1．等軸雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，與拋物線的準(zhǔn)線交于兩點(diǎn)，；則的實(shí)軸長(zhǎng)為（ ）
A．B．C．D．
2．已知圓與軸的交點(diǎn)分別為雙曲線的頂點(diǎn)和焦點(diǎn)，設(shè)，分別為雙曲線的左?右焦點(diǎn)，為右支上任意一點(diǎn)，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
二、填空題
3．在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的上支與焦點(diǎn)為的拋物線交于兩點(diǎn)．若，則該雙曲線的漸近線方程為___．
4．已知橢圓與雙曲線有相同的焦點(diǎn)，設(shè)和的離心率分別為和，且；若斜率為的直線與相交于，兩點(diǎn)，則的最大值為__________．
三、解答題
5．已知，分別是橢圓：的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，且拋物線的焦點(diǎn)是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)．
（1）求,的值：
（2）過(guò)點(diǎn)作不與軸重合的直線，設(shè)與圓相交于A，B兩點(diǎn)，且與橢圓相交于C，D兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求△的面積．
6．已知拋物線的準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)做圓的兩條切線，切點(diǎn)為.
（1）求拋物線的方程；
（2）若直線是講過(guò)定點(diǎn)的一條直線，且與拋物線交于兩點(diǎn)，過(guò)定點(diǎn)作的垂線與拋物線交于兩點(diǎn)，求四邊形面積的最小值.
7．已知橢圓C：＝1(a>b>0)的離心率與等軸雙曲線的離心率互為倒數(shù)關(guān)系，直線l：x－y＋＝0與以原點(diǎn)為圓心， 以橢圓C的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓相切．
(1)求橢圓C的方程；
(2)設(shè)M是橢圓的上頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M分別作直線MA，MB交橢圓于A，B兩點(diǎn)，設(shè)兩直線的斜率分別為k1，k2，且k1＋k2＝4，證明：直線AB過(guò)定點(diǎn).
8．已知拋物線
（1）設(shè)是C1的任意兩條互相垂直的切線，并設(shè)，證明：點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為定值；
（2）在C1上是否存在點(diǎn)P，使得C1在點(diǎn)P處切線與C2相交于兩點(diǎn)A、B，且AB的中垂線恰為C1的切線？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．
9．如圖，圓與直線相切于點(diǎn)，與正半軸交于點(diǎn)，與直線在第一象限的交點(diǎn)為.點(diǎn)為圓上任一點(diǎn)，且滿足，動(dòng)點(diǎn)的軌跡記為曲線．
（1）求圓的方程及曲線的方程；
（2）若兩條直線和分別交曲線于點(diǎn)、和、，求四邊形面積的最大值，并求此時(shí)的的值．
（3）證明：曲線為橢圓，并求橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)．
10．已知圓：，點(diǎn)，是圓上一動(dòng)點(diǎn)，若線段的垂直平分線和相交于點(diǎn).
（1）求點(diǎn)的軌跡方程.
（2），是的軌跡方程與軸的交點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)左邊），直線過(guò)點(diǎn)與軌跡交于，兩點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)，求證：動(dòng)直線過(guò)定點(diǎn).
11．已知橢圓的右焦點(diǎn)F恰為拋物線的焦點(diǎn)，是橢圓C與拋物線E的一個(gè)公共點(diǎn)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)F且不與x軸平行的直線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，線段的中垂線分別交x、y軸于M、N兩點(diǎn)，求的取值范圍．
12．已知直線l1，l2分別于拋物線y2＝x相切于A，B兩點(diǎn)．
（1）若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，﹣1），求直線l1的方程；
（2）若直線l1與l2的交點(diǎn)為P，且點(diǎn)P在圓（x+2）2+y2＝1上，設(shè)直線l1，l2與y軸分別交于點(diǎn)M，N，求的取值范圍．
13．已知點(diǎn)為圓：上一動(dòng)點(diǎn)，圓心關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，點(diǎn)?分別是線段，上的點(diǎn)，且，.
（1）求點(diǎn)的軌跡方程；
（2）過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線與點(diǎn)的軌跡交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在點(diǎn)的軌跡上，，當(dāng)時(shí)，證明：.
