（1）求拋物線的方程；
（2）設(shè)不經(jīng)過原點(diǎn)的直線與拋物線交于?兩點(diǎn)，設(shè)直線?的傾斜角分別為和，證明：當(dāng)時(shí)，直線恒過定點(diǎn).
2．已知點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)滿足．記點(diǎn)的軌跡為曲線．
（1）求的方程；
（2）設(shè)為直線上的動(dòng)點(diǎn)，過作的兩條切線，切點(diǎn)分別是，．證明：直線過定點(diǎn)．
3．設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，已知直線：，圓：.
（1）設(shè)直線與圓的交點(diǎn)分別為，，求當(dāng)取得最小值時(shí)，直線的方程；
（2）若拋物線過圓的圓心，直線，過同一定點(diǎn)且與拋物線相交于，和，點(diǎn)，，設(shè)是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，證明：直線恒過定點(diǎn).
4．已知拋物線的焦點(diǎn)是橢圓的一個(gè)頂點(diǎn).
（1）求拋物線的方程；
（2）若點(diǎn)，、為拋物線上的不同兩點(diǎn)，且，問：直線是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由.
5．在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線被拋物線截得的弦長(zhǎng)為，直線與拋物線相交于點(diǎn)，，點(diǎn)，且直線，的斜率之和為4.
（1）求拋物線的方程；
（2）求證：直線過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo).
6．已知拋物線的焦點(diǎn)為，是上一點(diǎn)，且.
（1）求拋物線的方程；
（2）設(shè)點(diǎn)是上異于點(diǎn)的一點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線交拋物線于點(diǎn)，證明：直線過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo).
7．在平面直角坐標(biāo)系中，為直線上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為為的中點(diǎn).
（1）證明軸；
（2）直線是否恒過定點(diǎn)？若是，求出這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說明理由.
8．已知點(diǎn)，，為直線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，動(dòng)點(diǎn)滿足，（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)）.
（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；
（2）若直線與軌跡相交于兩不同點(diǎn)、，如果，證明直線必過一定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).
9．平面上動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)的距離比M到直線的距離小1．
（1）求動(dòng)點(diǎn)M滿足的軌跡方程C﹔
（2）若A，B是（1）中方程C表示的曲線上的兩點(diǎn)，且（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．試問直線是否經(jīng)過定點(diǎn)，并說明理由．
10．設(shè)拋物線：（）的焦點(diǎn)為，點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)，且．
（1）求拋物線的方程；
（2）設(shè)直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，若，求證：線段的垂直平分線過定點(diǎn)．
11．已知是拋物線的焦點(diǎn)，是拋物線上一點(diǎn)，且.
（1）求拋物線的方程；
（2）已知斜率存在的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，若直線，的傾斜角互補(bǔ)，則直線是否會(huì)過某個(gè)定點(diǎn)？若是，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)，若不是，說明理由.
12．在直角坐標(biāo)系xOy中，已知一動(dòng)圓經(jīng)過點(diǎn)，且在y軸上截得的弦長(zhǎng)為6，設(shè)動(dòng)圓圓心的軌跡為曲線C．
（1）求曲線C的方程；
（2）過點(diǎn)作相互垂直的兩條直線，，直線與曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，直線與曲線C相交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，線段AB，EF的中點(diǎn)分別為M、N，求證：直線MN恒過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).
參考答案
1．（1）；（2）證明見解析.
【分析】（1）根據(jù)焦點(diǎn)，求得點(diǎn)，的坐標(biāo)，然后由求解；
（2）易知直線的斜率存在，記為，設(shè)直線，與聯(lián)立， 由，，結(jié)合，由 求解.
【解析】（1）因?yàn)榻裹c(diǎn)，
所以點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為，.
所以，
故.故拋物線的方程為.
（2）由題設(shè)，，
易知直線的斜率存在，記為，
則設(shè)直線，與聯(lián)立得，
得，，
則，
，
，
.
又知，，
，
，
解得，
所以直線，恒過定點(diǎn).
