1．如圖，已知拋物線的焦點為F，過點的直線交拋物線兩點，直線分別與拋物線交于點，記直線的斜率為，直線的斜率為，則（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、解答題
2．在直角坐標系中，曲線的點均在外，且對上任意一點，到直線的距離等于該點與圓上點的距離的最小值．
（1）求曲線的方程；
（2）設為圓外一點，過作圓的兩條切線，分別與曲線相交于點、和、．證明：當在直線上運動時，四點、、、的縱坐標之積為定值．
3．已知拋物線：的焦點是F，若過焦點的直線與相交于P，Q兩點，所得弦長的最小值為4.
（1）求拋物線的方程；
（2）設A，B是拋物線C上兩個不同的動點，O為坐標原點，若，，M為垂足，證明：存在定點N，使得為定值.
4．如圖，已知過拋物線的焦點的直線交拋物線于點點在第一象限)，線段的中點為拋物線在點處的切線與以為直徑的圓交于另一點.
（1）若，求直線的方程；
（2）試問是否為定值？若是，請求出該定值；若不是，請求出它的最大值.
5．動圓過定點，且與直線相切，其中，設圓心的軌跡為．
（1）求軌跡的方程；
（2）設直線交軌跡于不同的兩個點、，當時，直線過定點，請求出定點坐標；
（3）設軌跡上的兩個定點、，分別過點、作傾斜角互補的兩條直線、分別與軌跡交于、兩點，求證：直線的斜率為定值．
6．已知拋物線C：的焦點F與橢圓的右焦點重合，點是拋物線的準線上任意一點，直線，分別與拋物線相切于點，.
（1）求拋物線的標準方程；
（2）設直線，的斜率分別為，，證明：為定值；
（3）求的最小值.
7．如圖，已知是拋物線上一點，直線，的斜率互為相反數(shù)，與拋物線分別交于，兩點，且均在點的下方．
（1）證明：直線的斜率為定值；
（2）求面積的最大值．
8．己知過點的直線l與拋物線交于A，B兩點．
（1）分別以A，B為切點作拋物線的兩條切線PA，PB，交點為P，當時，求點P的軌跡方程；
（2）若為定值，求m的值．
9．如圖，拋物線的焦點為，為過點的弦，設直線的斜率為（）. 的中垂線與軸交于點，拋物線在，兩點處切線交于點Q.
（1）當時，求的面積；
（2）判斷是否為定值，若是，求出此定值，若不是，請說明理由.
10．已知拋物線的焦點到準線的距離為2，直線與拋物線交于不同的兩點，.
（1）求拋物線的方程；
（2）是否存在與的取值無關(guān)的定點，使得直線，的斜率之和恒為定值？若存在，求出所有點的坐標；若不存在，請說明理由.
11．已知拋物線，過點作直線與拋物線交于兩點，點是拋物線上異于兩點的一動點，直線與直線交于兩點.
（1）證明：兩點的縱坐標之積為定值；
（2）求面積的最小值.
12．如圖，已知拋物線，在軸正半軸上有一點，過點作直線，分別交拋物線于點，過點作垂直于軸分別交于點.當，直線的斜率為1時，.
（1）求拋物線的方程；
（2）判斷是否為定值，若是，求出此定值；若不是，請說明理由.
13．在平面直角坐標系中，已知焦點為的拋物線上有兩個動點、，且滿足，過、兩點分別作拋物線的切線，設兩切線的交點為.
（1）求：的值；
（2）證明：為定值.
14．已知拋物線經(jīng)過點，過點的直線與拋物線有兩個不同的交點，且直線交軸于點，直線交軸于點．
（1）求直線的斜率的取值范圍；
（2）設為原點，，求證:為定值．
15．設F是拋物線y2＝4x的焦點，M，P，Q是拋物線上三個不同的動點，直線PM過點F，MQ∥OP，直線QP與MO交于點N．記點M，P，Q的縱坐標分別為y0，y1，y2．
（1）證明：y0＝y(tǒng)1﹣y2；
（2）證明：點N的橫坐標為定值．
參考答案
1．D
【分析】設出的坐標，求得直線的方程，由此求得兩點的坐標，由此求得.
