1．已知橢圓與雙曲線有相同的左焦點(diǎn)、右焦點(diǎn)，點(diǎn)是兩曲線的一個(gè)交點(diǎn)，且.過作傾斜角為45°的直線交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在軸的上方），且，則的值為（ ）
A．B．C．D．
2．已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，直線與交于，兩點(diǎn)，以為直徑的圓過點(diǎn)，若上存在點(diǎn)滿足，則的離心率為（ ）
A．B．C．D．
3．經(jīng)過雙曲線的右焦點(diǎn)作傾斜角為45°的直線，交雙曲線于，兩點(diǎn)，設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，則等于（ ）
A．B．1C．2D．
4．若點(diǎn)和點(diǎn)分別為雙曲線的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)為該雙曲線上的任意一點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
5．已知點(diǎn)在雙曲線，且線段經(jīng)過原點(diǎn)，點(diǎn)為圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為
A．B．C．D．
二、解答題
6．已知經(jīng)過點(diǎn)且以為一個(gè)方向向量的直線與雙曲線相交于不同兩點(diǎn)、.
（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）若點(diǎn)、均在已知雙曲線的右支上，且滿足，求實(shí)數(shù)的值；
（3）是否存在這樣的實(shí)數(shù)，使得、兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱？若存在，請(qǐng)求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.
7．已知點(diǎn)、為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過作垂直于軸的直線在軸上方交上雙曲線于點(diǎn)，且，的面積為.
（1）求雙曲線的方程；
（2）過雙曲線實(shí)軸右端點(diǎn)作該雙曲線兩條漸近線的垂線，垂足分別為、，求的值.
8．如圖，已知雙曲線的方程為（），兩條漸近線的夾角為，焦點(diǎn)到漸近線的距離為．、兩動(dòng)點(diǎn)在雙曲線的兩條漸近線上，且分別位于第一象限和第四象限，是直線與雙曲線右支的一個(gè)公共點(diǎn)，.
（1）求雙曲線的方程；
（2）當(dāng)時(shí)，求的取值范圍；
（3）試用表示的面積，設(shè)雙曲線上的點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離的取值范圍為集合，若，求的取值范圍.
9．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，過點(diǎn)的動(dòng)直線與雙曲線相交于兩點(diǎn).在軸上是否存在定點(diǎn)，使為常數(shù)？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
10．已知雙曲線C的中心在原點(diǎn)，拋物線的焦點(diǎn)是雙曲線C的一個(gè)焦點(diǎn)，且雙曲線過點(diǎn)．
（Ⅰ）求雙曲線的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線與雙曲線C交于A，B兩點(diǎn)，試問：k為何值時(shí)，．
11．已知雙曲線的方程為，離心率,頂點(diǎn)到漸近線的距離為
(1)求雙曲線的方程;
(2)設(shè)P是雙曲線C上的點(diǎn),A,B兩點(diǎn)在雙曲線的漸近線上,且分別位于第一,二象限,若,,求面積的取值范圍.
12．直線與雙曲線相交于、兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，且．
（1）求與滿足的關(guān)系；
（2）求證：點(diǎn)到直線的距離是定值，并求的最小值．
參考答案
1．A
【分析】根據(jù)向量數(shù)量積為零對(duì)應(yīng)的垂直關(guān)系結(jié)合雙曲線的定義求解出的長(zhǎng)度，再根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)求解出橢圓的方程，聯(lián)立直線與橢圓方程可求解出的縱坐標(biāo)，通過用表示出，則的值可求.
【解析】不妨設(shè)為橢圓與雙曲線在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)，橢圓方程為，，
由雙曲線定義可知：，又因?yàn)椋?，?br>所以，所以，
所以，所以，所以，所以橢圓方程為，
又因?yàn)椋?，所以?br>所以，所以，
又因?yàn)?，所以，所以，解得?br>故選：A.
【點(diǎn)評(píng)】 解答本題的關(guān)鍵是通過已知的條件求解出橢圓的方程，后續(xù)求解的過程中，除了聯(lián)立思想的運(yùn)用，還要注意利用點(diǎn)的縱坐標(biāo)去分析求解問題.