【點(diǎn)評(píng)】 定點(diǎn)問題的常見解法：①假設(shè)定點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)題意選擇參數(shù)，建立一個(gè)直線系或曲線系方程，而該方程與參數(shù)無關(guān)，故得到一個(gè)關(guān)于定點(diǎn)坐標(biāo)的方程組，以這個(gè)方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)即所求定點(diǎn)；②從特殊位置入手，找出定點(diǎn)，再證明該點(diǎn)適合題意．
2．（1）；（2）證明見解析.
【分析】（1）把已知條件用坐標(biāo)表示，并化簡(jiǎn)即得的方程；
（2）設(shè)，，，利用導(dǎo)數(shù)得出切線的方程，由在切線上，從而可得直線的方程，由直線方程可得定點(diǎn)坐標(biāo)．
【解析】（1）設(shè)，則，，
，，
所以，可以化為，
化簡(jiǎn)得．
所以，的方程為．
（2）由題設(shè)可設(shè)，，，
由題意知切線，的斜率都存在，
由，得，則，
所以，
直線的方程為，即，①
因?yàn)樵谏?，所以，即，?br>將②代入①得，
所以直線的方程為
同理可得直線的方程為．
因?yàn)樵谥本€上，所以，
又在直線上，所以，
所以直線的方程為，
故直線過定點(diǎn)．
【點(diǎn)評(píng)】 本題考查直接法求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程，考查拋物線中的直線過定點(diǎn)問題，解題方法是設(shè)出切線坐標(biāo)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義寫出切線方程，再由在切線上，根據(jù)直線方程的意義得出直線方程，然后得定點(diǎn)坐標(biāo)．
3．（1）；（2）證明見解析.
【分析】（1）先判斷直線：過定點(diǎn)，由垂徑定理表示出，當(dāng)時(shí)，當(dāng)最大時(shí)，最小，求出PQ斜率m，得到直線方程；
（2）聯(lián)立方程組表示出點(diǎn)M、N，進(jìn)而表示出直線MN的方程，利用點(diǎn)斜式方程說明直線過定點(diǎn).
【解析】 （1）由題意得直線：過定點(diǎn)，
由得.
因?yàn)椋?br>所以點(diǎn)在圓內(nèi).
設(shè)圓心到直線的距離為，，當(dāng)最大時(shí)，最小，
此時(shí)，所以，
此時(shí)直線的方程為.
（2）證明：因?yàn)閽佄锞€過圓的圓心，
所以，解得，
所以拋物線的方程為.
由直線的方程為，可得直線：，且過定點(diǎn)，
由可得直線：，
聯(lián)立，消整理得.
設(shè)點(diǎn)，，則，
所以，
則，即點(diǎn)，
同理得點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，
直線的斜率，
則直線的方程為，
即，
所以直線的方程為，
即直線恒過定點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，，，直線的方程為，也過定點(diǎn).
綜上，直線恒過定點(diǎn).
【點(diǎn)評(píng)】證明直線過定點(diǎn)，通常有兩類：
（1）直線方程整理為斜截式y(tǒng)=kx+b，過定點(diǎn)(0,b)；
（2）直線方程整理為點(diǎn)斜式y(tǒng) - y=k(x- x0)，過定點(diǎn)(x0,y0) ．
4．（1）；（2）過定點(diǎn).
【分析】（1）根據(jù)已知條件求出的值，可得出拋物線的方程；
（2）設(shè)直線的方程，設(shè)點(diǎn)、，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，由得出，代入韋達(dá)定理可得出、所滿足的關(guān)系式，由此可得出直線所過定點(diǎn)的坐標(biāo).
【解析】（1）把橢圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程是，
橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為、，
依題意，解得，所以拋物線的方程為；
（2）若直線與軸垂直，則直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，不合乎題意.
設(shè)直線的方程為，與拋物線方程聯(lián)立并化簡(jiǎn)得.
則，可得，
設(shè)、，則，.
因?yàn)椋?br>同理可得，
所以，，
所以，，
顯然且，所以，，
所以，，所以，直線的方程為，即，
因此，直線過定點(diǎn).
