1．已知是拋物線的焦點(diǎn)，是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，，則周長(zhǎng)的最小值為（ ）
A．B．C．D．
2．已知，分別為拋物線與圓上的動(dòng)點(diǎn)，拋物線的焦點(diǎn)為，，為平面兩點(diǎn)，當(dāng)取到最小值時(shí)，點(diǎn)與重合，當(dāng)取到最大時(shí)，點(diǎn)與重合，則直線的的斜率為（ ）
A．B．C．1D．
3．拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)為該拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A是拋物線的準(zhǔn)線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，則的最大值是（ ）
A．2B．C．D．
4．拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，A，B是拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足，設(shè)線段AB的中點(diǎn)M在l上的投影為N，則的最大值是
A．1B．C．D．2
5．已知點(diǎn)是曲線上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)向軸引垂線，垂足為，點(diǎn)是曲線上任意一點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
6．拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)、、在上，且的重心為，則的取值范圍為
A．B．C．D．
7．如圖，已知拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，且過(guò)點(diǎn)(2，4)，圓，過(guò)圓心的直線l與拋物線和圓分別交于P，Q，M，N，則的最小值為
A．36B．42
C．49D．50
二、多選題
8．泰戈?duì)栒f(shuō)過(guò)一句話：世界上最遠(yuǎn)的距離，不是樹(shù)枝無(wú)法相依，而是相互了望的星星，卻沒(méi)有交會(huì)的軌跡；世界上最遠(yuǎn)的距離，不是星星之間的軌跡，而是縱然軌跡交會(huì)，卻在轉(zhuǎn)瞬間無(wú)處尋覓．已知點(diǎn)，直線l：，若某直線上存在點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到點(diǎn)M的距離比到直線l的距離小1，則稱該直線為“最遠(yuǎn)距離直線”，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．點(diǎn)P的軌跡曲線是一條線段
B．點(diǎn)P的軌跡與直線：是沒(méi)有交會(huì)的軌跡即兩個(gè)軌跡沒(méi)有交點(diǎn)
C．不是“最遠(yuǎn)距離直線”
D．是“最遠(yuǎn)距離直線”
三、填空題
9．已知拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2，過(guò)焦點(diǎn)的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，且，則線段的中點(diǎn)到軸的距離為_(kāi)_________.
10．已知拋物線，圓，直線自上而下順次與上述兩曲線交于點(diǎn)，則的值是__________．
11．為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，是圓上的點(diǎn)，則最小值是__________．
12．設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P是以F為焦點(diǎn)的拋物線（）上任意一點(diǎn)，Q是線段上的點(diǎn)，且，則直線的斜率的最大值為_(kāi)_____.
13．如圖，過(guò)拋物線的焦點(diǎn)的直線交拋物線與圓于四點(diǎn)，則 ______.
14．如圖，過(guò)拋物線C：y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)F作直線交C于A，B兩點(diǎn)，過(guò)A，B分別向C的準(zhǔn)線l作垂線，垂足為A1，B1，已知△AA1F與△BB1F的面積分別為9和1，則△A1B1F的面積為_(kāi)_______.
15．拋物線C: 的焦點(diǎn)為,設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線與兩點(diǎn)，且,則______.
16．已知拋物線的準(zhǔn)線方程為，焦點(diǎn)為為拋物線上不同的三點(diǎn)，成等差數(shù)列，且點(diǎn)在軸下方，若，則直線的方程為_(kāi)________．
四、雙空題
17．己知圓是圓上任意點(diǎn)，若，線段的垂直平分線與直線相交于點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡方程是_______﹔若A是圓所在平面內(nèi)的一定點(diǎn)，線段的垂直平分線與直線相交于點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡是:①一個(gè)點(diǎn)②圓③橢圓④雙曲線⑤拋物線，其中可能的結(jié)果有__________．
18．希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名.他發(fā)現(xiàn)：“平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)A，B的距離之比為定值λ（λ≠1）的點(diǎn)的軌跡是圓”.后來(lái)，人們將這個(gè)圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡(jiǎn)稱阿氏圓.已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A(-2，1)，B(-2，4)，點(diǎn)P是滿足的阿氏圓上的任一點(diǎn)，則該阿氏圓的方程為_(kāi)__________________；若點(diǎn)Q為拋物線E：y2=4x上的動(dòng)點(diǎn)，Q在直線x=-1上的射影為H，則的最小值為_(kāi)__________.
參考答案
1．B
【分析】根據(jù)拋物線的定義，結(jié)合兩點(diǎn)間距離公式進(jìn)行求解即可.