【解析】依題意，設，所以的方程是，設，則，與拋物線方程聯(lián)立可得，所以，，所以，即，同理可得，由于，所以，所以.
故選：D
【點評】本小題主要考查直線和拋物線的位置關(guān)系，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法，考查運算求解能力，屬于中檔題.
2．（1）；（2）證明見解析.
【分析】（1）分析可知，曲線是以為焦點，直線為準線的拋物線，進而可求得曲線的方程；
（2）設的坐標為，設過且與圓相切的直線的斜率存在且不為，分析可知切線、的斜率、為關(guān)于的二次方程的兩根，可得出，設四點、、、的縱坐標分別為、、、，聯(lián)立直線與拋物線的方程，可得出的表達式，進一步可得出的表達式，由此可計算得出結(jié)果.
【解析】（1）由題設知，曲線上任意一點M到圓心的距離等于它到直線的距離，因此，曲線是以為焦點，直線為準線的拋物線，
故曲線的方程為；
（2）當點在直線上運動時，的坐標為，又，
則過且與圓相切的直線的斜率存在且不為，
每條切線都與拋物線有兩個交點，切線方程為，即，
于是，整理得，①
設過所作的兩條切線、的斜率分別為、，
則、是關(guān)于的方程的兩個實根，
故②，
由，得③，
設四點、、、的縱坐標分別為、、、，
則、是方程③的兩個實根，所以④，同理可得⑤，
于是由②④⑤三式得
．
所以當在直線上運動時，四點、、、的縱坐標之積為定值．
【點評】 求定值問題常見的方法有兩種：
（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)；
（2）直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值．
3．（1）；（2）證明見解析.
【分析】（1）根據(jù)題意，設出直線方程，與拋物線方程聯(lián)立，求得弦長，得到取最小值時參數(shù)的值，得到拋物線方程；
（2）直線的斜率不為0，故可設直線的方程為，，.將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，根據(jù)垂直，得到坐標之間的關(guān)系，求得參數(shù)的值，進而求得結(jié)果，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，得到定值，證得結(jié)果.
【解析】（1）顯然直線的斜率不為0，故可設置的方程為，
，所以，.
所以.
，
所以當時，最小，所以，
故所求拋物線的方程為.
（2）直線的斜率不為0，
故可設直線的方程為，，.
，所以，.
.
因為，所以，
所以，即
解得或.
若，則直線過點，不符合題意.
則有，此時直線的方程為，
所以直線過定點.
又，所以，所以點在以為直徑的圓上，
所以.
此時.
【點評】 該題考查的是有關(guān)直線與拋物線的綜合題，解題方法如下：
（1）根據(jù)題意，設出直線方程，與拋物線的方程聯(lián)立，求弦長，得到取最小值時參數(shù)的值，得到拋物線的方程；也可以利用拋物線的焦點弦長最短是通徑，得到結(jié)果；
（2）根據(jù)題意，設出直線方程，與拋物線方程聯(lián)立，根據(jù)垂直關(guān)系，得到坐標之間的關(guān)系，從而求得參數(shù)的值，再根據(jù)直角三角形的外心為斜邊中點，得到結(jié)果.
4．（1）；（2）是定值，定值為.
【分析】（1）設直線的方程為，，聯(lián)立直線與拋物線，結(jié)合韋達定理，再由，可得的值；
（2）設過點的切線的方程為：，代入由得所以的方程為：，進而確定點，，，，再由，可得.
【解析】解：（1）設
由得
則
因為所以
從而
所以直線的方程為；
（2）設過點的切線的方程為：，
代入由得
所以的方程為：.
設直線與軸交點為令得，
,
,
,
.
【點評】(1)直線與拋物線的位置關(guān)系和直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系類似，一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系；
(2)有關(guān)直線與拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點，若過拋物線的焦點，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不過焦點，則必須用一般弦長公式．
5．（1）；（2）；（3），證明見解析．
【分析】（1）利用拋物線的定義可知軌跡為拋物線，確定該拋物線的焦點和準線方程，即可得出軌跡的方程；
（2）設直線的方程為，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，列出韋達定理，求出的值，即可得出直線所過定點的坐標；
（3）設點、，根據(jù)可得出，再利用直線的斜率公式可證得結(jié)論成立.