【點(diǎn)評(píng)】 求解直線過定點(diǎn)問題常用方法如下：
（1）“特殊探路，一般證明”：即先通過特殊情況確定定點(diǎn)，再轉(zhuǎn)化為有方向、有目的的一般性證明；
（2）“一般推理，特殊求解”：即設(shè)出定點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)題設(shè)條件選擇參數(shù)，建立一個(gè)直線系或曲線的方程，再根據(jù)參數(shù)的任意性得到一個(gè)關(guān)于定點(diǎn)坐標(biāo)的方程組，以這個(gè)方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)即為所求點(diǎn)；
（3）求證直線過定點(diǎn)，常利用直線的點(diǎn)斜式方程或截距式來證明.
5．（1）；（2）直線過定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為，證明見解析.
【分析】（1）聯(lián)立直線方程和拋物線方程，求出交點(diǎn)的坐標(biāo)后利用弦長(zhǎng)公式可求的值，從而可求拋物線的方程.
（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線方程和拋物線方程，消去后利用韋達(dá)定理化簡(jiǎn)斜率之和，從而可得，故可求定點(diǎn)坐標(biāo).我們也可以設(shè)，，用坐標(biāo)表示斜率之和，再用該兩點(diǎn)的坐標(biāo)表示直線，化簡(jiǎn)后可得直線過定點(diǎn).
【解析】（1）由解得，，
因?yàn)橹本€被拋物線截得的弦長(zhǎng)為，
所以，，解得，
所以拋物線的方程為.
（2）法一： 設(shè)直線的方程為，，，
由得，
所以，，
因?yàn)辄c(diǎn)，且直線，的斜率之和為4，
所以，而，，
化簡(jiǎn)得，
所以，即，
所以直線的方程為，
所以直線過定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為.
法二： 設(shè)，，
因?yàn)辄c(diǎn)，且直線，的斜率之和為4，
所以，即，
①當(dāng)時(shí)，直線的方程為
即，
所以直線過定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為；
②當(dāng)時(shí)，，所以，不滿足題意.
所以直線過定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為.
【點(diǎn)評(píng)】直線與拋物線的位置關(guān)系中的定點(diǎn)、定值、最值問題，一般可通過聯(lián)立方程組并消元得到關(guān)于或的一元二次方程，再把要求解的目標(biāo)代數(shù)式化為關(guān)于兩個(gè)的交點(diǎn)橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)的關(guān)系式，該關(guān)系中含有或，最后利用韋達(dá)定理把關(guān)系式轉(zhuǎn)化為若干變量的方程（或函數(shù)），從而可求定點(diǎn)、定值、最值問題，也可以設(shè)出交點(diǎn)坐標(biāo)，用交點(diǎn)坐標(biāo)表示目標(biāo)代數(shù)式，從而解決定點(diǎn)、定值、最值問題.
6．（1）；（2）證明見解析，定點(diǎn)為.
【分析】（1）根據(jù)拋物線的性質(zhì)即可得到，，解得即可；
（2）設(shè)，，，．由題意，可設(shè)直線的方程為，由根與系數(shù)的關(guān)系．得，，再根據(jù)，，三點(diǎn)共線，化簡(jiǎn)整理可得．即可求出直線過定點(diǎn)．
【解析】（1） 根據(jù)題意知，，①
因?yàn)?，所以．②?
聯(lián)立①②解的，．
所以的方程為．
（2）證明：設(shè)，，，．由題意，可設(shè)直線的方程為，代入，得．
由根與系數(shù)的關(guān)系．得，．③
由軸及點(diǎn)在直線上，得，，
則由，，三點(diǎn)共線，得，
整理，得．
將③代入上式并整理，得．
由點(diǎn)的任意性，得，所以．
即直線恒過定點(diǎn)．
【點(diǎn)評(píng)】 證明直線過定點(diǎn)，一般有兩種方法.
特殊探求，一般證明：即可以先考慮動(dòng)直線或曲線的特殊情況，找出定點(diǎn)的位置，然后證明該定點(diǎn)在該直線或該曲線上（定點(diǎn)的坐標(biāo)直線或曲線的方程后等式恒成立）.