【解析】拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線的方程為，過(guò)做，垂足為，
設(shè)周長(zhǎng)為，
，由拋物線的定義可知：
，因此，當(dāng)在同一條直線上時(shí)，有最小值，即
時(shí)，，
故選：B
2．D
【分析】根據(jù)取到最小值時(shí)，點(diǎn)與重合，利用拋物線的定義得到，從而得到點(diǎn)P的坐標(biāo)，連接，由拋物線的定義得到Q為與拋物線的交點(diǎn)求解.
【解析】如圖所示：
，即，圓心為，
拋物線的焦點(diǎn)為，記的準(zhǔn)線為l，過(guò)點(diǎn)A作，
過(guò)作，
，當(dāng)共線時(shí)，點(diǎn)B在上，此時(shí)，
連接，
，此時(shí)Q為與拋物線的交點(diǎn)，
，由，解得或，
因?yàn)镼在第一象限，
所以，
所以，
故選：D
【點(diǎn)評(píng)】 本題關(guān)鍵是拋物線定義的靈活應(yīng)用.
3．B
【分析】設(shè)直線的傾斜角為，設(shè)垂直于準(zhǔn)線于，由拋物線的性質(zhì)可得，則，當(dāng)直線PA與拋物線相切時(shí)，最小，取得最大值，設(shè)出直線方程得到直線和拋物線相切時(shí)的點(diǎn)P的坐標(biāo)，然后進(jìn)行計(jì)算得到結(jié)果.
【解析】設(shè)直線的傾斜角為，設(shè)垂直于準(zhǔn)線于，
由拋物線的性質(zhì)可得，
所以則，
當(dāng)最小時(shí)，則值最大，
所以當(dāng)直線PA與拋物線相切時(shí)，θ最大，即最小，
由題意可得，
設(shè)切線PA的方程為：，
，整理可得，
，可得，
將代入，可得，所以，
即P的橫坐標(biāo)為1，即P的坐標(biāo)，
所以，，
所以的最大值為：，
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題主要考查了拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是利用了拋物線的定義．一般和拋物線有關(guān)的小題，很多時(shí)可以應(yīng)用結(jié)論來(lái)處理的；平時(shí)練習(xí)時(shí)應(yīng)多注意拋物線的結(jié)論的總結(jié)和應(yīng)用．尤其和焦半徑聯(lián)系的題目，一般都和定義有關(guān)，實(shí)現(xiàn)點(diǎn)點(diǎn)距和點(diǎn)線距的轉(zhuǎn)化．
4．A
【分析】設(shè)，由拋物線定義，梯形的中位線定理，得，再根據(jù)余弦定理得，結(jié)合基本不等式求得的范圍，從而得到的最大值.
【解析】設(shè)，連接，過(guò)A作準(zhǔn)線l的垂線，垂足為Q，過(guò)B作準(zhǔn)線l的垂線，垂足為P，
由拋物線的定義得：，
則.
則在中，由余弦定理可得：，
而，
因此，即（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)）.
故選：A
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了拋物線的基本性質(zhì)，綜合運(yùn)用了余弦定理，基本不等式知識(shí)，屬于較難題.
5．D
【分析】先將所求問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求上任意一點(diǎn)到拋物線焦點(diǎn)F的距離的最小，再利用導(dǎo)數(shù)求最值即可得到答案.
【解析】如圖，設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，則，由拋物線的定義知，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立，
設(shè)，則，令，
則，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性知，在R上單調(diào)遞增，且，
所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以
，所以的最小值為.
故選：D
【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線中的最值問(wèn)題，涉及到拋物線的定義，兩點(diǎn)間的距離公式，導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，是一道較為綜合的題目，屬于有一定難度的題.
6．A
【分析】根據(jù)重心坐標(biāo)公式求出的橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為，設(shè)直線的方程為，與拋物線方程聯(lián)立，用、求出表示出的坐標(biāo)，結(jié)合拋物線的方程，求出的取值范圍，再結(jié)合拋物線的定義可得出結(jié)論．
【解析】由題意知，拋物線的焦點(diǎn)為，設(shè)點(diǎn)、、，
由重心的坐標(biāo)公式得，，，
設(shè)直線的方程為，由，消去得，
，
由韋達(dá)定理得，，
所以，，
故，，
將點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線的方程得，得，
則，得，
則.
不在直線上，則，此時(shí)，，則.
因此，的取值范圍是.
故選：A.
【點(diǎn)評(píng)】考查拋物線與直線的綜合，求距離的取值范圍，重心坐標(biāo)的計(jì)算，屬于難題．
7．B
【分析】設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，將點(diǎn)代入拋物線方程，求得拋物線方程，設(shè)出直線方程并與拋物線方程聯(lián)立，根據(jù)韋達(dá)定理可得，則，由焦半徑公式以及基本不等式，即可求得結(jié)果.
