǎn)軸所成的角。p為焦點(diǎn)到對應(yīng)準(zhǔn)線的距離
橢圓焦半徑夾角公式：
雙曲線焦半徑左焦點(diǎn)夾角公式：．，
拋物線焦半徑夾角公式：
【變式演練】
1.如圖，橢圓，圓，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，過橢圓上一點(diǎn)和原點(diǎn)作直線交圓于兩點(diǎn)，若，則的值為__________.
【答案】8
【詳解】設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo),因?yàn)镻在橢圓上，所以，則，
因?yàn)椋?，又，則，
由對稱性得=
.
2.過拋物線的焦點(diǎn)作直線交拋物線于兩點(diǎn)，若則= 。
【解析】
設(shè)
3.設(shè)F1，F(xiàn)2為雙曲線的左右焦點(diǎn)，P為雙曲線右支上任一點(diǎn)，當(dāng)最小值為8a時，該雙曲線離心率e的取值范圍是．
【答案】（1，3]
【解析】由定義知：|PF2|﹣|PF1|=2a，∴|PF2|=2a+|PF1|，∴=．當(dāng)且僅當(dāng)，即||PF1|=2a時取得等號．
設(shè)P（x0，y0），（x0≤﹣a）依焦半徑公式得：|PF1|=﹣e×x0﹣a=2a，∴又∵e＞1，故e∈（1，3]
答案：（1，3]．
【題型三】第三定義及其應(yīng)用
【典例分析】已知橢圓的右焦點(diǎn)為,且離心率為，的三個頂點(diǎn)都在橢圓上，設(shè)三條邊的中點(diǎn)分別為，且三條邊所在直線的斜率分別為，且均不為0.為坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線的斜率之和為1.則__________．
【答案】
【解析】由題意可得，所以，設(shè)
，兩式作差得，則，，同理可得，所以，填。
【提分秘籍】
第三定義，又叫中點(diǎn)弦定理
（1）AB是橢圓的不平行于對稱軸的弦，M為AB的中點(diǎn)，則.
（2） AB是雙曲線的不平行于對稱軸的弦，M為AB的中點(diǎn)，則.
（3）AB是拋物線的不平行于對稱軸的弦，M為AB的中點(diǎn)，則
2．?dāng)U展推論
（1）AB是橢圓的關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)，M橢圓上異于A、B的任一點(diǎn)，若斜率存在，則
（2）AB是橢圓的關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)，M橢圓上異于A、B的任一點(diǎn)，若斜率存在，則
【變式演練】
1.設(shè)雙曲線的左，右頂點(diǎn)為是雙曲線上不同于的一點(diǎn)，設(shè)直線的斜率分別為，則當(dāng)取得最小值時，雙曲線C的離心率為
A.B.C.D.
【答案】D
【詳解】設(shè)，由雙曲線，則，設(shè)，則，可得，則，所以，所以，設(shè)，則，則，
當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時，函數(shù)取得最小值，即當(dāng)取得最小值時，，
所以雙曲線的離心率為，故選D．
2.已知平行四邊形內(nèi)接于橢圓，且，斜率之積的范圍為，則橢圓離心率的取值范圍是（）
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】由題意，關(guān)于原點(diǎn)對稱，設(shè)，，，故選A.
3.在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，、是雙曲線上的兩個動點(diǎn)，動點(diǎn)滿足，直線與直線斜率之積為2，已知平面內(nèi)存在兩定點(diǎn)、，使得為定值，則該定值為________
【答案】
【解析】設(shè)P（x，y），M（x1，y1），N（x2，y2），則由，得（x，y）=2（x1，y1）-（x2，y2），即x=2x1-x2，y=2y1-y2，∵點(diǎn)M，N在雙曲線上，所以，，
故2x2-y2=（8x12+2x22-8x1x2）-（4y12+y22-4y1y2）=20-4（2x1x2-y1y2），設(shè)k0M，kON分別為直線OM，ON的斜率，根據(jù)題意可知k0MkON=2，∴y1y2-2 x1x2=0，∴2x2-y2=20，所以P在雙曲線2x2-y2=20上；
設(shè)該雙曲線的左，右焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，由雙曲線的定義可推斷出為定值，該定值為
【題型四】焦點(diǎn)三角形與離心率
【典例分析】
已知，分別是雙曲線的左，右焦點(diǎn)，是雙曲線上在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，若且.延長交雙曲線右支于點(diǎn)，則的面積等于________．
【答案】4
【詳解】由題意知，根據(jù)雙曲線定義，所以，，所以.由圖知，所以，為等腰三角形，又因?yàn)?，所以，則為等腰直角三角形，所以.所以.
【提分秘籍】
1．焦點(diǎn)三角形
（1）焦點(diǎn)三角形面積
橢圓：
雙曲線：
AB為過拋物線y2=2px焦點(diǎn)的弦，
2．頂角
（1）．橢圓頂角在短軸頂點(diǎn)處最大。
（2）雙曲線頂角無最大最小
3．與余弦定理結(jié)合
(1)設(shè)橢圓（a＞0,b＞0）的兩個焦點(diǎn)為F1、F2,P（異于長軸端點(diǎn)）為雙曲線上任意一點(diǎn)，在△PF1F2中，記, ,，則有.
(2)設(shè)雙曲線（a＞0,b＞0）的兩個焦點(diǎn)為F1、F2,P（異于長軸端點(diǎn)）為雙曲線上任意一點(diǎn)，在△PF1F2中，記, ,，則有.
【變式演練】
1.點(diǎn)是橢圓上的點(diǎn)，以為圓心的圓與軸相切于橢圓的焦點(diǎn)，圓與軸相交于，若是鈍角三角形，則橢圓離心率的取值范圍是________．
【答案】.
【詳解】∵圓M與軸相切于焦點(diǎn)F，∴不妨設(shè)M(c,y),則(因?yàn)橄嗲?則圓心與F的連線必垂直于x軸)M在橢圓上,則或(a2=b2+c2)，∴圓的半徑為，過M作MN⊥y軸與N,則PN=NQ,MN=c，
PN,NQ均為半徑,則△PQM為等腰三角形，∴PN=NQ=，∵∠PMQ為鈍角,則∠PMN=∠QMN>45°，
即PN=NQ>MN=c所以得,即，得，a2?2c2+c2e2>2c2，
，e4?4e2+1>0(e2?2)2?3>0e2?2

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