（2）分離參數(shù)法：一般可以根據(jù)需要選定參數(shù)，結(jié)合已知條件求出直線或曲線的方程，分離參數(shù)得到等式，（一般地，為關(guān)于的二元一次關(guān)系式）由上述原理可得方程組，從而求得該定點(diǎn).
7．（1）證明見解析；（2）直線恒過定點(diǎn)．
【分析】（1）設(shè)切點(diǎn)，，求出導(dǎo)數(shù)，由此可得切線斜率，得切線方程，同時(shí)設(shè)，代入切線方程并整理，同理得方程，從而可得是方程的兩根，利用韋達(dá)定理得，求出點(diǎn)橫坐標(biāo)可證得結(jié)論；
（2）利用（1）再求得點(diǎn)縱坐標(biāo)，由兩點(diǎn)坐標(biāo)求得直線的斜率，然后得出直線方程后可得定點(diǎn)坐標(biāo)．
【解析】（1）設(shè)切點(diǎn)，，，
∴切線的斜率為，切線，
設(shè)，則有，化簡(jiǎn)得，
同理可的
∴，是方程的兩根，∴，，
，∴軸.
（2）∵，∴.
.，
∴直線，即，
∴直線過定點(diǎn).
【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與拋物線相交問題，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，方法是設(shè)切點(diǎn)，，設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，把點(diǎn)坐標(biāo)代入兩切線方程得出是一元二次方程的根，利用韋達(dá)定理得出，這樣可得中點(diǎn)坐標(biāo)，由中點(diǎn)坐標(biāo)寫出直線方程可得定點(diǎn)坐標(biāo)．是設(shè)而不求思想的運(yùn)用．
8．（1）；（2）證明見解析，定點(diǎn)為.
【分析】（1）設(shè)點(diǎn)，，，由可得出，由，可得出，，代入化間可得出動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；
（2）設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，聯(lián)立直線與曲線的方程，列出韋達(dá)定理，由可求得的值，可得出直線的方程，進(jìn)而可得出直線所過定點(diǎn)的坐標(biāo).
【解析】（1）設(shè)、、，
則，，，，，.
由，得，且點(diǎn)、均不在軸上，
故，且，.
由，得，即.
由，得，即.
所以，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程為：；
（2）若直線的斜率為零時(shí)，則直線與曲線至多只有一個(gè)公共點(diǎn)，不合乎題意.
可設(shè)直線的方程為.
由，得.
設(shè)、，則，.
，
，解得，所以，直線的方程為，即直線恒過定點(diǎn).
【點(diǎn)評(píng)】 直線過定點(diǎn)：根據(jù)題中條件確定直線方程中的與、所滿足的等量關(guān)系或等式，然后再代入直線方程，即可確定直線所過定點(diǎn)的坐標(biāo)
9．（1）；（2）直線經(jīng)過定點(diǎn)，證明見解析.
【分析】（1）利用拋物線的定義可得動(dòng)點(diǎn)M滿足的軌跡方程C﹔
（2）設(shè)直線的方程為：，則直線的方程為：，聯(lián)立直線與拋物線方程解出交點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而可得直線的方程，可得直線經(jīng)過的定點(diǎn)坐標(biāo)．
【解析】（1）由題意易得：點(diǎn)M到定點(diǎn)的距離等于點(diǎn)M到直線的距離由拋物線定義可得：動(dòng)點(diǎn)M滿足的軌跡方程C為．
（2）設(shè)直線的方程為：，則直線的方程為：．
聯(lián)立方程可得，同理可得：．
∴
直線的方程為即．
特別的，當(dāng)或時(shí)，點(diǎn)A與點(diǎn)B的橫坐標(biāo)都是4．
綜上可知，直線經(jīng)過定點(diǎn)．
【點(diǎn)評(píng)】 本題考查拋物線的定義的應(yīng)用，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，解決本題的關(guān)鍵點(diǎn)是設(shè)出直線和的方程，分別與拋物線聯(lián)立解出交點(diǎn)坐標(biāo)，即可寫出直線的方程，進(jìn)而得出定點(diǎn)坐標(biāo)，考查了學(xué)生計(jì)算能力，屬于中檔題．
10．（1）；（2）證明見解析.
