專題27：拋物線的定點問題1．已知拋物線的焦點為，過點且垂直于軸的直線與交于，兩點，(點為坐標原點)的面積為.（1）求拋物線的方程；（2）設不經過原點的直線與拋物線交于?兩點，設直線?的傾斜角分別為和，證明：當時，直線恒過定點.2．已知點，，動點滿足．記點的軌跡為曲線．（1）求的方程；（2）設為直線上的動點，過作的兩條切線，切點分別是，．證明：直線過定點．3．設拋物線的焦點為，已知直線：，圓：.（1）設直線與圓的交點分別為，，求當取得最小值時，直線的方程；（2）若拋物線過圓的圓心，直線，過同一定點且與拋物線相交于，和，點，，設是的中點，是的中點，證明：直線恒過定點.4．已知拋物線的焦點是橢圓的一個頂點.（1）求拋物線的方程；（2）若點，、為拋物線上的不同兩點，且，問：直線是否過定點？若過定點，求出該定點坐標；若不過定點，請說明理由.5．在平面直角坐標系中，已知直線被拋物線截得的弦長為，直線與拋物線相交于點，，點，且直線，的斜率之和為4.（1）求拋物線的方程；（2）求證：直線過定點，并求出定點坐標.6．已知拋物線的焦點為，是上一點，且.（1）求拋物線的方程；（2）設點是上異于點的一點，直線與直線交于點，過點作軸的垂線交拋物線于點，證明：直線過定點，并求出該定點坐標.7．在平面直角坐標系中，為直線上的動點，過點作拋物線的兩條切線，切點分別為為的中點.（1）證明軸；（2）直線是否恒過定點？若是，求出這個定點的坐標；若不是，請說明理由.8．已知點，，為直線上的兩個動點，且，動點滿足，（其中為坐標原點）.（1）求動點的軌跡的方程；（2）若直線與軌跡相交于兩不同點、，如果，證明直線必過一定點，并求出該定點的坐標.9．平面上動點M到定點的距離比M到直線的距離小1．（1）求動點M滿足的軌跡方程C﹔（2）若A，B是（1）中方程C表示的曲線上的兩點，且（O為坐標原點）．試問直線是否經過定點，并說明理由．10．設拋物線：（）的焦點為，點是拋物線上一點，且．（1）求拋物線的方程；（2）設直線與拋物線交于，兩點，若，求證：線段的垂直平分線過定點．11．已知是拋物線的焦點，是拋物線上一點，且.（1）求拋物線的方程；（2）已知斜率存在的直線與拋物線交于，兩點，若直線，的傾斜角互補，則直線是否會過某個定點？若是，求出該定點坐標，若不是，說明理由.12．在直角坐標系xOy中，已知一動圓經過點，且在y軸上截得的弦長為6，設動圓圓心的軌跡為曲線C．（1）求曲線C的方程；（2）過點作相互垂直的兩條直線，，直線與曲線C相交于A，B兩點，直線與曲線C相交于E，F兩點，線段AB，EF的中點分別為M、N，求證：直線MN恒過定點，并求出該定點的坐標.
參考答案1．（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）根據焦點，求得點，的坐標，然后由求解；（2）易知直線的斜率存在，記為，設直線，與聯立， 由，，結合，由    求解.【解析】（1）因為焦點，所以點，的坐標分別為，.所以，故.故拋物線的方程為.（2）由題設，，易知直線的斜率存在，記為，則設直線，與聯立得，得，，則，，，.又知，，，，解得，所以直線，恒過定點.【點評】 定點問題的常見解法：①假設定點坐標，根據題意選擇參數，建立一個直線系或曲線系方程，而該方程與參數無關，故得到一個關于定點坐標的方程組，以這個方程組的解為坐標的點即所求定點；②從特殊位置入手，找出定點，再證明該點適合題意．2．（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）把已知條件用坐標表示，并化簡即得的方程；（2）設，，，利用導數得出切線的方程，由在切線上，從而可得直線的方程，由直線方程可得定點坐標．【解析】（1）設，則，，，，所以，可以化為，化簡得．所以，的方程為．（2）由題設可設，，，由題意知切線，的斜率都存在，由，得，則，所以，直線的方程為，即，①因為在上，所以，即，②將②代入①得，所以直線的方程為同理可得直線的方程為．因為在直線上，所以，又在直線上，所以，所以直線的方程為，故直線過定點．【點評】 本題考查直接法求動點軌跡方程，考查拋物線中的直線過定點問題，解題方法是設出切線坐標，由導數的幾何意義寫出切線方程，再由在切線上，根據直線方程的意義得出直線方程，然后得定點坐標．3．（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）先判斷直線：過定點，由垂徑定理表示出，當時，當最大時，最小，求出PQ斜率m，得到直線方程；（2）聯立方程組表示出點M、N，進而表示出直線MN的方程，利用點斜式方程說明直線過定點.