2．B
【分析】由題意設(shè)，，，則，求出，，的坐標(biāo)，根據(jù)得到，由點(diǎn)在圓上得到，把點(diǎn)，坐標(biāo)代入雙曲線方程聯(lián)立，可得答案.
【解析】由題意設(shè)，，，則，
，，．
，，．
以為直徑的圓過點(diǎn)，，
即①，
點(diǎn)，均在雙曲線上，②，③．
②-③整理得，將代入，整理得，
于是，最后將，代入雙曲線方程，整理得，所以．
故選：B.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線與雙曲線的位置關(guān)系、圓的有關(guān)性質(zhì)及與向量的結(jié)合，關(guān)鍵點(diǎn)是利用和得到點(diǎn)之間的關(guān)系，考查了學(xué)生分析問題、解決問題的能力.
3．B
【分析】先依題意寫出直線的方程， 聯(lián)立直線與雙曲線方程，利用韋達(dá)定理，結(jié)合向量的數(shù)量積運(yùn)算計(jì)算即得結(jié)果.
【解析】由雙曲線的方程可知，右焦點(diǎn)坐標(biāo)為，
的直線方程可設(shè)為，
設(shè)，，則，
聯(lián)立可得，
，，
，
．
故選：B．
4．B
【分析】設(shè)點(diǎn)，轉(zhuǎn)化條件得，由即可得解.
【解析】由題意，點(diǎn)，點(diǎn)，
設(shè)點(diǎn)，則，，，
所以，
所以，
所以當(dāng)時(shí)，取最小值.
故選：B.
5．C
【解析】試題分析：設(shè),則所以求的最大值,只要求出的最大值,的最小值,因?yàn)辄c(diǎn)M為圓上的動(dòng)點(diǎn),所以的最大值為,因?yàn)辄c(diǎn),在雙曲線上,所以的最小值為,所以的最大值為,故選C.
考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)、圓的有關(guān)性質(zhì).
【方法點(diǎn)晴】本題主要考查了雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)和定點(diǎn)到圓上點(diǎn)的距離.由，是不相關(guān)的兩個(gè)點(diǎn)可知本題是分別考查了兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)，即將數(shù)量積的最值轉(zhuǎn)化成原點(diǎn)到雙曲線上的最近距離的平方和圓上的點(diǎn)原點(diǎn)的最大距離的平方，由此實(shí)現(xiàn)了幾何與代數(shù)轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)了解析幾何的特點(diǎn).本題綜合性強(qiáng)，難度大.
6．（1）；（2）；（3）存在實(shí)數(shù)滿足題意，理由見詳解.
【分析】（1）先由題意，得到直線的方程為，聯(lián)立直線與雙曲線方程，根據(jù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)，列出不等式求解，即可得出結(jié)果；
（2）先設(shè)、，根據(jù)兩點(diǎn)都在雙曲線的右支上，列出不等式求解，得出，再由，利用韋達(dá)定理，列出等式求解，即可得出結(jié)果；
（3）先假設(shè)存在實(shí)數(shù)滿足題意，根據(jù)對(duì)稱性，得到兩直線垂直，求出，再求出中點(diǎn)坐標(biāo)驗(yàn)證，即可得出結(jié)果.
【解析】（1）因?yàn)橹本€經(jīng)過點(diǎn)且以為一個(gè)方向向量，
所以直線的方程為，
由得，整理得，
因此 ，解得，即或或，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是；
（2）設(shè)、，
因?yàn)辄c(diǎn)、均在已知雙曲線的右支上，所以由（1）可得，
解得；
又，即，則，
整理得，
則，整理得，解得，
因?yàn)?，所以?br>（3）假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得、兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，
則直線與垂直，
所以，則，
由（2）知，則，
因此的中點(diǎn)坐標(biāo)為，
又，即點(diǎn)在直線，
所以存在實(shí)數(shù)，使得、兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱.