【解析】（1）由題意可知，圓心到點的距離等于圓心到直線的距離，
所以，點的軌跡是以點為焦點，以直線為準線的拋物線，
因此，軌跡的方程為；
（2）若直線垂直于軸，則直線與拋物線只有一個交點，不合乎題意.
設直線的方程為，聯(lián)立，消去可得，
由韋達定理可得，，解得，
所以，直線的方程為，因此，直線過定點；
（3）設點、，
則，
同理可得，，
由于直線、的傾斜角互補，則，可得，
所以，，
因此，直線的斜率為（定值）.
【點評】 求解直線過定點問題常用方法如下：
（1）“特殊探路，一般證明”：即先通過特殊情況確定定點，再轉(zhuǎn)化為有方向、有目的的一般性證明；
（2）“一般推理，特殊求解”：即設出定點坐標，根據(jù)題設條件選擇參數(shù)，建立一個直線系或曲線的方程，再根據(jù)參數(shù)的任意性得到一個關(guān)于定點坐標的方程組，以這個方程組的解為坐標的點即為所求點；
（3）求證直線過定點，常利用直線的點斜式方程或截距式來證明.
6．（1）；（2）證明見解析；（3）4.
【分析】（1）由橢圓的方程可得右焦點的坐標，由題意可得拋物線的焦點坐標，進而可得拋物線的方程；
（2）可設的坐標，設過點的直線方程為，與拋物線方程聯(lián)立，消去得：，利用判別式等于零可得結(jié)論；
（3）設，的坐標，由（2）可得參數(shù)，的關(guān)系，代入過的切線方程與拋物線的方程中，可得，用參數(shù)，表示的坐標，代入弦長公式中求的表達式，由參數(shù)的范圍求出的最小值．
【解析】（1）由橢圓方程得，橢圓的右焦點為
拋物線的焦點為，，
所以拋物線的標準方程：．
（2）拋物線的準線方程為．
設，
設過點的直線方程為，
與拋物線方程聯(lián)立，消去得：．
其判別式△，令△，得：．
由韋達定理知，，
故（定值）．
（3）設，，，，由，得，
故，
所以，代入拋物線方程得，
所以，，，，
因為，，
所以
，
當且僅當時取等號．
當且僅時取等號．
故的最小值為4．
【點評】求曲線弦長的方法：（1）利用弦長公式；（2）利用；（3）如果交點坐標可以求出，利用兩點間距離公式求解即可.
7．（1）證明見解析，（2）
【分析】（1）先把點的坐標代入拋物線中求出的值，設直線的方程為，聯(lián)立，得，結(jié)合已知可得，，然后利用斜公式化簡可得結(jié)果；
（2）設直線的方程為，和拋物線方程聯(lián)立方程組，消元后利用根與系數(shù)的關(guān)系，再利用弦長公式求出，再利用點到直線的距離公式求出點到直線的距離，則，然后令，構(gòu)造函數(shù)可求出面積的最大值
【解析】（1）證明：因為是拋物線上一點，
所以，得，所以拋物線方程為，
設直線的方程為，
由，得，
所以，所以，
因為直線，的斜率互為相反數(shù)，
所以直線的方程為，
同理可得，
所以，
所以直線的斜率為定值，
（2）解：由（1）設直線的方程為，
由，得，
因為直線與拋物線有兩個交點，
所以，得，
，
所以
，
點到直線的距離為，
所以的面積為，
令，則，
所以，
令，則，令，得或（舍去），
當時，，當時，，
所以在遞增，在上遞減，
所以當時，取最大值，即，
所以的面積的最大值為，此時直線為
【點評】此題考查了直線與拋物線位置關(guān)系的應用，考查點到直線的距離公式，弦長公式，考查計算能力，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于較難題.
8．（1）；（2）．
【分析】（1）設直線l的方程為，聯(lián)立方程組，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，求得，結(jié)合拋物線的方程，求得分別以點為切點的切線方程，聯(lián)立方程組，求得交點坐標，即可求解；
（2）設直線l的方程為與拋物線的方程，聯(lián)立方程組，利用根與系數(shù)的關(guān)系，分別求得，得到，根據(jù)為定值，列出方程組，即可求解.