【解析】設(shè)拋物線方程為
由拋物線過(guò)定點(diǎn)得，拋物線方程，焦點(diǎn)為，
圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為圓心為，半徑，
由于直線過(guò)焦點(diǎn)，可設(shè)直線方程為，設(shè)
，
又
，
時(shí)等號(hào)成立，
的最小值為，故選B.
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查拋物線的方程與性質(zhì)，以及直線與拋物線的位置關(guān)系、利用基本不等式求最值，屬于中檔題. 利用基本不等式求最值，要注意應(yīng)用基本不等式的條件是“一正二定三相等”.
8．BCD
【分析】先根據(jù)題意與拋物線的概念，可以得到點(diǎn)P的軌跡方程，再根據(jù)“最遠(yuǎn)距離直線”逐一判斷即可．
【解析】由題意可得，點(diǎn)P到點(diǎn)M的距離比到直線l的距離小1，
即等價(jià)于“點(diǎn)P到點(diǎn)M的距離等于到直線：的距離”
故P點(diǎn)軌跡是以為焦點(diǎn)，直線：為準(zhǔn)線的拋物線，
其方程是，故A錯(cuò)誤
點(diǎn)P的軌跡方程是拋物線，它與直線沒(méi)交點(diǎn)，
即兩者是沒(méi)有交會(huì)的軌跡，故B正確
要滿足“最遠(yuǎn)距離直線”則必須滿足與上述拋物線有交點(diǎn)，
把代入拋物線，
消去y并整理得
因?yàn)?，無(wú)解，
所以不是“最遠(yuǎn)距離直線”，故C正確；
把代入拋物線，
消去y并整理得，
因?yàn)?，有解?br>所以是“最遠(yuǎn)距離直線”，故D正確．
故選：BCD．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了直線與拋物線的位置關(guān)系，拋物線的概念以及圓錐曲線的軌跡問(wèn)題，還考查了分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力，屬于較難題．
9．
【分析】根據(jù)題意得到的值，過(guò)點(diǎn)作垂直于準(zhǔn)線于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作垂直于于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，再利用三角形相似得到和的關(guān)系，從而得到，，的關(guān)系，求出，即可得到答案．
【解析】焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，
過(guò)點(diǎn)作垂直于準(zhǔn)線于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作垂直于于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，
則，
所以，
記，則，
因?yàn)椋?br>所以，，
因?yàn)?，為的中點(diǎn)，
所以，所以，
即
即線段的中點(diǎn)到軸的距離為．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】方法點(diǎn)睛：.凡涉及拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離時(shí)，一般運(yùn)用定義轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線距離處理．本題中充分運(yùn)用拋物線定義實(shí)施轉(zhuǎn)化，其關(guān)鍵在于求點(diǎn)的坐標(biāo)．
2．若為拋物線上一點(diǎn)，由定義易得；若過(guò)焦點(diǎn)的弦的端點(diǎn)坐標(biāo)為，則弦長(zhǎng)為可由根與系數(shù)的關(guān)系整體求出；若遇到其他標(biāo)準(zhǔn)方程，則焦半徑或焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式可由數(shù)形結(jié)合的方法類似地得到．
10．1
【解析】
設(shè) ,則 ,
由與聯(lián)立方程消得 ,因此
11．2
【解析】
設(shè) 到拋物線準(zhǔn)線的距離為 ，根據(jù)拋物線的定義知 ，由圓的幾何性質(zhì)及平面幾何體知識(shí)可得， 的最小值是圓心到準(zhǔn)線的距離與半徑的差，即 ，故答案為 .
12．
【分析】要求直線的斜率的最大值,由直線的斜率公式可知應(yīng)求點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)的關(guān)系,由題可設(shè)點(diǎn),點(diǎn),進(jìn)而根據(jù)求得,再由均值不等式求得最值.
【解析】由題可得,設(shè),顯然,當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí),,
要求的最大值,設(shè),
因?yàn)?所以,即,
所以,
所以,
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,即的最大值為,
故答案為:
【點(diǎn)評(píng)】本題考查與拋物線有關(guān)的最值問(wèn)題,考查利用均值不等式求最值,考查運(yùn)算能力與轉(zhuǎn)化思想.
13．1
【分析】設(shè)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F的直線，與聯(lián)立，結(jié)合拋物線的第一定義和韋達(dá)定理及圓的性質(zhì)，求出的乘積
【解析】拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，可設(shè)直線方程為，直線，與聯(lián)立得：，可得,,
,
答案為1.