14．已知等軸雙曲線的頂點(diǎn)，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，且是橢圓與雙曲線某個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，以線段為直徑的圓過(guò)橢圓的上頂點(diǎn)，求證：直線恒過(guò)定點(diǎn)．
15．已知直線與圓相切于點(diǎn)T，且與雙曲線相交于兩點(diǎn)．若T是線段的中點(diǎn)，求直線的方程．
參考答案
1．C
【解析】
設(shè)C：－＝1．
∵拋物線y2＝16x的準(zhǔn)線為x＝－4，聯(lián)立－＝1和x＝－4得A(－4，)，B(－4，－)，
∴|AB|＝2＝4，
∴a＝2，∴2a＝4．
∴C的實(shí)軸長(zhǎng)為4．
2．A
【分析】根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)求出，再根據(jù)雙曲線的定義得到，令，則，再根據(jù)單調(diào)性可求出結(jié)果.
【解析】與軸交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，
故，，
因?yàn)闉橛抑先我庖稽c(diǎn)，根據(jù)雙曲線的定義有，即
令，則，
因?yàn)樵谏蠟樵龊瘮?shù)，所以，
所以，所以，即.
故選：A
3．
【分析】先將雙曲線的方程和拋物線的方程聯(lián)立得，消元化簡(jiǎn)得，設(shè)，則，再根據(jù)拋物線的定義得代入已知條件可得，從而可得雙曲線的漸近線方程.
【解析】由雙曲線的方程和拋物線的方程聯(lián)立得，消元化簡(jiǎn)得，
設(shè)，則，
由拋物線的定義得
又因?yàn)?，所以，所以，化?jiǎn)得，所以，
所以雙曲線的漸近線方程為，
故答案為：.
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查雙曲線的漸近線方程的求解與拋物線的定義的運(yùn)用，關(guān)鍵在于聯(lián)立方程得出關(guān)于交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的韋達(dá)定理，再根據(jù)拋物線的定義轉(zhuǎn)化拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，屬于中檔題。
4．
【分析】由題知橢圓的方程為，故設(shè)，兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，直線的方程為，與橢圓聯(lián)立并結(jié)合弦長(zhǎng)公式得，進(jìn)而即可得答案.
【解析】依題意，知雙曲線的兩焦點(diǎn)坐標(biāo)為，離心率；
從而知橢圓的兩焦點(diǎn)，得半焦距，
又，得，即，則，
所以橢圓的方程為．
設(shè)，兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，直線的方程為；
聯(lián)立方程組，消去得，
，解得，
由韋達(dá)定理得，；
由弦長(zhǎng)公式得，
故當(dāng)時(shí)，．
故答案為：
【點(diǎn)評(píng)】考查橢圓與雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)，利用解析法中“設(shè)而不求”的思想，通過(guò)韋達(dá)定理及弦長(zhǎng)公式求弦長(zhǎng)的最大值．考查函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合的思想，檢驗(yàn)推理論證、運(yùn)算化簡(jiǎn)和求解能力．本題解題的關(guān)鍵在于利用弦長(zhǎng)公式求得.
5．（1）；（2）.
【分析】（1）由已知根據(jù)拋物線和橢圓的定義和性質(zhì)，可求出，；
（2）設(shè)直線方程為，聯(lián)立直線與圓的方程可以求出，再聯(lián)立直線和橢圓的方程化簡(jiǎn)，由根與系數(shù)的關(guān)系得到結(jié)論，繼而求出面積．
【解析】（1）焦點(diǎn)為F（1，0），則F1（1，0），F(xiàn)2（1，0），
，解得，＝1，＝1，
（Ⅱ）由已知，可設(shè)直線方程為，，
聯(lián)立得，易知△＞0，則
＝＝
＝
因?yàn)椋裕?，解得
聯(lián)立 ，得，△＝8＞0
設(shè)，則
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查拋物線和橢圓的定義與性質(zhì)應(yīng)用，同時(shí)考查利用根與系數(shù)的關(guān)系，解決直線與圓，直線與橢圓的位置關(guān)系問(wèn)題． 意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力．
6．（1）.（2）.
【分析】（1）求得K的坐標(biāo)，圓的圓心和半徑，運(yùn)用對(duì)稱性可得MR的長(zhǎng)，由勾股定理和銳角的三角函數(shù)，可得CK=6，再由點(diǎn)到直線的距離公式即可求得p=2，進(jìn)而得到拋物線方程；（2）設(shè)出直線方程，運(yùn)用弦長(zhǎng)公式和四邊形的面積公式，換元整理，結(jié)合基本不等式，即可求得最小值．
【解析】（1）由已知得設(shè)與軸交于點(diǎn)，由圓的對(duì)稱性可知，.