【解析】（1）設點，，直線l的方程為，
聯(lián)立方程組，整理得，
則，，
由拋物線方程，可得，則，
所以以點A為切點的切線方程是，即，
同理，以點B為切點的切線方程是．
聯(lián)立方程組，解得，
∴點P的坐標為，即，
∴點P的軌跡方程是．
（2）設直線l的方程為代入，化簡得，
又設，，則，，
所以，
同理可得：，
所以，
因為為定值，令（C為常數(shù)），
則，可得，解得．
【點評】本題主要考查拋物線方程、及直線與拋物線的位置關(guān)系的綜合應用,解答此類題目，通常聯(lián)立直線與拋物線方程，應用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系進行求解，此類問題易錯點是復雜式子的變形能力不足，導致錯解，能較好的考查考生的邏輯思維能力、運算求解能力、分析問題解決問題的能力等．
9．（1）；（2）1.
【分析】（1）設AB所在直線方程為，，由，得，然后根據(jù)，利用，求得斜率k，得到直線AB的中垂線方程，進而得到點P坐標，求得點P到直線AB的距離d，由 求解.
（2）由（1）方法：得到 ，由，得，求導，得到直線的方程 ；直線的方程，聯(lián)立求得，進而得到點Q到直線AB的距離為：，得到，再代入求解.
【解析】（1）設AB所在直線方程為，，
由，得，
由韋達定理得：，
因為，
所以，
解得，因為，
所以，
則，
所以，則直線AB的中垂線方程為：，
令得，
所以點，
所以點P到直線AB的距離為：，
所以.
（2）由（1）知：，
則直線AB的中垂線方程為：，
令得，
所以點，
所以點P到直線AB的距離為：，
所以.
由，
得，
所以，
則直線的方程為：，即；
直線的方程為，即；
由，解得，
由，得：，
解得，
，
所以，
所以，
所以，
所以點Q到直線AB的距離為：，
所以.
為定值，
【點評】本題主要考查直線與拋物線的位置關(guān)系，弦長公式，點到直線的距離以及定值問題，還考查了運算求解的能力，屬于難題.
10．（1）；（2）存在，.
【分析】（1）本題可根據(jù)題意得出焦點坐標以及準線方程，然后根據(jù)焦點到準線的距離為2即可求出，最后根據(jù)即可求出拋物線方程；
（2）本題首先可設出、、，然后聯(lián)立方程并通過韋達定理得出，再然后對進行化簡并根據(jù)為與無關(guān)的常數(shù)得出，最后通過計算即可得出結(jié)果.
【解析】（1）由題意得，準線方程：，所以，拋物線方程為.
（2）假設存在定點滿足題意，設，，，
聯(lián)立方程，消去得，由韋達定理得，
因為直線、的斜率為、，
所以
.
要使為與無關(guān)的常數(shù)，只能，解得，，
此時為常數(shù)，
綜上所述，存在定點，使得直線、的斜率之和恒為定值0.
【點評】本題考查拋物線的方程的求法以及拋物線中的定值問題，考查直線與拋物線相交的相關(guān)問題，考查韋達定理的靈活應用，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，考查計算能力，是難題.
11．（1）證明見解析（2）
【分析】(1) 設直線,聯(lián)立直線與拋物線:,根據(jù)韋達定理求得,再根據(jù)直線的方程求出的縱坐標,然后相乘可證;
(2)利用面積公式求得面積的表達式,再用基本不等式求得最值即可.
【解析】（1）證明:設直線，設，
由消去并整理得：
∴，
∵直線分別與直線分別交于兩點，
∴，∴，
直線，
令，
同理：，
∴
,
所以兩點的縱坐標之積為定值-8.
（2）設直線與軸交于點，
∵，∴，
當且僅當時取等號，
∴的面積的最小值為.
【點評】本題考查了直線與拋物線的位置關(guān)系,直線方程,斜率公式,面積公式,基本不等式,字母運算求解能力,本題屬于中檔題.
12．（1）（2）是，定值1
【分析】（1），得為焦點，所以，再由直線與拋物線聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系代入求解；
（2）設，，，，直線，，分別聯(lián)立拋物線方程可得，，，.設，，由，，三點共線，通過計算可得，即，關(guān)于軸對稱，從而使問題得到解決.