【分析】（1）由條件可得，解出即可；
（2）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)，，聯(lián)立直線與拋物線的方程聯(lián)立消元，然后韋達(dá)定理可得，由可得，然后表示出線段的垂直平分線方程可得答案.
【解析】（1）由拋物線的焦半徑公式可得，解得
即拋物線的方程為
（2）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)，
由可得
所以，，即
因?yàn)?，所以，所?br>所以線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為
所以線段的垂直平分線方程為，
即，所以過定點(diǎn)
當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)也滿足
綜上：線段的垂直平分線過定點(diǎn)
【點(diǎn)評(píng)】 定點(diǎn)問題的常見解法：①假設(shè)定點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)題意選擇參數(shù)，建立一個(gè)直線系或曲線系方程，而該方程與參數(shù)無關(guān)，故得到一個(gè)關(guān)于定點(diǎn)坐標(biāo)的方程組，以這個(gè)方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)即所求定點(diǎn)；②從特殊位置入手，找出定點(diǎn)，再證明該點(diǎn)適合題意.
11．（1）；（2）過定點(diǎn)，定點(diǎn)為.
【分析】(1)根據(jù)拋物線的定義可知,求出后可得拋物線方程.
(2) 設(shè)直線的方程為，設(shè)，，由條件可得，化簡(jiǎn)即得，聯(lián)立直線與拋物線方程，利用韋達(dá)定理代入可得，從而得出答案.
【解析】（1）根據(jù)拋物線的定義，，
拋物線的方程為，
（2）設(shè)直線的方程為，設(shè)，，
直線與拋物線的方程聯(lián)立得，
，,則，，
又，即，
，
，
即，整理得：，
所以直線的方程為，
即直線經(jīng)過定點(diǎn).
【點(diǎn)評(píng)】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查求拋物線的方程和直線與拋物線的位置關(guān)系，考查直線過定點(diǎn)問題，解答本題的關(guān)鍵是由，得到，然后由方程聯(lián)立韋達(dá)定理代入，屬于中檔題.
12．（1）；（2）證明見解析，.
【分析】（1）設(shè)圓心，然后根據(jù)條件建立方程求解即可；
（2）設(shè)直線的方程為，然后算出，，然后表示出直線的方程即可.
【解析】（1）設(shè)圓心，由題意得，即
所以曲線C的方程為
（2）由題意可知，直線的斜率均存在，
設(shè)直線的方程為，，
聯(lián)立方程組得，
所以，
因?yàn)辄c(diǎn)M是線段AB的中點(diǎn)，所以
同理，將換成得，
當(dāng)，即時(shí)
所以直線MN的方程為
即，
所以直線MN恒過定點(diǎn)
當(dāng)時(shí)，直線MN的方程為，也過點(diǎn)
所以直線MN恒過定點(diǎn)
【點(diǎn)評(píng)】 定點(diǎn)問題的常見解法：
①假設(shè)定點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)題意選擇參數(shù)，建立一個(gè)直線系或曲線系方程，而該方程與參數(shù)無關(guān)，故得到一個(gè)關(guān)于定點(diǎn)坐標(biāo)的方程組，以這個(gè)方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)即所求定點(diǎn)；
②從特殊位置入手，找出定點(diǎn)，再證明該點(diǎn)適合題

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2024年高考數(shù)學(xué)第二輪專題復(fù)習(xí)圓錐曲線 專題25：拋物線的定義與方程21頁：

這是一份2024年高考數(shù)學(xué)第二輪專題復(fù)習(xí)圓錐曲線 專題25：拋物線的定義與方程21頁，共21頁。試卷主要包含了單選題，多選題，填空題，雙空題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

專題19 拋物線中的定點(diǎn)、定值、定直線問題-備戰(zhàn)2024年新高考數(shù)學(xué)之圓錐曲線專項(xiàng)高分突破（新高考專用）：

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新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)圓錐曲線專題27《拋物線的定點(diǎn)問題》（2份打包，解析版+原卷版）：

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