于是，所以，所以，所以.故拋物線的方程為.
（2）設(shè)直線的方程為，設(shè)，
聯(lián)立得，則.
設(shè)，同理得，
則四邊形的面積
令，則
是關(guān)于的增函數(shù)，
故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最小值.
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查直線與圓錐曲線位置關(guān)系，所使用方法為韋達(dá)定理法，弦長(zhǎng)公式法，因直線的方程是一次的，圓錐曲線的方程是二次的，故直線與圓錐曲線的問(wèn)題常轉(zhuǎn)化為方程組關(guān)系問(wèn)題，最終轉(zhuǎn)化為一元二次方程問(wèn)題，故用韋達(dá)定理及判別式是解決圓錐曲線問(wèn)題的重點(diǎn)方法之一，尤其是弦中點(diǎn)問(wèn)題，弦長(zhǎng)問(wèn)題，可用韋達(dá)定理直接解決，但應(yīng)注意不要忽視判別式的作用．
7．（1）＋y2＝1.（2）見(jiàn)解析
【解析】(1)∵等軸雙曲線離心率為，∴橢圓C的離心率e＝.
∴e2＝＝，∴a2＝2b2.
∵由x－y＋＝0與圓x2＋y2＝b2相切，得
b＝1，∴a2＝2.
∴橢圓C的方程為＋y2＝1.
(2)證明 ①若直線AB的斜率不存在，設(shè)方程為x＝x0，則點(diǎn)A(x0，y0)，B(x0，－y0)．
由已知＝4，得x0＝－.
此時(shí)AB方程為x＝－，顯然過(guò)點(diǎn).
②若直線AB的斜率存在，設(shè)AB方程為y＝kx＋m，依題意m≠±1.
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由
得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0.
則x1＋x2＝－，x1x2＝.
由已知k1＋k2＝4，可得＋＝4，
∴＋＝4，即2k＋(m－1) ＝4，將x1＋x2，x1x2代入得k－＝2，∴k＝2(m＋1)，
∴m＝－1.故直線AB的方程為y＝kx＋－1，
即y＝k－1.
∴直線AB過(guò)定點(diǎn).
綜上，直線AB過(guò)定點(diǎn).
8．（1）見(jiàn)解析（2）這樣點(diǎn)P存在，其坐標(biāo)為
【解析】（1）因?yàn)椋?br>設(shè)切點(diǎn)分別為
則
即①
方程為②
由
即，由①、②聯(lián)立得
所以，即點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為定值
（2）設(shè)，
則C1在點(diǎn)P處切線方程為：
代入方程
得
即
設(shè)
則
③
由（1）知
從而，
即
進(jìn)而得
解得，且滿足③
所以這樣點(diǎn)P存在，其坐標(biāo)為
9．（1）圓的方程為，曲線的方程為（）；（2）當(dāng)時(shí)，四邊形的面積最大值為；（3）證明見(jiàn)解析，其焦點(diǎn)坐標(biāo)為，.
【解析】（1）由題意圓的半徑，
故圓的方程為. 2分
由得，，
即，得
（）為曲線的方程.
（2）由得，，
所以，同理.
由題意知，所以四邊形的面積.
，
∵，∴.
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，此時(shí).
∴ 當(dāng)時(shí)，四邊形的面積最大值為.
（3）曲線的方程為（），它關(guān)于直線、和原點(diǎn)對(duì)稱，下面證明：
設(shè)曲線上任一點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，顯然，所以點(diǎn)在曲線上，故曲線關(guān)于直線對(duì)稱，
同理曲線關(guān)于直線和原點(diǎn)對(duì)稱.
可以求得和直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為
和直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為，
，，，.
在上取點(diǎn)
下面證明曲線為橢圓：
?。┰O(shè)為曲線上任一點(diǎn)，則
（因?yàn)椋?br>.
即曲線上任一點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之和為定值.
ⅱ）若點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之和為定值，可以求得點(diǎn)的軌跡方程為（過(guò)程略）.
故曲線是橢圓，其焦點(diǎn)坐標(biāo)為.
10．（1）；（2）證明見(jiàn)解析.