【解析】 （1）由題意得直線：過定點，由得.因為，所以點在圓內.設圓心到直線的距離為，，當最大時，最小，此時，所以，此時直線的方程為.（2）證明：因為拋物線過圓的圓心，所以，解得，所以拋物線的方程為.由直線的方程為，可得直線：，且過定點，由可得直線：，聯立，消整理得.設點，，則，所以，則，即點，同理得點，當時，直線的斜率，則直線的方程為，即，所以直線的方程為，即直線恒過定點；當時，，，直線的方程為，也過定點.綜上，直線恒過定點.【點評】證明直線過定點，通常有兩類：（1）直線方程整理為斜截式y=kx+b，過定點(0,b)；（2）直線方程整理為點斜式y - yo=k(x- x0)，過定點(x0,y0) ．4．（1）；（2）過定點.【分析】（1）根據已知條件求出的值，可得出拋物線的方程；（2）設直線的方程，設點、，將直線的方程與拋物線的方程聯立，列出韋達定理，由得出，代入韋達定理可得出、所滿足的關系式，由此可得出直線所過定點的坐標.【解析】（1）把橢圓的方程化為標準方程是，橢圓的左、右頂點分別為、，依題意，解得，所以拋物線的方程為；（2）若直線與軸垂直，則直線與拋物線只有一個交點，不合乎題意.設直線的方程為，與拋物線方程聯立并化簡得.則，可得，設、，則，.因為，，同理可得，所以，，所以，，顯然且，所以，，所以，，所以，直線的方程為，即，因此，直線過定點.【點評】 求解直線過定點問題常用方法如下：（1）“特殊探路，一般證明”：即先通過特殊情況確定定點，再轉化為有方向、有目的的一般性證明；（2）“一般推理，特殊求解”：即設出定點坐標，根據題設條件選擇參數，建立一個直線系或曲線的方程，再根據參數的任意性得到一個關于定點坐標的方程組，以這個方程組的解為坐標的點即為所求點；（3）求證直線過定點，常利用直線的點斜式方程或截距式來證明.5．（1）；（2）直線過定點，定點坐標為，證明見解析.【分析】（1）聯立直線方程和拋物線方程，求出交點的坐標后利用弦長公式可求的值，從而可求拋物線的方程.（2）設直線的方程為，聯立直線方程和拋物線方程，消去后利用韋達定理化簡斜率之和，從而可得，故可求定點坐標.我們也可以設，，用坐標表示斜率之和，再用該兩點的坐標表示直線，化簡后可得直線過定點.【解析】（1）由解得，，因為直線被拋物線截得的弦長為，所以，，解得，所以拋物線的方程為.（2）法一：  設直線的方程為，，，由得，所以，，因為點，且直線，的斜率之和為4，所以，而，，化簡得，所以，即，所以直線的方程為，所以直線過定點，定點坐標為.法二： 設，，因為點，且直線，的斜率之和為4，所以，即，①當時，直線的方程為即，所以直線過定點，定點坐標為；②當時，，所以，不滿足題意.所以直線過定點，定點坐標為.【點評】直線與拋物線的位置關系中的定點、定值、最值問題，一般可通過聯立方程組并消元得到關于或的一元二次方程，再把要求解的目標代數式化為關于兩個的交點橫坐標或縱坐標的關系式，該關系中含有或，最后利用韋達定理把關系式轉化為若干變量的方程（或函數），從而可求定點、定值、最值問題，也可以設出交點坐標，用交點坐標表示目標代數式，從而解決定點、定值、最值問題.6．（1）；（2）證明見解析，定點為.【分析】（1）根據拋物線的性質即可得到，，解得即可；（2）設，，，．由題意，可設直線的方程為，由根與系數的關系．得，，再根據，，三點共線，化簡整理可得．即可求出直線過定點．【解析】（1） 根據題意知，，①因為，所以．②． 聯立①②解的，． 所以的方程為． （2）證明：設，，，．由題意，可設直線的方程為，代入，得．由根與系數的關系．得，．③由軸及點在直線上，得，，則由，，三點共線，得， 整理，得．將③代入上式并整理，得． 由點的任意性，得，所以．即直線恒過定點．【點評】 證明直線過定點，一般有兩種方法.（1）特殊探求，一般證明：即可以先考慮動直線或曲線的特殊情況，找出定點的位置，然后證明該定點在該直線或該曲線上（定點的坐標直線或曲線的方程后等式恒成立）.（2）分離參數法：一般可以根據需要選定參數，結合已知條件求出直線或曲線的方程，分離參數得到等式，（一般地，為關于的二元一次關系式）由上述原理可得方程組，從而求得該定點.7．（1）證明見解析；（2）直線恒過定點．【分析】（1）設切點，，求出導數，由此可得切線斜率，得切線方程，同時設，代入切線方程并整理，同理得方程，從而可得是方程的兩根，利用韋達定理得，求出點橫坐標可證得結論；（2）利用（1）再求得點縱坐標，由兩點坐標求得直線的斜率，然后得出直線方程后可得定點坐標．