【點(diǎn)評(píng)】思路點(diǎn)睛：
已知直線與圓錐曲線交點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)時(shí)，一般需要聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，消去（或），得到關(guān)于（或）的一元二次方程，根據(jù)判別式列出對(duì)應(yīng)的不等式，即可求解.（判別式大于零，有兩個(gè)交點(diǎn)；判別式等于零，有一個(gè)交點(diǎn)；判別式小于零，沒有交點(diǎn).）
7．（1）；（2）.
【分析】（1）求出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)已知條件可得出關(guān)于、、的方程組，解出、的值，即可得出雙曲線的方程；
（2）設(shè)漸近線的傾斜角為，可得，求出的值，利用點(diǎn)到直線的距離公式求出、，利用平面向量數(shù)量積的定義可求得的值.
【解析】（1）設(shè)、，則，
將點(diǎn)的坐標(biāo)代入雙曲線的方程得，可得，，，
，
，軸，所以，，
由雙曲線的定義可得，，則，
，，，
因此，雙曲線的方程為；
（2）雙曲線的兩條漸近線為，，
易知，漸近線的傾斜角為，則，
，
，
由平面向量數(shù)量積的定義可得.
【點(diǎn)評(píng)】方法點(diǎn)睛：求兩個(gè)向量的數(shù)量積有三種方法：利用定義；利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算；利用數(shù)量積的幾何意義．具體應(yīng)用時(shí)可根據(jù)已知條件的特征來選擇，同時(shí)要注意數(shù)量積運(yùn)算律的應(yīng)用．
8．（1）；（2）；（3）.
【分析】（1）先由題意，得到雙曲線的漸近線方程，根據(jù)夾角公式，由題中條件，得到，再由點(diǎn)到直線距離公式，求出，進(jìn)而可得出結(jié)果；
（2）先由題意，設(shè)，，，，當(dāng)，得到代入雙曲線方程，得到，再計(jì)算向量數(shù)量積，即可得出結(jié)果；
（3）同（2），設(shè)，，，，
由得，代入雙曲線方程，得到，再由點(diǎn)到直線距離公式，兩點(diǎn)間距離公式，求出，由題中條件，求出，進(jìn)而可求出結(jié)果.
【解析】（1）由題意雙曲線漸近線為.
根據(jù)夾角公式.
又.
所以.
（2）由題意，設(shè)，，，，
當(dāng)時(shí)，，則
所以，整理得；
又，，
所以
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立；
所以.
（3）同（2），設(shè)，，，，
由得，即，
則
所以.
把點(diǎn)的坐標(biāo)代入雙曲線的方程得.
所以，
因?yàn)橹本€的斜率為，
則直線的方程為，即，
所以點(diǎn)到直線的距離為，
又，
所以，
由題意知，，所以，
.
設(shè)是雙曲線右支上一點(diǎn)，記雙曲線左右焦點(diǎn)分別為，，
由雙曲線的性質(zhì)可得，，
又
，，
所以，即雙曲線上的點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離的范圍是，
由題意可得，，
令，，
任取，
則顯然成立，
所以在上單調(diào)遞增，
因此，
即.
所以.
【點(diǎn)評(píng)】方法點(diǎn)睛：
圓錐曲線中的取值范圍問題的求解方法：
（1）函數(shù)法：用其他變量表示參數(shù)，建立函數(shù)關(guān)系，利用求函數(shù)值域的方法求解；
（2）不等式法：根據(jù)題意建立含參數(shù)的不等式，通過解不等式求參數(shù)的范圍；
（3）判別式法：建立關(guān)于某變量的一元二次方程，利用判別式求參數(shù)的取值范圍；
（4）數(shù)形結(jié)合法：研究參數(shù)所表示的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合思想求解.