【分析】（1）根據(jù)幾何性質(zhì)，得出點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)的橢圓，根據(jù)橢圓定義可得標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)直線的方程為，，，直線方程代入橢圓方程應(yīng)用韋達(dá)定理得，寫出方程，求得點(diǎn)坐標(biāo)，再寫出方程，令代入方程，結(jié)合韋達(dá)定理的結(jié)論求得，完成證明．
【解析】（1）由圓，可得圓心，半徑，
因?yàn)?，所以點(diǎn)在圓內(nèi)，
又由點(diǎn)在線段的垂直平分線上，所以，
所以，
由橢圓的定義知，點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)的橢圓，
其中，，，
所以點(diǎn)的軌跡方程為.
（2）設(shè)直線的方程為，，，，，
將代入，
得，
，，
直線的方程為，令得，即，
的直線方程為，
代入得
，
所以直線過(guò)定點(diǎn)．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查求橢圓方程，考查橢圓中直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，解題關(guān)鍵是掌握橢圓的定義，艇橢圓定義求得橢圓方程，對(duì)定點(diǎn)問(wèn)題，采取設(shè)而不的思想方法，即設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)，直線方程代入橢圓方程由韋達(dá)定理得，求出動(dòng)直線的方程，代入定點(diǎn)坐標(biāo)結(jié)合韋達(dá)定理的結(jié)論完成證明．
11．（1）；（2）.
【分析】（1）先運(yùn)用橢圓的定義求出，根據(jù)拋物線，可得，進(jìn)一步就可求出橢圓方程；
（2）先將化簡(jiǎn)為，然后用表示出來(lái)，再求范圍即可.
【解析】（1）由點(diǎn)P在拋物線E上知，，則P到拋物線準(zhǔn)線的距離為，所以，
設(shè)橢圓左焦點(diǎn)為，則，
∴，，又，∴，橢圓C的方程為；
（2）設(shè)直線l的方程為，
與橢圓C的方程聯(lián)立得，
設(shè)，，
則，，
由知，
，
設(shè)中點(diǎn)坐標(biāo)為，
則，，
故中垂線方程為，
令得，
∴．
【點(diǎn)評(píng)】關(guān)鍵【點(diǎn)評(píng)】解決本題的關(guān)鍵，一是定義的運(yùn)用，二是對(duì)的化簡(jiǎn)與求范圍.
12．（1）x+2y+1＝0；（2）.
【分析】（1）設(shè)直線l1：y+1＝k（x﹣1），與拋物線方程聯(lián)立，再由根的判別式等于零求得直線的斜率，由此可求得直線的方程．
（2）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），求得直線，直線，得到點(diǎn)，．表示出直線AB方程，與拋物線方程聯(lián)立，由根與系數(shù)的關(guān)系表示，可求得范圍．
【解析】（1）由題意知直線l1，l2的斜率一定存在，設(shè)直線l1：y+1＝k（x﹣1），與拋物線方程聯(lián)立，得ky2﹣y﹣k﹣1＝0．
由△＝1+4k（k+1）＝0，得，則l1的方程為．
（2）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），設(shè)直線l1： ，與拋物線方程y2＝x聯(lián)立，得．
由 ，解得，所以直線，同理得直線，則，．
設(shè)點(diǎn)P（x0，y0），代入可得，則直線AB方程為．
與拋物線方程聯(lián)立，得y2﹣2y0y+x0＝0，則有y1+y2＝2y0，y1y2＝x0．
則，，所以．
又點(diǎn)P在圓（x+2）2+y2＝1上，所以，即，所以.
所以的取值范圍為.
【點(diǎn)評(píng)】方法【點(diǎn)評(píng)】(1)解答直線與拋物線的題目時(shí)，時(shí)常把兩個(gè)曲線的方程聯(lián)立，消去 (或)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系；(2)涉及到直線方程的設(shè)法時(shí)，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線斜率為或不存在等特殊情形．有時(shí)若直線過(guò)x軸上的一點(diǎn)，可將直線設(shè)成橫截式.
13．（1）；（2）證明見(jiàn)解析
【分析】（1）由已知可得，可判斷點(diǎn)在以為交點(diǎn)的橢圓上，即可求出方程；
（2）將直線方程代入橢圓，利用弦長(zhǎng)公式可求出，同理可得，由已知可得，利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合零點(diǎn)存在性定理即可證明.
【解析】（1），是的中點(diǎn)，，，
點(diǎn)在的垂直平分線上，，
，
點(diǎn)在以為交點(diǎn)的橢圓上，且，則，
故點(diǎn)的軌跡方程為；
（2）可得直線的方程為，
與橢圓方程聯(lián)立可得，
設(shè)，則，可得，
則，
由題可得，直線的方程為，
故同理可得，
由可得，即，
設(shè)，則是的零點(diǎn)，
，則在單調(diào)遞增，
又，
因此在有唯一零點(diǎn)，且零點(diǎn)在內(nèi)，即.