【解析】（1）設，，
將直線與拋物線聯(lián)立，
得，所以.
由，得即為焦點，
所以，即，
所以拋物線的方程為.
（2）由題意可知，，斜率存在且不為0.
設，，，
設直線，，
與拋物線聯(lián)立得，，，
所以，，，.
設，，由，，三點共線，又，，
得
.
同理，
.
所以
.
即，關(guān)于軸對稱.
所以，為定值.
【點評】本題主要考查直線與拋物線的位置關(guān)系中的定值問題，做此類題時，一般要由直線與拋物線方程聯(lián)立并利用根與系數(shù)的關(guān)系解題.考查學生的數(shù)學運算求解能力，是一道有一定難度的題.
13．（1）（2）證明見解析
【分析】（1）設，，將向量分別用坐標表示出來，再進行向量數(shù)量積的坐標運算，即可得答案；
（2）求出兩切線交點的坐標為，再代入進行坐標運算，即可得到定值
【解析】（1）設，，
∵焦點，∴，，
∵，∴消得，
化簡整理得，
∵，∴，∴.
∴（定值）.
（2）拋物線方程為，∴，
∴過拋物線、兩點的切線方程分別為和，
即和，
聯(lián)立解出兩切線交點的坐標為，
∴（定值）.
【點評】本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系中的定值問題，考查邏輯推理能力、運算求解能力，求解時注意坐標法思想的應用.
14．（1）（2）求證見解析
【分析】（1）先求出拋物線方程，設出直線的方程，由直線與拋物線有兩個交點得斜率的范圍，還要考慮直線與軸相交可得，最終可得所求范圍；
（2）設，由韋達定理得，寫出直線方程，求出點橫坐標，表示出，同理得，然后計算可得．
【解析】（1）由已知，，∴拋物線的方程為，
設直線的方程為，代入拋物線方程得，即.
由于有兩個交點，則，即或；
又由于直線與軸有交點，所以直線不過點和點，所以.綜上，斜率的取值范圍為.
（2）設點，根據(jù)韋達定理知，，直線的方程為，令，知，
則，同理:.
那么.
【點評】本題考查拋物線方程，考查直線與拋物線相交中的定值問題，解析幾何中求解定值問題常用的方法
(1)從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)．
(2)直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值．
15．(1)證明見解析 (2) 證明見解析
【分析】（1） 由兩直線平行的條件：斜率相等，運用直線的斜率公式，結(jié)合點在拋物線上，化簡可得結(jié)論（2） 因為直線過點，所以，求得直線，的方程，設點坐標為，又因為直線，交于點，化簡整理可得，的方程，分解因式即可得到定值．
【解析】證明：（1） 因為MQ∥OP，所以kMQ＝kOP，
所以，所以y0＝y(tǒng)1﹣y2；
（2） 因為直線PM過點F，
可得，
所以y1y0＝﹣4，
由（1）得y0＝y(tǒng)1﹣y2，所以y1，y2y0，
因為OM：yx，
PQ：y﹣y1（x），
即4x﹣（y1+y2）y+y1y2＝0，
設點N坐標為（m，n），又因為直線QP，MO交于點N，
所以nm，4m﹣（y1+y2）n+y1y2＝0，
可得y0，4m﹣（y0）n+（）（y0）＝0，
消去y0得2mn2+n2+8m3+4m2＝0，
所以（2m+1）n2+4m2（2m+1）＝0，
所以（2m+1）（n2+4m2）＝0，
因為n2+4m2≠0，
所以2m+1＝0，即m，
所以點N的橫坐標為定值．
【點評】本題主要考查了拋物線的方程的運用，以及直線方程的運用，考查化簡整理的運算能力和推理能力，屬于中檔

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專題29 圓錐曲線中的定點、定值、定直線問題
新高考數(shù)學一輪復習圓錐曲線專題28《拋物線的定值問題》（2份打包，解析版+原卷版）

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專題28：拋物線的定值問題32頁

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備戰(zhàn)2022高考數(shù)學圓錐曲線專題28：拋物線的定值問題32頁（含解析）

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