9．存在，．
【分析】假設(shè)在軸上存在定點(diǎn)，使為常數(shù)，當(dāng)不與軸垂直時(shí)，設(shè)出直線的方程，然后與雙曲線方程聯(lián)立消去得到關(guān)于的一元二次方程，進(jìn)而可得到兩根之和與兩根之積，表示出向量并將所求的兩根之和與兩根之積代入整理即可求出的坐標(biāo)；當(dāng)與軸垂直時(shí)可直接得到，的坐標(biāo)，再由，可確定答案．
【解析】解：由條件知，
設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，
假設(shè)在軸上存在定點(diǎn)，使為常數(shù)，
當(dāng)不與軸垂直時(shí)，設(shè)直線的方程是，
代入，得，
，
∴
，
∵是與無關(guān)的常數(shù)，
∴，即，此時(shí)；
當(dāng)與軸垂直時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)可分別設(shè)為，
此時(shí)；
故在軸上存在定點(diǎn)，使為常數(shù)．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查直線與雙曲線的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想，屬于中檔題．
10．（Ⅰ）（Ⅱ）
【分析】（Ⅰ）由題意結(jié)合雙曲線過點(diǎn)即可得，由拋物線的焦點(diǎn)可得，即可得解；
（Ⅱ）設(shè)，，聯(lián)立方程可得，，由可得，代入即可得解.
【解析】（Ⅰ）由題意設(shè)雙曲線方程為，雙曲線的半焦距為，
把代入得①,
又的焦點(diǎn)是，
∴，
與①聯(lián)立，消去可得，解得或（不合題意舍去），
于是，
∴雙曲線方程為；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得雙曲線方程為，∴該雙曲線的漸近線為，
由直線與雙曲線C交于A，B兩點(diǎn)可得，
聯(lián)立方程可得，
消去y得，
當(dāng)即時(shí)，l與C有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，
設(shè)，，則，，
因?yàn)?，故?br>，
，
化簡(jiǎn)得，∴，檢驗(yàn)符合條件，
故當(dāng)時(shí)，．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了拋物線焦點(diǎn)以及雙曲線方程的求解，考查了直線與雙曲線的綜合應(yīng)用與運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.
11．(1) ;(2)
【分析】(1)根據(jù)離心率以及頂點(diǎn)到漸近線的距離表達(dá)出對(duì)應(yīng)的關(guān)系再求解即可.
(2)由雙曲線方程與漸近線方程可設(shè),再利用求得,再代入雙曲線方程求解化簡(jiǎn),再代入面積公式求解即可.
【解析】(1)由題,一條漸近線方程, 可知 ,
兩式相乘有,又.故.
故雙曲線的方程：
(2)由題,漸近線方程為,故設(shè)
因?yàn)?故 ,將點(diǎn)代入雙曲線方程有.化簡(jiǎn)得.
故.
因?yàn)?由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)得,故
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了雙曲線方程的求解以及設(shè)點(diǎn)求雙曲線上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)代入方程求解的方法等.主要利用向量的關(guān)系表達(dá)出雙曲線上的點(diǎn)的表達(dá)式,屬于難題.
12．（1）；（2）證明見解析，
【分析】(1)設(shè)點(diǎn)A,B聯(lián)立直線方程和雙曲線方程消元化簡(jiǎn):
,然后利用韋達(dá)定理結(jié)合向量垂直即,可求得和滿足的關(guān)系;
(2)利用點(diǎn)到直線的距離公式求出距離表達(dá)式再利用(1)的結(jié)論即可證明距離是定值;利用弦長(zhǎng)公式以及韋達(dá)定理表示出弦長(zhǎng)表達(dá)式,然后利用換元配方求解最小值.
【解析】（1）設(shè)點(diǎn)A,B,聯(lián)立消得,
∴,
由得
代入化簡(jiǎn)可得和滿足的關(guān)系為:;
（2）由點(diǎn)到直線的距離公式可得:,由(1)得
代入可解得為定值;
由直線與雙曲線交點(diǎn)弦弦長(zhǎng)公式可得:
,令(t≤3)
化簡(jiǎn)可得,
由t≤3可得當(dāng),t=3時(shí).
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線與雙曲線的位置關(guān)系以及弦長(zhǎng)距離的問題,解決此類問題通常聯(lián)立解直線與雙曲線方程組成的方程組,消元利用韋達(dá)定理解決，運(yùn)算過程常常采用設(shè)而不求,整體代入等解法,是高考?？碱}

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