【解析】（1）設切點，，，∴切線的斜率為，切線，設，則有，化簡得，同理可的∴，是方程的兩根，∴，，，∴軸.（2）∵，∴..，∴直線，即，∴直線過定點.【點評】本題考查直線與拋物線相交問題，考查導數的幾何意義，方法是設切點，，設動點坐標，把點坐標代入兩切線方程得出是一元二次方程的根，利用韋達定理得出，這樣可得中點坐標，由中點坐標寫出直線方程可得定點坐標．是設而不求思想的運用．8．（1）；（2）證明見解析，定點為.【分析】（1）設點，，，由可得出，由，可得出，，代入化間可得出動點的軌跡的方程；（2）設直線的方程為，設點、，聯立直線與曲線的方程，列出韋達定理，由可求得的值，可得出直線的方程，進而可得出直線所過定點的坐標.【解析】（1）設、、，則，，，，，.由，得，且點、均不在軸上，故，且，.由，得，即.由，得，即.所以，所以動點的軌跡的方程為：；（2）若直線的斜率為零時，則直線與曲線至多只有一個公共點，不合乎題意.可設直線的方程為.由，得.設、，則，.，，解得，所以，直線的方程為，即直線恒過定點.【點評】 直線過定點：根據題中條件確定直線方程中的與、所滿足的等量關系或等式，然后再代入直線方程，即可確定直線所過定點的坐標9．（1）；（2）直線經過定點，證明見解析.【分析】（1）利用拋物線的定義可得動點M滿足的軌跡方程C﹔（2）設直線的方程為：，則直線的方程為：，聯立直線與拋物線方程解出交點坐標，進而可得直線的方程，可得直線經過的定點坐標．【解析】（1）由題意易得：點M到定點的距離等于點M到直線的距離由拋物線定義可得：動點M滿足的軌跡方程C為．（2）設直線的方程為：，則直線的方程為：．聯立方程可得，同理可得：．∴直線的方程為即．特別的，當或時，點A與點B的橫坐標都是4．綜上可知，直線經過定點．【點評】 本題考查拋物線的定義的應用，考查直線與拋物線的位置關系，解決本題的關鍵點是設出直線和的方程，分別與拋物線聯立解出交點坐標，即可寫出直線的方程，進而得出定點坐標，考查了學生計算能力，屬于中檔題．10．（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）由條件可得，解出即可；（2）當直線的斜率存在時，設，，聯立直線與拋物線的方程聯立消元，然后韋達定理可得，由可得，然后表示出線段的垂直平分線方程可得答案.【解析】（1）由拋物線的焦半徑公式可得，解得即拋物線的方程為（2）當直線的斜率存在時，設，由可得所以，，即因為，所以，所以所以線段的中點坐標為所以線段的垂直平分線方程為，即，所以過定點當直線的斜率不存在時也滿足綜上：線段的垂直平分線過定點【點評】 定點問題的常見解法：①假設定點坐標，根據題意選擇參數，建立一個直線系或曲線系方程，而該方程與參數無關，故得到一個關于定點坐標的方程組，以這個方程組的解為坐標的點即所求定點；②從特殊位置入手，找出定點，再證明該點適合題意.11．（1）；（2）過定點，定點為.【分析】(1)根據拋物線的定義可知,求出后可得拋物線方程.(2) 設直線的方程為，設，，由條件可得，化簡即得，聯立直線與拋物線方程，利用韋達定理代入可得，從而得出答案.【解析】（1）根據拋物線的定義，，拋物線的方程為，（2）設直線的方程為，設，，直線與拋物線的方程聯立得，，,則，，又，即，，，即，整理得：，所以直線的方程為，即直線經過定點.【點評】關鍵點睛：本題考查求拋物線的方程和直線與拋物線的位置關系，考查直線過定點問題，解答本題的關鍵是由，得到，然后由方程聯立韋達定理代入，屬于中檔題.12．（1）；（2）證明見解析，.【分析】（1）設圓心，然后根據條件建立方程求解即可；（2）設直線的方程為，然后算出，，然后表示出直線的方程即可.【解析】（1）設圓心，由題意得，即所以曲線C的方程為（2）由題意可知，直線的斜率均存在，設直線的方程為，，聯立方程組得，所以，因為點M是線段AB的中點，所以同理，將換成得，當，即時所以直線MN的方程為即，所以直線MN恒過定點當時，直線MN的方程為，也過點所以直線MN恒過定點【點評】 定點問題的常見解法：①假設定點坐標，根據題意選擇參數，建立一個直線系或曲線系方程，而該方程與參數無關，故得到一個關于定點坐標的方程組，以這個方程組的解為坐標的點即所求定點；②從特殊位置入手，找出定點，再證明該點適合題意.

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