【點(diǎn)評(píng)】拋物線的弦長(zhǎng)問(wèn)題通常轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線距離,本題既考查了直線與圓，又考查了直線與拋物線的應(yīng)用問(wèn)題
14．6
【解析】
【分析】直線代入拋物線方程，利用韋達(dá)定理，計(jì)算，相乘化簡(jiǎn)可得求，由三角形面積公式可得.
【解析】設(shè)直線，
代入拋物線方程，消元可得，
設(shè)，則，
，
，
，
，故答案為6.
【點(diǎn)評(píng)】解決直線與拋物線的位置關(guān)系的相關(guān)問(wèn)題，其常規(guī)思路是先把直線方程與拋物線方程聯(lián)立，消元、化簡(jiǎn)，然后應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系建立方程，解決相關(guān)問(wèn)題．涉及弦中點(diǎn)的問(wèn)題常常用“點(diǎn)差法”解決，往往會(huì)更簡(jiǎn)單.
15．4
【解析】
設(shè)點(diǎn) 、 的橫坐標(biāo)分別為 、，由焦半徑公式得， 時(shí)， ， 的方程為 ，與聯(lián)立可得， ，解得，所以 ，同理，時(shí)，，故答案為 .
16．
【解析】
試題分析:由題設(shè)可得，設(shè)，則，由可得，即，又，故由成等差數(shù)列可得，由此可得．而，且，即的中點(diǎn)坐標(biāo)為由此可得.故由點(diǎn)斜式方程可得，應(yīng)填答案.
考點(diǎn)：拋物線的幾何性質(zhì)及向量等差數(shù)列等知識(shí)的綜合運(yùn)用．
【易錯(cuò)點(diǎn)晴】拋物線是平面解析幾何中的重要圓錐曲線之一，也是高中數(shù)學(xué)中的重要知識(shí)點(diǎn)和歷屆高考必考的考點(diǎn)之一.本題以拋物線的焦點(diǎn)弦滿足的向量等式成等差數(shù)列，且點(diǎn)在軸下方，若為背景，考查是拋物線的定義和平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算及分析問(wèn)題解決問(wèn)題的綜合能力.解答時(shí)先設(shè)三點(diǎn)的坐標(biāo)，再借助向量等式建立坐標(biāo)之間的關(guān)系，從而使得問(wèn)題獲解.
17． ①②③
【解析】由圓則圓心，半徑r=4;因?yàn)榫€段的垂直平分線與直線相交于點(diǎn)，如圖（1）示：
所以， 所以，符合橢圓的定義，所以點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸為4 的橢圓，
故,所以點(diǎn)的軌跡方程是；
（1）若點(diǎn)A在圓C內(nèi)不同于點(diǎn)C處，如圖（1）所示，則有，符合橢圓的定義，故點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸為4 的橢圓，所以③正確；
（2）若點(diǎn)A與C重合，如圖（2）所示，則有，符合圓的定義，故點(diǎn)的軌跡是以為圓心，2為半徑 的圓，所以②正確；
（3）若點(diǎn)A在圓C上，如圖（3）所示，則由垂徑定理，線段AP的垂直平分線必過(guò)點(diǎn)C,故Q與C重合故點(diǎn)的軌跡一個(gè)點(diǎn)，所以①正確；
（4）若點(diǎn)A在圓C外，如圖（4）所示，則，所以，故點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為4的雙曲線的一支，所以④不正確；
（5）點(diǎn)A不論在什么位置，點(diǎn)的軌跡都不可能是拋物線，故⑤不正確.
故答案為：；①②③.
【點(diǎn)評(píng)】求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的方法：
（1）定義法；（2）參數(shù)法；（3）軌交法.
18．
【分析】（1）利用直譯法直接求出P點(diǎn)的軌跡．
（2）先利用阿氏圓的定義將轉(zhuǎn)化為P點(diǎn)到另一個(gè)定點(diǎn)的距離，然后結(jié)合拋物線的定義容易求得的最小值．
【解析】設(shè)P（x，y），由阿氏圓的定義可得
即化簡(jiǎn)得
則
設(shè)則由拋物線的定義可得
當(dāng)且僅當(dāng)四點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，
的最小值為
故答案為：
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了拋物線的定義及幾何性質(zhì)，同時(shí)考查了阿氏圓定義的應(yīng)用．還考查了學(xué)生利用轉(zhuǎn)化思想、方程思想等思想方法解題的能力．難度較

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專題25：拋物線的定義與方程21頁(yè)
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備戰(zhàn)2022高考數(shù)學(xué)圓錐曲線專題4：橢圓的定義與方程24頁(yè)（含解析）

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