【點(diǎn)評(píng)】關(guān)鍵【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的軌跡方程，解題的關(guān)鍵是利用橢圓定義得出的軌跡為橢圓；考查參數(shù)范圍的證明，解題的關(guān)鍵是利用弦長(zhǎng)公式求出弦長(zhǎng)，利用已知得出，再利用導(dǎo)數(shù)證明.
14．（1）；（2）證明見(jiàn)解析．
【分析】（1）由雙曲線和橢圓，，之間的等量關(guān)系求出橢圓方程；（2）設(shè)直線：，將直線方程和橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)韋達(dá)定理及，求出的值，從而證得直線恒過(guò)定點(diǎn)．
【解析】解：（1）由已知可得雙曲線方程為．
∵，∴交點(diǎn)為．
設(shè)橢圓的方程為，
代入，得，
∴橢圓的方程為．
（2）證明：顯然直線與軸不垂直．
設(shè)直線：與橢圓：相交于，，
由得，
∴，．
∵，∴，
即，
，
∴，
整理得，
即．
∵，，
整理得，∴，
∴直線恒過(guò)定點(diǎn)．
【點(diǎn)評(píng)】關(guān)鍵點(diǎn)【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線方程、橢圓方程、直線與橢圓的位置關(guān)系，本題以圓錐曲線為背景，解題的關(guān)鍵是掌握雙曲線方程的求法、橢圓方程的求法和直線與橢圓的位置關(guān)系，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理的核心素養(yǎng)．
15．或
【分析】根據(jù)題意設(shè)的方程為與雙曲線方程聯(lián)立，由韋達(dá)定理可得點(diǎn)的坐標(biāo)，代入圓的方程得到關(guān)系，由可得答案.
【解析】圓化為其圓心為，半徑為1.
根據(jù)題意直線與軸不平行，設(shè)的方程為
由，可得
顯然，所以
所以 ，即
由點(diǎn)在圓上，，化簡(jiǎn)可得
由條件可得，
當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，，則，此時(shí)直線的方程為：
當(dāng)直線的斜率存在時(shí)， ，則，即，
化簡(jiǎn)得，又，則，所以
此時(shí)直線的方程為：，
【點(diǎn)評(píng)】關(guān)鍵【點(diǎn)評(píng)】本題考查兩直線垂直的性質(zhì)和直線與雙曲線的位置關(guān)系，解答本題的關(guān)鍵是由直線方程與雙曲線方程聯(lián)立得到，由可得答案，屬于中檔

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2024年高考數(shù)學(xué)第二輪專題復(fù)習(xí)圓錐曲線 專題7：橢圓中的定點(diǎn)問(wèn)題33頁(yè)：

這是一份2024年高考數(shù)學(xué)第二輪專題復(fù)習(xí)圓錐曲線 專題7：橢圓中的定點(diǎn)問(wèn)題33頁(yè)，共33頁(yè)。試卷主要包含了已知橢圓Γ，已知橢圓C，已知橢圓過(guò)點(diǎn)，離心率為.，已知橢圓過(guò)、兩點(diǎn).，如圖，已知橢圓等內(nèi)容，歡迎下載使用。

2024年高考數(shù)學(xué)第二輪專題復(fù)習(xí)圓錐曲線 專題35：圓錐曲線的弦長(zhǎng)問(wèn)題28頁(yè)：

這是一份2024年高考數(shù)學(xué)第二輪專題復(fù)習(xí)圓錐曲線 專題35：圓錐曲線的弦長(zhǎng)問(wèn)題28頁(yè)，共28頁(yè)。試卷主要包含了已知橢圓的離心率為，且過(guò)點(diǎn).，已知拋物線C，設(shè)橢圓E，已知橢圓等內(nèi)容，歡迎下載使用。

2024年高考數(shù)學(xué)第二輪專題復(fù)習(xí)圓錐曲線 專題34：圓錐曲線中點(diǎn)弦問(wèn)題25 頁(yè)：

這是一份2024年高考數(shù)學(xué)第二輪專題復(fù)習(xí)圓錐曲線 專題34：圓錐曲線中點(diǎn)弦問(wèn)題25 頁(yè)，共25頁(yè)。試卷主要包含了單選題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

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